ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ 24.07.2015 10:26
Міністерство освіти і науки України
Національний університет водного господарства та природокористування
Кафедра прикладної математики
100-77
Методичні вказівки
для виконання практичних робіт з дисципліни «ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ»
для студентів напрямів «Прикладна математика» (6.040301) та «Автоматизоване управління техно-логічними процесами і виробництвами» (6.050202)
Частина 2
Рекомендовані до видання методичною комісією напряму «Прикладна математика»
Протокол №5 від 29 січня 2008 р.
Рівне -2008
Методичні вказівки для виконання практичних робіт з дисципліни «Диференціальні рівняння» для студентів напрямів «Прикладна математика» (6.040301) та «Автоматизоване управління технологічними процесами і виробництвами» (6.050202).Частина 2/ Гладун Л.В. – Рівне: НУВГП, 2008. - 32 с.
Упорядник: Л.В. Гладун, к.ф.-м.н., доцент кафедри прикладної математики
Відповідальний за випуск: А.П. Власюк, д. т. н., професор, завідувач кафедри прикладної математики
© Гладун Л.В., 2008
© НУВГП, 2008
ЗМІСТ
Вступ 3
1. Лінійні однорідні рівняння m-го порядку зі сталими коефіцієнтами 4
2. Лінійні неоднорідні рівняння m-го порядку зі сталими коефіцієнтами 9
3. Рівняння Ейлера 20
4. Література 32
Вступ
Лінійні рівняння ¬– великий клас диференціальних рівнянь, для яких існує досить повна теорія. Ця теорія дозволяє повністю розв’язати всі лінійні рівняння зі сталими коефіцієнтами.
Теорія лінійних рівнянь корисна в якості першого наближення і при дослідженні нелінійних задач. Наприклад, вона дозволяє досліджувати стійкість положення рівноваги.
Методичні вказівки розроблені для студентів спеціальностей “Прикладна математика” та “Автоматизоване управління технологічними процесами і виробництвами”. Вони також можуть використовуватись для студентів технічних вузів усіх спеціальностей, а також для студентів фізико-математичних спеціальностей педагогічних вузів.
В перших двох практичних роботах розглянуті лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами, а в третій - найпростіше лінійне рівняння зі змінними коефіцієнтами.
До кожної практичної роботи приводиться необхідний теоретичний матеріал. Також наведено приклади розв’язання рівнянь, в яких розглянуті все можливі випадки.
В кінці кожної практичної роботи подано завдання для самостійної роботи, які містять значну кількість задач. Вони можуть використовуватися для проведення тестового опитування з відповідних тем.
Задачі, номери яких більші за двадцять, можна віднести до задач підвищеної складності.
Практична робота №1
Лінійні однорідні рівняння m-го порядку зі сталими коефіцієнтами.
Розглянемо лінійне однорідне рівняння -го порядку зі сталими коефіцієнтами
(1)
де
Розв’язки рівняння (1) шукаємо у вигляді
(2)
Тоді маємо
(3)
Підставивши отримані значення похідних у рівняння (1), дістанемо:
або
. (4)
Оскільки , тоді із (4) отримаємо алгебричне рівняння відносно :
, (5)
яке називається характеристичним рівнянням однорідного рівняння (1). З основної теореми алгебри многочленів відомо, що алгебричне рівняння -го степеня має коренів, з врахуванням кратності кожного з них. По характеру коренів характеристичного рівняння виписуємо частинні лінійно незалежні розв’язки рівняння (1) наступним чином:
а) кожному дійсному простому кореневі відповідає частинний розв’язок ;
б) кожній парі комплексних спряжених простих коренів і відповідають два частинних розв’язки і ;
в) кожному дійсному кореневі кратності відповідає лінійно незалежних частинних розв’язків
;
г) кожній парі комплексних спряжених коренів
,
кратності відповідають частинних лінійно незалежних розв’язків:
, ,…, ,
, ,…, .
Загальний розв’язок рівняння (1) має вигляд
, (6)
де - лінійно незалежні розв’язки, - довільні постійні.
Приклад 1. Розв’язати рівняння
.
Розв’язання. Записуємо характеристичне рівняння
,
корені якого . Оскільки корені прості, то їм відповідають частинні розв’язки і . Отже, загальний розв’язок рівняння
.
Приклад 2. Розв’язати рівняння
.
Розв’язання. Характеристичне рівняння має прості комплексні спряжені корені . Їм відповідають частинні розв’язки і .
Загальний розв’язок рівняння має вигляд
.
Приклад 3. Розв’язати рівняння
.
Розв’язання. Відповідне йому характеристичне рівняння запишеться у вигляді
.
Отримане рівняння має один дійсний корінь кратності . Лінійно незалежними частинними розв’язками, які йому відповідають, є функції і .
Загальний розв’язок рівняння
.
Приклад 4. Розв’язати рівняння
.
Розв’язання. Запишемо характеристичне рівняння
.
Оскільки
, а корені рівняння рівні , то характеристичне рівняння має комплексні спряжені корені відповідно кратності і . Їм відповідають частинні лінійно незалежні розв’язки і .
Загальний розв’язок рівняння має вигляд
.
Приклад 5. Розв’язати рівняння
.
Розв’язання. Характеристичне рівняння має вигляд . Перетворимо його ліву частину:
.
Отримане рівняння
має дійсний корінь кратності і комплексні спряжені корені . Лінійно незалежні розв’язки, які відповідають цим кореням, записуються у вигляді і .
Загальний розв’язок рівняння має вигляд
.
Завдання для самостійної роботи
Розв’язати рівняння
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
Практична робота №2
Лінійні неоднорідні рівняння m-го порядку
зі сталими коефіцієнтами
Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння m-го порядку зі сталими коефіцієнтами
(1)
де , – деяка задана неперервна функція.
Загальний розв’язок рівняння (1) завжди можна знайти методом варіації сталої, якщо відомий загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння.
Загальний розв’язок рівняння (1) знаходимо за формулою:
(2)
в якій – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння, а функція – деякий частинний розв’язок цього рівняння.
Розглянемо знаходження частинного розв’язку рівняння (1) методом невизначених коефіцієнтів. В залежності від виду функції частинний розв’язок шукається в певному загальному вигляді. Коефіцієнти, які входять у шуканий розв’язок, знаходять шляхом його підстановки в рівняння (1).
Розглянемо найбільш типові випадки.
Нехай
(3)
де – многочлен степеня від змінної .
Частинний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді:
(4)
де
–многочлен степеня з довільними коефіцієнтами від змінної .
Нехай
(5)
де – многочлени відповідно степенів та від змінної .
Частинний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді:
(6)
де
, а – многочлени степеня з довільними коефіцієнтами від змінної .
Нехай
(7)
де функції мають вид (3) або (5).
Частинний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді:
(8)
де – частинний розв’язок рівняння
.
Приклад 1. Розв’язати рівняння
. (9)
Розв’язання. Характеристичне рівняння
має прості дійсні корені , , яким відповідають частинні розв’язки і . Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння: .
Права частина рівняння має вид (3), причому , тобто . Оскільки число не є коренем характеристичного рівняння, тому в формулі (4) і частинний розв’язок шукаємо у вигляді :
,
де і – невідомі коефіцієнти.
Знаходимо та :
.
Підставимо в рівняння (9) замість відповідно . Тоді отримаємо:
,
,
.
Для знаходження коефіцієнтів і прирівняємо між собою коефіцієнти при однакових степенях змінної в обох частинах останньої рівності:
Звідки знаходимо , . Запишемо отриманий частинний розв’язок неоднорідного рівняння . Тепер за формулою (2) дістанемо загальний розв’язок рівняння (9):
.
Приклад 2. Розв’язати рівняння
. (10)
Розв’язання. Однорідне рівняння співпадає з однорідним рівнянням, яке відповідає рівнянню (9). Корені характеристичного рівняння рівні , а загальний його розв’язок: .
Права частина рівняння має вид (3), причому , тобто . Так як число є простим коренем характеристичного рівняння, то у формулі (4) потрібно взяти .
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо, згідно (4), у вигляді:
,
де – невідомий коефіцієнт.
Знаходимо
, .
Підставимо в рівняння (10) замість . Отримаємо:
,
,
,
.
Отже, частинним розв’язком рівняння (10) є функція , а загальний розв’язок має вигляд
.
Приклад 3. Розв’язати рівняння
. (11)
Розв’язання. Характеристичне рівняння
має прості комплексні спряжені корені і , яким відповідають частинні розв’язки однорідного рівняння і . Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд
.
Права частина рівняння (11) має вид (3), причому , тобто . Число не є коренем характеристичного рівняння, тому у формулі (4) беремо . Частинний розв’язок рівняння (11) шукаємо у вигляді :
,
де , , – невідомі коефіцієнти.
Знаходимо похідні та підставимо у рівняння (11) замість .
Отримаємо
,
.
Звідси маємо:
З отриманої системи рівнянь знаходимо значення , , . Таким чином, частинним розв’язком рівняння (11) є функція , а загальний розв’язок має вигляд
.
Приклад 4. Розв’язати рівняння
. (12)
Розв’язання. Загальний розв’язок однорідного рівняння записується у вигляді , а характеристичне рівняння має корені і .
Права частина рівняння (12) має вид (5), причому . Частинний розв’язок рівняння будемо шукати у вигляді (6). Для цього знайдемо і так як не є коренем характеристичного рівняння, то число у формулі (6) беремо рівним нулю. Таким чином, частинний розв’язок матиме вигляд:
де – невідомі коефіцієнти.
Знаходимо першу та другу його похідні:
,
Підставивши замість у рівняння (12) , маємо:
Прирівнюючи вирази біля функцій та , отримаємо:
,
.
Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях змінної , дістанемо наступну систему рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів:
Розв’язок системи: . Тобто функція є частинним розв’язком рівняння (12). Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд
.
Приклад 5. Розв’язати рівняння
. (13)
Розв’язання. Загальний розв’язок однорідного рівняння записується у вигляді , а характеристичне рівняння має корені і .
Права частина рівняння має вид (5), в якому
.
Частинний розв’язок рівняння будемо шукати у вигляді (6). Знаходимо значення та : , так як число – корінь характеристичного рівняння кратності один, а . Запишемо вигляд частинного розв’язку:
,
де і – невідомі коефіцієнти.
Знаходимо першу та другу його похідні:
.
Підставивши замість у рівняння (13) відповідно , отримаємо:
.
Звідки знаходимо або .
Отже, частинним розв’язком рівняння (13) є функція , а загальний розв’язок має вигляд
.
Приклад 6. Записати вигляд частинного розв’язку з невідомими коефіцієнтами рівняння
.
Розв’язання. Характеристичне рівняння має прості корені і .
Права частина рівняння не має ні виду (3), ні виду (5).
Запишемо її у вигляді , де , а .
Функція має вид (3), а функція – вид (5). Таким чином, частинний розв’язок рівняння (14) шукаємо у вигляді , де – частинний розв’язок неоднорідного рівняння
,
а – частинний розв’язок неоднорідного рівняння
.
Знайдемо вигляд .Функція має вид (3), причому . Число є коренем характеристичного рівняння кратності один, тому у формулі (4) . Отримаємо:
.
Функція має вид (5), причому . Оскільки число не є коренем характеристичного рівняння, то у формулі (6) дорівнює нулю. Знайшовши , записуємо вигляд частинного розв’язку :
.
Отже, частинний розв’язок рівняння (14) має вигляд
,
де – невідомі коефіцієнти.
Завдання для самостійної роботи
Розв’язати рівняння.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23.
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
Записати вигляд частинного розв’язку рівняння з невизначеними коефіцієнтами (числові значення коефіцієнтів не знаходити).
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
Практична робота №3
Рівняння Ейлера
Однорідне рівняння Ейлера має вигляд
, (1)
де , . Рівняння (1) заміною при (або при ) зводиться до лінійного рівняння зі сталими коефіцієнтами. Якщо функція є розв’язком рівняння Ейлера на півосі , то функція буде розв’язком на півосі . Тому надалі вважаємо, що .
Розв’язки рівняння (1) шукаємо у вигляді
, (2)
Тоді маємо
, ,..., . (3)
Підставивши (2) та (3) у рівняння (1), дістанемо:
або після скорочення на
. (4)
Рівняння (4) називають характеристичним рівнянням Ейлера. Це алгебричне рівняння -го порядку. По характеру його коренів знаходять частинні лінійно незалежні розв’язки наступним чином:
а) кожному дійсному простому кореневі відповідає частинний розв’язок ;
б) кожній парі комплексних спряжених простих коренів і відповідають два частинних розв’язки і ;
в) кожному дійсному кореневі кратності відповідають частинних розв’язків ;
г) кожній парі комплексних спряжених коренів і кратності відповідають частинних розв’язків:
Загальний розв’язок рівняння (1) має вигляд
, (5)
де - лінійно незалежні розв’язки рівняння, - довільні постійні.
Лінійне неоднорідне рівняння Ейлера має вигляд
, (6)
де , , а - деяка задана неперервна функція.
Загальний розв’язок рівняння (6) завжди можна знайти методом варіації сталої, якщо відомий загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння.
Загальний розв’язок рівняння (6) знаходимо за формулою:
, (7)
в якій - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння (1), а функція - деякий частинний розв’язок цього рівняння.
Розглянемо знаходження частинного розв’язку рівняння методом невизначених коефіцієнтів.
Розв’язок рівняння шукається в певному загальному вигляді, який залежить від виду функції . Невідомі коефіцієнти, які містить шуканий частинний розв’язок , знаходять підставляючи його в рівняння (6).
Розглянемо найбільш типові випадки.
Нехай
, (8)
де - многочлен степеня від функції . Частинний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді:
, (9)
де
- многочлен степеня від функції з довільними коефіцієнтами.
Нехай
, (10)
де , - многочлени від функції відповідно степенів та .
Частинний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді:
, (11)
де
, а , – многочлени степеня від функції з довільними коефіцієнтами.
Нехай
, (12)
де функції мають вид (8) або (10).
Частинний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді:
, (13)
де - частинний розв’язок рівняння
, .
Приклад 1. Розв’язати рівняння
.
Розв’язання. Записуємо характеристичне рівняння
або .
Корені характеристичного рівняння , є простими. Їм відповідають частинні розв’язки рівняння і . Загальний розв’язок рівняння має вигляд
.
Приклад 2. Розв’язати рівняння
.
Розв’язання. Характеристичне рівняння
має два простих корені і , яким відповідають відповідно частинні розв’язки рівняння і .
Загальний розв’язок рівняння має вигляд
.
Приклад 3. Розв’язати рівняння
.
Розв’язання. Характеристичне рівняння
має два простих комплексних корені , Їм відповідають частинні розв’язки рівняння і .
Загальний розв’язок рівняння має вигляд
.
Приклад 4. Розв’язати рівняння
.
Розв’язання. Записуємо характеристичне рівняння:
,
,
.
Число є коренем характеристичного рівняння кратності . Йому відповідають частинні розв’язки рівняння і .
Загальний розв’язок рівняння має вигляд
.
Приклад 5. Розв’язати рівняння
. (14)
Розв’язання. Характеристичне рівняння має прості корені , . Їм відповідають частинні розв’язки відповідного однорідного рівняння і . Загальний розв’язок однорідного рівняння записується у вигляді
.
Права частина неоднорідного рівняння (14) має вид (8), причому , , тобто . Оскільки число не є коренем характеристичного рівняння, тому у формулі (9). Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо, згідно (9), у вигляді:
,
де - невідомий коефіцієнт
Знаходимо , . Підставимо в рівняння (14) відповідно замість , , . Отримаємо:
,
,
.
Таким чином, .
Згідно формули (7), записуємо загальний розв’язок неоднорідного рівняння:
.
Приклад 6. Розв’язати рівняння
. (15)
Розв’язання. Оскільки ліві частини рівнянь (14) і (15) однакові, тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд , а корені характеристичного рівняння , .
Розглянемо праву частину рівняння . Встановимо чи має вона вид (8). Дійсно при , отримаємо , причому . Так як число є коренем характеристичного рівняння, то у формулі (9). Частинний розв’язок рівняння (15) шукаємо, згідно формули (9), у вигляді:
.
Знаходимо
,
.
Після підстановки у рівняння (15) відповідно замість , , , отримаємо:
,
,
.
Звідки знаходимо , . Отже, функція - частинний розв’язок рівняння (15), а загальний розв’язок рівняння має вигляд
.
Приклад 7. Розв’язати рівняння
. (16)
Розв’язання. Записуємо характеристичне рівняння
.
Числа , є простими комплексними коренями, їм відповідають частинні розв’язки відповідного однорідного рівняння , .
Загальний розв’язок однорідного рівняння
.
Встановимо вид правої частини рівняння . Вона має вид (10) при таких значеннях величин: , , , , , . Частинний розв’язок неоднорідного рівняння (16) шукаємо у вигляді (11). Для цього знаходимо , - число не є коренем характеристичного рівняння.
Частинний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді:
.
Для похідних , отримаємо:
.
У рівняння (16) замість , , підставимо відповідно . Дістанемо:
,
.
Прирівнявши коефіцієнти в обох частинах рівності при функціях та , маємо:
Отже, частинний розв’язок неоднорідного рівняння , а загальний його розв’язок має вигляд
.
Приклад 8. Записати вигляд частинного розв’язку рівняння
. (17)
Розв’язання. Характеристичне рівняння має корінь кратності .
Права частина рівняння не має ні виду (8), ні виду (10). Запишемо її у вигляді
,
де , .
Розглянемо функцію . Вона має вид (8) при , , . Функція має вид (10) при наступних значеннях величин: , , , , , .
Частинний розв’язок рівняння (17) шукаємо у вигляді:
,
де - частинний розв’язок рівняння
,
а - частинний розв’язок рівняння
.
Знайдемо вигляд згідно формули (9). Так як число є коренем характеристичного рівняння кратності 2, тому значення у формулі (9). Отримаємо
.
Вигляд знаходимо згідно формули (11). Значення , тому що число не є коренем характеристичного рівняння, а значення . Тоді, згідно формули (11), маємо
.
Отже, частинний розв’язок рівняння (17) записується у вигляді
де - невідомі коефіцієнти.
Завдання для самостійної роботи
Розв’язати рівняння.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
Розв’язати рівняння.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14.
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20.
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26.
27. .
28. .
29. .
30. .
Записати вигляд частинного розв’язку рівняння з невизначеними коефіцієнтами (числові значення коефіцієнтів не знаходити).
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
Література
1. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння.- К.: Либідь, 2003.-600 с.
2. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах.-К.: Вища школа, 1994.-454 с.
3. Ляшко І.І., Боярчук О.К., Гай Я.Г., Калайда О.Ф. Диференціальні рівняння.-Київ: Вища школа, 1981.-504 с.
4. Стрижак Т.Г., Коновалова Н.Р., Диференціальні рівняння.- К.: Либідь, 1994. – 311 с.
5. Головач Г.П., Калайда О.Ф. Збірник задач з диференціальних та інтегральних рівнянь.- К.: Техніка, 1997. – 288 с.
6. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальных уравнениях.- М.: Наука, 1985. – 128 с.
7. Понтрягин Г.П., Калайда О.Ф. Збірник задач з диференціальних та інтегральних рівнянь. – К.: Техніка, 1997.-288 с.
8. Гладун Л.В, Мартинюк П.М. Методичні вказівки для виконання практичних робіт з дисципліни «Диференціальні рівняння».-Рівне, 2003. – 34 с.
