Дослідження операцій в економіці 03.09.2016 14:29

2. НАВЧАЛЬНА ПРОГРАММА дисципліни

 

Змістовий модуль 1:

„Економіко-математичне моделювання. Методи кількісного аналізу оптимізаційних моделей”

Тема 1. Вступ до курсу “Дослідження операцій в економіці”

         Предмет  та метод дослідження операцій.   Мета вивчення дисципліни. Розділи дослідження операцій. Етапи дослідження операцій. Загальна  задача математичного  програмування, її структура та основні поняття. Характеристика різних класів задач математичного програмування. Прикладні оптимізаційні задачі.

Література: [1, 3, 6, 7, 8, 11, 13, 15, 22, 23, 32, 33].

 

Тема 2.  Задачі лінійного програмування (ЗЛП) 

Економічна інтерпретація ЗЛП, як задачі визначення оптимального плану виробництва продукції. Математична модель ЗЛП. Еквівалентні форми ЗЛП (канонічна, стандартна та симетрична). Правила перетворення форм ЗЛП. Математичні властивості ЗЛП.

Література: [1, 3, 6, 7, 8, 11, 13, 15, 22, 23, 32, 33].

 

Тема 3. Симплекс-метод

     Теоретичні основи симплекс-методу:

          а) опорний план та його зв’язок з вершинами допустимого многогранника ЗЛП;

б) критерій оптимальності опорного плану;

в) ознака нерозв’язуваності ЗЛП у симплекс-методі;

г) правила поліпшення опорного плану.

           Логічна схема та алгоритм симплекс-методу. Приклад розв’язування ЗЛП симплекс-методом.

Економічна інтерпретація розв’язування ЗЛП симплекс-методом:

а) економічна постановка задачі;

б) економічна інтерпретація критерію оптимальності опорного плану; в) економічна інтерпретація правил зміни базису;

г) економічна інтерпретація ознаки нерозв’язуваності ЗЛП;

д) економічна інтерпретація поточних опорних планів та оптимального розв’язку задачі.

Література: [1, 6, 8, 11, 15, 22].

 

Тема 4.  Методи знаходження опорного плану ЗЛП

Знаходження опорного плану ЗЛП на основі природних змінних. Знаходження опорного плану ЗЛП методами штучного базису. М-метод:

а) побудова М-задачі;

б) метод розв’язування М-задачі;

в) зв’язок з початковою задачею.

Двохетапний метод  штучного базису:

а) правила побудови допоміжної задачі у двохетапному методі штучного базису;

б) зв’язок допоміжної задачі з початковою ЗЛП;

в) приклад розв’язування ЗЛП двохетапним методом штучного базису.

     Приклади розв’язування ЗЛП методами штучного базису.

Література: [1, 3, 6, 8, 11, 15].

 

Змістовий модуль 2:

„Методи якісного аналізу задач лінійного програмування”

Тема 5. Теорія двоїстості у лінійному програмуванні

Вступ до теорії двоїстості. Мета вивчення теорії двоїстості. Пара двоїстих задач та правила їх побудови. Економічна інтерпретація пари двоїстих задач. Теореми двоїстості та її економічна інтерпретація.

Література:[1, 2, 3, 6, 8, 11, 13, 15, 22, 23, 24].

 

Тема 6.  Методи якісного аналізу задач лінійного програмування

Знаходження оптимальних розв’язків пари двоїстих задач. Економічна інтерпретація даних оптимальної симплекс-таблиці розв’язування ЗЛП. Двоїстий симплекс-метод: псевдоплан, теоретичні основи двоїстого симплекс-методу.

Приклад якісного економіко-математичного аналізу задачі про оптимальний план виробництва продукції.

Література: [1, 2, 3, 6, 11, 13, 15, 24].

 

Тема 7. Аналіз чутливості розв’язку ЗЛП до змін вхідних даних

Мета аналізу  розв’язку ЗЛП на чутливість до змін вхідних даних. Зміни умов, які мають вплив на допустимість розв’язку. Зміни умов, які мають вплив на оптимальність розв’язку. Схема аналізу. Приклад аналізу.

Література: [1, 2, 3, 6, 11, 13, 15, 24].

 

Змістовий модуль 3:

 „Інші задачі математичного програмування”

Тема 8. Транспортні задачі

Постановка та математична модель транспортної задачі. Умова розв’язуваності транспортної задачі. Методи знаходження початкового опорного плану транспортної задачі:

а) метод північно-західного кута;

б) метод мінімального елементу;

в) метод Фогеля.

Метод потенціалів. Приклад розв’язування транспортної задачі. Модифікації транспортної задачі. Задача про призначення.

Література:[1, 2, 3, 6, 7, 8, 11, 13, 15, 22, 23, 28, 32].

 

 

Тема 9. Дискретні задачі

Економіко-математичні моделі дискретного програмування. Прикладні дискретні задачі.  Загальна характеристика методів розв’язування дискретних задач. Перший алгоритм Гоморі: теоретичні основи, приклад розв`язування задач першим алгоритмом Гоморі.

Література: [1, 3, 6, 8, 11, 13, 15, 20].

 

Тема 10. Динамічні задачі

Загальна уява про  метод динамічного  програмування.  Принцип оптимальності Беллмана. Рекурентні співвідношення методу динамічного програмування. Застосування методу динамічного програмування для розв'язування цілочисельних задач лінійного типу. Приклад.

Література: [7, 8, 13, 15, 18].

 

Тема 11. Нелінійні та стохастичні задачі

Прикладні економічні задачі, що приводять до нелінійних оптимізаційних моделей. Метод множників Лагранжа для розв’язування нелінійних задач. Приклад. Моделі стохастичного програмування. Прикладні економічні задачі, що приводять до стохастичних оптимізаційних моделей.

Література: [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 15].

 

 

 

Змістовий модуль 4:

 „ Інші розділи дослідження операцій”

Тема 12. Моделі та методи сіткового планування

     Поняття сіткової моделі.. Застосування сіткових моделей для оптимізації прийняття рішень. Постановка та алгоритм розв’язування задачі знаходження найкоротшого шляху. Постановка та алгоритм розв’язування задачі знаходження максимального потоку. Приклади.

Література: [9, 11, 16, 17].

Тема 13. Календарне планування на основі сіткових моделей

                 Побудова сіткових моделей виконання проектів. Розрахунок тривалості виконання проектів. Поняття критичного шляху. Розрахунок резерву часу виконання операцій проекту.

     Прийняття ефективних управлінських рішень при виконанні проектів. Мінімізація тривалості виконання проектівОптимізація використання ресурсів при виконанні проектів. Розрахунок вартості проекту. Приклад.

Література: [9, 10, 16, 17, 19, 21].

 

Тема 14. Моделі управління запасами

Узагальнена модель управління запасами. Задача визначення економічного розміру замовлення. Інші моделі управління запасами. Приклад.

Література:[7, 11].

 

 Тема 15. Теорія ігор та прийняття рішень

Прийняття рішень в умовах визначеності. Прийняття рішень в умовах ризику. Прийняття рішень в умовах невизначеності. Знаходження оптимального розв’язку гри двох осіб з нульовою сумою. Розв’язування матричних ігор у змішаних стратегіях. Приклад.

Література: [4, 5, 7].

3. РОБОЧА ПРОГРАМА ДИСЦИПЛІНИ

3.1. ПЛАНИ ЛЕКЦІЙ

Лекція 1. Дослідження операцій  як науковий напрямок (2 год.)

1. Мета, предмет, об’єкт та методи дослідження операцій.
2. Розділи дослідження операцій та їх характеристика.
3. Етапи дослідження операцій.
4. Види задач дослідження операцій.

 

Лекція 2. Кількісні методи дослідження операцій (2[3]/4[4] год.)

1. Графічний метод розв’язування оптимізаційних задач.
2. Симплекс-метод. Економічна інтерпретація правил симплекс-методу.
3. Методи штучного базису.

 

Лекція 3. Методи якісного економіко-математематичного аналізу

(2 год.)

1. Пара двоїстих задач (правила побудови, економічна інтерпретація).
2. Розв’язування пари двоїстих задач. Двоїстий симплекс-метод.
3. 3.    Теореми двоїстості та їх економічний зміст.

 

Лекція 4. Аналіз оптимального розв’язку  на чутливість до змін       вхідних даних моделі (2 год.)

1. Коливання запасів ресурсів.
2. Зміна цін на продукцію.
3. Введення додаткових обмежень у задачу.
4. Зміна технології виробництва продукції.
5. Доцільність виробництва нового виду продукції.

 

Лекція 5. Транспортна задача (2 год.)

1. Постановка та математична модель транспортної задачі.
2. Методи знаходження початкового опорного плану.
3. Метод потенціалів.
4. Модифікації транспортної задачі.

 

Лекція 6. Сіткові моделі оптимізації (2 год.)

     1. Сіткова модель та способи її представлення.

     2. Транспортні задачі на сіткових моделях.

     3. Задачі календарного планування.

 

3.2. ПЛАНИ СЕМІНАРСЬКИХ ЗАНЯТЬ

 

Семінарське заняття 1.

 Економіко-математичне моделювання. Методи кількісного аналізу оптимізаційних моделей

Побудувати економіко-математичну модель задачі 1.

Задача 1. Завод виробляє мінеральну воду у пляшках по півлітра, одному, півтора та два літри. Виробництво обмежено запасом мінеральної води  - 10 тис. літрів на одну добу. а також виробничими потужностями заводу, яке дозволяє випускати не більше, ніж 3 тис. пляшок за одну добу.  

Собівартість півлітрової пляшки мінеральної води 2 грн 50 коп., однолітрової 2 грн. 90 коп., півторалітрової 3 грн  60 коп., дволітрової 4 грн 20 коп. Оптові ціни на кожний вид пляшок відповідно дорівнюють 3 грн 20 коп., 3 грн 50 коп., 4 грн 20 коп. та 5 грн. Дослідження ринку свідчить, що попит на дволітрові пляшки не перевищує попит на півлітрові більше ніж на 1 тис. штук.

 Знайти такий план виробництва мінеральної води, при якому завод отримає максимальний прибуток.

Побудувати економіко-математичну модель задачі 2 та розв’язати її графічним способом.

Задача 2. На меблевій фабриці зі стандартних листів фанери потрібно вирізати не менше 24, 28 та 18 заготовок трьох розмірів. Вартість стандартного листа фанери складає 200 грн. Лист фанери можна розрізати двома способами.  Кількість кожного розміру заготовок та площа відходів з одного листа фанери, розрізаного різними способами наведені у таблиці:

Заготовки	Кількість заготовок
	Перший спосіб	Другий спосіб
Перший розмір	2	6
Другий розмір	4	4
Третій розмір	2	3
Площа відходів	12	18

     Скільки листів фанери та за яким способом слід розрізати, щоб отримати потрібну кількість заготовок кожного розміру з найменшими відходами фанери?

Розв’язати задачі 3 та 4 симплекс-методом. Надати економічну інтерпретацію правилам симплекс-методу. Зробити порівняльний аналіз ефективності  початкового, поточних та оптимального опорного планів.

Задача 3. Для виробництва трьох видів продукції А, В та С використовують три види ресурсів, запаси яких відповідно дорівнюють 60, 36 та 80 ум. од. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції кожного виду задані у таблиці:

Види ресурсів	Норми витрат ресурсів на продукцію
	А	В	С
I	2	3	1
II	1	2	2
III	5	4	2

 

Ціна одиниці продукції А 10 грн, В 5 грн та 12 грн для продукції С. Визначити якої продукції і скільки має вироблятися, щоб дохід був найбільшим.

 

Задача 4. Для формування інвестиційного портфеля інвестиційна компанія виділила 5 мільйонів гривень. Розглядаються  наступні варіанти цінних паперів: облігації внутрішньої державної позики (ОВДП), акції виробничих корпорацій, сфери обслуговування та  соціальної сфери. Всі види цінних паперів, крім ОВДП, мають елементи ризику.

Умови формування інвестиційного портфеля:

• дохідність ОВДП дорівнює 8%, акцій виробничих корпорацій  9%, сфери обслуговування  10% та соціальної сфери 12%;
• у ОВДП має бути розміщено не більше 1 мільйона гривень;
• інвестиції з елементами ризику мають скласти не більше 3 мільйонів гривень;
• гроші, які не інвестуються, залишаються на банківському рахунку з дохідністю 4%.

Визначити структуру інвестиційного портфеля, який максимізує прибуток компанії.

Семінарське заняття 2.

Методи якісного аналізу задач лінійногопрограмування.

Інші задачі дослідження операцій

Задача 1. Для задачі 3 семінарського заняття 1 задана оптимальна симплекс-таблиця:

 

     Завдання:

1. Побудувати двоїсту задачу та знайти розв’язки пари двоїстих задач.
2. Визначити дефіцитні види ресурсів та їх граничну корисність
3. Які види продукції є рентабельними? Якою має бути щонайменша ціна нерентабельних видів продукції, щоб їх виробництво стало доцільним?
4. Визначити можливі коливання цін на рентабельні види продукції, при яких знайдений оптимальний план виробництва продукції буде залишатися оптимальним.
5. Дослідити доцільність виробництва нового виду продукції D, для виробництва якого норми витрат трьох видів ресурсів відповідно дорівнюють 2, 1 та 3 одиниці, а ціна його реалізації становитиме 14 грн. Якщо виробництво нового виду продукції буде доцільним, визначити новий оптимальний план виробництва продукції.
6. Маркетингові дослідження ринку засвідчили, що попит на продукцію С не перевищує 8 одиниць. Мінімізуйте можливе зменшення оптимальної величини доходу.
7. Визначити можливі коливання дефіцитних видів ресурсів, за умови збереження їх граничної корисності.
8. Фактичні запаси другого виду ресурсу виявилися на 24 одиниці більше запланованих, а третього на 16 одиниць меншими. Яким буде оптимальний план виробництва та дохід?
9. Дослідити доцільність виробництва нового виду продукції замість продукції В, для  якої норми витрат першого та третього виду ресурсів  дорівнюють по 2 одиниці, а третій вид ресурсу не використовується. Ціна реалізації така як у продукції В.

    

 

Побудувати математичну модель задачі 2  та знайти її оптимальний розв’язок (транспортна задача).

Задача 2. Побутова техніка доставляється з двох складів до трьох магазинів А, В та С. Попит в магазинах відповідно складає 3 тисячі, 5 тисяч та 2 тисячі одиниць побутової техніки. Потужність першого складу 4 тисяч одиниць. Разом перший та другий склади можуть забезпечити лише 80% попиту. Для забезпечення 100% попиту розглядаються два варіанти будівництва нового складу. Транспортні тарифи на доставку одиниці техніки наведені у таблиці:

Склади	Магазини
	А	В	С
I	10	20	15
II	8	9	5
Перший варіант	12	13	9
Другий варіант	11	12	13

 

Визначити оптимальний варіант будівництва нового складу, при якому загальні транспортні витрати на доставку побутової техніки у магазини будуть найменшими.

 

Семінарське заняття 3.

Інші задачі дослідження операцій.

Побудувати сіткові моделі задач 1 та 2, знайти їх оптимальний розв’язок.

Задача 1. Визначити максимальну кількість продукції, яку можна перевезти з пункту S до пункту T через мережу посередників A, B, C та D. Максимальна пропускна спроможність посередників задана у таблиці:

 

Записати оптимальну схему поставки продукції у вигляді сіткової моделі.

 

Задача 2. Знайти найкоротшу відстань від пункту S до пункту T, користуючись  транспортною мережею через пункти A, B, C, D, E та F. Відстань між пунктами задана у кілометрах. Записати оптимальний маршрут.

	S	A	B	C	D	E	F	T
S		15	15	21	25	23	25
A			10		13	16	10
B					26	15
C					3	16	23
D						14		16
E							20	10
F								18
T

 

 

Побудувати сіткові моделі та розв’язати задачу календарного планування 3.

Задача 3. Бізнес-план складається з восьми етапів A, B, C, D, E, F, G та H. Логічний зв'язок між ними, стандартне значення часу та вартості виконання етапів, а також критичні значенні цих показників наведені у таблиці:

Етапи бізнес-плану можуть виконуватися або у стандартний час або у критичний. Фіксовані витрати складають 300 грн у день. Визначити:

а) стандартне значення часу виконання бізнес-плану, його вартість, встановити перелік критичних етапів та скласти відповідний календарний план виконання бізнес-плану;

б) критичне значення часу виконання бізнес-плану, його вартість, встановити перелік критичних етапів та скласти відповідний календарний план виконання бізнес-плану;

в) мінімальний час виконання бізнес-плану при  мінімальній вартості його виконання та  скласти відповідний календарний план виконання бізнес-плану.

Розв’язати задачу управління запасами 4.

Задача 4. Магазин замовляє виробникові гастрономічну продукцію, щоденний попит на яку складає 100 кілограмів. Термін виконання замовлення складає 7 днів. Доставка партії продукції коштує 900 гривень. Вартість зберігання одного кілограму продукції обходиться у 2 гривні за день. Визначити:

а) економічно обґрунтований розмір партії замовлення продукції;

     б) оптимальну періодичність оформлення замовлень;

     в) щоденні витрати на зберігання продукції відповідно до оптимальної стратегії поповнення запасів;

г) оптимальну стратегію управління запасами продукції за умови скорочення часу на виконання замовлення на 2 дні.

 

Розв’язати задачу теорії ігор 5.

Задача 5. Підписання двосторонньої угоди про економічне співробітництво між двома країнами А та В передбачає встановлення взаємовигідного тарифного регулювання. Фахівці кожної з країн представили по п’ять проектів тарифного плану. Для кожного проекту однієї країни інша країна запропонувала відповідний свій варіант тарифного плану (див. табл.):

 

 

Варіанти тарифного плану країни А	Варіанти тарифного плану країни В
	В1	В2	В3	В4	В5
	Рівень тарифу (%)
А1	6	3	8	5	9
А2	6	5	7	6	6
А3	2	1	5	4	7
А4	4	4	3	8	8
А5	3	2	1	4	5

 

     Визначити оптимальний тарифний план, який одночасно відповідає національним інтересам країн А та В.

Порівняти альтернативні варіанти тарифного плану за критеріями:

1)    Вальда;

2)    “оптимістичним”;

3)    Гурвіца, при ступені оптимізму α = 0,6;

4)    Лапласа.

 

 

4. САМОСТІЙНА РОБОТА СТУДЕНТІВ

4.1. Форми самостійної роботи

Самостійна робота студентів при вивченні курсу “Дослідження операцій в економіці” проводиться за такими формами:

1. Опрацювання лекційного матеріалу. Лекція як форма навчання забезпечує передачу теоретичних знань, а також їх застосування для виконання практичних розрахунків.

 2. Самостійне вивчення окремих питань та тем за списком рекомендованої літератури.

3.    Оволодіння основними поняттями та категоріями дисципліни.

4. Програма вивчення дисципліни передбачає моделювання ситуаційних завдань та розв’язування прикладних задач по кожному змістовому модулю дисципліни, що підвищує якість засвоєння теоретичного матеріалу та розвиває практичні навички студентів.

5. Для самоконтролю знань студентам пропонуються по кожному змістовому модулю запитання, а також тести (з відповідями).

6. Самостійна робота також передбачає виконання індивідуальної контрольної роботи.

7. Підготовка до іспиту. Студенти мають опрацювати запропоновані теоретичні питання, підготуватися до виконання тестових та практичних завдань комплексного підсумкового контролю знань (приклади комплексної підсумкової роботи надаються).

 

4.2. ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ[5]

 

Змістовий модуль1:

 „ Економіко-математичне моделювання. Методи кількісного аналізу оптимізаційних моделей”

Побудувати економіко-математичні моделі задач 1.1 - 1.3.

Задача 1.1. На фабриці виробляють зошити та папки. Щоденний обсяг виробництва зошитів не повинний  перевищувати 1000 штук, папок – 500. Норми витрат трудових ресурсів, використання обладнання на 100 одиниць продукції кожного виду, а також ліміт цих виробничих факторів  наведені у таблиці:

Прибуток від реалізації одного зошиту – 1 грн, однієї папки – 2 грн. Визначити якої продукції і скільки виробляти, щоб фабрика отримала найбільший прибуток.

 

Задача 1.2. У змаганнях з естафети приймають участь чотири спортсмени Іваненко, Петренко, Сидоренко та Шевченко. Естафета складається з чотирьох дистанцій:100, 200, 500 та 800 м. Час, за який кожний з спортсменів пробігає кожну дистанцію, наведений у таблиці:

 

Спортсмени	Час на дистанціях (с)
	100 м	200 м	500 м	800 м
Іваненко	10	22	43	93
Петренко	11	20	42	92
Сидоренко	12	23	40	91
Шевченко	9	21	39	92

 

За правилами естафети кожний з спортсменів може бігти тільки одну дистанцію і на кожну дистанцію має бути призначений тільки один спортсмен. Необхідно зробити такі призначення спортсменів на дистанції, щоб команда показала найкращий результат.

 

Задача 1.3. Інвестиційна компанія розглядає можливість інвестицій в акції трьох підприємств з метою отримання прибутку не менше, ніж 500 тис. грн. Дохідність акцій першого підприємства 20%, другого – 22%, а третього – 25%. Вартість десяти акції кожного підприємства відповідно становить: 1тис.  грн, 1 тис. 500 грн та 2 тис. грн. Кількість кожного виду акцій обмежена відповідно: 10 тис. шт., 20 тис. шт. та 8 тис. шт.

Знайти оптимальний інвестиційний портфель за умови найменшої його вартості.

 

Побудувати економіко-математичні моделі задач 2.1 - 2.4 та розв’язати їх графічним способом.

Задача 2.1. На підприємстві виробляється два види продукції. Загальний обсяг виробництва має бути щонайменше 2 тис. одиниць. Попит на перший вид продукції коливається від 1 тис. до 4 тис. одиниць, на другий вид продукції не перевищує 2 тис одиниць. При виробництві одиниці першого виду продукції витрачається 2 одиниці ресурсу, а при виробництві одиниці другого виду продукції ресурс заощаджується у кількості 1 одиниця. Запас ресурсу на підприємстві складає 6 тис. одиниць.

     Дохід з кожної одиниці першого виду продукції складає 3 ум. од., другого 1 ум. од. Визначити такий план виробництва продукції, який забезпечить підприємству найбільший дохід.

     Розглянути як вплинуть на оптимальний план виробництва продукції наступні зміни умов задачі:

1)               дохід від першого виду продукції збільшився на 3 ум. од, а виробництво другого виду продукції стало збитковим для підприємства – 3 ум. од. з кожної одиниці цього виду продукції;

2)                попит на другий вид продукції став не суттєвим.

 

Задача 2.2. На підприємстві виробляють два види продукції. У виробництві використовують два види ресурсів, запаси кожного з яких дорівнюють 1 ум. од. При виробництві одиниці першого виду продукції заощаджується  1 одиниця першого ресурсу та витрачається 1 одиниця другого. При виробництві одиниці другого виду продукції витрачається 1 одиниця першого ресурсу та заощаджується 2 одиниці другого ресурсу. Кожна одиниця першого виду продукції приносить дохід підприємству 3 ум. од., а другого  1 ум. од.

Визначити якої продукції і скільки має вироблятися на підприємстві, щоб максимізувати його дохід.

 

Задача 2.3. У студента є 30 грн, які він має намір витратити на покупку  зошитів. Зошит у 48 аркушів коштує 5 грн, у 96 аркушів у двічі дорожчий. Враховуючи кількість предметів, які студент буде вивчати, йому буде потрібно зошитів  у 96 аркушів принаймні на 3 більше, у 48 аркушів. Яких і скільки зошитів має купити студент за умови максимізації загальної кількості зошитів?

 

Задача 2.4. На підприємстві виробляють два види продукції. У виробництві використовують два види ресурсів, запаси яких відповідно дорівнюють 4 та 2 ум. од. При виробництві одиниці першого виду продукції витрачається 1 одиниця першого ресурсу та 2 одиниці другого. При виробництві одиниці другого виду продукції витрачається 2 одиниця першого ресурсу та заощаджується 1 одиниця другого ресурсу. Кожна одиниця першого виду продукції приносить дохід підприємству 2 ум. од., а другого  збиток 1 ум. од. Визначити якої продукції і скільки має вироблятися на підприємстві, щоб максимізувати його дохід.

 

  Розв’язати задачі 3.1,  3.2 симплекс-методом, надати економічну інтерпретацію правилам симплекс-методу. Зробити порівняльний аналіз ефективності  початкового, поточних та оптимального опорного планів.

Задача 3.1. . На підприємстві є п’ять підрозділів, які виробляють продукцію. На реконструкцію підприємства виділено 500 тис. грн. Приріст продукції з розрахунку на одну тисячу гривень, вкладених у кожний підрозділ, складає відповідно 20, 50, 30, 40 та 60 одиниць.

     Визначити такий план розподілу коштів між підрозділами підприємства, який забезпечить максимальне зростання загального приросту продукції, за умови, що для третього підрозділу необхідно виділити не більше 20% коштів, для другого не більше 50%,  для четвертого щонайменше половину того, що для першого підрозділу, а для п’ятого рівно 20% коштів.

 

Задача 3.2. З метою збільшення реалізації продукції фірма виділила на рекламу 10 тис. грн. Розглядається можливість надання реклами на радіо, на телебаченні та у пресі. Одна хвилина реклами на радіо коштує 200 грн, на телебаченні 500 грн, одне оголошення у пресі 300 грн. Попередній досвід свідчить, що кількість оголошень у пресі не повинна перевищувати 5, кількість хвилин реклами на радіо – не більше реклами на телебаченні ніж у двічі. Маркетингові дослідження свідчать, що кожна хвилина реклами на радіо сприяє збільшенню продукції фірми на 2%, телереклами на 5%, а одне оголошення у пресі на 3%.

     Визначити такий план замовлення реклами, який би сприяв найбільшому зростанню реалізації продукції фірми.

 

Розв’язати задачі 4.1 -  4.3  методами штучного базису. Надати економічну інтерпретацію оптимального розв’язку.

Задача 4.1. Одеський завод дитячого харчування виробляє 5 видів соків: яблучний, сливовий, томатний, виноградний та персиковий. Собівартість виробництва 1 літру соків відповідно дорівнює 5 грн, 4 грн 80 коп., 4 грн, 5 грн 50 коп. та 6 грн. Оптові ціни за 1 літр соку складають відповідно: 6 грн, 5 грн 60 коп., 4 грн 80 коп., 6 грн 90 коп. та 7 грн.

Маркетингові дослідження показують, що попит на виноградний та сливовий сік однакові. Попит на сливовий та томатний разом не перевищують 1 т. Яблучного соку має бути вироблено на 1 т. більше, ніж томатного. А персикового більше ніж сливового на 2 т.

Враховуючи ринкові умови визначити яких соків і скільки має виробляти завод, щоб прибуток був найбільший.

 

Задача 4.2. Два види деталей D1 та D2 виготовляються на трьох верстатах М1, М2 та М3. Час виготовлення деталей кожним верстатом, можливий час роботи верстатів та план виробництва деталей вказані у таблиці:

Верстати	Час виготовлення деталей на верстатах (год.)		Загальний час роботи верстатів (год.)
	D1	D2
М1	1	3	3000
М2	2	4	2500
М3	3	1	2800
План виробництва (од.)	1000	5000

 

Скласти такий план роботи верстатів, щоб виготовити необхідну кількість деталей за найменший час.

Вказівка: позначити  - час роботи верстата i по виготовленню деталі j,

 

Задача 4.3. Фірма “Чумак” підписала контракт з фірмою “Верес” на закупку 10 тон томатів з метою виробництва трьох видів консервів: томати у власному соку, томатний сік та томатна паста. 40% томатів, що закуплено, мають якість класу “А”, яка оцінюється у 9 балів, а решта – якість класу “Б”, що оцінюється у 5 балів. Середня ціна 1 кг томатів складає 3 грн 50 коп. Фактична ціна за 1 кг томатів пропорційна балу якості.

     Для виготовлення томатів у власному соку та томатного соку мають використовуватися цілком томати классу “А”, для томатної пасти тільки класу “Б”. Дані щодо витрат сировини, ціни реалізації готової продукції наведені у таблиці.

При визначенні оптимального плану виробництва консервів необхідно врахувати, що попит на томати у власному соку не перевищує 800 упаковок, а на томатну пасту не менше 600 упаковок. Критерієм оптимальності плану є максимізація чистого прибутку.

 

Види консервів	Норма витрат сировини (кг/одна упаковка)	Ціна реалізації (грн/одна упаковка)
Томати у власному соку	4	40
Томатний сік	2	45
Томатна паста	6	38

 

 

 

Змістовий модуль 2:

 „ Методи якісного аналізу задач лінійного програмування”

Задача 5.1. Побудувати двоїсту задачу до задачі 1.1. Знайти оптимальні розв’язки пари двоїстих задач та зробити їх економічну інтерпретацію.

 

Для задач 5.2 та 5.3 на основі другої теореми двоїстості визначити  які з планів є оптимальними.

 

Задача 5.2	Задача 5.3

Задача 5.4. Побудувати двоїсту задачу до задачі 3.2. Знайти оптимальні розв’язки пари двоїстих задач та зробити їх економічну інтерпретацію.

 

Задача 6.1. Для задачі 4 семінарського заняття 1 задана оптимальна симплекс-таблиця:

Базис	Сбаз	ОП	0,08	0,09	0,01	0,12	0,04	0	0
			А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7
А5	0,04	1	0	0	0	0	1	-1	-1
А1	0,08	1	1	0	0	0	0	1	0
А4	0,12	3	0	1	1	1	0	0	1
∆		0,48	0	3	2	0	0	4	8

 

Виконати наступні завдання:

1. Записати математичні моделі прямої та двоїстої задач.
2. Визначити оптимальні розв’язки прямої та двоїстої задач, пояснити їх з  економічної точки зору.
3. Дослідити на скільки може змінюватися дохідність акцій соціальної сфери, щоб знайдений інвестиційний портфель залишався оптимальним.
4. Знайти оптимальний портфель, якщо керівництво компанії виявило більшу схильність до ризику, а саме: інвестиції  у ОВДП тепер не можуть перевищувати півмільйона гривень, а сума інвестицій з елементами ризику збільшується на півтора мільйона гривень. Чи сприятиме це збільшенню прибутковості інвестиційного портфеля? Якщо “так”, то на скільки відсотків?

5.      Дослідити доцільність інвестицій у будівництво стадіону до EURO-2012 при доходності 14%, якщо цей вид інвестицій відноситься до ризикових.

 

Дослідити вплив змін вхідних даних на оптимальність

розв’язку задачі 7.1.

Задача 7.1. Підприємство виготовляє чотири види продукції А, В і С, використовуючи для цього три види ресурсів. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці:

Ресурси	Норма витрат ресурсів на одиницю продукції			Запаси ресурсів
	А	В	С
1	4	2	1	180
2	3	1	3	210
3	1	2	5	236

            Ціна одиниці продукції  А 10 грн, В 14 грн та продукції С 12 грн. Визначити план виробництва продукції, який забезпечує підприємству найбільший дохід.

     Задана оптимальна симплекс-таблиця:

№	Базис	Сбаз	ОП	10	14	12	0	0	0
				А1	А2	А3	А4	А5	А6
1.	А2	14	83	19/8	1	0	5/8	0	-1/8
2.	А5	0	85	23/8	0	0	1/8	1	-5/8
3.	А3	12	14	-3/4	0	1	-1/4	0	1/4
4.	∆		1330	57/4	0	0	23/4	0	5/4

 

Завдання:

1. Записати математичні моделі прямої та двоїстої задач.
2. Знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, навести їх економічну інтерпретацію.
3. Відповідно до оптимального плану виробництва продукції визначити фактичні витрати ресурсів.
4. Фактичні запаси ресурсів виявилися меншими на 40 од. для першого виду, та відповідно більшими на 80 та 160 од. для другого та третього видів. Як це вплине на оптимальний план та дохід підприємства?
5. Визначити найменшу та найбільшу ціну на продукцію В, при якій знайдений план виробництва залишиться оптимальним. Що означатиме перебільшення можливих інтервалів цін?
6. Підприємство розглядає можливість заміни продукції А на новий вид продукції  D . Дослідити доцільність виробництва продукції D, якщо її ціна 14 грн, норми витрат ресурсів 2, 3 та 1 одиниці відповідно.
7. Попит на продукцію В став обмеженим і не перевищує 50 одиниць. Необхідно мінімізувати недоотримання доходу підприємством в цій ситуації. 
8. Визначити можливі інтервали зміни запасів третього виду ресурсу та доходу підприємства, при яких гранична корисність ресурсів залишатиметься оптимальною.
9. Чи всі види продукції є рентабельними, а ресурси дефіцитними?
10. Яким чином вплине на оптимальний план виробництва продукції  та дохід підприємства зростання ціни на продукцію С на 2 грн? 

 

Змістовий модуль 3:

 „ Інші задачі математичного програмування”

Побудувати математичні моделі задач 8.1 та 8.2, знайти їх оптимальні розв’язки.

Задача 8.1. Три заводи поставляють цеглу на три об’єкти будівництва. Потужність заводів відповідно складає 500 тис. штук, 300 тис. та 400 тис. штук. Попит на першому об’єкті будівництва 600 тис. штук цегли, на другому 250 тис. та на третьому 350 тис. Транспорті витрати на доставку 1 тис. цегли задані у таблиці:

Заводи	Транспортні витрати ( грн./ 1 тис. штук)
	Перший об’єкт	Другий об’єкт	Третій об’єкт
Перший завод	50	30	20
Другий завод	40	60	50
Третій завод	10	20	40

 

Визначити такий план доставки цегли, якому відповідатимуть найменші загальні транспортні витрати.

 

Задача 8.2. В умові задачі 8.1 збільшився попит на першому об’єкті будівництва  на 100 тис. штук цегли. Як зміниться оптимальний план доставки цегли?

 

Побудувати математичні моделі задач 9.1 та 9.2, знайти їх оптимальні розв’язки, користуючись першим алгоритмом Гоморі.

Задача 9.1. Інвестиційна компанія розглядає можливість інвестицій в акції трьох підприємств з метою отримання прибутку не менше, ніж 500 тис. грн. Дохідність акцій першого підприємства 20%, другого – 22%, а третього – 25%. Вартість десяти акції кожного підприємства відповідно становить: 1тис. грн, 1 тис. 500 грн та 2 тис.грн. Кількість кожного виду акцій обмежена відповідно: 10 тис. шт., 20 тис. шт. та 8 тис. шт.

Знайти оптимальний інвестиційний портфель за умови найменшої його вартості.

Задача 9.2. Три види приладів А, В та С необхідно перевезти літаком, вантажопідйомність якого не перевищує 55 т, об’єм вантажу не повинен перевищувати 120 . Вага одиниці кожного виду приладів, їх об’єм та вартість задані у таблиці.

Яких приладів та скільки треба завантажити у літак за умови максимальної їх загальної вартості. Які з параметрів літака є суттєвими та яка їх міра впливу на план завантаження літака?

Види приладів	Вага приладів (т)	Об’єм приладів ()	Вартість (тис. грн)
А	2	4	5
В	3	2	4
С	4	3	6

 

 

Побудувати математичну модель задачі 9.3  та знайти її оптимальний розв’язок, користуючись угорським  алгоритмом.

Задача 9.3. Авіакомпанія здійснює рейси між двома містами А та В. Екіпаж, що формується у місті А та вилітає у місто В, повинен здійснювати зворотній рейс у той самий чи на наступний день. Між часом прибуття екіпажу у місто В та часом його відправлення у місто А інтервал часу повинен бути не менше двох годин. Задача полягає у складанні розкладу польотів екіпажів таким чином, щоб час простою був найменшим.

 

Рейс	Час відправлення з міста А	Час прибуття у місто В	Рейс	Час відправлення з міста В	Час прибуття у місто А
А1	5:30	8:00	В1	6:00	8:30
А2	9:00	11:30	В2	10:30	13:00
А3	16:00	18:30	В3	14:00	16:30
А4	20:30	23:00	В4	18:00	20:30

 

 

Побудувати математичні моделі задач 9.4 та 9.5, знайти їх оптимальні розв’язки, користуючись алгоритмом Літтла.

Задача 9.4. Знайти найменшої довжини замкнений маршрут між чотирма пунктами за умови, що сполучення між будь-якими парами пунктів існує і кожний пункт може бути включений до маршруту лише один раз, крім початкового та кінцевого. Відстань між пунктами задана у таблиці:

Пункти	Відстань між пунктами (км)
	А	В	С	D
А		10	20	15
B	30		25	20
C	18	22		24
D	10	15	20

Примітка: знак “” у таблиці означає заборону на переїзд з певного пункту до нього ж.

 

Задача 9.5. Завод має виготовити 4 види продукції А, В, С. та D, для виробництва  яких використовується один вид обладнання. При переході на виробництво іншого виду продукції витрачається час на переналадку обладнання. Норми витрат часу  задано у таблиці:

Види продукції	Час на переналадку за видами продукції (хв.)
	А	В	С	D
А		12	16	20
В	15		13	14
С	20	18		21
D	18	25	22

 

Визначити таку послідовність виробництва продукції, якій відповідатиме найменший час на переналадку обладнання.

 

Побудувати математичні моделі та розв’язати задачі 10.1 – 10.4  методом динамічного програмування.

Задача 10.1. Фірма-інвестор для фінансування трьох різних проектів виділила 7 мільйонів гривень. Вартість та очікувані прибутки від кожного з проектів наведені у таблиці:

Проекти	Вартість проектів (млн грн)	Очікуваний прибуток (млн грн)
Реконструкція підприємства	2	0,4
Екологічний проект	3	0,8
Будівництво готелю	4	1,4

Необхідно прийняти рішення щодо найбільш ефективного використання грошей та визначити величину найбільшого очікуваного прибутку.

 

Задача 10.2. Фармацевтичній фірмі необхідні 3 види нових  приладів. Максимальні витрати на їх придбання не повинні перевищувати 120 тис. грн. Вартість, необхідна кількість та збитки фірми у разі відсутності однієї одиниці кожного виду приладів наведені у таблиці:

    

Визначити оптимальний варіант використання коштів на придбання приладів за умови мінімізації збитків.

 

Задача 10.3. Інвестор розглядає можливості інвестицій у цінні папери (ЦП) 4 корпорацій. Бюджет інвестора складає 100 тис. грн. Кількість акцій кожного виду, їх вартість та доходність задані в таблиці:

    

Визначити оптимальний інвестиційний портфель ЦП.

 

Задача 10.4. Контрольна робота з дисципліни «Дослідження операцій в економіці» складається задач трьох рівнів складності. Задачі пропонуються на вибір студенту. Задачі першого рівня складності оцінюються максимум у 5 балів, другого – у 15 балів та третього у 20 балів. Кількість задач кожного рівня відповідно дорівнює 4, 3 та 1. Час, який виділяється на написання контрольної роботи, складає 80 хвилин (одна пара). Для розв’язування однієї задачі першого рівня необхідно 10 хвилин, другого 20 та третього 30 хвилин. Яких задач і скільки має розв’язати студент, щоб отримати загалом найбільшу кількість балів.

 

Побудувати математичні моделі та розв’язати задачі 11.1 – 11.4    методом множників Лагранжа.

Задача 11.1. Нехай функція споживача щодо двох видів товарів має вигляд:

,

де   - кількість товару кожного виду, що може придбати споживач. Ринкова ціна одиниці першого товару складає 3 грошові одиниці, другого 5. Бюджет споживача складає 37 грошових одиниць. Яким має бути оптимальний набір товарів, що максимізує функцію корисності споживача?

 

Задача 11.2. У задачі 3.2 ефективність реклами на радіо та на телебаченні залежить від кількості хвилин. На радіо збільшення реалізації продукції визначається залежністю виду , на телебаченні , де відповідно кількість хвилин реклами на радіо та на телебаченні. Визначити оптимальний план замовлення реклами.

 

Задача 11.3. Інвестор розглядає можливості інвестицій у цінні папери (ЦП) чотирьох корпорацій. Бюджет інвестора складає 100 тис. грн. Цінні папери продаються пакетами, починаючи від 100 штук. Вартість деяких видів цінних паперів залежить від кількості куплених. Правила розрахунку цін та доходність задані в таблиці (, кількість цінних паперів відповідного виду, з яких складається портфель):

 

 

 

Вид ЦП	І	ІІ	ІІІ	ІV
Ціна (грн)			50
Процентна ставка річних (%)	40	30	60	40

    

Визначити оптимальний інвестиційний портфель ЦП.

Задача 11.4. Господарство виділило для вирощування томатів та капусти 12 га земельних угідь. Собівартість одного центнеру овочів залежить від площі (), на яких вони будуть вирощуватися. Правила розрахунку собівартості, урожайність та закупівельні ціни на овочі наведені у таблиці:

Показник	Види овочів
	Томати	Капуста
Урожайність, ц/га	50	80
Закупівельна ціна, грн./ц	600	350
Собівартість, грн/ц

        

Визначити такий план розподілу земельних угідь, який забезпечить найбільший дохід господарству від вирощування овочів.

Змістовий модуль 4:

 „ Інші розділи дослідження операцій”

Побудувати сіткові моделі задач 12.1 та 12.2, знайти їх розв’язки.

Задача 12.1. Визначити максимальну кількість продукції, яку можна перевезти з пункту S до пункту T через мережу посередників A, B, C та D. Максимальна пропускна спроможність посередників задана у таблиці. Записати оптимальну схему доставки продукції у вигляді сіткової моделі.

 

 

Задача 12.2. Знайти найкоротшу відстань від пункту S до пункту T, користуючись  транспортною мережею через пункти A, B, C, D, E та F. Відстань між пунктами задана у кілометрах. Записати оптимальний маршрут.

	S	A	B	C	D	E	F	T
S		25		40	50
A			20	30
B						35		60
C					40	25	30
D						20	10	35
E								18
F								28
T

 

 

 

Побудувати сіткові моделі  задач 13.1 та 13.2, знайти їх оптимальні  розв’язки.

Задача 13.1. План реконструкції фабрики складається з восьми етапів A, B, C, D, E, F, G та H. Логічний зв'язок між окремими етапами, стандартне значення часу та вартості їх виконання, а також критичні значенні цих показників наведені у таблиці:

 

 

 

 

Етапи плану реконструкції можуть виконуватися або у стандартний час або у критичний. Фіксовані витрати складають 500 грн у день.

Визначити:

а) стандартне значення часу виконання плану, його вартість, встановити перелік критичних етапів та скласти відповідний календарний план виконання плану;

б) критичне значення часу виконання плану, його вартість, встановити перелік критичних етапів та скласти відповідний календарний план виконання плану;

в) мінімальний час виконання плану при  мінімальній вартості його виконання та  скласти відповідний календарний план виконання плану.

Задача 13.2. Керівництво підприємства прийняло рішення про розробку стратегії його розвитку. Для цього було заплановано перелік необхідних робіт, логічний зв'язок між якими наведений у таблиці. Дані таблиці також містять інформацію щодо тривалості та вартості виконання кожної роботи. Фіксовані витрати становлять 300 грн на тиждень протягом всього часу виконання проекту.

Робота	Попередні роботи	Стандартне значення		Можливе скорочення часу (тжд)	Критичне значення часу (тжд)	Додаткові витрати скорочення часу на один тиждень (грн)
		Часу (тжд)	Вартості (грн)
A	-	2	400	1	1	400
B	A	1	100	0	1	0
C	B	4	200	2	2	125
D	B	6	450	4	2	175
E	D	3	700	2	1	250
F	C, E	3	200	2	1	200
G	F	4	600	3	1	125
Y	D	2	150	0	2	0
I	D	3	250	1	2	200
J	H, I	8	600	4	4	100

     За який мінімальний час та з якими найменшими витратами може бути завершена розробка стратегії розвитку підприємства? Скласти оптимальний календарний план виконання робіт.

 

Розв’язати задачі управління запасами 14.1 - 14.3.

Задача 14.1. Станція технічного обслуговування здійснює швидку заміну автомобільного мастил. Роздрібна ціна закупки мастил складає 30 гривень за літр. Оптова ціна закупки (більше 1000 літрів) дешевше на 5 гривень за літр.

За один день на станції обслуговується біля 160 автомашин, для кожної з яких потрібно у середньому  5 літрів мастил. Щоденні витрати на зберігання мастил на складі складають 50 копійок за літр. Оформлення замовлення та доставка партії мастил коштує 200 гривень. Строк виконання замовлення складає 2 дні. Необхідно визначити оптимальну стратегію поповнення запасів мастил для станції технічного обслуговування.

 

Задача 14.2. Фірма може сама виробляти комплектуючі деталі або робити їх замовлення іншій фірмі. Кожний запуск власного виробництва обходиться фірмі у 20 грн. Потужність виробництва не більше 100 деталей у день. Вартість замовлення іншій фірмі дорівнює 15 грн. Збереження кожної деталі на складі незалежно від способу постачання складає 0,02 грн у день. Необхідна для фірми кількість комплектуючих оцінюється у 260 тисяч одиниць на рік.

     Визначити що вигідніше фірмі самій виробляти комплектуючі чи замовляти за умови бездефіцитного виробництва протягом року.  

 

Задача 14.3. Продукція споживається з інтенсивністю 30 одиниць за день. Вартість зберігання одиниці продукції складає 5 грн за день. Вартість доставки партії продукції дорівнює 1000 грн. Якщо розмір партії продукції не перевищує 500 одиниць, тоді вартість одиниці продукції 100 грн, інакше на 20 грн дешевше. Визначити оптимальну стратегію управління запасами продукції, за умови що строк виконання замовлення на її поставку дорівнює 20 днів.

 

Розв’язати задачі теорії ігор 15.1 та 15.2.

Задача 15.1. Щоденний попит на молоко може складати 200, 300 або 400 літрів. Замовлення певної кількості молока на наступний день робиться з вечора. Якщо кількість проданого молока більше за кількість замовленого, тоді залишок повертається постачальнику за ціною 3 грн за літр. Яку кількість молока варто замовляти, якщо закупівельна ціна 5 грн, а роздрібна  6 грн за один літр.

Вказівка:скласти таблицю цінності альтернативних стратегій наступної структури:

 

 

Можливі обсяги замовлення молока (л)	Прибуток від реалізації (грн)
	Попит 200 л	Попит 300 л	Попит 400 л
200
300
400

 

Порівняйте альтернативні варіанти обсягу замовлення молока за критеріями:

1)    Вальда;

2)    “оптимістичним”;

3)    Гурвіца, при ступені оптимізму α = 0,7;

4)    Лапласа.

Покажіть графічно співвідношення між зваженими песимістично-оптимістичними оцінками кожної з альтернатив при різному рівні ступеня оптимізму α ( 0≤α≤1 ).

 

Задача 15.2. Фірма розробила 5 варіантів бізнес-плану А1, А2, А3, А4 та А5. В залежності від кон’юнктури ринку можливі 4 сценарії його розвитку В1, В2, В3 та В4. Для кожного варіанту бізнес-плану в залежності від стану ринку була розрахована його ефективність, яка вимірюється у відсотках прибутку (див. табл.):

Варіант бізнес-плану	Ситуації на ринку
	В1	В2	В3	В4
	Дохідність бізнес-плану (%)
А1	10	15	20	25
А2	12	14	15	25
А3	13	16	18	26
А4	15	18	22	24
А6	14	20	19	25

 

Визначити оптимальний варіант бізнес-плану.

 

 

 

4.3. ЗАПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

 

Змістовий модуль 1:

 „Економіко-математичне моделювання. Методи кількісного аналізу оптимізаційних моделей”

1. Сформулюйте предмет дослідження операцій.
2. Які існують розділи дослідження операцій? Дайте їх характеристику.
3. Сформулюйте етапи дослідження операцій.
4. Наведіть приклади постановок та відповідних оптимізаційних математичних моделей.
5. Дайте визначення понять: модель, економіко-математична модель, допустимий план, оптимальний план, цільова функція.
6. Наведіть класифікацію економіко-математичних моделей.
7. Сформулюйте постановку та математичну модель загальної задачі лінійного програмування.
8. Які існують еквівалентні форми задач лінійного програмування, їх ознаки та призначення?
9. Що представляє собою з геометричної точки зору множина допустимих розв’язків задачі лінійного програмування?

10.Чи може оптимальний розв’язок задачі лінійного програмування бути внутрішньою точкою допустимої області?

11.Сформулюйте властивості ЗЛП, які випливають з її геометричної інтерпретації.

12.Сформулюйте поняття базисного (опорного) розв’язку ЗЛП.

13.Чи може кількість додатних компонент опорного плану перевищувати кількість базисних компонент?

14.Який опорний план задачі лінійного програмування називається виродженим?

15.Що називається градієнтом функції і чому саме він використовується для розв’язування оптимізаційних задач?

16.Що називається базисом опорного плану?

17.Який основний метод розв’язування задач лінійного програмування?

18.У якій формі має бути записана задача лінійного програмування, щоб її можна було розв’язувати симплекс-методом?

19.Сформулюйте правила симплекс-методу.

20.Дайте економічну інтерпретацію критерію оптимальності опорного плану у симплекс-методі, правилу переходу до нового базису.

21.Сформулюйте ознаку нерозв’язуваності ЗЛП у симплекс-методі та дайте її економічну інтерпретацію.

22.У яких випадках для розв’язування ЗЛП застосовуються методи штучного базису?

23.Які правила введення штучних змінних до ЗЛП?

24.Який існує зв'язок між розв’язком М-задачі та розв’язком початкової задачі?

25.Що спільного та які відмінності у побудові М-задачі та допоміжної задачі у двох етапному методі?

 

 

 

Змістовий модуль 2:

 „Методи якісного аналізу задач лінійного програмування”

1. Що означає якісний аналіз економіко-математичних задач та їх оптимальних розв’язків?
2. Що є теоретичною основою методів якісного аналізу?
3. Сформулюйте правила побудови пари двоїстих задач.
4. Запишіть двоїсту задачу до загальної задачі лінійного програмування.
5. У чому різниця між двоїстими задачами до КЗЛП та до стандартної ЗЛП?
6. Яка економічна інтерпретація змінним двоїстої задачі?
7. Сформулюйте економічний зміст цільової функції та обмежень двоїстої задачі.
8. Сформулюйте теореми двоїстості та дайте її економічну інтерпретацію.
9. Чи вірно, що для знаходження розв’язків пари двоїстих задач достатньо знати розв’язок однієї з цих задач?

10.За яким правилом знаходяться розв’язки  пари двоїстих задач?

11.На які види можна розділити ресурси (фактори) в залежності від їх впливу на формування оптимального плану?

12.Чи можна, знаючи розв’язок пари двоїстих задач, визначити ступень впливу кожного виду ресурсів (факторів) на формування оптимального плану?

13.Згідно до теорії двоїстості які ресурси (фактори) називаються дефіцитними (суттєвими), а які недефіцитними (несуттєвими)?

14.Які значення оцінок дефіцитних  та недефіцитних ресурсів?

15.Чи існує зв’язок між оцінкою ресурсу та його граничною корисністю?

16.Обґрунтуйте тезу: якщо число обмежень двоїстої задачі менше, ніж прямої, тоді краще віддати перевагу розв’язуванню двоїстої задачі, оскільки це зменшить кількість обчислень.

17.До розв’язування яких задач застосовується двоїстий симплекс-метод?

18.Що називається псевдопланом або майже допустимим планом ЗЛП?

19.Сформулюйте правила двоїстого симплекс-методу.

20.Чи можна знаючи оптимальні розв’язки  пари двоїстих задач досліджувати вплив змін вхідних даних моделі на її оптимальний розв’язок ?

21.Зміни якиx вхідних даних математичної моделі впливають на оптимальність її розв’язку, а яких – на його допустимість?

22.Чи може включення до моделі нового виду виробничої діяльності або додаткового обмеження поліпшити значення цільової функції?

23.Оцінки запасів чотирьох ресурсів дорівнюють відповідно  5, 2, 0 та 3. Які з цих видів ресурсів є дефіцитними, а які недефіцитними? Який вид ресурсу має найбільшу граничну корисність?

24.Згідно до теорії двоїстості на які дві категорії поділяються види продукції?

25.З якої теореми двоїстості випливає твердження, що при оптимальному плані вироблятися  мають тільки рентабельні види продукції?

 

Змістовий модуль 3:

 „Інші задачі математичного програмування”

1. Сформулюйте економічну постановку та математичну модель транспортної задачі.
2. Яка умова є необхідною та достатньою для розв’язуваності транспортної задачі?
3. Як звести незбалансовану транспортну задачу до збалансованої?
4. Які існують методи знаходження початкового опорного плану транспортної задачі?
5. Наведіть економічну інтерпретацію правил методу мінімальної вартості та методу Фогеля.
6. Якою повинна бути кількість базисних змінних транспортної задачі?
7. Який ви знаєте метод перевірки опорного плану транспортної задачі на оптимальність?
8. Які етапи методу потенціалів?
9. Наведіть приклади модифікацій загальної транспортної задачі.

10.Яка постановка та математична модель задачі про призначення?

11.Яким методом розв’язується задача про призначення?

12.Який критерій оптимальності в угорському методі?

13.Яка умова є необхідною та достатньою для розв’язуваності задачі про призначення?

14.Сформулюйте постановку та математичну модель задачі динамічного програмування.

15.Дайте характеристику задач, для розв’язування яких може бути застосований метод динамічного програмування.

16.Сформулюйте принцип оптимальності Беллмана, який покладений в основу методу динамічного програмування.

17.Виведіть основне рекурентне співвідношення методу динамічного програмування.

18.Яка задача називається задачею дискретного програмування?

19.Назвіть різновиди задач дискретного програмування.

20.Наведіть приклади постановок економічних задач, які описуються дискретними моделями.

21.Які значення набувають змінні в задачах про прийняття рішень?

22.Якими методами розв’язуються дискретних задач?

23.Дайте означення правильного відтинанням у методах розв’язування дискретних задач.

24.Сформулюйте задачу комівояжера. Яким методом розв’язується задача комівояжера?

25.Обгрунтуйте необхідність застосування нелінійних економіко-математичних моделей. Наведіть приклади нелінійного характеру залежностей між економічними факторами. Якими методами розв’язуються нелінійні оптимізаційні задачі?

 

 

 

 

Змістовий модуль 4:

 „Інші розділи дослідження операцій”

1. Дайте означення графа.
2. Який граф називається симетричним (неорієнтованим)?
3. Який граф називається несиметричним (орієнтованим)?
4. Дайте означення сіткової моделі.
5. Назвіть сфери застосування сіткових графів.
6. З яких етапів складається процес побудови сіткових графів?
7. Які види сіткових графів Вам відомі?
8. У чому різниця між вершинними та стрілочними сітковими моделями?
9. Наведіть приклади постановок транспортних задач, які  розв’язуються на сіткових моделях.

10.У чому полягає задача максимізації транспортного потоку?

11.Який умовам має задовольняти стаціонарний план перевезення продукції?

12.Сформулюйте задачу календарного планування та назвіть методи її розв’язування.

13.Дайте визначення понять: резерв часу, критична операція, критичний маршрут.

14.Назвіть сфери застосування задач управління запасами.

15.Сформулюйте класичну задачу визначення економічно обґрунтованого розміру замовлення продукції.

16.Записати формулу обчислення величини замовлення продукції з урахуванням інтенсивності її споживання, вартості оформлення замовлення та витрат на збереження одиниці продукції в одиницю часу.

17. Записати формулу обчислення витрат на збереження продукції в одиницю часу відповідно до оптимальної стратегії управління запасами.

18.Які існують різновиди моделей управління запасами?

19.Які існують підходи прийняття рішень в економічній діяльності в умовах невизначеності та конфлікту?

20.Які існують критерії оптимальності стратегій управління в умовах невизначеності та конфлікту?

21.Назвіть сфери застосування задач теорії ігор.

22.Дайте означення матричної гри з нульовою сумою. Чому така гра називається антагоністичною?

23.Наведіть приклади ситуацій ринкової економіки, які б описувалися матричною грою двох гравців з нульовою сумою.

24.Чи може нижня ціна гри перевищувати верхню ціну гри?

25.Поясніть чому за відсутності сідлової точки доцільно звертатися до змішаних стратегій гравців.

 

4.4. ТЕСТИ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

 

Змістовий модуль 1:

 „Економіко-математичне моделювання. Методи кількісного аналізу оптимізаційних моделей”

1. Яка економічна інтерпретація додаткових змінних у загальній задачі математичного програмування?

     а) нові види продукції;   б) дефіцит ресурсів;

в) залишок ресурсів; г) збільшення запасів ресурсів.

2. Яка економічна інтерпретація  критерію оптимальності у симплекс-методі?

а) всі ресурси використані;

       б) збільшення прибутку не можливе;  

в) всі види продукції рентабельні.

3. Як змінюється значення цільової функції при розв’язуванні ЗЛП симплекс – методом?

а) поліпшується;          б) не поліпшується;         

в) принаймні не погіршується;

г) принаймні не поліпшується;                            

 д) не змінюється.

4. За даними симплекс – таблиці  визначити на скільки збільшиться значення цільової  функції, якщо ввести до базису змінну :

 

 

Базис		ОП
	3	12	0	3	0	-5	1	4	-3	1
	4	6	0	2	1	1	2	-1	2	0
	1	1	1	-1	0	0	3	1	5	0
		61	0	-5	0	3	4	-1	-10	0

                 а) на 10;    б) на 5;     в) на 2;    г) збільшено не буде;    д) на 1.

5.  Який з векторів є опорним планом наступної ЗЛП:

 

     а)  = (0, 0, 17, 21, 15);        б)  = (0, 0, -17, 21, 15);  в)  = (0, 0, -17, 15, 21);  

            г)  = (0, 0, 17, 15, 21);        д) жодний не є опорним планом.     

6. Яким числом є провідний елемент на деякій ітерації симплекс – методу?

а) додатним;          б) від’ємним;   в) нульовим. 

7. Чи можна стверджувати, що змінна ЗЛП, якій відповідає найбільше значення коефіцієнта цільової функції, в оптимальному плані завжди додатна, за умови максимізації цільової функції?

а) так;          б) ні;          в) не завжди.

8. Що означає з економічного погляду від’ємне значення нормативу витрат ресурсу на виробництво певного виду продукції в моделі загальної ЗЛП?

а) цей вид продукції вироблятися не може; 

б) при виробництві даного виду продукції цей ресурс не використовується і його запас не змінюється;

в) при виробництві даного виду продукції цей ресурс заощаджується;

г) при виробництві даного виду продукції цей ресурс витрачається.

9. Напідприємстві виробляють три види продукції А, В та С і використовують три види ресурсів. На основі наступної оптимальної симплекс-таблиці визначити яким буде оптимальний план виробництва продукції та які залишки ресурсів

Базис		ОП	3	2	5	4	0	0	0
	5	50	0	-1	1	0	½	0	-1/2
	0	100	1	-6	0	0	-1	1	-1
	4	200	1	4	0	1	0	0	1
		1050	1	9	0	0	5/2	0	3/2

а) продукції А 1 од, продукції В 9 од, продукція С не виробляється, залишок першого ресурсу 5/2, другого немає, третього 3/2;

б) продукції А 5/2 од, продукція В не виробляється, продукції С 3/2 од., залишок першого ресурсу 1 од., другого 9 од. та третього немає;

в) продукції А 50 од, продукції В 100 од, продукції С 200 од., залишків ресурсів немає;

г) продукції А та В не виробляти, продукції С 50 од., залишок першого ресурсу 200 од, другого немає, залишок третього 100 од.

10. Скільки розв’язків  у двовимірному просторі має ЗЛП з двома обмеженнями у вигляді рівнянь за умови, що прямі, які відповідають обмеженням, паралельні?

а) немає розв’язків;         

б) один розв’язок;        

в) два розв’язки;             

 г) нескінченну множину розв’язків.

 

Змістовий модуль 2:

 „Методи якісного аналізу задач лінійного програмування”

1. Скільки обмежень буде мати двоїста задача, якщо в прямій задачі mобмежень,  n змінних та (n-m) змінних можуть набувати лише невід’ємних значень?

             а) m+n;          б) n- m;        в)n;        г)m;          д)nm;          е)(n-m)/2.

2. Від чого залежить вид співвідношення між лівою та правою частинами обмежень двоїстої задачі?

а) від напрямку цільової функції двоїстої задачі; 

б) від виду співвідношення між лівою та правою частинами обмежень прямої задачі;

в) від коефіцієнтів правої частини обмежень задачі;

г) від обмежень на знаки змінних прямої задачі;

д) від обмежень на знаки змінних двоїстої задачі;

е) від кількості обмежень двоїстої задачі.

3. У таблиці наведені двоїсті оцінки п’яти видів ресурсів:

Вид ресурсу	А	В	С	D	E
Двоїсті оцінки	5	2	9	7	0

Проранжуйте види ресурсів за ступенем зростання  граничної корисності.

4. На підприємстві для виробництва трьох видів продукції А, В та С використовують три види ресурсів. На основі оптимальної симплекс-таблиці

Базис		ОП
	2	100	-1/4	1	0	1/2	-1/4	0
	5	230	3/2	0	1	0	½	0
	0	50	2	0	0	-2	1	1
		1350	3	0	0	1	2	0

визначити яким буде  оптимальний розв’язок ЗЛП, якщо збільшити запас першого ресурсу на 10 од. та одночасно зменшити другого на 20 од.? Яким буде максимальний прибуток?

5. Згідно з теорією двоїстості що означає поняття “ дефіцитний ресурс”?

а) ресурс, запас якого є недостатнім;              б) ресурс, запасу якого не має;

                 в) ресурс, який витрачається повністю;    г) такого поняття не існує.

 

6. Який критерій оптимальності у двоїстому симплекс-методі?

а)оцінки всіх векторів невід’ємні;           

б) оцінки всіх векторів не додатні;

в)псевдоплан має від’ємні координати;  

г) псевдоплан став опорним планом.

7. На підприємстві виробляють 3 види продукції А, В та С, використовуючи 3 види ресурсів. Ціна одиниці продукції виду А 4 грн, В 2 грн та виду С 5 грн. На основі наступної оптимальної симплекс-таблиці визначити яким буде новий план виробництва та максимальний дохід при зниження цін на продукцію А на 1 грн та на 2 грн на продукцію С?

Базис		ОП
	2	100	-1/4	1	0	1/2	-1/4	0
	5	230	3/2	0	1	0	½	0
	0	50	2	0	0	-2	1	1
		1350	3	0	0	1	2	0

 

а) продукції виду А 50 од., виду С 300 од., виду В не виробляти. Максимальний дохід складає 1050 грн;

б) продукції виду В 150 од., виду С 220 од., виду А не виробляти. Максимальний дохід складає 960грн;

в) продукції виду В 100 од., виду С 230 од., виду А не виробляти. Максимальний дохід складає 890 грн;

г) Продукції виду А 180 од., виду С 150 од., виду В не виробляти. Максимальний дохід складає 990 грн;

д) продукції виду А 190 од., виду В 250 од., виду С не виробляти. Максимальний дохід складає 1070 грн.

8. Оцінки одиниці запасів ресурсів  A, B, C, D та F дорівнюють відповідно: 10, 5, 0, 15 та 8. Яка послідовність  ресурсів відповідає зменшенню ступеня їх корисності?

а) A,  B,  C,  D,  F;             

б) D, A,  B,  F, C;           

в) C,  B,  F,  A, D;

г) D, A,  F,  B, C;              

 д) B, F, C, A, D.

9. Напідприємстві виробляють чотири види продукції і використовують три види ресурсів. На основі наступної оптимальної симплекс-таблиці визначити яким буде оптимальний план виробництва продукції та які залишки ресурсів, якщо першого ресурсу збільшити на 50 од., а третього зменшити на 50 од.?

Базис		ОП	3	2	5	4	0	0	0
	5	50	0	-1	1	0	½	0	-1/2
	0	100	1	-6	0	0	-1	1	-1
	4	200	1	4	0	1	0	0	1
		1050	1	9	0	0	5/2	0	3/2

 

а) (0, 0, 50, 200, 0, 100, 0);  

б) (0, 0, 150, 100, 0, 100, 0);   

в) (0, 0, 100, 150, 100, 0, 0); 

г) (0, 0, 100, 150, 0, 100, 0). 

10. На скільки збільшиться дохід підприємства, якщо запас дефіцитного ресурсу збільшиться на 100 од. при граничній корисності цього ресурсу 5 од.?

а)на 50 грн;   

б) на 500 грн;     

в) на 20 грн;   

г) на 200 грн; 

д) на 100 грн.

 

Змістовий модуль 3:

„Інші задачі математичного програмування”

1. Що означає умова збалансованості транспортної задачі?

а)  кількість постачальників дорівнює кількості споживачів;

б) можливість поставки продукції від будь-яких постачальників до будь-яких споживачів;

в) загальна пропозиція продукції дорівнює загальному попиту на неї;

г) вартість плану доставки продукції не залежить від вибору пар «постачальник-споживач»;

д) вартість плану доставки продукції не залежить від обсягів поставки продукції.

2. В задачі динамічного програмування число етапів розв’язування задачі дорівнює:

а) кількості обмежень задачі;    

б) кількості змінних задачі;

в) сумі кількості обмежень та кількості змінних задачі;

г) інша відповідь.

3. Яка з ситуацій можлива при ДОПУСТИМОМУ плані доставки продукції за умови збалансованості транспортної задачі?

а) попит споживачів задовольнили повністю, а у постачальників залишилася продукція;

б) вся продукція постачальників розподілена між споживачами, а попит задовольнили не повністю;

в) до споживачів доставлено продукції більше за попит;

г) поставляється  продукції менше, ніж існує пропозиція;

д) кожному споживачеві доставляється продукції стільки, скільки потрібно і у постачальників продукції не залишається.

4. Які з задач є задачами дискретного програмування?

     а) задача про інвестиції у цінні папери;

     б) транспортна задача;

     в) задача про розподіл площі для вирощування зернових культур;

     г)  задача про призначення робітників на посади;

     д) задача складання оптимального маршруту.

5. Який з методів знаходження  початкового плану доставки продукції транспортної задачі є найбільш ефективним?

а) метод мінімальної вартості;            

б) метод північно-західного кута;

в) метод Фотеля;                              

г) метод подвійної переваги.

6. Що означає рекурентна формула  в методі динамічного програмування при k = n ?

     а) максимізацію корисності від використання k- ого виду товару;

     б) максимізацію корисності від використання частини товарів;

     в) максимізацію корисності від використання  n видів товарів;

     г) максимізацію корисності від використання  n -ого виду товару.

7. Яка необхідна та достатня умова розв’язуваності транспортної задачі?

а)однакова кількість постачальників і споживачів; 

б) можливість перевезення продукції між будь-якими постачальниками та споживачами;

в)пропозиція перевищує попит;

г)пропозиція дорівнює попиту.

8. Яким методом  розв’язується  задача про призначення?

а) симплекс-методом;                                      

б) методом потенціалів;

в) двоїстим симплекс-методом;          

г) угорським методом.

9. Відомо, що собівартість виробництва продукції залежить від обсягу виробництва. Математична модель якого типу має описувати таку задачу?

     а) дискретна;    

             б) лінійна;     

             в) динамічна;     

             г) нелінійна;      

             д) стохастична.

10. Скільки змінних матиме функція Лагранжа, якщо кількість змінних задачі дорівнює n, а кількість обмежень m?

а) nm;         

б) 2nm;        

в) n-m;    

 г)  n+m;         

д) n/m;          

        е) m/n.

 

Змістовий модуль 4:

 „Інші розділи дослідження операцій”

1. У задачі максимізації транспортного потоку знаходження стаціонарного потоку передбачає наступні ситуації:

а) попит споживача задовольняється повністю обов’язково;

б) продукція, яка пропонується постачальником, повністю реалізується;

в) кількість продукції, яка вивозиться від постачальника, дорівнює кількості продукції, яка доставляється споживачеві;

г) у проміжних пунктах може залишатися невивезеною певна кількість продукції;

д) у проміжних пунктах не може залишатися невивезеною певна кількість продукції.

2. У таблиці наведена відстань між парами пунктів, які треба з’єднати кабельною мережею найменшої довжини  з пунктом S:

	S	A	B	C	D	E	F	G	H
S		10			12				15
A			5		8
B				3	6	2		9
C						5	9
D						14			5
E							6		3
F								10
G									12
H

     Яка найменша довжина кабелю?  

3. У таблиці наведені дані щодо переліку операцій, з яких складається проект, логічного зв’язку між ними та тривалості кожної операції:

Операція	Попередні операції	Тривалість операції (днів)
А	-	5
В	-	10
С	B	7
D	A, C	8
E	A	20
F	D	5
G	E, F	12

     Визначити найшвидший термін виконання проекту в цілому.

4. Час виконання проекту визначається як

     а)сума часу виконання окремих операцій;

     б)сума часу виконання всіх операцій;

     в)сума часу виконання критичних операцій;

     г)сума часу виконання некритичних операцій.

5. Продукція споживається з інтенсивністю 250 одиниць за день. Вартість збереження 10 одиниць продукції складає 2 грн за день. Вартість доставки партії продукції дорівнює 361 грн. Визначити економічно обґрунтований розмір партії замовлення продукції.

     а) 900 од.;                  б) 850 од.;              в) 950 од.;

     г) 1000 од.;                 д) 920 од.

6. Визначити критичні операції  проекту

Операції	Попередні операції	Тривалість операції (днів)
А	-	10
В	А	20
С	-	5
D	C	25
E	В	7
F	Е,D	8
G	F	10

а) А, В, Е, F, G;         б) B, D, E, F,          в) B, C, D, F, G;  

г) A, B, C, E, G;       д) B, C, E, F, G.

7. Продукція споживається з інтенсивністю 250 одиниць за день. Вартість зберігання 10 одиниць продукції складає 2 грн за день. Доставка замовленої продукції здійснюється протягом 19 днів. Вартість доставки партії продукції дорівнює 361 грн. Визначити економічно обґрунтований залишок продукції, при досягненні якого необхідно оформлювати наступне замовлення на її поставку.

     а) 600 од.;                  б) 450 од.;              в) 250 од.;

     г) 500 од.;                     д) 400 од.

8. Продукція споживається з інтенсивністю 250 одиниць за день. Вартість зберігання 10 одиниць продукції складає 2 грн за день. Вартість доставки партії продукції дорівнює 361 грн. Визначити щоденні витрати на зберігання економічно обґрунтованого запасу продукції.

     а) 125 грн;                  б) 190 грн;              в) 280 грн;

     г) 180 грн;                  д) 185 грн.

9. У таблиці  задана матриця гри двох гравців А та В:

Стратегії гравця А	Виграш (програш) гравця А (В)
	В1	В2	В3	В4
А1	1	2	3	4
А2	5	3	7	3
А3	4	2	3	1

    

Визначити оптимальну ціну гри.

     а) 4;           б) 5;           в) 7;              г) 1;            д) 3.

10. Який з критеріїв вибору альтернативних рішень в умовах невизначеності у найбільшій мірі враховує всі можливі сценарії розвитку подій?

     а) критерій Гурвіца;                            б) критерій Лапласа;

      в)  максимаксний  критерій;              г) критерій Вальда.

 

 

 

5. САМОСТІЙНА КОНТРОЛЬНА РОБОТА

5.1.                                  Основні вимоги до виконання контрольної роботи

Метою виконання самостійної контрольної роботи є формування у студентів практичних навичок застосування теоретичних знань з курсу  “Дослідження операцій в економіці” для вирішення економічних проблем та прийняття оптимальних рішень, напрацювання навичок економіко-математичного моделювання для знаходження та обґрунтування найбільш ефективних рішень, а також застосування методів кількісного  та якісного аналізу прикладних оптимізаційних економіко-математичних моделей.

Контрольну роботу необхідно виконати та подати у встановлений строк у рукописному вигляді на листах формату А-4. Титульний лист виконується у комп’ютерному наборі (Додаток А).

Нарахована кількість балів за виконання контрольної роботи (модуль №1) додається до підсумкової оцінки на іспиті.

 

5.2. Зміст та структура контрольної роботи.

Самостійна контрольна робота к курсу “Дослідження операцій в економіці” складається з двох розрахункових практичних завдань, для яких методами дослідження операцій має бути знайдені оптимальні рішення та проведений якісний економіко-математичних аналіз.

Рекомендується така структура контрольної роботи:

1)                            титульний лист;

2)                            зміст;

3)                            перше практичне завдання:

• постановка завдання;
• економіко-математична модель;
• теоретичні основи алгоритму розв’язування задачі;
• розв’язок задачі з поясненням етапів застосованого алгоритму;
• економічна інтерпретація оптимального розв’язку;
• виконання завдань якісного аналізу оптимального розв’язку та їх економічна інтерпретація;
• висновки щодо виконання практичного завдання;

4)                            друге практичне завдання:

• постановка завдання;
• економіко-математична модель задачі;
• теоретичні основи алгоритму розв’язування задачі;
• розв’язок задачі з поясненням етапів застосованого алгоритму;
• економічна інтерпретація оптимального розв’язку;
• дослідження чутливості оптимального розв’язку задачі до змін вхідних даних задачі;
•  висновки щодо виконання практичного завдання;

5)                            література.

 

5.3. Критерії оцінювання контрольної роботи

Оцінювання самостійної контрольної роботи з курсу “Дослідження операцій в економіці” проводить викладач, який викладав курс та формулював завдання контрольної роботи. Оцінка за роботу виставляється за 100-бальною шкалою (максимальна кількість балів – 30).

У процесі визначення кількості балів враховується наступні аспекти:

• відповідність структури контрольної роботи до встановлених вимог;
• правильність побудови економіко-математичних моделей, отриманих розв’язків задач;
• наявність, правильність та повнота економічної інтерпретації етапів виконання завдань;
•  пояснення економічної суті результатів математичних розрахунків;
• наявність та правильність загальних висновків по кожному практичному завданню.

Основні умови нарахування балів: максимальна кількість балів за виконання першого практичного завдання  15 балів, другого – 10 балів, оформлення роботи, вміння вільно та правильно пояснити будь-які етапи виконаних завдань оцінюється у 5 балів. Сумарна кількість балів:

 27-30 (відмінно): робота відповідає всім вимогам, студент вільно і правильно може пояснити будь-які етапи виконаної контрольної роботи; економічна інтерпретація та висновки по кожному завданню роботи правильні та повні;

23-26 (добре): всі завдання контрольної роботи виконані, але мають місце окремі недоліки непринципового характеру; студент може пояснити будь-які етапи виконаної контрольної роботи;

18-22 (задовільно): можливі помилки при виконанні окремих завдань контрольної роботи або виконано менше половини поставлених завдань; студент орієнтується не в усіх етапах роботи;

0-17 (незадовільно): завдання контрольної роботи виконані менше ніж на половину або більшість завдань виконані невірно; студент не орієнтується в методах дослідження операцій для розв’язування поставлених завдань.

 

 

 

 

5.4. ЗАВДАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

 

Варіант 1

Задача 1. Підприємство виготовляє три види продукції А, В і С, використовуючи для цього три види ресурсів. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці:

Ресурси	Норма витрат ресурсів на одиницю продукції			Запасиресурсів
	А	В	С
1	4	2	1	180
2	3	1	3	210
3	1	2	5	244

         Ціна одиниці продукції  А 10 грн, В 14 грн та 12 грн за одиницю продукції  С. Визначити план виробництва продукції, який забезпечує підприємству найбільший дохід.

Завдання:

1. Записати математичні моделі прямої та двоїстої задач.

2. Знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, навести їх економічну інтерпретацію.

3.  На скільки може змінюватися ціна на продукт В, щоб знайдений план залишався оптимальним?

4. Яким буде оптимальний план виробництва, якщо фактичний запас першого ресурсу виявився на 10 одиниць більшим, а другого  та третього меншим відповідно на 20 та 24 одиниць? Як зміниться дохід підприємства?     

5.Які види продукції є рентабельними, а які ні? На скільки має бути підвищена ціна на нерентабельні види продукти, щоб підприємству стало вигідно їх виробляти?

6.Дослідити доцільність виробництва нового виду продукції, якщо норми витрат ресурсів дорівнюють відповідно 4, 4 та 2 одиниці, а ціна 28 грн. У разі позитивного висновку, як слід змінити план виробництва продукції та якого очікувати доходу?

       7.Підприємство розглядає можливість збільшення запасів першого та третього видів ресурсів відповідно на 80 та 60 одиниць. Вартість додаткових ресурсів складає 600 грн. Яким має бути оптимальне рішення щодо цієї ситуації? У разі позитивної відповіді, яким буде оптимальний план виробництва продукції та дохід?

8.Збільшення пропозиції продукції С на ринку вплинуло на зниження її ціни на 25%. Яким буде оптимальний план виробництва продукції та дохід?

9. Побудувати додаткове обмеження задачі, яке враховує умову виробництва продукції А в обсязі не менше 25% від загального обсягу виробництва всіх видів продукції.

10.Виявилося, що попит на продукцію В не перевищує 50 одиниць. Як треба змінити план виробництва продукції, щоб мінімізувати зменшення доходу підприємства?

 

Задача 2. Підприємство роздрібної торгівлі має чотири магазини, які розташовані у різних районах міста. Для задоволення попиту магазини мають бути забезпечені необхідною кількістю продукції: 30, 60, 50 та 100 одиниць.

 Доставка продукції в магазини здійснюється з двох  торговельних складів А та В. Запас продукції на складах не перевищує 80 одиниць на кожному.

Щоб задовольнити попит у магазинах, планується побудувати  третій склад. Розглядаються два варіанти  його розташування. У таблиці наведені дані про транспортні витрати на одиницю продукції з існуючих складів А та В і два варіанти розміщення нового складу.

Торговельний склад	Транспортні витрати (грн/од. )
	І	ІІ	ІІІ	IV
А В Варіант І Варіант ІІ	70 80 75 100	85 90 80 90	55 95 95 60	120 110 90 85

 

 

 

Завдання:

1. Побудувати математичну модель задачі (один варіант).
2. Знайти найдешевший варіант доставки продукції для кожного варіанту будівництва нового складу.
3. Який варіант розташування нового складу є оптимальним?

 

 

Варіант 2

Задача 1. Підприємство виготовляє чотири види продукції А, В, С і D, використовуючи для цього три види ресурсів. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці:

Ресурси	Норма витрат ресурсів на одиницю продукції				Запасиресурсів
	А	В	С	D
1	2	1	1	1	280
2	1	-	1	1	80
3	1	5	1	-	250

            Ціна одиниці продукції  А 4 грн, В 3 грн, С 6 грн та 7 грн за одиницю продукції D . Визначити план виробництва продукції, який забезпечує підприємству найбільший дохід.

Завдання:

1.Записати математичні моделі прямої та двоїстої задач.

1. Знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, навести їх економічну інтерпретацію.
2. Відповідно до оптимального плану виробництва продукції визначити фактичні витрати ресурсів .
3. Ціна на продукт  С вище, ніж на продукт В, але виробництво його є нерентабельним. Тому вирішено змінити технологію його виробництва, при якій використання другого виду ресурсів буде не потрібним. Як це вплине на оптимальний план та дохід підприємства?
4. Визначити можливі інтервали коливання цін на продукцію В і D, при яких знайдений план виробництва залишиться оптимальним. Що означатиме перебільшення можливих інтервалів цін?
5. Підприємство розглядає можливість заміни продукції А на новий вид продукції  Е . Дослідити доцільність виробництва продукції Е, якщо його ціна 9 грн, норми витрат ресурсів 1, 1 та 2 одиниці відповідно.
6. Виявилося, що попит на продукцію D не перевищує 50 одиниць. Необхідно мінімізувати недоотримання доходу підприємства в цій ситуації. 
7. Визначити можливий інтервал змін запасів третього виду ресурсу та відповідно доходу підприємства, при якому визначена система оцінок запасів ресурсів залишатиметься оптимальною.
8. Якщо на підприємстві з’явиться можливість збільшення запасів ресурсів, то яким  має бути пріоритет видів ресурсів?
9. Яким чином вплине на оптимальний план виробництва продукції  та дохід підприємства зростання ціни на продукцію С на 2 грн? 

 

Задача 2. Транспортна компанія займається перевезенням зерна з трьох терміналів до чотирьох елеваторів зерновозами, вантажопідйомністю 10 т. Враховуючи дані таблиці, визначити план перевезень зерна, для якого загальні транспортні витрати будуть найменшими, а елеватори  будуть завантажені повністю.

Термінали	Вартість перевезень одним зерновозом, грн				Потужність терміналів, т
	Елеватор1	Елеватор 2	Елеватор 3	Елеватор 4
Перший	1000	1200	1400	1300	1500
Другий	800	1200	1100	900	2500
Третій	950	1000	800	900	1000
Об’єм елеваторів, т	500	1500	1500	1500

Завдання:

1. 1.    Побудувати математичну модель задачі.
2. 2.    Розв’язати задачу.
3. 3.    20% зерна з другого терміналу буде відправлено на експорт. Яким буде оптимальний план доставки  решти зерна на елеватори? На скільки відсотків буде завантажений кожний елеватор?

 

Варіант 3

Задача 1. Підприємство виготовляє чотири види продукції А, В, С і D, використовуючи для цього три види ресурсів. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці:

Ресурси	Норма витрат ресурсів на одиницю продукції				Запасиресурсів
	А	В	С	D
Перший	6	1	2	4	300
Другий	5	2	2	4	200
Третій	2	3	1	1	90

             

Ціна одиниці продукції  А та D по 4 грн, В 2 грн та 3 грн за одиницю продукції С.  Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.

Завдання:

1. Записати математичні моделі прямої та двоїстої задач.
2. Знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, навести їх економічну інтерпретацію.
3. Дослідити доцільність виробництва нового виду продукції, ціна якого 6 грн, а норми витрати ресурсів дорівнюють відповідно 3, 2 та 3/2 одиниць.
4. Визначити оптимальний план виробництва продукції, якщо запас ресурсу першого виду зменшиться на 50 одиниць, другого та третього зросте відповідно на 20 та 10 одиниць.
5. Відповідно до оптимального плану виробництва продукції визначити фактичні витрати ресурсів.
6. Визначити можливі інтервали коливання цін на продукцію С і D, при яких знайдений план виробництва залишиться оптимальним. Що означатиме перебільшення можливих інтервалів цін?
7. Виявилося, що попит на продукцію С не перевищує 50 одиниць. Необхідно мінімізувати недоотримання доходу підприємства в цій ситуації. 
8. Визначити можливий інтервал змін запасів третього виду ресурсу та відповідно доходу підприємства, при якому визначена система оцінок запасів ресурсів залишатиметься оптимальною.
9. Яким чином вплине на оптимальний план виробництва продукції  та дохід підприємства зростання ціни на продукцію А на 3 грн? 
10. Побудувати додаткове обмеження задачі, яке враховує умову виробництва продукції В у обсязі не менше 10% від загального обсягу виробництва всіх видів продукції.

 

Задача 2. Греція, Італія та Іспанія поставляють оливи  до п’яти країн Євросоюзу: Німеччини, Франції, Великої Британії, Австрії та Швейцарії. Квоти на поставку для кожної країни постачальника відповідно дорівнюють 100 т, 150 т та 200 т. Для задоволення попиту на оливи до Німеччини треба поставити 120 т, до Франції  150 т, до Великої Британії 80 т  та до Австрії та Швейцарії по 50 т.

Продукція доставляється міжнародною автотранспортною компанією. Вантажопідйомність однієї транспортної одиниці не перевищує 2 т. Транспортні витрати за один транспортний засіб в залежності від країн постачальників та країн споживачів наведені у таблиці:

 

 

 

 

 

Країнипостачальники	Транспортні витрати,  євро/авто
	Німеччина	Франція	Великая Британія	Австрія	Швейцарія
Греція	500	700	800	600	500
Італія	600	600	900	400	500
Іспанія	600	400	700	500	600

 

Визначити кількість транспортних одиниць, які будуть здійснювати перевезення олив у певних напрямах, за умови мінімізації загальних транспортних витрат міжнародної автотранспортної компанії

Завдання:

1. Побудувати математичну модель задачі.
2. Розв’язати задачу.
3. Внаслідок економічної кризи Єврокомісія переглянула квоти країн – постачальників олив: квоти Греції та Іспанії збільшили відповідно на  20% та 10%, а Італії   зменшили на 20%. Яким буде оптимальний план доставки олив?

 

Варіант 4

Задача 1. Підприємство виготовляє чотири види продукції А, В, С і D, використовуючи для цього три види ресурсів. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці:

Ресурси	Норма витрат ресурсів на одиницю продукції				Запасиресурсів
	А	В	С	D
Перший	3	2	1	2	200
Другий	3	1	3	4	500
Третій	1	1	1	3	400

             

Ціна одиниці продукції  А   27 грн, В 10 грн,  С 15 грн та 28 грн за одиницю продукції D.  Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.

Завдання:

1. Записати математичні моделі прямої та двоїстої задач.
2. Знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, пояснити їх економічну інтерпретацію.
3. З’ясувалося, що попит на продукт С не перевищує 50 одиниць. Як треба змінити план виробництва продукції, щоб мінімізувати зменшення доходу підприємства?
4. Які види продукції є рентабельними, а які ні? На скільки має бути підвищена ціна на нерентабельні види продукти, щоб підприємству стало вигідно їх виробляти?
5. Визначити оптимальний план виробництва продукції, якщо запаси першого та другого видів ресурсів збільшити відповідно  на 20  та 10 одиниць, а третього зменшити на 50 одиниць. Як зміниться дохід?
6. Визначити можливий інтервал змін запасів першого виду ресурсу та відповідно доходу підприємства, при якому визначена система оцінок запасів ресурсів залишатиметься оптимальною.
7. Визначити можливі інтервали коливання цін на продукцію С і D, при яких знайдений план виробництва залишиться оптимальним. Що означатиме перебільшення можливих інтервалів цін?
8. Яким чином вплине на оптимальний план виробництва продукції  та дохід підприємства зростання ціни на продукцію А на 14 грн? 
9. Дослідити доцільність заміни продукції А на виробництво нового виду продукції Е, якщо норми витрат ресурсів на її виробництво дорівнюють відповідно 1, 1 та 2 одиниці, а ціна 20 грн. У разі позитивного висновку, як слід змінити план виробництва продукції та якого очікувати доходу?
10. Побудувати обмеження: продукція А, В, С та D має вироблятися у комплекті. Співвідношення між обсягами виробництва дорівнює пропорції 2:3:1:4.

 

Задача 2. Виробництво автомашин зосереджено у трьох містах А, В та С. Центри продажу знаходяться у чотирьох інших містах D, K, L, M. Обсяги виробництва у кожному місті відповідно дорівнюють 100, 150 та 180  авто. Попит  у кожному місті відповідно складає 80, 120, 200 та 30 одиниць. Автомашини від виробників до центрів продажу доставляються залізницею. Вартість однієї платформи, яка може перевезти 10 авто, залежить від відстані  і дорівнює 80 грн/км. Відстань (км) між виробниками та центрами продажу наведена у таблиці:

 

     Визначити найдешевший план доставки автомашин від виробників до центрів продажу.

Завдання:

1. Побудувати математичну модель задачі.
2. Розв’язати задачу.
3. Внаслідок економічної кризи попит на автомашини зменшився в середньому на 40% в усіх пунктах продажу. Яким буде оптимальний план доставки?

 

Варіант 5

Задача 1. Фабрика виробляє 2 види фарб: для зовнішніх і внутрішніх робіт. У виробництві використовується 2 види ресурсів, запаси яких відповідно дорівнюють 6 та 8 т. Для виробництва 1 т фарби для зовнішніх робіт необхідно 1 т ресурсу першого виду та 2 т ресурсу другого виду. Для виробництва 1 т фарби для внутрішніх робіт необхідно 2 т ресурсу першого виду та 1 т ресурсу  другого виду. Маркетингові дослідження свідчать, що попит на фарбу для внутрішніх робіт не перевищує попит на фарбу для зовнішніх робіт більше, ніж на 1 т, а попит на фарбу для внутрішніх робіт не більше 2 т. Оптова ціна за 1 т фарби для зовнішніх робіт дорівнює 3 тис. грн, для внутрішніх робіт – 2 тис. грн. Визначити оптимальний план виробництва фарб.

 

Завдання:

     1. Записати математичні моделі прямої та двоїстої задач.

2. Знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, пояснити їх   економічну інтерпретацію.

3. Для оптимального плану визначити обсяги використаних ресурсів кожного виду.

1. Якщо ціна на фарбу для зовнішніх робіт зросте на 50%  чи залишиться оптимальним знайдений раніше план? Якщо ні, то який новий оптимальний план?
2. Визначити який максимальний дохід матиме фабрика при збільшенні запасів ресурсів кожного виду на 1 т.
3. В яких межах може коливатися ціна на фарбу для внутрішніх робіт, щоб виробництво її залишалося рентабельним?
4. В яких межах може коливатися дохід фабрики в залежності від зміни запасу першого виду ресурсу?
5. Дослідити доцільність виробництва нового виду фарби для зовнішніх робіт при витратах ресурсів на її виробництво по 0,75 т кожного виду та ціні 1.5 тис. грн за 1 т.  Співвідношення між обсягами виробництва фарб для зовнішніх та внутрішніх робіт залишається попереднім.
6.  Побудувати обмеження, яке враховує умову виробництва фарби для внутрішніх робіт  в обсязі не більше 50% від загального  обсягу.

10.Застосування нової технології дозволяє зменшити витрати першого виду ресурсу на виробництво фарби для внутрішніх робіт на 1 т. Як це вплине на оптимальний план виробництва фарб? 

 

Задача 2. Три взуттєві фабрики реалізують свою продукцію через мережі магазинів “Монарх”, “Інтертоп” та “Італійске взуття”. Потужність фабрик забезпечує виготовлення відповідно двох, однієї та трьох тисяч пар взуття на місяць. Загальний попит на взуття в магазинах вказаних мереж на 20% менший за загальну пропозицію фабрик. Маркетингові дослідження свідчать,  що попит у магазинах мережі “Монарх” не менший, ніж дві тисячі пар, у мережі “Інтертоп”  півтори тисячі пар.

Розглядається доцільність заключення угод на реалізацію взуття ще з мережею магазинів   “Чобіток” або “Кіт у чоботях”.         

У таблиці наведені дані щодо транспортних витрат на доставку 100 пар взуття:

Фабрики	Вартість доставки (грн за 100 пар)
	“Монарх”	“Інтертоп”	“Італійске взуття”	“Чобіток”	“Кіт у чоботях”
Першафабрика	100	150	90	40	30
Другафабрика	120	80	110	40	50
Третяфабрика	70	50	60	50	50

        

Яким має бути план доставки взуття, щоб загальні транспортні витрати були найменшими? Визначити оптимальний варіант вибору нової мережі магазинів.

Завдання:

1. Побудувати математичну модель задачі (один варіант).
2. Розв’язати задачу.
3. У магазини якої нової мережі буде вигідніше доставляти взуття?

 

 

Варіант 6

Задача 1. На підприємстві для виробництва трьох видів продукції А, В та С використовують три види верстатів. Ліміт роботи кожного верстата обмежений відповідно 430 год., 460 год. та 450 год.  Тривалість обробки одиниці продукції  на кожному з верстатів задані у таблиці:

Верстати	Тривалість обробки, год./од.
	А	В	С
Перший	1	2	1
Другий	3	-	2
Третій	1	4	-

 

Ціна на одиницю продукції виду  А 4 грн, виду В 2 грн та виду С 5 грн. Визначити якої продукції і скільки має виробляти підприємство, щоб отримати максимальний дохід.

 

Завдання:

1. Записати математичні моделі прямої та двоїстої задач.
2. Знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, пояснити їх економічну інтерпретацію.
3. Для оптимального плану визначити фактичний час роботи кожного верстата.
4. Збільшення пропозиції на ринку призвело до зниження цін на продукцію А та С відповідно до 3 та 2 грн. Яким буде новий план виробництва та максимальний дохід?
5. При додаткових витратах 500 грн можна збільшити ліміт роботи першого та другого верстатів на 200 год. кожного, третього - на 150 год. Чи вигідно це? Відповідь пояснити.
6. В яких межах може коливатися ціна на продукцію В, щоб виробництво її залишалося рентабельним?
7. Побудувати обмеження, яке враховує умову виробництва продукції С в обсязі не більше 50% від  обсягу А та В разом.
8. В яких межах може коливатися дохід в залежності від зміни ліміту роботи другого верстату?
9. Побудувати математичну модель дослідження доцільності виробництва нової продукції D вартістю 5 грн, якщо для її виробництва потрібні верстати 2 та 3, час обробки на яких становить відповідно 2 та 3 год.  

10.В яких межах може коливатись ліміт роботи першого верстата, щоб дефіцитність додаткової години кожного з верстатів залишалася попередньою?

 

Задача 2. Оголошено тендер на будівництво трьох ділянок доріг, довжиною відповідно 10, 20 та 30 км. Тендерна комісія отримала заявки від чотирьох підрядчиків, кожний з яких може побудувати не більше 15 км доріг.

Ціни на будівництво одного кілометра залежать від рельєфу місцевості та розташування ділянки дороги. Вартість будівництва одного кілометра доріг кожним підрядчиком наведена у таблиці:

Підрядчики	Вартість будівництва (тис. грн/км)
	Перша ділянка	Друга ділянка	Третя ділянка
Перший	500	250	360
Другий	350	300	420
Третій	400	300	400
Четвертий	450	280	380

 

Як має бути розподілена робота між підрядчиками по будівництву всіх трьох ділянок доріг, щоб загальні витрати на будівництво були найменшими.

Завдання:

1. Побудувати математичну модель задачі.
2. Розв’язати задачу.
3. Яким буде рішення тендерної комісії, якщо можливості кожного підрядчика будуть збільшені у двічі?

 

Варіант 7

Задача 1. На підприємстві для виробництва чотирьох видів продукції А, В, С та D використовують три види ресурсів. Запас кожного ресурсу обмежений відповідно 300, 600 та 200 од.  Норми витрат кожного з ресурсів на одиницю продукції  задані у таблиці:

Ресурси	Норми витрат ресурсів на одиницю продукції
	А	В	С	D
Перший	1	2	2	1
Другий	3	-	2	2
Третій	1	4	-	1

 

Ціна на одиницю продукції А 3 грн, В 2 грн, С 5 грн та D 4 грн. Визначити якої продукції і скільки має виробляти підприємство, щоб отримати максимальний дохід.

Завдання:

1. 1.  Записати математичні моделі прямої та двоїстої задач.
2. 2.  Знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, пояснити їх економічну інтерпретацію.
3. 3.  Для оптимального плану визначити фактичні витрати кожного ресурсу.
4. 4.  В оптимальному плані не передбачається виробництво продукції В. Умови на ринку не дають змоги збільшити ціну на цю продукцію. Тому вирішено підвищити її рентабельність за рахунок зменшення витрат ресурсів на її виробництво. Визначити чи стане вигідним випуск продукції В,  якщо витрати ресурсів 1, 2, 3 на одиницю цієї продукції становлять відповідно 1, 2 та 1 од.
5. 5.  Підприємство має можливість придбати додатково 50 од. третього виду ресурсу по ціні 6 грн за одиницю. Чи вигідно це? Відповідь пояснити.
6. 6.  Передбачається зменшення ціни на продукцію С на 1 грн та підвищення ціни на продукцію В на 3 грн. Чи слід у зв’язку з цим переглянути план виробництва продукції?
7. 7.   В яких межах може коливатися ціна на продукцію С, щоб виробництво її залишалося рентабельним?
8. 8.  В яких межах може коливатись запас першого ресурсу, щоб дефіцитність одиниці кожного з ресурсів залишалася попередньою?
9. 9.  Побудувати математичну модель дослідження доцільності виробництва нової продукції К вартістю 5 грн, якщо для її виробництва потрібні ресурси другого та третього виду, норми витрат яких становлять відповідно 2 та 3 од.  
10. 10.                       Попит на продукцію D не перевищує 150 од. Як необхідно скоректувати оптимальний план виробництва продукції відповідно до цієї вимоги?

 

Задача 2. Три нафтопереробних заводи поставляють паливо до чотирьох областей України. Виробничі потужності першого та третього заводів дорівнюють 250 тис. т  палива окремо кожного, а другого – 400 тис. т. Попит на паливо в областях відповідно складає 100, 200, 300 та 400 тис. т. Відстані між заводами та сховищами палива в областях задані у таблиці:

Нафтопереробні заводи	Відстань між заводами та сховищами палива (км)
	Перша область	Друга область	Третя область	Четверта область
Перший завод	200	300	400	600
Другий завод	800	1000	500	300
Третій завод	1000	1200	700	200

 

Паливо доставляється автоцистернами об’ємом  по 10 т. Тариф доставки дорівнює 90 грн за один кілометр.

Визначити з яких заводів і в якій кількості доставляти паливо, щоб загальні транспортні витрати були найменшими.

Завдання:

1.  Побудувати математичну модель задачі.

1. Розв’язати задачу.
2. Дослідити доцільність постачання палива з нового заводу, потужність якого 300 тис. т, а відстань до  паливосховищ відповідно дорівнює 400, 300, 500 та 400 км.

 

 

Варіант 8

Задача 1. На підприємстві для виробництва трьох видів продукції А, В та С  використовують три види ресурсів. Запас кожного ресурсу обмежений відповідно 120, 200 та 120 од.  Норми витрат кожного з ресурсів на одиницю продукції  задані у таблиці:

Ресурси	Норма витрат ресурсів на одиницю продукції
	А	В	С
Перший	2	1	2
Другий	3	1	2
Третій	2	2	1

 

Ціна на одиницю продукції А 2 грн, В 3 грн та С 4 грн. Визначити якої продукції і скільки має виробляти підприємство, щоб отримати максимальний дохід.

Завдання:

1. 1.    Записати математичні моделі прямої та двоїстої задач.
2. 2.    Знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, пояснити їх економічну інтерпретацію.
3. 3.    Для оптимального плану визначити фактичні витрати кожного ресурсу.
4. 4.    Побудувати математичну модель дослідження доцільності виробництва нової продукції D вартістю 5 грн, якщо для її виробництва потрібні ресурси 2 та 3, нормативи витрат яких становлять відповідно 3 та 1 од.  
5. 5.    В яких межах може коливатися ціна на продукцію С, щоб виробництво її залишалося рентабельним?
6. 6.    При додаткових витратах 50 грн можна збільшити запас 1 та 3 ресурсів на 60 од. кожного. Чи вигідно це? Відповідь пояснити.
7. 7.    Збільшення пропозиції на ринку призвело до зниження ціни на продукцію С до 3 грн. Яким буде новий план виробництва та максимальний дохід?
8. 8.    В яких межах може коливатись запас першого ресурсу, щоб дефіцитність додаткової одиниці кожного з ресурсів залишалася попередньою?
9. 9.    В оптимальному плані не передбачається виробництво продукції А. Умови на ринку не дають змоги збільшити ціну на цю продукцію. Тому вирішено підвищити її рентабельність за рахунок зменшення витрат ресурсів на її виробництво. Визначити чи стане вигідним випуск продукції А,  якщо витрати ресурсів 1, 2, 3 на одиницю цієї продукції становлять відповідно 1, 2 та 1 од.

10.Попит на продукцію С не перевищує 20 од. Як необхідно скоректувати оптимальний план виробництва продукції відповідно до цієї умови?

 

Задача 2. Фірма шиє лижні костюми. Попит на цю продукцію є тільки з грудня по березень місяць кожного року, який дорівнює  відповідно 100, 200, 180 та 300 костюмів. Протягом цих чотирьох місяців фірма може шити 50, 180, 280 та 270 лижних костюмів відповідно. Так як пошив та попит не співпадають у різні місяці, попит у поточному місяці можна задовольнити так:

• пошиттям  костюмів у поточному місяці;
• надлишком пошитих у попередньому місяці костюмів;
• надлишком пошитих у наступному місяці костюмів у рахунок невиконаних замовлень.

У першому випадку вартість костюма складає 200 $. У другому виникають додаткові витрати на збереження протягом одного місяця у розмірі 5 $ за один костюм. У третьому випадку нараховуються штрафи у розмірі 20 $ на один костюм за кожний відкладений місяць. Розробити оптимальний план пошиття лижних костюмів на вказані чотири місяця.

Завдання:

1.  Побудувати математичну модель задачі.

1. Розв’язати задачу.
2. Дослідити доцільність збільшення потужності фірми у грудні місяці на 50 костюмів.

 

Варіант 9

Задача 1. На підприємстві для виробництва чотирьох видів продукції А, В, С та D використовують три види ресурсів. Запас кожного ресурсу обмежений відповідно 300, 70 та 340 од.  Норми витрат кожного з ресурсів на одиницю продукції  задані у таблиці:

Ресурси	Норми витрат ресурсів на одиницю продукції
	А	В	С	D
Перший	2	1	1	3
Другий	1	-	2	1
Третій	1	2	1	-

 

Ціна на одиницю продукції А 8 грн, В 3 грн, С 2 грн та D 1 грн. Визначити якої продукції і скільки має виробляти підприємство, щоб отримати максимальний дохід.

 

Завдання:

1. Записати математичні моделі прямої та двоїстої задач.
2. Знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, пояснити їх економічну інтерпретацію.
3. Відповідно до оптимального плану виробництва продукції визначити фактичні витрати ресурсів .
4. Збільшення попиту на продукцію В дало підстави підвищення її ціни на 5 грн. Як це плине на оптимальний план виробництва продукції та який буде максимальний дохід підприємства?
5.  Підприємство має можливість придбати додатково 16 од. другого виду ресурсу по ціні 5 грн за одиницю. Чи вигідно це? Якщо вигідно, то яким буде оптимальний план виробництва продукції та дохід підприємства? Визначити найвищу ціну за додаткову кількість другого виду ресурсу, за якою збільшення його запасу на 16 од. буде вигідним.
6. Попит на продукцію А не перевищує 60 од. Яким буде оптимальний план виробництва продукції, щоб мінімізувати недоотримання доходу від перевищення виробництва цього виду продукції?
7. Продукція С є нерентабельною, але підвищення ціни на цю продукцію не передбачається. Тому знайдено можливість зменшити витрати ресурсів на її виробництво. Визначити чи стане вигідним випуск продукції С,  якщо при її виробництві не використовувати  другий вид ресурсу, а норми витрат першого та третього ресурсів залишаються попередніми. Якщо вигідно, то яким буде новий оптимальний план виробництва продукції та на скільки збільшиться дохід?
8. Збільшення пропозиції на ринку призвело до зниження цін на продукцію А та В відповідно до 3 та 2 грн. Яким буде оптимальний план виробництва та максимальний дохід?
9. Фактичні запаси першого виду ресурсу виявилися на 10 одиниць меншими від запланованих, а другого та третього більшими відповідно на 30 та 20 одиниць кожного. Яким буде оптимальний план виробництва продукції та дохід?
10. Які види продукції є рентабельними, а які ні? На скільки має бути підвищена ціна на нерентабельні види продукти, щоб підприємству стало вигідно їх виробляти?

 

Задача 2. Транспортне підприємство здійснює доставку коров’ячего молока від мешканців п’яти сіл на два переробні молокозаводи. Загальна кількість молока, зібраного у кожному селі відповідно складає  по 1600, 1400, 1800, 1700 та 1000 літрів щодня. Потужність переробних заводів по 3750 літрів на добу. Доставка молока здійснюється молоковозами, об’ємом по 1500 літрів.

Визначити скільки молоковозів з кожного села і на який завод має доставляти молоко, щоб загальні транспортні витрати були найменшими за умови, що транспортний тариф дорівнює 30 грн/км, а відстань між селами та переробними заводами задана у таблиці:

 

Села	Відстань (км)
	Перший завод	Другий завод
Забір’є	50	45
Жорнівка	40	55
Княжичі	35	50
Новосілки	45	40
Здвінкове	30	25

 

Завдання:

1. Побудувати математичну модель задачі.
2. Розв’язати задачу.
3. У зв’язку з реконструкцією першого заводу тимчасово його потужність зменшилася на 40%. Розрахувати новий план доставки молока, якому відповідатимуть найменші загальні транспортні витрати.

 

Варіант 10

Задача 1. На підприємстві для виробництва чотирьох видів продукції А, В, С та D використовують три види ресурсів. Запас кожного ресурсу обмежений відповідно 180, 250 та 800 од.  Норми витрат кожного з ресурсів на одиницю продукції  задані у таблиці:

Ресурси	Норми витрат ресурсів на одиницю продукції
	А	В	С	D
Перший	1	-	2	1
Другий	-	1	3	2
Третій	4	2	-	4

 

Ціна на одиницю продукції А 9 грн, В 6 грн, С 4 грн та D 7 грн. Визначити якої продукції і скільки має виробляти підприємство, щоб отримати максимальний дохід.

Завдання:

1. Записати математичні моделі прямої та двоїстої задач.
2. Знайти оптимальні плани прямої та двоїстої задач, пояснити їх економічну інтерпретацію.
3. Відповідно до оптимального плану виробництва продукції визначити фактичні витрати ресурсів .
4. Визначити можливі інтервали коливання цін на продукцію А і В, при яких знайдений план виробництва залишиться оптимальним. Що означатиме перебільшення можливих інтервалів цін?
5. Побудувати обмеження, яке враховує умову виробництва продукції С та D разом в обсязі не менше 30% від  обсягу виробництва продукції В.
6. Фактичні запаси першого та третього видів ресурсів виявилися відповідно на 50 та 100 одиниць меншими від запланованих, а другого на 50 одиниць більшими. Яким буде оптимальний план виробництва продукції та дохід?
7. Попит на продукцію А не перевищує 190 од. Яким буде оптимальний план виробництва продукції, щоб мінімізувати недоотримання доходу від перевищення виробництва цього виду продукції?
8. Продукція  D є нерентабельною, але підвищення ціни на цю продукцію не передбачається. Тому вирішено змінити технологію її виробництва. Визначити чи стане вигідним випуск продукції D,  якщо при її виробництві зменшити норму витрат третього виду ресурсів на 3 одиниці. Витрати першого та другого видів ресурсів залишаються попередніми. Якщо вигідно, то яким буде новий оптимальний план виробництва продукції та на скільки збільшиться дохід?
9. Визначити можливий інтервал змін запасів третього виду ресурсу та відповідно доходу підприємства, при якому визначена система оцінок запасів ресурсів залишатиметься оптимальною.
10. Побудувати обмеження: продукція А та D має вироблятися у комплекті. Співвідношення між обсягами виробництва дорівнює пропорції 2:5.

 

Задача 2. Три заводи доставляють продукцію трьом замовникам. Потужність заводів відповідно складає 5 тис. одиниць продукції, 2 тис., 4 тис. та 3 тис. одиниць на місяць. Загалом три заводи можуть забезпечити 90% попиту. Попит першого замовника 5 тис. одиниць продукції, другого 2,5 тис., третього - решта.

З метою задоволення попиту повністю розглядається можливість доставки продукції ще з одного з двох заводів, в залежності від загальних транспортних витрат.

У таблиці наведені дані щодо витрат за доставку продукції до замовників:

        Яким має бути план доставки продукції, щоб загальні транспортні витрати були найменшими?

Завдання:

1. Побудувати математичну модель задачі (один варіант).
2. Розв’язати задачу.
3. Який один з двох додаткових заводів має бути включений до оптимального плану доставки продукції?

6. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ ДО ІСПИТУ

1. Дослідження операцій як науковий напрямок. Етапи дослідження операцій. Загальна задача дослідження операцій (ДО). Розділи ДО.
2. Загальна задача лінійного програмування: змістовна постановка, математична модель.
3. Прикладні економіко-математичні задачі ДО.
4. Геометрична інтерпретація задач лінійного програмування. Властивості задач лінійного програмування.
5. Графічний метод розв’язання задач лінійного програмування.
6. Еквівалентні форми задач лінійного програмування: стандартна, симетрична та канонічна. Засоби перетворення форм.
7. Загальна ідея розв’язання задач лінійного програмування. Основні правила симплекс-методу.
8. Опорний план. Зв’язок між опорними планами та вершинами допустимої множини.
9. Критерій оптимальності опорного плану у симплекс-методі.
10. Ознака нерозв’язуваності задачі лінійного програмування у симплекс-методі.
11. Правила поліпшення опорного плану.
12. Алгоритм симплекс-методу.
13. Симплекс-таблиця. Правила роботи з нею.
14. Методи визначення початкового опорного плану задачі лінійного програмування.
15. М-метод розв’язання задач лінійного програмування: ситуації застосування, М-задача, зв’язок з початковою задачею.
16. Пара двоїстих задач лінійного програмування. Правила побудови. Економічна інтерпретація пари двоїстих задач.
17. Пара двоїстих задач. Зв’язок між розв’язками пари двоїстих задач. Знаходження оптимальних розв’язків.
18. Перша теорема двоїстості, її економічна інтерпретація.
19. Друга теорема двоїстості, її економічна інтерпретація.
20. Третя теорема двоїстості, її економічна інтерпретація.
21. Двоїстий симплекс-метод: ситуації застосування, поняття псевдоплану. Основні правила двоїстого симплекс-методу.
22. Економіко-математичний аналіз прикладних задач математичного програмування на основі теорії двоїстості.
23. Транспортна задача: змістовна постановка, математична модель. Особливості  економіко-математичної моделі.
24. Необхідна і достатня умова розв’язуваності транспортної задачі.
25. Методи визначення початкового опорного плану транспортної задачі.
26. Метод потенціалів – метод розв’язання транспортної задачі.
27. Модифікації транспортної задачі.
28. Задача про призначення: змістовна постановка, математична модель, метод розв’язання.
29. Дискретне програмування. Різновиди задач дискретного програмування.  Прикладні задачі дискретного програмування.
30. Загальна ідея методів відтинання для розв’язання лінійних задач цілочисельного програмування. Правильне відтинання. Перший алгоритм Гоморі.
31. Динамічне програмування: ситуації застосування, характеристика задач динамічного програмування, принцип оптимальності, основне рекурентне співвідношення.
32. Метод динамічного програмування. Робота з таблицями. Визначення оптимального плану.
33. Сіткові економіко-математичні моделі. Способи представлення .
34. Алгоритм побудови плоских графів.
35. Транспортні задачі на сіткових моделях.
36. Алгоритм мінімізації сітки.
37. Задача про найкоротший шлях та алгоритм її розв’язування.
38. Задача максимізації пропускної спроможності транспортної мережі та алгоритм її розв’язування.
39. Календарне планування виконання проектів на основі сіткових моделей.
40. Мінімізація часу виконання проектів при найменших витратах.
41. Календарне планування виконання проектів при невизначеності часу виконання операцій.
42. Узагальнена модель управління запасами.
43. Задача визначення економічного розміру замовлення.
44. Моделі управління запасами.
45. Прийняття рішень в умовах ризику.
46. Прийняття рішень в умовах невизначеності.
47. Знаходження оптимального розв’язку гри двох осіб з нульовою сумою.
48. Розв’язування матричних ігор у змішаних стратегіях.
49. Приклади ситуацій ринкової економіки, які б описувалися матричною грою двох гравців з нульовою Сімою.
50. Основна теорема теорії матричних ігор.

 

 

 

7. ПРИКЛАДИ ЗАВДАНЬ

КОМПЛЕКСНИХ ПІДСУМКОВИХ РОБІТ (ІСПИТ)

Приклад 1.

1. 1.    Методи визначення початкового опорного плану задач лінійного програмування.                                                                          (10 балів)
2. 2.    Тестові завдання.                                                                       (10 балів)

3. Фірма виробляє три види вікон: дубові, соснові та пластикові. Собівартість виробництва стандартного розміру вікон кожного виду становить відповідно 3400 грн, 2000 грн та 2400 грн. Ціна дубового вікна 4000 грн, соснового 2500 грн та пластикового 3200 грн. Виробнича потужність фірми не перевищує 900 одиниць всіх видів вікон. Маркетингові дослідження свідчать, що попит на дубові вікна не перевищує попит на соснові більше, ніж на 50 одиниць. Попит на пластикові вікна принаймні у двічі більший, ніж на дубові. Який найбільший прибуток може отримати фірма від виробництва вікон за умови врахування всіх ринкових умов?

Дослідити ситуації, коли:

         а) собівартість виробництва соснових вікон зменшилась на 250 грн;

         б) потужність фірми збільшилась на 100 вікон;

         в) попит на дубові вікна зріс на 25%;

         г) на скільки відсотків можна зробити знижку на ціні для кожного виду вікон, щоб  виробництво їх залишалося рентабельним?

(20 балів)

 

Приклад 2.

1. 1.    Загальна задача лінійного програмування: змістовна постановка, математична модель. Форми ЗЛП. Методи розв’язування.  (10 балів)
2. 2.    Тестові завдання.                                                                       (10 балів)

3. Визначити максимальну кількість продукції, яку можна перевезти з пункту S до пункту T через мережу посередників A, B, C, D, E та F. Максимальна пропускна спроможність посередників задана у таблиці. Записати схему поставки.

	S	A	B	C	D	E	F	T
S		25	20	18			15
A	20		15	25	13	16	10
B	10	12			26	25		33
C	18	15				16	23
D		15	15					16
E		10	20	14			20
F	14	12		22		20		14
T			19		4		16

(20 балів)

Приклад 3.

1. 1.    Постановка та математична модель транспортної задачі. Умова розв’язуваності транспортної задач. Метод розв’язування.  (10 балів)
2. 2.    Тестові завдання.                                                                       (10 балів)
3. 3.    За даними таблиці визначити:

а) стандартні значення часу виконання проекту та його вартість;

б) мінімальний час виконання проекту при  мінімальній вартості його виконання.

 

Фіксовані витрати складають 300 грн. на один день під час виконання всього проекту.                                                                                          (20 балів)

 

 

 

Приклад 4.

1. 1.    Правила побудови пари двоїстих задач. Економічна інтерпретація пари двоїстих задач. Теореми двоїстості та їх економічна інтерпретація.                                                                             (10 балів)
2. 2.    Тестові завдання.                                                                       (10 балів)
3. 3.    Інвестор розглядає можливість покупки цінних паперів (ЦП) чотирьох корпорацій. Бюджет інвестора складає 600 тис. грн. Кількість акцій кожної виду, їх вартість та доходність задані в таблиці:

     Визначити оптимальний інвестиційний портфель ЦП.

Додаткова емісія яких видів ЦП у найбільшій мірі сприятиме зростанню доходів інвестора?

Зменшення емісії яких видів ЦП і на яку кількість не вплине на максимальний дохід інвестора?

     Яка середня доходність ЦП, з яких складається оптимальний портфель?                                                                                       (20 балів)

 

Приклад 5.

1. 1.    Сіткові моделі. Способи представлення сіткових моделей. Види транспортних задач на сіткових моделях.                              (10 балів)
2. 2.    Тестові завдання.                                                                       (10 балів)

3. Підприємство роздрібної торгівлі має чотири магазини, які розташовані у різних районах міста. Попит у магазинах складає відповідно: 30, 60, 50 та 100 одиниць продукції.

 Доставка продукції в магазини здійснюється з двох  торговельних складів А та В. Запас продукції на складах не перевищує 80 одиниць на кожному.

Щоб задовольнити попит у магазинах, планується побудувати  третій склад. Розглядаються два варіанти  його розташування. У таблиці наведені дані про транспортні витрати на одиницю продукції з існуючих складів А та В і два варіанти розміщення нового складу.

Торговельний склад	Транспортні витрати (грн/од. )
	І	ІІ	ІІІ	IV
А В Варіант І Варіант ІІ	70 80 75 100	85 90 80 90	55 95 95 60	120 110 90 85

 

Знайти найдешевший варіант доставки продукції для кожного варіанту будівництва нового складу. Який варіант розташування нового складу є оптимальним?                                                    

 (20 балів)

 

 

 

 

 

 

8. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА КАТЕГОРІЇ

 

Змістовий модуль 1:

„Економіко-математичне моделювання. Методи кількісного аналізу оптимізаційних моделей”

Базис базисного розв’язку задачі лінійного програмування - упорядкований набір  лінійно незалежних векторів обмежень задачі, котрі відповідають додатним координатам цього базисного розв’язку.

Базисна матриця - матриця, яка утворена з базисних векторів.

Базисний вектор – вектор обмежень задачі, який входить до базису.

Базисний (опорний) розв’язок – допустимий розв’язок задачі лінійного програмування  , додатним координатам якого відповідають лінійно незалежні вектори обмежень задачі.

Ведучий елемент (основний множник) – елемент симплекс-таблиці , де  - порядковий номер базисного вектора, який виводиться з базису, - номер вектора, який вводиться до базису.

Вершина опуклого многогранника у просторі  - будь-яка точка, яка не є внутрішньою точкою ніякого відрізка, що цілком належить цьому многограннику.

Вироджена задача лінійного програмування – задача лінійного програмування, в якій існує хоча б один вироджений базисний розв’язок.

Вироджений базисний розв’язок – вектор , у якого число додатних координат менше кількості векторів, що входять до базису.

Відрізок в - вимірному евклідовому просторі , що з’єднує точки  і  -  множина всіх точок  таких, що, де ,  - кінці відрізка.

Гіперплощина в  - множина точок , яка задовольняє умові , де всі  та - константи.

Градієнт функції  - вектор , компонентами якого є частинні похідні функції  в точці , що  вказує напрямок  найшвидшого зростання значення функції з даної точки, і ортогональний лінії (поверхні) постійного значення функції , яка проходить через точку .

Двохетапний метод - метод штучного базису, в якому оптимальний розв’язок задачі знаходиться в два етапи: на першому – для допоміжної задачі із спеціальною цільовою функцією, на другому – для задачі з заданою цільовою функцією.

Допустима множина (область) задачі математичного програмування  – множина значень змінних, які задовольняють обмеженням задачі.

Допустимий розв’язок (план) задачі математичного програмування  – вектор , який задовольняє обмеженням задачі.

Дослідження операцій – науковий напрямок, метою якого є розробка методів аналізу цілеспрямованих дій (операцій) та об’єктивна (частіше кількісна) порівняльна оцінка рішень.

Ітерація – етап реалізації алгоритму, який відрізняється від інших етапів тільки значенням змінних, але не процедурою обчислень.

Канонічна форма задачі  лінійного програмування (КЗЛП) – формазадачі лінійного програмування, в якій цільова функція прямує до максимуму, система обмежень представлена рівняннями та всі змінні невід’ємні.

Кількісний аналіз задач математичного програмування  – знаходження оптимального розв’язку задач математичного програмування.

Лінійне програмування – розділ математичного програмування, у якому розглядаються теорія та чисельні методи розв’язування задач знаходження екстремуму лінійної функції багатьох змінних за умов існування обмежень на вибір значень змінних у вигляді лінійних рівнянь або нерівностей.

Лінійно незалежний набір векторів  - вектори, для яких умова  виконується лише при .

Математична модель – система математичних виразів та співвідношень між ними, які описують фактори, що впливають на прийняття рішення, а також їх взаємо залежність.

Метод штучного базису – метод розв’язування задачі лінійного програмування за допомогою штучних одиничних векторів.

М-метод  - метод штучного базису, в якому оптимальний розв’язок задачі знаходиться з розв’язку допоміжної М-задачі.

Множина  називається опуклою, якщо разом із двома своїми точками містить весь відрізок, що їх з’єднує, тобто для довільних двох точок  і довільного  точка .

Модель – умовний образ об’єкту чи процесу, який вивчається, та відображає його основні характеристики і використовується в ході дослідження.

Моделювання – спосіб дослідження реальних об’єктів за допомогою сконструйованих моделей, їх експериментальний та (або) теоретичний аналіз, зіставлення результатів з даними про об’єкт та при необхідності коректування моделей.

Невироджена ЗЛП - ЗЛП, в якій всі  базисні розв’язки невироджені.

Невироджений базисний розв’язок – вектор , у якого число додатних координат дорівнює кількості векторів, що входять до базису.

Нелінійне програмування – розділ математичного програмування, у якому розглядаються оптимізаційні задачі, які описуються нелінійними функціями.

Одиничний вектор - вектор, всі координати якого нульові, за винятком однієї координати, що дорівнює одиниці.

Оптимальний розв’язок (план) задачі математичного програмування – допустимий розв’язок задачі, якому відповідає максимальне (мінімальне) значення цільової функції.

Оптимум задачі математичного програмування – оптимальне значення цільової функції задачі.

Оцінка вектора  - величина , по значенню якої перевіряється критерій оптимальності у симплекс-методі.

Симетрична форма задачі  лінійного програмування – форма задачі лінійного програмування, в якій цільова функція прямує до мінімуму, система обмежень представлена нерівностями виду „≥” та всі змінні невід’ємні.

Симплекс метод – метод розв’язування задачі лінійного програмування, який за скінчену кількість кроків (ітерацій) дозволяє отримати оптимальний розв’язок задачі або пересвідчитися в його відсутності.

Стандартна форма задачі  лінійного програмування – форма ЗЛП, в якій цільова функція прямує до максимуму, система обмежень представлена нерівностями виду „≤” та всі змінні невід’ємні.

Стаціонарна точка функції  -  точка, координати якої задовільняють системі , .

Стохастичне програмування – розділ математичного програмування, у якому розглядаються оптимізаційні задачі, в яких вхідні дані є випадковими величинами.

Цільова функція задачі математичного програмування – функція , максимум (мінімум) якої шукається на допустимій множині  задачі математичного програмування.

Штучна змінна – змінна , що вводиться в КЗЛП для утворення штучного одиничного вектора , якого не вистачає в одиничному базисі.

Штучний базис – базис, до складу якого входять штучні  вектори .

Штучний вектор – одиничний вектор , що відповідає штучній змінній .

 

Змістовий модуль 2:

 „ Методи якісного аналізу задач лінійного програмування”

Двоїста задача математичного програмування – задача математичного програмування, симетрична до вихідної постановки задачі в частині змінних, коефіцієнтів цільової функції та обмежень.

Двоїстий симплекс-метод (метод послідовного уточнення оцінок) – метод розв’язування задачі лінійного програмування на основі використання псевдопланів задачі.

Дефіцитні  ресурси –  ресурси, які, у відповідності до оптимального плану виробництва продукції, витрачаються повністю. Гранична корисність дефіцитних ресурсів є додатною величиною.

Псевдоплан (майже допустимий план) – вектор , який відповідає вимогам: задовольняє всім обмеженням задачі лінійного програмування, крім обмежень на знак змінних;  система векторів , що відповідає його ненульовим компонентам – лінійно незалежна; оцінки  відносно цього вектора  - невід’ємні.

Недефіцитні ресурси – ресурси, які, у відповідності до оптимального плану виробництва продукції,  витрачаються не повністю. Гранична корисність недефіцитних ресурсів дорівнює нулю.

Об’єктивно обумовлені (граничні, маргінальні, двоїсті, тіньові) оцінки ресурсів - величини, які дає змогу проранжувати всі ресурси задачі оптимального виробничого планування в залежності від їх впливу на результат - приріст прибутку за невеликої зміни ресурсу.

Пара взаємодвоїстих задач – пара задач математичного програмування, побудованих за спеціальними правилами, призначених для якісного економіко-математичного аналізу оптимального розв’язку.

Пряма задача – одна з пари взаємодвоїстих задач лінійного програмування, до якої будується двоїста задача.

Якісний аналіз задачі лінійного програмування – економіко-математичний аналіз оптимального розв’язку задачі лінійного програмування на основі теорії двоїстості.

 

Змістовий модуль 3:

 „Інші задачі математичного програмування”

Динамічне програмування – розділ математичного програмування, де розглядаються задачі, в яких для кожної змінної формулюється локальна оптимізаційна задача, в результаті розв’язування якої, знаходиться значення відповідної змінної, найкраще з точки зору всієї задачі.

Дискретне програмування – розділ математичного програмування, у якому розглядаються оптимізаційні задачі з дискретними змінними.

Задача про призначення – спеціальна задача математичного програмування з булевими змінними, яка відноситься до моделей транспортного типу, і полягає у закріпленні постачальників за споживачами (робітників за посадами, видами робіт, тощо) за умови досягнення найкращого результату.

Задача стохастичного програмування – задача математичного програмування, в якій цільова функція та (чи) обмеження мають імовірнісний характер.

Задача цілочисельного програмування – задача дискретного програмування, в якій змінні  повинні бути цілими числами.

Збалансована (закрита) транспортна задача - транспортна задача, в якій загальна пропозиція дорівнює загальним потребам.

Комбінаторні методи - група методів дискретного програмування, заснованих на ідеї перебору підмножин допустимих розв’язків задачі, з відсіюванням підмножин, серед яких недоцільно шукати оптимальний розв’язок.

Метод гілок та меж – метод розв’язування задач дискретного програмування, який відноситься до комбінаторних методів і передбачає пошук оптимального розв’язку задачі  серед перспективних з точку зору його існування підмножин допустимих розв’язків  – гілок, для критерієм оцінювання перспективності  є їх оцінка - межа.

Метод мінімальної вартості - метод знаходження початкового опорного плану транспортної задачі, в якому маршрути, по яким призначаються перевезення, вибираються за принципом мінімальної тарифної вартості та їх допустимості.

Метод множників Лагранжа – метод розв’язування нелінійних задач умовної оптимізації, що базується на теоремі Куна-Таккера.

Метод північно-західного кута – метод знаходження початкового опорного плану транспортної задачі, в якому маршрути, по яким призначаються перевезення, вибираються за північно-західним принципом та їх допустимості.

Метод покоординатного спуску - метод розв’язування задач безумовної оптимізації, на кожному етапі якого, здійснюються спроби покращити значення цільової функції за рахунок почергової зміни на певну величину кожної координати вектора , що є її аргументом.

Метод потенціалів – метод знаходження оптимального плану перевезень транспортної задачі.

Метод Р. Беллмана – метод розв’язування задач динамічного програмування, що дозволяє звести процес оптимізації функції  змінних до - крокового процесу оптимізації функцій однієї змінної.

Метод Фогеля – метод знаходження початкового опорного плану транспортної задачі, в якому маршрути, по яким призначаються перевезення, вибираються за принципом  запобігання максимальної штрафної вартості та допустимості планів.

Множники Лагранжа – змінні функції Лагранжа , які відповідають обмеженням задачі виду нерівності, та , які відповідають обмеженням виду рівності.

Методи відтинання – група методів дискретного програмування, ідея яких полягає в звуженні допустимої області задачі з неперервними змінними до знаходження першої граничної точки з цілочисельними координатами, яка є оптимальним розв’язком задачі.

Наближені методи – евристичні методи дискретного програмування, які базуються на особливостях конкретних прикладних оптимізаційних задач.

Невизначеність – поняття, яке відображає об’єктивну неможливість утримання абсолютного знання про внутрішні та зовнішні умови функціонування соціально-економічних систем, неоднозначність їх параметрів.

Непрямі методи стохастичного програмування – методи розв’язування задач стохастичного програмування, що ґрунтуються на можливості явного запису функцій задачі і зведення її до детермінованої.

Основне рекурентне співвідношення методу динамічного програмування – математичне рівняння, яке відображає принцип оптимальності Р.Беллмана.

Перший алгоритм Гоморі – алгоритм розв’язування повністю цілочисельних лінійних задач, який відноситься до методів відтинання.

План-корекція – рішення, що приймається після спостереження над умовами, які визначають його ефективність.

План-програма – рішення, що приймається до спостереження над умовами, які визначають його ефективність.

Правильне відтинання - додаткове обмеження, що будується в методах дискретного програмування, яке задовольняє наступним вимогам: відтинає від допустимої області ЗЛП отриманий нецілочисельний розв’язок і одночасно задовольняє будь-якому цілочисельному розв’язку задачі.

Принцип оптимальності Р. Беллмана – принцип розв’язування задач динамічного програмування, в якому оптимальна поведінка має властивість: в якому б стані не знаходилася система і які б рішення не приймалися у попередні моменти, наступні рішення повинні бути оптимальними відносно стану, в якому опинилася система.

Програмний технологічний спосіб – такий детермінований технологічний спосіб задачі оптимального виробничого планування, який розраховано на всі реалізації випадкових ситуацій.

Прямі методи стохастичного програмування – методи розв’язування задач стохастичного програмування, в яких рух в ітераційному процесі здійснюється у випадковому напрямку, що збігається в середньому з градієнтом або з узагальненим градієнтом.

Сідлова точка  функції Лагранжа  – набір векторів ,  та , для яких виконується  нерівність  для задачі математичного програмування на максимум та  для задачі на мінімум для довільних , .

Функція  опукла вгору, якщо для довільних значень її аргументу  і довільного  виконується нерівність .

Функція  опукла вниз, якщо для довільних значень її аргументу  і довільного  виконується нерівність .

Функція  строго опукла вгору, якщо для довільних значень її аргументу  і довільного  виконується нерівність .

Функція  строго опукла вниз, якщо для довільних значень її аргументу  і довільного  виконується нерівність.

Функція Лагранжа – функція  (), що вводиться в допустимій області задачі умовної оптимізації, в якій  - функція, що максимізується (мінімізується),  - функції обмежень задачі виду нерівності «»,  -  функції обмежень задачі виду рівності,  - множники Лагранжа.

Функція розподілу випадкового вектора  - функція з кількістю елементів, яка збігається з кількістю випадкових величин і визначається як .

Функція розподілу випадкової величини  - функція .

Транспортна задача – задача, пов’язана з визначенням такого плану перевезення вантажу від постачальників до споживачів, щоб загальні транспортні витрати були найменшими, за умов що мають бути задоволені потреби споживачів. Можливості кожного постачальника, а також потреби кожного споживача вважаються відомими.

Угорський метод – метод розв’язування задачі про призначення.

 

 

Змістовий модуль 4:

„Інші розділи дослідження операцій”

Верхня ціна гри – мінімальний програш гравця при застосуванні мінімаксної стратегії.

Вершинний граф - несиметричний граф, в якому кожна вершина означає певний етап виконання проекту, а дуги логічний зв’язок між етапами.

Гра – модель конфліктної ситуації.

Гра двох осіб з нульовою сумою – гра двох гравців, в якій виграш одного з гравців дорівнює програшу другого, а сума виграшів обох сторін дорівнює нулю.

Гра із сідловою точкою – гра двох сторін, кожна з яких обирає оптимальну стратегію. Верхня та нижня ціни у таких іграх співпадають.

Граф – це графічна структура, яка складається з множини елементів, що називаються вершинами, і множини відношень між цими елементами, які позначаються в цій структурі лініями, що називаються ребрами або дугами.

Дуга – це несиметричне відношення між двома відповідними вершинами графу.

Задача мінімізації сітки – задача знаходження дуг сітки, які поєднують всі вузли сітки і мають найменшу сумарну довжину.

Задача про максимальний потік – задача максимізації обсягу продукції, яку можна перевезти по існуючій транспортній сітці при обмеженій пропускній спроможності транспортних магістралей (задача максимізації стаціонарного потоку з урахуванням потокових обмежень).

Задача про найкоротший шлях – задача знаходження найкоротшого шляху між двома пунктами на існуючій транспортній сітці.

Запаси — це продукція виробничо-технічного призначення, споживчі й інші товари, що перебувають на різних стадіях виробництва й обігу, та очікують вступу в процес виробничого або особистого споживання.

Змішані стратегії – певні комбінації початкових чистих стратегій, які дають змогу поліпшити результат  сторін у ситуаціях, коли гра не має сідловок точки.

Економі́чний ро́змір замо́влення (формула Вілсона, EOQ-модель) - це модель, яка визначає оптимальний обсяг замовлення товару, що дозволяє мінімізувати загальні змінні витрати, пов'язані із замовленням і зберіганням запасів.

Критерій Вальда (максимінний, песимістичний) – критерій вибору оптимальної стратегії, згідно з яким обирається найкраща серед песимістичних стратегій.

Критерій Гурвіца – критерій вибору оптимальної стратегії як комбінації крайнього оптимізму та крайнього песимізму.

Критерій Лапласа - критерій вибору оптимальної стратегії, за яким обирається та стратегія, яка має найбільшу середню оцінку серед можливих.

Критична операція – операція проекту, затримка виконання якої приведе до збільшення часу виконання проекту в цілому.

Критичне значення часу (вартості) операції – мінімальний час, за який можна виконати операцію, а також вартість виконання операції у критичний строк.

Критичний маршрут – ланцюг критичних операцій проекту.

Логістичні витрати – витрати на виконання логістичних операцій.

Логістична операція – це сукупність дій, які направлені на керування матеріальними або інформаційними потоками (транспортування, комплектування, вантажно-розвантажувальні дії, збір, збереження, обробка даних тощо). 

Максимінна стратегія – така стратегія гри, при якій максимізується мінімальний виграш гравця.

Матриця суміжності – квадратна матриця А = , у якої кожний елемент  дорівнює кількості ребер, що з’єднують вершини i та   j і  =0, якщо відповідні вершини несуміжні. 

Мета управління запасами – забезпечення неперервного виробництва та поставки економічно обґрунтованої кількості продукції у оптимальні строки.

Мінімаксна стратегія - така стратегія гри, при якій мінімізується максимальний  програш гравця.

Нижня ціна гри – максимальний виграш гравця при застосуванні максимінної стратегії.

Оптимальна стратегія – стратегія гравця, яка забезпечує йому найкращий результат.

Оптимістичний критерій – критерій вибору оптимальної стратегії, згідно з яким обирається найкраща серед оптимістичних стратегій.

Парна гра – гра, в якій беруть участь два гравця.

Плоский граф – граф, у якого ребра або дуги не перетинаються.

Поточні запаси – основна, постійно мінлива  частина виробничих (товарних) запасів, яка забезпечує неперервність виробничого (торгового) процесу між наступними поставками.

Ребро - це симетричне відношення між двома відповідними вершинами графу.

Резерв часу – час, на який можливе затримання виконання некритичних операцій не збільшуючи час виконання всього проекту в цілому.

Сідлова точка гри – оптимальні стратегії двох сторін, при яких верхня та нижня ціна гри співпадають.

Сітка – це такий граф, кожній дузі якого ставиться у відповідність невід’ємне число , яке надає певну характеристику цій дузі (відстань між пунктами  i та   j, час на переїзд з пункту i до пункту j, максимальну кількість товару, яку можна перевезти з пункту i  до пункту  j тощо).

Стаціонарний потік  з пункту s до  t називається фактично перевезений обсяг продукції по дугам сітки , який задовольняє наступним умовам:

1)    кількість продукції, яка вивозиться з пункту s, дорівнює кількості продукції, яка ввозиться до пункту t ;

2)    у проміжних пунктах кількість продукції, яка ввозиться, дорівнює кількості продукції,  яка вивозиться .

Стратегія гравця – план, за яким гравець здійснює вибір у будь-якій можливій ситуації, і володіючи будь-якою можливою інформацією.

Стрілочний граф – несиметричний граф, в якому кожний етап виконання проекту представлено дугою, початкова вершина дуги означає початок виконання етапу, кінцева – завершення етапу.

Теорія ігор – розділ дослідження операцій, який займається аналізом моделей вибору рішень в конфліктних ситуаціях або в ситуаціях невизначеності.

Теорія управління запасами - розділ дослідження операцій, який займається розробкою оптимальних стратегій підтримки економічно обґрунтованих рівнів виробничих (товарних) запасів.

Управлі́ння това́рними запа́сами — складний комплекс заходів, спрямований на забезпечення максимально високого рівня обслуговування покупців при мінімізації поточних витрат, пов'язаних із утримуванням запасів. Управління запасами можна звести до відповіді на два основних питання: коли поповнювати запас і в якій кількості. Найпростішою моделлю керування запасами є формула оптимального розміру партії або формула Вілсона.

Функція виграшу- правило обчислення виграшів кожного з гравців згідно з обраними усіма учасниками гри стратегіями.

Хід теорії ігор – вибір однієї з можливих, визначених правилами стратегій і реалізація цієї стратегії.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. РЕКОМЕНДОВАНАЛІТЕРАТУРА

 

Основна:

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах /

     И.Л. Акулич. - М.: Высшая школа, 1986.

2. Акулич И.Л. Экономико-математические методы и модели. Компьютерные технологии и решения / И.Л. Акулич, Е.И. Велесько, П. Ройш, В.Ф. Стрельчонок. -  Минск: БГЭУ, 2003.

1. Вітлінський В.В. Математичне програмування / В.В. Вітлінський,

      С.І. Наконечний, Т.О. Терещенко. – К.: КНЕУ, 2001.

1. Дюбин Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин, В.Г.Суздаль. – М.: Наука, 1981.
2. Ермольев Ю.М. Математические  методы исследования операций /

Ю.М. Ермольев, И.И. Ляшко, В.С. Михалевич, В.И. Тюптя. – К.: Вища     школа, 1979.

1. Зайченко Ю.П. Дослідження операцій /  Ю.П. Зайченко. – К.: ЗАТ “ВІПОЛ”, 2001.
2. Карагодова О.О. Дослідження операцій / О.О. Карагодова, В.Р. Кігель, В.Д. Рожок. – К.: ЕКОМЕН, 2007.
3. Линейное и нелинейное программирование / Под ред. И.Н. Ляшенко – К.: Вища школа, 1975.
4. Модер Д. Метод сетевого планирования в организации работ (ПЕРТ) / Д. Модер, С. Филлипс. – М.-Л.: Энергия, 1996.

10.Москвин С.О. Проектний аналіз / С.О. Москвин. – К.: Лібра, 1998.

11.Таха Х. Введение в исследование операцій / Хэмди А. Таха. - М.: Вильямс, 2001.

12.Трохимчук Р.М. Теорія графів: навчальний посібник / Р.М.Трохимчук. – К.: РВЦ «Київський університет», 1998.

13.Федоренко І.К. Навчально-методичний комплекс з курсу “Математичне програмування” / І.К. Федоренко. – К.: РВВ ІМФ, 2005.

14.Федоренко І.К. Методичні рекомендації з курсу ММДО для студентів економічних факультетів / І.К. Федоренко, О.О. Карагодова.  - К.: ВЦ КНУТІІІ, 1999.

15.Федоренко І. Дослідження операцій в економіці / І. Федоренко, О. Черняк, О. Карагодова, Г. Чорноус, О. Горбунов.   – К.: Знання, 2007.

16.Филипс Д. Методы анализа сетей / Д. Филипс, А. Гарсиа-Диас.  – М.: Мир, 1984.

17.Форд Л. Потоки в сетях / Л. Форд, Д. Фалкерсон. – М.: Мир, 1967.

18.Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование /  Дж. Хедли.  – М.: Мир, 1967.

19.Хофер А. Графические методы в управлении / А. Хофер, Г. Герхард.  – М.: Экономика, 1971.

20.Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях / Т. Ху. – М.: Мир, 1977.

21.Черваньов Д.М. Сіткові моделі у менеджменті / Д.М. Черваньов,  В.Г. Балан.  – К.:  РВВ ІМФ, 2003.

22.Черняк О.І. Математичні вказівки для самостійної роботи з курсу “Математичні методи дослідження операцій” для студентів економічного факультету / О.І. Черняк, Н.В. Слушаєнко. – К.: ВПЦ “Київський університет”, 2004.

23.Эддоус М. Методы принятия решений / М. Эддоус, Р. Стенфилд.  – М.: ЮНИТИ,  1997.

 

Додаткова:

24.Вагнер Г. Основы исследования операций / Г. Вагнер. Т.1-3. – М.: Мир, 1972. 

25.Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2001.

26.Долженкова В.А. Microsoft  Excel 2003 / В.А. Долженкова, Ю.В. Колесников. – С-Пб.: BHV - Петербург, 2004.

27.Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика / В.П. Дьяконов. – Нолидж, 2000.

28.Зайченко Ю.П. Исследование операций: сборник задач / Ю.П. Зайченко, С.А.  Шумилова. - 2-е изд., перераб. и доп. - К.: Вища школа, 1990. 

29.Каганов В.И. Компьютерные вычисления в средах Excel и Mathcad / В.И. Каганов – М.: горячая линия – Телеком, 2003.   

30.Калихман И.Л. Сборник   задач   по   курсу  математического программирования / И.Л. Калихман.  - М.: Высшая школа, 1976.

31.Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.М. Фридман. - М.: ЮНИТИ,  2003.

32.Ульянченко О.В. Дослідження операцій в економіці / О.В.Ульянченко. – Х.:Гриф, 2002.

33.Шелобаев Н. Математические методы в экономике, финансах и бизнесе. - М., 2000.

 

Інтернет-ресурси:

34.http:// www.exponenta.ru/soft/Mathcad/Mthcad.asp - ресурси з системи Mathcad на    освітньому математичному сайті.

35.http://library.wolfram.com – бібліотека ресурсів з системи Mathematica: книги, електронні підручники, файли.

36.http://www.lindo.com – компанія Lindo Systems (Lingo, Lindo).

37.http: //mathmod.narod.ru – віртуальна лабораторія математичного моделювання.

 

38.http:// www.is.svitonline.com/vcg/materials.html#mathprog – електронні підручники з математичного програмування.

 

 

 

 

 

 

10. МОДУЛЬНО-РЕЙТИНГОВА СИСТЕМА ОЦІНКИ ЗНАНЬ

 

Навчальна дисципліна “Дослідження операцій в економіці” оцінюється за модульно-рейтинговою системою і складається з трьох модулів.           Результати навчальної діяльності студентів оцінюються за 100 - бальною шкалою.    

№ модуля	Теми	Зміст завдань	Оцінка
Модуль №1	Всі теми курсу	Самостійна контрольна робота.	Виконання самостійної контрольної роботи максимально оцінюється у 30 балів. Розраховується як сумарна оцінка якості виконання всіх видів практичних завдань та оцінки за оформлення роботи, вміння вільно та правильно пояснити будь-які етапи виконаних завдань.
Модуль №2	Всі теми курсу	Поточний контроль	Максимальна кількість балів -30. Розраховується як сумарна оцінка роботи на семінарських заняттях та присутності на лекціях.
Модуль №3	Всі теми курсу	Комплексна підсумкова контрольна робота (іспит)	Максимальна кількість балів -40. Розраховується як сумарна оцінка всіх видів завдань (див. зразки комплексних підсумкових робіт).
Підсумкова оцінка	Розраховується як сумарна оцінка всіх модулів, де максимальна оцінка модулю №1 складає 30 балів, №2  - 30 балів та №3 – 40 балів.

 

 

Порядок розрахунку підсумкової оцінки

(за накопичувальною системою):

ПО=М1+М2+КПМ

	Самостійна контрольна робота (М1)	Поточний контроль(М2)	Комплексний підсумковий модуль(КПМ)	Підсумкова оцінка(ПО)
Максима-льна кількість балів	30	30	40	100 (30+30+40)

 

Якщо за результатами  самостійної контрольної роботи (модуль №1) студент отримав сумарну оцінку, яка менше ніж 18 балів, або не здав роботу у встановлений термін, то студент не допускається до іспиту і вважається таким, що не виконав роботу, яка передбачена навчальним планом з дисципліни “Дослідження операцій в економіці” і не допускається до іспиту.

 

Шкала відповідності оцінювання:

 

За 100-бальною шкалою	Оцінка за національною шкалою та шкалою університету		Оцінка за шкалою ECTS
90-100	відмінно	5	А	відмінно
85-89	добре	4	В	добре (дуже добре)
75-84			С	добре
65-74	задовільно	3	D	задовільно
60-64			E	задовільно (достатньо)
35-59	незадовільно	2	FX	незадовільно (з можливістю повторного складання)
1-34			F	незадовільно (з обов’язковим повторним вивченням дисципліни)

 

 

11. ВІДПОВІДІ ДО ТЕСТІВ

 

Змістовий             модуль 1: „Економіко-математичне моделювання. Методи кількісного аналізу оптимізаційних моделей”
№ тестовогозавдання	1	2	3	4		5	6		7		8		9		0
Правильний варіант відповіді	в	б	в	в		д	а		в		в		г		а
Змістовий модуль 2:„ Методи якісного аналізу задач лінійного програмування”
№ тестовогозавдання	1	2	3		4	5	6		7		8		9		0
Правильнийваріантвідповіді	в	г	E,B,AD,C		(0,110,220,0,0,10)1320	в	г		в		г		г		б
Змістовий модуль 3: „Інші задачі математичного програмування”
№ тестового завдання	1	2	3	4		5		6		7		8	9		0
Правильнийваріантвідповіді	в	б	д	а, г, д		в		в		г		г	г		г
Змістовий модуль 4: „Інші розділи дослідження операцій”
№ тестовогозавдання	1	2	3	4		5		6		7		8		9	0
Правильнийваріант відповіді	д	43	42	а		в		в		г		б		д	б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток А.

 

 

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

 

ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ОСВІТИ

 

 

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни

“ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ В ЕКОНОМІЦІ”

 

 

 

 

                        Работа виконана:

                                                     студентом (кою) групи

_____________________

                                           _____________________

                                                        спеціальності

___________________________

                                                            Прізвище, імя, по-батькові

 

 

Викладач:                   ФЕДОРЕНКО І. К.,

 кандидат економічних наук, доцент

                                                                                           

                                                                                         

 

 

 

КИЇВ - 2013