Чисельні методи належать до фундаментальних наук, на яких ґрутнується робота усієї обчислювальної техніки та розрахункова частина математичного моделювання у будь-якій сфері діяльності. Враховуючи також, що математичне моделювання сьогодні є невід'ємною частиною наукових досліджень у будь-якому науковому напрямі, вивчення чисельних методів студентами спеціальності “Комп'ютерні науки” є вкрай необїідним.

Метою вивчення чисельних методів є формування теоретичних знань з основ чисельного аналізу та дослідження операцій, засвоєння студентами основних чисельних методів та надбання навичок їх застосування для рішення математичних задач, що виникають при розробці інформаційних систем. При цьому велика увага приділяється практичній роботі студентів на персональних комп’ютерах із застосуванням математичних пакетів.

Об’єктом вивчення дисципліни є типові математичні задачі, до яких зводиться рішення проблем, що виникають при розробці інформаційних систем та систем моделювання.

Предметом вивчення дисципліни є чисельні методи рішення типових математичних задач.

Основним завданням вивчення науки є оволодіння навичками та вмінням досліджувати теоретичні моделі економічних явищ та інженерно-економічних задач засобами обчислювальної математики, яке спирається на вивчення теоретичних засад чисельної математики та оволодінні практичними навичками ефективного використання потужного апарату чиесльної математики, як на рівні методів і алгоритмів, так і на рівні використання спеціалізованих інструментальних обчислювальних засобів.

Програма основного курсу передбачає навчання в формі лекцій, практичних занять та лабораторних робіт, а також організацію самостійної пізнавальної діяльності студентів. Для практичного засвоєння основних тем дисципліни передбачені практичні заняття та лабораторні роботи з застосуванням ПК в класах комп’ютерного центру університету.

Вивчення чисельних методів є важливим підґрунтям для подальшого вивчення дисциплін математичного циклу, та циклу комп'ютерних наук.

У результаті вивчення науки студенти повинні:

1) знати теоретичні основи чисельної математики;

2) знати основні типи задач, які ефективно вирішуються за допомогою чисельних методів;

3) вміти правильно підбирати чисельні методи для вирішення прикладних задач;

4) вміти реалізовувати алгоритми чисельної математики на практиці;

5) знати основні спеціалізовані інструментальні засоби для роботи з чисельною математикою;

6) вміти професійно ефективно використовувати програмні засоби для вирішення прикладних задач.

7) Вміти на практиці користуватись чисельними методами у моделюванні та при обробці експериментальних даних

2. Тематичний план науки.

з розподілом навчального часу за формами навчання та видами аудиторних занять .

Форма підсумкового контролю — іспит у першому семестрі, залік у другому.

3. Зміст науки.

Тема 1. Вступ.

Задачі і алгоритми обчислювальної математики.

Предмет і метод обчислювальної математики, її роль в дослідженні математичних та соціально-економічних моделей. Проблеми, які виникають при виборі методу розв’язування задачі

Задачі обчислювальної математики та числові алгоритми. Повна похибка обчислення розв’язку задачі: неусувна, методу, заокруглювання. Оцінки складності алгоритмів та комп’ютерного часу обчислення розв’язку задачі. Забезпечення розв’язання задач із заданими значеннями характеристик якості за точністю і швидкодією. Нестійкість обчислювальних алгоритмів

Основи теорії похибок.

Наближені числа, їх абсолютні і відносні похибки. Правила наближених обчислень і оцінка похибок при обчисленнях: додавання і віднімання наближених чисел; множення і ділення наближених чисел.

Похибки обчислень значень функції

Класифікація похибок..

Пряма та обернена задачі теорії похибок

Інструментальні засоби.

Класифікація та огляд засобів для обчислювальної математики. Використання електронних таблиць для розв'язання задач чисельної математики. Використання математичних та статистичних пакетів. Реалізація чисельних методів в мовах програмування.

Тема 2. Методи розв’язання задач лінійної алгебри.

Постановка задачі розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод виключення Гауса. Метод Гауса с вибором головного елемента. LU-розкладення. Метод простої ітерації і метод Зейделя. Розв'язання систем лінійних рівнянь великої розмірності.

Поняття власного значення і власного вектора квадратної матриці. Метод ітерацій для пошуку максимального за модулем власного значення матриці.

Тема 3. Методи розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем.

Розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим

Постановка задачі розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим. Метод дихотомії, метод хорд, метод Ньютона, метод простої ітерації.

Розв'язання системи нелінійних рівнянь

Постановка задачі розв'язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона, метод простої ітерації. Метод найменших квадратів.

Тема 4. Методи інтерполяції, наближення та мінімізації функцій.

Методи інтерполяції і наближення функцій

Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках: інтерполяційний многочлен Лагранжа, ітерполяційний многочлен Ньютона.

Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках, сплайнами: лінійні сплайни, квадратичні сплайни, кубічні сплайни.

Апроксимація функцій методом найменших квадратів.

Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках, розкладом їх у ряд Фур’є. Швидке дискретне перетворення Фур’є.

Методи і алгоритми мінімізації унімодальних багатоекстремальних функцій однієї змінної.

Алгоритм золотого перетину знаходження точки мінімуму унімодальної функції. Алгоритми перебору на рівномірній і нерівномірній сітках для обчислення глобального мінімуму функції, яка задовольняє умову Ліпшиця.

Методи безумовної мінімізації випуклих функцій багатьох змінних

Методи й алгоритми мінімізації випуклої функції багатьох змінних: алгоритми градієнтного спуску, покоординатного спуску у по випадковому напрямку.

Методи мінімізації функцій багатьох змінних при обмеженнях на змінні.

Методи й алгоритми послідовної безумовної мінімізації з вико-

ристанням штрафних функцій і функцій нев’язок.

Методи глобальної мінімізації багатоекстремальних функцій багатьох змінних

Методи й алгоритми перебору на рівномірних і нерівномірних сітках, випадкового пошуку і локального спуску.

Тема 5. Чисельне інтегрування і чисельне диференціювання.

Метод чисельного диференціювання функцій з використанням інтерполяційного многочлена Ньютона.

Методи обчислення означених інтегралів із заданою точністю з використанням формул: прямокутників, трапецій, Сімпсона (парабол). Квадратурні формули інтерполяційного типу, формули Ньютона — Котеса.

Тема 6. Чисельні методи розв’язування диференціальних рівнянь.

Методи розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь та їх систем

Однокрокові методи розв’язання задачі Коші: метод Ейлера і його модифікації, методи Рунге-Кутта. Багатокрокові методи — методи Адамса. Методи розв’язання задачі Коші для жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь.

Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь: метод стрільби (балістичний), метод коллокації, метод Гальоркіна, метод найменших квадратів, метод скінченних різниць.

Методи розв’язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними

Метод прямих та метод сіток розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Тема 7. Математичне моделювання та методи обробки експериментальних даних.

Основи теорії експерименту. Етапи планування експерименту.

Спостереження та експеримент, як основа математичного моделювання.

Факторні експерименти. Центральні композиційні плани.

Регресійний аналіз та оптимальне планування.

4. Плани занять

4.1. Плани лекцій.

Всі лекції мають інтерактивний характер, що забезпечується використанням мультимедійного обладнання. Це дозволяє активізувати процес навчання: він стає більш динамічним, інтерактивним, що, враховуючи прикладний характер дисципліни, є важливим.

Лекції 1-2. — Тема1. Вступ.

Види інноваційних навчальних технологій: інтерактивна лекція

Задачі і алгоритми обчислювальної математики.

1. Предмет і метод обчислювальної математики, її роль в дослідженні математичних та соціально-економічних моделей.
2. Проблеми, які виникають при виборі методу розв’язування задачі
3. Задачі обчислювальної математики та числові алгоритми.
4. Повна похибка обчислення розв’язку задачі: неусувна, методу, заокруглювання.
5. Оцінки складності алгоритмів та комп’ютерного часу обчислення розв’язку задачі.
6. Забезпечення розв’язання задач із заданими значеннями характеристик якості за точністю і швидкодією.
7. Нестійкість обчислювальних алгоритмів
8. Наближені числа, їх абсолютні і відносні похибки. Правила наближених обчислень і оцінка похибок при обчисленнях: додавання і віднімання наближених чисел; множення і ділення наближених чисел
9. Похибки обчислень значень функції
10. Класифікація похибок..
11. Пряма та обернена задачі теорії похибок
12. Класифікація та огляд засобів для обчислювальної математики.
13. Використання електронних таблиць для розв'язання задач чисельної математики.
14. Використання математичних та статистичних пакетів.
15. Реалізація чисельних методів в мовах програмування
1. Постановка задачі розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
2. Метод виключення Гауса. Метод Гауса с вибором головного елемента.
3. LU-розкладення.
4. Метод простої ітерації і метод Зейделя.
5. Розв'язання систем лінійних рівнянь великої розмірності.
6. Поняття власного значення і власного вектора квадратної матриці.
7. Метод ітерацій для пошуку максимального за модулем власного значення матриці
1. Постановка задачі розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим.
2. Метод дихотомії, метод хорд, метод Ньютона, метод простої ітерації.
3. Постановка задачі розв'язання систем нелінійних рівнянь.
4. Метод Ньютона, метод простої ітерації.
5. Метод найменших квадратів.
1. Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках: інтерполяційний многочлен Лагранжа, ітерполяційний многочлен Ньютона.
2. Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках, сплайнами: лінійні сплайни, квадратичні сплайни, кубічні сплайни.
3. Апроксимація функцій методом найменших квадратів.
4. Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках, розкладом їх у ряд Фур’є. Швидке дискретне перетворення Фур’є.
1. Алгоритм золотого перетину знаходження точки мінімуму унімодальної функції.
2. Алгоритми перебору на рівномірній і нерівномірній сітках для обчислення глобального мінімуму функції, яка задовольняє умову Ліпшиця.
3. Методи й алгоритми мінімізації випуклої функції багатьох змінних: алгоритми градієнтного спуску, покоординатного спуску у по випадковому напрямку.
4. Методи й алгоритми послідовної безумовної мінімізації з використанням штрафних функцій і функцій нев’язок.
5. Методи й алгоритми перебору на рівномірних і нерівномірних сітках, випадкового пошуку і локального спуску
1. Метод чисельного диференціювання функцій з використанням інтерполяційного многочлена Ньютона.
2. Методи обчислення означених інтегралів із заданою точністю з використанням формул: прямокутників, трапецій, Сімпсона (парабол).
3. Квадратурні формули інтерполяційного типу, формули Ньютона — Котеса.
1. Однокрокові методи розв’язання задачі Коші: метод Ейлера і його модифікації, методи Рунге-Кутта.
2. Багатокрокові методи — методи Адамса.
3. Методи розв’язання задачі Коші для жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь.
1. Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь:

Основи теорії похибок.

Інструментальні засоби.

Лекції 3-4 — Тема 2. Методи розв’язання задач лінійної алгебри

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з дисципліною «Вища математика».

Лекція 5-7 — Тема 3. Методи розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з дисципліною «Вища математика».

Розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим

Розв'язання системи нелінійних рівнянь

Лекції 8-9 — Тема 4. Методи інтерполяції та наближення функцій

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з дисциплінами математичного циклу.

Лекція 10 — Тема 4. Методи мінімізації функцій

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з вищою математикою

Методи і алгоритми мінімізації унімодальних багатоекстремальних функцій однієї змінної.

Методи безумовної мінімізації випуклих функцій багатьох змінних

Методи мінімізації функцій багатьох змінних при обмеженнях на змінні.

Методи глобальної мінімізації багатоекстремальних функцій багатьох змінних

Лекція 11-13 — Тема 5. Чисельне інтегрування і чисельне диференціювання

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з вищою математикою

Лекції 14-15 — Тема 6. Методи розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь та їх систем

иди інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з вищою математикою.

Лекція 16 — Тема 6. Методи розв’язання крайових задач

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з вищою математикою.

Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

1.1. метод стрільби (балістичний),

1.2. метод коллокації,

1.3. метод Гальоркіна,

1.4. метод найменших квадратів,

1.5. метод скінченних різниць.

Методи розв’язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними

2. Метод прямих та метод сіток розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними
1. Основи теорії експерименту. Етапи планування експерименту.
2. Спостереження та експеримент, як основа математичного моделювання.
3. Факторні експерименти. Центральні композиційні плани.
4. Регресійний аналіз та оптимальне планування.

Лекція 17 — Тема 7. Математичне моделювання та методи обробки експериментальних даних

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з мате математичною статистикою та економетрикою

4.2. Плани практичних занять очної форми навчання.

Практична робота №1 (6 годин)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема 1: Задачі та методи обчислювальної математики. Основи теорії похибок. Інструментальні засоби.

Міні-тренінг.

План заняття.

Розв'язання задач на обчислення характеристик обчислювальних систем.

Розв'язання задач дисципліни обслуговування заявок.

Визначення абсолютної та відносної похибки арифметичних обчислень

Розв'язання прямої та оберненої задачі теорії похибок.

Знайомство з інструментальним засобом Matlab (GNU Octave).

Ключові інструментальні компетентності

Елементарні комп’ютерні навички.
Навички використання мови та системи для обчислювальної математики.
Розв'язання проблем із заданою точністю.
Знаходження похибки обчислень.
Здатність пристосовуватись до нових ситуацій

Ключові системні компетентності

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [1; 6; 7; 10; 20].

Практична робота №2 (6 годин)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема 2: Методи розв’язання задач лінійної алгебри.

Міні-тренінг.

План заняття.

Виконання практичних завдань за темами:

Постановка задачі розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
Метод виключення Гауса. Метод Гауса с вибором головного елемента.
LU-розкладення.
Метод простої ітерації і метод Зейделя.
Розв'язання систем лінійних рівнянь великої розмірності.
Реалізація ітераційного алгоритму для знаходження максимального за модулем власного значення матриці.
Знаходити характеристики матриць.
Розв'язувати СЛАР різної розмірності різними методами
Вміти знаходити власні значення та власні вектори.
Реалізовувати ітераційні методи мовою програмування.
Вміти знаходити оптимальний розв'язок при наявності декількох варіантів..
Вміти оцінювати роботк.

Ключові інструментальні компетентності

Ключові системні компетентності

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [1; 3; 4; 6-10], пошук в Інтернеті.

Практична робота №3 (4 години)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема 3: Методи розв’язання нелінійних рівнянь

Робота в малих творчих групах.

План заняття.

Розв'язання нелінійних рівнянь

Ключові інструментальні компетентності

Вміти оцінити кількість коренів нелінійного рівняння або системи рівнянь.
Вміти локалізувати всі корені різними методами
Вміти знаходити всі розв'язки із заданою точністю різними методами.
Знати переваги, недоліки та сферу кожного з методі вирішення нелінійних рівнянь та систем.
Здатність пристосовуватись до нових ситуацій
Здатність робити обґрунтований вибір інструментів.

Ключові системні компетентності

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [1; 3; 4; 6-10], пошук в Інтернеті.

Практична робота №4 (4 години)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема 3: Методи розв’язання систем нелінійних рівнянь

Робота в малих творчих групах.

План заняття.

Розв'язання системи нелінійних рівнянь

Ключові інструментальні компетентності

Вміти оцінити кількість коренів нелінійного рівняння або системи рівнянь.
Вміти локалізувати всі корені різними методами
Вміти знаходити всі розв'язки із заданою точністю різними методами.
Знати переваги, недоліки та сферу кожного з методі вирішення нелінійних рівнянь та систем.
Здатність пристосовуватись до нових ситуацій
Здатність робити обґрунтований вибір інструментів.

Ключові системні компетентності

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [1; 3; 4; 6-10], пошук в Інтернеті.

Практична робота №5 (4 години)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема 4: Методи інтерполяції та наближення

Семінар «мозковий штурм»

План заняття.

Методи інтерполяції і наближення функцій (2 години)

Апроксимація функцій методом найменших квадратів.

Ключові інструментальні компетентності

Вміння аналізувати функцію
Вміння локалізовувати корені найоптимальнішим шляхом
Вміння інтерполювати фінкцію різними способами
Розуміти різницю між різними методами інтерполяції та вміти обирати найоптимальніший
Вміння занходити наближені значення для функції із заданою точністю
Знати особливости методів мінімізації функцій, умови їх використання.
Оцінювати наівність екстремумів та знаходити екстремальні значення функцій найоптимальнішим шляхом.
Взаємодія (робота в команді).
Вміння ідентифікувати проблему.
Здатність застосовувати знання на практиці.

Ключові міжособистісні компетентності

Ключові системні компетентності

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [1-4; 3; 8: 13], пошук в Інтернеті.

Практична робота №6 (4 години)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема 4: Методи мінімізації функцій

Семінар «мозковий штурм»

План заняття.

Методи і алгоритми мінімізації унімодальних багатоекстремальних функцій однієї змінної. (1 година)

Методи безумовної мінімізації випуклих функцій багатьох змінних (1 година)

Методи мінімізації функцій багатьох змінних при обмеженнях на змінні. (1 година)

Методи й алгоритми послідовної безумовної мінімізації з вико-

ристанням штрафних функцій і функцій нев’язок.

Методи глобальної мінімізації багатоекстремальних функцій багатьох змінних (1 година)

Методи й алгоритми перебору на рівномірних і нерівномірних сітках, випадкового пошуку і локального спуску

Ключові інструментальні компетентності

Вміння аналізувати функцію
Вміння локалізовувати корені найоптимальнішим шляхом
Вміння інтерполювати фінкцію різними способами
Розуміти різницю між різними методами інтерполяції та вміти обирати найоптимальніший
Вміння занходити наближені значення для функції із заданою точністю
Знати особливости методів мінімізації функцій, умови їх використання.
Оцінювати наівність екстремумів та знаходити екстремальні значення функцій найоптимальнішим шляхом.
Взаємодія (робота в команді).
Вміння ідентифікувати проблему.
Здатність застосовувати знання на практиці.

Ключові міжособистісні компетентності

Ключові системні компетентності

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [1-4; 3; 8: 13], пошук в Інтернеті.

Практична робота №7 (4 години)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема:. Чисельне диференціювання.

Семінар «мозковий штурм»

План заняття.

Метод чисельного диференціювання функцій з використанням інтерполяційного многочлена Ньютона.

Ключові інструментальні компетентності

Вміти швидко визначити наявність первісної
Вміти проводити диференціювання функції
Вміти визначати наявність розв'язку для визначеного інтегралу
Вміння обчислювати визначені інтеграли..
Прийняття рішень
Взаємодія (робота в команді).
Дослідницькі навички і уміння.
Здатність працювати самостійно

Ключові міжособистісні компетентності

Ключові системні компетентності

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [1; 3; 4; 6-10], пошук в Інтернеті.

Практична робота №8 (6 годин)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема:. Чисельне інтегрування.

Семінар «мозковий штурм»

План заняття.

Методи обчислення визначених інтегралів із заданою точністю з використанням формул: прямокутників, трапецій, Сімпсона (парабол). Квадратурні формули інтерполяційного типу, формули Ньютона — Котеса

Ключові інструментальні компетентності

Вміти швидко визначити наявність первісної
Вміти проводити диференціювання функції
Вміти визначати наявність розв'язку для визначеного інтегралу
Вміння обчислювати визначені інтеграли..
Прийняття рішень
Взаємодія (робота в команді).
Дослідницькі навички і уміння.
Здатність працювати самостійно

Ключові міжособистісні компетентності

Ключові системні компетентності

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [1; 3; 4; 6-10], пошук в Інтернеті.

Практична робота №9 (4 години)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема 6. Чисельні методи розв’язування задачі Коші

Робота в малих групах

План заняття.

Методи розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь та їх систем

Ключові інструментальні компетентності

Вміти ідентифікувати види диференціальних рівнянь
Вміти визначати найоптимальніший метод чисельного розв'язання диференційного рівняння та вміти його застосувати.
Здатність до аналізу і синтезу інформації.
Прийняття рішень
Взаємодія (робота в команді).
Здатність застосовувати знання на практиці.
Здатність працювати самостійно.

Ключові міжособистісні компетентності

Ключові системні компетентності

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [1: 3: 4: 6-10; 20], пошук в Інтернеті.

Практична робота №10 (6 годин)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема 6. Чисельні методи розв’язування крайових задач.

Робота в малих групах

План заняття.

Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Методи розв’язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними

Метод прямих та метод сіток розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Ключові інструментальні компетентності

Вміти ідентифікувати види диференціальних рівнянь
Вміти визначати найоптимальніший метод чисельного розв'язання диференційного рівняння та вміти його застосувати.
Здатність до аналізу і синтезу інформації.
Прийняття рішень
Взаємодія (робота в команді).
Здатність застосовувати знання на практиці.
Здатність працювати самостійно.

Ключові міжособистісні компетентності

Ключові системні компетентності

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [1: 3: 4: 6-10; 20], пошук в Інтернеті.

Практична робота №11 (4 години)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема: Математичне моделювання та методи обробки експериментальних даних

Семінар-дискусія з планування експерименту.

План заняття.

Основи теорії експерименту. Етапи планування експерименту.

Спостереження та експеримент, як основа математичного моделювання.

Ключові інструментальні компетентності

Здатність до аналізу і синтезу інформації.
Розв’язання проблем
Здатність пристосовуватись до нових ситуацій.

Ключові системні компетентності

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [23-25], пошук в Інтернеті.

Практична робота №12 (4 години)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема: Математичне моделювання та методи обробки експериментальних даних

Семінар-дискусія з планування експерименту.

План заняття.

Факторні експерименти. Центральні композиційні плани.

Регресійний аналіз та оптимальне планування.

Ключові інструментальні компетентності

Здатність до аналізу і синтезу інформації.
Розв’язання проблем
Здатність пристосовуватись до нових ситуацій.

Ключові системні компетентності

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [23-25], пошук в Інтернеті.

4.3. Плани контактних занять для студентів заочної форми навчання.

Заочна форма навчання навчальним планом для спеціальності 6303 не передбачена

4.4. Плани навчальної роботи для студентів заочної форми навчання в міжсесійний період.

Заочна форма навчання навчальним планом для спеціальності 6303 не передбачена

5. Самостійна робота студентів.

Завдання для самостійного опрацювання студентами очної форми навчання

Завдання №1

Задачі і алгоритми обчислювальної математики.

Розв'язування практичних завдань з тем:

- Повна похибка обчислення розв’язку задачі: неусувна, методу, заокруглювання.

- Оцінки складності алгоритмів та комп’ютерного часу обчислення розв’язку задачі.

Реалізація чисельних алгоритмів із зазначених тем.
Інтерпретація та оформлення результатів.
Дослідження властивостей та особливостей роботи математичних та статистичних пакетів:

Завдання №2

Інструментальні засоби чисельної математики

- MatLab (GNU Octave)

- MatCad

- Maple

- SPSS (PSPP)

- Інші

Формування висновків.
Розв'язування практичних завдань з тем:

Завдання №3

Методи розв’язання задач лінійної алгебри.

- Розв'язування СЛАР:

Метод виключення Гауса.
Метод простої ітерації і метод Зейделя.

- Метод ітерацій для пошуку максимального за модулем власного значення матриці.

Реалізація чисельних алгоритмів із зазначених тем.
Інтерпретація та оформлення результатів.
Розв'язування практичних завдань з тем:

Завдання №4

Методи розв’язання нелінійних рівнянь

- Знаходження усіх коренів нелінійного рівняння:

методом дихотомії,
методом хорд,
методом Ньютона,
методом простої ітерації.
Реалізація чисельних алгоритмів із зазначених тем.
Інтерпретація та оформлення результатів.
Розв'язування практичних завдань з тем:

Завдання №5

Методи інтерполяції і наближення функцій

- Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках: інтерполяційний многочлен Лагранжа, ітерполяційний многочлен Ньютона.

- Апроксимація функцій методом найменших квадратів.

Реалізація чисельних алгоритмів із зазначених тем.
Інтерпретація та оформлення результатів.
Розв'язування практичних завдань з тем:

Завдання №6

Методи і алгоритми мінімізації функцій однієї змінної.

- Алгоритм золотого перетину знаходження точки мінімуму унімодальної функції.

- Алгоритми перебору на рівномірній і нерівномірній сітках для обчислення глобального мінімуму функції, яка задовольняє умову Ліпшиця.

Реалізація чисельних алгоритмів із зазначених тем.
Інтерпретація та оформлення результатів.
Розв'язування практичних завдань з тем:

Завдання №7

Математичне моделювання та методи обробки експериментальних даних.

- Планування експерименту

- Регресійний аналіз та оптимальне планування.

Реалізація чисельних алгоритмів із зазначених тем.
Інтерпретація та оформлення результатів.

6. Поточний і підсумковий контроль знань.

6.1. Очна форма навчання.

Карта самостійної роботи студента

Очна форма навчання:

для студентів напряму підготовки ЕКОНОМІКА ПІДПРИЄМСТВ

галузі знань (спеціальності) ЕКОНОМІЧНА КІБЕРНЕТИКА

Перший семестр

Номер заняття	Форма самостійної роботи студента	Види занять	Максимальна кількість балів
*За систематичність і активність роботи на лабораторних заняттях*
1 — 3	- опрацювання теоретичних основ прослуханого лекційного матеріалу, обов’язкової та додаткової літератури, тощо; - вивчення окремих тем або питань, що передбачені для самостійного опрацювання; - попередня підготовка з визначених питань; - підготовка до експрес-тестів.	Практичне заняття 1. Міні-тренінг	7
4 — 6		Практичне заняття 2. Робота в малих творчих групах	7
7 — 8		Практичне заняття 3. Міні-тренінг	5
9 — 10		Практичне заняття 4. Міні-тренінг	5
11 — 12		Практичне заняття 5. Робота в малих творчих групах	7
13 — 14		Практичне заняття 6. Робота в малих творчих групах	3
*Змістовий модуль*			34
*Разом балів за роботу на семінарських (практичних, лабораторних) заняттях*			34
*За виконання модульних (контрольних) завдань*
Модуль 1	Написання модульної контрольної роботи		5
Модуль 2	Написання модульної контрольної роботи		5
*Разом балів за модульний контроль*			10
*За виконання індивідуальних завдань*
Види індивідуальних завдань (студент обирає не більше 2-х завдань упродовж семестру)
1. Виконання індивідуальних розрахункових робіт фахового спрямування			3
2. Створення структурованого документу відповідно до технічного завдання			3
3. Підготовка власних досліджень до конференцій			3
4. Підготовка презентації за заданою тематикою			3
5. Пошук, підбір та огляд джерел за заданою тематикою			3
6. Аналіз конкретних практичних ситуацій (Case study) фахового спрямування			3
*Разом балів за виконання індивідуальних завдань*			6
*Всього балів за СРС*			50

Другий семестр

Номер заняття	Форма самостійної роботи студента	Види занять	Максимальна кількість балів
*За систематичність і активність роботи на лабораторних заняттях*
1 — 2	- опрацювання теоретичних основ прослуханого лекційного матеріалу, обов’язкової та додаткової літератури, тощо; - вивчення окремих тем або питань, що передбачені для самостійного опрацювання; - попередня підготовка з визначених питань; - підготовка до експрес-тестів.	Практичне заняття 7. Міні-тренінг	10
3 — 6		Практичне заняття 8. Робота в малих творчих групах	10
7 — 8		Практичне заняття 9. Міні-тренінг	10
9 — 11		Практичне заняття 10. Міні-тренінг	10
11 — 12		Практичне заняття 11. Робота в малих творчих групах	10
13 — 14		Практичне заняття 12. Робота в малих творчих групах	10
*Змістовий модуль*			60
*Разом балів за роботу на семінарських (практичних, лабораторних) заняттях*			60
*За виконання модульних (контрольних) завдань*
Модуль 1	Написання модульної контрольної роботи		15
Модуль 2	Написання модульної контрольної роботи		15
*Разом балів за модульний контроль*			30
*За виконання індивідуальних завдань*
Види індивідуальних завдань (студент обирає не більше 2-х завдань упродовж семестру)
1. Виконання індивідуальних розрахункових робіт фахового спрямування			5
2. Створення структурованого документу відповідно до технічного завдання			5
3. Підготовка власних досліджень до конференцій			5
4. Підготовка презентації за заданою тематикою			5
5. Пошук, підбір та огляд джерел за заданою тематикою			5
6. Аналіз конкретних практичних ситуацій (Case study) фахового спрямування			5
*Разом балів за виконання індивідуальних завдань*			10
*Всього балів за СРС*			100

Порядок поточного та підсумкового оцінювання знань

У першому семестрі підсумковий контроль має форму іспиту, у другому — залік.

Шкала поточного оцінювання успішності у першому семестрі.

Максимальна кількість балів за певний вид робіт	Кількість балів, отримана студентом залежно від рівня знань
	*Рівень знань:*
	*відмінний*	*добрий*	*задовільний*	*незадовільний*
3	3	2	1	0
5	5	4	3	0
7	7	5	3	0

Шкала підсумкового оцінювання успішності у першому семестрі.

Максимальна кількість балів за одне питання на іспиті	Кількість балів, отримана студентом залежно від рівня знань
	*Рівень знань:*
	*відмінний*	*добрий*	*задовільний*	*незадовільний*
10	10	8	6	0

Шкала поточного оцінювання успішності у другому семестрі.

Максимальна кількість балів за певний вид робіт	Кількість балів, отримана студентом залежно від рівня знань
	*Рівень знань:*
	*відмінний*	*добрий*	*задовільний*	*незадовільний*
5	5	4	3	0
10	10	8	6	0
15	15	12	9	0

на «ВІДМІННО» має відповідати таким вимогам:

Для теоретичних питань:

правильний, повний, розгорнутий, вичерпний виклад змісту поставленого питання або проблеми;
демонстрація глибоких теоретичних знань тем і розділів дисципліни відповідно до основної та додаткової літератури та виявлення творчих здібностей у розумінні та викладенні навчально-програмного матеріалу;
• використання новітніх розробок у галузі інформаційно-комунікаційних технологій, які дозволяють більш повно розкрити питання.

Для практичних завдань:

надані правильні та повні відповіді на кожне практичне завдання;
продемонстровані вміння інтегрованого застосування теоретичних знань тем і розділів дисципліни під час розв’язання практичних завдань;
обґрунтовано вибір найдоцільнішого методу розв’язання практичного завдання;
наведено пояснення щодо використаних методів та алгоритму розв’язання практичного завдання.

Відповідь, яка оцінюється на «ДОБРЕ» має відповідати таким вимогам:

Для теоретичних питань:

не виконано одна вимога серед тих, що висуваються до відповіді на найвищий бал;
• студент загалом відповів на поставлені запитання, але не зміг переконливо аргументувати свою відповідь конкретними прикладами.

Для практичних завдань:

не надані правильні та повні відповіді не більше ніж на 25% практичних завданнь від запропонованих до виконання;
не виконано не більше двох вимог, що висуваються до відповіді на найвищий бал;
під час розв’язування практичних завдань допущено не більше однієї значної помилки, яка впливає на правильність отримуваного результату, або 1—2 незначні помилки, які не впливають на правильність отримуваного результату.

Відповідь, яка оцінюється на «ЗАДОВІЛЬНО» має відповідати таким вимогам:

Для теоретичних питань:

не виконано не більше двох вимог, що висуваються до відповіді на найвищий бал (якщо вони явно потрібні для вичерпного розкриття питання);
• одночасно допущені дві чи більше значні помилки під час розкриття відповіді на поставлене питання;

Для практичних завдань:

не надані правильні та повні відповіді 25% —40% практичних завданнь від запропонованих до виконання;
не виконано не більше трьох вимог, що висуваються до відповіді на найвищий бал;
під час розв’язування практичних завдань допущено не більше двох значних помилки, які впливають на правильність отримуваного результату, або 3—4 незначні помилки, які не впливають на правильність отримуваного результату.

Відповідь оцінюється на «НЕЗАДОВІЛЬНО» за таких обставин:

Для теоретичних питань:

не виконано більше двох вимог, що висуваються до відповіді на найвищий бал (якщо вони явно потрібні для вичерпного розкриття питання);
одночасно допущені дві чи більше значні помилки під час розкриття відповіді на поставлене питання;
• відповідь взагалі відсутня.

Для практичних завдань:

не надані правильні та повні відповіді більше ніж на 40% практичних завдань від запропонованих до виконання;
не виконано більше трьох вимог, що висуваються до відповіді на найвищий бал;
одночасно допущені дві чи більше грубі помилки під час розв’язування практичного завдання, або завдання взагалі розв’язано не вірно;
відповідь взагалі відсутня.

6.2. Заочна форма навчання.

Заочна форма навчання навчальним планом для спеціальності 6303 не передбачена

6.3. Приклади типових завдань, що виносяться на екзамен.

Пряма задача теорії наближених обчислень:

Умова

Нехай дано a = 7,4 ± 0,05; b = 4,3 ± 0,02. Потрібно знайти значення результату S та його похибку, якщо S визначається за формулою:

Розв'язок

Скористаємось формулою . У нашому випадку вона прийме вигляд: . Оскільки частинні похідні від функції S рівні , то

Таким чином, результат S треба після обчислень округлити до другого знаку після коми. Підставивши значення a та b у формулу отримаємо S ≈ 8,2810127 ≈ 8,28.

Відповідь

S = 8,28 ± 0,04.

Задача чисельного диференціювання

Умова

Знайти наближене значення похідної функції в точці х = 4. Функція задана таблично: x₀ = 2, y₀ = 4; x₁ = 3, y₁ = -2; x₂ = 4, y₂ = 6.

Розв'язок

В нашому випадку h = 1.

Скористаємось формулою

Далі, , тому f'(4) ≈ 14*2 - 13 = 15

Відповідь

f'(4) ≈ 15

6.4. Зразок екзаменаційного білета.

ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ № __

Теоретичні питання

1. Правила наближених обчислень і оцінка похибок при обчисленнях

2. Пояснити різницю між методами дихотоміїї та хорд розв'язування нелінійних рівнянь

3. Швидке дискретне перетворення Фур’є.

Практичні завдання

4. Нехай дано a = 7,4 ± 0,05; b = 4,3 ± 0,02. Потрібно знайти значення результату S та його похибку, якщо S визначається за формулою:

5. Знайти наближене значення похідної функції в точці х = 4. Функція задана таблично: x₀ = 2, y₀ = 4; x₁ = 3, y₁ = -2; x₂ = 4, y₂ = 6.

7. Рекомендована література.

7.1. Основна література.

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Наука, 1987. — 598 с.
2. Бейко И. В., Бублик Б. Н., Зинько П. Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. — К.: Вища шк., 1983. — 512 с.
3. Гаврилюк І. П., Макаров В. Л. Методи обчислень. — К.: Вища шк., 2000.
4. Данилович В., Кутнів М. Чисельні методи. — Л.: Кальварія, 1998. — 222 с.
5. Шарапов О.Д., Семьонов Д.Є., Дербенцев В.Д. Дискретний аналіз: Навч.-метод. посбіник для самост. вивч. дисц. – К.: КНЕУ, 2002. – 114 с.
6. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.
7. Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. — Л.: БаК, 2003. — 168 с.
8. Мэтьюз Д. Г., Финк К. Д. Численные методы. Использование MATLAB. — М.: СПб.; К.: Издат. дом “Вильямс”, 2001. — 720 с.
9. Самарський А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. — 432 с.
10. Фельдман Л. П., Петренко А. І., Дмитрієва О. А. Чисельні методи в інформатиці. — К.: Вид. група BHV, 2006. — 480 с.
11. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 2000. — 190 с.
12. Березин Н. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — В 2 т. — М.: Наука, 1960.
13. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
14. Вержбицкий В. М. Основы численных методов: Учебник для вузов. — М.: Высш. шк., 2002. — 840 с.
15. Волков Е. А. Численные методы. — М.: Наука, 1982.
16. Данилина Н. И., Дубровская Н. С., Кваша О. П. Численные методы. — М.: Высш. шк., 1976. — 386 с.
17. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. — 664 с.
18. Дьяконов В. П. Mathematica 4: учеб. курс. — СПб.: Питер, 2001. — 656 с.
19. Зеленський К. Х., Ігнатенко В. М., Коц О. П. Комп’ютерні методи прикладної математики. — К.: Академперіодика, 2002. — 480 с.
20. Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. — К.: Наук. думка, 1986. — 584 с.
21. Литвин О. М. Методи обчислень. Додаткові розділи: Навч. посіб. — К.: Наук. думка, 2005. — 344 с.
22. Поршнев С. В. Вычислительная математика: Курс лекций. – СПб., 2004. — 320 c.
23. Засименко В.М. Основи теорії планування експерименту. Навч. посібник. — Львів: Видав. ДУ «ЛП», — 2000. — 205 с.
24. Адлер Ю. П. Введение в планирование эксперимента. – М. Металлургия, 1968, 155 с.
25. Гутер Р.С. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта, – М. Наука, 1970.
26. Данилович В. П. Чисельні методи в задачах і вправах : Навч. посібник для студ. спец. "Прикладна математика" — Львів: Державний ун-т “Львівська політехніка”,1995.

7.2. Додаткова література

Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. — М. : Мир, 1998.