МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

 

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

 

 

 

 

 

 

Методичні рекомендації до виконання

лабораторних завдань

з учбової дисципліни

"ЕКОНОМІЧНА КІБЕРНЕТИКА"

для студентів спеціальності 8.050102

денної форми навчання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Харків. Вид. ХНЕУ, 2007

 

 

Затверджено на засіданні кафедри економічної кібернетики

Протокол № 2 від 13.09.2007 р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методичні рекомендації до виконання лабораторних завдань з учбової дисципліни "Економічна кібернетика" для студентів спеціальності 8.050102 денної форми навчання / Укл. О.В. Мілов, С.В. Мілевський. — Харків: Вид. ХНЕУ, 2007. — 64 с. (Укр. мова)

 

Надано методичні рекомендації, що містять необхідний теоретичний та практичний матеріал і завдання, що сприяють закріпленню і поглибленню знань студентів, придбанню ними навичок вирішення завдань прийняття рішень за допомогою пакету MatLab.

Рекомендовано для студентів економічних спеціальностей.

 

Даны методические рекомендации, которые содержат необходимый теоретический и практический материал и задания, способствующие закреплению и углублению знаний студентов, приобретению ими навыков решения задач принятия решений с помощью пакета MatLab.

Рекомендовано для студентов экономических специальностей.

Вступ

 

Багато програмних засобів аналізу і синтезу систем управління (як класичними, так і сучасними методами) засновані на використанні математичних моделей. При описі систем передатними функціями для цих цілей може бути використаний MATLAB.

Система MATLAB (MATrix LABoratory – матрична лабораторія) була створена фахівцями фірми Math Works, Inc. як мова програмування високого рівня для технічних обчислень. Вона увібрала в себе не тільки передовий досвід розвитку і сучасної комп'ютерної реалізації чисельних методів, накопичений за останні три-чотири десятиліття, але і весь досвід становлення математики за всю історію людства. Особливо ретельно в MATLAB пророблені алгоритми матричних операцій, що лежать в основі більшості засобів моделювання складних систем. Ці високоефективні алгоритми і реалізуючі їх програмні коди одержали широку популярність і визнання в усьому світі, перетворивши систему MATLAB в один із найпотужніших і ефективних інструментів для створення різноманітних програмних комплексів, призначених для вирішення науково-технічних задач.

Однією з найважливіших і по достоїнству оцінених якостей системи MATLAB є можливість її модифікації з метою вирішення нових наукових завдань, які вдосталь з'являються завдяки прогресу в науці, техніці і виробництві. Це досягається насамперед створенням цілого ряду пакетів розширення системи, що охоплюють багато нових і практично корисних напрямків комп'ютерної математики. У системі MATLAB число цих пакетів становить уже багато десятків, а документація по ним нараховує десятки тисяч сторінок.

Система MATLAB має відкриту архітектуру, що дає користувачам повний доступ до її кодів на гнучкій, потужній (і в той же час простій) мові програмування цієї системи. Вона є однією з кращих і високоефективних мов програмування для науково-технічних розрахунків, у тому числі для створення зручних і дуже наочних візуально-орієнтованих засобів аналізу, ідентифікації, побудови і моделювання систем.

Сучасні версії системи MATLAB поставляються разом з пакетом розширення Simulink, призначеним для моделювання динамічних систем, моделі яких складаються з окремих блоків (компонентів). Цей пакет є найяскравішим представником програм, створених на основі системи MATLAB. При цьому в ньому реалізовані принципи візуально-орієнтованого програмування, що дозволяє легко набирати потрібні блоки і з'єднувати їх з метою складання моделі системи або пристрою. При цьому складні рівняння стану, що описують роботу моделей, формуються автоматично.

За зручністю графічного користувальницького інтерфейсу, кількості моделей (блоків) компонентів у множині бібліотек, розмаїтості віртуальних засобів реєстрації і візуалізації результатів моделювання і, головне, за їхнею надійністю і вірогідністю Simulink вигідно відрізняється від множини інших програм подібного призначення. Особливо це відноситься до відкритості пакета та можливостей поповнення його бібліотек. Разом з базовою системою MATLAB, що має найдосконаліші алгоритми матричних обчислень і є найбільш пристосованою для вирішення задач моделювання, Simulink стає наймогутнішим інструментом пізнання реалій світу шляхом їхнього моделювання. І ці можливості багаторазово підсилюються десятками пакетів розширення системи "MATLAB+ Simulink".

Розділ Toolboxes (Інструментальні засоби) містить найбільше число пакетів розширення системи MATLAB. Кілька пакетів розташовано в розділі Blocksets, що відноситься до головного пакета розширення системи MATLAB - Simulink. У розділі розширень цього пакета - Simulink Extensions - є ряд засобів, призначених для моделювання в реальному масштабі часу і випадково-керованого моделювання. Для моделювання в реальному масштабі часу необхідне оснащення комп'ютера спеціальними адаптерами і датчиками.

Як видно з назв пакетів розширення системи "MATLAB+ Simulink", вони охоплюють незвичайно широке коло задач аналізу і моделювання найрізноманітніших систем, пристроїв і явищ реального світу.

 

Моделювання систем управління за допомогою MATLAB

 

Лабораторна робота 1

Основи роботи з пакетом розширення Control System Toolbox

 

У цій лабораторній роботі вам належить переконатися, наскільки корисним може виявитися MATLAB при аналізі математичної моделі економічної системи. Використовуючи MATLAB, ми створимо програму, що дозволяє в інтерактивному режимі досліджувати вплив різних параметрів на поводження системи. При цьому ми скористаємося аналітичним рішенням, що описує вільний рух цін на ринку.

Далі ми розглянемо, як MATLAB оперує з передатними функціями і структурними схемами. Зокрема, буде показано, як MATLAB працює з алгебраїчними поліномами, обчислює полюси і нулі передатних функцій, визначає передатні функції замкнутих систем, робить спрощення структурних схем, обчислює реакцію систем на одиничний східчастий вплив.

У цій лабораторній роботі ми познайомимося з функціями MATLAB roots, tf, series, parallel, feedback, pole, zero, poly, conv, polyval, minreal, pzmap, step.

 

Властивості пакета Control System

Пакет Control System Toolbox (або просто Control System) призначений для моделювання, аналізу і проектування систем автоматичного управління, як безперервних, так і дискретних. Функції пакета реалізують методи дослідження динамічних систем, засновані на використанні передатних функцій і моделей для зміних станів. Частотні і тимчасові характеристики, нулі і полюси системи легко обчислюються і відображаються у вигляді графіків і діаграм. У пакеті реалізовані:

1. повний набір засобів для аналізу одномірних і багатомірних динамічних систем (об'єктів);
2. тимчасові характеристики: передатна і перехідна функція, реакція на довільний вплив;
3. частотні характеристики: діаграми Боде, Найквіста, Ніколса і ін.;
4. розробка замкнутих систем регулювання;
5. проектування регуляторів;
6. характеристики моделей: керованість, спостережність, зниження порядку моделей;
7. підтримка систем із запізнюванням.

Додаткові функції дозволяють конструювати більш складні моделі. Часовий відгук може бути розрахований для імпульсного входу, одиничного стрибка або довільного вхідного сигналу.

Інтерактивне середовище для відображення тимчасового і частотного відгуків надають користувачеві графічні керуючі елементи для одночасного відображення даних відгуків і перемикання між ними. Можна обчислювати різні характеристики відгуків, такі, наприклад, як час регулювання.

Пакет Control System містить засоби для синтезу систем зі зворотними зв'язками. Серед традиційних методів: аналіз особливих крапок, визначення необхідного коефіцієнта підсилення. Серед сучасних методів - аналітичне конструювання регуляторів тощо.

 

Класи обчислювальних об'єктів пакета

Основними обчислювальними об'єктами розглянутого пакета є:

• батьківський об'єкт (клас) LTI (Linear Time-Invariant Systems - лінійні, інваріантні в часі системи, у вітчизняній літературі звичайно називані лінійними стаціонарними системами);
• дочірні об'єкти (підкласи класу LTI), що відповідають чотирьом видам моделей:

1. У так званій tf-формі (у формі передатної функції):

                   (1)

(при описі дискретних об'єктів комплексна змінна р заміняється на z).

2. В zpk-формі (шляхом завдання нулів, полюсів і коефіцієнта підсилення):

                                (2)

(при описі дискретних об'єктів комплексна змінна p заміняється на z).

3. В ss-формі (у вигляді системи диференціальних рівнянь для зміних станів):

                                           (3)

 (для дискретних об'єктів - системи різницевих рівнянь).

4.      В frd-формі – у вигляді набору (вектора) частот ωk і відповідних значень комплексного коефіцієнта передачі W(jωk).

Залежно від вибору моделі лінійний об'єкт (система) може бути заданий або парою багаточленів (чисельник і знаменник передатної функції), або трійкою параметрів (нулі, полюси, узагальнений коефіцієнт передачі), або четвіркою параметрів (А, В, С, D) для моделей у просторі станів. Для опису одномірних (в англомовній літературі - SISO) систем використовуються одномірні і двовимірні масиви, у випадку багатомірних об'єктів - масиви осередків.

Пакет Control System забезпечує створення структури даних для моделі кожного з перерахованих видів у формі масиву осередків, що не залежить від конкретного подання моделі. Це дозволяє маніпулювати лінійною системою як єдиним об'єктом, а не набором даних у вигляді векторів або матриць.

 

Функції пакета

Загальна характеристика

До складу пакета Control System входить більше ста різних функцій, об'єднаних у наступні групи:

1. виклику графічного інтерфейсу;
2. створення моделей стаціонарних систем;
3. добування даних;
4. одержання інформації про окремі характеристики моделі;
5. перетворення моделей;
6. "арифметичних" операцій з моделями;
7. моделей динаміки;
8. тимчасової затримки;
9. моделей для зміних станів;
10. відгуку в часі;
11. частотного відгуку;
12. композиції систем;
13. традиційного проектування систем;
14. аналітичного конструювання регуляторів;
15. вирішення матричних рівнянь;
16. демонстраційних програм.

 

Рівняння систем управління

Представлені в пакеті Control System Toolbox функції засновані на поданні роботи блоків систем управління у вигляді диференціальних рівнянь.

Системи автоматичного управління характеризуються яскраво вираженою блочністю своєї структури. Робота всієї системи автоматичного регулювання в цілому визначається взаємодією окремих блоків системи. Як окремі блоки в системі можна виділити, наприклад, вимірювальний елемент, виконавчий механізм, регулювальний орган, сам об'єкт і т.д.

Кожна ланка системи характеризується спрямованою дією. Вона має вхід, на який впливає вхідний сигнал u(t), що залежить від часу t. На виході ланки під дією вхідного сигналу з'являється вихідний сигнал x(t). Загалом кажучи, зв'язок між функціями x(t) і u(t) може задаватися нелінійним диференціальним рівнянням довільного порядку n:

                            (4)

де  — функція n+k+2 аргументів z₁, z₂, …, z_n+k+2... Задавши вид функції u(t) і n початкових умов , можна в принципі вирішити це рівняння і знайти відповідь (реакцію) x(t) даної ланки на вхідний вплив u(t). Рівняння (4) описує не тільки перехідні, але і сталі процеси в ланці. Для визначення зв'язку між сталим значенням вихідної величини x_s і сталим значенням вхідної величини u_s досить дорівняти всі похідні x і u нулю:

.             (5)

Тоді рівняння

                               (6)

дає шукану залежність. Розв’язавши це рівняння відносно , одержимо статичну характеристику ланки

                                                 (7)

Однак дослідження системи автоматичного регулювання, що має хоча б одну ланка, що описується нелінійним рівнянням (4), буде сильно ускладнено через труднощі, пов'язані з дослідженням нелінійних рівнянь. Тому для початку ми обмежимося розглядом лише частковий випадок рівняння (4), а саме коли функція F є лінійною функцією з постійними коефіцієнтами по аргументах z₁, z₂, …, z_n+k+2, тобто рівняння, що зв'язує вхідний сигнал u(t) з вихідним сигналом x(t), є лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами

. (8)

Відзначимо, однак, що якщо блок (або система), що описується рівнянням (4), працює поблизу деякого відомого режиму, що характеризується відомою функцією x_p(t), що виходить під дією даного входу u_p(t), тобто x_p(t) є вирішення рівняння

,                                 (9)

то біля цього режиму рівняння (1) можна лінеаризувати, розклавши функцію  в ряд Тейлора і обмежившись лише його лінійними щодо приростів членами Du і Dx. Таким чином, можна вважати, що

u(t)=u_p(t)+ Du(t),                    x(t)=x_p(t)+Dx(t)             (10)

Підставивши в рівняння x(t), u(t) і з огляду на рівність (5), одержимо

               (11)

Звідси

        (12)

Тут похідні  обчислюються уздовж відомих кривих  і , тобто

 (i=1, 2, …, n+k+2)...                (13)

Рівняння (12) буде вже лінійним диференціальним рівнянням відносно Dx, Du і їхніх похідних, але його коефіцієнти будуть функціями часу. Якщо функція (13) мало змінюється в часі, то їх приблизно можна замінити взагалі постійними величинами. Після цього ми приходимо до лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами виду (8).

Отже, будемо в цій главі вважати, що кожна ланка системи автоматичного управління описується в загальному випадку рівнянням виду (8).

 

Система "попит - пропозиція".

Як приклад використання диференціальних рівнянь при дослідженні економічних систем розглянемо систему "попит-пропозиція". Відхилення ціни y(t) від рівноважної при миттєвій реакції ринку описується диференціальним рівнянням

 .                              (14)

Поводження ціни при відсутності зовнішнього впливу r(f) описується вираженням

                       (15)

де , а y(0) – початкове відхилення від крапки рівноваги. При ξ<1 реакція системи є недодемпфованою, при ξ>1 – передемпфованою, а при ξ=1 – критично демпфованою. За допомогою MATLAB ми можемо спостерігати характер зміни ціни як реакцію на початкове відхилення y(0). Розглянемо випадок недодемпфованої системи:

y(0) =0.15; ω_n=√2;                                        (16)

Програма MATLAB для побудови графіка вільної зміни ціни наведена на рис. 1. Насамперед, перед запуском програми, у якості вхідних даних для основного блоку повинні бути задані значення y(0), ω_n, t і ζ. Після цього виконується основна програма unforced.m, що представляє результат у графічній формі. Якщо виникає необхідність досліджувати вплив на вільну зміну ціни або якихось параметрів, то просто необхідно ввести нові значення і ще раз виконати програму. На рис. 2 наведений графік вільного руху системи. Помітимо, що програма автоматично вказує на графіку значення коефіцієнта загасання і власної частоти коливань. Це дозволяє уникнути непорозумінь при багаторазовому проведенні моделювання.

Рис. 1. Скрипт аналізу зміни ціни системи "попит-пропозиція"

 

Рис. 2. Вільний рух ціни в системі "попит-пропозиція"

 

У розглянутій вище задачі ми скористалися відомим аналітичним вирішенням однорідного диференціального рівняння. У загальному випадку, при моделюванні замкнутих систем управління, що піддаються різним зовнішнім впливам, а також при різних початкових умовах, аналітичне вирішення буває одержати дуже важко. Тут можна вдатися до допомоги MATLAB, що чисельно вирішить поставлену задачу і представить результат у графічній формі.

 

 

Лабораторна робота 2

Дослідження передатних функцій елементарних ланок

 

Передатні функції системи.

MATLAB дозволяє досліджувати системи, що описуються передатними функціями. Запишемо рівняння (8) попереднього параграфа у вигляді

         (17)

Однак вигляд (17) незручний, особливо коли ми будемо досліджувати взаємодію окремих ланок системи при їхньому з'єднанні в різні ланцюги. Нам зручніше буде записувати зв'язок між входом u і виходом x за допомогою деякого оператора, що здійснює операцію над вхідною величиною u, щоб одержати вихідну величину x. Для цього m-ю похідну  формально замінимо величиною p^mx (m=0, 1, 2, …); при цьому p⁰=1 означає відсутність диференціювання. Тоді вираження (17) можна переписати у вигляді

                               (18)

або

                                            (19)

Позначимо

                                     (20)

Таким чином, функція W(p) дорівнює відношенню двох поліномів

,                          (21)

Помітимо, що рівняння

                                   (22)

є характеристичним рівнянням диференціального рівняння (1), а тому воно також називається характеристичним рівнянням ланки, а сам поліном D(p) називається характеристичним поліномом ланки.

Функцію W(p) називають передатною функцією або оператором ланки, рух якого описується диференціальним рівнянням (17). Таким чином, формула (18) приймає такий простий вид:

x=W(p)×u.                                                 (23)

Останнє співвідношення можна записати у вигляді

                                                  (24)

У цьому випадку букву p не потрібно розуміти як деяку змінну, котра може приймати числові значення (як буквені символи у формулах звичайної алгебри; наприклад, формула a²–b²=(a+b)(a–b) справедлива при будь-яких числових значеннях a і b. Тут букву p потрібно розуміти як символ або позначення операції диференціювання (відповідно вираження p^m як позначення m-кратного диференціювання). Правда, у характеристичному рівнянні (22) буква p знову відіграє роль звичайної змінної, котра приймає числові значення. Єдиним виправданням такого "дивного" прийому є те, що між рівнянням (17) і співвідношенням (23) є взаємно однозначна відповідність. По заданому рівнянню типу (17) однозначно записується співвідношення (23) і, навпаки, якщо між функціями u і x задане співвідношення у вигляді (23), то можна негайно написати диференціальне рівняння типу (17), зміст якого нам зовсім ясний. Надалі буде надане інше обґрунтування і інтерпретація співвідношення (23) на підставі перетворення Лапласа.

 

Елементарні ланки

Характерні риси процесів регулювання зовсім не залежать ні від фізичної природи регульованої величини, ні від фізичної природи апаратур, з якої побудована система регулювання. Величина x може бути відхиленням напруги від номінального значення, або неузгодженістю осей у приводі, що стежить, або відхиленням температури в електропечі від номінального значення і т. ін. У цьому випадку нас не цікавить фізична природа величини х; важливий лише характер процесу регулювання, що може бути однаковим у регулятора напруги і регулятора температури і різним у двох різних типів регуляторів напруги. Потрібно вважати дві системи з динамічної точки зору нерозрізненими, якщо вони мають однакові процеси регулювання, поза залежністю від їхньої фізичної природи, технічної реалізації і т.д. (так, в одній із систем виконавчий орган може бути, наприклад, електричним, а в іншій - пневматичним).

Так, при вивченні систем регулювання з динамічної точки зору в теорії регулювання відволікаються від конкретної фізичної природи регульованої величини, від фізичної природи апаратур і цікавляться лише характером процесів регулювання.

Якщо розглядати із цього погляду ланки систем автоматичного регулювання, то можна помітити, що незалежно від їхньої фізичної природи всі ланки можна розбити за характером процесів, що відбуваються в них, на наступні групи.

Підсилювальна ланка. Будемо умовно позначати ланку у вигляді прямокутника (рис. 3, а), до якого підходить вхідна величина u і від якого відходить вихідна величина x. Тип ланки однозначно визначається законом, що зв'язує між собою величини u і x. Для підсилювальної ланки (іноді цю ланку називають пропорційною або статичною) цей закон має вигляд

x=ku,                                                        (25)

 

причому постійна k може мати будь-яке дійсне значення, як позитивне, так і негативне. Цей закон зв'язку u і x є найбільш простим; отже, підсилювальна ланка – найбільш простий тип ланки. Цей закон полягає в наступному перетворенні: вхідний сигнал множиться на постійну величину k, що називається коефіцієнтом підсилення. Можна дати наочну ілюстрацію властивостей цієї ланки. Нехай до моменту t=0 величина u, а отже, і x дорівнювала нулю. У момент t=0 величина u миттєво збільшується до якогось кінцевого значення (див. рис. 3, б) і надалі не змінюється. Таким чином, величина u(t) є східчастою функцією. У силу рівності (25) вихідна величина x також є східчастою функцією (див. рис. 3, в), причому x=ku.

 

 

 

 

 

Рис. 3. Ланки систем автоматичного регулювання

 

З рис. 3 видно, що вихідна величина x копіює зміну вхідної величини без усякого запізнювання або перекручування, тобто в підсилювальній ланці відсутні перехідні процеси. Тому підсилювальну ланку можна назвати ще і безінерційною.

У вираженні (25) x і u можуть мати різну розмірність; отже, коефіцієнт підсилення k ланки може бути мірною величиною, коефіцієнт k має розмірність

                                                      (26)

Співвідношення (25) є частковим випадком рівняння (17), коли

a₀=…=a_n-1=b₀=…=b_n-1=0

та

a_n=1, b_n=k.

Передатна функція цієї ланки має простий вигляд

W(p)=k                                                     (27)

Поряд з рівнянням (17) § 2 елементарні ланки ми будемо характеризувати видом функції x(t), реакцією ланки на одиничний вплив 1(t) при нульових початкових умовах, тобто

                                           (28)

Остання умова означає, що до моменту t=0 ланка перебувала в спокої. Одинична функція 1(t) визначається в такий спосіб (рис. 4):

                                                   (29)

 

 

 

 

Рис. 4. Визначення одиничної функції

 

Реакцію системи на вхідний сигнал у вигляді функції 1(t) будемо називати перехідною функцією і позначати h(t), тобто

h(t)=x(t)                                                     (30)

за умови (2) і u(t)=1(t).

Інтегруюча ланка характеризується тим, що швидкість, зміни вихідної величини пропорційна  вихідній  величині

,                                            (32)

т. ч. вихідний сигнал x пропорційний сумі інтеграла від вхідного сигналу u і початкового стану x₀, тобто . Це рівняння виходить із рівняння (17) § 2 при a₀= … = a_n-2= a_n = b₀ = … = b_n-1 = 0 і a_n-1=1, b_n=k.

Рівняння (32) можна переписати у вигляді px=ku, звідки .

Таким чином, передатна функція  інтегруючої ланки дорівнює

.                                                  (33)

Звідси видно, що оператор інтегрування зворотен операторові диференціювання і дорівнює p^-1. Реакція інтегруючої ланки на вхідний сигнал 1(t) має вигляд:

h(t) = kt при t≥0.                                                (34)

Таким чином, перехідна функція інтегруючої ланки має вигляд похилої прямої, що виходить із нуля під кутом α, причому tgα=k (рис. 5, в).

Звідси видно, що єдиний параметр інтегруючої ланки можна визначити експериментально, подаючи на вхід інтегруючої ланки одиничний вплив і вимірюючи кут нахилу α прямої до осі t. Прикладом інтегруючої ланки може служити електричний двигун, а також ємність, що наповнюється рідиною, або електрична ємність, що наповнюється електричним зарядом, Q=k (рис. 5).

Відмітимо ще, що інтегруюча ланка не може перебувати в стані рівноваги при будь-якому постійному значенні вхідного сигналу. При будь-якому як завгодно малому відмінному від нуля постійному вхідному сигналі вихідний сигнал x(t) може зробитися через досить великий час як завгодно більшим. Єдиним положенням рівноваги цієї ланки є те, при якому вхідний сигнал u у точності дорівнює нулю. Якщо вхідний сигнал розглядати як збудливий вплив на ланку, то в цьому випадку інтегруючу ланку можна також назвати астатичною ланкою.

 

 

Рис. 5. Інтегруюча ланка

 

 

Аперіодична ланка. Рівняння цієї ланки має вигляд

                                                                      (35)

T — постійна часу аперіодичної ланки Т > 0, має розмірність часу ([Т] = [час]); k — коефіцієнт підсилення аперіодичної ланки або статичний коефіцієнт передачі. Він показує відношення постійної вихідної величини x_y до постійної вхідної величини u_y

                                                                            (36)

Його розмірність

                                                                      (37)

Ланка, описувана рівнянням (35), при T<0 називається нестійкою аперіодичною ланкою. Передатна функція аперіодичної ланки має вигляд

                                                      (38)

Очевидно, що розглянуті вище підсилювальна і інтегруюча ланки є граничними випадками аперіодичної ланки. Аперіодична ланка перетворюється в підсилювальну при Т=0 (тобто коли постійна часу мала і нею можна зневажити). Аперіодичну ланку можна вважати інтегруючою, коли постійна часу Т дуже велика в порівнянні з одиницею. У цьому випадку рівняння аперіодичної ланки можна записати у вигляді

                                           (39)

Тоді множник 1/T буде малий і їм можна зневажити, а рівняння (39) буде збігатися з рівнянням інтегруючої ланки з коефіцієнтом, рівним .

Щоб знайти перехідну функцію аперіодичної ланки, треба вирішити так рівняння:

                                        (40)

при початковій умові: x(0) =0.

(ланка перебуває в спокої до моменту додатка одиничного впливу.) Тому що нас цікавить це рівняння при , те задача зводиться до вирішення рівняння

                                               (41)

Докладно наведемо вирішення цього рівняння. Знайдемо спочатку повне рішення цього рівняння. Повне рішення складається із суми довільного приватного рішення цього рівняння х_ч (t) (яке може і не задовольняти початковій умові х(0) =0) і загального рішення х_об(t) однорідного рівняння, що залежить від довільної постійної c, тобто

                                  (42)

Легко бачити, що частка рішення має вигляд

                                           (43)

Знайдемо загальне рішення однорідного рівняння

                                     (44)

Для визначення загального рішення цього рівняння треба скласти характеристичне рівняння Tp + 1 = 0; корінь цього рівняння p=-1/T є дійсним числом. Загальне рішення буде тому мати вигляд

                           (45)

Отже, повне рішення

                       (46)

Постійна с випливає з початкової умови

x(0) =k+c=0.

Звідси c=-k і, отже, шукане рішення, що задовольняє (40), має вигляд

                              (47)

Так як , то при  це рішення асимптотично прагне до сталого значення x_y=k. Ясно, що при T<0 функція h(t) прагне до нескінченності, тобто ланка хитлива. На рис. 6, б зображений графік перехідної функції. Такий процес називається аперіодичним, що пояснює назву цієї ланки.

 

 

 

Рис. 6. Аперіодична ланка

 

Помітимо тут, що, як видно з рис. 5, в, перехідна функція інтегруючої ланки істотно відрізняється від перехідних функцій двох типів ланок, розглянутих раніше. У підсилювальній і інерційній ланках стале значення вихідної величини x постійно, якщо при t>0 величина u=const. Тим часом в інтегруючій ланці при u=const≠0 стале значення x_y росте пропорційно часу. Дійсно, відповідно до закону (34) швидкість зміни вихідної величини (а не сама вихідна величина) пропорційна вхідній величині. Ця властивість обумовлює принципову відмінність систем, що містять інтегруючі ланки, від систем, що не містять цих ланок. Якщо в крапці 0 провести дотичну до кривій h(t) до перетинання з асимптотой x=x_y=k у крапці N, то довжина відрізка МN дорівнює постійній часу T. Ясно, що чим більше постійна часу, тим більше затягнутий перехідний процес у ланці, тим повільніше крива h(t) буде прагнути до свого сталого значення k. Чим більше Т, тим більш інерційною вважається ланка. Подивимося, скільки знадобиться часу t₁, щоб функція h(t) відрізнялася від свого граничного (асимптотичного) значення k не більше ніж на n%, тобто щоб крива h(t) увійшла в смугу ширини 2ε біля прямої h(t)=k. Шукане значення t₁ визначається з рівняння

.                                              (48)

Думаючи , знаходимо

                                         (49)

Скорочуючи на k, прийдемо до рівняння

.                                                 (50)

Логарифмуючи, знаходимо

                                                         (51)

Наприклад, при n=10% величина t₁=2,3T.

Коливальна ланка. Коливальна ланка описується рівнянням

                                                    (52)

Коефіцієнт T₀>0 має розмірність квадрата часу ([T]=[час]²), T>0 має розмірність часу ([Т]=[час]), параметр k має розмірність [x]/[u] і називається статичним коефіцієнтом підсилення коливальної ланки. Він дорівнює

                                                       (53)

де x_y і y_y – відповідно сталі значення вхідного і вихідного сигналів.

Передатна функція коливальної ланки має вигляд

                                          (54)

Знайдемо перехідну функцію h(t) цієї ланки. Для цього потрібно вирішити рівняння

                                          (55)

Як і при рішенні відповідного рівняння для аперіодичної ланки, знайдемо спочатку приватне рішення цього рівняння

                                                    (56)

Щоб знайти загальне рішення, складемо характеристичне рівняння

,                                      (57)

корінь якого дорівнює

                       (58)

Величина ω називається власною частотою коливань коливальної ланки, α називається коефіцієнтом загасання коливальної ланки. Чим більше α, тим швидше відбувається зменшення амплітуди коливань перехідної функції. Рівняння коливальної ланки збігається з рівнянням осцилятора із силою, що збурює. Нехай на осцилятор з постійним коефіцієнтом тертя γ і власною частотою ω₀ діє сила, що збурює, f(t) на інтервалі часу (_t0, t). Рівняння руху цього осцилятора має вигляд

                                 (59)

Величину  називають постійного загасання. Рішення цього рівняння можна записати в такий спосіб:

     (60)

Де A і φ визначаються початковими умовами x(t₀)=x₀ і  і  (розглядається  випадок  істинно коливальної ланки, тобто корінь характеристичного рівняння комплексні)

                                               (61)

Якщо t₀=0 і x(0) =Acosφ, то

             (62)

та

                                 (63)

 

Для коливальної ланки повинна виконуватися умова заперечності дискримінанта

 або .                           (64)

При цій умові коріння характеристичного рівняння будуть комплексними і рішення рівняння буде дійсно "коливатися". Випадок  нецікавий, тому що при нульових початкових умовах і f(t)=1(t) рішення виходить аперіодичним. У цьому випадку ланка з таким рівнянням, як буде ясно з подальшого, можна замінити двома аперіодичними ланками, з'єднаними послідовно. У випадку δ<0 коливальна ланка не зводиться до найпростіших ланок. Повне рішення рівняння (59) має вигляд

                       (65)

Постійні c₁ і c₂ знаходяться із початкових умов (55).

Використовуючи першу умову, знаходимо х(0) =k+c₂=0; звідси c₂=-k. Щоб використати друге рівняння (55), продиференцюємо повне рішення

       (66)

 

 

 

Рис. 7. Коливальна ланка

 

Тоді одержимо

.                                          (67)

Звідси

                                                     (68)

Таким чином, шукане h(t) рішення має вигляд

       (69)

де

                                       (70)

При t→∞ це рішення прагне асимптотично до сталого значення h_y(t)=k (тому що α<0). На рис. 7, в зображений графік перехідної функції. Крива носить явно виражений коливальний характер біля положення рівноваги x=x_y=k з постійною частотою, рівною ω (період також постійний і дорівнює ). Це умова рівноваги точно така ж, як і у підсилювальній і аперіодичній ланках. Отже, після закінчення перехідного процесу підсилювальна, аперіодична і коливальна ланки за величиною вихідного сигналу не відрізняються одна від другої. З розгляду величини  легко встановити, що для випадку Δ>0, немає потреби вводити спеціальне найменування для розглянутої ланки, тому що в цьому випадку ланку з рівнянням (52) можна представити у вигляді ланцюжка із двох інерційних ланок (рис. 8). Дійсно, розглянемо цей ланцюжок, у якому x₁ — вихідна величина першої ланки — є вхідною величиною другої. Нехай T₁ і k₁ — параметри першої ланки, а T₂ і k₂ — другої. Рівняння ланок мають вигляд

                                                         (71)

 

 

Рис. 8. Ланцюжок двох інерційних ланок

 

Виключаємо звідси проміжну величину x₁, підставляючи її із другого рівняння в перше. Тоді зв'язок між u і x приймає форму рівняння

                           (72)

Позначимо

 і                           (73)

Тоді рівняння (72) приводиться до вигляду рівняння (52). Однак тому що середнє арифметичне (T₁+T₂)/2 чисел Т₁ і Т₂ більше їх середнього геометричного , то величина . Тому корні характеристичного рівняння (14) будуть дійсними, і рішення має вигляд суми експонент

.                            (74)

Перехідна функція для даного випадку зображена на рис. 8, в.

Як видно з рисунка, вона якісно відрізняється від перехідної функції коливальної ланки.

Ланка, що диференціює. Ланка, що диференціює, описується рівнянням

                                           (75)

тобто вихідний сигнал x пропорційний довільної вхідного сигналу і з коефіцієнтом пропорційності k. Передатна функція цієї ланки дорівнює

                                         (76)

Перехідна функція ланки, що диференціює, уже не є функцією у звичайному змісті цього слова. У цьому випадку перехідна функція h(t) є похідною від одиничної функції 1(t). Похідна від 1(t) дорівнює скрізь нулю, за винятком крапки 0, де 1(t) має розрив 1-го роду, отже, похідна в цій крапці буде нескінченно великою (тобто не дорівнює ніякому кінцевому числу, що і указує на відсутність звичайної похідної, що завжди повинна бути дорівнює кінцевому числу). Однак все-таки вважають, що похідна від функції 1(t) існує і дорівнює так званій δ-функції, тобто

                                         (77)

Єдине, що ми повинні вимагати від цієї "незвичайної" функції (вона називається в математику узагальненою функцією), щоб її інтеграл (за виразною похідною) збігався з 1(t). Отже, δ - функція визначається так:

                           (78)

та

                                            (78)

Приблизно δ-функцію можна представити  як дуже вузький прямокутний імпульс ширини ε і висоти 1/ε біля початку координат (рис. 9), так що його площа (інтеграл) дорівнює одиниці. Це наближення δ-функції будемо позначати через r(t,ε). Таким чином, δ-функцію можна розглядати як межу функції r(t,ε) при ε>0:

                                                   (79)

Існують і інші наближені подання δ-функції. Наприклад, δ-функцію можна представити у вигляді трикутної кривої ρ(t, ε) ширини ε і висоти 2/ε (рис. 10). Площа такого сигналу дорівнює одиниці. Тому δ-функцію  можна  розглядати як межу функції ρ(t, ε) при ε>0, тобто

                                                         (80)

Крім того, δ-функцію можна представити як межу деяких функцій, заданих аналітично (у вигляді формул). Наприклад,

                                      (81)

Відзначимо ще одну властивість δ-функції. Нехай f(t) — звичайна безперервна функція, тоді

           (82)

де . Прикладом ланки, що диференціює, є конденсатор С, у якому активний опір R=0, якщо вхідним сигналом вважати напругу U, а  вихідним  сигналом - струм I. Рівняння, що зв'язує струм I і напругу U, має  вигляд

                                                                                              (83)

Статистичний коефіцієнт передачі такого ланки, що диференціює, дорівнює і = С.  Ланку, що диференціює, можна одержати обігом інтегруючої ланки, тому що, як легко бачити, рівняння, що описують інтегруючу і диференціюючу ланки, збігаються з точністю до зміни позначень вхідного і вихідного сигналів.

Ланка запізнювання. Рівняння для ланки запізнювання описується простим співвідношенням

                                          (84)

 

 

 

Рис. 9. Прямокутне наближення -функції

 

 

Рис. 10. Трикутне наближення -функції

 

 

 

 

Рис. 11. Графік функції реальної диференціюючої ланки

 

 

Рис. 12. Вхідний та вихідний сигнали ланки запізнювання

 

Це означає, що ланка запізнювання здійснює операцію зрушення вхідного сигналу u(t) на час τ "назад". Вихідний сигнал, дорівнює вхідному сигналу, але зрушеному на час τ у минуле (рис. 12, а). Реакція h(t) ланки запізнювання на одиничний вхідний вплив 1(t) (рис. 12, б) визначається рівністю

h(t)=1(t-τ)                                                 (85)

 

Щоб знайти передатну функцію ланки запізнювання, розкладемо функцію u(t-τ) у ряд Тейлора по τ_n. Одержимо

                               (86)

(тут вважається, що к!=1 і ). Але

,                                                 (87)

тому .Остаточно .

Звідси передатна функція ланки запізнювання дорівнює

                                         (88)

Підсумовуюча ланка. Іноді застосовують також поняття підсумовуючої ланки з вихідною величиною х і вхідними величинами u1, u2, … um, причому

х = u1+u2+…+um...                                    (89)

Будемо іноді позначати на схемах підсумовуючу ланку не кружком, а вертикальною рисою, до якої з однієї сторони підходять вхідні величини u1, u2, …, um, а з іншої сторони відходить вихідна величина х.

Оскільки передатна функція має вигляд відносини двох поліномів, ми спочатку розглянемо, як MATLAB оперує з алгебраїчними поліномами. При цьому не будемо забувати, що в передатній функції повинні бути задані обидва поліноми - і в чисельнику, і в знаменнику.

Поліноми в MATLAB представляються у вигляді векторів-рядків, що складаються з коефіцієнтів в убутному порядку ступенів. Наприклад, поліном  задається так, як показано на рис. 13. Зверніть увагу, що навіть якщо коефіцієнт при якомусь ступені дорівнює нулю, він однаково включається в подання полінома p(s).

Рис. 13.Введення полінома  і обчислення його корня

 

Якщо p є вектор-рядок, що складається з коефіцієнтів p(s) у порядку убування ступенів, то функція roots(p) визначає вектор-стовпець, що містить коріння цього полінома. І навпаки, якщо r –вектор-стовпець, що містить корінь полінома, то функція poly(r) дає вектор-рядок з коефіцієнтів полінома в убутному порядку ступенів. На рис. 13 показано, як за допомогою функції roots обчислюються коріння полінома . На рис. 13 показано також, як можна відновити поліном по його коріннях за допомогою функції poly.

Множення поліномів проводиться за допомогою функції conv. Припустимо, що ми хочемо одержати поліном n(s) у розгорнутій формі, де n(s) = (3s² + 2s + 1)(s + 4). Ця процедура виконується так, як показано на рис. 14. У результаті множення одержуємо поліном . Для обчислення значення полінома при заданому значенні змінної використовується функція polyval. Як показано на рис. 14, поліном n(s) має значення n(-5) = -66.

При застосуванні MATLAB, моделі лінійних стаціонарних систем розглядаються як об'єкти, що дозволяє маніпулювати ними як єдиним цілим. При використанні апарата передатних функцій моделі систем створюються за допомогою функції tf; якщо модель повинна бути представлена в змінному стані, то застосовується функція ss. Застосування функції tf проілюстроване на рис. 15 (а). Завдяки можливостям об'єктно-орієнтованого програмування, властивим MATLAB, моделі систем мають властивості об'єктів, які легко можна змінювати; аналогічно, функції, застосовувані для роботи з об'єктами, прийнято називати методами. Наприклад, якщо ви маєте дві моделі систем,

 і                                (90)

те ви можете скласти їх за допомогою оператора "+":

                         (91)

Рис. 14

Використання функцій conv і polyval для множення поліномів (3s² + 2s + 1)(s + 4) і обчислення значення добутку

 

Рис. 15

(а)     Функція tf;

(б)     Застосування функції tf для утворення передатних функцій об'єктів і їхнє додавання за допомогою оператора "+"

Лабораторна робота 3

Побудова моделей у вигляді структурних схем

 

Моделі у вигляді структурних схем. Припустимо, що ми одержали математичні моделі об'єкта управління, регулятора і, можливо, багатьох інших елементів системи, таких як датчики і виконавчі пристрої, причому ці моделі представлені у вигляді передатних функцій. Подальша мета полягає в тому, щоб об'єднати всі ці елементи в єдину структуру, створивши тим самим систему управління. За допомогою MATLAB можна виконати всі необхідні перетворення структурної схеми.

Окремі блоки САР можуть бути з'єднані один з одним у різних комбінаціях. Одним з видів з'єднання системи блоків є послідовне  з'єднання n блоків (рис. 16). У цьому випадку вихід першого блоку є входом другого блоку,  вихід другого блоку є входом третього і т.ін.

 

Рис. 16. Послідовне з’єднування ланок

 

Знайдемо передатну функцію W(p), що зв'язує вихід системи x_n із входом u. Для кожного блоку системи маємо

 

 

…

 

Крім послідовно всі проміжні змінного, знайдемо

                 (92)

Легко бачити, що знайдена передатна функція

                          (93)

Звідси видно, що

,                                          (94)

а характеристичний поліном послідовного з'єднання блоків дорівнює також добутку характеристичних поліномів кожного блоку ланцюга, тобто

                                           (95)

 

З рівняння (95) легко одержати диференціальне рівняння руху вихідної координати х_п під дією вхідної координати u

 

                              (96)

Таким чином, задача визначення диференціального рівняння руху всього ланцюга зводиться до алгебраїчної операції перемножування поліномів.

Приклад. Знайти рівняння руху системи, зображеної на рис. 17.

 

 

Рис. 17. Приклад послідовного з’єднування ланок

 

Відповідно до (96) маємо

(T₁p+1)p(T₂p+1)x₃=k₁k₂k₃pu

[T₁T₂p³+(T₁+T₂)p²+p]x₃=k₁k₂k₃pu,

або

              (97)

Іншим видом з'єднання блоків є паралельне з'єднання n блоків, коли на вхід всіх n блоків діє той самий вхідний сигнал u, а вихідний сигнал x дорівнює сумі вихідних сигналів кожного блоку (рис. 18). Маємо

 

 

…

 

Звідси складаючи почленно всі ці рівності, одержимо

                               (98)

і, отже, передатна функція системи паралельно з'єднаних блоків має вигляд

                                  (99)

Знайдемо передатну функцію системи з паралельно з'єднаних статичної і аперіодичної ланок (рис. 19). По формулі (98) маємо

              (100)

Нехай k₁=–k₂, тоді

                               (101)

де k₃=k₁T. Цей приклад показує, що реально, блок що диференціює, можна одержати шляхом паралельного з'єднання статичного і аперіодичного блоків без безпосереднього використання блоку, що диференціює.

 

 

 

Рис. 18. Паралельне з’єднування ланок

 

 

Рис. 19. Паралельне з’єднування статичної та аперіодичної ланок

 

Часто послідовні з'єднання блоків утворюють замкнутий контур, коли вхідний сигнал подається на який-небудь блок і, пройшовши ланцюжок ланок, знову надходить на вхід цього ж блоку. Важливим типом з'єднання блоків є антипаралельне з'єднання двох блоків, що мають довільні передатні функції W₁(p) і W₂(p). Антипаралельне з'єднання цих блоків зображене на рис. 20. Вихід блоку W₁(p) позначається через x і подається на вхід блоку W₂(p), а вихід останнього підсумується (за допомогою підсумовуючої ланки) із входом u. Тут уже вхідний сигнал u розглядається як вхід системи блоків, з'єднаних антипаралельно. Виходом цієї системи будемо вважати вихідний сигнал x блоку W₁(p). Виразимо тепер передатну функцію W(p) всієї системи через W1(p) і W2(p), вважаючи u входом, а x – виходом. Маємо

                                             (102)

Виключимо із цього рівняння послідовно одну за іншою проміжні змінні x₁, x₂, одержимо

x=W₁(p)[u+W₂(p)x],

звідки

x-W₁(p)W₂(p)x=W₁(p)u

або остаточно

 

 

Рис. 20. Антипаралельне з’єднування ланок

 

                                (103)

Таким чином, передатна функція W(p) антипаралельного з'єднання дорівнює

                                      (104)

Це одна з основних формул структурного методу в теорії автоматичного регулювання, і її треба добре пам'ятати і розуміти. Антипаралельне з'єднання блоків W₁(p) і W₂(p) можна розглядати як замкнуту систему зі зворотним зв'язком. Дійсно, за допомогою блоку W₂(p) вихідний сигнал x подається обернено на вхід блоку з передатною функцією W₁(p) і утворюється замкнутий контур проходження сигналів. Тому блок W₂(p) називають блоком  зворотного зв'язку, а канал зв'язку від x через W₂(p) до u називають каналом зворотного зв'язку. Блок W₁(p) називають блоком прямого зв'язку, а канал від u до x – каналом прямого зв'язку. Зворотний зв'язок називається негативним, якщо коефіцієнт передачі блоку W₂(p) у сталому режимі негативний. Зворотний зв'язок називається позитивним, якщо статичний коефіцієнт передачі k блоку W(p) позитивний. Наприклад, якщо , те k=-5 і зв'язок є негативним. В іншому випадку, якщо, наприклад, , те k=1/2 зв'язок буде позитивним.

Розглянемо один простий приклад антипаралельного з'єднання ланок:  і . Іншими словами, подивимося, як зміниться передатна функція інтегруючої ланки , якщо її охопити статичним зворотним зв'язком, тобто підсилювальною ланкою W2(p)=k2 (рис. 21,а). По формулі (104) маємо

                            (105)

Якщо позначити  і , то зв'язок між u і x у цьому випадку здійснюється так само, як в аперіодичній ланці

.                                     (106)

Для того щоб постійна часу T цієї ланки була позитивна, мабуть, треба зажадати, щоб коефіцієнти k₁ і k₂ мали різні знаки. У противному випадку і T<0 і аперіодична ланка перетвориться в нестійке, положення рівноваги якого можливо лише при u=0.

Зробимо ще одне важливе зауваження.

Формула (104) для передатної функції антипаралельного з'єднання справедлива для будь-якої замкнутої системи з довільними функціями W₁(p) і W₂(p) у каналі прямої і зворотного зв'язку.

Нехай  і ; тоді за формулою (104) маємо

  (107)

або

.             (108)

Звідси характеристичне рівняння цієї системи має вигляд

                            (109-8)

Видно, що поліноми з індексами 1 і 2 входять рівноправно, від їхньої зміни рівняння (109) не зміниться. Отже, характеристичне рівняння системи не залежить від того, у якому місці діє вхідний сигнал u і у якому місці розглядається вихідний сигнал x, тобто характеристичне рівняння відбиває внутрішню властивість системи, що не залежить від того, що ми вважаємо вхідним і вихідним сигналами. З формули (109) видно, що для того, щоб одержати характеристичне рівняння будь-якої замкнутої дно контурної системи, треба перемножити всі поліноми знаменників і перемножити всі поліноми чисельника, а результати скласти.

Нехай, зокрема, W₂(p)= –1, тоді

                               (110)

Отже, рівняння руху замкнутої системи з вихідною координатою x і вхідним впливом u має вигляд

,                                 (111)

звідси видно, що K₁(p)+D₁(p) є характеристичний поліном, отже, характеристичне рівняння має вигляд D₁(p)+K₁(p)=0.

Розглянемо приклад складання передатної функції замкнутої САР, зображеної на рис. 21, б. У цьому випадку

;                 (112)

Використовуючи формулу (104), одержимо

(113)

Характеристичне рівняння замкнутої системи має вигляд

p(T₀p²+T₁p+1)(T₂p+1)(Tp+1)+kk₁k₂=0.                   (114)

Як ми бачили вище, інтегруюча ланка є нестійкою ланкою в тому розумінні, що вихідний сигнал інтегратора x не буде змінюватися тоді і тільки тоді, коли вхідний сигнал u=0.

Розглянемо приклад на складання передатної функції W(p) від u і x4 складні замкнуті структурні схеми САР, що має внутрішні петлі прямих і зворотних зв'язків (рис. 22).

Спочатку обчислимо передатну функцію між крапками A і B, одержимо по формулі для паралельного з'єднання блоків

W₇(p)=W₂(p)+W₃(p)                                 (115)

 

 

Рис. 21. Приклад антипаралельного з’єднування ланок

 

 

 

 

Рис. 22. Структурна схема з внутрішніми контурами прямого та зворотного зв’язку

 

Далі обчислимо передатну функцію між крапками C і B, де є місцевий зворотний зв'язок

.                          (116)

Після цього схема, зображена на рис. 22, перетвориться в схему, зображену на рис. 23.

 

 

Рис. 23. Результат спрощення структурної схеми з внутрішніми контурами прямого та зворотного зв’язку

 

Снову застосуємо формулу (104), одержимо шукану передатну функцію

.                    (117)

Найпростішу розімкнуту систему управління можна одержати, з'єднавши послідовно об'єкт управління і регулятор, як це показано на рис. 25. Як за допомогою MATLAB визначити передатну функцію, що зв'язує R(s) і Y(s), буде продемонстровано в наступному прикладі.

 

Рис. 24.Операції з передатними функціями G(s) і H(s)

Рис. 25.Розімкнута система управління

 

 

 

Приклад 1. Послідовне з'єднання

Нехай об'єкт управління заданий передатною функцією G(s) = 1/500 s², а регулятор має передатну функцію G_c(s) = (s + 1)/(s + 2). На рис. 26  зображене послідовне з'єднання двох систем з передатними функціями G₁(s) і G₂(s), а також проілюстрований зміст функції series, а на рис. 27 показано, як з її допомогою визначається добуток G_c(s)G(s). Результуюча передатна функція має вигляд

                               (118)

де sys є позначення передатної функції в програмі MATLAB.

У структурних схемах дуже часто зустрічається паралельне з'єднання елементів. У таких випадках для визначення передатної функції з'єднання використовується функція parallel. Зміст цієї функції пояснює рис. 28.

 

Рис. 26 Послідовне з'єднання двох систем з передатними функціями

Ми можемо ввести в розгляд сигнал зворотного зв'язку, замкнувши контур одиничним зворотним зв'язком, як показано на рис. 29. У цьому випадку E_a{s) є зображення по Лапласу сигналу помилки, a R(s) — еталонного входу. Передатна функція замкнутої системи визначається вираженням

                                    (119)

За допомогою функції feedback ми маємо можливість спростити структурну схему, обчисливши передатну функцію замкнутої системи. Ця функція застосовна так і до багато контурних систем управління.

Часто зустрічається випадок, коли замкнута система має одиничний зворотний зв'язок, як показано на рис. 29. Застосування функції feedback у цьому випадку проілюстроване на рис. 30.

 

 

(а)     Структурна схема;

(б)     Функція series

 

 

Рис. 27.Застосування функції series

 

 

Рис. 28 (а) Структурна схема; (б) Функція parallel

 

 

 

 

 

 

Рис. 29Система управління з одиничним зворотним зв'язком

 

На рис. 31 зображена система з неодиничним зворотним зв'язком і проілюстроване застосування до неї функції feedback. Якщо в аргументах цієї функції не зазначений знак зворотного зв'язку sign, то за замовчуванням вона передбачається негативною.

 

 

 

 

 

Рис. 30. (а)        Структурна схема;

              (б)         Застосування функції feedback у випадку одиничного зворотного зв'язку

 

 

 

 

Рис. 31. (а)        Структурна схема;

              (б)         Функція feedback

 

Приклад 1. Застосування функції feedback до системи з одиничним зворотним зв'язком

Нехай передатні функції об'єкта і регулятора на рис. 27 (а) відповідно рівні G(s) і G_c(s). Щоб скористатися функцією feedback, спочатку нам необхідно застосувати функцію series, щоб обчислити добуток G(s)G_c(s). Ця послідовність дій наведена на рис. 32. Відповідно до рис. 32, передатна функція замкнутої системи дорівнює

                   (120)

 

Інша конфігурація системи зі зворотним зв'язком наведена на рис. 33. У цьому випадку регулятор перебуває в ланцюзі зворотного зв'язку. Замкнута система має передатну функцію

                                                (121)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 32 (а) Структурна схема;

 (б)    Застосування функції feedback

 

 

Рис. 33

Система з регулятором у ланцюзі зворотного зв'язку

 

 

Приклад 2. Функція feedback

Нехай об'єкт і регулятор мають, відповідно, передатні функції G(s) і H(s), як показано на рис. 34(а). Для визначення передатної функції замкнутої системи скористаємося функцією feedback. Відповідна програма наведена на рис. 34(б). У результаті отримаємо

                              (122)

 

 

 

Рис. 34. Застосування функції feedback: (а) Структурна схема; (б) Скрипт MATLAB

 

Функції MATLAB series, parallel і feedback можуть виявитися корисними при спрощенні структурних схем багатоконтурних систем.

 

Приклад 3. Спрощення багатоконтурної системи

Багатоконтурна система зображена на рис. 35. Наша мета — визначити передатну функцію T(s) = Y(s)/R(s), якщо

 

, , , , , (123)

У даному прикладі всі дії зводяться до п'яти етапів:

Етап 1. Увести всі передатні функції в програму MATLAB.

Етап 2. Перенести вузол через блок G₄ у напрямку руху сигналу.

Етап 3. Виключити контур G₃G₄H₁.

Етап 4. Виключити контур, що містить H₂.

Етап 5. Замінити контур, що залишився, одним блоком і записати вираження T(s). Програма, що виконує відповідні операції, наведена на рис. 36. Виконання програми дає наступний результат:

 

      (124)

 

 

 

Рис. 35. Багатоконтурна система

 

При визначенні передатної функції замкнутої системи слід дотримуватися обережності. Передатна функція визначає співвідношення між входом і виходом після скорочення однакових нулів і полюсів. Якщо ми обчислимо полюси і нулі T(s), то виявимо, що поліноми в чисельнику і знаменнику мають однаковий співмножник (s + 1). Ці співмножники необхідно скоротити, перш ніж затверджувати, що ми дійсно одержали передатну функцію. У скороченні нуля і полюса нам може допомогти функція minreal. Її зміст пояснює рис. 37. Заключна процедура в спрощенні структурної схеми складається у видаленні однакових співмножників із чисельника і знаменника T(s), як показано на рис. 38. Підсумковий результат також наведений на цьому рисунку. Після застосування функції minreal можна бачити, що порядки поліномів у чисельнику і знаменнику зменшилися на одиницю за рахунок скорочення одного полюса і одного нуля.

 

Рис. 36.Спрощення багатоконтурної системи

 

Рис. 37. Функція mineral