ЕКОНОМЕТРІЯ

 

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

 

 

 

ЕКОНОМЕТРІЯ

 

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
до вивчення дисципліни, виконання лабораторних
та контрольної робіт
для студентів напряму підготовки 6.030601 «Менеджмент»
денної та заочної форм навчання, в тому числі перепідготовка спеціалістів за спеціальністю 7.03060101 «Менеджмент організацій і адміністрування»

 

 

Всі цитати, цифровий та фактичний матеріал, бібліографічні відомості перевірені.
Написання одиниць відповідає стандартам. СХВАЛЕНО
на засіданні кафедри
менеджменту
Протокол № 16
від 25.03.2014 р.

 

 

Підписи авторів ___________________ 2014 р.

 

Київ НУХТ 2014

Економетрія: методичні рекомендації до вивчення дисципліни, виконання лабораторних та контрольної робіт для студентів напряму підготовки 6.030601 «Менеджмент» денної та заочної форм навчання, в тому числі перепідготовка спеціалістів за спеціальністю 7.03060101 «Менеджмент організацій і адміністрування». /уклад. Л.О.Коннова, Л.В.Чорноус – К.: НУХТ, 2014. – 114 с.

 

Рецензент О.Ф.Шаповал, канд. екон. наук, доцент

 

Укладачі: Л.О.Коннова,
Л.В.Чорноус

 

Відповідальний за випуск Т. Л. Мостенська, д-р. екон. наук, проф.

Видання подано в авторській редакції

Зміст
1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ 4
2. ПРОГРАМА НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ 6
3. ТЕМИ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ 9
4. ЗМІСТ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ 10
Лабораторна робота 1 «Елементи матричних перетворень» 10
Лабораторна робота 2 «Модель парної лінійної кореляційної залежності. Оцінка достовірності моделі» 14
Лабораторна робота 3 «Функція витрат (парна нелінійна модель)» 24
Лабораторна робота 4 «Перевірка наявності тенденції середнього рівня» 26
Лабораторна робота 5 «Згладжування емпіричних кривих (метод ковзної середньої)» 31
Лабораторна робота 6 «Множинна лінійна кореляційна модель». 33
Лабораторна робота 7 «Виробнича функція Кобба-Дугласа» 48
Лабораторна робота 8 «Дослідження наявності мультиколінеарності між змінними (алгоритм Фаррара-Глобера)» 52
5. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 64
6. ВАРІАНТИ ТЕОРЕТИЧНИХ ПИТАНЬ ДЛЯ ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 65
7. ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ 67
8. ЗАПИТАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ДИФЕРЕНЦІЙОВАНОГО ЗАЛІКУ 68
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА 69
ДОДАТКИ 70
Додаток 1 70
Додаток 2 71
Додаток 3 91
Додаток 4 93
Додаток 5 96
Додаток 6 99
Додаток 7 102
Додаток 8 106
Додаток 9 110
Додаток 10 111
Додаток 11 112
Додаток 12 114
 

1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ
Предметом вивчення навчальної дисципліни є методологія та організація економетричного моделювання; вивчення економетричного інструментарію побудови моделей, які відображають взаємозв’язки та взаємозалежності між економічними процесами на рівні макроекономіки та економіки підприємства, проведення кількісних досліджень економічних явищ, пояснення та прогнозування розвитку економічних процесів, а також практики використання цих моделей.
Міждисциплінарні зв’язки: дисципліна «Економетрія» пов’язана з такими дисциплінами як «Вища математика», «Теорія ймовірності та математична статистика», «Статистика», «Макроекономіка», «Економіка підприємства», «Економічна інформатика», «Комп’ютерна техніка та програмування».
Мета та завдання навчальної дисципліни
Метою викладання навчальної дисципліни «Економетрія» є навчити студентів кількісно оцінювати взаємозв’язки економічних показників для різних масивів економічної інформації, надати студентам необхідні знання з методів оцінювання параметрів залежностей, побудови економетричних моделей, які кількісно описують взаємозв’язки між економічними показниками та навички використання цих моделей в економічній практиці та дослідженнях. Додатковою метою навчальної дисципліни «Економетрія» є оволодіння обчислювальною технікою з огляду на вимоги до точності результатів обчислень.
Основним завданням вивчення дисципліни «Економетрія» є отримання студентами системних знань щодо наукових основ економетрії, його методів та методології, організація інформаційного забезпечення для оброблення статистичних масивів даних, використання економіко-логічних та економіко-математичних методів і моделей для вивчення економічних проблем, а також визначення математичних залежностей.
Згідно з вимогами освітньо-професійної програми студенти повинні:
Знати:
• теоретичну концепцію економетричного моделювання;
• основні типи економетричних моделей та методології їх створення;
• технологію формування статистичної бази для моделювання;
• методи побудови лінійних моделей;
• методи кількісного аналізу на основі статистичних рівнянь.
Уміти:
• визначати економічні тенденції та залежності для моделювання об’єкту дослідження;
• проводити якісну та кількісну оцінку статистичної бази моделювання;
• будувати економічно обґрунтовані та статистично достовірні моделі розвитку економічних показників.
Мати навички:
• користування спеціальним програмним забезпеченням та обчислювальною технікою для варіантних розрахунків при моделюванні;
• застосовування економетричних моделей для аналізу, прогнозування та вирішення управлінських проблем.
Опис навчальної дисципліни наведений у таблиці 1.1.
Таблиця 1.1
Опис навчальної дисципліни
Найменування показників Галузь знань, напрям підготовки, ОКР Характеристика навчальної дисципліни
денна форма навчання заочна форма навчання заочна скорочена форма навчання перепідготовка спеціалістів
Кількість кредитів – 2 0306 «Менеджмент адміністрування» Варіативна
Модулів – 1 6.030601
«Менеджмент» Рік підготовки:
Змістових модулів – 1 Спеціальність 7.03060101 «Менеджмент організацій і адміністрування» 2-й 3-й 1-й 4-й
Індивідуальне завдання:
контрольна робота (заочна форма навчання) Семестр
4-й 6-й 2-й 8-й
Загальна кількість годин – 72 год.
(перепідготовка спеціалістів – 54 год.) Освітньо-кваліфікаційний рівень: «бакалавр»,
«спеціаліст» Лекції
Тижневих годин для денної форми навчання:
аудиторних – 2
самостійної роботи студента – 2 19 год. 2 год. 2 год. 2 год.
Практичні, семінарські
2 год.
Лабораторні
19 год. 2 год. 2 год. 2 год.
Самостійна робота
34 год. 68 год. 68 год. 50 год.
Індивідуальні завдання:
9 год. 9 год. 9 год.
Вид контролю: диференційований залік

2. ПРОГРАМА НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ
Змістовий модуль 1. Економетричне моделювання.
Тема 1. Предмет, метод і завдання курсу «Економетрія». Елементи матричних перетворень.
1. Основні етапи економетричного моделювання.
2. Класифікація рівнянь регресії.
3. Класифікація економіко-математичних моделей.
4. Основні види матриць.
5. Дії з матрицями. Обернена матриця.
6. Системи лінійних рівнянь та методи їх вирішення.
Методичні рекомендації.
Економетрична модель. Основи економетричного моделювання. Функціональний зв’язок. Кореляційний зв’язок. Зміст змінних і рівнянь в економетричній моделі. Параметри моделі, залежні та незалежні змінні у моделі, випадкова складова.
Матриця – математичний об’єкт. Транспонована матриця. Додавання і віднімання матриць. Множення матриць. Визначник (детермінант) квадратної матриці. Інвертування матриці. Метод Гауса. Метод Крамера. Метод оберненої матриці.
Література [2, с. 11-23, 58; 3, с. 12-20, 21-33; 4, с. 9-14, 15-22, 46-87; 5, с.5-32]
Тема 2. Методи побудови загальної лінійної економетричної моделі. Моделі парної лінійної регресії. Кореляційно-регресивний аналіз моделі.
1. Прості лінійні регресійні моделі.
2. Система оцінки статистичної достовірності економетричної моделі.
3. Перевірка значущості та довірчі інтервали.
4. Прогнозування за лінійною моделлю.
Методичні рекомендації.
Проста вибіркова регресійна модель. Економетрична модель у загальному вигляді. Суть методу найменших квадратів. Кореляційний аналіз. Оцінка тісноти та значимості зв’язку між змінними моделі. Характеристика значимості зв’язку між змінними моделі за F-критерієм Фішера. Оцінка точності моделі. Перевірка значущості коефіцієнта детермінації (R2). Перевірка значущості коефіцієнта кореляції (R). Оцінка статистичної значущості параметрів моделі. Точковий та інтервальний прогнози. Економічний висновок та інтерпретація прогнозних значень.
Література: [1, с. 415-463; 2, с. 25-38; 3, с. 43-46, 102-138; 4, с. 15-45, 91-140; 5, с. 34-51].
Тема 3. Методи побудови парних нелінійних економетричнх моделей. Одновимірні часові ряди та їх моделювання.
1. Парні нелінійні економетричні моделі.
2. Алгоритми побудови парних нелінійних моделей
3. Елементи часового ряду.
4. Перевірка гіпотези про існування тенденції.
5. Метод ковзної середньої.
Методичні рекомендації.
Види економетричних моделей, що описують економічні процеси. Зв’язки між економічними показниками в харчовій промисловості. Особливості харчової промисловості при економетричних дослідженнях. Методи знаходження параметрів в парних нелінійних моделях. Інтервальні і моментні ряди. Тренд (тенденція) часового ряду, сезонна компонента, циклічність. Перевірка гіпотези про існування тенденції часового ряду. Перевірка наявності тенденції середнього рівня. Згладжування емпіричних кривих. Метод ковзної середньої.
Література: [1, с. 538-598; 4, с. 399-440; 5, с. 53-56].
Тема 4. Методи побудови множинної регресії. Множинна лінійна регресійна модель. Множинна нелінійна модель.
1. Множинна регресія. Матрична форма економетричної моделі.
2. Оцінка тісноти та значимості зв’язку між змінними у множинній регресії.
3. Перевірка значимості коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі множинної регресії.
4. Прогнозування за множинною регресією.
5. Виробнича функція Кобба-Дугласа.
6. Моделі попиту та пропозиції.
Методичні рекомендації.
Специфікація моделі множинної регресії. Залежна та незалежні змінні, випадкова складова у множинній регресії. Система нормальних рівнянь. Розв’язок системи нормальних рівнянь в матричному записі. Тіснота зв’язку загального впливу всіх незалежних змінних на залежну змінну. Скоригований коефіцієнт детермінації. Множинний коефіцієнт кореляції. Парні коефіцієнти кореляції. Частинні коефіцієнти кореляції. Значимість зв’язку між змінними моделі. Перевірка значимості статистичних коефіцієнтів та оцінок параметрів моделі. Економічна інтерпретація прогнозних значень.
Класичні приклади економетричного моделювання. Практичні дослідження Кобба і Дугласа. Виробнича функція загального вигляду. Лінеаризація залежностей та застосування методу найменших квадратів для знаходження параметрів моделі. Економічний аналіз моделі на базі коефіцієнтів еластичності. Функція попиту на продукцію. Залежність між ціною і попитом. Багатофакторна модель пропозиції товару.
Література [1, с. 465-534; 2, с. 39-57; 3, с. 102-238; 4, с. 91-149; 5, с. 90-122, 141-160]
Тема 5. Порушення умов використання методу найменших квадратів. Мультиколінеарність. Гетероскедастичність. УМНК.
1. Умови оцінки параметрів економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів.
2. Поняття мультиколінеарності. Визначення наявності мультиколінеарності.
3. Поняття гомо- і гетероскедастичностi.
4. Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена).
Методичні рекомендації.
Умови оцінки параметрів економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів.
Поняття мультиколінеарності, її вплив на оцінки параметрів моделі. Ознаки мультиколінеарності. Наслідки мільтиколінеарності. Методи визначення наявності мультиколінеарності та засоби її усунення. Алгоритм Фаррара-Глобера.
Гомосксдастичність – наявність незмінної дисперсії в спостереженнях. Гетероскедастичність – дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження. Методи тестування наявності гетероскедастичності: критерій ; параметричний тест Гольдфельда-Квандта; непараметричний тест Гольдфельда-Квандта; тест Глейсера.
Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена). Корегування вхідної інформації з використанням додатково визначеної діагональної матриці S. Прогноз за моделлю.
Література: [2, с. 72-84, 89-100; 3, с. 144-172; 4, с. 95-97, 203-295; 5, с. 122-128]
Тема 6. Моделі розподіленого лагу. Методи оцінювання параметрів лагової моделі.
1. Поняття лага і лагових моделей.
2. Причини лагів. Оцінка параметрів лагових моделей.
3. Приклади використання лагових моделей.
4. Оцінювання параметрів авторегресійних моделей.
Методичні рекомендації.
Поняття лага і лагових змінних. Причина лагів. Моделі розподіленого лага. Використання лагових моделей в економіці. Природа та наслідки автокореляції. Методи визначення автокореляції. Авторегресійні моделі Койка. Методи оцінювання параметрів лагової моделі.
Література: [1, с. 557-567, 580-598; 2, с. 118-123; 3, с.174-185; 4, с. 365-396; 5, с. 161-169].
3. ТЕМИ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ
Таблиця 3.1
Теми лабораторних робіт
№ з/п Назва теми
Кількість годин
денна форма навчання заочна форма навчання заочна скорочена форма навчання перепідготовка спеціалістів
1 2 3 4 5 6
1 Лабораторна робота 1:
«Елементи матричних перетворень» 2 - - -
2 Лабораторна робота 2:
«Модель парної лінійної кореляційної залежності. Оцінка достовірності моделі» 4 0,5 0,5 0,5
3 Лабораторна робота 3:
«Функція витрат (парна нелінійна модель)» 1 0,25 0,25 0,25
4 Лабораторна робота 4:
«Перевірка наявності тенденції середнього рівня». 2 0,25 0,25 0,25
5 Лабораторна робота 5:
«Згладжування емпіричних кривих (метод ковзної середньої)» 1 0,25 0,25 0,25
6 Лабораторна робота 6:
«Множинна лінійна кореляційна модель» 3 0,25 0,25 0,25
7 Лабораторна робота 7:
«Виробнича функція Кобба-Дугласа» 2 0,25 0,25 0,25
8 Лабораторна робота 8:
«Дослідження наявності мультиколінеарності між змінними (алгоритм Фаррара-Глобера)» 4 0,25 0,25 0,25
Всього годин 19 2 2 2
Примітка. Студенти денної форми навчання отримують варіант завдання у викладача.

4. ЗМІСТ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ
Лабораторна робота 1
«Елементи матричних перетворень»
Мета роботи: сформувати у студентів практичні навички використання математичного інструментарію, що використовується в економетричних дослідженнях.
Завдання роботи: згідно варіанту (додаток 1) вирішити систему рівнянь методом Гауса, методом Крамера та методом оберненої матриці. Порівняти результати розрахунків.
Порядок виконання роботи:
Приклад 1. Вирішити систему рівнянь методом Гауса:
х1 + 3х2 + 8х3 – х4 = 22;
х2 + 3х3 – х4 = 10;
4х1 + 2х2 – 3х4 = 11;
х1 – 6х2 – х4 = 0.
1-й крок. Перше рівняння залишаємо без зміни. Для виключення X1 із послідуючих за першим рівнянь від третього рівняння віднімемо помножене на 4 перше, а від четвертого – перше. Друге рівняння залишається без зміни, так як у ньому відсутня змінна x1 яка виключається з третього та четвертого рівняння. Тоді получимо систему:
x1 + 3х2 + 8х3 – х4 = 22;
х2 + 3х3 – х4 = 10; .
– 10х2 – 32х3 + х4= –77;
– 9х2 – 8х3 – х 4 = –22.
2-й крок. Перші два рівняння нової системи запишемо без зміни. За допомогою другого рівняння виключаємо змінну х2 із послідуючих рівнянь. Для цього до третього рівняння додамо друге, помножене на 10, а до четвертого – друге помножене на 9:
x1 + 3х2 + 8х3 – х4 = 22;
х2 + 3х3 – х4 = 10; .
– 2х3 – 9х4 = 23;
– 19х3 – 10х 4 = 68.
3-й крок. Якщо зберегти без зміни перші три рівняння нової системи, за допомогою третього рівняння виключимо змінну х3 із останнього. Для цього додамо до нього третє, помножене на 9,5. В результаті приходимо до системи рівнянь трикутної форми:
x1 + 3х2 + 8х3 – х4 = 22;
х2 + 3х3 – х4 = 10;
– 2х3 – 9х4 = 23;
– 95,5х 4 = 286,5.
Рішення для останньої змінної одержимо з четвертого рівняння: х4=3. Знайдене значення х4 підставимо у друге рівняння системи, получаємо х3=2. В результаті підставлення х3 та х4 у друге рівняння системи получаємо х2=1. На підставі отриманих значень х2, х3, х4 із першого рівняння системи знаходимо х1=0. Остаточно получаємо єдине рішення системи рівнянь
(0; 1; 2; –3). Перевіркою можна переконатися, що отримані значення змінних задовольняють даній системі.
Приклад 2. Вирішити методом Крамера систему рівнянь:
2x1 + x2 + 3х3 = 9;
x1 – 2х2 + х3 = –2;
3х1 + 2х2 + 2х3 = 7.
Знайдемо значення визначника системи через алгебраїчні доповнення:
.
Так як |A|≠0, то система рівнянь має єдине рішення, яке знаходиться за формулами:

де
Розкриємо визначники |Aj| (j=1,2,3):



Тоді за формулами Крамера розраховуємо результати:

Таким чином, система рівнянь має єдине рішення (1; 2; 3).
Приклад 3. Вирішити матричним методом систему рівнянь:
2x1 + x2 – х3 = 1;
3x1 + 2х2 – 2х3 = 1;
х1 – х2 + 2х3 = 5.
Запишемо систему у матричній формі: А * Х=В,
де
Визначник матриці А:

|А| = 1 ≠ 0, отже система має єдине рішення.
Знаходимо обернену матрицю:
– знаходяться алгебраїчні доповнення елементів визначника:



– складається матриця В із алгебраїчних доповнень:

– формується транспонована матриця В', якщо поміняти місцями рядки та стовпці:

– розраховується обернена матриця А-1:

Рішення системи записується у вигляді:

Таким чином, єдине рішення системи рівнянь (1; 2; 3).
Безпосередньою перевіркою можна переконатися, що знайдені значення змінних задовольняють заданій системі.

Лабораторна робота 2
«Модель парної лінійної кореляційної залежності. Оцінка достовірності моделі»
Мета роботи: сформувати у студентів практичні навички знаходження взаємозв’язку між двома змінними, оцінювання параметрів вибіркової моделі, використання регресійного аналізу для перевірки моделі на адекватність, тестування значимості параметрів регресії, розрахунку інтервалів довіри для параметрів, прогнозування за моделлю, а також встановлення інтервалів довіри для прогнозного та середнього значення залежної змінної.
Завдання роботи: згідно з варіантом (додаток 2) побудувати парну лінійну кореляційну модель виду Вибірка даних характеризує роботу підприємства. У вибірці кожному значенню залежної змінної Y відповідає значення незалежної змінної X. Оці¬нити міру впливу на досліджуваний показник (Y) незалежного фактора (Х).
Порядок виконання роботи:
1. Знайти параметри моделі.
2. Проаналізувати достовірність моделі та її параметрів. Для аналізу необхідно розрахувати:
• коефіцієнт детермінації, скоригований коефіцієнт детермінації, множинний коефіцієнт кореляції, парні коефіцієнти кореляції, частинні коефіцієнти кореляції, F-критерій Фішера;
• стандартні похибки оцінок параметрів моделі (порівняти з величиною оцінок);
• перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі;
• знайти прогнозне значення залежної змінної Yпр, яке відповідає очікуваному значенню незалежної змінної Xпр.
• знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі, інтервали довіри для прогнозного та середнього значення залежної змінної.
3. Побудувати модель в декартових координатах.
4. Зробити економічний висновок.
Приклад виконання завдання
Задача. Маємо вибірку даних, які характеризують роботу підприємства. Побудувати парну лінійну кореляційну модель залежності об’єму реалізації підприємства (Y), тис. грн. від витрат на впровадження інновацій в попередньому періоді (Х), тис грн. виду
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; скоригований коефіцієнт детермінації, множинний коефіцієнт кореляції, парні коефіцієнти кореляції, частинні коефіцієнти кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі. Знайти прогнозне значення залежної змінної Yпр, яке відповідає очікуваному значенню незалежної змінної Xпр. Знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі, інтервали довіри для прогнозного та середнього значення залежної змінної. Відобразити модель на графіку. Зробити економічний висновок.
Вихідні дані для розрахунку в табл. 2.1.
Таблиця 2.1
Спостереження Об’єм реалізації,
тис. грн. Витрати на впровадження інновацій в попередньому періоді, тис. грн.
Y Х
1 862,3 27,1
2 804,9 25,2
3 804,9 25,0
4 559,5 14,3
5 592,3 14,2
6 583,1 11,5
7 832,1 24,3
8 851,7 21,5
Середнє значення 736,35
Для спрощення розрахунків використаємо статистичну функцію Microsoft Excel ЛИНЕЙН. Ця функція для визначення оцінок параметрів лінійної регресії застосовує метод найменших квадратів.
Результат застосування статистичної функції ЛИНЕЙН – це оцінка параметрів лінійної регресії та регресійна статистика:

20,45 319,44
3,033 64,203
0,883 48,935
45,47 6
108879,7 14367,5
0 = 319,44; 1 = 20,45
Можна побудувати рівняння регресії:
Yрозр = 319,44 + 20,45  Х.
Коефіцієнт регресії 1 = 20,45 говорить про те, що збільшення витрат на впровадження інновацій на 1 тис. грн. збільшить об’єм реалізації на 20,45 тис. грн.
Для визначення статистичних коефіцієнтів та подальших розрахунків знаходимо відхилення (табл. 2.2).
Таблиця 2.2
Yфакт Yрозр (Yфакт – Yрозр)2 (Yфакт – Yсер)2 (Yрозр – Yсер)2
1 2 3 4 5
862,3 873,62 128,05 18842,0 18841,98
804,9 834,76 891,76 9685,0 9685,00
804,9 830,67 664,22 8896,7 8896,74
559,5 611,86 2742,07 15496,6 15496,58
592,3 609,82 306,94 16009,9 16009,89
583,1 554,61 811,87 33030,7 33030,65
832,1 816,36 247,81 6401,3 6401,28
851,7 759,10 8574,78 517,6 517,56
14367,5 123247,2 108879,7
Коефіцієнт детермінації

Коефіцієнт кореляції

Іноді для спрощення розрахунків тісноту кореляційного зв’язку характеризують коефіцієнтом кореляції, який розраховується за формулою:

F-критерій Фішера
Тестування значимості змінної Х, або адекватності моделі проводиться за критерієм Фішера.

Fрозр = 8,58
F0,05табл визначаємо за допомогою статистичної функції Microsoft Excel FРАСПОБР(0,05;6;7) для рівня надійності a=0,05 і ступенів вільності відповідно f1 = (n–m–1) = 8–1–1=6 та f2 = (n–1)= 8–1=7:
F0,05табл = 3,87
Fрозр > F0,05табл , робимо висновок про адекватність побудованої моделі і з 5%-ним ризиком помилитися припускаємо присутність лінійного зв’язку.
Оцінка точності моделі
Визначаємо стандартні похибки оцінок параметрів моделі з урахуванням дисперсії залишків:

де – дисперсія залишків:

– елемент матриці похибок С (матриця, обернена до матриці коефіцієнтів системи нормальних рівнянь);
т1 – кількість параметрів моделі.

< 319,44


< 20,45
Стійкість оцінок параметрів визначається порівнянням стандартних похибок з абсолютними значеннями оцінок параметрів моделі.
Порівняємо стандартні похибки оцінки параметрів з величиною оцінки:
,


Визначається середньоквадратичне відхилення:

Відносна похибка:

Перевірка значущості та довірчі інтервали
Перевірка значущості коефіцієнта детермінації
Для перевірки статистичної значущості коефіцієнта детермінації R2 висувається нульова гіпотеза:
H0: R2=0.
H0 : 1 = 2 = ... = n = 0.
Альтернативною до неї є:
НА: j ≠ 0
Обчислюють експериментальне значення F-статистики:

F0.05табл = 3,87
Fексп > F0,05табл
Нульова гіпотеза відхиляється, тобто існує такий ко¬ефіцієнт у регресійному рівнянні, який суттєво відрізняється від нуля, а відповідний фактор впливає на досліджувану змінну. Відхи¬лення нуль-гіпотези свідчить про адекватність побудованої моделі.
Перевірка значущості коефіцієнта кореляції
Коефіцієнт кореляції перевіряєть¬ся на значущість за допомогою
t-критерію Стьюдента. Фактичне зна¬чення t-статистики обчислюється за формулою:

tтабл визначаємо за допомогою статистичної функції Microsoft Excel СТЬЮДРАСПОБР(0,05;6) для рівня значимості a=0,05 та числу ступенів вільності (n–m1) = 8–2 = 6.
tтабл. = 2,45
|tексп|>tтабл,
Можна зробити висновок, що коефіцієнт кореляції достовірний (значущий), а зв’язок між залежною змінною та незалежним фак¬тором суттєвий.
Оцінка статистичної значущості параметрів моделі
Статистичну значущість кожного параметра моделі можна пере¬вірити за допомогою t-критерію. При цьому нульова гіпотеза має вигляд
Н0 : j = 0,
альтернативна
НА : j ≠ 0.
Експериментальне значення t-статистики для кожного параметра моделі обчислюється за формулою:

де – дисперсія залишків;
сjj – діагональний елемент матриці похибок (Х′Х)–1 ;
– стандартна похибка оцінки параметра моделі:
t1 = 6,74; t0 = 4,98

tтабл = 2,45
|tексп|>tтабл,
Значення t-статистики потрапляє до критичної області (за абсолютним значенням пере¬вищує tтабл), приймається альтернативна гіпотеза про значущість параметрів.
Знайдемо інтервали надійності для кожного окремого параметра за формулою:

де t – табличне значення критерію Стьюдента при k=n–m1 ступенях вільності та рівні значимості a=0,05.
= 319,44 – 2,45 * 64,2 < 0 < 319,44 + 2,45 * 64,2
= 20,45 – 2,45 * 3,03 < 1 < 20,45 + 2,45 * 3,03
P (0162,34  0  476,54)
P (13,03 1  27,87)
Розрахуємо коефіцієнт еластичності за формулою:

Коефіцієнт еластичності говорить про те, що збільшення витрат на впровадження інновацій на 1%, збільшить об’єм реалізації на 0,566%.
Зобразимо побудовану кореляційно-регресійну модель на графіку (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Кореляційно-регресійна модель
Прогнозування за лінійною моделлю
Прогноз на перспективу буває двох видів: точковий та інтервальний.
Незміщена оцінка точкового прогнозу розглядається як індивідуальне значення Yпр для матриці незалежних змінних Хпр, що лежать за межами базового періоду .
У рівняння Yрозр = 319,44 + 20,45Х підставимо прогнозні значення фактору Хпр = 27,1 (точковий прогноз):
Yпр = 319,44 + 20,45 · 27,1 = 873,616
Дисперсія похибки прогнозу дорівнює:

де – дисперсія залишків u;
var(А) – дисперсійно-коваріаційна матриця, яка записується у вигляді:

Матриця похибок:
(Х' * Х)-1 = 1,72139 -0,0783
-0,0783 0,0038407
Елементи на головній діагоналі матриці та за її межами розраховуються за формулами:





де – дисперсія залишків u;
сjj, cjk – елементи матриці похибок (Х¢Х)–1.

var (А) = 4122,016 -187,5018
-187,5018 9,19690
Тоді дисперсія прогнозу буде:

Хпр= 1
27,1

Х'пр= 1 27,1

Х'пр * var (А) = –959,2827488 61,73419732

Середньоквадратична (стандартна) похибка прогнозу:

Довірчий інтервал математичного сподівання М(Yпр) для прогнозного значення буде в межах:

873,616 – 2,45 · 26,71543  M(Yпр)  873,616 + 2,45 · 26,71543

808,2458  M(Yпр)  938,9864
Визначення інтервального прогнозу індивідуального значення Yпр базується на знаходженні середньоквадратичної помилки прогнозу:

Обчислимо дисперсію та стандартну помилку прогнозу індивідуального значення Yпр:


Тоді інтервальний прогноз індивідуального значення буде відповідати такому довірчому інтервалу:

де t – табличне значення критерію Стьюдента при k=n–m1 ступенях вільності та рівні значимості a=0,05.
873,616 – 2,45 · 55,7521  Yпр  873,616 + 2,45 · 55,7521

737,1956  Yпр  1010,0366
Висновки.
Згідно з обчисленими характеристиками можна сказати, що об’єм реалізації продукції підприємства на 88,3% залежить від витрат на впровадження інновацій в попередньому періоді, а на 11,7% від неврахованих в задачі чинників. Зв’язок між залежною змінною Y та незалежною Х (об’ємом реалізації продукції та витратами на впровадження інновацій в попередньому періоді) досить високий (коефіцієнт кореляції дорівнює 0,94).
Перевірено значимість зв’язку між змінними моделі
Fрозр > F0,05табл (8,58>3,87) для рівня надійності =0,05. З 5%-ним ризиком помилитися припускаємо присутність лінійного зв’язку.
Стандартні помилки параметрів не перевищують абсолютні значення цих параметрів:
;
.
Це означає, що оцінки параметрів є незміщеними відносно їх істотних значень.
Остаточні висновки стосовно стійкості оцінок параметрів можна зробити, коли порівняти стандартні помилки з абсолютними значеннями оцінок параметрів моделі:


Велике значення похибок зумовлюється малою кількістю спостережень, а також неточністю специфікації (не всі основні чинники, що впливають на Y внесено до моделі).
Середньоквадратичне відхилення

свідчить про те, що фактичні значення Y відхиляються від розрахункових його значень на ±45,3 тис. грн.
Відносна похибка – це характеризує модель з хорошої сторони.
Проведена перевірка значущості коефіцієнта детермінації за
F-критерієм Фішера. F0.05табл < Fексп (3,87  15,45). Коефіцієнт детермінації значущій.
Перевірена значимість коефіцієнта кореляції за t-критерієм Стьюдента. tтабл < |tексп| (2,45 < 6,74). Коефіцієнт кореляції достовірний (зна¬чущий) і зв’язок між залежною змінною та незалежним фак¬тором суттєвий.
Дана оцінка значимості кожного параметра моделі за допомогою
t-критерію Стьюдента: |tексп|>tтабл – параметри моделі є значущими.
Отже, модель є достовірною та відображає тісний кількісний взаємозв’язок між залежним та незалежним показниками і може бути використана для практичного економічного висновку.
Були обчислені прогнозні значення Yпр для Хпр = 27,1:
Yпр = 319,44 + 20,45 · 27,1 = 873,616 тис. грн.
Так, при ймовірності Р=0,95 (=0,05), прогноз математичного сподівання M(Yпр) потрапляє в інтервал [808,2458; 938,9864], а прогноз індивідуального значення Yпр – в інтервал [737,1956; 1010,03].
В економічній інтерпретації це означає, що при прогнозних значеннях збільшення витрат на впровадження інновацій до 27,1 тис. грн. об’єм реалізації продукції підприємства потрапляє в інтервал:
808,2458 ≤ M(Yпр) ≤ 938,9864
Водночас окремі (інтервальні) значення об’єму реалізації продукції підприємства містяться в інтервалі:
737,1956 ≤ Yпр ≤ 1010,0366
На даному підприємстві збільшення об’єму реалізації продукції обумовлюється збільшенням витрат на впровадження інновацій у попередньому періоді. Так, на кожні 10 тис. грн. збільшення витрат на впровадження інновацій, можливе підвищення об’єму реалізації продукції підприємства на 204,57 тис. грн. за умови незмінної дії інших чинників.
Коефіцієнт еластичності показує, що при збільшенні витрат на впровадження інновацій на 1%, можливе підвищення об’єму реалізації на 0,566%.
Лабораторна робота 3
«Функція витрат (парна нелінійна модель)»
Мета роботи: сформувати у студентів практичні навички використання методу найменших квадратів для знаходження параметрів парних нелінійних залежностей.
Завдання роботи: Згідно варіанту (додаток 3) побудувати парну нелінійну економетричну модель виду .
Вибірка даних характеризує роботу підприємства. У вибірці кожному значенню незалежної змінної X відповідає значення залежної змінної Y. Знайти числові параметри функції. Провести економічний аналіз впливу фактору Х на Y.
Порядок виконання роботи:
Задача. Побудувати функцію витрат на виробництво виду: . У вибірці даних кожному значенню Х (кількість виробленої продукції, т) відповідають показники Y (загальні витрати, тис. грн.). Знайти числові параметри функції. Провести економічний аналіз впливу фактору Х на Y. Дані для розрахунків в табл. 3.1.
Для отримання лінійної моделі проведемо логарифмування:

Приймаємо такі позначення: lnY = Y*; lnА0 = А*; lnХ =Х*.
В результаті підстановки отримаємо: Y* = А0* + ·Х*.
Таблиця 3.1
Вихідні дані для розрахунків
Y x lnY lnx
17,6 10,53 2,87 2,35
19,1 11,8 2,95 2,47
19,5 11,45 2,97 2,44
19,2 11,1 2,95 2,41
20,6 12,31 3,03 2,51
21,9 12,86 3,09 2,55
22,5 13,96 3,11 2,64
23,8 12,31 3,17 2,51
27 13,93 3,30 2,63
28,1 12,69 3,34 2,54
31 13,23 3,43 2,58
32 13,26 3,47 2,58
32,7 14,77 3,49 2,69
41,4 15,35 3,72 2,73
42,2 16,2 3,74 2,79
Для розрахунків параметрів моделі використаємо статистичну функцію Microsoft Excel ЛИНЕЙН:
2,09 –2,10
0,29 0,75
0,80 0,13
50,82 13
0,89 0,23
В результаті отримаємо парну нелінійну економетричну модель , яка після розрахунку експоненти буде мати вигляд:

Показник  називається коефіцієнтом еластичності витрат за обсягом випущеної продукції. Якщо коефіцієнт  має знак «–», це свідчить про існування оберненого зв’язку між вхідними факторами Y та Х.
Коефіцієнт детермінації дорівнює 0,8 і коефіцієнт кореляції R=0,89. Це означає, що кореляційний зв’язок між незалежною та залежною змінними (кількістю виробленої продукції та загальними витратами) високий. Модель можна використовувати для аналізу виробничого процесу.
Висновки:
Коефіцієнт еластичності =2,09. Тобто, при збільшенні обсягів виробництва, загальні витрати теж будуть збільшуватись. При збільшенні обсягів виробництва на 1% слід очікувати збільшення загальних витрат на 2,09%.
Лабораторна робота 4
«Перевірка наявності тенденції середнього рівня»
Мета роботи: сформувати у студентів практичні навички дослідження властивостей функції часу.
Завдання роботи: Згідно варіанту (додаток 4) дослідити часовий ряд на наявність тренду (тенденції).
Всі варіанти мають часовий ряд (t). Для постановки задачі використати величину часового ряду згідно варіанту (додаток 4).
Порядок виконання роботи:
Приклад 1. Перевірка наявності тенденції.
Дослідити часовий ряд на наявність тренду (тенденції). Умовні дані про витрати на впровадження інновацій в попередньому періоді, тис грн. (Y).
Вхідні дані та обчислення оформимо у таблиці (табл. 4.1).
Обчислення:
Крок 1. Вхідний часовий ряд у1 , у2, у3, …, уn розбиваємо на дві приблиз¬но рівні частини обсягом п1 ≈ п2 : п1 = 13, п2 = 12, (п1 + п2 = п).
Крок 2. Для кожної з частин обчислюють середні значення та дис¬персії:




Таблиця 4.1
t (рік) Витрати на впровадження інновацій в попередньому періоді, тис грн.
X y yt–yсереднє
1 3,52 -9,52
2 9,7 -3,34
3 8,9 -4,14
4 9,8 -3,24
5 10,1 -2,94
6 13,9 0,86
7 19,9 6,86
8 14,3 1,26
9 11,5 -1,54
10 19,5 6,46
11 14,2 1,16
12 14 0,96
13 20,2 7,16
14 22,7 -7,15
15 28,2 -1,65
16 25,2 -4,65
17 25 -4,85
18 24,3 -5,55
19 21,5 -8,35
20 27,1 -2,75
21 36,3 6,45
22 34,1 4,25
23 34,1 4,25
24 35,2 5,35
25 44,5 14,65
Разом 527,72
Крок 3. Висуваємо основну гіпотезу про рівність середніх значень:

проти альтернативної
Нульову гіпотезу відхиляємо: .
Та допоміжну гіпотезу про рівність дисперсій
проти альтернативної
Допоміжну нульову гіпотезу про рівність дисперсій відхиляємо:
Крок 4. Перевіряємо допоміжну гіпотезу за допомогою F-критерію Фішера. Для цього порівняємо розрахункове (експериментальне) значення критерію з табличним (критичним) значенням розподілу Фішера: тому
Fтабл = F(а, k1,k2) = 2,79,
при a=0,05 – заданий рівень значущості,
k1= п1 –1=13–1=12,
k2= п2 –1=12–1=11.
За критерієм Фішера Fексп  Fтабл .
Переходимо до наступного пункту.
Крок 5. Основну гіпотезу про відсутність тренда перевіряють за допомогою t-критерію Стьюдента. Обчислимо вибіркову статис¬тику – розрахункове значення критерію Стьюдента за формулою

де  – середньоквадратичне відхилення різниці середніх.

tтабл = 2,069,
де tтабл =t(а, (п–2)).
Розрахункове значення tексп > tтабл. Основна гіпоте¬за Н0 відхиляється. Отже, ряд має тренд.
Висновок. Нульова гіпотеза (H0) відхиляється, ряд має тенденцію до змінювання (тренд є).
Приклад 2. Перевірка наявності тенденції.
Дослідити часовий ряд на наявність тренду (тенденції). Умовні дані про об’єм реалізації, тис грн. (y).
Вхідні дані та обчислення оформимо у таблиці (табл. 4.2).
Таблиця 4.2
t (декада) Об’єм реалізації,
тис грн.
X Y yt–yсереднє
1 3,52 -6,23
2 9,7 -0,05
3 8,9 -0,85
4 9,8 0,05
5 10,1 0,35
6 13,9 4,15
7 19,9 10,15
8 14,3 4,55
9 11,5 1,75
10 9,7 -0,05
11 8,9 -0,85
12 3,52 -6,23
13 3 -6,75
14 3,52 -6,79
15 9,7 -0,61
16 8,9 -1,41
17 9,8 -0,51
18 10,1 -0,21
19 13,9 3,59
20 19,9 9,59
21 14,3 3,99
22 11,5 1,19
23 9,7 -0,61
24 8,9 -1,41
25 3,52 -6,79
Разом: 250,48
Обчислення:
Крок 1. Вхідний часовий ряд у1 , у2, у3, …, ул розбиваємо на дві приблиз¬но рівні частини обсягом п1 ≈ п2 : п1 = 13, п2 = 12, (п1 + п2 = п);
Крок 2. Для кожної з частин обчислюють середні значення та дис¬персії:




Крок 3. Висуваємо основну гіпотезу про рівність середніх значень:

проти альтернативної
Нульову гіпотезу відхиляємо: .
Та допоміжну гіпотезу про рівність дисперсій

проти альтернативної
Допоміжну нульову гіпотезу про рівність дисперсій відхиляємо:
Крок 4. Перевіряємо допоміжну гіпотезу за допомогою F-критерію Фішера. Для цього порівняємо розрахункове (експериментальне) зна¬чення критерію з табличним (критичним) значенням розподілу Фішера: , тому
Fтабл = F(а, k1,k2) = 2,79,
при a=0,05 – заданий рівень значущості,
k1= п1 –1=13–1=12,
k2= п2 –1=12–1=11.
За критерієм Фішера Fексп  Fтабл .
Переходимо до наступного пункту.
Крок 5. Основну гіпотезу про відсутність тренда перевіряють за допомогою
t-критерію Стьюдента. Обчислимо вибіркову статис¬тику – розрахункове значення критерію Стьюдента:

де  – середньоквадратичне відхилення різниці середніх.

tтабл = 2,069,
де tтабл =t(а, (п–2)).
Експериментальне значення t-критерію Стьюдента менше ніж табличне: tексп < tтабл . Основна гіпоте¬за Н0 приймається. Ряд не має тренду.
Висновок. Нульова гіпотеза (H0) приймається, ряд не має тенденції до змінювання (тренду немає).
Лабораторна робота 5
«Згладжування емпіричних кривих (метод ковзної середньої)»
Мета роботи: сформувати у студентів практичні навички вирівнювання вхідних рівнів ряду методом ковзного середнього.
Завдання роботи: Провести вирівнювання за методом трьох- чотирьох- та п’ятичленної ковзної середньої. Нанести вихідні дані на графік.
Всі варіанти мають часовий ряд (t). Для постановки задачі використати величину часового ряду згідно варіанту та верхню строчку (додаток 4).
Порядок виконання роботи:
Приклад. Згладжування емпіричних кривих.
Провести вирівнювання за методом трьох- чотирьох- та п’ятичленної ковзної середньої.
Нижче представлена інформація про розміри балансового прибутку (у млн. грн.), отриманою групою заводів первинного виноробства за період з 2000 по 2012 р. Нанести вихідні дані на графік.
Всі обчислення оформимо у вигляді таблиці (табл. 5.1).
Таблиця 5.1
Рік (t) Розмір балансового прибутку yt , млн. грн. Тричленні суми Тричленні ковзні середні yt’ Чотиричленні суми Проміжні середні Чотирьох-членні ковзні середні П’ятичленні суми П’ятичленні ковзні середні yt’
2000 235
2001 340 823 274,3
2002 248 988 329,3 1223 305,75 314,4
2003 400 997 332,3 1337 334,25 320,0 1740 348
2004 349 1152 384,0 1400 350,00 342,1 1781 356,2
2005 403 1133 377,7 1533 383,25 366,6 1995 399
2006 381 1246 415,3 1595 398,75 391,0 2012 402,4
2007 462 1260 420,0 1663 415,75 407,3 2088 417,6
2008 417 1304 434,7 1685 421,25 418,5 2118 423,6
2009 425 1275 425,0 1737 434,25 427,8 2178 435,6
2010 433 1299 433,0 1716 429,00 431,6 2139 427,8
2011 441 1297 432,3 1722 430,50 429,8
2012 423
Нанесемо вихідні дані на графік (рис. 5.1). Як видно з малюнка, розмір балансового прибутку коливається в значному діапазоні. Зробимо статистичне вирівнювання вихідного ряду.

Рис. 5.1. Вхідна крива й ковзні середні
Аналіз підсумків обчислень дозволяє сформулювати наступні висновки:
• чим більший період усереднення, тим більш плавний характер здобуває лінія ковзної середньої;
• у міру збільшення інтервалу згладжування кількість елементів у ряді ковзних середніх скорочується (на два рівні при тричленному згладжуванні, на чотири рівні при чотирьох- і п’ятичленному вирівнюванні);
• значення ковзних середніх, розраховані по різних методиках, як правило, не збігаються.
Лабораторна робота 6
«Множинна лінійна кореляційна модель».
Мета роботи: сформувати у студентів практичні навички дослідження багатофакторної регресійної моделі на конкретному прикладі.
Завдання роботи: згідно з варіантом (додаток 5) побудувати множинну лінійну регресійну модель виду . Вибірка статистичних даних характеризує дослідження обсягу виробленої продукції (Y), тис. т в залежності від вартості основних засобів (Х1), тис. грн. та чисельності працюючих (Х2), чол.
Порядок виконання роботи:
1. Знайти параметри моделі.
2. Проаналізувати достовірність моделі та її параметрів. Для аналізу необхідно розрахувати:
• коефіцієнт детермінації;
• скоригований коефіцієнт детермінації;
• множинний коефіцієнт кореляції R;
• парні коефіцієнти кореляції;
• частинні коефіцієнти кореляції;
• стандартні похибки оцінок параметрів моделі (порівняти з величиною оцінок);
• перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі множинної регресії;
• знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
3. Знайти прогнозні значення матриці залежних змінних Yпр, які відповідають очікуваним значенням матриці незалежних змінних Xпр.
4. Відобразити модель на графіку.
5. Зробити економічний висновок.
У моделях множинної регресії розглядають множину даних по кожному зі змінних як вектор-стовпчик, а вільному членові відповідає вектор, що складається лише з одиниць.

; ; ; . . . ; .

– вектор-стовпець залежної змінної.

– вектор параметрів.
Векторну оцінку параметрів теоретичної моделі (*) знаходять за методом найменших квадратів. Для цього треба виконати обчислення за формулою (6.1), яка в нашому випадку буде мати вигляд:
(6.1)
Приклад виконання завдання
Задача. Згідно з вибіркою статистичних даних за 8 років, які характеризують обсяг виробленої продукції (Y), тис. т в залежності від вартості основних засобів (Х1), тис. грн. та чисельності працюючих (Х2), чол. побудувати лінійну регресійну модель виду:
Y =0 + 1 X1 + 2 X2.
Знайти векторну оцінку * за методом найменших квадратів, для цього треба виконати обчислення за формулою (6.1)

Оцінити тісноту та значимість зв’язку між змінними моделі; проаналізувати достовірність моделі та її параметрів. Відобразити модель на графіку. Застосувати модель для прогнозування розвитку економічних процесів. Виконати економічний аналіз отриманих результатів.
Вихідні дані для розрахунку в табл. 6.1.
Таблиця 6.1
Спостереження Обсяг виробленої продукції, тис. т Вартість основних засобів, тис. грн. Чисельність працюючих, чол.
Y Х1 Х2
1 33 4,2 13
2 36 5,3 18
3 37 6,5 24
4 38,2 5,8 22
5 38,5 6,9 22
6 40,2 5,9 24
7 41,1 7,2 25
8 48,5 14,2 28
Середні значення 39,06 7,0 22
1. Знайти векторну оцінку * за методом найменших квадратів.
Складемо матрицю X. Перший її стовпчик містить лише одиниці (він відповідає незалежній змінній Х0 – вільному членові); інші стовпчики є відповідно векторами Х1, Х2.

Матриця Х
1 4,2 13
1 5,3 18
1 6,5 24
Х = 1 5,8 22
1 6,9 22
1 5,9 24
1 7,2 25
1 14,2 28

Матриця Y
33
36
37
Y = 38,2
38,5
40,2
41,1
48,5
Далі виконуємо операції над матрицями відповідно формули (6.1).
=ТРАНСП(C29:E36)
1 1 1 1 1 1 1 1
Х′ = 4,2 5,3 6,5 5,8 6,9 5,9 7,2 14,2
13 18 24 22 22 24 25 28
Транспонування матриці просто реалізувати за допомогою “майстра функцій f” (операція ТРАНСП(.) у категорії “Ссылки и массивы“). Звернення до математичних та статистичних функцій Excel.
=МУМНОЖ(B41:I43;C29:E36)
8,0 56,00 176
Х′  Х = 56,00 457,52 1304,60
176 1304,60 4022,00

Функція Microsoft Excel МУМНОЖ(. , .) – знаходить добуток матриць.
Для цього треба:
1) відмітити поле, де буде знаходитись результат добутку матриць;
2) ввійти у "майстер функцій f". У категоріях вибираємо "математичні", а в функціях – МУМНОЖ. Вводимо адреси матриць, добуток яких знаходимо;
3) для того, щоб отримати на екрані значення добутку матриць, натискаємо спершу клавішу F2, а потім Ctrl+Shift+Еnter.
Функція Microsoft Excel МОБР(D46:F48) – знаходить обернену матрицю.
Матриця похибок
3,78969 0,12007 –0,20478
(Х'  Х)–1 = 0,12007 0,03291 –0,01593
–0,20478 –0,01593 0,01438
Функція Microsoft Excel МОБР(.) – знаходить матрицю, обернену до квадратної матриці. Процедура знаходження оберненої матриці аналогічна процедурі МУМНОЖ.
=МУМНОЖ(B41:I43;H29:H36)
312,5
Х'  Y = 2278,91
7002,7
=МУМНОЖ(D51:F53;D56: D58)
23,89
= 0,97
0,38
Отже, наша регресійна модель має вигляд:

Далі знаходяться відповідні значення Yрозр за формулою Y=Х (за допомогою "майстра функцій f" МУМНОЖ( . ; . ) і заносяться до стовпчика "1" табл. 6.2.
Таблиця 6.2
Yрозр Yфакт – Yрозр Yфакт – Yсер Yрозр – Yсер
1 2 3 4
32,92 0,08 –6,06 –6,146
35,89 0,11 –3,06 –3,175
39,33 –2,33 –2,06 0,272
37,89 0,31 –0,86 –1,169
38,97 –0,47 –0,56 –0,097
38,75 1,45 1,14 –0,312
40,40 0,70 2,04 1,334
48,36 0,14 9,44 9,294
8,399 145,96 138 =СУММКВ(.)
=МУМНОЖ(C29:E36;D61:D63)
Останній рядок таблиці 6.2 – значення сум квадратів відхилень стовпчиків 2, 3 та 4, які розраховуються за допомогою процедури "майстра функцій f" СУММКВ(.).
2. Проаналізуємо достовірність моделі та її параметрів:
Коефіцієнт детермінації моделі обчислюється за формулою:

В економічних розрахунках вважається прийнятним такий зв’язок між факторами, при якому r2 > 0,7.
Скоригований коефіцієнт детермінації:

 

Скоригований коефіцієнт детермінації не перевищує одиниці
Справедлива нерівність:
0,9194 < 0,94246
Множинний коефіцієнт кореляції R розраховується за формулою:
,
що свідчить про вельми високий кореляційний зв’язок між вхідними показниками Y та X1 і X2 .
Парні коефіцієнти кореляції розраховують за формулою матриці коефіцієнтів парної регресії між змінними:

Елементи нормалізованих векторів розраховують за формулами:



Дисперсії змінних мають такі зна¬чення:



Тоді знаменники для нормалізації кожної змінної будуть такими:
y* : ;
xk* : ;
xj* : .
Таблиця 6.3









-6,06 -2,80 -9,00 36,75 7,84 81 -0,5018 -0,3459 -0,7348
-3,06 -1,70 -4,00 9,38 2,89 16 -0,2535 -0,2100 -0,3266
-2,06 -0,50 2,00 4,25 0,25 4 -0,1707 -0,0618 0,1633
-0,86 -1,20 0,00 0,74 1,44 0 -0,0714 -0,1482 0,0000
-0,56 -0,10 0,00 0,32 0,01 0,0 -0,0466 -0,0124 0,0000
1,14 -1,10 2,00 1,29 1,21 4,0 0,0942 -0,1359 0,1633
2,04 0,20 3,00 4,15 0,04 9 0,1686 0,0247 0,2449
9,44 7,20 6,00 89,07 51,84 36 0,7812 0,8895 0,4899
Усього 145,96 65,52 150

Матриця нормалізованих змінних:
-0,5018 -0,3459 -0,7348
-0,2535 -0,2100 -0,3266
-0,1707 -0,0618 0,1633
X* = -0,0714 -0,1482 0,0000
-0,0466 -0,0124 0,0000
0,0942 -0,1359 0,1633
0,1686 0,0247 0,2449
0,7812 0,8895 0,4899
Матриця, транспонована до X*:
-0,5018 -0,2535 -0,1707 -0,0714 -0,0466 0,0942 0,1686 0,7812
X*' = -0,3459 -0,2100 -0,0618 -0,1482 -0,0124 -0,1359 0,0247 0,8895
-0,7348 -0,3266 0,1633 0,0000 0,0000 0,1633 0,2449 0,4899
Запишемо шукану кореляційну матрицю:
1 0,9347 0,8630
rxx = 0,9347 1 0,7323
0,8630 0,7323 1

Кожний елемент цієї матриці характеризує тісноту зв’язку однієї змінної з іншою.
Оскільки діагональні елемен¬ти характеризують тісноту зв’язку кожної змінної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці. Решта елементів матриці rхх такі:
;
;
.
Вони є парними коефіцієнтами кореляції між змінними.
Користуючись цими коефіцієнтами, можна зро¬бити висновок, що між змінними y та xj – високий зв’язок; між змінними y та xk існує досить високий кореляційний зв’язок
Частинні коефіцієнти кореляції, як і парні, характеризують тісноту зв’язку між двома змінними, але за умови, що решта змінних сталі.
Розрахунок частинних коефіцієнтів кореляції базується на оберненій матриці до матриці rxx (матриця С):
,
де сkj – елемент матриці С, що міститься в k-му рядку i j-му стовпці;
сkk і сjj – діагональні елементи матриці С.
Розрахуємо матрицю, обернену до матриці rxx :
17,379 –11,35 –6,69
C = –11,345 9,56 2,79
–6,69 2,79 4,73
Матриця C – симетрична, і її діагональні елементи завжди мають бути додатними.
Визначимо частинні коефіцієнти кореляції:
r yxk = 0,8801
r yxj = 0,7377
r xk xj = –0,4145
Частинні коефіцієнти кореляції характеризують рівень тісноти зв’язку між двома змінними за умови, що решта змінних на цей зв’язок не впливає. Частинні коефіцієнти кореляції за модулем нижчі, ніж коефіцієнти парної кореляції, бо на їхній рівень не впливає решта змінних, які мають зв’язок із цими двома.
Коефіцієнт парної кореляції ryxk = 0,88, тому можна зробити висновок, що рівень тісноти зв’язку між двома змінними (y та xk;) високий за умови, що решта змінних на цей зв’язок не впливає.
Коефіцієнт парної кореляції ryxj = 0,7377 – можна зробити висновок, що рівень тісноти зв’язку між двома змінними (y та xj ) високий за умови, що решта змінних на цей зв’язок не впливає.
Перевіримо значимість зв’язку між змінними моделі:

F0,05табл = 3,97
F0,05табл < Fрозр
Модель приймаємо – припускаємо присутність лінійного зв’язку для рівня надійності р =(1– ) = 0,95 .
Стандартні похибки оцінок параметрів з урахуванням дисперсії залишків:


З матриці похибок:
С00= 3,78969
С11= 0,03291
С22= 0,01438



Стандартні помилки параметрів не перевищують абсолютні значення цих параметрів, то це означає, що оцінки параметрів є незміщеними відносно їх істотних значень.
Стійкість оцінок параметрів визначається порівнянням стандартних похибок з абсолютними значеннями оцінок параметрів моделі.
Порівняємо стандартні похибки оцінки з величиною оцінки параметра:

,


Перевірка значимості коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі множинної регресії.
Перевірка значимості коефіцієнта детермінації
Висувається нульова гіпотеза H0: R2=0,
або H0 : b1 = b2 = ... = bn = 0.
Альтернативна до неї є НА: (bj ≠ 0)
За отриманими в моделі значеннями коефіцієнта детермінації R2 обчислюємо експериментальне значення F-статистики:

Визначимо табличне значення F-критерію Фішера:
Fтабл = 3,9715
=FРАСПОБР(0,05;5;7)
Порівняємо з табличним значенням розподілу Фішера при ступенях вільності f1=n–m–1, f2=n–1 та рівні значущості a = 0,05:
Fексп > Fтабл
Нульова гіпотеза відхиляється.
Відхи¬лення нуль-гіпотези свідчить про значимість коефіцієнта детермінації.
Перевірка значимості коефіцієнта кореляції
Коефіцієнт кореляції, як вибіркова характеристика, перевіряється на значущість за допомогою t-критерію Стьюдента при k=n–m1 ступенях вільності та рівні значимості =0,05.

tтабл =2,57058
=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;5)
Величина експериментального значення t-статистики перевищує табличне:
|tексп| > tтабл
9,049 > 2,57058
Тобто можна зробити висновок, що коефіцієнт кореляції достовірний (зна¬чущий), а зв’язок між залежною змінною та всіма незалежними факторами суттєвий.
Перевірка значимості оцінок параметрів моделі
множинної регресії
Для оцінки значимості кожного параметра моделі перевіряємо їх за допомогою t-критерію Стьюдента:

де сjj – діагональний елемент матриці (Х' Х)-1 ;
– стандартна похибка оцінки параметра моделі.
Статистичну значущість кожного параметра моделі можна пере¬вірити за допомогою t-критерію. При цьому нульова гіпотеза має вигляд:
Н0 : j = 0,
альтернативна
НА : j ≠ 0.
Будемо наслідувати відповідний алгоритм. Задамо рівень значущості =0,05, визначимо табличне значення t-критерію Стьюдента (tтабл =2,5058) і розрахуємо значення t-критерію для кожного параметра.
Перевірка гіпотези Н0: 0 =0
tспос = 9,4678
Перевірка гіпотези Н0: 1 =0
tспос = 4,1439
Перевірка гіпотези Н0: 2 =0
tспос = 2,4435

Якщо | tспос | < tтабл , то приймаємо гіпотезу Н0.
Якщо | tспос | > tтабл , то відхиляємо гіпотезу Н0.
Перевіряємо виконання нерівності | tспос | > tтабл робимо висновки про стійкість впливу відповідного параметру на залежну змінну Y:
для 0: |9,4678| > 2,57058 → Н0 (0=0) відхиляємо; змінна X0 (вільний член) є значущою;
для 1: |4,1439| > 2,57058 → Н0 (1=0) відхиляємо; змінна Х1 (вартість основних засобів) є значущою;
для 2: |2,4435| < 2,57058 → Н0, (β2=0) приймаємо; змінна Х2, (чисельність працюючих) є незначущою.
Знайдемо інтервали надійності для кожного окремого параметра за формулою:

= 23,89 – 2,57 * 2,523 < 0 < 23,89 + 2,57 * 2,523
= 0,97 – 2,57 * 0,235 < 1 < 0,97 + 2,57 * 0,235
= 0,38 – 2,57 * 0,155 < 2 < 0,38 + 2,57 * 0,155
P (17,4  0  30,37) = 0,95
P (0,37  1  1,579) = 0,95
P (–0,02  2  0,779) = 0,95
3. Обчислимо прогнозні значення Yпр:
У рівняння Yрозр = 23,89 +0,97X1 +0,38X2 підставимо прогнозні значення фактору Хпр = (1, 15, 35), що лежить за межами базового періоду (точковий прогноз):
Yпр = 23,89 + 0,97  15 + 0,38  35 = 51,79
Тоді M(Yпр) можна розглядати як оцінку прогнозного значення математичного сподівання та індивідуального значення обсягу виробленої продукції при відомих параметрах вартості основних засобів (Х1) та чисельності працюючих (Х2).
Визначимо дисперсію прогнозу з урахуванням матриці похибок, яка для прикладу має вигляд:
(Х'  Х)–1 = 3,78969 0,12007 –0,20478
0,12007 0,03291 –0,01593
–0,20478 –0,01593 0,01438
Елементи дисперсійно-коваріаційної матриці, які розраховуються за формулами і мають значення:

6,36573 0,20169 –0,343982
var (В) = 0,20169 0,05529 –0,02676
–0,343982 –0,02676 0,02415

Хпр = 1
15
35

Х'пр = 1 15 35

Х'пр * var (В) = –2,6483 0,0944 0,0999
Знайдемо дисперсію прогнозу:

Середньоквадратична похибка прогнозу математичного сподівання M(Ynp):

Довірчий інтервал для математичного сподівання M(Ynp) прогнозного значення розрахуємо за формулою:

де t – табличне значення t-критерію Стьюдента з ступенем вільності k=n–m1 та рівнем значимості =0,05.
51,79 – 2,57058  1,5046 ≤ M(Yпр) ≤ 51,79 + 2,57058  1,5046
47,9264 ≤ M(Yпр) ≤ 55,6617
Знайдемо межі інтервального прогнозу індивідуального значення Yпр.
Для цього обчислимо дисперсію та стандартну похибку прогнозу індивідуального значення Yпр:



51,79 – 2,57058  1,9858 ≤ Yпр ≤ 51,79 + 2,57058  1,9858;
46,6893 ≤ Yпр ≤ 56,8988
4. Графічне зображення моделі ґрунтується на побудові ліній регресії, в прямокутних координатах Y – X1 та Y – X2 (рис. 6.1).
При цьому масштаб треба обрати таким, щоб мінімальні та максимальні значення X1 та X2 співпадали між собою.
Лінія регресії Y=f(X1) при X2=const відображає вплив першого фактора Х1 на продуктивність праці при постійному значенні другого Х2 (середнє значення Х2).
Лінія регресії Y=f(X2) при X1=const відображає вплив другого фактора Х2 на продуктивність праці при постійному значенні Х1 (середнє значення Х1).
X1 X2 Y=f(X1) при X2=const Y=f(X2) при X1=const Середні значення
min 4,2 13 30,64 35,64 X1 X2
max 14,2 28 40,38 41,34 7,0 22

Рис. 6.1. Графічне зображення моделі
5. Висновки.
Згідно з обчисленими характеристиками можна сказати, що обсяг виробленої продукції на 94,2% залежить від вартості основних засобів та чисельності працюючих, а на 5,8% від неврахованих в задачі чинників. Кореляційний зв’язок між залежною змінною та незалежними факторами (вартістю основних засобів та чисельністю працюючих) досить високий (множинний коефіцієнт кореляції дорівнює 0,971).
Перевірено значимість зв’язку між змінними моделі
Fрозр > F0,05табл (17,38>3,97) для рівня надійності =0,95. З 5%-ним ризиком помилитися припускаємо присутність лінійного зв’язку.
Стандартні помилки параметрів не перевищують абсолютні значення цих параметрів:



Це означає, що оцінки параметрів є незміщеними відносно їх істотних значень.
Висновки стосовно стійкості оцінок параметрів можна зробити, порівнянням стандартних помилок з абсолютними значеннями оцінок параметрів моделі:
,
Велике значення похибок зумовлюється малою кількістю спостережень, а також неточністю специфікації (не всі основні чинники, що впливають на Y, внесено до моделі).
Середньоквадратичне відхилення
свідчить про те, що фактичні значення Y відхиляються від розрахункових його значень на ±0,77 тис. т.
Відносна похибка – це характеризує модель з хорошої сторони.
Проведена перевірка значущості коефіцієнта детермінації за F-критерієм Фішера. Fтабл < Fексп (2,570540,95). Коефіцієнт детермінації значущій.
Перевірена значимість коефіцієнта кореляції за t-критерієм Стьюдента. tтабл < |tексп| (2,57 < 9,049). Коефіцієнт кореляції достовірний (зна¬чущий) і зв’язок між залежною змінною та всіма незалежними фак¬торами суттєвий.
Дана оцінка значимості кожного параметра моделі за допомогою
t-критерію Стьюдента: параметри моделі X0 та Х1 є значущими, змінна Х2, (чисельність працюючих) є незначущою.
Знайдені інтервали надійності для кожного параметра:
P (17,4  0  30,37) = 0,95
P (0,37  1  1,579) = 0,95
P (–0,02  2  0,779) = 0,95
Були обчислені прогнозні значення Yпр для Хпр = (1, 15, 35):
Yпр = 23,89 + 0,97  15 + 0,38  35 = 51,79 тис. т.
Так, при ймовірності Р=0,95 (=0,05), прогноз математичного сподівання M(Yпр) потрапляє в інтервал [47,9274; 55,6617], а прогноз індивідуального значення Yпр – в інтервал [46,6893; 56,8988].
В економічній інтерпретації це означає, що при прогнозних значеннях вартості основних засобів 15 тис. грн. та чисельності працюючих 35 чол. обсяг виробленої продукції потрапляє в інтервал:
47,9274 ≤ M(Yпр) ≤ 55,6617
Водночас окремі (інтервальні) значення обсягу виробленої продукції містяться в інтервалі:
46,6893 ≤ Yпр ≤ 56,8988
Отже, модель є достовірною та відображає тісний зв’язок між залежною та незалежними показниками і може бути використана для практичного економічного висновку.
На даному підприємстві збільшення виробництва продукції обумовлюється збільшенням вартості основних засобів та збільшенням чисельності працюючих на підприємстві. Так, на кожні 10 тис. грн. збільшення вартості основних засобів, можливе підвищення випуску продукції на 9,7 тис. т за умови незмінної дії інших чинників.
При збільшенні чисельності працюючих на 10 чол. можливе підвищення випуску продукції на 3,8 тис. т, за умови незмінної дії інших чинників.
Лабораторна робота 7
«Виробнича функція Кобба-Дугласа»
Мета роботи: сформувати у студентів практичні навички використання методу найменших квадратів для знаходження параметрів множинних нелінійних залежностей та проведення економічного аналізу отриманих результатів.
Завдання роботи: Маємо вибірку даних, яка характеризує роботу підприємства за останні 10 місяців. У цій вибірці кожному значенню Y – вартість випущеної продукції, тис. грн. відповідають показники Х1 – вартість основних виробничих фондів, тис. грн. і Х2 – витрати праці, люд.-год. Потрібно побудувати множинну кореляційну модель у вигляді функції Кобба-Дугласа; оцінити точність і достовірність моделі; визначити тісноту зв’язку між факторами; побудувати ізокванти взаємозамінності факторів моделі і зробити економічний аналіз отриманих результатів за всіма відомими характеристиками виробничих функцій.
Завдання визначається за варіантом з додатку 6.
Порядок виконання роботи:
Задача. Потрібно побудувати виробничу функцію Кобба-Дугласа за статистичними спостереженнями:
Y – вартість випущеної продукції, тис. грн.;
Х1 – вартість основних виробничих фондів, тис. грн.;
Х2 – витрати праці, люд-год.
Дані для розрахунків в табл. 7.1.
Виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд:
Y=A0·X1A1·X2A2
Проведемо логарифмування для отримання лінійної моделі:

Приймемо такі позначення:
Y*=lnY; А0*=lnА0; Х1*=lnХ1; Х2*=lnХ2.
В результаті підстановки отримаємо:
Y* = А0*+A1·Х1*+ A2 ·Х2*.
Таблиця 7.1
Вихідні дані для розрахунків
Y Х1 Х2 lnY lnХ1 lnХ2
10 28 4 2,3026 3,332 1,386
16 29 8 2,7726 3,367 2,079
17 30 10 2,8332 3,401 2,303
21 31 12 3,0445 3,434 2,485
24 32 16 3,1781 3,466 2,773
25 34 18 3,2149 3,526 2,89
27 36 19 3,2958 3,584 2,944
35 37 19 3,5553 3,611 2,944
33 39 19 3,4965 3,664 2,944
37 40 20 3,6109 3,691 3,002
238 335 143
За допомогою статистичної функції Microsoft Excel ЛИНЕЙН отримаємо регресійну модель: .
А1>1, тобто збільшення вартості основних виробничих фондів на 1 тис. грн. збільшує вартість випущеної продукції, а 0<А2<1, тобто збільшення витрат праці зменшує вартість випущеної продукції.
Коефіцієнт детермінації R2=0,971 (коефіцієнт кореляції R=0,987) – зв’язок між залежною та незалежними змінними в моделі досить високий. Модель можна використовувати для аналізу виробничого процесу.
Проведемо аналіз отриманих результатів:
1) Середня продуктивність при фіксованих обсягах становить
(у формули підставимо середні значення Х1 і Х2):


С1 – середня фондовіддача; С2 – середня продуктивність праці.
2) Гранична продуктивність при фіксованих обсягах інших ресурсів або середня кількість продукції на одиницю Х1 або Х2:


Г1 показує скільки додаткових одиниць продукції дає 1 тис. грн. витрачених на основні виробничі фонди при незмінних витратах праці; Г2 показує скільки додаткових одиниць продукції дає 1 люд-год. при фіксованих основних виробничих фондах.
3) Відносна зміна результатів виробництва на одиницю:
Е1 = А1 = 1,387;
Е2 = А2 = 0,458.
Е1 показує, що зміна основних виробничих фондів на 1% при незмінних витратах праці, викликає зміну обсягу продукції на 1,387%. Е2 показує, що зміна витрат праці на 1 % при незмінних витратах основних фондів викликає зміну обсягу продукції на 0,458%.
Витрати основних фондів більше впливають на зміни вартості випущеної продукції ніж витрати праці.
4) Потреба у будь-якому ресурсі за умов що відомі величини випуску і обсягів інших ресурсів:


Х1 показує скільки потрібно основних виробничих фондів для того, щоб отримати відомий випуск продукції – Y, якщо відома кількість витрат праці.
Х2 показує скільки потрібно витрат праці для того, щоб отримати відомий випуск продукції – Y, якщо відома кількість витрат основних фондів.
5) Співвідношення заміни та взаємодії ресурсів, а саме фондоозброєність – це взаємодія трудових ресурсів і основних фондів:

Х1/Х2 – середня фондоозброєність, це взаємодія основних фондів і витрат праці.
6) Гранична норма заміни ресурсів, а саме гранична норма заміни витрат праці виробничими фондами (знак мінус означає, що при сталому обсязі виробництва збільшення одного ресурсу відповідає зменшенню другого і навпаки:

При сталому обсязі виробництва збільшення основних виробничих фондів відповідає зменшенню трудових ресурсів, чим вище Х1/Х2, тобто фондоозброєність, тим вища і норма заміни ручної праці фондами.
7) Ефект одночасного пропорційного збільшення обох видів ресурсів обчислюється сумарним коефіцієнтом еластичності:
А=1,387+0,458=1,845>1, тобто збільшення ресурсів у k разів призведе до збільшення випуску продукції більше ніж у k разів, а саме у k1,845 разів.
8) Темпи приросту показника виражаються лінійно через темпи приросту факторів:
Y = АІХІ + А2Х2 = 1,387Х1 + 0,458Х2.
9) Для наочного уявлення взаємозамінюваності факторів побудуємо ізокванту (рис. 7.1), для цього спочатку обчислимо значення параметра b.


Графік будуємо за точками, обчисленими в табл.7.2.
Таблиця 7.2
Точки для побудови ізокванти взаємодії ресурсів обладнання і праці
Y 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37
Х1 69,88 55,58 51,63 48,61 44,20 42,52 41,76 43,33 41,76 41,06
X2 4 8 10 12 16 18 19 17 19 20

Рис. 7.1. Ізокванта
Лабораторна робота 8
«Дослідження наявності мультиколінеарності між змінними
(алгоритм Фаррара-Глобера)»
Мета роботи: сформувати у студентів практичні навички оцінки якості параметрів регресійної моделі в залежності від особливостей статистичних даних з використанням алгоритму Фаррара-Глобера.
Завдання роботи: На основі даних про чинники, що впливають на прибуток (додаток 7), дослідити їх на наявність мультиколінеарності за допомогою алгоритму Фаррара-Глобера, що містить три статистичні критерії: 2; F-критерій; t-критерій.
Приклад виконання завдання
при відсутності мультиколеніарності
На середньомісячну заробітну плату впливає низка чинників. Вирізнимо серед них продуктивність праці, фондомісткість та коефіцієнт плинності робочої сили.
Щоб побудувати економетричну модель заробітної плати від згаданих чинників за методом найменших квадратів, потрібно переконатися, що продуктивність праці, фондомісткість та коефіцієнт плинності робочої сили як незалежні змінні моделі – не мультиколінеарні.
Вихідні дані наведено в табл. 8.1.
Таблиця 8.1
Кількість
спостережень Продуктивність праці, людино-днів Фондомісткість, млн. грн. Коефіцієнт плинності робочої сили, %
1 32 0,89 19,5
2 29 0,43 15,6
3 30 0,7 13,5
4 31 0,61 9,5
5 25 0,51 23,5
6 34 0,51 12,5
7 29 0,65 17,5
8 24 0,43 14,5
9 20 0,51 14,5
10 33 0,92 7,5
Середнє значення 28,7 0,616 14,81
Дослідити наведені чинники на наявність мультиколінеарності.
Порядок виконання завдання
Дослідимо наявність мультиколінеарності, вико¬навши такі кроки:
1. Обчислити середні значення показників та стандартні відхилення. Нормалізувати пояснювальні змінні моделі.
2. Знайти кореляційну матрицю rхх.
3. Визначити детермінант матриці rхх.
4. Обчислити критерій 2.
5. Розрахувати матрицю, обернену до матриці rхх.
6. Визначення F-критерію.
7. Обчислити частинні коефіцієнти кореляції.
8. Визначити t-критерій.
9. Зробити висновки щодо мультиколінеарності.
Крок 1. Нормалізація змінних.
Позначимо вектори незалежних змінних – продуктивності праці, фондомісткості, коефіцієнтів плинності робочої сили – через Х1, Х2, Х3.
Елементи нормалізованих векторів обчислимо за формулою:

де n – кількість спостережень, n = 10; m – кількість незалежних змінних, m = 3; – середнє арифметичне значення ком¬понентів вектора Хk; – дисперсія змінної хk .
Із формули випливає, що спочатку потрібно обчислити середні арифметичні значення і величини для кожної незалежної змінної:

Дисперсії кожної незалежної змінної мають такі зна¬чення:






Усі розрахункові дані для нормалізації змінних Х1, Х2, X3, згідно з поданими співвідношеннями наведено в табл. 8.2.
Таблиця 8.2









3,3 0,274 4,7 10,89 0,07508 21,9961 0,2487 0,5191 0,3365
0,3 –0,186 0,8 0,09 0,03460 0,6241 0,0226 –0,3524 0,0567
1,3 0,084 –1,3 1,69 0,00706 1,7161 0,0980 0,1591 –0,0940
2,3 –0,006 –5,3 5,29 0,00004 28,1961 0,1733 –0,0114 –0,3810
–3,7 –0,106 8,7 13,69 0,01124 75,5161 –0,2788 –0,2008 0,6235
5,3 –0,106 –2,3 28,09 0,01124 5,3361 0,3994 –0,2008 –0,1657
0,3 0,034 2,7 0,09 0,00116 7,2361 0,0226 0,0644 0,1930
–4,7 –0,186 –0,3 22,09 0,03460 0,0961 –0,3542 –0,3524 –0,0222
–8,7 –0,106 –0,3 75,69 0,01124 0,0961 –0,6556 –0,2008 –0,0222
4,3 0,304 –7,3 18,49 0,09242 53,4361 0,3240 0,5759 –0,5245
Всього 176,10 0,27864 194,249
Тоді знаменник для нормалізації кожної незалежної змінної буде такий:
X1 : ;
X2 : ;
X3 : .
Матриця нормалізованих змінних подається у вигляді:
0,2487 0,5191 0,3365
0,0226 –0,3524 0,0567
0,0980 0,1591 –0,0940
0,1733 –0,0114 –0,3810
X* = –0,2788 –0,2008 0,6235
0,3994 –0,2008 –0,1657
0,0226 0,0644 0,1930
–0,3542 –0,3524 –0,0222
–0,6556 –0,2008 –0,0222
0,3240 0,5759 –0,5245
Крок 2. Визначення кореляційної матриці:

де – матриця нормалізованих незалежних змінних;
– матриця, транспонована до X*.
Ця матриця симетрична і має розмір 3 х 3.
Запишемо шукану кореляційну матрицю
1 0,5550 –0,3734
rxx = 0,5550 1 –0,2252
–0,3734 –0,2252 1
Кожний елемент цієї матриці характеризує тісноту зв’язку однієї незалежної змінної з іншою.
Оскільки діагональні елемен¬ти характеризують тісноту зв’язку кожної незалежної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці.
Решта елементів матриці rхх такі:



тобто вони є парними коефіцієнтами кореляції між незалежними змінними.
Користуючись цими коефіцієнтами, можна зро¬бити висновок, що між змінними Х1, Х2, Х3 існує кореляційний зв’язок. Чи є цей зв’язок виявленням мультиколінеарності? Щоб відповісти на це запитання, потрібно ще раз звернутися до алгоритму Фаррара-Глобера і знайти статистичні критерії оцінки мультиколінеарності.
Крок 3. Обчислимо детермінант кореляційної матриці r і критерій 2:
а)
б)
Якщо ступінь свободи , а рівень значущості =0,01, критерій . Оскільки доходимо висновку, що в масиві змінних не існує мультиколінеарності.
Далі недоцільно реалізувати алгоритм Фаррара-Глобера, бо вже очевидно, що мультиколінеарності між досліджуваними незалежними змінними нема.
Приклад виконання завдання
при наявності мультиколеніарності
На доход підприємства впливає низка чинників. Вирізнимо серед них продуктивність праці, кількість працівників, фондовіддача. Щоб побудувати економетричну модель доходу підприємства від вказаних чинників за методом найменших квадратів, потрібно переконатися, що продуктивність праці, кількість працівників, фондовіддача, як незалежні змінні моделі – не мультиколінеарні.
Дослідити наведені чинники на наявність мультиколінеарності.
Вихідні дані наведено в табл. 8.3.
Таблиця 8.3
Кількість
спосте-режень Продуктивність праці,
тис. грн./чол. Кількість
працівників,
чол. Фондовіддача, грн./грн. Чистий доход
підприємства,
тис. грн.
X1 X2 X3 Y
1 23,1 90,3 5,6 301,1
2 25 92,6 5,8 301,8
3 27 93,5 6 304,4
4 28,7 93,8 6,1 304,9
5 29,8 95,2 6,2 305,4
6 30,3 97,9 6,3 305,8
7 30,3 98,3 6,6 306,7
8 30,4 99 6,7 309,1
9 30,5 101,1 6,8 393,1
10 30,8 101,8 7,2 395,7
11 32 102,2 7,9 398,1
12 33,9 103 8,1 399,2
13 36,2 104,3 8,3 399,5
14 38,1 110 8,6 400,2
15 39,5 118,4 8,7 401,8
Середнє
Значення 31,04 100,09 6,99 348,45
Порядок виконання завдання
Дослідимо наявність мультиколінеарності, вико¬навши такі кроки:
1. Нормалізацію (стандартизацію) пояснювальних змінних моделі.
2. Розрахунок кореляційної матриці rхх.
3. Визначення детермінанта матриці rхх. та критерію 2.
4. Розрахунок матриці, оберненої до матриці rхх.
5. Визначення F-критерію.
6. Обчислення частинних коефіцієнтів кореляції.
7. Визначення t-критерію.
Крок 1. Нормалізація (стандартизація) незалежних змінних моделі.
Обчислимо середні арифметичні незалежних змінних:



.
Визначимо стандартні відхилення.
Позначимо вектори незалежних змінних – продуктивності праці, фондомісткості, коефіцієнтів плинності робочої сили – через Х1, Х2, Х3. Елементи нормалізованих векторів обчислимо за формулою:

де n – кількість спостережень, n = 15;
m – кількість незалежних змінних, m = 3;
– середнє арифметичне значення компонентів вектора хk;
– дисперсія змінної хk.
Із формули випливає, що спочатку потрібно обчислити середні арифметичні значення і величини для кожної незалежної змінної. Дисперсії кожної незалежної змінної мають такі значення:




;

Усі розрахункові дані для нормалізації змінних Х1, Х2, X3, згідно з поданими співвідношеннями наведено в табл. 8.4.
Таблиця 8.4






–7,94 –9,79 –1,39 63,0436 95,9094 1,9414 –0,4729 –0,3610 –0,3502
–6,04 –7,49 –1,19 36,4816 56,1500 1,4240 –0,3598 –0,2762 –0,2999
–4,04 –6,59 –0,99 16,3216 43,4720 0,9867 –0,2406 –0,2430 –0,2497
–2,34 –6,29 –0,89 5,4756 39,6060 0,7980 –0,1394 –0,2320 –0,2245
–1,24 –4,89 –0,79 1,5376 23,9447 0,6294 –0,0739 –0,1804 –0,1994
–0,74 –2,19 –0,69 0,5476 4,8107 0,4807 –0,0441 –0,0808 –0,1743
–0,74 –1,79 –0,39 0,5476 3,2160 0,1547 –0,0441 –0,0661 –0,0989
–0,64 –1,09 –0,29 0,4096 1,1954 0,0860 –0,0381 –0,0403 –0,0737
–0,54 1,01 –0,19 0,2916 1,0134 0,0374 –0,0322 0,0371 –0,0486
–0,24 1,71 0,21 0,0576 2,9127 0,0427 –0,0143 0,0629 0,0519
0,96 2,11 0,91 0,9216 4,4380 0,8220 0,0572 0,0776 0,2279
2,86 2,91 1,11 8,1796 8,4487 1,2247 0,1704 0,1071 0,2782
5,16 4,21 1,31 26,6256 17,6960 1,7074 0,3074 0,1551 0,3284
7,06 9,91 1,61 49,8436 98,1420 2,5814 0,4205 0,3651 0,4038
8,46 18,31 1,71 71,5716 335,134 2,9127 0,5039 0,6748 0,4290
Всього 281,86 736,089 15,829
Тоді знаменник для нормалізації кожної незалежної змінної буде такий:
X1 : ;
X2 : ;
X3 : .
Матриця нормалізованих змінних подається у вигляді:
–0,4729 –0,3610 –0,3502
–0,3598 –0,2762 –0,2999
–0,2406 –0,2430 –0,2497
–0,1394 –0,2320 –0,2245
–0,0739 –0,1804 –0,1994
–0,0441 –0,0808 –0,1743
–0,0441 –0,0661 –0,0989
Х* = –0,0381 –0,0403 –0,0737
–0,0322 0,0371 –0,0486
–0,0143 0,0629 0,0519
0,0572 0,0776 0,2279
0,1704 0,1071 0,2782
0,3074 0,1551 0,3284
0,4205 0,3651 0,4038
0,5039 0,6748 0,4290
Крок 2. Розрахунок кореляційної матриці нульового порядку).

де X* – матриця нормалізованих пояснювальних змінних;
– матриця, транспонована до X*.

Маємо:
–0,4729 –0,3610 –0,3502
–0,3598 –0,2762 –0,2999
–0,2406 –0,2430 –0,2497
–0,1394 –0,2320 –0,2245
–0,0739 –0,1804 –0,1994
–0,0441 –0,0808 –0,1743
–0,0441 –0,0661 –0,0989
Х* = –0,0381 –0,0403 –0,0737
–0,0322 0,0371 –0,0486
–0,0143 0,0629 0,0519
0,0572 0,0776 0,2279
0,1704 0,1071 0,2782
0,3074 0,1551 0,3284
0,4205 0,3651 0,4038
0,5039 0,6748 0,4290

 
–0,47294 –0,35977 –0,24064 –0,13938 –0,07386 –0,04408 –0,04408 –0,03812
X*' = –0,36097 –0,27619 –0,24302 –0,23196 –0,18036 –0,08084 –0,0661 –0,0403
–0,35021 –0,29994 –0,24967 –0,22453 –0,1994 –0,17427 –0,09886 –0,07373

Продовження матриці
–0,03216 –0,0143 0,057182 0,170354 0,307352 0,420524 0,503914
0,03710 0,062905 0,077648 0,107135 0,15505 0,365142 0,674752
–0,04859 0,051944 0,227885 0,278154 0,328423 0,403826 0,428961

1 0,9440 0,9426
rxx = 0,9440 1 0,9183
0,9426 0,9183 1
Кожний елемент цієї матриці характеризує тісноту зв’язку однієї незалежної змінної з іншою. Оскільки діагональні елементи характеризують тісноту зв’язку кожної незалежної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці.
Решта елементів матриці rхх такі:

0,944;

0,9426;

0,9183.
Парні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв’язку між двома змінними. Вони можуть змінюватися в межах
від –1 до 1.
Коефіцієнти парної кореляції r12 , r13 та r23 близькі до одиниці, тому можна передбачити, що досліджувані незалежні змінні є мультиколінеарними. Користуючись цими коефіцієнтами, можна зробити висновок, що між змінними Х1 і Х2 , Х1 і Х3 та Х2 і Х3 існує вельми високий зв’язок.
Якщо цей зв’язок є виявленням мультиколінеарності, то це негативно впливатиме на оцінку параметрів економетричної моделі. Звертаємося до алгоритму Фаррара-Глобера.
Крок 3. Обчислимо детермінант кореляційної матриці rхх і критерій 2:
а)
б)
ln|rxx | = –4,482;

Отже, критерій 2= 54,5307.
Якщо ступінь свободи дорівнює а рівень значущості =0,01, то критерій 2табл = 11,3449.
Оскільки – робимо висновок, що в масиві змінних існує мультиколінеарний зв’язок.
Крок 4. Розрахуємо матрицю, обернену до матриці rxx :
13,85 –6,93 –6,69
C = –6,929 9,85 –2,51
–6,691 –2,51 9,62
Матриця C – симетрична, і її діагональні елементи завжди мають бути додатними.
Крок 5. Визначення F-критерію:

де n – кількість спостережень; m – кількість пояснювальних змінних.
Виконавши обчислення, дістанемо:



Коли  = 0,05 і ступені свободи m–1=3–1=2, n–m=15–3=12 маємо Fкрит = 3,885.
Фактично знайдене значення F-критерію порівнюємо з табличним. У нашому випадку Fфакт > Fкрит , тобто незалежні змінні мультиколінеарні з рештою змінних.
Коефіцієнт детермінації до кожної змінної:

R21 = 0,9278; R22 = 0,898; R23 = 0,896.
Якщо коефіцієнт детермінації наближається до одиниці, то незалежна змінна мультиколінеарна з іншими.
Крок 6. Обчислення частинних коефіцієнтів кореляції:

де сkj – елемент матриці С, що міститься в k-му рядку i j-му стовпці;
сkk і сjj – діагональні елементи матриці С.
r12 = 0,5932;
r13 = 0,5798;
r23 = 0,2584.
Частинні коефіцієнти кореляції характеризують рівень тісноти зв’язку між двома змінними за умови, що решта змінних на цей зв’язок не впливає. Частинні коефіцієнти кореляції за модулем нижчі, ніж коефіцієнти парної кореляції, бо на їхній рівень не впливає решта змінних, які мають зв’язок із цими двома.
Крок 7. Обчислення t-критеріїв:

t12 = 2,553
t13 = 2,465
t23 = 0,926
tкрит = 2,179
Обчислені t-критерії порівнюємо з табличним за вибраного рі¬вня значущості  = 0,05 і ступенів свободи n–m= 12.
Якщо tkj більше за tтабл, як у нашому випадку, то пара цих пояснювальних змінних тісно пов’язана між собою.
Оскільки розраховані t12 > tтабл та t13 > tтабл , то можна зробити висновок, що пари цих пояснювальних змінних (X1 і X2 та X1 і X3) – тісно пов’язані між собою.
Висновок.
Оскільки – робимо висновок, що в масиві змінних існує мультиколінеарний зв’язок.
t12 > tтабл – між змінними Х1 і X2 (продуктивністю праці та чисельністю працівників) існує мультиколінеарність.
t13 > tтабл – між змінними Х1 і X3 (продуктивністю праці та фондовіддачею) існує мультиколінеарність.
А це означає, що метод найменших квадратів застосувати в цьому разі не можна.
5. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ
Контрольна робота виконується студентами заочної форми навчання і складається з двох теоретичних питань та задач, які виконуються за темами лабораторних робіт 2, 3, 4, 5, 6, 7 та 8 (див. відповідні додатки).
Варіант теоретичних питань та варіант задач визначаються студентом згідно з початковою літерою його прізвища (табл. 5.1).
Таблиця 5.1
Варіанти завдань для контрольної роботи
Початкова літера прізвища А Б В Г Д Е Є Ж З И І Ї Й К Л М
Варіанти теоретичних питань 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Варіанти задач 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Продовження таблиці 5.1
Початкова літера прізвища Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Варіанти теоретичних питань 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Варіанти задач 17 18 19 20 6 7 8 9 10 11 12 13 18 19 20
Контрольна робота виконується на стандартних аркушах паперу А4, має зшиті та пронумеровані сторінки.
Структура контрольної роботи:
• титульна сторінка;
• зміст;
• теоретична частина;
• розрахункова частина;
• список використаної літератури.
Титульна сторінка оформляється за зразком, наведеним у додатку 12.
6. ВАРІАНТИ ТЕОРЕТИЧНИХ ПИТАНЬ ДЛЯ ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ
Варіант 1
1. У чому суть методу найменших квадратів?
2. Характеристика системи оцінок і критеріїв для перевірки статистичної достовірності моделі?
Варіант 2
1. Які основні причини наявності в регресійній моделі випадкового відхилення?
2. Роль коефіцієнтів еластичності в кількісному аналізі нелінійних економетричних моделей?
Варіант 3
1. Як розрахувати невідомі параметри лінійної моделі?
2. Суть та складові частини нелінійної економетричної моделі з двома змінними?
Варіант 4
1. Наведіть приклади економетричних моделей.
2. Суть та складові частини нелінійної моделі пропозиції продукції.
Варіант 5
1. Що означає специфікація моделі?
2. Етапи побудови нелінійної моделі попиту на продукцію.
Варіант 6
1. Шляхи перетворень нелінійних моделей до лінійних.
2. Роль та значення коефіцієнтів еластичності в аналізі моделей попиту і пропозиції продукції.
Варіант 7
1. Які моделі використовуються в маркетингових дослідженнях?
2. У яких випадках використовується УМНК (метод Ейткена)?
Варіант 8
1. Що розуміється під часовим рядом?
2. У чому суть узагальненого методу найменших квадратів?
Варіант 9
1. Дайте визначення «тренд». Які основні види трендів?
2. Роль коефіцієнтів еластичності в кількісному аналізі нелінійних економетричних моделей?
Варіант 10
1. Етапи перевірки наявності тренда.
2. Зміст поняття «мультиколінеарність» та причини її виникнення.
Варіант 11
1. Основні аналітичні функції, які застосовують для опису динамічних рядів.
2. Ознаки мультиколінеарності.
Варіант 12
1. Суть методу ковзної середньої. Застосування ковзних середніх.
2. Суть алгоритму Фаррара–Глобера та мета його застосування.
Варіант 13
1. Як впливає період усереднення на лінію ковзної середньої?
2. Яке співвідношення свідчить про наявність мультиколінеарності між змінними?
Варіант 14
1. В чому суть методу згладжування?
2. Як використовуються F-критерії в оцінці мультиколінеарності змінних?
Варіант 15
1. Призначення методів згладжування та фільтрації, їх основні характеристики.
2. Як визначаються і для чого використовуються t-критерії в аналізі мультиколінеарності змінних?
Варіант 16
1. Дати поняття функції в економічних дослідженнях.
2. Як усунути мультиколеніарність?
Варіант 17
1. Способи завдання функцій. Типи функцій та їх характері точки.
2. Яким методом можуть бути оцінені параметри моделі з мультиколінеарними змінними?
Варіант 18
1. Функції однієї змінної в задачах з економіки.
2. Дати означення гомоскедастичності та гетероскедастичності.
Варіант 19
1. Основні етапи побудови лінійних моделей.
2. Які існують методи визначення гетероскедастичності.
Варіант 20
1. Дати визначення лінійної багатофакторної регресійної моделі.
2. Як впливає явище гетероскедастичності на оцінку параметрів моделі?
7. ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ
Таблиця 7.1
Тематика індивідуальних завдань з дисципліни та час на їх виконання
Вид індивідуальних завдань Тематика індивідуальних завдань Всього годин

Контрольна робота (заочна форма навчання) • Задача 1. Згідно варіанту побудувати модель парної лінійної кореляційної залежності. Визначити параметри моделі. Оцінити тісноту та значимість зв’язку між змінними моделі. Проаналізувати достовірність моделі та її параметрів. Обчислити прогнозні значення (Yпр). Побудувати графік та зробити економічні висновки.
• Задача 2. Згідно варіанту побудувати парну нелінійну економетричну модель виду . Знайти числові параметри функції. Провести економічний аналіз впливу фактору Х на Y.
• Задача 3. Згідно варіанту дослідити часовий ряд на наявність тренду (тенденції).
• Задача 4. Згідно варіанту провести вирівнювання за методом трьох- чотирьох- та п’ятичленної ковзної середньої. Нанести вихідні дані на графік.
• Задача 5. Згідно варіанту побудувати множинну лінійну кореляційну модель. Визначити параметри моделі. Розрахувати статистичні критерії оцінки достовірності моделі. Проаналізувати достовірність моделі та її параметрів. Обчислити прогнозні значення (Yпр). Побудувати графік та зробити економічні висновки.
• Задача 6. Згідно варіанту побудувати множинну нелінійну модель у вигляді функції Кобба-Дугласа; оцінити точність і достовірність моделі; визначити тісноту зв’язку між факторами; побудувати ізокванти взаємозамінності факторів моделі і зробити економічний аналіз отриманих результатів за всіма відомими характеристиками виробничих функцій.
• Задача 7. Згідно варіанту дослідити наявність мультиколінеарності за допомогою алгоритму Фаррара-Глобера.
Всього 9
8. ЗАПИТАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ДИФЕРЕНЦІЙОВАНОГО ЗАЛІКУ
1. Системи лінійних рівнянь.
2. Означення матриці та основні види матриць.
3. Обернена матриця та іі знаходження.
4. Детермінант (визначник) квадратної матриці.
5. Закони множення матриць.
6. Матриця-рядок, матриця-стовпець, транспонування матриць.
7. Інвертування матриці.
8. Методи рішення системи рівнянь.
9. Поняття „модель” та „економетрична модель”.
10. Види економетричних моделей.
11. Основи теорії кореляції. Функціональний і кореляційний зв’язок.
12. Класифікація регресійних моделей.
13. Система нормальних рівнянь парної лінійної регресійної моделі.
14. Метод найменших квадратів для побудови рівняння регресії.
15. Структура та зміст лінійної економетричної моделі.
16. Сутність поняття "тіснота зв’язку".
17. Показники тісноти зв’язку між змінними.
18. Сутність поняття "значимість зв’язку".
19. Оцінка достовірності і точності побудованих моделей.
20. Графічне відображення кореляційних моделей.
21. Лінійні моделі множинної регресії.
22. Перетворення нелінійних моделей у лінійні.
23. Криві зростання.
24. Степенева функція. Зведення до лінійної регресії.
25. Приклади використання лінійних множинних регресійних моделей.
26. Економіко-математичні моделі продуктивності праці.
27. Класифікація економіко-математичних моделей.
28. Вимоги до економетричного аналізу та його етапи.
29. Коефіцієнт детермінації у парній регресійній моделі.
30. Коефіцієнт кореляції у парній регресійній моделі.
31. Критерій Фішера.
32. Відмінність між точковим і інтервальним прогнозом.
33. Визначення лінійної багатофакторної регресійної моделі.
34. Склад багатофакторних лінійних моделей.
35. Етапи побудови множинних кореляційних моделей.
36. Роль коефіцієнтів еластичності в кількісному аналізі лінійних економетричних моделей.
37. Основні характеристики виробничих функцій і їх економічний зміст
38. Економетричне моделювання в маркетингу. Функції попиту та пропозиції: поняття та визначення.
39. Етапи побудови та аналізу моделей попиту і пропозиції.
40. Методи побудови загальної лінійної моделі.
41. Характеристика лінійної регресійної моделі. Рівняння регресії, коефіцієнт кореляції, похибки, t-критерій Стьюдента; F-критерій Фішера.
42. Вимоги до вихідної статистичної інформації, яка використовується в моделюванні.
43. Сутність автокореляції та методи її виключення в моделюванні.
44. Поняття мультиколінеарності та засоби її виключення в процесі моделювання.
45. Методи визначення гетероскедастичності.
46. Вплив гетероскедастичності на оцінку параметрів моделі.
47. Сутність гетероскедастичності та гомоскедасттичності.
48. Приклади моделей для кількісного економетричного аналізу підприємств харчової промисловості.
49. Визначення наявності мультиколінеарності в економетричному моделюванні. Метод Феррара-Глобера.
50. Авторегресійні моделі.
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
Базова:
1. Іващук О. Т. Економіко-математичне моделювання: навчальний посібник/ за ред. O.Т.Іващука – Тернопіль: ТНЕУ «Економічна думка», 2008. – 704 с.
2. Лещинський О.Л., Економетрія: навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. /О.Л.Лещинський, В.В.Рязанцева, О.О.Юнькова – К.: МАУП, 2003. – 208 с.
3. Лугінін О.Є. Економетрія: навч. посібник. 2-ге видання /О.Є.Лугінін – К.: Центр учбової літератури, 2008. – 278 с.
4. Наконечний С.І., Економетрія: підручник. /С.І.Наконечний, Т.О.Терещенко, Т.П.Романюк – К.: КНЕУ, 2004. – 520 с.
5. Толбатов Ю.А. Економетрика: підручник /Ю.А.Толбатов – Тернопіль: Підручники і посібники, 2008. – 288 с.
Допоміжна:
6. Назаренко О.М. Основи економетрики: підручник. /О.М.Назаренко – К.: Центр навч. літератури, 2004. – 392 с.
7. Наконечний С.І., Економетрія: навч. методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. /С.І.Наконечний, Т.О.Терещенко – К.: КНЕУ, 2001. – 192 с.

ДОДАТКИ
Додаток 1
Задачі для лабораторної роботи 1
Варіант Варіант
1
11
2
12
3
13
4
14
5
15
6
16
7
17
8
18
9
19
10
20
Додаток 2
Задачі для лабораторної роботи 2
Варіант 1.
Маємо вибірку даних за 8 років, які характеризують обсяг продажу шампанського, млн. бут. (Y) в залежності від чисельності дорослого населення (Х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду: .
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати обсяг продажу шампанського, якщо чисельність дорослого населення збільшиться на 20%.
Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Обсяг продажу,
млн. бут. Чисельність
дорослого населення,
млн. осіб
Y Х
143,56 34,027
144,78 33,768
165,99 33,453
167,23 33,152
171,22 32,97
185,67 32,634
191,45 32,41
195,64 32,2

Продовження додатку 2
Варіант 2.
Маємо вибірку даних за 10 років, які характеризують обсяг продажу шампанського, млн. бут. (Y) в залежності від середнього доходу населення, тис. грн./чол. в рік (Х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду: .
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати обсяг продажу шампанського, якщо середній дохід населення збільшиться на 30%.
Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Обсяг продажу,
млн. бут. Середній дохід населення,
тис. грн./чол. в рік
Y Х
143,56 2,632
144,78 3,244
165,99 3,815
167,23 4,493
171,22 5,761
185,67 8,063
191,45 10,22
195,64 12,36
206,1 12,59
213,97 13,98

Продовження додатку 2
Варіант 3.
Маємо вибірку даних за 12 років, які характеризують обсяг продажу шампанського, млн. бут. (Y) в залежності від обсягу збору винограду, тис. т (Х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду: .
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати обсяг продажу шампанського, якщо обсягу збору винограду збільшиться на 20%.
Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Обсяг продажу,
млн. бут. Обсяг збору
винограду, тис. т
Y Х
142,7 39,8
143,56 39,04
144,78 38,56
165,99 37,04
167,23 36,04
171,22 35,48
185,67 36,6
191,45 36,48
195,64 36,6
198,8 34,82
205,34 36,3
220,21 32,21

Продовження додатку 2
Варіант 4.
Маємо вибірку даних за 12 років, які характеризують обсяг продажу шампанського, млн. бут. (Y) в залежності від курсу долара, грн. (Х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду:
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати обсяг продажу шампанського, якщо курс долара збільшиться на 30%.
Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Обсяг продажу,
млн. бут. Курс долара,
грн.
Y Х
142,7 3,8
143,56 5,44
144,78 5,37
165,99 5,32
167,23 5,33
171,22 5,31
185,67 5,12
191,45 6,5
195,64 6,8
198,8 7,85
205,34 7,9
220,21 8,01

Продовження додатку 2
Варіант 5.
Маємо вибірку даних за 12 років, які характеризують виручку від реалізації підприємства ТОВ «Меркс Груп», тис. грн. (Y) в залежності від чисельності працюючих, чол. (Х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду: .
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати виручку від реалізації, якщо чисельність працюючих збільшиться на 15%.
Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Виручка від реалізації
тис. грн. Чисельність персоналу,
чол.
Y Х
225 325,7
231 360,6
229 209,4
233 267,5
283 473,7
279 772,8
286 573,4
290 673,1
321 1841,2
322 866,4
325 1299,6
324 1407,9

Продовження додатку 2
Варіант 6.
Маємо вибірку даних за 8 років, які характеризують виручку від реалізації хлібокомбінату № 11, тис. грн. (Y) в залежності від обсягу виробленої продукції, тис. грн. (Х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду:
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати виручку від реалізації на підприємстві, якщо обсяг виробленої продукції збільшиться на 15%.
Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Виручка від реалізації
млн. грн. Обсяг виробленої продукції
млн. грн.
Y Х
74,7 53,2
56,0 42,1
51,8 37,5
24,9 20,8
49,1 45,8
78,6 60,4
81,3 62,5
51,5 39,5

Продовження додатку 2
Варіант 7.
Маємо вибірку даних за 12 років, які характеризують виручку від реалізації підприємства ТОВ «Меркс Груп», тис. грн. (Y) в залежності від курсу долара, грн. (Х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду: .
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати виручку від реалізації на підприємстві, якщо курс долара збільшиться на 20%. Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Виручка від реалізації
тис. грн. Курс долара,
грн.
Y Х
225 3,8
231 5,44
229 5,37
233 5,32
283 5,33
279 5,31
286 5,12
290 6,5
321 6,8
322 7,85
325 7,9
324 8,01

Продовження додатку 2
Варіант 8.
Маємо вибірку даних за 8 років, які характеризують виручку від реалізації хлібокомбінату № 11, тис. грн. (Y) в залежності від чисельності працюючих, чол. (Х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду:
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати виручку від реалізації на підприємстві, якщо чисельності працюючих збільшиться на 15%.
Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Виручка від реалізації
млн. грн. Чисельність працюючих, чол.
Y Х
74,7 456,0
56,05 342,3
51,8 304,0
24,9 164,7
59,6 277,0
78,6 365,1
81,3 377,7
51,5 239,2

Продовження додатку 2
Варіант 9.
Маємо вибірку даних за 8 років, які характеризують чистий дохід підприємства «Тойота Центр Київ», тис. грн. (Y) в залежності від вартості основних виробничих фондів (ОВФ), тис. грн. (Х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду .
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати чистий дохід підприємства, якщо вартості основних виробничих фондів збільшиться на 20%. Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Чистий дохід
млн. грн. Вартість ОВФ
млн. грн.
Y Х
 
 
 
 
 
 
 
 

Продовження додатку 2
Варіант 10.
Встановити залежність заробітної плати (Y) від кваліфікаційного розряду (Х). Візьмемо денну заробітну плату і кваліфікаційний розряд десяти робітників підприємства КП ШЕУ Подільського району м. Києва. Побудувати парну лінійну регресійну модель виду:
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати збільшення денної зарплати при збільшенні кваліфікаційного розряду на 1.
Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Денна зарплата,
грн. Кваліфікаційний розряд
Y Х
45 2
50 3
50 3
60 4
70 5
60 4
80 6
70 5
70 6
80 5

Продовження додатку 2
Варіант 11.
Встановити залежність коефіцієнту плинності робочої сили (Y), % від середньомісячної заробітної плати (Х), грн. Спосіб спостереження прийнято помісячно. Побудувати парну лінійну регресійну модель виду:
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Розрахувати прогноз коефіцієнту плинності робочої сили при збільшенні середньомісячної зарплати 20%.
Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Місяці Коефіцієнт плинності робочої сили, (%) Середньомісячна заробітна плата грн.
Y X
1 9,6 3450,82
2 8,78 3466,2
3 7,47 3527,11
4 6,18 3646,2
5 5,07 3697,05
6 4,78 3716,23
7 4,0 3728,08
8 3,9 3738,32
9 3,6 3757,8
10 2,61 3767,3
11 2,6 3772,6
12 2,0 3797,5

Продовження додатку 2
Варіант 12.
Маємо вибірку даних, які характеризують об’єм реалізації продукції слабоалкогольних напоїв ЗАТ «Оболонь» в залежності від глибини асортименту. Побудувати парну лінійну кореляційну модель виду:

де Y – об’єм реалізації продукції, тис. грн.;
Х – глибина асортименту, видів продукції.
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати об’єм реалізації продукції на наступний рік, якщо глибина асортименту збільшиться на 20% у порівнянні з останнім роком. Відобразити модель на графіку. Зробити загальний висновок.
Статистичні дані:
Спосте-
реження Об’єм реалізації продукції,
тис. грн. Глибина асортименту
Yф Х
1 1646 220
2 1665 222
3 1688 225
4 1700 240
5 1784 244
6 1810 247

Продовження додатку 2
Варіант 13.
Проведені дослідження попиту на сир за 14 років. Встановити залежність попиту на сир (Y), від обсягу виробництва молока всіх видів (х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду:
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Розрахувати прогноз обсяг виробництва сирів на 2017 рік.
Відобразити модель на графіку. Зробити загальний висновок.
Статистичні дані:
Роки Обсяг виробництва сирів, т Молоко всіх видів, млн. т
Y х
1 1997 355,4 13,77
2 1998 346 13,75
3 1999 332,1 13,36
4 2000 310,4 12,66
5 2001 305,2 13,44
6 2002 295,3 14,14
7 2003 295,2 13,66
8 2004 293,3 13,71
9 2005 287,9 13,71
10 2006 284,6 13,29
11 2007 282,1 12,26
12 2008 224,3 11,76
13 2009 166,5 11,61
14 2010 108,7 11,25

Продовження додатку 2
Варіант 14.
Проведені дослідження обсягу реалізації сиру за 12 років. Встановити залежність попиту на сир (Y) від середнього доходу населення (х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду:
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Розрахувати прогноз обсягу реалізації сирів на 2019 рік.
Відобразити модель на графіку. Зробити загальний висновок.
Статистичні дані:
Роки Обсяг реалізації сиру, т Середній дохід населення, тис. грн./чол. в рік
Y х
1 2002 355,4 1,3
2 2003 346 1,5
3 2004 332,1 2
4 2005 310,4 2,6
5 2006 305,2 3,2
6 2007 295,3 3,8
7 2008 295,2 4,5
8 2009 293,3 5,7
9 2010 287,9 8,1
10 2011 284,6 10,2
11 2012 282,1 12,4
12 2013 224,3 13,1

Продовження додатку 2
Варіант 15.
Проведені дослідження обсягу реалізації сиру за 12 років. Встановити залежність попиту на сир (Y) від кількості населення (х). Побудувати парну лінійну регресійну модель виду:
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Розрахувати прогноз обсягу реалізації сирів на 2020 рік.
Відобразити модель на графіку. Зробити загальний висновок.
Статистичні дані:
Роки Обсяг реалізації сиру, т Кількість населення, млн. чол.
Y х
1 2003 355,4 49,86
2 2004 346 49,61
3 2005 332,1 49,24
4 2006 310,4 48,93
5 2007 305,2 48,61
6 2008 295,3 48,24
7 2009 295,2 47,79
8 2010 293,3 47,36
9 2011 287,9 47,1
10 2012 284,6 46,62
11 2013 282,1 46,3
12 2014 224,3 46,0

Продовження додатку 2
Варіант 16.
Підприємство складається з багатьох філій. Дослідити тенденцію збільшення товарообігу Y (млн.у.о.) за часом. Для відображення залежності обрати лінійну регресійну модель виду: . Оцінити достовірність моделі.
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати зміну річного товарообігу на наступний період.
Відобразити модель на графіку. Зробити загальний висновок.
Статистичні дані:
Товарообіг
(млн. у.о.) t
(період)
Y X
1,25 1
1,37 2
1,45 3
2,32 4
2,5 5
3,45 6
3,55 7
4,25 8
5,01 9
5,42 10
6,32 11
6,45 12
6,5 13
7,0 14
7,42 15

Продовження додатку 2
Варіант 17.
Підприємство складається з багатьох філій. Дослідити залежність річного товарообігу Y (млн. у. о.) від торгової площі філій Х (тис. кв. м). Для відображення залежності обрати лінійну регресійну модель виду: . Оцінити достовірність моделі.
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати зміну річного товарообігу, якщо відкрити ще філії загальною площею 25 тис. кв. м.
Відобразити модель на графіку. Зробити загальний висновок.
Статистичні дані:
Річний товарообіг
(млн. у. о.) Торгова площа філій
(тис. кв. м)
Y X
1,03 1,6
1,17 5,4
1,57 8,3
2,45 10,1
4,08 14,9
4,45 16,54
4,45 16,8
4,55 18,3
4,68 18,3
5,06 21,56
5,13 26,4
5,4 31
5,51 37,9
5,94 41,7
6,07 46,9

Продовження додатку 2
Варіант 18.
Маємо вибірку даних, які характеризують попит на продукцію за часом. Побудувати функцію попиту на олію, де Y – попит на олію (кількість олії в літрах на душу населення), t – час. Для відображення залежності обрати лінійну регресійну модель виду: .
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Спрогнозувати зміну попиту на наступний рік. Відобразити модель на графіку. Зробити загальний висновок.
Статистичні дані:
Попит на олію
(літрів на рік) t
(рік)
Y X
21,7 1
22,3 2
24,1 3
24,9 4
24,95 5
25,3 6
25,8 7
25,9 8
26,1 9
26,3 10
26,4 11
26,45 12
26,7 13
27,1 14
28,3 15
Продовження додатку 2
Варіант 19.
Встановити залежність продуктивності праці, тис. грн./чол., (Y) на підприємстві ПАТ «Оболонь» від рівня кваліфікації робітників (Х). Спосіб спостереження прийнято поквартально. Побудувати парну лінійну регресійну модель виду: .
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Розрахувати прогноз продуктивності праці при збільшенні рівня кваліфікації робітників на 1. Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Спостереження Продуктивності праці, тис. грн./чол. Рівень кваліфікації робітників
Y Х
1 квартал 2008 45 2
2 квартал 2008 50 3
3 квартал 2008 50 3
4 квартал 2008 60 4
1 квартал 2009 70 5
2 квартал 2009 60 4
3 квартал 2009 80 6
4 квартал 2009 70 5
1 квартал 2010 80 6
2 квартал 2010 70 5
3 квартал 2010 70 5
4 квартал 2010 80 6

Закінчення додатку 2
Варіант 20.
Встановити залежність продуктивності праці, тис. грн./чол., (Y) від рівня механізації і автоматизації виробництва, %. (Х). Спосіб спостереження прийнято поквартально. Побудувати парну лінійну регресійну модель виду: .
Для аналізу моделі необхідно розрахувати: коефіцієнт детермінації; коефіцієнт кореляції, F-критерій Фішера; стандартні похибки оцінок параметрів моделі порівняти з величиною оцінок; перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі; знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.
Розрахувати прогноз продуктивності праці при збільшенні рівня механізації і автоматизації виробництва на 5%.
Відобразити модель на графіку. Зробити висновки.
Статистичні дані:
Спостереження Продуктивності
праці, тис. грн./чол. Рівень механізації і
автоматизації виробництва, %
Y Х
1 квартал 2009 16,7 80,4
2 квартал 2009 17,3 81,1
3 квартал 2009 18,4 82,3
4 квартал 2009 19,5 83,4
1 квартал 2010 20,3 84,5
2 квартал 2010 21,4 86,7
3 квартал 2010 25,5 88,8
4 квартал 2010 26,9 88,9
1 квартал 2010 27,8 90,1
2 квартал 2011 30,1 91,4
3 квартал 2011 32,3 91,4
4 квартал 2011 33,9 91,6

Додаток 3
Вихідні дані для лабораторної роботи 3
Варіант 1 Варіант 2 Варіант 3 Варіант 4 Варіант 5
Y Х Y Х Y Х Y Х Y Х
18,3 2,5 8,4 2,4 30 2,5 20,1 2,2 22,84 2,5
19,4 3,1 8,7 2,8 30,5 2,5 23,52 3,2 23,18 2,9
19,5 2,9 9,3 3,1 32,5 3 23,78 3,4 25,24 2,9
19,7 3,2 9,9 3,3 32,5 3,2 24,42 3,5 26,48 3
19,8 3 10,5 3,3 34,5 3,3 25,06 3,7 26,68 3,1
19,9 3,3 10,8 3,5 35 3,4 28,74 3,8 26,88 3,3
20 4,5 11,1 3,5 38 3,5 29,52 3,8 29,64 3,4
20 3,4 11,4 3,6 38 4,5 29,64 3,8 29,68 3,4
20,1 4,6 11,7 4,2 38,5 4,8 30,04 3,9 29,7 3,4
20,2 3,8 13,5 4,2 42,5 4,9 30,68 4,1 29,76 3,8
20,2 3,4 13,8 4,7 31,9 4
21,4 8,2 14,1 5,7 31,9 4,5

Варіант 6 Варіант 7 Варіант 8 Варіант 9 Варіант 10
Y Х Y Х Y Х Y Х Y Х
32,3 2,2 2,7 2,2 3,3 2,4 4,7 2,5 5,94 2,7
34,2 3 2,8 2,2 4,4 2,8 4,5 2,5 5,84 2,8
34,2 3,2 3 3,2 4,5 3,1 3,9 3 5,74 3
36,1 3,2 3 3,4 4,7 3,3 3,8 3,2 5,45 3,1
38 3,4 3,1 3,5 4,8 3,3 3,7 3,3 5,45 3,3
40,85 3,4 3,4 3,7 4,9 3,5 3,5 3,4 5,12 3,4
40,85 3,5 3,4 3,8 5 3,5 3,3 3,5 4,38 3,5
42,75 3,7 3,5 3,8 5 3,5 3,1 4,5 4,35 3,5
42,75 3,7 3,5 3,8 5,1 3,6 2,9 4,8 4,34 3,5
43,7 3,8 3,5 3,9 5,2 3,6 2,8 4,9 4,32 4,3
45,6 3,8 4,3 4,1 5,2 3,7 4,09 4,5
46,55 3,8 4,6 5,6 5,3 4,2 3,92 4,6
47,5 3,8 5,5 4,2
47,5 3,9 5,7 4,7
50,35 4,1 6,4 5,7

Закінчення додатку 3
Варіант 11 Варіант 12 Варіант 13 Варіант 14 Варіант 15
Y Х Y Х Y Х Y Х Y Х
3,4 2,2 10,8 2,2 16 2,2 5,9 2,4 6,15 2,5
3,6 3,2 11,1 3 18,1 3,2 5,8 2,8 6,3 3,1
3,6 3,2 11,4 3,2 19,3 3,4 6 3,1 6,29 2,9
3,6 3,5 11,5 3,2 22,8 3,5 6 3,3 6,42 2,9
3,8 3,7 11,5 3,4 23,4 3,7 6,1 3,3 6,42 3,5
4,3 3,8 12,3 3,4 23,5 3,8 6 3,5 6,44 3,3
4,3 3,8 12,6 3,5 24,6 3,9 6,2 3,5 6,46 4,5
4,6 3,8 12,7 3,7 28 3,8 6 3,6 6,5 3,8
4,9 4,1 13 3,7 30,2 3,9 6,2 4,2 6,5 4,2
5,8 5,3 13,3 3,8 30,8 5,8 6,4 4,2 6,57 5,3
13,5 3,9 6,5 4,7
13,5 3,8 6,6 5,7
14,3 3,8
14,5 3,9
14,7 4,1

Варіант 16 Варіант 17 Варіант 18 Варіант 19 Варіант 20
Y Х Y Х Y Х Y Х Y Х
19,6 2,2 3,35 2,5 5,16 2,5 5,68 2,7 3,6 1,3
20,6 3,2 3,42 3,1 5,16 2,5 5,55 2,9 3,8 1,3
21,6 3,4 3,42 2,9 5,16 3 5,48 2,9 3,8 1,6
22,6 3,5 3,48 2,9 4,84 3,2 5,35 3 5,3 1,7
23,6 3,7 3,48 3 4,71 3,3 5,16 3,1 5,6 1,7
24,6 3,7 3,55 3,3 4,52 3,4 5,03 3,3 5,7 1,8
25,6 3,8 3,74 4,5 4,52 3,5 4,84 3,4 5,8 1,8
26,6 3,8 3,74 3,4 4,39 4,2 4,71 3,4 6,3 1,9
27,6 3,8 3,81 4 4,32 4,2 4,52 3,4 6,6 1,9
25,6 3,8 3,87 3,8 4,26 4,2 4,39 3,7 7,1 1,9
29,6 3,9 3,93 3,4 4,19 4,3 4,32 3,8
30,5 5,2 4,13 3,4 4,13 4,5 4,26 4
4,19 5 4,13 4,5 4,26 4,1
4,52 5,8 4,06 4,8 3,87 4,5
4,06 4,9

Додаток 4
Вихідні дані для лабораторних робіт 4 та 5
t,
час Варіанти
1 2 3 4 5 6 7
Об’єм реалізації
тис.
грн. Прибуток фірми, тис.
грн. Середній попит, штук за день Об’єм реалізації, тис. грн. за годину Витрати на податки, тис. грн. Попит на олію, тис. л Попит на молоко, тис. л
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
1 1251 23,52 10,1 75,95 1109,1 29,244 16,9
2 1053,1 34,1 13,9 80,85 979,5 29,54 14,1
3 1023,2 36,3 19,9 68,37 896,8 25,58 14,8
4 862,3 27,1 14,3 75,33 824,0 21,16 15,8
5 804,9 25,2 11,5 70,22 723,1 18,04 15,8
6 804,9 25 10,1 68,6 652,2 25 15,5
7 559,5 14,3 13,9 106,47 856,0 17,16 12,5
8 592,3 14,2 19,9 383,1 669,2 23,2 18,1
9 583,1 11,5 14,3 591,5 755,6 27,18 19,1
10 832,1 24,3 11,5 592,3 1026,3 30,52 18,8
11 851,7 21,5 10,1 676,3 811,0 16 16,4
12 1395,1 44,5 13,9 745,3 1094,5 29,94 18,1
13 1086,3 34,1 19,9 862,3 894,5 23,84 19,9
14 802,1 28,2 14,3 1023,2 780,8 20,92 17,3
15 795,1 22,7 11,5 1053,1 1000,0 19,26 19,5
16 745,3 20,2 10,1 1086,3 671,0 32
17 676,3 14 13,9 1251 559,7 15,48
18 591,5 19,5 19,9 1289 650,0 14,64
19 411,4 19,9 14,3 1251 354,6 12,68
20 351,1 13,9 11,5 1086,3 285,8 12,48
21 301,3 10,1 10,1 1023,2 219,4
22 205,1 9,8 13,9 802,1 600,0
23 151,9 9,7 19,9 411,4 319,4
24 161,7 18,9 14,3 151,9
25 644,5 35,2 11,5

 

Продовження додатку 4
t,
час Варіанти
8 9 10 11 12 13 14
Середній дохід на душу населення, тис. грн. Собівартість 1 т продукції, тис. грн. Об’єм реалізації, тис грн. за місяць Чисельність працюючих, чол. Витрати на рекла-му,
грн. Попит на продукцію,
т Об’єм реалізації, тис грн. за декаду
y8 y9 y10 y11 y12 y13 y14
1 3,9 5,6 10,1 24 1251 500,0 3,52
2 3,8 5 13,9 26 1053,1 979,5 9,7
3 4 5,6 19,9 25 1023,2 896,8 8,9
4 4,8 6,4 14,3 28 862,3 650,0 9,8
5 4 6,8 11,5 27 804,9 723,1 10,1
6 4,5 6,8 9,7 29 804,9 652,2 13,9
7 4,2 6,8 8,9 28 559,5 578,3 19,9
8 4,5 7,4 3,52 29 592,3 669,2 14,3
9 4,6 6,6 10,1 27 583,1 755,6 11,5
10 5 6,2 13,9 27 832,1 1026,3 9,7
11 4,8 7 19,9 26 851,7 605,0 8,9
12 5 6,8 14,3 27 1395,1 800,0 3,52
13 5,1 6,6 11,5 26 1086,3 894,5 3
14 5,4 8 9,7 27 802,1 780,8 3,52
15 5,4 8,4 8,9 28 795,1 738,9 9,7
16 7,8 3,52 33 745,3 671,0 8,9
17 9,8 35 676,3 559,7 9,8
18 10,1 32 591,5 451,3 10,1
19 13,9 34 411,4 354,6 13,9
20 19,9 33 351,1 285,8 19,9
21 14,3 35 301,3 219,4 14,3
22 11,5 33 205,1 172,9 11,5
23 9,7 34 151,9 319,4 9,7
24 8,9 32 161,7 8,9
25 3,52 32 644,5 3,52
26 29
27 31
28 29
29 30
30 30

Закінчення додатку 4
t,
час Варіанти
15 16 17 18 19 20
Середній попит,
т
за день Середній попит, літрів
за день Об’єм реалізації, тис. грн. за годину Середній попит, штук
за день Середній прибуток, тис. грн. за день Витрати на інновації, тис грн.
y15 y16 y17 y18 y19 y20
1 10,1 63 101 10,1 9,1 3,52
2 13,9 87 81 13,9 12,9 9,7
3 14,1 88 68 19,9 13,1 8,9
4 14,3 89 75 14,3 13,3 9,8
5 11,5 72 70 11,5 10,5 10,1
6 9,7 61 69 10,1 8,7 13,9
7 9,1 57 106 13,9 8,1 19,9
8 10,1 63 383 19,9 10,1 14,3
9 13,9 87 592 14,3 13,9 11,5
10 15,2 95 592 11,5 15,2 19,5
11 14,3 89 676 10,1 14,3 14,2
12 11,5 72 745 13,9 11,5 14
13 9,7 61 862 19,9 8,7 20,2
14 9 56 960 14,3 7,6 22,7
15 10,1 63 975 11,5 8,5 28,2
16 13,9 87 1020 10,1 13,2 25,2
17 14,5 91 1251 13,9 15,8 25
18 14,3 89 1289 19,9 15,3 24,3
19 11,5 72 1251 14,3 11,5 21,5
20 9,7 61 1086 11,5 9,7 27,1
21 8 50 1023 10,1 8 36,3
22 10,1 63 802 13,9 11,1 34,1
23 13,9 87 411 19,9 14,9 34,1
24 16,5 103 152 14,3 16,4 35,2
25 14,3 89 11,5 14,3 44,5
26 11,5 72 11,5
27 9,7 61 9,7
28 8 50 8
29 10,1 63 9,1
30 13,9 87 13,9
31 14,5 91 15,5

Додаток 5
Вихідні дані для лабораторної роботи 6
Варіант 1 Варіант 2 Варіант 3 Варіант 4
Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2
50,6 10,5 7,5 50,8 10,5 8,3 50,6 11,3 7,5 50,8 10,8 8,3
51,7 11,8 6,6 51,9 11,8 7,4 51,7 11,8 6,6 51,9 11,7 7,4
53,5 11,5 6,6 53,1 11,5 7,4 53,5 11,8 6,6 53,1 11,8 7,4
54,6 11,1 6,6 55,0 11,1 7,4 54,6 11,3 6,6 55,0 11,5 7,4
55,6 12,3 6,5 56,0 12,3 7,3 55,6 12,9 6,5 56,0 12,6 7,3
56,6 12,9 6,5 56,4 12,9 7,2 56,6 12,4 6,5 56,4 12,9 7,2
58,6 14,0 6,5 58,9 14,0 7,1 58,6 13,1 6,5 58,9 13,7 7,1
60,7 12,3 6,5 60,7 12,3 7,0 60,7 12,9 6,5 60,7 12,7 7,0
61,5 13,9 6,4 61,5 13,9 6,8 61,5 13,3 6,4 61,5 13,7 6,8
62,6 12,7 6,4 62,9 12,7 6,8 62,6 13,0 6,4 62,9 12,9 6,8
63,6 13,2 6,4 63,9 13,2 6,8 63,6 13,1 6,4 63,9 13,0 6,8
65,6 13,3 6,4 65,6 13,3 6,7 65,6 13,9 6,4 65,6 13,1 6,7
68,7 14,8 6,3 68,2 14,8 6,6 68,7 14,4 6,3 68,2 14,6 6,6
70,0 15,3 6,3 70,6 15,3 6,5 70,0 15,2 6,3 70,6 15,6 6,5
71,3 16,2 6,3 72,2 16,2 6,4 71,3 16,4 6,3 72,2 16,1 6,4

Варіант 5 Варіант 6 Варіант 7 Варіант 8
Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2
50,8 11,3 6,3 50,8 11,1 7,5 50,9 11,1 7,5 50,8 10,5 7,5
51,9 11,8 5,4 51,9 11,6 6,6 52,1 11,6 6,6 51,9 11,8 6,6
53,1 11,8 5,4 53,1 11,2 6,6 53,3 11,2 6,6 53,1 11,5 6,6
55,0 11,3 5,4 55,0 12,0 6,6 55,1 12,0 6,6 55,0 11,1 6,6
56,0 12,9 5,3 56,0 12,2 6,5 56,1 12,2 6,5 56,0 12,3 6,5
56,4 12,4 5,3 56,4 12,9 6,5 56,5 12,9 6,5 56,4 12,9 6,5
58,9 13,1 5,3 58,9 13,4 6,5 59,0 13,4 6,5 58,9 14,0 6,5
60,7 12,9 5,3 60,7 13,0 6,5 60,9 13,0 6,5 60,7 12,3 6,5
61,5 13,3 5,2 61,5 13,5 6,4 61,6 13,5 6,4 61,5 13,9 6,4
62,9 13,0 5,2 62,9 12,6 6,4 63,0 12,6 6,4 62,9 12,7 6,4
64,0 13,4 6,4 63,9 13,2 6,4
65,7 14,0 6,4 65,6 13,3 6,4
68,2 14,8 6,3
70,6 15,3 6,3
72,2 16,2 6,3
Продовження додатку 5
Варіант 9 Варіант 10 Варіант 11 Варіант 12
Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2
50,9 10,5 8,3 50,9 11,1 6,3 50,7 11,3 7,1 50,8 10,5 8,3
52,1 11,8 7,4 52,1 11,6 5,4 51,7 11,8 6,3 51,9 11,8 7,4
53,3 11,5 7,4 53,3 11,2 5,4 52,6 11,8 6,3 53,1 11,5 7,4
55,1 11,1 7,4 55,1 12,0 5,4 54,7 11,3 6,2 55,0 11,1 7,4
56,1 12,3 7,3 56,1 12,2 5,3 55,5 12,9 6,0 56,0 12,3 7,3
56,5 12,9 7,2 56,5 12,9 5,3 56,3 12,4 6,0 56,4 12,9 7,2
59,0 14,0 7,1 59,0 13,4 5,3 58,2 13,1 6,0 58,9 14,0 7,1
60,9 12,3 7,0 60,9 13,0 5,3 60,0 12,9 5,9 60,7 12,3 7,0
61,6 13,9 6,8 61,6 13,5 5,2 60,8 13,3 5,9 61,5 13,9 6,8
63,0 12,7 6,8 63,0 12,6 5,2 62,6 13,0 5,8 62,9 12,7 6,8
64,0 13,2 6,8 64,0 13,4 5,2 63,9 13,2 6,8
65,7 13,3 6,7 65,7 14,0 5,1
68,3 14,8 6,6
70,8 15,3 6,5
72,3 16,2 6,4

Варіант 13 Варіант 14 Варіант 15 Варіант 16
Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2
50,9 11,1 7,1 54,7 11,5 6,6 50,7 11,1 7,5 50,7 10,5 7,5
52,1 11,6 6,3 55,5 12,6 6,5 51,7 11,6 6,6 51,7 11,8 6,6
53,3 11,2 6,3 56,3 12,9 6,5 52,6 11,2 6,6 52,6 11,5 6,6
55,1 12,0 6,2 58,2 13,7 6,5 54,7 12,0 6,6 54,7 11,1 6,6
56,1 12,2 6,0 60,0 12,7 6,5 55,5 12,2 6,5 55,5 12,3 6,5
56,5 12,9 6,0 60,8 13,7 6,4 56,3 12,9 6,5 56,3 12,9 6,5
59,0 13,4 6,0 62,6 12,9 6,4 58,2 13,4 6,5 58,2 14,0 6,5
60,9 13,0 5,9 63,2 13,0 6,4 60,0 13,0 6,5 60,0 12,3 6,5
61,6 13,5 5,9 65,6 13,1 6,4 60,8 13,5 6,4 60,8 13,9 6,4
63,0 12,6 5,8 67,6 14,6 6,3 62,6 12,6 6,4 62,6 12,7 6,4
70,1 15,6 6,3 63,2 13,2 6,4
72,0 16,1 6,3 65,6 13,3 6,4
67,6 14,8 6,3
70,1 15,3 6,3

Закінчення додатку 5
Варіант 17 Варіант 18 Варіант 19 Варіант 20
Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2
50,8 11,1 7,1 50,9 10,5 8,3 50,9 11,1 6,3 50,6 10,8 8,3
51,9 11,6 6,3 52,1 11,8 7,4 52,1 11,6 5,4 51,7 11,7 7,4
53,1 11,2 6,3 53,3 11,5 7,4 53,3 11,2 5,4 53,5 11,8 7,4
55,0 12,0 6,2 55,1 11,1 7,4 55,1 12,0 5,4 54,6 11,5 7,4
56,0 12,2 6,0 56,1 12,3 7,3 56,1 12,2 5,3 55,6 12,6 7,3
56,4 12,9 6,0 56,5 12,9 7,2 56,5 12,9 5,3 56,6 12,9 7,2
58,9 13,4 6,0 59,0 14,0 7,1 59,0 13,4 5,3 58,6 13,7 7,1
60,7 13,0 5,9 60,9 12,3 7,0 60,9 13,0 5,3 60,7 12,7 7,0
61,5 13,5 5,9 61,6 13,9 6,8 61,6 13,5 5,2 61,5 13,7 6,8
62,9 12,6 5,8 63,0 12,7 6,8 63,0 12,6 5,2 62,6 12,9 6,8
63,9 13,4 5,8 64,0 13,2 6,8 64,0 13,4 5,2 63,6 13,0 6,8
65,7 13,3 6,7 65,7 14,0 5,1
68,3 14,6 5,1
70,8 15,0 5,1
72,3 16,4 5,1

Додаток 6
Вихідні дані для лабораторної роботи 7
Варіант 1 Варіант 2 Варіант 3 Варіант 4
Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2
151 10,53 19,4 172 11,1 19,4 170 11,1 19,5 17,6 10,53 19,4
157 11,8 20,1 180 11,64 20,1 182 11,64 20,2 19,1 11,8 20,1
163 11,45 20,9 191 11,17 20,9 192 11,17 20,8 19,5 11,45 20,9
172 11,1 21,1 192 11,97 21,1 191 11,97 20,7 19,2 11,1 21,1
197 12,31 21,5 205 12,17 21,5 199 12,17 21,5 20,6 12,31 21,5
208 12,86 22,6 209 12,89 22,6 214 12,89 22,2 21,9 12,86 22,6
213 13,96 23,4 222 13,44 23,4 215 13,44 23,5 22,5 13,96 23,4
229 12,31 24,1 233 12,98 24,1 233 12,98 24,4 23,8 12,31 24,1
254 13,93 25,3 260 13,45 25,3 263 13,45 24,9 27 13,93 25,3
269 12,69 25,9 277 12,61 25,9 273 12,61 25,9 28,1 12,69 25,9
307 13,23 27,2 312 13,38 27,2 308 13,38 27,6 31 13,23 27,2
308 13,26 28,4 312 13,96 28,4 313 13,96 28,3 32 13,26 28,4
319 14,77 30,8 324 14,65 30,8 324 14,65 30,8 32,7 14,77 30,8
405 15,35 30,4 412 15 30,4 413 15 30,9 41,4 15,35 30,4
416 16,2 31,1 412 16,39 31,1 414 16,39 30,9 42,2 16,2 31,1

Варіант 5 Варіант 6 Варіант 7 Варіант 8
Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2
172 11,26 19,5 170 10,53 19,6 17,6 11,1 19,4 151 10,53 19,5
180 11,83 20,2 182 11,8 20,9 19,1 11,64 20,1 157 11,8 20,2
191 11,8 20,8 192 11,45 21,1 19,5 11,17 20,9 163 11,45 20,8
192 11,27 20,7 191 11,1 21,3 19,2 11,97 21,1 172 11,1 20,7
205 12,94 21,5 199 12,31 21 20,6 12,17 21,5 197 12,31 21,5
209 12,35 22,2 214 12,86 22,2 21,9 12,89 22,6 208 12,86 22,2
222 13,05 23,5 215 13,96 23,6 22,5 13,44 23,4 213 13,96 23,5
233 12,86 24,4 233 12,31 24,5 23,8 12,98 24,1 229 12,31 24,3
260 13,27 24,9 263 13,93 25,4 27 13,45 25,3 254 13,93 24,9
277 12,97 25,9 273 12,69 26,4 28,1 12,61 25,9 269 12,69 25,9
312 13,08 27,6 308 13,23 27 31 13,38 27,2 307 13,23 27,6
312 13,93 28,3 313 13,26 28,5 32 13,96 28,4 308 13,26 28,3
324 14,42 30,8 324 14,77 30,9 32,7 14,65 30,8 319 14,77 30,8
412 15,18 30,9 413 15,35 31,3 41,4 15 30,4 405 15,35 30,9
412 16,44 30,9 414 16,2 30,8 42,2 16,39 31,1 416 16,2 30,9

Продовження додатку 6
Варіант 9 Варіант 10 Варіант 11 Варіант 12
Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2
151 10,53 19,6 172 11,1 19,5 170 10,53 19,4 17,6 11,26 19,5
157 11,8 20,9 180 11,64 20,2 182 11,8 20,1 19,1 11,83 20,2
163 11,45 21,1 191 11,17 20,8 192 11,45 20,9 19,5 11,8 20,8
172 11,1 21,3 192 11,97 20,7 191 11,1 21,1 19,2 11,27 20,7
197 12,31 21 205 12,17 21,5 199 12,31 21,5 20,6 12,94 21,5
208 12,86 22,2 209 12,89 22,2 214 12,86 22,6 21,9 12,35 22,2
213 13,96 23,6 222 13,44 23,5 215 13,96 23,4 22,5 13,05 23,5
229 12,31 24,5 233 12,98 24,3 233 12,31 24,1 23,8 12,86 24,4
254 13,93 25,4 260 13,45 24,9 263 13,93 25,3 27 13,27 24,9
269 12,69 26,4 277 12,61 25,9 273 12,69 25,9 28,1 12,97 25,9
307 13,23 27 312 13,38 27,6 308 13,23 27,2 31 13,08 27,6
308 13,26 28,5 312 13,96 28,3 313 13,26 28,4 32 13,93 28,3
319 14,77 30,9 324 14,65 30,8 324 14,77 30,8 32,7 14,42 30,8
405 15,35 31,3 412 15 30,9 413 15,35 30,4 41,4 15,18 30,9
416 16,2 30,8 412 16,39 30,9 414 16,2 31,1 42,2 16,44 30,9

Варіант 13 Варіант 14 Варіант 15 Варіант 16
Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2
172 10,53 19,6 170 11,1 19,4 17,6 11,26 19,5 151 10,84 19,6
180 11,8 20,9 182 11,64 20,1 19,1 11,83 20,2 157 11,74 20,9
191 11,45 21,1 192 11,17 20,9 19,5 11,8 20,8 163 11,78 21,1
192 11,1 21,3 191 11,97 21,1 19,2 11,27 20,7 172 11,54 21,3
205 12,31 21 199 12,17 21,5 20,6 12,94 21,5 197 12,6 21
209 12,86 22,2 214 12,89 22,6 21,9 12,35 22,2 208 12,92 22,2
222 13,96 23,6 215 13,44 23,4 22,5 13,05 23,5 213 13,67 23,6
233 12,31 24,5 233 12,98 24,1 23,8 12,86 24,3 229 12,7 24,5
260 13,93 25,4 263 13,45 25,3 27 13,27 24,9 254 13,69 25,4
277 12,69 26,4 273 12,61 25,9 28,1 12,97 25,9 269 12,93 26,4
312 13,23 27 308 13,38 27,2 31 13,08 27,6 307 13,04 27
312 13,26 28,5 313 13,96 28,4 32 13,93 28,3 308 13,09 28,5
324 14,77 30,9 324 14,65 30,8 32,7 14,42 30,8 319 14,61 30,9
412 15,35 31,3 413 15 30,4 41,4 15,18 30,9 405 15,62 31,3
412 16,2 30,8 414 16,39 31,1 42,2 16,44 30,9 416 16,05 30,8

Закінчення додатку 6
Варіант 17 Варіант 18 Варіант 19 Варіант 20
Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2 Y x1 x2
151 10,53 19,6 172 11,1 19,5 170 10,53 19,4 17,6 11,26 19,5
157 11,8 20,9 180 11,64 20,2 182 11,8 20,1 19,1 11,83 20,2
163 11,45 21,1 191 11,17 20,8 192 11,45 20,9 19,5 11,8 20,8
172 11,1 21,3 192 11,97 20,7 191 11,1 21,1 19,2 11,27 20,7
197 12,31 21 205 12,17 21,5 199 12,31 21,5 20,6 12,94 21,5
208 12,86 22,2 209 12,89 22,2 214 12,86 22,6 21,9 12,35 22,2
213 13,96 23,6 222 13,44 23,5 215 13,96 23,4 22,5 13,05 23,5
229 12,31 24,5 233 12,98 24,3 233 12,31 24,1 23,8 12,86 24,4
254 13,93 25,4 260 13,45 24,9 263 13,93 25,3 27 13,27 24,9
269 12,69 26,4 277 12,61 25,9 273 12,69 25,9 28,1 12,97 25,9
307 13,23 27 312 13,38 27,6 308 13,23 27,2 31 13,08 27,6
308 13,26 28,5 312 13,96 28,3 313 13,26 28,4 32 13,93 28,3
319 14,77 30,9 324 14,65 30,8 324 14,77 30,8 32,7 14,42 30,8
405 15,35 31,3 412 15 30,9 413 15,35 30,4 41,4 15,18 30,9
416 16,2 30,8 412 16,39 30,9 414 16,2 31,1 42,2 16,44 30,9

Додаток 7
Вихідні дані для лабораторної роботи 8
Варіант 1 Варіант 2 Варіант 3
x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y
21,1 90,3 5,7 300,7 23,1 90,0 5,8 303 24,2 90,7 5,6 301,1
24,2 92,6 5,8 301 25,0 90,2 6,0 303,1 26,8 94,3 5,8 301,8
25,9 93,5 5,8 303,2 27,0 90,3 6,1 303,5 29,9 95,9 6,0 304,4
26,6 93,8 5,9 305,2 28,7 90,8 6,1 305,4 32,3 96,1 6,1 304,9
26,7 95,2 5,9 305,9 29,8 92,4 6,3 306 33,6 97,7 6,2 305,4
27,1 97,9 6,0 306,1 30,3 94,0 6,6 307,8 33,7 100,3 6,3 305,8
28,1 98,3 6,1 306,9 30,3 95,1 6,6 308 33,6 100,7 6,6 306,7
28,6 99,0 8,3 307,7 30,4 98,4 8,8 309 33,7 99,7 6,7 309,1
29,2 101,1 8,4 310 30,5 99,4 8,9 393,9 32,1 102,4 6,8 393,1
29,6 101,8 8,4 394,9 30,8 101,4 9,2 395,3 31,9 102,0 7,2 395,7
30,4 102,2 8,5 397,6 32,0 104,4 9,3 397,5 33,7 101,0 7,9 398,1
31,4 103,0 8,5 398,3 33,9 104,5 9,3 397,7 35,8 102,4 8,1 399,2
31,4 104,3 8,7 400,7 36,2 104,7 9,3 398,2 38,5 105,5 8,3 399,5
33,6 110,0 9,2 401 38,1 106,4 9,4 400,6 38,3 112,2 8,6 400,2
34,8 118,4 9,2 401,8 39,5 110,0 9,5 403,1 38,9 122,8 8,7 401,8

Варіант 4 Варіант 5 Варіант 6
x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y
20,5 90,0 5,8 401,8 23,1 90,8 5,8 301,1 20,0 90,0 6,1 301,1
21,9 90,2 5,9 401 25,0 93,0 6,0 301,8 15,0 90,2 6,2 301,8
22,1 90,3 5,8 400,7 27,0 94,2 6,1 304,4 20,0 90,3 5,8 304,4
22,2 90,8 5,8 398,3 28,7 94,6 6,1 304,9 32,3 90,8 6,0 304,9
22,6 92,4 5,8 397,6 29,8 97,2 6,3 305,4 33,6 92,4 6,2 305,4
23,6 94,0 6,0 394,9 30,3 97,3 6,6 305,8 33,7 94,0 5,0 305,8
24,2 95,1 5,9 310 30,3 99,1 6,6 306,7 34,5 95,1 6,6 306,7
24,5 98,4 9,5 307,7 30,4 99,9 8,8 309,1 33,7 98,4 6,4 309,1
27,5 99,4 9,6 306,9 30,5 101,5 8,9 393,1 32,1 99,4 6,8 393,1
28,5 101,4 9,5 306,1 30,8 101,7 9,2 395,7 31,9 98,0 7,2 395,7
28,6 104,4 9,2 305,9 32,0 103,1 9,3 398,1 33,7 92,0 7,9 398,1
29,8 104,5 9,0 305,2 33,9 104,2 9,3 399,2 35,0 94,2 8,1 399,2
30,3 104,7 9,2 303,2 36,2 108,6 9,3 399,5 38,5 93,0 8,0 399,5
35,6 106,4 9,7 301 38,1 109,4 9,4 400,2 38,3 98,8 8,0 400,2
38,1 110,0 9,6 300,7 39,5 114,7 9,5 401,8 38,9 110,0 8,7 401,8

Продовження додатку 7
Варіант 7 Варіант 8 Варіант 9
x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y
21,1 90,0 5,6 300,7 25,6 90,8 6,2 303 21,1 90,0 5,8 301,1
24,2 90,2 5,8 301 25,0 93,0 6,2 303,1 24,2 90,2 6,0 301,8
25,9 90,3 6,0 303,2 27,0 94,2 6,1 303,5 25,9 90,3 6,1 304,4
26,6 90,8 6,1 305,2 28,7 94,6 5,2 305,4 26,6 90,8 6,1 304,9
26,7 92,4 6,2 305,9 29,8 98,2 6,3 306 26,7 92,4 6,3 305,4
27,1 94,0 6,3 306,1 22,3 97,3 5,4 307,8 27,1 94,0 6,6 305,8
28,1 95,1 6,6 306,9 16,3 100,2 6,6 308 28,1 95,1 6,6 306,7
28,6 98,4 6,7 307,7 22,6 99,9 8,8 309 28,6 98,4 8,8 309,1
29,2 99,4 6,8 310 15,8 105,0 6,5 393,9 29,2 99,4 8,9 393,1
29,6 101,4 7,2 394,9 30,8 101,7 9,2 395,3 29,6 101,4 9,2 395,7
30,4 104,4 7,9 397,6 17,0 99,5 9,6 397,5 30,4 104,4 9,3 398,1
31,4 104,5 8,1 398,3 18,9 102,0 9,9 397,7 31,4 104,5 9,3 399,2
31,4 104,7 8,3 400,7 22,3 98,0 9,5 398,2 31,4 104,7 9,3 399,5
33,6 106,4 8,6 401 30,6 110,0 8,9 400,6 33,6 106,4 9,4 400,2
34,8 110,0 8,7 401,8 32,0 100,0 9,9 403,1 34,8 110,0 9,5 401,8

Варіант 10 Варіант 11 Варіант 12
x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y
23,1 90 5,8 401,8 21,1 110 8,5 403,1 20,5 90 5,8 401,8
25 90,2 6 401 24,2 105 5,8 400,6 21,9 90,2 6 400,2
27 90,3 6,1 400,7 25,9 98 6 398,2 22,1 90,3 6,1 399,5
28,7 90,8 6,1 398,3 26,6 103 6,1 397,7 22,2 90,8 6,1 399,2
29,8 92,4 6,3 397,6 26,7 92 6,2 397,5 22,6 92,4 6,3 398,1
30,3 94 6,6 394,9 27,1 90 6,3 395,3 23,6 94 6,6 395,7
30,3 95,1 6,6 310 28,1 105 6,6 393,9 24,2 95,1 6,6 393,1
30,4 98,4 8,8 307,7 28,6 98,4 7,9 309 24,5 98,4 8,8 309,1
30,5 99,4 8,9 306,9 29,2 95,1 6,8 308 27,5 99,4 8,9 306,7
30,8 102 9,2 306,1 29,6 94 7,2 307,8 28,5 101,4 9,2 305,8
32 104,4 9,3 305,9 25,3 92,4 8,7 306 28,6 104,4 9,3 305,4
33,9 104,5 9,3 305,2 26,5 90,8 6,2 305,4 29,8 104,5 9,3 304,9
36,2 104,7 9,3 303,2 31,4 95 7,2 303,5 30,3 104,7 9,3 304,4
38,1 106,4 9,4 301 33,6 90,2 8,6 303,1 35,6 106,4 9,4 301,8
39,5 110 9,5 300,7 34,8 95 7,5 303 38,1 110 9,5 301,1

Продовження додатку 7
Варіант 13 Варіант 14 Варіант 15
x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y
22,7 90,3 7,5 300,7 38,1 114,7 9,5 303 23,1 90,3 6,2 301,1
24,2 95 5,8 301 35,6 109,4 9,4 303,1 25 118,4 5,8 301,8
22,9 97,5 9,2 303,2 22,1 94,2 6,1 303,5 27 110 6 304,4
26,6 93,8 5,9 305,2 22,2 94,6 6,1 305,4 28,7 104,3 6,1 304,9
21 110 10,8 305,9 22,6 97,2 6,3 306 29,8 103 6,2 305,4
30,4 97,9 6 306,1 23,6 97,3 6,6 307,8 30,3 102,2 6,3 305,8
22,6 98,3 6,1 306,9 24,2 99,1 6,6 308 33,5 95,8 6,6 306,7
28,6 99 7,3 307,7 24,5 99,9 8,8 309 30,4 101,1 11,8 309,1
22,3 105 8,4 310 27,5 101,5 8,9 393,9 20,8 99 6,8 393,1
25,6 101,8 8,4 394,9 28,5 101,7 9,2 395,3 23,1 92,3 7,2 395,7
30,4 98 9,5 397,6 28,6 103,1 9,3 397,5 32 97,9 7,9 398,1
38,6 103 12,5 398,3 29,8 104,2 9,3 397,7 26,7 95,2 8,1 399,2
35,4 98 11,1 400,7 30,3 108,6 9,3 398,2 36,2 93,8 8,3 399,5
38,5 110 8,2 401 35,6 109,4 9,4 400,6 38,1 93,5 8,6 400,2
36,8 120,4 9,2 401,8 38,1 114,7 9,5 403,1 39,5 92,6 12,5 401,8

Варіант 16 Варіант 17 Варіант 18
x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y
20,5 90 5,8 400,2 21,1 90,8 5,7 403,1 22,1 98,5 5,7 401,8
21,9 90,2 6 399,5 24,2 93 5,8 400,6 24,6 100,4 5,8 400,2
22,1 90,3 6,1 399,2 25,9 94,2 5,8 398,2 27 110 5,8 399,5
22,2 90,8 6,1 398,1 26,6 94,6 5,9 397,7 28,7 104,3 5,9 399,2
22,6 92,4 6,3 395,7 26,7 97,2 5,9 397,5 29,8 103 5,9 398,1
23,6 94 6,6 393,1 27,1 97,3 6 395,3 30,3 102,2 9,3 395,7
24,2 95,1 6,6 309,1 28,1 99,1 6,1 393,9 33,5 95,8 6,1 393,1
24,5 98,4 8,8 306,7 28,6 99,9 8,3 309 16,3 101,1 8,3 309,1
27,5 99,4 8,9 305,8 29,2 101,5 8,4 308 20,8 99 8,4 306,7
28,5 101,4 9,2 305,4 29,6 101,7 8,4 307,8 23,1 92,3 8,4 305,8
28,6 104,4 9,3 304,9 30,4 103,1 8,5 306 36,2 100,4 8,5 305,4
29,8 104,5 9,3 304,4 31,4 104,2 8,5 305,4 26,7 95,2 11 304,9
30,3 104,7 9,3 301,8 31,4 108,6 8,7 303,5 36,2 93,8 8,7 304,4
35,6 106,4 9,4 301,1 33,6 109,4 9,2 303,1 35 90 9,2 301,8
38,1 110 9,5 401,8 34,8 114,7 9,2 303 40,1 92,6 12,5 301,1
 
Закінчення додатку 7
Варіант 19 Варіант 20
x1 x2 x3 Y x1 x2 x3 Y
20,5 66,9 7,5 300,7 20,5 90,3 5,9 303
21,9 65,2 5,8 301 25 92,6 10,2 303,1
22,1 63,3 5,8 303,2 27 93,5 8,7 303,5
22,2 62,1 5,2 305,2 32,8 93,8 8,5 305,4
22,6 62,6 5,9 305,9 29,8 95,2 8,5 306
23,6 63,7 11,2 306,1 30,3 97,9 9,5 307,8
24,2 64,8 6,1 306,9 30,3 98,3 12,9 308
24,5 68 8,3 307,7 38,5 99 8,3 309
27,5 68,9 8,4 310 25,8 101,1 14,1 393,9
28,5 70,6 7,5 394,9 30,8 101,8 8,4 395,3
28,6 72,4 10,4 397,6 32 102,2 5,3 397,5
29,8 70,6 8,5 398,3 32,9 103 12,5 397,7
30,3 68,5 11,7 400,7 36,2 104,3 8,7 398,2
35,6 68,3 9,2 401 21,6 110 9,2 400,6
38,1 70,5 12,5 401,8 39,5 118,4 12,8 403,1

Додаток 8
Табличні значення критерію Фішера
Число ступе-нів вільності
f2 Число ступенів вільності f1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
для рівня значущості  = 0,05 (5%)
1 161 199 215 224 230 233 236 238 240 241 243
2 18,5 19,0 19,1 19,2 19,3 19,3 19,3 19,3 19,3 19,4 19,4
3 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,7
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,28
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,26
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,24
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,22
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,20
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04
60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,95
120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,87
 3,84 3 2,6 2,37 2,21 2,01 2,01 1,94 1,88 1,83 1,79

 
Продовження додатку 8
Число ступе-нів вільності f2 Число ступенів вільності f1
12 13 14 15 20 24 30 40 60 120 
для рівня значущості  = 0,05 (5%)
1 244 245 245 246 248 249 250 251 252 253 254
2 19,41 19,4 19,4 19,4 19,4 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5
3 8,74 8,7 8,7 8,7 8,7 8,6 8,6 8,6 8,6 8,5 8,53
4 5,91 5,9 5,9 5,9 5,8 5,8 5,7 5,7 5,7 5,7 5,63
5 4,68 4,7 4,6 4,6 4,6 4,5 4,5 4,5 4,4 4,4 4,37
6 4,00 4,0 4,0 3,9 3,9 3,8 3,8 3,8 3,7 3,7 3,67
7 3,57 3,6 3,5 3,5 3,4 3,4 3,4 3,3 3,3 3,3 3,23
8 3,28 3,3 3,2 3,2 3,2 3,1 3,1 3,0 3,0 3,0 3,93
9 3,07 3,0 3,0 3,0 2,9 2,9 2,9 2,8 2,8 2,7 2,71
10 2,91 2,9 2,9 2,8 2,8 2,7 2,7 2,7 2,6 2,6 2,54
11 2,79 2,8 2,7 2,7 2,6 2,6 2,6 2,5 2,5 2,4 2,4
12 2,69 2,7 2,6 2,6 2,5 2,5 2,5 2,4 2,4 2,3 2,3
13 2,60 2,6 2,6 2,5 2,5 2,4 2,4 2,3 2,3 2,3 2,21
14 2,53 2,5 2,5 2,5 2,4 2,3 2,3 2,3 2,2 2,2 2,13
15 2,48 2,4 2,4 2,4 2,3 2,3 2,2 2,2 2,2 2,1 2,07
16 2,42 2,4 2,4 2,4 2,3 2,2 2,2 2,2 2,1 2,1 2,01
17 2,38 2,4 2,3 2,3 2,2 2,2 2,1 2,1 2,1 2,0 1,96
18 2,34 2,3 2,3 2,3 2,2 2,1 2,1 2,1 2,0 2,0 1,92
19 2,31 2,3 2,3 2,2 2,2 2,1 2,1 2,0 2,0 1,9 1,88
20 2,28 2,2 2,2 2,2 2,1 2,1 2,0 2,0 1,9 1,9 1,84
21 2,25 2,2 2,2 2,2 2,1 2,1 2,0 2,0 1,9 1,9 1,81
22 2,23 2,2 2,2 2,2 2,1 2,0 2,0 1,9 1,9 1,8 1,78
23 2,20 2,2 2,2 2,1 2,0 2,0 2,0 1,9 1,9 1,8 1,76
24 2,18 2,2 2,1 2,1 2,0 2,0 1,9 1,9 1,8 1,8 1,73
25 2,16 2,1 2,1 2,1 2,0 2,0 1,9 1,9 1,8 1,8 1,71
30 2,09 2,1 2,0 2,0 1,9 1,9 1,8 1,8 1,7 1,7 1,62
40 2,00 2,0 1,9 1,9 1,8 1,8 1,7 1,7 1,6 1,6 1,51
60 1,92 1,9 1,9 1,8 1,7 1,7 1,6 1,6 1,5 1,5 1,39
120 1,83 1,8 1,8 1,8 1,7 1,6 1,6 1,5 1,4 1,4 1,25
 1,75 1,72 1,69 1,67 1,57 1,52 1,46 1,39 1,32 1,22 1

Продовження додатку 8
Число ступе-нів вільності
f2 Число ступенів вільності f1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
для рівня значущості  = 0,01 (1%)
1 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6083
2 98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99,40 99,41
3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 27,23 27,13
4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45
5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,96
6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79
7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,54
8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,73
9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18
10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,77
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,22
13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02
14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73
16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,62
17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52
18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,43
19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,36
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,29
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,24
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,26
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,14
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,09
25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 3,06
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,91
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,73
60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,56
120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 2,40
 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,8 2,64 2,51 2,41 2,32 2,25

Закінчення додатку 8
Число ступе-нів вільності
f2 Число ступенів вільності f1
12 13 14 15 20 24 30 40 60 120 
для рівня значущості  = 0,01 (1%)
1 6106 6126 6143 6157 6209 6235 6261 6287 6313 6339 6366
2 99,42 99,42 99,43 99,43 99,45 99,46 99,47 99,47 99,48 99,49 99,5
3 27,05 26,98 26,92 26,87 26,69 26,60 26,50 26,41 26,32 26,22 26,1
4 14,37 14,31 14,25 14,20 14,02 13,93 13,84 13,75 13,65 13,56 13,5
5 9,89 9,82 9,77 9,72 9,55 9,47 9,38 9,29 9,20 9,11 9,02
6 7,72 7,66 7,60 7,56 7,40 7,31 7,23 7,14 7,06 6,97 6,88
7 6,47 6,41 6,36 6,31 6,16 6,07 5,99 5,91 5,82 5,74 4,64
8 5,67 5,61 5,56 5,52 5,36 5,28 5,20 5,12 5,03 4,95 4,86
9 5,11 5,05 5,01 4,96 4,81 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 4,31
10 4,71 4,65 4,60 4,56 4,41 4,33 4,25 4,17 4,08 4,00 3,91
11 4,40 4,34 4,29 4,25 4,10 4,02 3,94 3,86 3,78 3,69 3,6
12 4,16 4,10 4,05 4,01 3,86 3,78 3,70 3,62 3,54 3,45 3,36
13 3,96 3,91 3,86 3,82 3,66 3,59 3,51 3,43 3,34 3,25 3,17
14 3,80 3,75 3,70 3,66 3,51 3,43 3,35 3,27 3,18 3,09 3
15 3,67 3,61 3,56 3,52 3,37 3,29 3,21 3,13 3,05 2,96 2,87
16 3,55 3,50 3,45 3,41 3,26 3,18 3,10 3,02 2,93 2,84 2,75
17 3,46 3,40 3,35 3,31 3,16 3,08 3,00 2,92 2,83 2,75 2,65
18 3,37 3,32 3,27 3,23 3,08 3,00 2,92 2,84 2,75 2,66 2,57
19 3,30 3,24 3,19 3,15 3,00 2,92 2,84 2,76 2,67 2,58 2,45
20 3,23 3,18 3,13 3,09 2,94 2,86 2,78 2,69 2,61 2,52 2,42
21 3,17 3,12 3,07 3,03 2,88 2,80 2,72 2,64 2,55 2,46 2,36
22 2,23 2,20 2,17 2,15 2,07 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 2,31
23 3,07 3,02 2,97 2,93 2,78 2,70 2,62 2,54 2,45 2,35 2,26
24 3,03 2,98 2,93 2,89 2,74 2,66 2,58 2,49 2,40 2,31 2,21
25 2,99 2,94 2,89 2,85 2,70 2,62 2,54 2,45 2,36 2,27 2,17
30 2,84 2,79 2,74 2,70 2,55 2,47 2,39 2,30 2,21 2,11 2,01
40 2,66 2,61 2,56 2,52 2,37 2,29 2,20 2,11 2,02 1,92 1,8
60 2,50 2,44 2,39 2,35 2,20 2,12 2,03 1,94 1,84 1,73 1,6
120 2,34 2,28 2,23 2,19 2,03 1,95 1,86 1,76 1,66 1,53 1,38
 2,18 2,13 2,08 2,04 1,88 1,79 1,7 1,59 1,47 1,32 1

Додаток 9
t -розподіл Стьюдента [критичні значення t(,k)]
Тести Рівень значущості  (у процентах)
Двосторонній 50% 20% 10% 5% 2% 1% 0,2% 0,1%
Односторонній 25% 10% 5% 2,5% 1% 0,5% 0,1% 0,05%
K
1 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 318,31 636,62
2 0,861 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 31,598
3 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,214 12,924
4 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8,610
5 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6,869
6 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959
7 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5,408
8 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,043
9 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4,781
10 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587
11 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437
12 0,695 1,356 3,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,318
13 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4,221
14 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,140
15 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,073
16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,015
17 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,965
18 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 3,922
19 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883
20 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850
21 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,819
22 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792
23 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,767
24 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745
25 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,725
26 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707
27 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690
28 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2.763 3,408 3,674
29 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3,659
30 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3,646
40 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3,551
60 0,679 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3,460
120 0,677 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,160 3,373
 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291

Додаток 10
2- розподіл
(критичні значення 2 для рівня значущості  та k ступенів вільності)
K Рівень значущості  (у процентах)
0,1% 1% 2,5% 5% 9,5% 97,5% 99%
1 10,8 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,001 0,0002
2 13,86 9,2 7,4 6,0 0,103 0,051 0,02
3 16,2 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115
4 18,5 13,3 11,1 9,5 0,711 0,484 0,297
5 20,5 15,1 12,8 11,1 1,15 0,831 0,554
6 22,5 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 0,872
7 24,3 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,2
8 26,1 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,7
9 27,9 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,1
10 29,6 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,6
11 31,3 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,1
12 32,9 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,6
13 34,5 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,1
14 36,1 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,7
15 37,7 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,2
16 39,3 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,8
17 40,8 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,4
18 42,3 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,0
19 43,8 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,6
20 45,3 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,3
21 46,8 38,9 35,5 32,4 11,6 10,3 8,9
22 48,3 40,3 36,8 33,9 12,3 11,0 9,5
23 49,7 41 6 38,1 35,2 13,1 11,7 10,2
24 51,2 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,9
25 52,6 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,5
26 54,1 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12,2
27 55,5 47,0 43,2 40,1 16,2 14,6 12,9
28 56,9 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,6
29 58,3 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 14,3
30 59,7 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0

Додаток 11
Основні вбудовані функції системи Microsoft Eхсеl
(знаходяться у «майстрі функцій fx»)
1. Математичні функції
КОРЕНЬ(.) – знаходить корінь квадратний із числа.
СТЕПЕНЬ(число;ступінь) – повертає результат зведення числа в ступінь. Число – основа. Воно може бути будь-яким речовинним числом. Ступінь – показник ступеню, у яку зводиться основа.
НАКЛОН(.,.) – знаходить нахил лінії простої лінійної регресії. Вхідними даними є масиви даних Y та X, а вихідним параметром – параметр * нашої регресійної прямої Y = * + *Х.
ОТРЕЗОК(. , .) – знаходить відрізок, що відсікає на вісі 0Y лінія простої лінійної регресії. Вхідними даними є масиви даних Y та X, а вихідним параметром – параметр * нашої регресійної прямої Y= * + *Х.
СУММ(.) – знаходить суму всіх чисел указаного масиву (наприклад, стовпчика).
СУММКВ(.) – знаходить суму квадратів усіх чисел указаного масиву.
МУМНОЖ(. , .) – знаходить добуток матриць. Для цього треба:
1) відмітити поле, де буде знаходитись результат добутку матриць;
2) ввійти у "майстер функцій fx". У категоріях вибираємо "математичні", а в функціях – МУМНОЖ. Вводимо адреси матриць, добуток яких знаходимо;
3) для того, щоб отримати на екрані значення добутку матриць, натискаємо спершу клавішу F2, а потім Ctrl+Shift+Еnter.
МОБР(.) – знаходить матрицю, обернену до квадратної матриці. Процедура знаходження оберненої матриці аналогічна процедурі МУМНОЖ.
LN(.) – знаходить натуральний логарифм числа.
2. Категорія «Ссылки и массивы»
ТРАНСП (.) – повертає транспоновану матрицю.
Продовження додатку 11
3. Статистичні функції
МІН (число1; число2; ...) – повертає найменше значення в списку аргументів. Число1, число2,... – від 1 до 30 чисел, серед яких потрібно знайти найменше.
МАКС (число1; число2; ...) – повертає найбільше значення з набору значень. Число1, число2,... – від 1 до 30 чисел, серед яких потрібно знайти найбільше.
СРЗНАЧ(. ; .; …) – функція обчислення середнього арифметичного.
FРАСПОБР(, k1 , k2) Вхідними параметрами є рівень значущості  і ступені вільності k1 і k2 , а вихідним параметром Fкрит – критичне значення розподілу Фішера–Снедекора з ступенями вільності k1 і k2 .
СТЬЮДРАСПОБР(.,.) Вхідними параметрами є рівень значущості  і ступені вільності n–k, а вихідним параметром tкрит. – критичне значення розподілу Стьюдента.
ХИ2ОБР(.;.) Повертає значення, зворотне однобічної ймовірності розподілу
χ2-квадрат. Вхідними параметрами є імовірність  і число ступенів вільності.
ЛИНЕЙН (відомі_значення_Y; відомі_значення_х; конст; ста¬тистика). Результат – це оцінка параметрів лінійної регресії та регресійна статистика.
Для цього треба:
1) відмітити поле, де буде знаходитись результат розміром (k+1)  5, або m1  5 (m1 = k+1);
2) ввійти у «майстер функцій f». У категоріях вибираємо «статистична», а в функціях – ЛИНЕЙН. Вводимо адреси значень Y, х та значення константи і статистики;
3) для того, щоб отримати на екрані результат, натискаємо спершу клавішу F2, а потім Ctrl+Shift+Еnter.
ТЕНДЕНЦИЯ (відомі_значення_Y; відомі_значення_X; нові_значения_X; конст.). Апроксимує прямою лінією (за методом найменших квадратів) масиви «відомі_значення_Y» та «відомі_значення_X». Повертає значення Y, яке відповідає цій прямій для заданого масиву «нові_значення_Ч». Результат – список нових значень у відповідності з лінійним трендом.
ПРЕДСКАЗ (x;відомі_значення_Y; відомі_значення_X). Обчислює майбутнє значення за існуючим значенням. Значення, що пророкує – це Y-значення, що відповідає заданому X-значенню. X- і Y-значення – відомі; нове значення передвіщається з використанням лінійної регресії.

Додаток 12
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ
Кафедра менеджменту
Контрольна (лабораторна) робота з дисципліни
«Економетрія»
Виконав: Чазов Є.В.
студент …. курсу …. групи
напряму підготовки
6.030601 «Менеджмент»
денної (заочної) форми навчання

 

 

 

Київ НУХТ 20__ р.