Написание контрольных, курсовых, дипломных работ, выполнение задач, тестов, бизнес-планов
Главная \ База готовых работ \ Математичні методи в економіці. Економетрія. ЕММ

Математичні методи в економіці. Економетрія. ЕММ

Заказ 31079 (500 грн.) 08.09.2018 09:01

ЗАГАЛЬНА ЗАДАЧА ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ТА ДЕЯКІ З МЕТОДІВ ЇЇ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ (2)

Задача 2.2.

На ринок поставляється картопля з трьох фермерських господарств за цінами відповідно 80, 75 та 65 коп. за 1 кг. На завантаження 1 т картоплі в господарствах відповідно витрачається по 1, 6 та 5 хвилин. Замовлено 12 т картоплі, і для своєчасної доставки необхідно, щоб на її завантаження витрачалося не більше сорока хвилин. Потрібно визначити, з яких фермерських господарств і в якій кількості необхідно доставляти картоплю, щоб загальна вартість закупівлі була мінімальною, якщо фермери можуть виділити для продажу відповідно 10, 8 та 6 т картоплі.

2.5(1)

Розглянемо геометричну інтерпретацію задачі лінійного програмування на прикладі. Нехай фермер прийняв рішення вирощувати озиму пшеницю і цукрові буряки на площі 20 га, відвівши під цукрові буряки не менше як 5 га. Техніко-економічні показники вирощування цих культур маємо у табл. 2.3:

Таблиця 2.3

ПОКАЗНИКИ ВИРОЩУВАННЯ СІЛЬСЬКОГОСПОДАРСЬКИХ КУЛЬТУР

Показник (із розрахунку на 1 га)

Озима пшениця

Цукрові буряки

Наявний ресурс

Затрати праці, людино-днів

5

25

270

Затрати праці механізаторів, людино-днів

2

8

80

Урожайність, тонн

3,5

40

Прибуток, тис. грн

0,7

1

Задача 2.5.(Транспортна)

Фермерське господарство спеціалізується на вирощуванні озимої пшениці і має три ділянки землі площею S1 = 40 га, S2 = 90 га, S3 = 55 га. Враховуючи наявну кількість посівного матеріалу, є можливість засіяти всю площу озимою пшеницею трьох сортів. Кількість пшениці сорту «Миронівська-808» забезпечить посів на 80 га,«Безоста-1» — 60 га та «Одеська — 51» — 45 га. Урожайність сорту «Миронівська-808» на даних ділянках становить відповідно 41 ц/га, 40 ц/га, 46 ц/га. Аналогічно для сорту «Безоста-1» маємо: 38 ц/га, 41 ц/га, 45 ц/га, а для «Одеської-51» — 30 ц/га, 28 ц/га, 40 ц/га.

Необхідно розподілити посівний матеріал за земельними ділянками так, щоб отримати максимальний урожай (валовий збір) озимої пшениці.

Задача 2.6.

Розв’язати графічним методом задачу лінійного програмування

.

Задача 2.7.

Фірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема вона випускає два види збірних книжкових полиць — А та В. Полиці обох видів виготовляють на верстатах 1 та 2. Тривалість обробки деталей однієї полиці кожної моделі подано в табл. (2.4).

Таблиця 2.4

ТРИВАЛІСТЬ ВИГОТОВЛЕННЯ КНИЖКОВИХ ПОЛИЦЬ

Верстат

Тривалість обробки полиці моделі, хв.

Ресурс робочого часу верстатів, год. на тиждень

А

В

1

30

15

40

2

12

26

36

Задача 2.13.

(Метод штучного базису). 

Продукція фабрики випускається у вигляді паперових рулонів стандартної ширини — 2 м. За спеціальним замовленням споживачів фабрика постачає також рулони інших розмірів, розрізуючи стандартні.

Замовлення

Потрібна ширина рулона, м

Кількість замовлених рулонів

1

0,8

150

2

1,0

200

3

1,2

300

Типові замовлення на рулони нестандартних розмірів наведено в табл. 2.9.

Необхідно визначити оптимальний варіант розкрою стандартних рулонів, за якого спеціальні замовлення, що надходять, задовольняють повністю з мінімальними відходами паперу.

Розв’язання. Аби виконати спеціальні замовлення, які надійшли, розглянемо п’ять можливих варіантів розрізування стандартних рулонів, що можуть використовуватися в різних комбінаціях. Варіанти розкрою наведено в табл. 2.10.

Задача 2.8.

Симплексний метод розв’язування

задач лінійного програмування

Продукція чотирьох видів А, В, С і D проходить послідовну обробку на двох верстатах. Тривалість обробки одиниці продукції кожного виду наведена в табл. 2.8.Таблиця 2.8

Верстат

Тривалість обробки

одиниці продукції

А

В

С

D

1

2

3

4

2

2

3

2

1

2

Витрати на виробництво одиниці продукції кожного виду визначають як величини, прямо пропорційні до часу використання верстатів (у машино-годинах). Вартість однієї машино-години становить 10 грн для верстата 1 і 15 грн — для верстата 2. Тривалість використання верстатів обмежена: для верстата 1 вона становить 450 машино-годин, а для верстата 2 — 380 машино-годин.

Ціна одиниці продукції видів А, В, С і D дорівнює відповідно 73, 70, 55 та 45 грн.

Визначити оптимальний план виробництва продукції всіх чотирьох видів, який максимізує загальний прибуток.

ТЕОРІЯ  ДВОЇСТОСТІ ТА ДВОЇСТІ ОЦІНКИ

У ЛІНІЙНОМУ ПРОГРАМУВАННІ (3)

Задача 3.1 До даної задачі лінійного програмування записати двоїсту.

max F = –5x1 + 2x2;

Задача 3.2 До заданої задачі лінійного програмування записати двоїсту.

Задача 3.3 До заданої задачі лінійного програмування записати двоїсту задачу. Розв’язати одну з них симплекс-методом та визначити оптимальний план другої задачі, використовуючи співвідношення першої теореми двоїстості.

max Z = – 5x1 + 2x2;

Задача 3.4 До заданої задачі лінійного програмування записати двоїсту задачу. Розв’язавши двоїсту задачу графічно, визначити оптимальний план прямої задачі.

min Z = x1 + 2x2 + 2x3;

Задача 3.5 Визначити, чи є оптимальними такі плани сформульованої задачі лінійного програмування:

min Z = 12x1 – 4x2 + 2x3;

АНАЛІЗ ЛІНІЙНИХ МОДЕЛЕЙ ЕКОНОМІЧНИХ ЗАДАЧ

Задача 4.1 Деяке підприємство виробляє чотири види продукції А, В, С, і D, використовуючи для цього три види ресурсів 1, 2 і 3. Норми витрат ресурсів на виробництво одиниці кожного виду продукції (в умовних одиницях) наведено в табл. 4.1.

Таблиця 4.1

Норми витрат ресурсів на виробництво продукції, ум. од.

Ресурс

Норма витрат ресурсу на одиницю продукції виду

Запас ресурсу

А

В

С

D

1

2

5

2

4

250

2

1

6

2

4

280

3

3

2

1

1

80

Відомі також ціни реалізації одиниці продукції кожного виду: для продукції А — 2 ум. од., для продукції В і D — по 4 ум. од., для продукції С — 3 ум. од.

Задача 4.2 Фірма виготовляє продукцію трьох видів: А, В і С. Потрібний певний час для обробки одиниці кожного виду продукції на різному обладнанні (табл. 4.2).

Таблиця 4.2

Тривалість обробки продукції, год

Тип обладнання

Тривалість обробки одиниці продукції виду

Тривалість роботи обладнання на місяць

А

В

С

І

1

2

4

360

ІІ

2

4

2

520

ІІІ

1

1

2

220

 

Ціна одиниці продукції видів А, В і С дорівнює 90 дол., 110 дол. та 150 дол. відповідно. Визначити, яку продукцію і в якому обсязі слід виготовляти, щоб фірма отримувала найбільший дохід.

Транспортна задача

Компанія контролює три фабрики А1, А2, А3, здатні виготовляти відповідно 150, 60 та 80 тис. од. продукції щотижня. Вона уклала договір із чотирма замовниками В1, В2, В3, В4, яким потрібно щотижня доставляти відповідно 110, 40, 60 та 80 тис. од. продукції. Вартість транспортування 1000 од. продукції замовникам з кожної фабрики наведена в табл. 5.10.

Фабрика

Вартість транспортування
1000 од. продукції замовнику

В1

В2

В3

В4

А1

4

4

2

5

А2

5

3

1

2

А3

2

1

4

2

 

Визначити оптимальний план перевезень продукції від кожної фабрики до замовників, що мінімізує загальну вартість транспорт­них послуг.

У наведених далі задачах(Sensetive-аналіз):

а) побудуйте економіко-математичні моделі початкової й двоїстої задач;

б) приведіть задачі до канонічного виду й дайте економічне тлумачення основних й допоміжних змінних двох задач;

в) з наведеної останньої симплексної таблиці початкової задачі запишіть оптимальні

5.1. Підприємство виготовляє три види продукції А, В і С, використовуючи для цього три види ресурсів I, II, III. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в табл.1

Таблиця 1

І

II

III

18

6

5

15

4

3

12

8

3

360

192

180

 

Відома ціна одиниці продукції кожного виду: А - 9 ум.од., В -10 ум. од. і С - 16 ум.од. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший доход.

Остання симплекс-таблиця даної задачі має такий вигляд

.2 Підприємство виготовляє продукцію видів A, B, C для чого використовує три види ресурсів І, ІІ, ІІІ. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю кожної продукції та обсяги ресурсів на підприємстві наведено в табл.. 1

Таблиця 1

Вид ресурсу

Норма витрат на одиницю продукції за видами

Запас ресурсу

А

В

С

І

II

III

4

3

1

 

2

1

2

 

1

3

5

 

180

210

244

 

 

Відома ціна одиниці продукції кожного виду: А - 10 ум.од., В -14 ум.од. і С - 12 ум.од. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший доход. Остання симплекс-таблиця, що містить оптимальний план задачі, має такий вигляд (табл.2)

Метод розв'язування задачі дрібно лінійного програмування у загальному вигляді.

Економічна і математична постановка задачі

Розв'язуючи економічні задачі, часто за критерій оптимальності беруть показники рентабельності, продуктивності праці тощо, які математично подаються дробово-лінійними функціями. Загальну економіко-математичну модель у цьому разі записують так:

Задачі нелінійного програмування.

Задача№1

Знайти мінімальне і максимальне значення функції:

за умов:

.

Задача №3

Акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю виділило 1200 га ріллі під основні сільськогосподарські культури — озиму пшеницю і цукрові буряки.

У табл. 8.1 маємо техніко-економічні показники вирощування цих культур:

Таблиця 8.1

Показник

Озима пшениця х1, сотні га

Цукрові буряки х2, сотні га

Урожайність, т/га

4

35

Ціна, грн/т

800

300

Собівартість, грн/т

 

Необхідно знайти оптимальні площі посіву озимої пшениці та цукрових буряків

Задача№2

Знайти мінімальне значення функції:

за умов:

.

12. Розв’язати графічним методом наступну задачу дробово-лінійного програмування:

за умов

Задача№4

Визначити вид квадратичної форми:

Матриця С має вигляд:

.

Задача№5

Підприємство виробляє два види продукції (А і В) і використовує на виробництво три види ресурсів: І, ІІ, ІІІ. Витрати ресурсів на виробництво одиниці кожного виду продукції подано в табл. 8.2.

Таблиця 8.2

Вид ресурсу

Вид продукції

Загальний обсяг
ресурсу

А

В

І

1

3

30

ІІ

1

1

15

ІІІ

5

2

60

 

Ціна реалізації одиниці продукції виду А становить 20 ум. од., проте прибуток залежить від витрат на виробництво, які пропорційні квадрату кількості виготовленої продукції. Аналогічно визначається прибуток для продукції виду В, ціна реалізації якої дорівнює 18 ум. од.