Написание контрольных, курсовых, дипломных работ, выполнение задач, тестов, бизнес-планов

Главная \ Методичні вказівки \ Методические указания и информация \ КНЕУ

КНЕУ

Дата публикации: 06.01.2021 13:21

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДВНЗ «КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ВАДИМА ГЕТЬМАНА»

ФАКУЛЬТЕТ МІЖНАРОДНОЇ ЕКОНОМІКИ І МЕНЕДЖМЕНТУ

КАФЕДРА МІЖНАРОДНИХ ФІНАНСІВ

ФІНАНСИ

МІЖНАРОДНИХ КОРПОРАЦІЙ

РОБОЧИЙ ЗОШИТ ДО КУРСУ ЛЕКЦІЙ

ТА ВИКОНАННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАВДАНЬ

ТЕМА 4. ЦІНА ЗАЛУЧЕННЯ КАПІТАЛУ І РИЗИК

д.е.н., проф. Фролова Т.О.

ст. викладач Васюк Є.А.

Київ, 2018

ТЕМА 4. ЦІНА ЗАЛУЧЕННЯ КАПІТАЛУ І РИЗИК

4.1. Зміна вартості грошей у часі.

4.2. Економічна сутність вартості капіталу

4.3. Оцінка вартості (ціни) капіталу, який залучається корпорацією із різних джерел

4.4. Розрахунок середньозваженої ціни капіталу – WACC. Показник граничної ціни капіталу –

МСС, його застосування

4.5. Фінансово-інвестиційні ризики в умовах невизначеності

4.1. Зміна вартості грошей у часі

4.1.1. Фактор часу у фінансових розрахунках

Суб’єкти господарської діяльності постійно постають перед необхідністю заощадження та кредитування. Фінансовий ринок пропонує безліч способів задоволення потреби у грошах. Найголовнішими питаннями залишаються вартість отриманих в борг коштів та скільки необхідно інвестувати сьогодні, щоб в майбутньому покрити всі витрати. Для вирішення таких проблем спробуємо розуміти математику вартості грошей у часі (the time value of money, TVM).

В різні періоди часу конкретна сума має різну вартість. На це впливає ряд факторів: знеціненням готівки з плином часу в силу фактора інфляції, невизначеністю майбутнього стану справ на ринку, але основним є можливість інвестувати кошти в інструменти фінансового ринку і заробити на цьому. Таким чином, менша сума грошей сьогодні може бути еквівалентною до значно більшої, але отриманої в майбутньому. І навпаки, пропоновані кошти через рік будуть мати меншу вартість станом на сьогодні. Отримуємо висновок: вартість грошей у часі в процесі інвестування «займається» оцінкою взаємозв’язку між грошовими потоками, які виникли в різні проміжки часу.

Для кращого розуміння концепції вартості грошей у часі варто використовувати часову лінію. Грошовий потік, що виник в теперішньому (сьогодні), позначено «0» і зі знаком «-», оскільки це витрати інвестора. Всі інші грошові потоки мають позитивний знак і є надходженнями інвестора. Наприклад, ми поклали на депозитний рахунок 1000 грош. од. під 20% річних на 5 років. Протягом всього інвестиційного горизонту будемо отримувати відсоткові платежі в кінці кожного періоду (року). Зобразимо грошовий потік на часовій лінії (рис.4.1).

0	1	2	3	4	5


- 1000	+200	+200	+200	+200	+200
Витрати (cash outflows or payments)	Надходження (cash inflows or receipts)

Рис. 4.1. Часова лінія

! Зверніть увагу, що дані грошові потоки позначені як такі, що виникли на кінець періоду. При цьому, кінець одного періоду є теж саме, що і початок наступного. Наприклад, якби грошовий потік у розмірі 200 одиниць виник на початку 3-го періоду, на часовій лінії все одно позначено як «2».

Для розгляду формул, що використовуються в подальших розрахунках, необхідно ввести ряд умовних позначень:

I – дохід (відсотковий дохід, відсотки) за весь період позики (interest);

r – відсоткова ставка за період (interest rate per compounding period)

PV – теперішня вартість або дисконтована сума (present value);

FV –майбутня вартість або нарощена сума (future value)

N – кількість періодів

А – ануїтет (annuity)

4.1.2. Відсоткова ставка: її суть, визначення, види та складові

Під процентними грошима або відсотками (interest) у фінансових розрахунках розуміють абсолютну величину доходу від надання грошей у борг у будь-якій його формі: видача позики, продаж в кредит, здача в оренду, депозитний рахунок, облік векселі, купівля облігацій та ін.

Абсолютні показники, як правило, не підходять для порівняння та оцінки зважаючи на їх непорівнянності в просторі і в часі. Тому у фінансових комерційних розрахунках широко користуються відносними показниками.

Під відсотковою ставкою (r) розуміється відносний показник, що характеризує інтенсивність нарахування відсотків за одиницю часу. Методика розрахунку визначається відношенням суми процентних грошей, виплачуваних за певний період часу, до величини позики.

Цей показник виражається або в частках одиниці, або у відсотках. Таким чином, процентна ставка показує, скільки грошових одиниць повинен заплатити позичальник за користування протягом певного періоду часу 100 одиницями початкової суми боргу.

Нарахування відсотків, як правило, проводиться дискретно, тобто за фіксованими однаковими інтервалами часу, які носять назву «період нарахування», – це відрізок часу між двома наступними один за одним процедурами стягування відсотків.

Звичайні або декурсивні (postnumerando) відсотки нараховуються в кінці періоду. В якості одиниці періоду часу у фінансових розрахунках прийнятий рік, однак це не виключає використання періоду терміном менше року.

Період часу від початку фінансової операції до її закінченні називається терміном фінансової операції.

ПРИКЛАД 1. Визначити дохід від інвестування (І) за простою ставкою відсотків (r) – 16% річних, при якій первісний капітал (PV) у розмірі 25000 у. о. досягне 27000 у. о. (FV) через півроку (n).

Рішення:

I = 27 000 – 25 000 = 2 000 у.о.

І = 25 000 ×0,5×0,16 = 2 000 у.о.

І = 25 000×0,5×16/100 = 2 000 у.о.

Завдання. Визначити ставку відсотків, при якій первісний капітал (PV) у розмірі 25000 у. о. досягне 27000 у. о. (FV) через півроку (n).

Рішення:

Табл. 4.1. Види відсоткових ставок
Відносно моменту виплати або нарахування доходу
*Звичайна (декурсивна)* – нараховується наприкінці періоду відносно вихідної величини	*Авансова (антисипативна)* – перераховується на початку періоду відносної кінцевої суми грошей
В залежності від умов проведення фінансових операцій
*Проста* відсоткова ставка застосовується до однієї і тієї ж первісної суми боргу протягом усього терміну позики	*Складна* відсоткова ставка застосовується до нарощеної суми боргу, тобто до суми, збільшеної на величину нарахованих за попередній період відсотків
За фіксацією відсоткової ставки
*Фіксована* відсоткова ставка – ставка, що зафіксована у вигляді певного числа у фінансових контрактах	*Плаваюча* відсоткова ставка – ставка, що прив’язана до певної величини, яка змінюється у часі
За величиною відсоткової ставка
*Постійна* відсоткова ставка – ставка, що є незмінною протягом усього періоду позики	*Змінна* відсоткова ставка – ставка, яка дискретно змінюється в часі, але має конкретну числову характеристику

Існує два принципи розрахунку відсотків - нарощення на суму боргу і знижка з кінцевої суми заборгованості. Відповідно їм застосовують ставку нарощення (interest rate) і ставку дисконтування (discount rate). Обидва види ставок застосовуються для вирішення подібних завдань.

Після нарахування відсотків можливе два шляхи:

1) або їх відразу виплачувати, у міру їх нарахування,

2) або віддати потім, разом з основною сумою боргу.

Приведена сума

Вихідна сума + + % cтавка

Сума, що

повертається

Сума, що очікується до надход-ження – % ставка

Нарощення (компаундинг)

дисконтування

Рис. 4.2. Логіка фінансових операцій

ТЕПЕРІШНЄ

МАЙБУТНЄ

Збільшення суми боргу у зв'язку з приєднанням до неї процентних грошей називається нарощенням, а збільшена сума – нарощеної сумою. Звідси можна виділити ще один відносний показник, який називається коефіцієнт нарощення або множник нарощення, – це відношення нарощеної суми до первісної суми боргу. Процес, в якому задані очікувана в майбутньому до отримання (або та, що повертається) сума і коефіцієнт дисконтування, називається дисконтуванням.

Для нотаток__________________________________________________________________________________________________

4.1.3. Ефективна та номінальна відсоткова ставка

Період нарахування по складним відсоткам не завжди дорівнює року, однак в умовах фінансової операції вказується не ставка за період, а річна ставка із зазначенням періоду нарахування – номінальна ставка.

Номінальна ставка (stated or nominal annual interest rate) – річна ставка відсотків, виходячи з якої визначається величина ставки відсотків у кожному періоді нарахування, при нарахуванні складних відсотків кілька разів на рік. Наприклад, банківський депозит приносить 24% річних з щомісячним нарахуванням, а не 2% в місяць. Ця ставка дозволяє розраховувати ефективність фінансової операції у кожному окремому періоді нарахування при нарахуванні відсотків кілька разів на рік, але не вимірює річного доходу всіх цих операцій з урахуванням внутрішньорічної капіталізації.

Ця ставка:

по-перше, не відображає реальної ефективності угоди;
по-друге, не може бути використана для зіставлень.

Поряд з номінальною ставкою існує ефективна ставка що вимірює той реальний відносний дохід, який отримано в цілому за рік (effective annual rate, EAR). Вона вимірює той реальний відносний дохід, який отримано в цілому за рік, з урахуванням внутрішньорічної капіталізації.

Ефективну ставку розраховують наступним чином:

EAR = (1 + ставка за період)ⁿ – 1

де: ставка за період – номінальна відсоткова ставка/кількість періодів (r/m)

n – кількість періодів нарахування за рік

З формули випливає, що ефективна ставка залежить від кількості внутрішньорічних нарахувань. Якщо повернутися до прикладу з банківським депозитом, то EAR = (1 + 0,24/12)¹² - 1 = 0,268 або 26,8%. Тобто, за щомісячного нарощення інвестор отримає 26,8% доходу, а не 24% за номінальної відсоткової ставки.

ЗАПАМ'ЯТОВУЄМО Ефективна відсоткова ставка для певної фіксованої ставки з щомісячним нарощенням є не одне і теж саме, що EAR з щоквартальним чи нарощенням раз на півроку. EAR і номінальна відсоткова ставка є однаковими тільки у випадку щорічного нарахування відсотків (щорічного нарощування). Важливо, що чим більше періодів нарощування, тим більшою

є ефективна відсоткова ставка.

ПРИКЛАД 2. Оскільки частота нарощення є важливим фактором, порахуємо ефективну відсоткову ставку для номінальної ставки у 12% за різної частоти нарахування відсотків.

піврічне нарощування = (1 + 12/2)² – 1 = 12,36%

щоквартальне нарощування = (1 + 12/4)⁴ – 1 = 12,55%

щомісячне нарощування = (1 + 12/12)¹² – 1 = 12,68%

щоденне нарощування = (1 + 12/365)³⁶⁵ – 1 = 12,74%

Все менші і менші періоди нарахування називається безперервним нарахування. Для перетворення номінальної відсоткової ставки в ефективну з безперервним нарахуванням, ми використовуємо наступну формулу:

e^r – 1 = EAR

безперервне нарахування = e^0,12 – 1 = 12,749%

Значення ефективної ставки дозволяє порівнювати між собою фінансові операції, що мають різні умови: чим вище ефективна ставка фінансової операції, тим вигідніше операція для кредитора (інвестора).

Завдання. Розрахуйте ефективну відсоткову ставку (EAR), якщо щоквартальне нарощення і номінальна відсоткова ставка складає 20%.

Рішення:

Завдання. Анна планує інвестувати 1500 грош. од. в цінний папір, що приносить 7% річних з щомісячним нарахуванням. Скільки отримає Анна в кінці другого року?

Рішення:

Для нотаток__________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.1.4. Майбутня вартість грошей для одиничного платежу

Майбутня вартість (future value, або FV) – це сума, до якої виростуть вкладені сьогодні інвестовані кошти за відповідної відсоткової ставки. Оскільки рух грошових потоків іде від сьогодення до майбутнього, майбутню вартість ще називають нарощеною. Інвестувати можна за схемою простих або складних відсотків(compound interest).

Схема простих відсотків (simple interest) ______________________________________________________

Припускає незмінність бази, з якої відбувається нарахування. Якщо вихідний капітал, що інвестується, дорівнює теперішній вартості (present value, PV), а необхідна прибутковість в частках одиниці становить r, то вважається, що інвестиція здійснена на умовах простого відсотка, якщо інвестований капітал щорічно збільшується на величину PV × r.

Таким чином, через n років розмір інвестованого капіталу буде дорівнювати:

FV = PV + PV × r + … + PV × r = PV + PV × nr = PV × (1 + nr)

З наведеної формули випливає, що відсотки нараховуються на одну і ту ж величину капіталу протягом усього терміну.

Висновок: за схемою простих відсотків кількість періодів нарахування (частота нарахування) ніяк

не впливає на сумарну величину процентних грошей або кінцевий дохід інвестора.

Цей вираз називається формулою нарощення за простими відсотками, а множник (1 + n × r) – множником нарощення чи коефіцієнтом нарощення за простими відсотками (k_n), його значення завжди повинне бути > 1:

Коефіцієнт нарощення показує, у скільки разів нарощена сума більше початкової суми боргу, тобто по суті є базисним темпом зростання. Формула нарощення показує, що приріст капіталу, що становить величину PV × n × r, прямо пропорційний терміну позики (n) і ставці відсотка (r) і зростає лінійно разом із зростанням терміну позики.

Величину PV × n × r зазвичай називають процентним платежем.

Необхідно звернути увагу на розмірність величин, що визначають розмір процентного платежу. Розмірності терміну і процентної ставки завжди повинні бути узгоджені.

ПРИКЛАД 3. Анна інвестувала в цінні папери 3000у.о. під 14% річних з капіталізації доходу. Є три варіанта тривалості інвестицій 1) один рік (нарахування % раз на півроку); 2) 5 місяців (щомісячне нарахування %), 3) 25 днів (щоденне нарахування %).

1) За щорічного нарахування відсотків та терміном інвестування 1 рік майбутня вартість буде дорівнювати:

FV = PV(1 + nr) = 3000×(1 +2×0,14/2) = 3420 у.о.

2) За щомісячного нарахування відсотків та терміном інвестування в 5 місяців майбутня вартість буде дорівнювати:

FV = PV(1 + r × М/12) = 3000×(1 + 0,14×5/12) = 3175 у.о.

3) За щоденного нарахування відсотків та терміном інвестування в 25 днів майбутня вартість буде дорівнювати:

FV = PV(1 + r × h/K) = 3000×(1 + 0,14×25/365) = 3028 у.о.

h – термін інвестування в днях, K – кількість днів у році (може бути 365, 366 або 360).

Немає необхідності у заучуванні формул. Вам потрібно знайти частку, яку складає термін інвестування від усього періоду. Якщо в місяцях – базою буде 12 місяців, якщо в днях – кількість днів у році. Отриманий результат множите на відсоткову ставку і дізнаєтеся, яку частину від можливого річного доходу отримаєте за інвестований вами термін.

Завдання. Банк видав своєму клієнтові позичку в розмірі 20,0 тис. у. о. терміном на півроку по ставці простих відсотків, рівної 18% річних. Визначити суму накопиченого боргу (нарощену суму) і відсотки (або відсотковий дохід).

Рішення:

Для нотаток__________________________________________________________________________________________________

Залежно від того, чому приймається рівною тривалість періоду угоди (рік, квартал, місяць), розмір проміжної процентної ставки може бути різним.

При визначенні тривалості фінансової операції день видачі та день погашення позики прийнято вважати одним днем.

Точну кількість днів за допомогою спеціальних таблиць можна визначити за формулою:

h = h_п – h_в

де h_n – дата погашення позики

h_в – дата видачі позики

Число днів у році К = 365, або 366 для високосного року (див. додатки табл. 1).

Увага!!! Спеціальною таблицею можна скористатися для визначення точної кількості днів тільки у випадку проведення розрахунків за англійською та французькою практикою.

Німецька

практика

Француська

практика

Англійська

практика

За часовою базою (К)

За кількістю днів позики (h)

Звичайний процент з часовою базою, що приймається за 360 днів

Рис. 4.3. Варіанти розрахунку відсотків за часовою базою і

кількістю днів позики

Приблизна кількість днів позики з тривалістю кожного цілого місяця в 30 днів

Точні проценти

Звичайні проценти

Наближена кількість днів позики

Точний процент з часовою базою, що складає дійсну кількість днів в році

Точна кількість днів позики з розрахунком фактичної кількості днів між датами

Точна кількість днів позики

Рис. 4.4. Види практик розрахунку відсотків

за часовою базою і кількістю днів позики

Ставка відсотків не є застиглою на вічні часи величиною, тому у фінансових операціях, в силу тих чи інших причин, передбачаються процентні ставки, що дискретно змінюються в часі. Наприклад, наявність інфляції змушує власника грошей періодично варіювати процентною ставкою. У таких випадках нарощену суму визначають, використовуючи наступну формулу:

FV = PV × (1 + n₁ × r₁ + n₂ × r₂ + … + nk × rk)

де k – кількість періодів нарахування

n_k – тривалість нарахування ставки k-го періоду

i_k – ставка процентів в k-му періоді.

Завдання. Банк пропонує клієнту-позичальнику наступні умови надання кредиту на один рік: перше півріччя – 10% річних, кожний наступний квартал ставка зростатиме на 2 відсоткових пункти. Відсотки нараховуються тільки на первісну суму наданого кредиту. Визначити нарощену суму боргу, якщо банк надав кредит на суму 50 тис. у. о.

Рішення:

Завдання. Фірмі виділений банківський кредит на термін з 3 січня по 12 березня під прості відсотки, із процентною ставкою 20% річних, рік невисокосний. Сума кредиту – 20 тис. у. о. Визначити за трьома практиками нарощену суму.

Рішення:

Довідково:

1. Англійська практика (точні відсотки з точною кількістю днів позики). Цей варіант дає найточніші відсотки. (Англія, США, Україна). h – точна кількість днів; К = 365 або 366 днів.

2. Французька практика (звичайні відсотки з точною кількістю днів позики) (банківський метод) h – точна кількість днів; К = 360 днів (Франція, Бельгія, Швейцарія).

3. Німецька практика (звичайні відсотки з наближеною кількістю днів позики). Місяць прирівнюється до 30 днів, К = 360 днів (Німеччина, Швеція, Данія).

Довідково:

Схема складних відсотків (compound interest)________________________________________

Якщо інвестиція здійснена на умовах складного відсотка, то черговий річний дохід обчислюється не з вихідної величини інвестованого капіталу, а вже з нарощеної суми, яка включає також раніше нараховані.

За нарахування складних відсотків, майбутня вартість інвестованих коштів розраховується за формулою (формулою складних відсотків):

FV = PV × (1 + r)n

де (1 + r)ⁿ або k_n – коефіцієнт (множник) нарощення складних відсотків

PV – сума коштів, інвестованих сьогодні (теперішня вартість)

r – відсоткова ставка за період нарахування

n - загальна кількість періодів нарахування

Процес нарощення (знаходження FV) зображений на рисунку 4.5.

х 1,05

Час 0

r = 5%

Потік готівки – 100 (PV) FV₁-? FV₂-? FV₃-? FV₄-? FV_5-?

Нарахований

відсоток (І) 5,00 5,25 5,51 5,79 6,08

Сума на кінець

кожного періоду (FV) 105,00 110,25 115,76 121,55 127,63

Рис. 4.5. Процес нарощення

ПРИКЛАД 4. Банк пропонує наступні умови депозитного договору: 1) для вкладу розміром в 5000 у.о. з терміном 3 роки – 6% річних (з щомісячним нарахуванням відсотків); 2) для вкладу розміром в 20000 у.о. з терміном 5 років - 8% річних (з щоквартальним нарахуванням відсотків). Порахуйте нарощену суму, яку отримають клієнти за закінченню терміну вкладу.

Для вирішення завдання використаємо формулу розрахунку майбутньої вартості:

FV = PV • (1 + r)ⁿ = 5000×(1+0,06/12)^3×12 = 5983,4у.о.
FV = PV • (1 + r)ⁿ = 20000×(1+0,08/4)^5×4 = 29718,9у.о.

Зверніть увагу, що при розрахунку береться відсоткова ставка за

період, а загальна кількість періодів нарахування - за весь термін вкладу. Відсоткова ставка обов’язково повинна бути прорахованою відповідно до частоти нарахування відсотків. Таким чином, якщо відсотки нараховуються чотири рази на рік, то і відсоткова ставка повинна бути порахована за квартал. Запам’ятайте, кількість років інвестування не впливає на розмір відсоткової ставки, тільки частота нарахування відсотків за рік.

Завдання. Первісна вкладена сума дорівнює 200 тис. у. о. Визначити нарощену суму через п'ять років при використанні складної ставки відсотків у розмірі 12% річних за нарахування відсотків кожні півроку.

Рішення:

Завдання. Необхідно розрахувати нарощену суму (дохід) від інвестиції, якщо сума в 120 у.о. дана в борг на 3 роки під 11% річних з нарахуванням відсотків щокварталу.

Рішення:

Порівняння нарощення за складними і простими відсотками

При рівній величині простих і складних відсоткових ставок (r_п= r_с) при терміні інвестування (кредитування) до одного року ( n<1) нарощена сума, нарахована за простими відсотками, буде більше нарощеної суми, обчисленої за складними відсотками, тобто (1+nr) >(1+r)ⁿ. Якщо термін інвестування менше року, більш вигідна схема простих відсотків.

Якщо термін угоди більше року (n>1), нарощення за складними відсотками випереджає нарощення за простими відсотками (1+n), тобто (1+nr) < (1+r)ⁿ. Якщо термін інвестування більше року, більш вигідна складних простих відсотків.

Для нотаток__________________________________________________________________________________________________

Нарахування складних відсотків при дробовому числі років

Досить часто фінансові контракти укладаються на період, що відрізняється від цілого числа років.

У випадку, коли термін фінансової операції виражений дробовим числом років, нарахування відсотків

можливе з використанням двох методів:

загальний метод полягає в прямому розрахунку за формулою складних відсотків:

де n = a + b – період угоди;

а – ціле число років;

b – дробова частина року (b = b/360, або 365, 366).

змішаний (комбінований) метод розрахунку передбачає для цілого числа років періоду нарахування використовувати формулу складних відсотків, а для дробової частини року - формулу простих відсотків:

де n = a + b

Оскільки нарощення дробової частини року в змішаному методі йде за схемою простих відсотків, по якій нарощена сума буде більшою, ніж за схемою складних відсотків, то при дробовому числі років змішаний метод розрахунку складних відсотків дає більший результат, ніж загальний метод розрахунку.

Завдання.

Компанією отримано кредит в банку у розмірі 250 тис. у. о. із терміном погашення через 2 роки і 9 місяців (2 роки і 270 днів), під 9,5% річних. При розрахунках тривалість року приймається за 360 днів. Визначити суму боргу при використанні:

а) схема складних відсотків

Рішення:

б) схема комбінованого методу

Рішення:

Найчастіше банки, надаючи довгострокові кредити, використовують ставки складних відсотків, що змінюються в часі, але заздалегідь фіксовані для кожного періоду. У цьому випадку нарощена сума визначається формулою:

де r₁, r₂ ,…r₁₂ – послідовні значення ставок відсотків;

n₁, n₂,…n_k – періоди, протягом яких використовуються відповідні ставки.

Завдання. Будівельна компанія отримала кредит в банку на суму 200 тис. у. о. терміном на 5 років. Умови кредиту: відсоткова ставка для 1-го року визначена у розмірі – 10%, для 2-го року передбачено надбавку до відсоткової ставки у розмірі 2%, для 3-го року та наступних років – у розмірі 0,5%. Визначити суму боргу, що підлягає погашенню наприкінці терміну позики.

Рішення:

Для нотаток__________________________________________________________________________________________________

4.1.5. Теперішня вартість для одиничного платежу

Теперішня вартість (PV) (Present Value) – це вартість станом на сьогодні грошового потоку, який буде отримано в певний час в майбутньому. Іншими словами, це сума, яку необхідно інвестувати сьогодні для того, щоб через визначений період часу одержати заздалегідь бажану суму.

Визначення теперішньої вартості пов'язано з процесом дисконтування (discounting) цієї вартості.

Ця операція є зворотною відносно операції нарощення при зумовленому кінцевому розмірі коштів. Відсоткова ставка, яка використовується в процесі дисконтування, називається ставкою дисконтування (discounted rate), але може мати і інші назви: необхідна норма дохідності (required rate of return), вартість капіталу (cost of capital) або opportunity cost.

Дисконтування за простими та складними відсотками

а) за простою відсотковою ставкою:

б) за складною відсотковою ставкою:

де і – дисконтні множники за простою та складною відсотковою ставкою, які показують, у скільки разів первісна сума менше нарощеної. Їх значення табульовані. Значення дисконтних множників повинне бути < 1.

Процес дисконтування за складними відсотками схематично можна показати наступним чином (рис. 4.6):

Час 0

r = 5%

Потік готівки – 100 (PV) FV₁-? FV₂-? FV₃-? FV₄-? FV_5-?

Нарахований

відсоток (І) 5,00 5,25 5,51 5,79 6,08

Сума на кінець

кожного періоду (FV) 105,00 110,25 115,76 121,55 127,63

: 1,05

Рис. 4.6. Процес дисконтування

Дисконтом називається дохід, що отриманий за обліковою відсотковою ставкою, тобто це різниця між розміром кредиту і безпосередньо сумою, що видається:

D = FV – PV; D = I

Очевидно, що чим вище значення ставки дисконтування, тим більше дисконт. Дисконтування за простою ставкою дисконтування найчастіше проводиться за французькою практикою нарахування відсотків, тобто коли тимчасова база приймається за 360 днів, а число днів в періоді береться точним.

Завдання. Якою буде теперішня вартість 2000 у. о.: а) через 1 рік, 10% річних і проста відсоткова ставка; б) через 3 роки, 5% річних і складна відсоткова ставка? Визначити дисконт за простою та складною відсотковою ставкою.

Рішення:

а) за простою відсотковою ставкою:

б) за складною відсотковою ставкою:

Завдання. Потрібно розрахувати теперішню вартість 100 тис. у.о., які знадобляться через 5 років при ставці дисконтування 12% та з щомісячним нарахуванням відсотків.

Рішення:

Для нотаток__________________________________________________________________________________________________

Існує кілька правил, що дозволяють швидко розрахувати термін подвоєння первісної суми для конкретної відсоткової ставки (тільки за складними відсотками!)

Правило «72». Для визначення терміну, за котрий відбудеться подвоєння капіталу, необхідно число 72 поділити на відому ставку:

n = 72/r(%)

де n – період подвоєння;

r – ставка.

Правило «69» (більш точніше). Термін, за котрий відбудеться подвоєння капіталу, розраховується наступною формулою:

n = 69/r(%) + 0,35

Дані правила дають дуже точний результат при значеннях r = 100%, а вище – вже погрішності.

Завдання. Маючи сьогодні ??? тис. у.о., можна покласти їх в банк під 15% річних і отримати через 5 років 50 тис. у.о.

Рішення:

Завдання. Компанія одержала кредит на один рік в розмірі 9 тис. грн. з умовою повернення 15 тис. у.о. Розрахуйте відсоткову ставки.

Рішення:

Знаходження теперішньої та майбутньої вартості використовується в більшості фінансових операцій, особливо в процесі інвестування, оскільки інвестор має справу з великою кількість пропозицій на ринку, які відрізняються за термінами та умовами виплати відсотків, тому потребують приведення до однієї бази. Розглянемо наступний приклад.

ПРИКЛАД 5. Студенту знайомий пропонує дати позику. Варіант №1 - отримати 1000 грн. сьогодні, варіант №2 - отримати 1120 грн. через рік, варіант №3 – отримати 200 грн. сьогодні, 650 грн. через рік і 300 грн. через два роки. Із трьох запропонованих варіантів потрібно визначити найвигідніший. Відомо, що відсоткова ставка складає 15% (уявимо, що це ставка по державним короткостроковим казначейським зобов’язанням США, U.S Treasury bills)

Період	Пропоновані кошти
Період	Варіант № 1	Варіант № 2	Варіант №3
Теперішня вартість (PV)	1 000	1,100/1.15 = 973.91	200 + 650/1.15 + 300/1.15² = 992.06
Рік 0 (сьогодні)	1 000		200
Через 1 рік		1 120	650
Через 2 роки			300
Майбутня вартість (FV)	1 000*(1+0,15)² = 1 322.5	1 120*(1+0,15)¹ = 1 288	200(1 +0,15)²+ 650(1+0,15) + 300 = 1 316.7

Таким чином, незалежно від вибраного процесу (нарощення чи дисконтування) найкращим варіантом є №1, оскільки має найбільші PV та FV. Зверніть увагу, що використовувалася одна і та ж відсоткова ставка, оскільки процеси компаундингу та дисконтування взаємно оберненими.

4.1.6. Розрахунок майбутньої та поточної вартості грошей з урахуванням ануїтету

Більшість фінансових операцій складається не з разових платежів, а з послідовності грошових надходжень (притоків, «додатних» платежів) або виплат (відтоків, «від’ємних» платежів) протягом визначеного періоду. Це може бути серія витрат або доходів компанії. Така послідовність називається потоком платежів або грошовим потоком. Окремі елементи такого ряду платежів іменуються членами потоку.

Члени потоку можуть бути як позитивними величинами (надходження), так і негативними величинами (виплатами), а тимчасові інтервали між членами такого потоку можуть бути рівними і нерівними.

Для нотаток__________________________________________________________________________________________________

Потік платежів, всі члени якого мають однаковий напрямок (знак), а часові інтервали між послідовними платежами постійні, називається ануїтетом. В науковій літературі можна зустріти поняття фінансова рента, однак воно не таке розповсюджене як ануїтет.

Прикладом ануїтету є: щорічні або щоквартальні виплати суми відсотків за облігаціями, щомісячні погашення кредиту, рівномірна сплата за орендоване майно, нарахування амортизації прямолінійним методом тощо.

При розгляді ануїтету використовуються наступні основні категорії:

Член ануїтету (CF) – величина кожного окремого платежу
Період ануїтету (k) – часовий інтервал між членами ануїтету
Термін ануїтету (n) – час від початку фінансової ренти до кінця останнього її періоду
Процентна ставка (r) – ставка, що використовується при нарощенні платежів, з яких

Відомі наступні методи визначення ануїтетів:

звичайні ануїтети (постнумерандо) (Ordinary Annuity) – грошові потоки, що виникають наприкінці кожного періоду нарахування (рік, півроку тощо). Цей метод визначення ануїтетів – найбільш розповсюджений;
строкові (авансові або пренумерандо) ануїтети (Annuity Due) – платежі здійснюються на початку періоду;
безстрокові ануїтети (ренти, консолі), виплата за якими відбувається постійно.

Майбутня (нарощена) величина ануїтету_____________________________________

Нарощена сума ренти (FV_A) – це сума всіх ануїтетних платежів з нарахованими на них відсотками на кінець терміну

Рис. 4.7. Механізм нарощення ануїтету

Нарощена сума ренти являє собою геометричну прогресію з першим членом (CF) і множником прогресії рівним коефіцієнту нарощення ренти Kr,n. (рис. 4.7).

Нарощена сума показує, яку величину буде представляти капітал, що внесений через рівні проміжки часу протягом всього терміну ренти разом з нарахованими відсотками.

Для обчислення майбутнього значення ануїтету (звичайного!!!) використовуються наступну формулу:

яку можна спростити до

При розрахунку майбутньої вартості ануїтету за значення CF береться величина одного платежу ,

який повторюється протягом всього періоду інвестування, а не сума всіх членів ануїтету.

– дану величину називають коефіцієнтом нарощення ануїтету або коефіцієнтом акумуляції внесків. Позначимо коефіцієнт нарощення Kr,n, де підрядковані символи r;n вказують на застосовувану процентну ставку і термін ренти. Значення коефіцієнта табульоване (додаток 4). Тоді маємо майбутню вартість та величину ануїтетного платежу відповідно:

Для нотаток__________________________________________________________________________________________________

Завдання. Фірма прийняла рішення про створення інвестиційного фонду. З цією метою протягом 5 років наприкінці кожного року в банк вноситься 30,0 тис. у. о. під 15% річних, з наступною їх капіталізацією, тобто з додатком до вже накопиченої суми. Визначити нарощену суму ануїтетного платежу.

Рішення:

Завдання. Підприємець має вибір щодо вкладення грошей на депозит: одночасно на три роки під 5% річних або протягом трьох років рівномірними частками, тобто по 100 у.о. Який вибір він зробить?

Рішення:

Теперішня (приведена) величина ануїтету____________________________________

Сучасна (приведена чи теперішня) величина потоку платежів – це сума всіх платежів ануїтету (CF), зменшена (дисконтована) на величину процентної ставки на визначений момент часу, що збігає з початком потоку платежів, чи передує йому (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Механізм дисконтування ануїтету

Сучасна величина (PV_A) показує, яку суму варто було б мати спочатку, щоб, розбивши її на рівні внески, на які б нараховувалися встановлені відсотки протягом терміну ренти, можна було забезпечити отримання нарощеної суми.

Для дисконтування ануїтету (звичайного!!!) використовують наступну формулу:

яку можна спростити до

При розрахунку теперішньої вартості ануїтету за значення CF береться величина одного платежу , який повторюється

протягом всього періоду інвестування, а не сума всіх членів ануїтету.

- дану величину називаються коефіцієнтами приведення ренти, їх можна позначити як K’r_,n, де підрядкові символи r; n також вказують на застосовану процентну ставку і термін ренти. Значення коефіцієнта табульоване (додаток 5). Тоді маємо теперішню вартість та величину ануїтетного платежу відповідно:

Безстроковий ануїтет____________________________________________________

Якщо платежі здійснюються досить тривалий час і їх число заздалегідь не може бути відомо (n ∞), то такий потік називається безстроковим ануїтетом або довічною рентою (англ. perpetuity).

Характерними прикладами довічних рент є платежі у пенсійному страхуванні в договорі довічної ренти; консолі –облігації деяких країн, що не мають фіксованого терміну купонних виплат.

Для нотаток__________________________________________________________________________________________________

У західній практиці до безстрокових відносять ануїтети, розраховані на 50 і більше років. Вони були дуже популярні в Західній Європі в XIX ст., в умовах золотого стандарту, коли грошові системи були стійкими. За своєю сутністю привілейовані акції є безстроковими ануїтетами.

Для даного виду фінансової ренти визначення майбутньої вартості не має сенсу.

Приведену вартість безстрокового ануїтету розраховують за формулою:

де CF – безстроковий ануїтет, тобто фіксована сума, яка регулярно виплачується неймовірно довго

Завдання. Позичальник взяв кредит на 3 роки під 15% річних. Кредит повинен бути погашений трьома рівними платежами по 20,0 тис. у. о. наприкінці кожного року. Яка сума кредиту?

Рішення:

Завдання. Річний фіксований дивіденд по привілейованої акції дорівнює 50 грош. од. Знайти вартість цієї акції (приведену вартість довічної ренти), якщо ставка дисконтування складає 15%.

Рішення:

4.1.7. Вплив інфляції за зміну вартості грошей

В інвестиційній практиці необхідно враховувати коригуючий фактор інфляції, який з часом знецінює вартість грошей.

В ході розрахунків, що пов'язані з корегуванням грошових потоків в процесі інвестування з урахуванням інфляції, прийнято використовувати два основних поняття – номінальна і реальна сума грошей.

Номінальна сума грошей – це оцінка її величини без врахування зміни купівельної спроможності грошей.

Реальна сума грошей – це оцінка величини коштів з урахуванням цих змін у зв'язку з процесом інфляції.

В усіх раніше розглянутих методах нарощення і дисконтування всі грошові суми враховувалися за номіналом, тобто не враховувався фактор інфляції. Інакше кажучи, не бралося до уваги зниження реальної купівельної спроможності грошей за період, що охоплюється розглянутими операціями.

Інфляція, як економічне явище – відображає підвищення загального рівня цін на товари і послуги.

Інфляція характеризується такими показниками як рівень (темп) інфляції та індекс інфляції.

Рівень (темп) інфляції (Т) характеризує приріст середнього рівня цін в розглянутому періоді (n) і виражається десятковим дробом.

де – приріст цін на товари споживчого кошика в звітному періоді;

Р – ціни на товари, що враховуються при оцінці інфляційного фактора (того ж кошика).

Для нотаток__________________________________________________________________________________________________

Індекс інфляції (I) показує, в скільки раз підвищилися ціни за розглянутий період:

Взаємозв'язок рівня та індексу інфляції за той самий період такий I=1+Т; Т= I – 1.

Якщо треба визначити індекс інфляції за тривалий період (наприклад, за один рік) на підставі значень рівня інфляції за більш короткі періоди (наприклад, місяці), використовують формулу:

I = (1+Т₁)(1+Т₂)(1+Т₃)…(1+Т_i) або I = (1+Т_i)ⁿ,

де i – кількість періодів

n – кількість років

Врахування інфляції при використанні простих відсотків

Нарощення за простою відсотковою ставкою буде знецінюватися зростанням цін. Формула реальної нарощеної суми за простими відсотками виглядає як:

З наведеної вище формули випливає, що реальне нарощення первісного капіталу з урахуванням купівельної спроможності грошей буде відбуватися тільки в тому випадку, якщо 1 + nr > I. Якщо 1 + nr = I, то нарощення тільки лише компенсує негативну дію інфляції.

Власники грошових коштів не можуть змиритися з їх інфляційним знеціненням й уживають різні спроби компенсації втрат, найбільш поширеним серед яких є коригування ставки відсотка, тобто збільшення її на величину інфляційної премії.

Скоригована таким чином ставка – брутто-ставка - виходить із скоригованого на інфляцію множника нарощення:

де r - прибутковість фінансової операції згідно умов договору

r_бр - скоригована з поправкою на інфляцію норма прибутковості (брутто-ставка)

У західній фінансовій літературі брутто-ставку називають номінальною ставкою. Застосування цієї назви в розрахунку інфляції може заплутати, оскільки номінальна ставка широко застосовується в розрахунках.

Якщо оголошена необхідна норма прибутковості за простими відсотками, то реальну процентну ставку (нетто-ставку), тобто прибутковість фінансової операції з урахуванням інфляції при нарахуванні простих відсотків можна визначити за формулою:

де r – прибутковість фінансової операції згідно умов

договору

r_реал – реальна доходність фінансової операції (нетто-

ставка)

Завдання. Нехай номінальна ставка відсотка з урахуванням інфляції складає 20%, а очікуваний темп інфляції в рік 10%. Період інвестування – 2 роки. Необхідно визначити реальну майбутню вартість обсягу інвестицій, який дорівнює 200 000 у. о. Крім того, необхідно визначити реальну майбутню вартість обсягу інвестицій, якщо у процесі реального розвитку економіки темп інфляції складе 25%.

Рішення:

Врахування інфляції при використанні складних відсотків

При нарахуванні відсотків за складною ставкою і нарощення відсотків, і їх знецінення внаслідок інфляції будуть індексуватися за складними відсотками:

Як видно, значення цієї формули являють собою множники нарощення, що враховують очікуваний рівень інфляції. Подивимося, як впливають ставка складних відсотків (r) і темп інфляції (Τ) на зміну множника нарощення і кінцевої суми.

З цієї формули випливають наступні висновки:

1. якщо рівень інфляції дорівнює ставці відсотків, що нараховуються (Τ = r), то реального зростання грошових сум не буде, тому нарощення буде повністю поглинатися інфляцією;
2. якщо рівень інфляції вище рівня процентної ставки (Τ > r), то відбувається «проїдання» капіталу, і реальна нарощена сума буде менше первісної грошової суми;
3. якщо рівень інфляції нижче процентної ставки (Τ < r), то це буде відповідати зростанню реальної грошової суми.

Нарощена за складними відсотками сума через рік з урахуванням фактора інфляції складе:

З цього виразу отримуємо розрахунок реальної (брутто-ставки) ставки, тобто ставки з поправкою на інфляцію:

r_бр = (1 + r) (1 + Τ) = r + T + rТ

Дана формула називається формулою Фішера (названа ім'ям американського вченого І. Фішера, який її запропонував), а сума (τ + r Τ), що додається до реальної процентної ставки для компенсації втрат від інфляції, є інфляційної премією.

Завдання. Визначити номінальну майбутню вартість вкладу з урахуванням фактора інфляції, якщо сума вкладу РV = 1000 у.о. Річна процентна ставка, що використовується для прирощення вартості вкладу (r)=20%. Прогнозований річний темп інфляції (Т)= 12%, період розміщення вкладу (п) – три роки. Формула для розрахунків:

FV =РV×[(1+r) × (1+Т)] ^п

Рішення:

Завдання. Нехай інвестору обіцяна реальна прибутковість його вкладень по процентній ставці 10%. Це означає, що при інвестуванні 1000 у.о. через рік він отримає 1000 (1+0,1) = 1100 у.о. Якщо темп інфляції складає 25%, то інвестор корегує цю суму відповідно до темпу: 1100 (1+0,25) = 1375 у.о. Визначте розмір інфляційної премії та річну процентну ставку, що забезпечить реальну ставку прибутковості операції в 10% при річному темпі інфляції в 25%.

Рішення:

Для нотаток__________________________________________________________________________________________________

4.2. Економічна сутність вартості капіталу

Капітал – вартість, яка авансується в виробництво з метою одержання прибутку.

Ціна (вартість) капіталу (cost of capital) корпорації – сукупність витрат пов'язана із залученням та обслуговуванням капіталу, виражена у відсотках до величини капіталу; це необхідна ставка доходу, яку повинна мати корпорація для покриття витрат по залученню капіталів на ринку.

___________________________________

Внутрішні фінансові ресурси міжнародних корпорацій

Галузі формування

Механізми, інструменти

Цільові установки

Виробничий сегмент корпорації

Галузевий корпоративний сегмент

Корпорація

Регіон

Емісія акцій

Субординований борг

Корпоративні

кредити

Внутрішньо-корпоративний

перерозподіл

Створення

корпорації або її підрозділу

Підтримка

функціонування

Розвиток корпорації або її підрозділу

Комерційні

проекти

Основні засоби

Оборотні активи

Інвестиції

Маркетинг

Соціальні проекти

Рис. 4.9. Власні (внутрішні) джерела формування капіталу міжнародних корпорацій

Зовнішні фінансові ресурси міжнародних корпорацій

Галузі формування

Механізми, інструменти

Цільові установки

Національний

кредитний ринок

Міжнародний

кредитний ринок

Національний

фондовий ринок

Міжнародний

фондовий ринок

Кредити

Емісія корпоративних векселів

Емісія корпоративних облігацій

Страхові премії

Підтримка

функціонування

Розвиток

корпорації або її підрозділу

Комерційні

проекти

Основні засоби

Оборотні активи

Інвестиційні доходи

Маркетинг

Соціальні проекти

Страховий ринок

Ринок виробничих інвестицій

Рис. 4.10. Позикові (зовнішні) джерела формування капіталу міжнародних корпорацій

4.3. Оцінка вартості (ціни) капіталу, який залучається корпорацією із різних джерел

Фінансовий ринок формує ринкові ціни капіталу, що залучається з різних джерел. Завдання фінансового менеджера – забезпечити зменшення вартості капіталу для фірми, обираючи вигідні варіанти його залучення.

Корпорація може залучати капітал різними шляхами: за рахунок випуску звичайних і привілейованих акцій, нерозподіленого прибутку, випуску облігацій, отримання банківських кредитів (короткострокових та довгострокових).

Існує 5 стандартних джерел, за рахунок яких компанія може сформувати свій капітал:

1. Емісія звичайних акцій.

2. Емісія привілейованої акції.

3. Використання нерозподіленого прибутку.

4. Емісія корпоративної облігації.

5. Отримання банківських кредитів (перш за все, довгострокових).

____________________________________

___________________________________

Вартість звичайних акцій

Вартість цього джерела приймається рівної необхідній нормі прибутку інвестора на звичайну акцію. Зазвичай для розрахунку використовують чотири моделі:

• модель оцінки прибутковості фінансових активів (САРМ);

• модель прогнозованого росту дивідендів (модель Гордона);

• модель прибутку на акцію;

• модель премії за ризик.

Всі вони можуть мати помилки та неточності в розрахунку показників, тому жоден з них не можливо виділити в якості кращого. На практиці рекомендується застосовувати всі методи одночасно, а потім вибрати найбільш достовірний. Якщо результати їхнього застосування дуже відрізняються, необхідно провести додатковий аналіз.

Перші три джерела формують власний капітал, другі два – позиковий капітал компанії. Джерела капіталу не являють безкоштовними, кожен має свою ціну.
Найнижчі значення цін у джерела «емісія корпоративних облігацій», найдорожче джерело – випуск додаткового пакета звичайних акцій.
Будь-яка компанія зацікавлена, щоб їй капітал обходився кнайдешевше. Цим можна пояснити той факт, що найпоширенішим інструментом, що обертається на фондових ринках світу, є саме корпоративна облігація: їх зазвичай близько 60% від усієї маси виставлених на продаж фінансових інструментів.
Проте жодна компанія не може використовувати у своїй діяльності тільки позиковий капітал, що формується за рахунок найдешевших джерел, оскільки у разі виникнення кризової або банкротних ситуації розраховуватися з кредиторами було б нічим.
Тому, поряд з дешевими позиковими джерелами капіталу, будь-яка компанія завжди змушена використовувати і більше дорогі джерела, що формують власний капітал компанії.

З усіх видів джерел більш складним є визначення вартості власного капіталу.

Завдання. Розглядається доцільність інвестування в акції компанії А, що має бета-коефіцієнт рівний 1,6, або компанії В, у якої бета-коефіцієнт дорівнює 0,9. Безризикова ставка становить 6%, а середня прибутковість на ринку цінних паперів – 12%. Інвестування проводитися в тому випадку, якщо прибутковість становить не менше 15%. Необхідні для прийняття рішення оцінки можна розрахувати за допомогою моделі САРМ.

Рішення:

Для компанії А:

Для компанії В:

Модель оцінки прибутковості фінансових активів (САРМ – Capital Asset Pricing Model – формула Шарпа) – найбільш поширена в умовах стабільної ринкової економіки при наявності досить багатьох даних, що характеризують прибутковість роботи корпорації. Дана модель припускає, що ціна власного капіталу (С_е) дорівнює безризиковій прибутковості плюс премія за ризик:

С_е = С_RF + (С_М – С_RF)×b,

де С_RF – безризикова прибутковість;

С_М – необхідна прибутковість портфелю, або очікуваний ринковий дохід;

b – фактор ризику

Різниця між необхідною прибутковістю портфеля і безризиковою прибутковістю – є премія за ризик (С_М – С_RF). Добуток b-коефіцієнту на ринкову премію за ризик є премія за ризик володіння конкретною акцією.

При b = 0 – активи компанії зовсім безризикові (наприклад, для казначейських облігацій США з терміном погашення до 20 років).

При b < 1 – акції даної компанії характеризуються як захищені і менш ризиковані, чим у середньому на ринку.

При b = 1 – акції компанії мають середній рівень ризику, що склався на ринку в цілому.

При b > 1 – акції даної компанії є ризикованими.

Таким чином, збільшення b-коефіцієнту в динаміці означає, що вкладення в цінні папери компанії ризиковані.

Правило прийняття інвестиційних рішень згідно з CAPM: гроші слід вкладати в ті інвестиції, прогнозована рентабельність яких є вищою, ніж рівноважна рентабельність, розрахована за CAPM. У разі наявності багатьох альтернатив слід віддати перевагу тим, рентабельність яких найбільш відрізняється від рівноважної у бік збільшення.

Завдання. Знайти коефіцієнт бета портфеля активів. Портфель включає наступні активи: А – 14%; В – 28%; С – 35%; D – 13%; E – 10%. Коефіцієнт бета дорівнює: А – 1,3; В – 1,6; С – 0,7; D – 0,9; E – 1.

Підказка: Важливою властивістю моделі САРМ є її лінійність відносно ступеня ризику. Це дає можливість визначати β-коефіцієнт портфеля як середньозважену β-коефіцієнтів активів, що входять у портфель.

Рішення:

b_р=

___________________________________

Модель прогнозованого росту дивідендів (модель Гордона) застосовується до тих компаній, величина приросту дивідендів (g) яких постійна. Якщо цього не спостерігається, то модель не використовується. Відповідно до цієї моделі вартість власного капіталу (звичайні акції, які випущені раніше) (С_е) розраховується за формулою:

де D₁ – очікувані дивіденди наступного періоду, який визначається як D₀ (1 + g);

D₀– дивіденди попереднього періоду;

P – ринкова вартість акції.

У західній літературі ця формула називається «моделлю Гордона» за іменем американського економіста, котрий увів її в науковий обіг і практику визначення ціни акції.

У практиці найбільш складно оцінити ставку приросту g. Це можна зробити декількома способами:

• використовувати раніше встановлені ставки;

• використовувати метод експертних оцінок;

• розрахувати середньоарифметичний приріст за попередні роки виплат дивідендів.

Завдання. Дивіденди корпорації торік склали 10%. Сьогодні її цінні папери продають за ціною 300 у.о. за акцію. Ви розраховуєте, що в майбутньому дивіденди будуть стабільно зростати на 10%. Яка вартість активів корпорації?

Підказка:

Дивіденд (D₁) на наступний рік складе:

1. D_o = Ринкова ціна акції х ставка дивідендів =

2. D₁ = D₀ х (1 + g) =

де D_o– дивіденди по відношенню до попереднього періоду

Рішення:

С_е =

___________________________________

Якщо корпорація хоче залучити капітал за рахунок додаткової емісії акцій, то вартість акціонерного (власного) капіталу (С_е(дод)) за рахунок нового випуску звичайних акцій складе:

де F (flotation or sellingcosts) – витрати на випуск і розміщення нових акцій, %.

Як правило, вартість акціонерного капіталу, створеного за рахунок нової емісії, вища, ніж вартість нерозподілених прибутків, тому що емісія так чи інакше пов’язана з додатковими витратами на виготовлення, розміщення акцій тощо.

Завдання. Припустимо, що корпорація планує мати постійний ROE (рентабельність власного капіталу) на рівні 24% і виплатити 60% чистого прибутку у вигляді дивідендів. Тоді прогнозований темп росту буде дорівнювати 9,6%. Далі, якщо акції корпорації продаються по 90 у.о., а дивіденд планується на рівні 10 у.о., то відповідно до цих умов вартість нерозподіленого прибутку становить 9,71%. Це мінімальна норма прибутку, яку повинна отримати корпорація, щоб виправдати перед очима акціонерів свої дії щодо реінвестування капіталу. Яка вартість активів корпорації, якщо процент витрат на виготовлення і розміщення додаткової емісії акцій становить 9%?

Рішення:

Р(1 – F) – чиста ціна за акцію, яку отримує компанія. Якщо процент витрат на виготовлення і розміщення становить 9%, вартість нового капіталу буде дорівнювати ____, що на ____% = (______% – 9,71%,) більше /менше (підкреслити необхідне) вартості нерозподіленого прибутку.

Модель прибутку на акцію базується на показнику прибутку на акцію (EPS – Earnings Per Share), а не на величині дивідендів. Більшість інвесторів вважають, що саме показник чистого прибутку на акцію відображає реальний дохід, що отримується акціонерами, незалежно від того, чи виплачується він у вигляді дивідендів, чи реінвестується для отримання прибутку в майбутньому. Відповідно до даної моделі вартість власного капіталу (С_е) визначається:

де EPS – величина прибутку на одну акцію;

P – ринкова вартість акції.

Завдання. Величина показника «бета» для віртуальної компанії «Міраж» дорівнює 1,5. Поточна ринкова ціна акції складає 20 дол. США. Чистий прибуток у розрахунку на одну акцію становить – 2 дол. США. Величина дивіденду, що сплачується в поточному році на одну акцію, склала 1 дол. США. Очікується щорічне зростання дивідендів у розмірі 6%. Враховуючи, що відсоткова ставка безризикового вкладення капіталу дорівнює 6%, в сере-дня дохідність по ринку в цілому складає 9%, необхідно розрахувати вартість власного акціонерного капіталу з використанням моделей оцінки прибутковості фінансових активів (САРМ), прогнозованого росту дивідендів (модель Гордона) та прибутку на акцію.

Рішення:

Модель премії за ризик займає особливе місце, тому що носить договірний характер. Договір складається між компанією і потенційним інвестором про те, якою повинна бути премія за ризик вкладення капіталу. В даному випадку вартість власного капіталу (С_е) визначається за формулою:

де – рівень віддачі на вкладений капітал;

–- премія за ризик.

НЕДОЛІКИ РОЗРАХУНКІВ ЗА МЕТОДОМ ГОРДОНА:

він може бути реалізований лише для компаній, які виплачують дивіденди;
показник Се дуже чутливий до зміни коефіцієнта g (так, при даній вартості цінного паперу завищення

значення g всього на 0,1% спричинить за собою завищення оцінки вартості капіталу щонайменше на 1%);

не враховується ринковий ризик.

Ці недоліки певною мірою усуваються при застосуванні моделі САРМ.

Вартість боргу

Вартість боргу (cost of debt) – процентна ставка (СП), яку за користування боргом повинна сплатити корпорація після відрахування податків.

Ціна позикового капіталу залежить від багатьох факторів: виду процентних ставок (фіксованої або, що плаває), розробленої схеми нарахування відсотків або погашення довгострокової заборгованості тощо.

При визначенні ціни отриманої позики необхідно враховувати податкову економію (податковий щит). Відсотки за кредит відносяться на собівартість, тому не обкладаються податком на прибуток. З цієї причини ціна позики банку (С_d) буде меншою, ніж відсоток за кредит (r). Вартість позикового капіталу (кредитів) буде дорівнювати:

                                     ,

де t – коефіцієнт оподаткування (ставка податку на прибуток), у частках одиниці.

Завдання. Припустимо, що фірма отримала у банку кредит під 20% річних. Оскільки проценти за кредитами не є об’єктом оподаткування, що слушно з точки зору активізації інвестиційної діяльності, вартість боргу буде дорівнювати процентній ставці мінус економія на податках (наприклад, ставка податку на прибуток – 21%), а саме:

Рішення:

Вартість корпоративних облігацій

Ціна корпоративних облігації, що випущені емітентом, приблизно дорівнює величині відсотків, що сплачуються власникам облігацій. Однак при цьому необхідно враховувати різницю між номінальною вартістю облігації і ціною її реалізації. Сума, що отримана емітентом при розміщенні облігаційної позики, як правило, нижче самої позики, тому що пов'язана з витратами по емісії і розміщенню цінних паперів. Визначається вартість облігаційної позики таким чином:



де – щорічна процентна виплата за облігаціями;

        М – номінальна вартість облігації;

– поточна ринкова ціна облігації;

     n – термін погашення облігації.

Завдання. Припустимо, що Вам запропонували 10-річну, з 8-відсотковим купоном і номінальною вартістю в 1000 у.о. облігацію за ціною 877,60 у.о. Визначте вартість облігації.

Рішення:

Вартість привілейованих акцій

Модель визначення вартості капіталу від випуску привілейованих акцій (С_р) є простою, оскільки дохід за привілейованими акціями встановлюється фіксований (як за облігаціями) і понад цієї суми нічого не виплачується. Тому прибутковість за цими акціями розраховується за формулою:



де D – фіксована сума дивідендів на привілейовану акцію;

Р_р – ринкова ціна привілейованої акції (без витрат на розміщення).

На привілейовані акції, що випущені раніше, витрати на випуск не враховуються.

Як і у випадку зі звичайними акціями, витрати на випуск нових привілейованих акцій (С_р(нов.)) підвищують їхню вартість. Цю оцінку можна зробити за формулою , за умови, що g=0, тому що привілейовані акції, як правило, не мають росту:



де F (flotation or selling costs) – витрати на випуск привілейованих акцій

Завдання. Компанія випустила привілейовані акції з ціною 100 у.о. і сплачує по них дивіденди на рівні 8,0 у.о. Процент витрат на випуск і розміщення становить 1,5 %. Визначити вартість цієї складової капіталу корпорації.

Рішення:

Слід мати на увазі, що вартість привілейованих акцій має бути пристосована до системи оподаткування. Якщо дивіденди за привілейованими акціями не є об’єктом оподаткування, формула для визначення Сp(_нов.) залишається незмінною. Коли доходи за корпоративними правами оподатковуються (наприклад, за ставкою 25%), то вартість капіталу корпорації, що сформований за рахунок випуску привілейованих акцій, становила б меншу величину. Визначити вартість цієї складової капіталу корпорації з врахуванням оподаткування.

ВАРТІСТЬ НЕРОЗПОДІЛЕНОГО ПРИБУТКУ приймається рівний С_е, тому що якби цей прибуток не був реінвестований, а виплачений у вигляді дивідендів, то акціонери могли б інвестувати їх в інші акції, облігації та активи. Отже, використовуючи нерозподілений прибуток, компанія має заробити дохід, що забезпечить ставку доходу не нижче С_е. Можна сказати, що ціна нерозподіленого прибутку визначається тими ж методами, що і ціна звичайних акцій.

Існує правило, що є своєрідною загальної конвенцією (домовленістю): якщо фінансовий менеджер не може забезпечити прибутковість від вкладень нерозподіленого прибутку вище (принаймні, не нижче), ніж прибутковість звичайних акцій вже наявних у акціонерів, то йому слід відмовитися від використання нерозподіленого прибутку як джерела капіталу. У цьому випадку він повинен запропонувати акціонерам отримати весь чистий прибуток минулого року у вигляді дивідендів.

Таким чином, дане правило ставить межу для неефективних (низькодохідних) вкладень нерозподіленого прибутку. У цьому сенсі «ціна» даного джерела капіталу компанії, що прив'язується до рівня прибутковості звичайних акцій даної компанії, – не зовсім справжня ціна. На відміну від цін інших джерел, зрозуміло, за використання власного нерозподіленого прибутку компанія нікому нічого не повинна платити. Дана «ціна» має лише другий сенс: вона показує мінімально допустимий рівень прибутковості від капіталізації нерозподіленого прибутку.

Якщо приймаються наведені вище міркування (і домовленість), тоді визначити величину «ціни» джерела «нерозподілений прибуток» дуже легко. Ця величина прирівнюється до прибутковості звичайних акцій, а остання – визначається за формулою Шарпа.

4.4. Розрахунок середньозваженої ціни капіталу – WACC.

Показник граничної ціни капіталу – МСС, його застосування

Залучаючи капітал з різних джерел, фінансові менеджери намагаються оптимізувати структуру капіталу, щоб зменшити середньозважену вартість капіталу (WACC) – середню плату корпорації за всі джерела фінансування.

Для розрахунку WACC необхідно спочатку визначити вартість капіталу по кожному джерелу, потім питому вагу кожного джерела у загальній сумі капіталу, перемножити вартість кожного джерела капіталу на його питому вагу і скласти отримані добутки. Для розрахунку питомої ваги найчастіше використовують дані пасиву балансу, але для більш точної оцінки суму капіталу можна перерахувати за ринковими цінами акцій і облігацій.

або

де W_i – частка капіталу (інвестиційних ресурсів), отриманого з i-го джерела;

C_i – необхідна прибутковість капіталу, отриманого з i-го джерела;

W_e, W_p , W_d – відповідно частки власного капіталу (звичайних акцій і нерозподіленого прибутку), привілейованих акцій і позикового капіталу;

C_e, C_p , C_d – вартості відповідних частин капіталу;

t – ставка податку на прибуток, у частках одиниці.

Зниження податку на прибуток (t) при залученні позикових коштів і зростанні процентних платежів, що віднімаються з оподатковуваного прибутку, отримало назву податкового щита (tax shield).

Середньозважена вартість капіталу може бути використана в інвестиційному аналізі як відсоткова ставка для дисконтування грошових потоків при розрахунку NPV (чистого приведеного доходу) проекту, для порівняння з величиною IRR (внутрішньої норми прибутковості) проектів. Якщо IRR виявиться більше середньозваженої вартості капіталу, то проект може бути схвалений, якщо менше, то проект відхиляється.

Завдання. Розрахувати середньозважену вартість капіталу корпорації за даними, приведеним у табл. Розмір податку на прибуток – 25%.

Таблиця

Розрахунок середньозваженої ціни капіталу (WACC)

Джерело фінансування	Сума капіталу, тис. грош. од.	Ціна джерела, %	Питома вага джерела в пасиві
Акціонерний капітал, в тому числі:
– звичайні акції;	600	18
– привілейовані акції	60	11
Нерозподілений прибуток	300	16
Позиковий капітал, в тому числі:
– довгострокові кредити	100	20
– корпоративні облігації	400	15
Всього	1460		1,00

Рішення:

Ціна окремих джерел фінансування, як і структура всього капіталу, постійно змінюється. Середньозважена ціна капіталу також змінюється під впливом багатьох факторів.
Одним з них є розширення обсягу нових інвестицій, що можуть здійснюватися як за рахунок власних коштів (реінвестування частини прибутку), так і за рахунок залучених.
Перше джерело фінансування відносно дешеве, але обмежене у розмірах.
Друге джерело, в принципі не обмежене, але ціна його може суттєво змінюватися в залежності від структури авансованого капіталу. Відносне зростання в динаміці другого джерела, як правило, призводить до зростання ціни капіталу в цілому як плати за зростаючий ризик.

ВР

WACC, %

WACC₁

WACC₂

Обсяг додатково залученого капіталу, грош. од.

Капітал₁ =

нерозподілений прибуток +

+ привілейовані акції +

позиковий капітал

Капітал₂ =

звичайні акції +

+ привілейовані акції +

позиковий капітал

ВР

Динаміка граничної

вартості капіталу

Однак це – досить грубий спосіб розрахунку WACC, більш точніший спосіб передбачає, що власний капітал компанії формується не відразу за рахунок двох джерел – нерозподіленого прибутку та емісії звичайних акцій компанії. Спочатку використовується більш дешеве джерело власного капіталу – прибуток. І тільки після того, як нерозподілений прибуток весь задіяний, а компанії ще потрібні фінансові ресурси, залучають дорожче джерело власного капіталу – випускають запланований пакет звичайних акцій.

В результаті середньозважена ціна капіталу (WACC) як би розпадається на два рівня:

– WACC ₁ – усереднена ціна капіталу до емісії звичайних акцій;

– WACC ₂ – усереднена ціна після емісії звичайних акцій (коли вже джерело нерозподіленого прибутку повністю задіяне).

У тому і іншому випадку WACC розраховується з використанням не п’яти, а чотирьох доданків.

де – відповідно частки власного капіталу (нерозподіленого прибутку, звичайних акцій і), привілейованих акцій і позикового капіталу (довгострокові кредити, корпоративні облігації);

– вартості відповідних частин капіталу.

Як видно, при визначенні WACC₁ і WACC₂ використовуються формули, що відрізняються лише однією компонентою: у першому випадку застосовується , а в другому – .

Але оскільки <, то і WACC₁ < WACC₂. В результаті виникає «точка перелому» (break point) (ВР). Це такий обсяг капіталу, при якому вже витрачено весь нерозподілений прибуток компанії, а додатковий пакет звичайних акцій ще не випускали. Після проходження «точки перелому» ціна капіталу зростатиме. Збільшення граничної вартості кожного окремого елементу капіталу має стрибкоподібний (ступінчатий) характер (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Графік граничної вартості капіталу (MCC)

Отже, «точка перелому» – це грошова сума капіталу, який зможе отримати корпорація до того, як почне зростати WACC; при використанні різної структури капіталу отримуються різні точки розриву.

Іншими слова, формула повинна використовуватися неодноразово, і в результаті її використання отримують не єдине значення середньої ціни капіталу, а набір граничних значень, що змінюються зі зростанням потреби в капіталі.

Гранична вартість капіталу (або маржинальна) (Marginal cost of capital – MCC) – це вартість додатково залученого капіталу в порівнянні з тим, що використовується.

Гранична вартість капіталу відображає ті витрати, які компанія понесе для відтворення планової структури капіталу з урахуванням змін на фінансовому ринку.

Розрахунок граничної вартості капіталу здійснюється за формулою:

МСС = ∆WACC /∆К

де ∆WACC – приріст середньозваженої ціни капіталу у прогнозованому періоді, %;

∆К – приріст всього капіталу у прогнозованому періоді,%

Залучення корпорацією додаткових джерел фінансування своєї діяльності спричинює як зміну структури капіталу, так і ціни окремих його компонентів.

Якщо зростання ресурсів корпорації відбувається за рахунок нерозподіленого прибутку, WACC не зростатиме.

4.5. Фінансово-інвестиційні ризики в умовах невизначеності

У сучасній економічній літературі вживаються два поняття: невизначеність і ризик, пов’язані з ціною капіталу.
Невизначеність – ситуація, за якої неможливо точно передбачити, що буде, наприклад, якщо ціна капіталу

підвищується.

Ризик – поняття складніше, це ситуація, коли, приймаючи рішення, необхідно враховувати невизначеність,

оскільки від цього залежить подальший розвиток корпорації, її добробут.

Під фінансово-інвестиційними ризиками діяльності підприємства слід розуміти всі ті події, які зможуть спричинити зменшення фінансових ресурсів, збитковість фінансової або інвестиційної діяльності.

Загальний ризик включає:

ризики на макроекономічному рівні (систематичні), що охоплюють економіку в цілому;
ризики на мікроекономічному рівні (несистематичні), що торкаються окремих корпорацій, установ, організацій або фізичних осіб.

Систематичний (або ринковий) ризик

Систематичний (або ринковий) (market risk) ризик характерний для всіх учасників фінансової діяльності і усіх видів фінансових операцій.
Він залежить від змін в економіці і фінансах країни, а також від змін у світовій торгівлі, міжнародному русі капіталів, стані валют. Ризик, пов’язаний із системою економічних і фінансових відносин, не можна перебороти за допомогою диверсифікації портфеля. Іншими словами, систематичний ризик неминучий.
До цієї групи ризиків можуть бути віднесені інфляційний ризик, процентний ризик, валютний ризик, податковий ризик і частково інвестиційний ризик (при зміні макроекономічних умов інвестування).
Систематичний ризик в економічній літературі називають також недиверсифікованим, або ринковим. Мірою систематичного ризику є коефіцієнт бета (β), що показує ризикованість інвестицій у цінні папери в умовах загального ризику ринку.

___________________________________

Несистематичний (або специфічний) ризик

Несистематичний ризик (або специфічний ризик) (unique risk) притаманний окремим напрямкам фінансової діяльності і характеру фінансових операцій конкретної компанії.
Несистематичний ризик ще має назву диверсифікований, або портфельний. Він може бути пов'язаний з некваліфікованим фінансовим менеджментом, неефективною структурою активів і капіталу, надмірною схильністю до ризикованих («агресивних») фінансових операцій з високою нормою прибутку, недооцінкою бізнесів-партнерів і інших аналогічних факторів, яких можна уникнути за рахунок ефективного управління фінансовими ризиками.

___________________________________

Методи оцінки рівня ризиків

Кількісна оцінка рівня ризику дозволяє визначити розміри окремих ризиків і сумарного ризику того чи іншого напрямку діяльності (проекту).

Ризик визначають в абсолютному вимірі як величину прогнозованих втрат (збитків) і у відносному – як величину втрат, співвіднесену до визначеної бази. Базу вибирають менеджери в залежності від специфіки корпорації і виду конкретного ризику; це можуть бути прибуток, витрати на виробництво, вартість активів, втрати минулих років та ін.

Для кількісної оцінки рівня ризику застосовують три методи: статистичний, експертний, комбінований.

___________________________________

Статистичний метод оцінки рівня ризиків

Статистичний метод використовується за наявності значного обсягу статистичної інформації про втрати і прибутки минулих періодів, що мали місце на даному або аналогічному виробництві, встановлюється величина і частотність тієї або іншої економічної віддачі і складається найбільш ймовірний прогноз на майбутнє. Ця імовірність і буде ступенем ризику, він виражається величиною середньоквадратичного відхилення від очікуваних величин.

Головними інструментами статистичного методу оцінки ризику є:

– середнє очікуване значення події ( );

– дисперсія (Д) ;

– стандартне (середньоквадратичне) відхилення (s);

– коефіцієнт варіації (V);.

___________________________________

Імовірність (частота) (P_i) виникнення деякого рівня втрат знаходиться за формулою:

де N¹– число випадків настання конкретного рівня втрат;

N²– загальне число випадків.

Середнє очікуване значення події ( ) – є середньозваженою величиною всіх можливих результатів з урахуванням імовірності настання кожного результату і визначається формулою:

де E_i– абсолютне (фактичне) значення i-го результату;

P_i– імовірність настання i-го результату;

n – число варіантів результату події.

Таким чином, середнє очікуване значення результату (події) дорівнює добутку суми фактичних значень (E_i) на відповідні імовірності (P_i).

Дисперсія (Д) (variance) – це міра розкиду (відхилення) фактичного значення ознаки (E_i) від її середнього значення ( ), що визначають як квадрат відхилення фактичного значення ознаки від її середнього значення, помножений на імовірність (P_i):

Стандартне (середньоквадратичне) відхилення (s) (standard deviation) розраховується як квадратний корінь з дисперсії і показує максимально можливе відхилення параметра від його середньоочікуваного значення:

Величина середньоквадратичного відхилення характеризує ступінь конкретного ризику – чим вона більше, тим ризикованіше обраний шлях.

Найбільш кращою мірою оцінки загального ризику є коефіцієнт варіації, що характеризує зміну кількісних показників при переході від одного варіанта результату до іншого. Наприклад, зміна економічної рентабельності за роками.

Коефіцієнт варіації (V) (variation) – відносна величина, тому на його розмір не впливають абсолютні значення досліджуваного показника. Він являє собою відношення середньоквадратичного відхилення (s) до середньоочікуваного значення ().

V = s : ∙ 100(%)

Чим менше коефіцієнт варіації, тим більш стабільно прогнозована ситуація і менше рівень ризику. Емпірично встановлена наступна якісна оцінка різних значень коефіцієнта варіації:

– до 10% – слабка зміна;

– від 10% до 25% – помірна зміна;

– понад 25% – висока зміна.

Завдання. Компанія повинна вибрати один із двох напрямків свого розвитку. Перший напрямок вимагає одноразових інвестицій у розмірі 100,0 млн у.о. Враховуючи зміни, що відбуваються на ринку, можливі чотири варіанти ситуацій. У випадку першого варіанта корпорація може отримати прибуток від вкладеного капіталу в розмірі 40%; другий і третій варіанти однакові за результатами, але відрізняються тільки деякими специфічними особливостями, пов'язаними з рекламою; встановлено, що корпорація при другому і третьому варіанті може отримати прибуток від вкладеного капіталу в розмірі 10%; четвертий – може понести збитки – 20% вкладеного капіталу.

Другий напрямок розвитку корпорації вимагає такого ж обсягу інвестицій, як і перший; при цьому також можуть виникнути чотири ситуації: перший – компанія одержує 70% прибутку від вкладеного капіталу; другий і третій – по 10%; четвертий – компанія втрачає 50% вкладеного капіталу.

Рішення виконати в табл.:

Таблиця

Розрахунок дисперсії, середньоквадратичного відхилення

і коефіцієнта варіації

Можливий відсоток прибутку	Середнє очікуване значення	Відхилення від середнє очікуваного значення	Квадрат відхилення	Імовірність	Розрахунок дисперсії (Д)
Е		(Е –)	(Е - )²	P_i	(Е - )²P_i
Перший напрямок розвитку компанії
+ 40 + 10 - 20
Дисперсія = Коефіцієнт варіації =
Другий напрямок розвитку компанії
+ 70 + 10 - 50
Дисперсія = Коефіцієнт варіації =

Висновок:

Метод експертних оцінок застосовується в тому випадку, якщо в компанії відсутні необхідні інформативні або статистичні дані для здійснення розрахунків або порівнянь. Цей метод базується на опитуванні кваліфікованих фахівців (страхових, податкових, фінансових, інвестиційних менеджерів) з наступною математичною обробкою результатів цього опитування (наприклад, метод мозкової атаки, анонімний метод).

Комбінований метод найбільш прийнятний на практиці. Він являє собою комбінацію зі статистичного і експертного методів.

Варто згадати і про своєрідну комбінацію статистичного й експертного методів – кореляції. Кореляція – це зв'язок між ознаками, що складається в зміні середньої величини одного з них у залежності від зміни значення іншого. Кореляція буває позитивної і негативний. Оскільки числення індексу кореляції базується на емпіричних даних (наприклад, раніше обчисленій дисперсії), ми могли б продовжити наш наскрізний приклад, але подібні розрахунки добре приведені в курсі загальної теорії статистики.

___________________________________

ДОДАТКИ

Таблиця 1

Порядкові номери днів у невисокосному році

Місяці	Січень	Лютий	Березень	Квітень	Травень	Червень	Липень	Сер-пень	Вере-сень	Жовтень	Листопад	Грудень
Дні	Січень	Лютий	Березень	Квітень	Травень	Червень	Липень	Сер-пень	Вере-сень	Жовтень	Листопад	Грудень
1	1	32	60	91	121	152	182	213	244	274	305	335
2	2	33	61	92	122	153	183	214	245	275	306	336
3	3	34	62	93	123	154	184	215	246	276	307	337
4	4	35	63	94	124	155	185	216	247	277	308	338
5	5	36	64	95	125	156	186	217	248	278	309	339
6	6	37	65	96	126	157	187	217	249	279	310	340
7	7	38	66	97	127	158	188	219	250	280	311	341
8	8	39	67	98	128	159	189	220	251	281	312	342
9	9	40	68	99	129	160	190	221	252	282	313	343
10	10	41	69	100	130	161	191	222	253	283	314	344
11	11	42	70	101	131	162	192	223	254	284	315	345
12	12	43	71	102	132	163	193	224	255	285	316	346
13	13	44	72	103	133	164	194	213	256	286	317	347
14	14	45	73	104	134	165	195	226	257	287	318	348
15	15	46	74	105	135	166	196	227	258	288	319	349
16	16	47	75	106	136	167	197	228	259	289	320	350
17	17	48	76	107	137	168	198	229	260	290	321	351
18	18	49	77	108	138	169	199	230	261	291	322	352
19	19	50	78	109	139	170	200	231	262	292	323	353
20	20	51	79	110	140	171	201	232	263	293	324	354
21	21	52	80	111	141	172	202	233	264	294	325	355
22	22	53	81	112	142	173	203	234	265	295	326	356
23	23	54	82	113	143	174	204	235	266	296	327	357
24	24	55	83	114	144	175	205	236	267	297	328	358
25	25	56	84	115	145	176	206	237	268	298	329	359
26	26	57	85	116	146	177	207	238	269	299	330	360
27	27	58	86	117	147	178	208	239	270	300	331	361
28	28	59	87	118	148	179	209	240	271	301	332	362
29	29		88	119	149	180	210	241	272	302	333	363
30	30		89	120	150	181	211	242	273	303	334	364
31	31		90		151		212	243		304		365

Таблиця 2

К-сть	Ставка відсотків за період, %
періодів	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	20
1	1,01	1,02	1,03	1,04	1,05	1,06	1,07	1,08	1,09	1,10	1,11	1,12	1,13	1,14	1,15	1,20
2	1,02	1,04	1,06	1,08	1,10	1,12	1,14	1,17	1,19	1,21	1,23	1,25	1,28	1,30	1,32	1,44
3	1,03	1,06	1,09	1,12	1,16	1,19	1,23	1,26	1,30	1,33	1,37	1,40	1,44	1,48	1,52	1,73
4	1,04	1,08	1,13	1,17	1,22	1,26	1,31	1,36	1,41	1,46	1,52	1,57	1,63	1,69	1,75	2,07
5	1,05	1,10	1,16	1,22	1,28	1,34	1,40	1,47	1,54	1,61	1,69	1,76	1,84	1,93	2,01	2,49
6	1,06	1,13	1,19	1,27	1,34	1,42	1,50	1,59	1,68	1,77	1,87	1,97	2,08	2,19	2,31	2,99
7	1,07	1,15	1,23	1,32	1,41	1,50	1,61	1,71	1,83	1,95	2,08	2,21	2,35	2,50	2,66	3,58
8	1,08	1,17	1,27	1,37	1,48	1,59	1,72	1,85	1,99	2,14	2,30	2,48	2,66	2,85	3,06	4,30
9	1,09	1,20	1,30	1,42	1,55	1,69	1,84	2,00	2,17	2,36	2,56	2,77	3,00	3,25	3,52	5,16
10	1,10	1,22	1,34	1,48	1,63	1,79	1,97	2,16	2,37	2,59	2,84	3,11	3,39	3,71	4,05	6,19
11	1,12	1,24	1,38	1,54	1,71	1,90	2,10	2,33	2,58	2,85	3,15	3,48	3,84	4,23	4,65	7,43
12	1,13	1,27	1,43	1,60	1,80	2,01	2,25	2,52	2,81	3,14	3,50	3,90	4,33	4,82	5,35	8,92
13	1,14	1,29	1,47	1,67	1,89	2,13	2,41	2,72	3,07	3,45	3,88	4,36	4,90	5,49	6,15	10,70
14	1,15	1,32	1,51	1,73	1,98	2,26	2,58	2,94	3,34	3,80	4,31	4,89	5,53	6,26	7,08	12,84
15	1,16	1,35	1,56	1,80	2,08	2,40	2,76	3,17	3,64	4,18	4,78	5,47	6,25	7,14	8,14	15,41
16	1,17	1,37	1,60	1,87	2,18	2,54	2,95	3,43	3,97	4,59	5,31	6,13	7,07	8,14	9,36	18,49
17	1,18	1,40	1,65	1,95	2,29	2,69	3,16	3,70	4,33	5,05	5,90	6,87	7,99	9,28	10,76	22,19
18	1,20	1,43	1,70	2,03	2,41	2,85	3,38	4,00	4,72	5,56	6,54	7,69	9,02	10,58	12,38	26,62
19	1,21	1,46	1,75	2,11	2,53	3,03	3,62	4,32	5,14	6,12	7,26	8,61	10,20	12,06	14,23	31,95
20	1,22	1,49	1,81	2,19	2,65	3,21	3,87	4,66	5,60	6,73	8,06	9,65	11,52	13,74	16,37	38,34
21	1,23	1,52	1,86	2,28	2,79	3,40	4,14	5,03	6,11	7,40	8,95	10,80	13,02	15,67	18,82	46,01
22	1,24	1,55	1,92	2,37	2,93	3,60	4,43	5,44	6,66	8,14	9,93	12,10	14,71	17,86	21,64	55,21
23	1,26	1,58	1,97	2,46	3,07	3,82	4,74	5,87	7,26	8,95	11,03	13,55	16,63	20,36	24,89	66,25
24	1,27	1,61	2,03	2,56	3,23	4,05	5,07	6,34	7,91	9,85	12,24	15,18	18,79	23,21	28,63	79,50
25	1,28	1,64	2,09	2,67	3,39	4,29	5,43	6,85	8,62	10,83	13,59	17,00	21,23	26,46	32,92	95,40

Множники нарощення за складними відсотками

Таблиця 3

Множники дисконтування за складними відсотками

К-сть	Ставка відсотків за період, %
періодів	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	20
1	0,99	0,98	0,97	0,96	0,95	0,94	0,93	0,93	0,92	0,91	0,90	0,89	0,88	0,88	0,87	0,83
2	0,98	0,96	0,94	0,92	0,91	0,89	0,87	0,86	0,84	0,83	0,81	0,80	0,78	0,77	0,76	0,69
3	0,97	0,94	0,92	0,89	0,86	0,84	0,82	0,79	0,77	0,75	0,73	0,71	0,69	0,67	0,66	0,58
4	0,96	0,92	0,89	0,85	0,82	0,79	0,76	0,74	0,71	0,68	0,66	0,64	0,61	0,59	0,57	0,48
5	0,95	0,91	0,86	0,82	0,78	0,75	0,71	0,68	0,65	0,62	0,59	0,57	0,54	0,52	0,50	0,40
6	0,94	0,89	0,84	0,79	0,75	0,70	0,67	0,63	0,60	0,56	0,53	0,51	0,48	0,46	0,43	0,33
7	0,93	0,87	0,81	0,76	0,71	0,67	0,62	0,58	0,55	0,51	0,48	0,45	0,43	0,40	0,38	0,28
8	0,92	0,85	0,79	0,73	0,68	0,63	0,58	0,54	0,50	0,47	0,43	0,40	0,38	0,35	0,33	0,23
9	0,91	0,84	0,77	0,70	0,64	0,59	0,54	0,50	0,46	0,42	0,39	0,36	0,33	0,31	0,28	0,19
10	0,91	0,82	0,74	0,68	0,61	0,56	0,51	0,46	0,42	0,39	0,35	0,32	0,29	0,27	0,25	0,16
11	0,90	0,80	0,72	0,65	0,58	0,53	0,48	0,43	0,39	0,35	0,32	0,29	0,26	0,24	0,21	0,13
12	0,89	0,79	0,70	0,62	0,56	0,50	0,44	0,40	0,36	0,32	0,29	0,26	0,23	0,21	0,19	0,11
13	0,88	0,77	0,68	0,60	0,53	0,47	0,41	0,37	0,33	0,29	0,26	0,23	0,20	0,18	0,16	0,09
14	0,87	0,76	0,66	0,58	0,51	0,44	0,39	0,34	0,30	0,26	0,23	0,20	0,18	0,16	0,14	0,08
15	0,86	0,74	0,64	0,56	0,48	0,42	0,36	0,32	0,27	0,24	0,21	0,18	0,16	0,14	0,12	0,06
16	0,85	0,73	0,62	0,53	0,46	0,39	0,34	0,29	0,25	0,22	0,19	0,16	0,14	0,12	0,11	0,05
17	0,84	0,71	0,61	0,51	0,44	0,37	0,32	0,27	0,23	0,20	0,17	0,15	0,13	0,11	0,09	0,05
18	0,84	0,70	0,59	0,49	0,42	0,35	0,30	0,25	0,21	0,18	0,15	0,13	0,11	0,09	0,08	0,04
19	0,83	0,69	0,57	0,47	0,40	0,33	0,28	0,23	0,19	0,16	0,14	0,12	0,10	0,08	0,07	0,03
20	0,82	0,67	0,55	0,46	0,38	0,31	0,26	0,21	0,18	0,15	0,12	0,10	0,09	0,07	0,06	0,03
21	0,81	0,66	0,54	0,44	0,36	0,29	0,24	0,20	0,16	0,14	0,11	0,09	0,08	0,06	0,05	0,02
22	0,80	0,65	0,52	0,42	0,34	0,28	0,23	0,18	0,15	0,12	0,10	0,08	0,07	0,06	0,05	0,02
23	0,80	0,63	0,51	0,41	0,33	0,26	0,21	0,17	0,14	0,11	0,09	0,07	0,06	0,05	0,04	0,02
24	0,79	0,62	0,49	0,39	0,31	0,25	0,20	0,16	0,13	0,10	0,08	0,07	0,05	0,04	0,03	0,01
25	0,78	0,61	0,48	0,38	0,30	0,23	0,18	0,15	0,12	0,09	0,07	0,06	0,05	0,04	0,03	0,01

Таблиця 4

Множники нарощення ануїтету

К-сть	Ставка відсотків за період, %
періодів	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	20
1	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
2	2,01	2,02	2,03	2,04	2,05	2,06	2,07	2,08	2,09	2,10	2,11	2,12	2,13	2,14	2,15	2,20
3	3,03	3,06	3,09	3,12	3,15	3,18	3,21	3,25	3,28	3,31	3,34	3,37	3,41	3,44	3,47	3,64
4	4,06	4,12	4,18	4,25	4,31	4,37	4,44	4,51	4,57	4,64	4,71	4,78	4,85	4,92	4,99	5,37
5	5,10	5,20	5,31	5,42	5,53	5,64	5,75	5,87	5,98	6,11	6,23	6,35	6,48	6,61	6,74	7,44
6	6,15	6,31	6,47	6,63	6,80	6,98	7,15	7,34	7,52	7,72	7,91	8,12	8,32	8,54	8,75	9,93
7	7,21	7,43	7,66	7,90	8,14	8,39	8,65	8,92	9,20	9,49	9,78	10,09	10,40	10,73	11,07	12,92
8	8,29	8,58	8,89	9,21	9,55	9,90	10,26	10,64	11,03	11,44	11,86	12,30	12,76	13,23	13,73	16,50
9	9,37	9,75	10,16	10,58	11,03	11,49	11,98	12,49	13,02	13,58	14,16	14,78	15,42	16,09	16,79	20,80
10	10,46	10,95	11,46	12,01	12,58	13,18	13,82	14,49	15,19	15,94	16,72	17,55	18,42	19,34	20,30	25,96
11	11,57	12,17	12,81	13,49	14,21	14,97	15,78	16,65	17,56	18,53	19,56	20,65	21,81	23,04	24,35	32,15
12	12,68	13,41	14,19	15,03	15,92	16,87	17,89	18,98	20,14	21,38	22,71	24,13	25,65	27,27	29,00	39,58
13	13,81	14,68	15,62	16,63	17,71	18,88	20,14	21,50	22,95	24,52	26,21	28,03	29,98	32,09	34,35	48,50
14	14,95	15,97	17,09	18,29	19,60	21,02	22,55	24,21	26,02	27,97	30,09	32,39	34,88	37,58	40,50	59,20
15	16,10	17,29	18,60	20,02	21,58	23,28	25,13	27,15	29,36	31,77	34,41	37,28	40,42	43,84	47,58	72,04
16	17,26	18,64	20,16	21,82	23,66	25,67	27,89	30,32	33,00	35,95	39,19	42,75	46,67	50,98	55,72	87,44
17	18,43	20,01	21,76	23,70	25,84	28,21	30,84	33,75	36,97	40,54	44,50	48,88	53,74	59,12	65,08	105,93
18	19,61	21,41	23,41	25,65	28,13	30,91	34,00	37,45	41,30	45,60	50,40	55,75	61,73	68,39	75,84	128,12
19	20,81	22,84	25,12	27,67	30,54	33,76	37,38	41,45	46,02	51,16	56,94	63,44	70,75	78,97	88,21	154,74
20	22,02	24,30	26,87	29,78	33,07	36,79	41,00	45,76	51,16	57,27	64,20	72,05	80,95	91,02	102,44	186,69
21	23,24	25,78	28,68	31,97	35,72	39,99	44,87	50,42	56,76	64,00	72,27	81,70	92,47	104,77	118,81	225,03
22	24,47	27,30	30,54	34,25	38,51	43,39	49,01	55,46	62,87	71,40	81,21	92,50	105,49	120,44	137,63	271,03
23	25,72	28,84	32,45	36,62	41,43	47,00	53,44	60,89	69,53	79,54	91,15	104,60	120,20	138,30	159,28	326,24
24	26,97	30,42	34,43	39,08	44,50	50,82	58,18	66,76	76,79	88,50	102,17	118,16	136,83	158,66	184,17	392,48
25	28,24	32,03	36,46	41,65	47,73	54,86	63,25	73,11	84,70	98,35	114,41	133,33	155,62	181,87	212,79	471,98

Таблиця 5

Дисконтні множники ануїтету

К-сть	Ставка відсотків за період, %
періодів	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	20
1	0,99	0,98	0,97	0,96	0,95	0,94	0,93	0,93	0,92	0,91	0,90	0,89	0,88	0,88	0,87	0,83
2	1,97	1,94	1,91	1,89	1,86	1,83	1,81	1,78	1,76	1,74	1,71	1,69	1,67	1,65	1,63	1,53
3	2,94	2,88	2,83	2,78	2,72	2,67	2,62	2,58	2,53	2,49	2,44	2,40	2,36	2,32	2,28	2,11
4	3,90	3,81	3,72	3,63	3,55	3,47	3,39	3,31	3,24	3,17	3,10	3,04	2,97	2,91	2,85	2,59
5	4,85	4,71	4,58	4,45	4,33	4,21	4,10	3,99	3,89	3,79	3,70	3,60	3,52	3,43	3,35	2,99
6	5,80	5,60	5,42	5,24	5,08	4,92	4,77	4,62	4,49	4,36	4,23	4,11	4,00	3,89	3,78	3,33
7	6,73	6,47	6,23	6,00	5,79	5,58	5,39	5,21	5,03	4,87	4,71	4,56	4,42	4,29	4,16	3,60
8	7,65	7,33	7,02	6,73	6,46	6,21	5,97	5,75	5,53	5,33	5,15	4,97	4,80	4,64	4,49	3,84
9	8,57	8,16	7,79	7,44	7,11	6,80	6,52	6,25	6,00	5,76	5,54	5,33	5,13	4,95	4,77	4,03
10	9,47	8,98	8,53	8,11	7,72	7,36	7,02	6,71	6,42	6,14	5,89	5,65	5,43	5,22	5,02	4,19
11	10,37	9,79	9,25	8,76	8,31	7,89	7,50	7,14	6,81	6,50	6,21	5,94	5,69	5,45	5,23	4,33
12	11,26	10,58	9,95	9,39	8,86	8,38	7,94	7,54	7,16	6,81	6,49	6,19	5,92	5,66	5,42	4,44
13	12,13	11,35	10,63	9,99	9,39	8,85	8,36	7,90	7,49	7,10	6,75	6,42	6,12	5,84	5,58	4,53
14	13,00	12,11	11,30	10,56	9,90	9,29	8,75	8,24	7,79	7,37	6,98	6,63	6,30	6,00	5,72	4,61
15	13,87	12,85	11,94	11,12	10,38	9,71	9,11	8,56	8,06	7,61	7,19	6,81	6,46	6,14	5,85	4,68
16	14,72	13,58	12,56	11,65	10,84	10,11	9,45	8,85	8,31	7,82	7,38	6,97	6,60	6,27	5,95	4,73
17	15,56	14,29	13,17	12,17	11,27	10,48	9,76	9,12	8,54	8,02	7,55	7,12	6,73	6,37	6,05	4,77
18	16,40	14,99	13,75	12,66	11,69	10,83	10,06	9,37	8,76	8,20	7,70	7,25	6,84	6,47	6,13	4,81
19	17,23	15,68	14,32	13,13	12,09	11,16	10,34	9,60	8,95	8,36	7,84	7,37	6,94	6,55	6,20	4,84
20	18,05	16,35	14,88	13,59	12,46	11,47	10,59	9,82	9,13	8,51	7,96	7,47	7,02	6,62	6,26	4,87
21	18,86	17,01	15,42	14,03	12,82	11,76	10,84	10,02	9,29	8,65	8,08	7,56	7,10	6,69	6,31	4,89
22	19,66	17,66	15,94	14,45	13,16	12,04	11,06	10,20	9,44	8,77	8,18	7,64	7,17	6,74	6,36	4,91
23	20,46	18,29	16,44	14,86	13,49	12,30	11,27	10,37	9,58	8,88	8,27	7,72	7,23	6,79	6,40	4,92
24	21,24	18,91	16,94	15,25	13,80	12,55	11,47	10,53	9,71	8,98	8,35	7,78	7,28	6,84	6,43	4,94
25	22,02	19,52	17,41	15,62	14,09	12,78	11,65	10,67	9,82	9,08	8,42	7,84	7,33	6,87	6,46	4,95