4.5. Фінансово-інвестиційні ризики в умовах невизначеності
4.1. Зміна вартості грошей у часі
4.1.1. Фактор часу у фінансових розрахунках
Суб’єкти господарської діяльності постійно постають перед необхідністю заощадження та кредитування. Фінансовий ринок пропонує безліч способів задоволення потреби у грошах. Найголовнішими питаннями залишаються вартість отриманих в борг коштів та скільки необхідно інвестувати сьогодні, щоб в майбутньому покрити всі витрати. Для вирішення таких проблем спробуємо розуміти математику вартості грошей у часі (the time value of money, TVM).
В різні періоди часу конкретна сума має різну вартість. На це впливає ряд факторів: знеціненням готівки з плином часу в силу фактора інфляції, невизначеністю майбутнього стану справ на ринку, але основним є можливість інвестувати кошти в інструменти фінансового ринку і заробити на цьому. Таким чином, менша сума грошей сьогодні може бути еквівалентною до значно більшої, але отриманої в майбутньому. І навпаки, пропоновані кошти через рік будуть мати меншу вартість станом на сьогодні. Отримуємо висновок: вартість грошей у часі в процесі інвестування «займається» оцінкою взаємозв’язку між грошовими потоками, які виникли в різні проміжки часу.
Для кращого розуміння концепції вартості грошей у часі варто використовувати часову лінію. Грошовий потік, що виник в теперішньому (сьогодні), позначено «0» і зі знаком «-», оскільки це витрати інвестора. Всі інші грошові потоки мають позитивний знак і є надходженнями інвестора. Наприклад, ми поклали на депозитний рахунок 1000 грош. од. під 20% річних на 5 років. Протягом всього інвестиційного горизонту будемо отримувати відсоткові платежі в кінці кожного періоду (року). Зобразимо грошовий потік на часовій лінії (рис.4.1).
0
1
2
3
4
5
- 1000
+200
+200
+200
+200
+200
Витрати
(cash outflows or payments)
Надходження
(cash inflows or receipts)
Рис. 4.1. Часова лінія
! Зверніть увагу, що дані грошові потоки позначені як такі, що виникли на кінець періоду. При цьому, кінець одного періоду є теж саме, що і початок наступного. Наприклад, якби грошовий потік у розмірі 200 одиниць виник на початку 3-го періоду, на часовій лінії все одно позначено як «2».
Для розгляду формул, що використовуються в подальших розрахунках, необхідно ввести ряд умовних позначень:
I – дохід (відсотковий дохід, відсотки) за весь період позики (interest);
r – відсоткова ставка за період (interest rate per compounding period)
PV – теперішня вартість або дисконтована сума (present value);
FV –майбутнявартість або нарощена сума(future value)
N – кількість періодів
А –ануїтет (annuity)
4.1.2. Відсоткова ставка: її суть, визначення, види та складові
Під процентними грошима або відсотками (interest) у фінансових розрахунках розуміють абсолютну величину доходу від надання грошей у борг у будь-якій його формі: видача позики, продаж в кредит, здача в оренду, депозитний рахунок, облік векселі, купівля облігацій та ін.
3
Абсолютні показники, як правило, не підходять для порівняння та оцінки зважаючи на їх непорівнянності в просторі і в часі. Тому у фінансових комерційних розрахунках широко користуються відносними показниками.
Під відсотковою ставкою (r) розуміється відносний показник, що характеризує інтенсивність нарахування відсотків за одиницю часу. Методика розрахунку визначається відношенням суми процентних грошей, виплачуваних за певний період часу, до величини позики.
Цей показник виражається або в частках одиниці, або у відсотках. Таким чином, процентна ставка показує, скільки грошових одиниць повинен заплатити позичальник за користування протягом певного періоду часу 100 одиницями початкової суми боргу.
Нарахування відсотків, як правило, проводиться дискретно, тобто за фіксованими однаковими інтервалами часу, які носять назву «період нарахування», – це відрізок часу між двома наступними один за одним процедурами стягування відсотків.
Звичайні або декурсивні (postnumerando) відсотки нараховуються в кінці періоду. В якості одиниці періоду часу у фінансових розрахунках прийнятий рік, однак це не виключає використання періоду терміном менше року.
Період часу від початку фінансової операції до її закінченні називається терміном фінансової операції.
ПРИКЛАД 1. Визначити дохід від інвестування (І) за простою ставкою відсотків (r) – 16% річних, при якій первісний капітал (PV) у розмірі 25000 у. о. досягне 27000 у. о. (FV) через півроку (n).
Рішення:
I = 27 000 – 25 000 = 2 000 у.о.
І = 25 000 ×0,5×0,16 = 2 000 у.о.
І = 25 000×0,5×16/100 = 2 000 у.о.
Завдання. Визначити ставку відсотків, при якій первісний капітал (PV) у розмірі 25000 у. о. досягне 27000 у. о. (FV) через півроку (n).
Рішення:
Табл. 4.1. Види відсоткових ставок
Відносно моменту виплати або нарахування
доходу
Звичайна (декурсивна) – нараховується наприкінці періоду відносно вихідної
величини
Авансова (антисипативна) – перераховується на початку періоду відносної кінцевої суми грошей
В залежності від умов проведення фінансових
операцій
Проста відсоткова ставка застосовується до однієї і тієї ж первісної суми боргу протягом усього терміну позики
Складна відсоткова ставка застосовується до нарощеної суми боргу, тобто до суми, збільшеної на величину нарахованих за попередній період відсотків
За фіксацією відсоткової ставки
Фіксована відсоткова ставка – ставка, що зафіксована у вигляді певного числа у фінансових контрактах
Плаваюча відсоткова ставка – ставка, що прив’язана до певної величини, яка
змінюється у часі
За величиною відсоткової ставка
Постійна відсоткова ставка – ставка, що є незмінною протягом усього періоду позики
Змінна відсоткова ставка – ставка, яка дискретно змінюється в часі, але має конкретну числову характеристику
Існує два принципи розрахунку відсотків - нарощення на суму боргу і знижка з кінцевої суми заборгованості. Відповідно їм застосовують ставку нарощення (interest rate) і ставку дисконтування (discount rate). Обидва види ставок застосовуються для вирішення подібних завдань.
Після нарахування відсотків можливе два шляхи:
1) або їх відразу виплачувати, у міру їх нарахування,
2) або віддати потім, разом з основною сумою боргу.
Приведена сума
Вихідна сума++ % cтавка
Сума, що
повертається
Сума, що очікується до надход-ження – % ставка
Нарощення (компаундинг)
дисконтування
t
t
Рис. 4.2. Логіка фінансових операцій
ТЕПЕРІШНЄ
МАЙБУТНЄ
Збільшення суми боргу у зв'язку з приєднанням до неї процентних грошей називається нарощенням, а збільшена сума – нарощеної сумою. Звідси можна виділити ще один відносний показник, який називається коефіцієнт нарощення або множник нарощення, – це відношення нарощеної суми до первісної суми боргу. Процес, в якому задані очікувана в майбутньому до отримання (або та, що повертається) сума і коефіцієнт дисконтування, називається дисконтуванням.
Для нотаток__________________________________________________________________________________________________
Період нарахування по складним відсоткам не завжди дорівнює року, однак в умовах фінансової операції вказується не ставка за період, а річна ставка із зазначенням періоду нарахування – номінальна ставка.
Номінальна ставка (stated or nominal annual interest rate) – річна ставка відсотків, виходячи з якої визначається величина ставки відсотків у кожному періоді нарахування, при нарахуванні складних відсотків кілька разів на рік. Наприклад, банківський депозит приносить 24% річних з щомісячним нарахуванням, а не 2% в місяць. Ця ставка дозволяє розраховувати ефективність фінансової операції у кожному окремому періоді нарахування при нарахуванні відсотків кілька разів на рік, але не вимірює річного доходу всіх цих операцій з урахуванням внутрішньорічної капіталізації.
Ця ставка:
по-перше, не відображає реальної ефективності угоди;
по-друге, не може бути використана для зіставлень.
Поряд з номінальною ставкою існує ефективна ставка що вимірює той реальний відносний дохід, який отримано в цілому за рік(effective annual rate, EAR). Вона вимірює той реальний відносний дохід, який отримано в цілому за рік, з урахуванням внутрішньорічної капіталізації.
Ефективну ставку розраховують наступним чином:
EAR = (1 + ставка за період)n – 1
де: ставка за період – номінальна відсоткова ставка/кількість періодів (r/m)
n – кількість періодів нарахування за рік
З формули випливає, що ефективна ставка залежить від кількості внутрішньорічних нарахувань. Якщо повернутися до прикладу з банківським депозитом, то EAR = (1 + 0,24/12)12 - 1 = 0,268 або 26,8%. Тобто, за щомісячного нарощення інвестор отримає 26,8% доходу, а не 24% за номінальної відсоткової ставки.
ЗАПАМ'ЯТОВУЄМО Ефективна відсоткова ставка для певної фіксованої ставки з щомісячним нарощенням є не одне і теж саме, що EAR з щоквартальним чи нарощенням раз на півроку. EAR і номінальна відсоткова ставка є однаковими тільки у випадку щорічного нарахування відсотків (щорічного нарощування). Важливо, що чим більше періодів нарощування, тим більшою
є ефективна відсоткова ставка.
ПРИКЛАД 2. Оскільки частота нарощення є важливим фактором, порахуємо ефективну відсоткову ставку для номінальної ставки у 12% за різної частоти нарахування відсотків.
Все менші і менші періоди нарахування називається безперервним нарахування. Для перетворення номінальної відсоткової ставки в ефективну з безперервним нарахуванням, ми використовуємо наступну формулу:
er – 1 = EAR
безперервне нарахування = e0,12 – 1 = 12,749%
Значення ефективної ставки дозволяє порівнювати між собою фінансові операції, що мають різні умови: чим вище ефективна ставка фінансової операції, тим вигідніше операція для кредитора (інвестора).
Завдання. Розрахуйте ефективну відсоткову ставку (EAR), якщо щоквартальне нарощення і номінальна відсоткова ставка складає 20%.
Рішення:
Завдання. Анна планує інвестувати 1500 грош. од. в цінний папір, що приносить 7% річних з щомісячним нарахуванням. Скільки отримає Анна в кінці другого року?
Рішення:
Для нотаток__________________________________________________________________________________________________
4.1.4. Майбутня вартість грошей для одиничного платежу
Майбутня вартість (future value, або FV) – це сума, до якої виростуть вкладені сьогодні інвестовані кошти за відповідної відсоткової ставки. Оскільки рух грошових потоків іде від сьогодення до майбутнього, майбутню вартість ще називають нарощеною. Інвестувати можна за схемою простих або складних відсотків(compound interest).
Схема простих відсотків (simple interest) ______________________________________________________
Припускає незмінність бази, з якої відбувається нарахування. Якщо вихідний капітал, що інвестується, дорівнює теперішній вартості (present value, PV), а необхідна прибутковість в частках одиниці становить r, то вважається, що інвестиція здійснена на умовах простого відсотка, якщо інвестований капітал щорічно збільшується на величину PV × r.
Таким чином, через n років розмір інвестованого капіталу буде дорівнювати:
FV = PV + PV × r + … + PV × r = PV + PV × nr = PV × (1 + nr)
З наведеної формули випливає, що відсотки нараховуються на одну і ту ж величину капіталу протягом усього терміну.
Висновок: за схемою простих відсотків кількість періодів нарахування (частота нарахування) ніяк
не впливає на сумарну величину процентних грошей або кінцевий дохід інвестора.
Цей вираз називається формулою нарощення за простими відсотками, а множник (1 + n × r) – множником нарощення чи коефіцієнтом нарощення за простими відсотками (kn),його значення завжди повинне бути > 1:
Коефіцієнт нарощення показує, у скільки разів нарощена сума більше початкової суми боргу, тобто по суті є базисним темпом зростання. Формула нарощення показує, що приріст капіталу, що становить величину PV × n × r, прямо пропорційний терміну позики (n) і ставці відсотка (r) і зростає лінійно разом із зростанням терміну позики.
Величину PV × n × r зазвичай називають процентним платежем.
Необхідно звернути увагу на розмірність величин, що визначають розмір процентного платежу. Розмірності терміну і процентної ставки завжди повинні бути узгоджені.
ПРИКЛАД 3.Анна інвестувала в цінні папери 3000у.о. під 14% річних з капіталізації доходу. Є три варіанта тривалості інвестицій 1) один рік (нарахування % раз на півроку); 2) 5 місяців (щомісячне нарахування %), 3) 25 днів (щоденне нарахування %).
1) За щорічного нарахування відсотків та терміном інвестування 1 рік майбутня вартість буде дорівнювати:
FV = PV(1 + nr) = 3000×(1 +2×0,14/2) = 3420 у.о.
2) За щомісячного нарахування відсотків та терміном інвестування в 5 місяців майбутня вартість буде дорівнювати:
h – термін інвестування в днях, K – кількість днів у році (може бути 365, 366 або 360).
Немає необхідності у заучуванні формул. Вам потрібно знайти частку, яку складає термін інвестування від усього періоду. Якщо в місяцях – базою буде 12 місяців, якщо в днях – кількість днів у році. Отриманий результат множите на відсоткову ставку і дізнаєтеся, яку частину від можливого річного доходу отримаєте за інвестований вами термін.
Завдання. Банк видав своєму клієнтові позичку в розмірі 20,0 тис. у. о. терміном на півроку по ставці простих відсотків, рівної 18% річних. Визначити суму накопиченого боргу (нарощену суму) і відсотки (або відсотковий дохід).
Рішення:
Для нотаток__________________________________________________________________________________________________
Залежно від того, чому приймається рівною тривалість періоду угоди (рік, квартал, місяць), розмір проміжної процентної ставки може бути різним.
При визначенні тривалості фінансової операції день видачі та день погашення позики прийнято вважати одним днем.
Точну кількість днів за допомогою спеціальних таблиць можна визначити за формулою:
h = hп – hв
де hn – дата погашення позики
hв – дата видачі позики
Число днів у році К = 365, або 366 для високосного року (див. додатки табл. 1).
Увага!!! Спеціальною таблицею можна скористатися для визначення точної кількості днів тільки у випадку проведення розрахунків за англійською та французькою практикою.
Німецька
практика
Француська
практика
Англійська
практика
Зачасовою базою(К)
За кількістюднів позики (h)
Звичайний процент з часовоюбазою, що приймається за 360 днів
Рис. 4.3. Варіанти розрахунку відсотків за часовою базою і
кількістю днів позики
Приблизна кількість днів позики з тривалістю кожного цілого місяця в 30 днів
Точні проценти
Звичайніпроценти
Звичайні проценти
Наближена кількість днів позики
Точнийпроцент з часовою базою, що складає дійсну кількість днів в році
Точна кількість днів позики з розрахунком фактичної кількості днів між датами
Точна кількість днів позики
Точна кількість днів позики
Рис. 4.4. Види практик розрахунку відсотків
за часовою базою і кількістю днів позики
Ставка відсотків не є застиглою на вічні часи величиною, тому у фінансових операціях, в силу тих чи інших причин, передбачаються процентні ставки, що дискретно змінюються в часі. Наприклад, наявність інфляції змушує власника грошей періодично варіювати процентною ставкою. У таких випадках нарощену суму визначають, використовуючи наступну формулу:
FV = PV × (1 + n1× r1+ n2× r2+ … + nk × rk)
де k – кількість періодів нарахування
nk – тривалість нарахування ставки k-го періоду
ik – ставка процентів в k-му періоді.
Завдання. Банк пропонує клієнту-позичальнику наступні умови надання кредиту на один рік: перше півріччя – 10% річних, кожний наступний квартал ставка зростатиме на 2 відсоткових пункти. Відсотки нараховуються тільки на первісну суму наданого кредиту. Визначити нарощену суму боргу, якщо банк надав кредит на суму 50 тис. у. о.
Рішення:
Завдання. Фірмі виділений банківський кредит на термін з 3 січня по 12 березня під прості відсотки, із процентною ставкою 20% річних, рік невисокосний. Сума кредиту – 20 тис. у. о. Визначити за трьома практиками нарощену суму.
Рішення:
Довідково:
1. Англійська практика (точні відсотки з точною кількістю днів позики). Цей варіант дає найточніші відсотки. (Англія, США, Україна). h – точна кількість днів; К = 365 або 366 днів.
2. Французька практика (звичайні відсотки з точною кількістю днів позики) (банківський метод) h – точна кількість днів; К = 360 днів(Франція, Бельгія, Швейцарія).
3. Німецька практика (звичайні відсотки з наближеною кількістю днів позики). Місяць прирівнюється до 30 днів, К = 360 днів (Німеччина, Швеція, Данія).
Довідково:
1. Англійська практика (точні відсотки з точною кількістю днів позики). Цей варіант дає найточніші відсотки. (Англія, США, Україна). h – точна кількість днів; К = 365 або 366 днів.
2. Французька практика (звичайні відсотки з точною кількістю днів позики) (банківський метод) h – точна кількість днів; К = 360 днів(Франція, Бельгія, Швейцарія).
3. Німецька практика (звичайні відсотки з наближеною кількістю днів позики). Місяць прирівнюється до 30 днів, К = 360 днів (Німеччина, Швеція, Данія).
Схема складних відсотків (compound interest)________________________________________
Якщо інвестиція здійснена на умовах складного відсотка, то черговий річний дохід обчислюється не з вихідної величини інвестованого капіталу, а вже з нарощеної суми, яка включає також раніше нараховані.
За нарахування складних відсотків, майбутня вартість інвестованих коштів розраховується за формулою (формулою складних відсотків):
FV = PV × (1 + r)n
де(1 + r)n або kn – коефіцієнт (множник) нарощення складних відсотків
PV – сума коштів, інвестованих сьогодні (теперішня вартість)
r – відсоткова ставка за період нарахування
n - загальна кількість періодів нарахування
Процес нарощення (знаходження FV) зображений на рисунку 4.5.
кожного періоду (FV) 105,00 110,25 115,76 121,55 127,63
Рис. 4.5. Процес нарощення
ПРИКЛАД 4.Банк пропонує наступні умови депозитного договору: 1) для вкладу розміром в 5000 у.о. з терміном 3 роки – 6% річних (з щомісячним нарахуванням відсотків); 2) для вкладу розміром в 20000 у.о. з терміном 5 років - 8% річних (з щоквартальним нарахуванням відсотків). Порахуйте нарощену суму, яку отримають клієнти за закінченню терміну вкладу.
Для вирішення завдання використаємо формулу розрахунку майбутньої вартості:
Зверніть увагу, що при розрахунку береться відсоткова ставка за
період, а загальна кількість періодів нарахування - за весь термін вкладу. Відсоткова ставка обов’язково повинна бути прорахованою відповідно до частоти нарахування відсотків. Таким чином, якщо відсотки нараховуються чотири рази на рік, то і відсоткова ставка повинна бути порахована за квартал. Запам’ятайте, кількість років інвестування не впливає на розмір відсоткової ставки, тільки частота нарахування відсотків за рік.
Завдання.Первісна вкладена сума дорівнює 200 тис. у. о. Визначити нарощену суму через п'ять років при використанні складної ставки відсотків у розмірі 12% річних за нарахування відсотків кожні півроку.
Рішення:
Завдання.Необхідно розрахувати нарощену суму (дохід) від інвестиції, якщо сума в 120 у.о. дана в борг на 3 роки під 11% річних з нарахуванням відсотків щокварталу.
Рішення:
Порівняння нарощення за складними і простими відсотками
При рівній величині простих і складних відсоткових ставок (rп = rс) при терміні інвестування (кредитування) до одного року ( n<1) нарощена сума, нарахована за простими відсотками, буде більше нарощеної суми, обчисленої за складними відсотками, тобто (1+nr) >(1+r)n. Якщо термін інвестування менше року, більш вигідна схема простих відсотків.
Якщо термін угоди більше року (n>1), нарощення за складними відсотками випереджає нарощення за простими відсотками (1+n), тобто (1+nr) < (1+r)n. Якщо термін інвестування більше року, більш вигідна складних простих відсотків.
Для нотаток__________________________________________________________________________________________________
Нарахування складних відсотків при дробовому числі років
Досить часто фінансові контракти укладаються на період, що відрізняється від цілого числа років.
У випадку, коли термін фінансової операції виражений дробовим числом років, нарахування відсотків
можливе з використанням двох методів:
загальний метод полягає в прямому розрахунку за формулою складних відсотків:
де n = a + b – період угоди;
а – ціле число років;
b – дробова частина року (b = b/360, або 365, 366).
змішаний (комбінований) методрозрахунку передбачає для цілого числа років періоду нарахування використовувати формулу складних відсотків, а для дробової частини року - формулу простих відсотків:
де n = a + b
Оскільки нарощення дробової частини року в змішаному методі йде за схемою простих відсотків, по якій нарощена сума буде більшою, ніж за схемою складних відсотків, то при дробовому числі років змішаний метод розрахунку складних відсотків дає більший результат, ніж загальний метод розрахунку.
Завдання.
Компанією отримано кредит в банку у розмірі 250 тис. у. о. із терміном погашення через 2 роки і 9 місяців (2 роки і 270 днів), під 9,5% річних. При розрахунках тривалість року приймається за 360 днів. Визначити суму боргу при використанні:
а) схема складних відсотків
Рішення:
б) схема комбінованого методу
Рішення:
Найчастіше банки, надаючи довгострокові кредити, використовують ставки складних відсотків, що змінюються в часі, але заздалегідь фіксовані для кожного періоду. У цьому випадку нарощена сума визначається формулою:
де r1, r2 ,…r12 – послідовні значення ставок відсотків;
n1, n2 ,…nk – періоди, протягом яких використовуються відповідні ставки.
Завдання.Будівельна компанія отримала кредит в банку на суму 200 тис. у. о. терміном на 5 років. Умови кредиту: відсоткова ставка для 1-го року визначена у розмірі – 10%, для 2-го року передбачено надбавку до відсоткової ставки у розмірі 2%, для 3-го року та наступних років – у розмірі 0,5%. Визначити суму боргу, що підлягає погашенню наприкінці терміну позики.
Рішення:
Для нотаток__________________________________________________________________________________________________
Теперішня вартість (PV) (Present Value) – це вартість станом на сьогодні грошового потоку, який буде отримано в певний час в майбутньому. Іншими словами, це сума, яку необхідно інвестувати сьогодні для того, щоб через визначений період часу одержати заздалегідь бажану суму.
Визначення теперішньої вартості пов'язано з процесом дисконтування (discounting) цієї вартості.
Ця операція є зворотною відносно операції нарощення при зумовленому кінцевому розмірі коштів. Відсоткова ставка, яка використовується в процесі дисконтування, називається ставкою дисконтування (discounted rate), але може мати і інші назви: необхідна норма дохідності (required rate of return), вартість капіталу (cost of capital) або opportunity cost.
Дисконтування за простими та складними відсотками
а) за простою відсотковою ставкою:
б) за складною відсотковою ставкою:
де і – дисконтні множникиза простою та складною відсотковою ставкою, які показують, у скільки разів первісна сума менше нарощеної. Їх значення табульовані. Значення дисконтних множників повинне бути < 1.
Процес дисконтування за складними відсотками схематично можна показати наступним чином (рис. 4.6):
кожного періоду (FV) 105,00 110,25 115,76 121,55 127,63
:1,05
:1,05
:1,05
:1,05
:1,05
Рис. 4.6. Процес дисконтування
Дисконтом називається дохід, що отриманий за обліковою відсотковою ставкою, тобто це різниця між розміром кредиту і безпосередньо сумою, що видається:
D = FV – PV; D = I
Очевидно, що чим вище значення ставки дисконтування, тим більше дисконт. Дисконтування за простою ставкою дисконтування найчастіше проводиться за французькою практикою нарахування відсотків, тобто коли тимчасова база приймається за 360 днів, а число днів в періоді береться точним.
Завдання.Якою буде теперішня вартість 2000 у. о.: а) через 1 рік, 10% річних і проста відсоткова ставка; б) через 3 роки, 5% річних і складна відсоткова ставка? Визначити дисконт за простою та складною відсотковою ставкою.
Рішення:
а) за простою відсотковою ставкою:
б) за складною відсотковою ставкою:
Завдання. Потрібно розрахувати теперішню вартість 100 тис. у.о., які знадобляться через 5 років при ставці дисконтування 12% та з щомісячним нарахуванням відсотків.
Рішення:
Для нотаток__________________________________________________________________________________________________
Існує кілька правил, що дозволяють швидко розрахувати термін подвоєння первісної суми для конкретної відсоткової ставки (тільки за складними відсотками!)
Правило «72». Для визначення терміну, за котрий відбудеться подвоєння капіталу, необхідно число 72 поділити на відому ставку:
n = 72/r(%)
де n – період подвоєння;
r – ставка.
Правило «69» (більш точніше). Термін, за котрий відбудеться подвоєння капіталу, розраховується наступною формулою:
n = 69/r(%) + 0,35
Дані правила дають дуже точний результат при значеннях r = 100%, а вище – вже погрішності.
Завдання.Маючи сьогодні ??? тис. у.о., можна покласти їх в банк під 15% річних і отримати через 5 років 50 тис. у.о.
Рішення:
Завдання.Компанія одержала кредит на один рік в розмірі 9 тис. грн. з умовою повернення 15 тис. у.о. Розрахуйте відсоткову ставки.
Рішення:
Знаходження теперішньої та майбутньої вартості використовується в більшості фінансових операцій, особливо в процесі інвестування, оскільки інвестор має справу з великою кількість пропозицій на ринку, які відрізняються за термінами та умовами виплати відсотків, тому потребують приведення до однієї бази. Розглянемо наступний приклад.
ПРИКЛАД 5. Студенту знайомий пропонує дати позику. Варіант №1 - отримати 1000 грн. сьогодні, варіант №2 - отримати 1120 грн. через рік, варіант №3 – отримати 200 грн. сьогодні, 650 грн. через рік і 300 грн. через два роки. Із трьох запропонованих варіантів потрібно визначити найвигідніший. Відомо, що відсоткова ставка складає 15% (уявимо, що це ставка по державним короткостроковим казначейським зобов’язанням США, U.S Treasury bills)
Період
Пропоновані кошти
Варіант № 1
Варіант № 2
Варіант №3
Теперішня вартість (PV)
1 000
1,100/1.15 = 973.91
200 + 650/1.15 + 300/1.152 = 992.06
Рік 0 (сьогодні)
1 000
200
Через 1 рік
1 120
650
Через 2 роки
300
Майбутня вартість (FV)
1 000*(1+0,15)2 = 1 322.5
1 120*(1+0,15)1 = 1 288
200*(1 +0,15)2 + 650*(1+0,15) + 300 = 1 316.7
Таким чином, незалежно від вибраного процесу (нарощення чи дисконтування) найкращим варіантом є №1, оскільки має найбільші PV та FV. Зверніть увагу, що використовувалася одна і та ж відсоткова ставка, оскільки процеси компаундингу та дисконтування взаємно оберненими.
4.1.6. Розрахунок майбутньої та поточної вартості грошей з урахуванням ануїтету
Більшість фінансових операцій складається не з разових платежів, а з послідовності грошових надходжень (притоків, «додатних» платежів) або виплат (відтоків, «від’ємних» платежів) протягом визначеного періоду. Це може бути серія витрат або доходів компанії. Така послідовність називається потоком платежів або грошовим потоком. Окремі елементи такого ряду платежів іменуються членами потоку.
Члени потоку можуть бути як позитивними величинами (надходження), так і негативними величинами (виплатами), а тимчасові інтервали між членами такого потоку можуть бути рівними і нерівними.
Для нотаток__________________________________________________________________________________________________
Потік платежів, всі члени якого мають однаковий напрямок (знак), а часові інтервали між послідовними платежами постійні, називається ануїтетом. В науковій літературі можна зустріти поняття фінансова рента, однак воно не таке розповсюджене як ануїтет.
Прикладом ануїтету є: щорічні або щоквартальні виплати суми відсотків за облігаціями, щомісячні погашення кредиту, рівномірна сплата за орендоване майно, нарахування амортизації прямолінійним методом тощо.
При розгляді ануїтету використовуються наступні основні категорії:
Член ануїтету (CF) – величина кожного окремого платежу
Період ануїтету (k) – часовий інтервал між членами ануїтету
Термін ануїтету (n) – час від початку фінансової ренти до кінця останнього її періоду
Процентна ставка (r) – ставка, що використовується при нарощенні платежів, з яких
Відомі наступні методи визначення ануїтетів:
звичайні ануїтети (постнумерандо) (Ordinary Annuity) – грошові потоки, що виникають наприкінці кожного періоду нарахування (рік, півроку тощо). Цей метод визначення ануїтетів – найбільш розповсюджений;
строкові (авансові або пренумерандо) ануїтети (Annuity Due) – платежі здійснюються на початку періоду;
безстрокові ануїтети (ренти, консолі), виплата за якими відбувається постійно.
Майбутня (нарощена) величина ануїтету_____________________________________
Нарощена сума ренти (FVA) – це сума всіх ануїтетних платежів з нарахованими на них відсотками на кінець терміну
Рис. 4.7. Механізм нарощення ануїтету
Нарощена сума ренти являє собою геометричну прогресію з першим членом (CF) і множником прогресії рівним коефіцієнту нарощення ренти Kr,n. (рис. 4.7).
Нарощена сума показує, яку величину буде представляти капітал, що внесений через рівні проміжки часу протягом всього терміну ренти разом з нарахованими відсотками.
Для обчислення майбутнього значення ануїтету (звичайного!!!) використовуються наступну формулу:
яку можна спростити до
При розрахунку майбутньої вартості ануїтету за значення CF береться величина одного платежу ,
який повторюється протягом всього періоду інвестування, а не сума всіх членів ануїтету.
– дану величину називають коефіцієнтом нарощення ануїтету або коефіцієнтом акумуляції внесків. Позначимо коефіцієнт нарощення Kr,n, де підрядковані символи r;n вказують на застосовувану процентну ставку і термін ренти. Значення коефіцієнта табульоване (додаток 4). Тоді маємо майбутню вартість та величину ануїтетного платежу відповідно:
Для нотаток__________________________________________________________________________________________________
Завдання.Фірма прийняла рішення про створення інвестиційного фонду. З цією метою протягом 5 років наприкінці кожного року в банк вноситься 30,0 тис. у. о. під 15% річних, з наступною їх капіталізацією, тобто з додатком до вже накопиченої суми. Визначити нарощену суму ануїтетного платежу.
Рішення:
Завдання. Підприємець має вибір щодо вкладення грошей на депозит: одночасно на три роки під 5% річних або протягом трьох років рівномірними частками, тобто по 100 у.о. Який вибір він зробить?
Рішення:
Теперішня (приведена) величина ануїтету____________________________________
Сучасна (приведена чи теперішня) величина потоку платежів – це сума всіх платежів ануїтету (CF), зменшена (дисконтована) на величину процентної ставки на визначений момент часу, що збігає з початком потоку платежів, чи передує йому (рис. 4.8).
Рис. 4.8. Механізм дисконтування ануїтету
Сучасна величина (PVA) показує, яку суму варто було б мати спочатку, щоб, розбивши її на рівні внески, на які б нараховувалися встановлені відсотки протягом терміну ренти, можна було забезпечити отримання нарощеної суми.
Для дисконтування ануїтету (звичайного!!!) використовують наступну формулу:
яку можна спростити до
При розрахунку теперішньої вартості ануїтету за значення CF береться величина одного платежу , який повторюється
протягом всього періоду інвестування, а не сума всіх членів ануїтету.
- дану величину називаються коефіцієнтами приведення ренти, їх можна позначити як K’r,n, де підрядкові символи r; n також вказують на застосовану процентну ставку і термін ренти. Значення коефіцієнта табульоване (додаток 5). Тоді маємо теперішню вартість та величину ануїтетного платежу відповідно:
Якщо платежі здійснюються досить тривалий час і їх число заздалегідь не може бути відомо (n ∞), то такий потік називається безстроковим ануїтетом або довічною рентою (англ. perpetuity).
Характерними прикладами довічних рент є платежі у пенсійному страхуванні в договорі довічної ренти; консолі –облігації деяких країн, що не мають фіксованого терміну купонних виплат.
Для нотаток__________________________________________________________________________________________________
У західній практиці до безстрокових відносять ануїтети, розраховані на 50 і більше років. Вони були дуже популярні в Західній Європі в XIX ст., в умовах золотого стандарту, коли грошові системи були стійкими. За своєю сутністю привілейовані акції є безстроковими ануїтетами.
Для даного виду фінансової ренти визначення майбутньої вартості не має сенсу.
Приведену вартість безстрокового ануїтету розраховують за формулою:
де CF – безстроковий ануїтет, тобто фіксована сума, яка регулярно виплачується неймовірно довго
Завдання.Позичальник взяв кредит на 3 роки під 15% річних. Кредит повинен бути погашений трьома рівними платежами по 20,0 тис. у. о. наприкінці кожного року. Яка сума кредиту?
Рішення:
Завдання. Річний фіксований дивіденд по привілейованої акції дорівнює 50 грош. од. Знайти вартість цієї акції (приведену вартість довічної ренти), якщо ставка дисконтування складає 15%.
Рішення:
4.1.7. Вплив інфляції за зміну вартості грошей
В інвестиційній практиці необхідно враховувати коригуючий фактор інфляції, який з часом знецінює вартість грошей.
В ході розрахунків, що пов'язані з корегуванням грошових потоків в процесі інвестування з урахуванням інфляції, прийнято використовувати два основних поняття – номінальна і реальна сума грошей.
Номінальна сума грошей – це оцінка її величини без врахування зміни купівельної спроможності грошей.
Реальна сума грошей – це оцінка величини коштів з урахуванням цих змін у зв'язку з процесом інфляції.
В усіх раніше розглянутих методах нарощення і дисконтування всі грошові суми враховувалися за номіналом, тобто не враховувався фактор інфляції. Інакше кажучи, не бралося до уваги зниження реальної купівельної спроможності грошей за період, що охоплюється розглянутими операціями.
Інфляція, як економічне явище – відображає підвищення загального рівня цін на товари і послуги.
Інфляція характеризується такими показниками як рівень(темп) інфляції та індекс інфляції.
Рівень (темп) інфляції (Т) характеризує приріст середнього рівня цін в розглянутому періоді (n)івиражається десятковим дробом.
де – приріст цін на товари споживчого кошика в звітному періоді;
Р – ціни на товари, що враховуються при оцінці інфляційного фактора (того ж кошика).
Для нотаток__________________________________________________________________________________________________
Індекс інфляції (I)показує, в скільки раз підвищилися ціни за розглянутий період:
Взаємозв'язок рівня та індексу інфляції за той самий період такий I=1+Т; Т= I – 1.
Якщо треба визначити індекс інфляції за тривалий період (наприклад, за один рік) на підставі значень рівня інфляції за більш короткі періоди (наприклад, місяці), використовують формулу:
I = (1+Т1)(1+Т2)(1+Т3)…(1+Тi) або I = (1+Тi)n ,
де i – кількість періодів
n – кількість років
Врахування інфляції при використанні простих відсотків
Нарощення за простою відсотковою ставкою буде знецінюватися зростанням цін. Формула реальної нарощеної суми за простими відсотками виглядає як:
З наведеної вище формули випливає, що реальне нарощення первісного капіталу з урахуванням купівельної спроможності грошей буде відбуватися тільки в тому випадку, якщо 1 + nr > I. Якщо 1 + nr = I, то нарощення тільки лише компенсує негативну дію інфляції.
Власники грошових коштів не можуть змиритися з їх інфляційним знеціненням й уживають різні спроби компенсації втрат, найбільш поширеним серед яких є коригування ставки відсотка, тобто збільшення її на величину інфляційної премії.
Скоригована таким чином ставка – брутто-ставка - виходить із скоригованого на інфляцію множника нарощення:
де r - прибутковість фінансової операції згідно умов договору
rбр - скоригована з поправкою на інфляцію норма прибутковості (брутто-ставка)
У західній фінансовій літературі брутто-ставку називають номінальною ставкою. Застосування цієї назви в розрахунку інфляції може заплутати, оскільки номінальна ставка широко застосовується в розрахунках.
Якщо оголошена необхідна норма прибутковості за простими відсотками, то реальну процентну ставку (нетто-ставку), тобто прибутковість фінансової операції з урахуванням інфляції при нарахуванні простих відсотків можна визначити за формулою:
де r – прибутковість фінансової операції згідно умов
договору
rреал – реальна доходність фінансової операції (нетто-
ставка)
Завдання.Нехай номінальна ставка відсотка з урахуванням інфляції складає 20%, а очікуваний темп інфляції в рік 10%. Період інвестування – 2 роки. Необхідно визначити реальну майбутню вартість обсягу інвестицій, який дорівнює 200 000 у. о. Крім того, необхідно визначити реальну майбутню вартість обсягу інвестицій, якщо у процесі реального розвитку економіки темп інфляції складе 25%.
Рішення:
15
Врахування інфляції при використанні складних відсотків
При нарахуванні відсотків за складною ставкою і нарощення відсотків, і їх знецінення внаслідок інфляції будуть індексуватися за складними відсотками:
Як видно, значення цієї формули являють собою множники нарощення, що враховують очікуваний рівень інфляції. Подивимося, як впливають ставка складних відсотків (r) і темп інфляції (Τ) на зміну множника нарощення і кінцевої суми.
З цієї формули випливають наступні висновки:
якщо рівень інфляції дорівнює ставці відсотків, що нараховуються (Τ = r), то реального зростання грошових сум не буде, тому нарощення буде повністю поглинатися інфляцією;
якщо рівень інфляції вище рівня процентної ставки (Τ > r), то відбувається «проїдання» капіталу, і реальна нарощена сума буде менше первісної грошової суми;
якщо рівень інфляції нижче процентної ставки (Τ < r), то це буде відповідати зростанню реальної грошової суми.
Нарощена за складними відсотками сума через рік з урахуванням фактора інфляції складе:
З цього виразу отримуємо розрахунок реальної (брутто-ставки) ставки, тобто ставки з поправкою на інфляцію:
rбр = (1 + r) (1 + Τ) = r + T + rТ
Дана формула називається формулою Фішера (названа ім'ям американського вченого І. Фішера, який її запропонував), а сума (τ + r Τ), що додається до реальної процентної ставки для компенсації втрат від інфляції, є інфляційної премією.
Завдання.Визначити номінальну майбутню вартість вкладу з урахуванням фактора інфляції, якщо сума вкладу РV = 1000 у.о. Річна процентна ставка, що використовується для прирощення вартості вкладу (r)=20%. Прогнозований річний темп інфляції (Т)= 12%, період розміщення вкладу (п) – три роки. Формула для розрахунків:
FV =РV×[(1+r) × (1+Т)] п
Рішення:
Завдання.Нехай інвестору обіцяна реальна прибутковість його вкладень по процентній ставці 10%. Це означає, що при інвестуванні 1000 у.о. через рік він отримає 1000 (1+0,1) = 1100 у.о. Якщо темп інфляції складає 25%, то інвестор корегує цю суму відповідно до темпу: 1100 (1+0,25) = 1375 у.о. Визначте розмір інфляційної премії та річну процентну ставку, що забезпечить реальну ставку прибутковості операції в 10% при річному темпі інфляції в 25%.
Рішення:
Для нотаток__________________________________________________________________________________________________
Капітал – вартість, яка авансується в виробництво з метою одержання прибутку.
Ціна (вартість) капіталу (cost of capital) корпорації – сукупність витрат пов'язана із залученням та обслуговуванням капіталу, виражена у відсотках до величини капіталу; це необхідна ставка доходу, яку повинна мати корпорація для покриття витрат по залученню капіталів на ринку.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Внутрішні фінансові ресурси міжнародних корпорацій
Галузі формування
Механізми, інструменти
Цільові установки
Виробничий сегмент корпорації
Галузевий корпоративний сегмент
Корпорація
Регіон
Емісія акцій
Субординований борг
Корпоративні
кредити
Внутрішньо-корпоративний
перерозподіл
Створення
корпорації або її підрозділу
Підтримка
функціонування
Розвиток корпорації або її підрозділу
Комерційні
проекти
Основні засоби
Оборотні активи
Інвестиції
Маркетинг
Соціальні проекти
Рис. 4.9. Власні (внутрішні) джерела формування капіталу міжнародних корпорацій
