МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОГО ПРОЕКТА

Исходные данные……………………………………………………..3

Введение……………………………………………………………….51. Особенности оптимизации многокритериальных задач на примере нахождения оптимальной производственной программы предприятия1.1 Особенности оптимизации многокритериальных задач……….6

1.2 Решение многокритериальных задач методом главной компоненты……………………………………………………………9

1.3 Решение многокритериальных задач методом свертывания критериев…...........................................................................................10

2. Практическая реализация моделей многокритериальной задачи.

2.1 Постановка многокритериальной задачи………………………10

2.2 Решение многокритериальной задачи нахождения оптимальной производственной программы предприятия методом главной компоненты…………………………………………………………..13

2.3 Оценка и анализ экономической эффективности полученной оптимальной производственной программы……………………....13

2.4 Решение многокритериальной задачи нахождения оптимальной производственной программы методом свертывания критериев...15

2.5 Оценка и анализ экономической эффективности полученной оптимальной производственной программы………………………18

2.6 Сравнительный анализ полученных результатов нахождения оптимальной производственной программы, полученной двумя методами……………………………………………………………..19

Заключение…………………………………………………………..20Список литературы………………………………………………….21

 

Исходные данные                                                                            

Вариант №17

Предприятие может выпускать пять видов продукции И1, И2, И3, И4, И5

Для этого используется три вида ресурсов, расход которых на производство единицы продукции и их запасы приведены в таблице 1:

Ресурс	И1	И2	И3	И4	И5	Запасы
В1	6	7	5	4	5	4000
В2	0	2	2	2	0	3500
В3	3	3	2	3	3	2500

Все изделия обрабатываются на станках четырех типов. Норма времени на обработку одного изделия и фонд времени работы станков приведены в таблице 2:

Ресурс	И1	И2	И3	И4	И5	Фонд времени
Токарные	0	1	3	2	3	4000
Фрезерные	3	4	8	5	4	5000
Сверлильные	1	2	2	0	2	3000
Шлифовальные	3	3	4	4	3	3000

Оптовая цена и себестоимость единицы продукции соответствующего типа приведены в таблице 3:

Оптовая цена (ден.ед.)	8	7	10	12	7
Себестоимость (ден.ед.)	8	7	10	12	6

Объем каждого вида продукции должен быть не менее 100 и не более 500 единиц. Мерой эффективности производственной программы является следующие показатели:

1.Прибыль предприятия-F1

2.Валовый объем выпуска продукции в стоимостном выражении –F2

3.Себестоимостьпродукции-F3

4.Уровень загрузки оборудования-F4

Требуется

1.Решить задачу методом главной компоненты, выбрав в качестве главной компоненты прибыль, а на остальные наложить разумные по смыслу задачи ограничения.

2.Решить задачу методом свертывания критериев, выбрав вектор весовых коэффициентов равным (0.4;0.2;0.3;0.1)

3.Сравнить итоговые результаты, полученные по 2 методам и принять решения о выборе приемлемого (оптимального) варианта.

 

 

 

Введение                                                                                                 

Промышленность России представлена множеством отраслей и предприятий. Россия является одной из главных промышленных держав мира и одной из немногих стран, способных производить промышленные товары практически любого типа.

В связи с этим актуальным является рассмотрение теоретических, методологических и практических аспектов совершенствования производственного плана промышленного предприятия в современных социально-экономических условиях путем многокритериальной оптимизации. В связи с этим целью данного курсового проекта является определение оптимальной производственной программы предприятия и экономического эффекта ее реализации.

Задачами данного курсового проекта являются:

1. Составление оптимальной производственной программы методом главной компоненты.
2. Составление оптимальной производственной программы методом комплексного критерия.
3. Расчет экономических показателей полученных первым и вторым методом.
4. Сравнение экономической эффективности обоих методов.
5. Сравнительная характеристика обоих методов.
6. 1.       Особенности оптимизации многокритериальных задач на примере нахождения оптимальной производственной программы предприятия

1.1 Особенности оптимизации многокритериальных задач

Многокритериальная оптимизация, или программирование (англ. Multi-objectiveoptimization) — это процесс одновременной оптимизации двух или более конфликтующих целевых функций в заданной области определения.

Задачи многокритериальной оптимизации встречаются во многих областях науки, техники и экономики.

В экономико-математическом моделировании наиболее актуально рассматривать оптимизацию многокритериальных задач, где показателем меры предельной меры экономического эффекта принимаемого решения может быть любой критерий, такой как максимум прибыли, максимум занимаемой доли рынка, кратчайшее время достижения цели и т.д. Многовариатность рассматриваемых критериев позволяет использовать возможность сравнительной оценки возможных решений (альтернатив) и выбора наилучшего из них.В экономико-математических задачах критерию оптимальности соответствует математическая форма – целевая функция. Любая оптимизационная задача предполагает наличие как минимум одной целевой функции, которая представляет собой количественный показатель качества рассматриваемых альтернатив выбора. Когда задача предприятия однозначна и проста, то достаточно адекватно описать его цель одним показателем. Расширение же модели путем учета дополнительных факторов и существенных связей необходимо как внутри рассматриваемого предприятия (системы), так вне его, усложняет цели планирования и управления настолько, что их следует синтезировать по многим показателем, как и было описано выше.

Выделение существенных для модели некоторой рассматриваемой экономической системы показателей качества альтернатив выбора, соответствующих поставленным целям, приводит к многокритериальной задаче (МКЗ) или, как еще говорят, к задаче векторной оптимизации, которая заключается в нахождении максимума вектор-функции:

F(x)=(f₁(x), …, f_s(x),…,f_n(x))

по x€D, где D – область допустимых решений модели. Математически эта задача не имеет смысла, так как векторный максимум не определен. Его смысл определяется в результате неформального анализа. Оптимизации по какому-либо критерию fi(x)) субоптимизацией. В науке и практике используются две концепции векторного оптимума: оптимум по Парето и равновесие по Нэшу. В данном курсовом проекте рассматривается оптимизация по Парето на примере нахождения производственной программы предприятия.

Графически оптимум по Парето имеет следующий вид:

 

 

Рис. Пример кривой Парето. Два товара Пушки и масло.

 

 

 

 

 

 

1.2 Решение многокритериальных задач методом главной компоненты

 

Эта задача проектирования (оптимизации), в которых используется не один, а несколько критериев. На практике такие задачи возникают, когда проектируемый объект не может быть описан однокритериальной зависимостью, или объединить отдельные критерии в единый критерий не представляется возможным. Такое объединение, как правило, бывает формальным, искусственным. С математической точки зрения не существует идеального способа, метода решения многокритериальных задач оптимизации. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки.

В методах второй группы стремятся сократить число альтернатив в исходном множестве, исключив заведомо плохие альтернативы.

К методам первой группы относятся метод свертки, метод главного критерия, метод пороговых критериев, метод расстояния.

Метод целесообразно применять, если по условиям задачи частные критерии можно расположить по убыванию важности так, что важность каждой пары соседних критериев различается не сильно, либо, если альтернативы имеют существенно различающиеся оценки по разным критериям. Наиболее часто используются аддитивная, мультипликативная и максминная свертки.

F_k= <F₁, F₂,..., F_k>,

где F_i (i=1,2...k) - компоненты вектора, например, для оборудования: производительность, экологичность, надежность, себестоимость и т.д., то метод главной компоненты заключается в произвольном выборе одного из компонентов в качестве главного, по которому производится оптимизация и

выбирается решение. При этом остальные компоненты переводятся в разряд

ограничений.

Метод часто применяется в машиностроительной практике, однако принципиальным его недостатком является произвол в выборе главного критерия. Можно привести много примеров из истории науки и техники, когда произвольный и неверный выбор этого критерия приводит к трагическим последствиям или, по меньшей мере, к малоэффективным результатам.

 

1.3 Решение многокритериальных задач методом свертывания критериев. 

В практической деятельности часто встречаются задачи, заключающиеся в поиске лучшего (оптимального) решения при наличии различных несводимых друг к другу критериев оптимальности. Например, принятие решения о строительстве дороги в объезд города должно учитывать такие факторы, как выигрыш города в целом по соображениях экологии, проигрыш отдельных предприятий и фирм, например, из-за уменьшения проезжающих через город потенциальных покупателей и многие другие. Если такого рода задачи решаются методами математического программирования, то говорят о задачах многокритериальной оптимизации. Эти задачи могут носить как линейный, так и нелинейный характер. Поскольку методы решения таких задач излагаются ниже на примере линейных многокритериальных оптимизационных задач, это объясняет рассмотрение этой темы в данной главе учебного пособия.

Заключается в переходе от комплексного критерия к скалярному путем образования суммарного показателя. Чаще всего этот показатель реализуется в виде дроби, где в числителе стоят величины, которые необходимо максимизировать, а в знаменателе – те, которые надо сделать минимальными.

 

2. Практическая реализация моделей многокритериальной задачи.

2.1 Постановка многокритериальной задачи.

 

Предприятие может выпускать пять видов продукции И1, И2, И3, И4, И5

Для этого используется три вида ресурсов, расход которых на производство единицы продукции и их запасы приведены в

 

 

 

 

таблице 1:

Ресурс	И1	И2	И3	И4	И5	Запасы
В1	6	7	5	4	5	4000
В2	0	2	2	2	0	3500
В3	3	3	2	3	3	2500

Все изделия обрабатываются на станках четырех типов. Норма времени на обработку одного изделия и фонд времени работы станков приведены в таблице 2:

Ресурс	И1	И2	И3	И4	И5	Фонд времени
Токарные	0	1	3	2	3	4000
Фрезерные	3	4	8	5	4	5000
Сверлильные	1	2	2	0	2	3000
Шлифовальные	3	3	4	4	3	3000

Оптовая цена и себестоимость единицы продукции соответствующего типа приведены в таблице 3:

Оптовая цена (ден.ед.)	8	7	10	12	7
Себестоимость (ден.ед.)	8	7	10	12	6

Объем каждого вида продукции должен быть не менее 100 и не более 500 единиц. Мерой эффективности производственной программы является следующие показатели:

1.Прибыль предприятия-F1

2.Валовый объем выпуска продукции в стоимостном выражении –F2

3.Себестоимостьпродукции-F3

4.Уровень загрузки оборудования-F4

Требуется

1.Решить задачу методом главной компоненты, выбрав в качестве главной компоненты прибыль, а на остальные наложить разумные по смыслу задачи ограничения.

2.Решить задачу методом свертывания критериев, выбрав вектор весовых коэффициентов равным (0.4;0.2;0.3;0.1)

3.Сравнить итоговые результаты, полученные по 2 методам и принять решения о выборе приемлемого (оптимального) варианта.

Требуется

 

1. Решить задачу методом главной компоненты, выбрав в качестве главной компоненты прибыль, а на остальные наложить разумные по смыслу задачи ограничения.

2. Решить задачу методом свертывания критериев, выбрав вектор весовых коэффициентов равным (0,4; 0,2; 0,3; 0,1).

3. Сравнить итоговые результаты, полученные по 2 методам и принять решения о выборе приемлемого (оптимального) варианта.

 

 

Постановка задачи в общем виде при решении двумя методами:

 

X₁…X₅ – количество выпускаемого изделия рассматриваемого наименования.

 

F(x)—  max.

6X₁+7X₂+5X₃+4X₄+5X₅≤4000

X₂+X₃+X₄≤3000

2X₂+2 X₃+2X₄≤3500

3X₁+3X₂+2X₄≤2500

4X₁+5X₂+9X₃+6X₄+5X₅≤4500

X₂+X₃+X₅≤3500

4X₁+4X₂+5X₃+5X₄+4X₅≤2500

X₁…X₅≥0

X₁…X₅≥100

X₁…X₅≤500

 

2.2 Решение многокритериальной задачи нахождения оптимальной производственной программы предприятия методом главной компоненты.

 

Ход решения:

 

1. Целевая функция – максимум прибыли.
2. Накладываем ограничения: на ресурсы В1…В3 – фактическая норма используемых ресурсов каждого вида не превышают их запасы;
3. Ограничения на время работы оборудования: суммарное использованное время работы станков не превышает используемый фонд времени.
4. Ограничения по выпускаемому объему продукции: объем каждого изделия не менее 100 ед. и не более 500 ед.
5. Ограничения задаем на следующие критерии: выручка; затраты, загрузка (выручка≤6000; затраты≤5500; загрузка≥0,54).

Общие значения критериев находим по стандартным формулам:

Выручка находится как сумма произведений произведенных объемов на цены.

Производственные затраты находятся как сумма произведений производственных объемов на себестоимость единицы продукции.

Загрузка оборудования определяется как отношение суммарного использованного времени станков к суммарному фонду времени.

 

 

 

 

2.3 Оценка и анализ экономической эффективности полученной оптимальной производственной программы.

 

 

 

 

 

Вывод: прибыль = 300

Выручка = 5800

Затраты= 5500

Загрузка: 0,54

 

2.4 Решение многокритериальной задачи нахождения оптимальной производственной программы методом свертывания критериев.

 

Предприятие может выпускать пять видов продукции И1, И2, И3, И4, И5

Для этого используется три вида ресурсов, расход которых на производство единицы продукции и их запасы приведены в таблице 1:

Ресурс	И1	И2	И3	И4	И5	Запасы
В1	6	7	5	4	5	4000
В2	0	2	2	2	0	3500
В3	3	3	2	3	3	2500

Все изделия обрабатываются на станках четырех типов. Норма времени на обработку одного изделия и фонд времени работы станков приведены в таблице 2:

Ресурс	И1	И2	И3	И4	И5	Фонд времени
Токарные	0	1	3	2	3	4000
Фрезерные	3	4	8	5	4	5000
Сверлильные	1	2	2	0	2	3000
Шлифовальные	3	3	4	4	3	3000

Оптовая цена и себестоимость единицы продукции соответствующего типа приведены в таблице 3:

Оптовая цена (ден.ед.)	8	7	10	12	7
Себестоимость (ден.ед.)	8	7	10	12	6

Объем каждого вида продукции должен быть не менее 100 и не более 500 единиц. Мерой эффективности производственной программы является следующие показатели:

1.Прибыль предприятия-F1

2.Валовый объем выпуска продукции в стоимостном выражении –F2

3.Себестоимостьпродукции-F3

4.Уровень загрузки оборудования-F4

Требуется

1.Решить задачу методом главной компоненты, выбрав в качестве главной компоненты прибыль, а на остальные наложить разумные по смыслу задачи ограничения.

2.Решить задачу методом свертывания критериев, выбрав вектор весовых коэффициентов равным (0.4;0.2;0.3;0.1)

3.Сравнить итоговые результаты, полученные по 2 методам и принять решения о выборе приемлемого (оптимального) варианта.

Требуется

 

1. Решить задачу методом главной компоненты, выбрав в качестве главной компоненты прибыль, а на остальные наложить разумные по смыслу задачи ограничения.

2. Решить задачу методом свертывания критериев, выбрав вектор весовых коэффициентов равным (0,4; 0,2; 0,3; 0,1).

3. Сравнить итоговые результаты, полученные по 2 методам и принять решения о выборе приемлемого (оптимального) варианта.

 

 

 

Постановка задачи в общем виде при решении двумя методами:

 

X₁…X₅ – количество выпускаемого изделия рассматриваемого наименования.

 

F(x)—  max.

7X₁+8X₂+6X₃+5X₄+6X₅≤4500

X₂+X₃+X₄≤3000

6X₁+4X₂+3 X₃+4X₄+4X₅≤3000

2X₃+X₄+2X₅≤4500

4X₁+5X₂+9X₃+6X₄+5X₅≤4500

X₂+X₃+X₅≤3500

4X₁+4X₂+5X₃+5X₄+4X₅≤2500

X₁…X₅≥0

X₁…X₅≥100

X₁…X₅≤500

Ход решения:

1. Целевая функция – сумма произведений критериев на их веса. В качестве критериев рассматриваем – прибыль, выручку, затраты, загрузку оборудования.
2. Накладываем ограничения: на ресурсы В1…В3 – фактическая норма используемых ресурсов каждого вида не превышают их запасы;
3. Ограничения на время работы оборудования: суммарное использованное время работы станков не превышает используемый фонд времени.
4. Ограничения по выпускаемому объему продукции: объем каждого изделия не менее 100 ед. и не более 500 ед.

 

2.5 Оценка и анализ экономической эффективности полученной оптимальной производственной программы.

 

 

 

Вывод: прибыль = 100

Выручка = 8085,714

Затраты = 7985,714

Загрузка: 0.627619

 

2.6 Сравнительный анализ полученных результатов нахождения оптимальной производственной программы, полученной двумя методами.

 

 

 

Прибыль по методы главной компоненты отличается от прибыли свёртывания критерия, прибыль по методу главной компоненты = 300, а по методу свёртывания параметров 100. Метод главной компоненты позволяет достичь максимальной прибыли, при почти одинаковой загрузке.

На практике часто используется метод свертывания критериев, так как он позволяет учесть все значения критериев и даже их значимость через веса.

Метод главной компоненты используется редко, так как в нем рассматривается только один критерий в качестве основного, на остальные ставятся ограничения.

 

Заключение  

В курсовом проекте рассмотрены основные понятия многокритериальной оптимизации, построены модели многокритериальной оптимизации на примере производственной программы предприятия и произведен их расчет двумя методами, а также сделан анализ экономического обоснования  результатов каждого метода.

 

 

Список литературы.

1. Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki
2. http://ruxpert.ru
3.  Х.А. Введение в исследование операций. М.: Издательский дом «Вильямс», 2003.
4. Шапкин А.С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций: Учебник 2-е изд. М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К^о», 2005.
5. Юрьев В.Н., Кузьменков В.А. Методы оптимизации в экономике и менеджменте: учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006.
6. Юрьев В.Н. Методы оптимизации в экономике и менеджменте: учеб. пособие /В.Н. Юрьев, В.А. Кузьменков. – 2-е изд., испр. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2015. – 540 с.