Актуарна математика

Актуарна математика 11.07.2014 02:21

1. Садівничий кооператив застрахував на рік свої дачні будинки від пожежі. Кожен з 600 домовласників вніс по 1500 рублів. Ймовірність пожежі (в одному будинку) протягом року дорівнює 0,005, а страхова сума, що виплачується потерпілому, становить 120000 рублів. Яка ймовірність того, що страхова компанія матиме збиток?

2. Випадкова величина  - число випадань трійки при чотирьох підкиданнях гральної кістки. Для цієї випадкової величини скласти закон розподілу, знайти і побудувати функцію розподілу, багатокутник розподілу, знайти ймовірність того, що трійка випаде менше двох разів.

3. Для особи, яка дожила до 29-річного віку, ймовірність смерті на 30-му році життя дорівнює 0,008. Страхова компанія пропонує застрахувати життя на рік зі страховим внеском 10 $. У разі смерті застрахованого страхова компанія виплачує спадкоємцям 1000 $. Який прибуток очікує отримати компанія з кожного застрахованого?

4. Клієнти банку, не пов'язані один з одним, не повертають кредити в строк з імовірністю 0,1. Скласти закон розподілу випадкової величини - числа повернутих у строк кредитів з 3 виданих. Знайти ймовірність .

5. Неперервна випадкова величина задана щільністю розподілу:

 

Знайти коефіцієнт , функцію розподілу , ймовірність .

6. Відділення банку обслуговує 1000 клієнтів, які тримають свій внесок у цьому банку. В даному інтервалі часу будь-який клієнт незалежно від інших може провести операцію по вкладу з імовірністю 0,001. Яка ймовірність того, що в даному інтервалі буде рівно 3 операції по вкладах?

7. Для особи, яка дожила до 25-річного віку, ймовірність смерті на 26-му році життя дорівнює 0,005. Застрахована група в 10000 чоловік 25-річного віку, причому кожен застрахований вніс 1200 рублів страхових внесків за рік. У разі смерті застрахованого страхова компанія виплачує спадкоємцям 100000 рублів. Яка ймовірність того, що до кінця року страхова компанія:

a) виявиться в збитку;

b) її дохід перевищить 6000000 рублів;

c) її дохід перевищить 4000000 рублів?

8. Недержавний пенсійний фонд нараховує за пенсійними рахунками  річних. 1 січня 2008 вкладник перерахував  руб. Які відсотки будуть нараховані на цю суму до 31 грудня 2012 року?

9. Вкладник вніс на рахунок  руб. Банк гарантує, що протягом двох найближчих років ефективна річна процентна ставка дорівнюватиме . Через два роки банк встановить процентну ставку  на наступні два роки. Відомо, що нова ставка не вийде за межі проміжку . Що можна сказати про суму, яка буде накопичена за чотири роки?

10. Експерти недержавного пенсійного фонду припускають, що протягом найближчих п'яти років ефективна річна процентна ставка дорівнюватиме . Протягом наступного п'ятиріччя очікується річна відсоткова ставка . Людина купує десятирічну ренту з виплатою в кінці кожного року 2000 руб. Підрахуйте її вартість.

Тема 2. Характеристики тривалості життя

1. Використовуючи таблицю смертності, обчислити:

a) Ймовірність того, що 20-річна жінка доживе до 70 років.

b) Ймовірність того, що 25-річний чоловік помре у віці від 40 до 45 років.

c) Ймовірність того, що 25-річний чоловік не помре у віці від 40 до 45 років.

d) Ймовірність того, що 35-річний чоловік помре у віці до 50 років.

2. Розглянемо двох чоловіків у віці 30 і 40 років і 35-річну жінку. Знайти ймовірність того, що 30-річний чоловік і жінка, проживши 20 років, помруть в протягом наступних 10 років, а 40-річний чоловік не помре протягом тих же 10 років.

3. 30% людей з числа вмираючих у віці від 25 до 75 років помирають, не досягнувши 50 років. Ймовірність того, що 25-річний помре, не досягнувши 50 років, дорівнює 15%. Знайти .

4. Використовуючи дані таблиці смертності, і припускаючи рівномірний розподіл смертей протягом року знайти:

a) Ймовірність того, що 30-річний чоловік проживе 10 років, але помре протягом наступних трьох місяців.

b) Ймовірність того, що жінка після виходу на пенсію помре протягом двох місяців.

5. Крива смертей має вигляд . Знайти:

a) функцію виживання ;

b) дисперсію часу життя .

6. Крива смертей має вигляд . Знайти функцію виживання .

7. Інтенсивність смертності задана формулою . Знайти функцію виживання .

8. Функція виживання задана формулою . Знайти ймовірність смерті людини у віці 39 років протягом найближчих 10 років.

9. Час життя деякої конкретної людини у віці 25 років описується законом де Муавра з граничним віком  років. Знайти ймовірність того, що ця людина проживе ще принаймні 25 років.

10. Функція виживання задана формулою . Знайти ймовірність того, що людина у віці 30 років проживе ще принаймні 20 років.

Тема 3. Теорія страхування на основі використання таблиць тривалості життя і пов'язаних з цими таблицями характеристик і функцій

1. Жінка у віці 40 років придбала довічну страхову ренту, що передбачає щорічні виплати в розмірі 50 000 рублів, починаючи з віку 55 років. Ефективна процентна ставка . Знайти вартість поліса.

2. Жінка у віці 25 років купує страхову ренту з щомісячними страховими виплатами в розмірі 500 гр.од., починаючи з віку 55 років. Вона має намір оплатити вартість поліса за допомогою щорічних премій, сплачуваних на початку кожного року протягом 20 років. Знайти величину щорічних нетто-премій, якщо ефективна процентна ставка .

3. Чоловік у віці 30 років придбав поліс довічного страхування в розмірі 200 000 рублів, з виплатою в кінці року смерті. Вартість поліса він буде оплачувати за допомогою серії платежів на початку кожного року протягом всього свого життя. Знайти розмір щорічних внесків.

4. Чоловік у віці 55 років уклав договір страхування. Знайти актуарну сучасну вартість п'ятирічної тимчасової довічної ренти, що виплачується раз на рік в кінці року в розмірі 30000 рублів. Ефективна річна процентна ставка .

5. Чоловік у віці 37 років купує за 100000 рублів довічну ренту (пенсію), виплати якої починаються з віку 65 років. Ефективна процентна ставка . Знайти величину щомісячних виплат.

6. Жінка у віці 39 років придбала довічний страховий поліс, за яким у разі її смерті спадкоємці повинні отримати 100000 рублів. Ефективна процентна ставка . Знайти вартість поліса.

7. Батьки шестирічної дівчинки придбали поліс з оплати отримання дитиною вищої освіти по досягненню нею 18 років. Термін навчання 5 років, вартість 100000 рублів на рік. Ефективна процентна ставка . Знайти величину щомісячних внесків.

8. Страхувальник (чоловік) у віці 51 року уклав договір страхування життя строком на 9 років (норма прибутковості - 5%). Знайти щорічну нетто-ставку у відсотках (%).

9. Страхувальник (жінка) у віці 45 років уклав договір страхування на дожиття строком на 10 років (норма прибутковості - 5%, страхова сума - 80 000 руб.). Знайти величину щорічних внесків.

10. Чоловік у віці 44 років уклав договір змішаного страхування життя строком на 6 років (норма прибутковості - 5%, страхова сума - 60 000 руб.). Знайти величину щорічних внесків.

Тема 4. Моделі короткострокового страхування життя

1. Припустимо, що в компанії застраховано = 1000 чоловік з імовірністю смерті протягом року . Компанія виплачує суму = 350000 руб. у разі смерті застрахованого протягом року і не платить нічого, якщо ця людина доживе до кінця року. Визначте величину активів, достатню, щоб забезпечити вірогідність розорення близько 5%.

2. Страхова компанія пропонує договори страхування життя на один рік. Інформація щодо структури покриття приведена в такій таблиці:

Відносна захисна надбавка дорівнює 25%.

Припустимо, що окремі поліси незалежні і страховик використовує нормальне наближення для розподілу сумарних виплат.

Скільки договорів повинен продати страховик, щоб зібрана премія з імовірністю 95% покривала сумарні виплати?

3. Компанія «Продам» передбачає організувати групове страхування життя для своїх співробітників. Структура персоналу наведена в наступне таблиці:

Професійний клас	Число співробітників	Страхова сума	Імовірність смерті
1	50	1	0,1
2	50	1	0,2
3	100	2	0,1
4	100	2	0,2

 

Компанія припускає внести до страхового фонду суму, що дорівнює очікуваним виплатам страхових відшкодувань.

Кожен співробітник, в свою чергу, повинен буде внести суму, рівну певній частці від розміру очікуваної виплати. Розмір цієї частки визначається так, щоб з імовірністю 95% коштів страхового фонду вистачило для виплати страхових відшкодувань.

Визначте розмір внеску для працівників другого професійного класу.

Тема 5. Моделі довгострокового страхування життя

1. Припустимо, що тривалість життя описується моделлю де Муавра з граничним віком 100 років, а ефективна річна процентна ставка дорівнює 11%. Підрахуйте нетто-премії для людини у віці 37 років, якщо укладається договір:

а) довічного страхування;

б) 7-річного змішаного страхування життя;

в) довічного страхування, відстроченого на 3 роки;

г) довічного страхування з неперервно збільшуваною страховою сумою.

2. Страхова компанія уклала 40 000 договорів довічного страхування. Припустимо, що залишковий час життя кожного із застрахованих характеризується інтенсивністю смертності , яка не змінюється з плином часу, а інтенсивність відсотків .

Знайти величину премії, яка гарантувала б 95% вірогідність виконання компанією своїх зобов'язань.

Питання до заліку

1. Тривалість життя як випадкова величина.

2. Властивості функції виживання.

3. Крива смертей, інтенсивність смертності. Властивості.

4. Аналітичні закони смертності (Мейкхама, Вейбулла, Гомперца).

5. Макрохарактеристики тривалості життя.

6. Залишковий час життя. Розподіл залишкового часу життя.

7. Основні величини, пов'язані із залишковим часом життя.

8. Округлена тривалість життя. Розподіли округленої тривалості життя.

9. Наближення для дробових віків (рівномірне, постійна інтенсивність смертності, Балдуччі).

10. Макрохарактеристики залишкового часу життя.

11. Часткова залишкова тривалості життя.

12. Аналіз індивідуальних збитків при короткостроковому страхуванні життя.

13. Наближений розрахунок ймовірності розорення.

14. Принципи призначення страхових премій.

15. Загальна модель довгострокового страхування життя.

16. Теорема про дисперсії наведеної цінності.

17. Зв'язок між неперервними і дискретними видами страхування.

18. Перестрахування: сутність і різновиди договорів перестрахування.

19. Пропорційне перестрахування. Перестрахування перевищення втрат.

20. Довічні ренти, що сплачуються раз на рік.

21. Довічні ренти, сплачувані з частотою.

22. Періодичні нетто-премії