ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІОНУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ 11.10.2016 07:49

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІОНУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ

 

 

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

 

до практичних занять і типових розрахунків з курсу

“Теорія керування”

для студентів базового напряму 8.080204

“Прикладна математика”

 

 

 

 

 

 

 

 

Затверджено

на засіданні кафедри

прикладної математики

Протокол № 4 від 18.12.2003 р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Львів – 2004

 

Дослідження функціонування нелінійних систем: Методичні вказівки до практичних занять і типових роз­ра­хунків з курсу “Теорія керування” для студентів бака­лав­ра­ту базового напряму 8.080204 “Прик­ладна математика” / Укл.: В. А. Ліщинський, Б. М. Маркович. – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”. 2004. –21 c.

 

 

Укладачі	Ліщинський В. А., канд. техн. наук, доц., Маркович Б. М., асистент
Відповідальний за випуск	Мединський І. П., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Рецензенти	Каленюк П. І., доктор фіз.-мат. наук, проф., Кутнів М. В., канд. фіз.-мат. наук, доц.

 

Розрахункова робота

Тема: Дослідження функціонування нелінійних систем.

Завдання 1.

Дослідити автоколивання в системі .

Завдання 2.

Оцінити стійкість тривіального роза’язку системи .

Методичні вказівки.

Загальні

Варіанти завдань видає викладач, який проводить практичні заняття.

Послідовність виконання

Завдання 1.

1)      Побудувати опис в цілому лінійної частини системи:

• побудувати структурну схему підсистем А і В;
• побудувати передавальні функції  підсистем А і В;
• побудувати передавальну функцію і рівняння лінійної частини.

2)      Побудувати опис системи в цілому.

3)      Лінеаризувати нелінійність.

4)      Побудувати опис лінеаризованої системи в цілому.

5)      Записати характеристичне рівняння лінеаризованої системи.

6)      Визначити параметри періодичного розв’язку:

• підставити в характеристичне рівняння значення, яке відповідає періодичному розв’язку ();
• розділити дійсну і уявну частину;
• знайти параметри періодичного розв’язку ().

7)      Оцінити стійкість періодичного розв’язку:

• перевірити виконання основної умови (щодо зв’язку  і );
• перевірити додаткову умову  (чи решта коренів характеристиуного рівняння мають від’ємну дійсну частину).

8)      Зробити висновки і сформулювати відповідь.

Завдання 2.

1)        Побудувати передбачувану функцію Ляпунова з неозначеними коефіцієнтами.

2)      Визначити коефіцієнти, які забезпечують виконання останньої умови ().

3)      Перевірити виконання усіх інших умов.

4)      Сформулювати відповідь.

Оформлення

Розрахункова робота оформляється на білому папері формату А4 (210­Χ­297мм). Аркуш, крім титульної сторінки, можна використовувати з обох боків. Поля за­ли­шаються на кожній сторінці з чотирьох боків. Розмір лівого поля — 3 см, правого — 1,5 см, верхнього і нижнього — 2,5 см.

Роботу можна писати від руки темним чорнилом чи пастою, друкувати на друкарській машинці або набирати на комп’ютері. Почерк мусить бути чітким і роз­бірливим. Якщо робота друкується на машинці, то формули слід вписувати чор­ним чорнилом чи пастою. В роботі, яка не набирається на комп’ютері, всі ма­люнки, таблиці і графіки потрібно виконувати чорною тушшю, чорним чорнилом чи пастою. Набираючи роботу на комп’ютері, слід використовувати фонт Times New Ro­man 14 pt, для заголовків — відповідні стилі заголовків. Інтервал для комп’ю­тер­но­го набору і друкування на машинці — 1,5, відступ першого рядка абзацу — 1,3 см.

Зразок титульної сторінки наведено в кінці Додатку.

Структура роботи повинна відповідати пронумерованим пунктам послідовності вико­нан­ня.

Приклад розв’язування

Завдання 1

Дослідити автоколивання в системі , яка задана ‑списком:

,

(1.1)

де — суматор, — нелінійний елемент,  та — лінійні підсистеми, які задані ‑списками  та :

,

(1.2)

де , , ; , ,

,

(1.3)

де , , , .

Нелінійність  за­да­на у списку нелінійностей під номером 24, причому , , , .

Розв’язання

Опис лінійної частини в цілому.

Структурну схему системи , яку задано ‑списком (1.1), зображено на рис. 1.

Побудуємо структурні схеми підсистем  (рис. 2) та  (рис. 3), які задані ‑списками (1.2) та (1.3):

Передавальні функції підсистем  та  мають такий вигляд:

	(1.4)
.	(1.5)

Система  складається з лінійної частини (її передавальну функцію позначимо через ) та нелінійної частини, яка описується функцією . З рис. 1 видно, що передавальна функція лінійної частини є добутком передавальних функцій підсистем  та :

.

(1.6)

Тоді, врахувавши що  та зробивши обернене лапласове пе­ре­тво­рен­ня, отримуємо таке диференціальне рівняння лінійної частини:

,

(1.7)

де  — диференціальний оператор ().

1. Опис системи  в цілому.

Враховуючи, що  (це видно із рис. 1), запишемо рівняння системи  в ці­ло­му:

.

(1.8)

1. Лінеаризація нелінійності.

Згідно з методом гармонічної лінеа­ри­зації, лінеаризовану неліній­ність можна пред­ста­ви­ти так:

,

де . Оскільки нелінійність од­но­значна та непарно‑си­мет­рич­на, то

,

.

У випадку  (див. рис. 4) коефіцієнт  є та­ким:

,

оскільки задано, що , то лінеари­зо­вана не­лі­ній­ність набуває такого виг­ляду:

.

У випадку  (рис. 5) коефіцієнт  має такий вигляд:

 

де невідомий параметр , як легко бачити із рис. 5, знаходиться з такого рівняння:

.

Врахувавши це рівняння, отримуємо такий вираз:

.

            Таким чином, лінеаризована нелінійність є такою:

 

де вже враховано конкретні значення параметрів заданої нелінійності.

У випадку  (рис. 6) коефіцієнт  має такий вигляд:

 

де враховано, що ,  (рис. 6).

Таким чином, лінеаризована нелінійність є такою:

,

де вже враховано конкретні значення параметрів заданої нелінійності.

 

4. Опис лінеаризованої системи  в цілому:

.

(1.9)

 

5. Характеристичне рівняння системи:

.

(1.10)

 

6. Визначення параметрів періодичного розв’язку.

Підставивши в це характеристичне рівняння значення , яке відповідає періо­дич­но­му розв’язку, отримуємо таке рівняння:

.

Відокремивши дійсну та уявну частини цього рівняння, отримуємо систему двох рівнянь для невідомих  та :

,	(1.11)
.	(1.12)

З рівняння (1.12) знаходимо частоту автоколивань:  та підставляємо її у рівняння (1.11), з якого знаходимо: . Амплі­туду автоколивань  мож­на знай­ти гра­фіч­но (див. рис. 7). Для цьо­го будуємо графік функції  (яка бу­ла знайдена нами при лі­не­аризації не­лі­­ній­нос­ті) та пряму  (штрихова го­ри­­зон­тальна лі­нія), абсцисою точки пере­ти­ну цих ліній є шукана амплітуда .

            Отже, параметри шуканого періо­дич­­ного розв’язку такі:

, .

7. Оцінка стійкості періодичного розв’язку.

Для оцінки стійкості періодичного розв’язку  необхідно перевірити виконання основної умови:

.

(1.13)

У нашому випадку

.

Отже, основна умова виконується.

Потрібно ще перевірити чи решта коренів характе­рис­тичного рівняння мають від’ємну дійсну частину. Для цього, оскільки характе­рис­тичне рівняння (1.10) є рівнянням четвертого порядку, достатньо щоб його коефіцієнти були додатними. Легко бачити що і ця умова виконується.

8. Відповідь.

Отже, в системі є автоколивання, з параметрами , .

Завдання 2

Оцінити стійкість тривіального розв’язку системи:

.

(2.1)

Розв’язання

1. Передбачувана функція Ляпунова з неозначеними коефіцієнтами:

.

(2.2)

1. Визначення коефіцієнтів  та  так, щоб виконувалась умова:

.

(2.3)

 

Для того, щоб виконувалась умова (2.3) необхідно щоб коефіцієнти  та  за­до­вольня­ли таким умовам:

 

Нехай , тоді  і функція  є такою:

.

(2.4)

 

1. Перевірка виконання інших умов:

•  — функція лише координат системи  та ,
• , якщо ,
• функція  є знаковизначеною (додатна), тобто , якщо  та .
• функція  є неперервною по своїх аргументах та має неперервні перші час­тин­ні похідні.

1. Відповідь.

Тривіальний розв’язок системи (2.1) асимптотично стійкий, функція (2.4) є функцією Ляпунова.

Захист розрахункової роботи.

Умови зарахування захисту:

1)      Наявність правильно виконаної і оформленої роботи.

2)      Уміння виконувати і пояснити виконання кожного пункту роботи.

3)      Правильні відповіді на питання за темою “Нелінійні системи” (перелік питань наведено в Додатку).

Література

1. Попов Е.П.  Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. - М.: Наука, 1979. – 256 с.
2. K₁={0C, CA, АН, НВ, В0, ВС_};
3. K₂={0C, CA, АВ, ВН, Н0, НС_};
4. K₃={0C, CН, НА, АВ, В0, ВС_};
5. K₄={0C, CA, АН, Н0, НВ, ВС_};
6. K₅={0C, CН, НВ, В0, ВА, АС_};
7. K₆={0C, CН, Н0, НА, AВ, ВС_};
8. K₇={0C, CA, А0, АВ, ВН, НС_};
9. K₈={0C, CA, АВ, В0, ВН, НС_};

Додаток

Варіанти завдання 1

Типи загальної структури

де С –суматор, Н –нелінійний елемент.

Типи лінійних підсистем (А, В)

1. 1.     K={01, 10}; ;
2. 2.     K={01, 12, 20}; , ;
3. 3.     K={01, 11_, 12, 20}; , ;
4. K={01, 11_, 12, 22_, 20}; , .

Типи нелінійностей