2. ЗМІСТ ДИСЦИПЛІНИ

 

2.1. Лекційні зайняття

 

Тема 1. Вступ. Предмет, методи і завдання дисципліни

Економетрія як наука. Предмет, методи і завдання дисципліни. Роль економетричних моделей в економічній діяльності, обліку і фінансах, маркетингу, бізнесі. Приклади використання економетричних методів для моделювання економічних процесів на підприємстві.

Контрольні запитання

1. Дати  визначення предмета курсу економетрії.
2. Наведіть етапи розвитку економерії як економічної науки.
3. Як пов’язані між собою математична економіка та математична статистика?
4. Завдання економетричного дослідження.
5. Застосування  комп’ютерних технологій  у розв’язанні  економетричних задач.

Література [2, с. 3-10; 3, с. 12-16; 4, с. 4-27; 5, с. 9-12]

 

Тема 2. Основи економетричного моделювання

Економічна система як об’єкт моделювання. Економетрична модель. Основні етапи моделювання. Зміст змінних і рівнянь в економетричній моделі. Класифікація моделей. Етапи економетричного аналізу економічних процесів і явищ.  

 

Контрольні запитання

1. Назвіть типи математичних моделей.
2. З яких елементів складається економетрична модель?
3. Дайте означення економетричної моделі.
4. Назвіть етапи побудови економетричної моделі.
5. Назвіть типи економетричних  моделей.
6. Дати тлумачення випадкової складової економетричної моделі.
7. Що  означає специфікація моделі?

   Література [2, с. 11-23, 58; 3, с. 16-20,98;  5, с. 15-22, 91-94]

 

Тема 3. Методи побудови загальної лінійної моделі

  Загальний вид лінійної економетричної моделі, її структура. Передумова застосування методу найменших квадратів (МНК). Коректність побудови економетричної моделі та перевірка оцінок параметрів і моделі в цілому. Статистичні критерії перевірки значущості. Стандартні похибки та надійність прогнозу.

 

Контрольні запитання

1.У чому суть методу найменших квадратів?

2. Які основні причини наявності в регресійній моделі випадкового відхилення?

3. Як розрахувати невідомі параметри лінійної моделі?

1. Пояснити сутність поняття "тіснота зв'язку".
2. Пояснити сутність поняття "значимість зв'язку".
3. За допомогою яких характеристик перевіряються тіснота зв'язку між змінними моделі?
4. За  допомогою якої  характеристики перевіряються значимість зв'язку між змінними моделі?
5. Що показує коефіцієнт детермінації і в яких межах він приймає значення?
6. Що показує коефіцієнт кореляції?
7. Запишіть формулу дисперсії залишків.
8. З якою метою розраховуються стандартні похибки оцінок параметрів?
9. За   якими    характеристиками    вибирається   табличне значення критерія Фішера?
10. Як визначити коефіцієнт детермінації у парній регресійній моделі?
11. Як визначити коефіцієнт кореляції у парній регресійній моделі?
12.  У чому відмінність між точковоим і інтервальним прогнозом?

Література [2, с. 25-38; 3, с. 43-46,96-106, 111-130; 4, с. 44-60,63-65,102;  5, с. 23-29, 113-120, 127-140; 6, с. 41-58].

 

Тема 4. Методи побудови нелінійних економетричних моделей

Найпростіші економетричні моделі. Парні економетричні моделі.   Побудова лінійної та лінійно-логарифмічної виробничих функцій. Використання методу номінальних квадратів для оцінки параметрів моделі. 

 

Контрольні запитання

1. Наведіть приклади економетричних моделей.
2. Що означає специфікація моделі?
3.  Назвіть шляхи перетворень нелінійних  моделей до лінійних.
4. Чи є крива Гомперця нелінійною за параметрами функцією?
5. Які моделі використовуються в маркетингових дослідженнях?

 

Література [3, с. 179-200;  4, с. 138-150; 6, с. 66-73]

 

Тема 5. Методи побудови множинних  економетричнх моделей

Структура множинної економетричної моделі. Обґрунтування системи аргументів-факторів. Алгоритми створення моделей. Оцінка параметрів моделей. Оцінка тісноти та значимості зв’язку між змінними у множинній регресії. Значимість коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі множинної регресії. Виробнича функція Кобба-Дугласа. Аналіз виробничих функцій. Інтерпретація результатів. Моделі попиту та пропозиції.

Контрольні запитання

1.  Дати визначення лінійної багатофакторної регресійної моделі.
2. Суть та складові частини лінійної економетричної моделі з двома змінними
3.  Основні етапи побудови лінійних економеричних моделей
4.  Роль коефіцієнтів еластичності в кількісному аналізі лінійних економетричних моделей
5.  Характеристика системи оцінок і критеріїв для перевірки статистичної достовірності моделі
6. Суть та складові частини нелінійної моделі пропозиції продукції
7. Етапи побудови нелінійної моделі попиту на продукцію
8.  Роль та значення коефіцієнтів еластичності в аналізі моделей попиту і пропозиції продукції

   Література [2, с. 39-57; 3, с. 96-99; 4, с. 171-227; 5, с. 46-68, 140-149; 6, с. 93-105, 118-121, 143-147]

 

Тема 6. Умови оцінка параметрів економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів

Умови оцінка параметрів економетричної моделі за допомогою методу найменших квадраті. Поняття гомо-  та гетероскедастичності. Вплив  гетероскедастичності на властивості оцінок параметрів. Методи тестування наявності гетероскедастичності.

Контрольні запитання

1. Дати означення гомоскедасттичності та гетероскедастичності.
2. Які існують методи визначення гетероскедастичності
3. Як впливає явище гетероскедастичності на оцінку параметрів моделі.

         Література [2, с. 89-100; 3, с.145-150; 4, с. 249-272; 5, с. 46-68,  95-97, 245-265]

 

Тема 7. Мультиколінеарність

   Поняття мультиколінеальності, її вплив на оцінки параметрів моделі. Ознаки мультиколінеарності.Методи визначення мультиколінеальності та засоби її усунення.

 

Контрольні запитання

1. Зміст поняття «мультиколінеарність» та причини її виникнення?
2. Ознаки мультиколеніарності.
3. Суть алгоритму Фаррара–Глобера та мета його застосування?
4. Яке співвідношення свідчить про наявність мультиколінеарності  між змінними?
5. Як використовуються F-критерії в оцінці мультиколінеарності змінних?
6. Як визначаються і для чого використовуються t-критерії в аналізі мультиколінеарності змінних?
7. Як усунути мультиколеніарність?
8. Яким методом можуть бути оцінені параметри моделі з мультиколеніарними змінними?

Література:  [2, с. 72-84;  3, с. 138-144; 4, с. 228-248; 5, с. 203-215; 6, с. 121-123]

 

Тема 8. Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена)

Узагальнений метод найменших квадратів оцінок параметрів лінійної економетричної моделі. Визначення оператора оцінок та відповідної  коваріаційної матриці (метод Ейткена). Прогноз за моделлю.

 

 

Контрольні запитання

1. У чому суть узагальненого методу найменших квадратів?
2. Як використовується матриця S в методі УМНК?
3. У яких випадках використовується УМНК (метод Ейткена)?

Література:  [2, с. 100-104;  3, с. 151-155;  5, с. 270-288; 6, с.123]

 

Тема 9. Моделі розподіленого лагу

Поняття лагу та лагових змінних. Кількісне вимірювання взаємозв’язку між економетричними показниками. Види лагових моделей. Взаємна кореляційна функція. Лаги залежної та незалежних змінних. Наявність мультиколінеарності між лаговими змінними. Методи оцінювання параметрів лагової моделі.

Контрольні запитання

1. Дати означення моделі розподіленого лагу.
2. Перерахувати методи  оцінки параметрів моделі розподіленого лагу.
3. Суть методу Ейткена для лагової моделі.

   Література [2, с. 118-125; 3, с. 168-180; 4, с. 278-283; 5, с. 365-398; 6, с. 165-173]

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Лабораторні заняття

Таблиця 2.1

№ пор.	Теми лабораторних занять
1	2
1	Побудова парної лінійної економетричної моделі
	Побудова лінійних економетричних моделей продуктивності праці
	Розрахунки статистичних критеріїв оцінки достовірності моделей
	Оцінка та аналіз адекватності моделей
2	Побудова двофакторної лінійної економетричної моделі
	Побудова двофакторної лінійної моделі продуктивності праці
	Розрахунки статистичних критеріїв оцінки достовірності моделей
	Оцінка та аналіз адекватності моделей
3	Методи побудови множинних економетричних моделей
	Побудова множинних економетричних моделей господарської виробничої діяльності підприємства
	Розрахунки статистичних критеріїв оцінки достовірності моделей
	Оцінка та аналіз адекватності моделей
	Методи побудови нелінійних економетричних моделей
4	Побудова нелінійних економетричних моделей обсягу виробленої продукції (функція Кобба-Дугласа). Розрахунки коефіцієнтів еластичності.  Аналіз результатів та загальний висновок.
5	Побудова нелінійних економетричних моделей попиту на продукцію. Розрахунки коефіцієнтів еластичності.  Аналіз результатів та загальний висновок.
6	Побудова нелінійних економетричних моделей пропозиції продукції. Розрахунки коефіцієнтів еластичності.  Аналіз результатів та загальний висновок.
7	Мультиколінеарність
	Дослідження наявності мультиколінеарності між змінними за допомогою алгоритму Фарара-Глобера

 

 

вказівки до виконання контрольної роботи

студентами заочної форми навчання

 

Зміст та оформлення контрольної роботи

 

Контрольну роботу студент виконує згідно з обраним варіантом
(табл. 1). Контрольна робота повинна бути акуратно оформлена, мати титульну сторінку, на якій зазначаються: назви університету й дисципліни, прізвище та ініціали студента, факультет, курс, група, номери залікової книжки та варіанта контрольної роботи.

Роботу потрібно виконувати на пронумерованих стандартних аркушах паперу (формат А4), які потім зшити. В кінці роботи навести список використаної літератури згідно з правилами бібліографічного опису. На останній сторінці роботи проставити дату її виконання та свій власний підпис.

У контрольні роботі необхідно виконати розрахунки та побудувати моделі за темами: «Побудова парної лінійної економетричної моделі», «Побудова двофакторної лінійної економетричної моделі», «Методи побудови множинних економетричних моделей», «Методи побудови нелінійних економетричних моделей», «Мультиколінеарність».

Варіант контрольної роботи студент обирає самостійно за двома останніми цифрами номера залікової книжки (табл. 1).

 

Таблиця 1

Цифри залікової книжки	Номер варіанта	Цифри залікової книжки	Номер варіанта	Цифри залікової книжки	Номер варіанта	Цифри залікової книжки	Номер варіанта
1	2	3	4	5	6	7	8
01	1	26	26	51	21	76	16
02	2	27	27	52	22	77	17
03	3	28	28	53	23	78	18
04	4	29	29	54	24	79	19
05	5	30	30	55	25	80	20
06	6	31	1	56	26	81	21
07	7	32	2	57	27	82	22
08	8	33	3	58	28	83	23
09	9	34	4	59	29	84	24
10	10	35	5	60	30	85	25
11	11	36	6	61	1	86	26
12	12	37	7	62	2	87	27
13	13	38	8	63	3	88	28
14	14	39	9	64	4	89	29
15	15	40	10	65	5	90	30
16	16	41	11	66	6	91	1
17	17	42	12	67	7	92	2
18	18	43	13	68	8	93	3
19	19	44	14	69	9	94	4
20	20	45	15	70	10	95	5
21	21	46	16	71	11	96	6
22	22	47	17	72	12	97	7
23	23	48	18	73	13	98	8
24	24	49	19	74	14	99	9
25	25	50	20	75	15	00	10

 

Варіанти лабораторних робіт та порядок їх вибору

Лабораторні роботи з дисципліни „Економетрія”, що виконують студенти,  спрямовані на практичне засвоєння матеріалу з тем дисципліни,  передбачених навчальною програмою.

Завдання до лабораторних робіт дають студентам можливість не тільки опанувати методи побудови економетричних моделей за допомогою програмного забезпечення і комп’ютерної техніки, а й набути практичних аналітичних навичок математичного моделювання економічних процесів, які є основою економічних досліджень.

Моделювання здійснюють на основі вибірки статистичних даних, яку студент отримує з відповідних таблиць додатків.

Вхідні дані для лабораторних робіт № 1 та № 2 містяться в додатку 1.

Для лабораторної роботи № 3 вхідні дані містяться в додатку 2.

Для лабораторних робіт № 4, 5 та 6 вхідні дані задаються з
додатків 3, 4, та 5 трьома цифрами: перша – номер стовпця для
показника Y, друга – номер стовпця для показника х₁, третя – номер стовпця для показника х₂   відповідно варіанту з табл. 2 :

 

                            Таблиця 2                                               продовження  табл. 2

Варіанти	Y	x1	x2		Варіанти	Y	x1	x2
1	1	5	9		16	2	8	12
2	1	5	10		17	3	5	9
3	1	5	11		18	3	5	10
4	1	5	12		19	3	5	11
5	1	6	9		20	3	5	12
6	1	6	10		21	3	6	9
7	1	6	11		22	3	6	10
8	1	6	12		23	3	6	11
9	2	7	9		24	3	6	12
10	2	7	10		25	4	7	9
11	2	7	11		26	4	7	10
12	2	7	12		27	4	7	11
13	2	8	9		28	4	7	12
14	2	8	10		29	4	8	9
15	2	8	11		30	4	8	10

 

Для лабораторної роботи № 7  варіант задається з додатку 6чотирма цифрами: перша – номер стовпця для показника Y, друга – номер стовпця для показника х₁, третя – номер стовпця для показника х₂; четверта – номер стовпця для показника х₃  відповідно варіанту з табл. 3:

                            Таблиця 3                                               продовження табл. 3

Варіанти	Y	x1	x2	x3		Варіанти	Y	x1	x2	x3
1	1	4	7	10		16	2	6	8	10
2	1	4	7	11		17	2	6	8	11
3	1	4	7	12		18	2	6	8	12
4	1	5	7	10		19	2	4	9	10
5	1	5	7	11		20	2	4	9	11
6	1	5	7	12		21	3	4	9	12
7	1	6	7	10		22	3	5	9	10
8	1	6	7	11		23	3	5	9	11
9	1	6	7	12		24	3	5	9	12
10	1	4	8	10		25	3	6	9	10
11	2	4	8	11		26	3	6	9	11
12	2	4	8	12		27	3	6	9	12
13	2	5	8	10		28	3	4	7	10
14	2	5	8	11		29	3	4	7	11
15	2	5	8	12		30	3	4	7	12

 

 

Тема: «Побудова парної лінійної економетричної моделі»

Лабораторна робота № 1

Побудова лінійних економетричних моделей продуктивності праці

Згідно з вибіркою статистичних даних (дод. 1) потрібно побудувати лінійну економетричну модель залежності продуктивності праці (Y) від втрат робочого часу (Х₁). Необхідно:

1. Визначити параметри моделі.
2.  Розрахувати коефіцієнти еластичності, кореляції та детермінації; стандартну та відносну похибки; критерій Фішера.
3. Представити модель на графіку, побудувавши поле кореляції та теоретичну лінію регресії.
4. Зробити загальний економічний аналіз моделі.

Розв’язання.

1. Економічний зміст змінних:

Y – продуктивність праці, тис.грн /чол. (залежна змінна);

Х₁ – рівень втрат робочого часу, тис.люд.-год./рік (незалежна змінна).

2. Загальний вид лінійної форми економетричної моделі:

Y = а₀ +  а₁ × X + u,

де а₀, а₁ – параметри моделі; u – залишки, інші невраховані чинники.

3. Вихідні дані для розрахунків та побудови моделі наведені
в табл. 1.1.

Таблиця 1.1

 

4. Для визначення параметрів моделі а₀ та а₁ складаємо систему нормальних рівнянь:

                                                    

                           (1.1)

де n – кількість спостережень, n = 15.

Всі суми, що входять у систему, обраховуються на основі похідних статистичних даних (табл. 1.2).

Таблиця 1.2

Спосте- реження	Y	X	X2	Y Х
1	13,1	8,3	68,89	108,73	13,24	0,01866	7,43471
2	13,4	8	64,00	107,20	13,50	0,01080	5,88871
3	13	8,7	75,69	113,10	12,88	0,01435	7,99004
4	12,8	8,1	65,61	103,68	13,41	0,37802	9,16071
5	14,5	7,5	56,25	108,75	13,95	0,30308	1,76004
6	14,8	6,5	42,25	96,20	14,84	0,00164	1,05404
7	15,1	6	36,00	90,60	15,29	0,03463	0,52804
8	15,4	5,9	34,81	90,86	15,38	0,00062	0,18204
9	15,9	5,4	29,16	85,86	15,82	0,00628	0,00538
10	16,3	5,1	26,01	83,13	16,09	0,04492	0,22404
11	17,4	4,3	18,49	74,82	16,80	0,35892	2,47538
12	18,1	2,1	4,41	38,01	18,76	0,43727	5,16804
13	19	2	4,00	38,00	18,85	0,02239	10,07004
14	19,3	1,5	2,25	28,95	19,30	0,00002	12,06404
15	19,3	1,5	2,25	28,95	19,30	0,00002	12,06404
	237,4	80,9	530,07	1196,84	237,40	1,63162	76,06933

 

 

– середнє значення Y; ;
 – розрахункове значення Y для моделі.

5. Якщо підставити в систему рівнянь (1.1) значення n,
   система рівнянь буде мати такий вигляд:

 

                                                                                                  (1.2)

 

Розв’яжемо цю систему рівнянь відносно невідомих параметрів моделі  та  .

        

 ;            

;

= ­ – 0,89;

.

В результаті розв’язання системи рівнянь отримуємо значення:
= 20,63,  = ­ – 0,89.

Отже, економетрична модель продуктивності праці (рівняння регресії) матиме вигляд:

 = 20,63 – 0,89 × Х₁ .  

6. Визначимо коефіцієнти детермінації та кореляції для даної моделі.

Для цього обчислимо дисперсії залежної змінної та залишків.

;

 

 

;

.

 

Коефіцієнт детермінації буде дорівнювати:

.

.

Знаходимо коефіцієнт кореляції:

.

 

Коефіцієнт кореляції беремо зі знаком „мінус” оскільки такий знак має коефіцієнт регресії в моделі.

Рівень коефіцієнта кореляції  r = –0,9879 свідчить про тісний обернений зв’язок між продуктивністю праці та втратами робочого часу на підприємстві.

Діапазони рівня тісноти зв’язку між Y  та Х

Значення коефіцієнта кореляції	0	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99	1
Висновок про силу кореляційного зв’язку	відсутній	слабкий	помірний	середній	високий	досить високий	близький до функціо-нального

 

Отриманий коефіцієнт детермінації R² = 0,976 свідчить про те, що варіація рівня продуктивності праці на 97,6 % визначається варіацією рівня втрат робочого часу і лише 2,4 % змін Y припадає на невраховані чинники.

7. Визначимо коефіцієнт еластичності моделі

.

.

Виходячи з рівня коефіцієнта еластичності можна дійти висновку, що зі зменшенням втрат робочого часу на 1 % продуктивність праці може підвищитись на 0,3 %.

8. Проведемо розрахунки середньоквадратичної та відносної похибок моделі.

.

.

Рівень середньоквадратичної похибки означає, що фактичні значення Y відхиляються від розрахункового його значення  ()  на ±0,341386 тис.грн/чол.

Відносна похибка, %,

,

.

Для точних моделей рівень відносної похибки не перевищує 10 %.

9. Достовірність параметрів моделі оцінюється за допомогою
F-критерію (критерію Фішера).

При моделюванні визначається розрахункове (F_розр) і табличне (F_табл) його значення, а потім вони порівнюються.

,

F_розр. = ­76,069 :  1,631 = 46,622.

Розрахункове значення перевищує табличне.

F_табл визначається за таблицею (дод. 7) для рівня надійності 0,95 і ступенів свободи відповідно: f₁ = (N – n – 1) та f₂ =  (N – 1), де  N і n – кількість відповідно числа спостережень і незалежних змінних.

При a=0,95   та значеннях   f₁ = 15 – 1 – 1= 13    і    f₂ =  15 – 1 = 14 табличне значення F-критерію буде дорівнювати F_табл = 2,5.

Порівняльний аналіз F_табл та F_розр :  46,622 > 2,5.

Модель приймаємо – припускаємо наявність лінійного зв'язку.

Отже, згідно з обчисленими характеристиками (коефіцієнт детермінації, кореляції, критерій Фішера) можна зробити висновок, що модель є достовірною (присутність лінійного зв'язку) та відображає тісний зв’язок між продуктивністю праці та рівнем втрат робочого часу.

10. Графічне зображення моделі ґрунтується на побудові всіх фактичних точок Y_факт  з таблиці похідних даних та розрахункових значень Y_розр для отриманої моделі.

 

 

11. Аналіз моделі.

Значення коефіцієнта кореляції свідчить про тісний кореляційний зв’язок між Y та X. Відносна похибка становить 2,157% і не перевищує 10%. Критерій Фішера розрахунковий перевищує значення табличного критерію Фішера. Отже, можна зробити висновок, що модель є достовірною та відображає тісний лінійний зв’язок між продуктивністю праці та рівнем втрат робочого часу.

12. Висновки.

Проаналізувавши економетричну модель, можна дійти висновку, що модель є достовірною і може бути використана для кількісного практичного економічного висновку:  при зменшенні втрат робочого часу на підприємстві на 1 тис. люд.-год. на рік можливе підвищення продуктивності праці на 0,89 тис.грн/чол., за умови незмінної дії інших чинників, не врахованих у моделі. Виходячи з рівня коефіцієнта еластичності можна сказати, що зменшення на 1 % втрат робочого часу сприятиме підвищенню продуктивності праці на 0,3 %.

 

Тема: «Побудова двофакторної лінійної економетричної моделі»

Лабораторна робота № 2

Побудова двофакторної лінійної моделі продуктивності праці

Згідно варіанту завдання (дод. 1) побудувати множинну лінійну регресійну модель залежності  продуктивності праці (Y, тис.грн./чол.) від втрат робочого часу,  (Х₁) та коефіцієнту використання потужностей (Х₂ ). Необхідно:

1. Знайти параметри моделі.
2. Розрахувати коефіцієнти еластичності, кореляції та детермінації; стандартну та відносну похибки; критерій Фішера.
3. Представити модель на графіку, побудувавши поле кореляції та теоретичну лінію регресії.
4. Зробити загальний економічний аналіз моделі.

Розв’язання.

1. Економічний зміст змінних:

Y – продуктивність праці, тис.грн /чол. (залежна змінна);

Х₁ – рівень втрат робочого часу, тис.люд.-год./рік (незалежна змінна);

Х₂ – коефіцієнт використання потужностей, % (незалежна змінна).

2. Загальний вид лінійної форми економетричної моделі:

Y = а₀ + а₁Х₁ + а₂Х₂ + u,

де а₀, а₁, а₂ – параметри моделі; u – залишки, інші невраховані чинники.

1. Вихідні дані для розрахунків та побудови моделі наведені
   в табл. 2.1.

 

Таблиця 2.1

 

4. Для визначення коефіцієнтів регресії  а₀,  а₁  та  а₂,  складаємо систему нормальних рівнянь:

 а₀*N  + а₁åX₁ + а₂å X₂  =  å Y

а₀ å X₁  + а₁ å(X₁)² +  а₂  å X₁*X₂ = å Y*X₁                                         (2.1)

а₀ å X₂ + а₁ å X₁*X₂ +  а₂å (X₂)² = å Y*X₂

де n – кількість спостережень, n = 15.

Всі суми обраховуються на основі вихідних статистичних даних
в таблиці 2.2.

5. На основі рівняння 2.1 та обрахованих сум в таблиці 2.2 запишемо для нашого прикладу:

а₀ ×15  + а₁ × 80,9 + а₂ × 1029,3  =  237,4

а₀ × 80,9 + а₁ × 530,07+  а₂ ×   5260,28 = 1196,84  

а₀ × 1029,3 + а₁ ×  5260,28 +  а₂ × 71690,15 = 16554,47

В результаті розв’язання системи отримуємо значення:   

а₀ = 18,052,   a₁ = -0,797,   a₂ = 0,03.

Таким чином, рівняння регресії буде мати вигляд:

Y_р = 18,052  –  0,797 × Х₁  + 0,03 × Х₂ .

 

6. Визначимо коефіцієнти детермінації для даної моделі.

Для цього обчислимо дисперсії залежної змінної та залишків.

;

.

;

.

Коефіцієнт детермінації буде дорівнювати:

;

.

Отриманий коефіцієнт детермінації R² = 0,977 свідчить про те, що варіація рівня продуктивності праці на 97,7 % визначається варіацією незалежних змінних Х₁ та Х₂ і лише 2,3 % змін Y припадає на невраховані чинники.

 

 

Таблиця 2.2

спост	Yф	X1	X2	Y * X1	Y * X2	X1*X1	Х2*Х2	Х1*Х2	Yр	(Yф - Yр)2	(Yф- Yсер)2
1	13,10	8,30	55,80	108,7	731,0	68,9	3113,6	463,1	13,12	0,0005	7,43
2	13,40	8,00	56,10	107,2	751,7	64,0	3147,2	448,8	13,37	0,0009	5,89
3	13,00	8,70	57,10	113,1	742,3	75,7	3260,4	496,8	12,84	0,0249	7,99
4	12,80	8,10	60,30	103,7	771,8	65,6	3636,1	488,4	13,42	0,3811	9,16
5	14,50	7,50	61,40	108,8	890,3	56,3	3770,0	460,5	13,93	0,3261	1,76
6	14,80	6,50	62,50	96,2	925,0	42,3	3906,3	406,3	14,76	0,0016	1,05
7	15,10	6,00	70,40	90,6	1063,0	36,0	4956,2	422,4	15,40	0,0881	0,53
8	15,40	5,90	71,70	90,9	1104,2	34,8	5140,9	423,0	15,52	0,0134	0,18
9	15,90	5,40	73,70	85,9	1171,8	29,2	5431,7	398,0	15,97	0,0056	0,01
10	16,30	5,10	73,70	83,1	1201,3	26,0	5431,7	375,9	16,21	0,0074	0,22
11	17,40	4,30	75,80	74,8	1318,9	18,5	5745,6	325,9	16,92	0,2349	2,48
12	18,10	2,10	76,70	38,0	1388,3	4,4	5882,9	161,1	18,70	0,3557	5,17
13	19,00	2,00	77,90	38,0	1480,1	4,0	6068,4	155,8	18,81	0,0352	10,07
14	19,30	1,50	78,10	29,0	1507,3	2,3	6099,6	117,2	19,22	0,0069	12,06
15	19,30	1,50	78,10	29,0	1507,3	2,3	6099,6	117,2	19,22	0,0069	12,06
S	237,40	80,90	1029,3	1196,84	16554,47	530,07	71690,15	5260,28	237,40	1,49	76,07

 

 

7. Оцінка точності по середньоквадратичній похибці:

 

 

8. Відносна похибка:

 

 

9. Оцінка достовірності по розрахунковому критерію Фішера   

 

F_розр. = 76,07: 1,49 = 51,08

 Порівнюємо розрахункове значення критерію Фішера з табличним:

F⁹⁵_табл. =  2,5 ;  

F_розр. > F⁹⁵_табл.

Модель приймаємо – припускаємо присутність лінійного зв'язку.

10. Коефіцієнт множинної кореляції 

;

, що свідчить про вельми високий зв’язок між показниками Y та  X₁ , X₂ .

11. Коефіцієнт регресії   а₁ = – 0,797 показує, що зниження втрат робочого часуна 1 тис. год./рік може привести до роступродуктивностіпраці на 0,797  тис.грн./чол.

Коефіцієнт регресії   а₂ =  0,03 показує, що  підвищення коефіцієнту використання потужності на 1% може привести до росту продуктивності праці на 0,03 тис.грн./чол.

12. Графічне відображення моделі базується на побудові ліній регресії у прямокутних координатах Y-Х₁ та Y-Х₂. При цьому масштаб необхідно вибрати  таким, щоб мінімальні і максимальні значення X₁ та X₂ співпадали між собою.

	X1	X2	Y=f(X1)  при X2= const	Y=f(X2)  при X1= const	Середнє значення  X1	Середнє значення X2
min	1,50	55,80	18,93	15,44	5,39	68,62
max	8,70	78,10	13,19	16,11

 

 

 

13. Відносна зміна залежної змінної Y в процентах при зміні на 1% аргументів Х₁ та Х₂ характеризують коефіцієнти еластичності  Е₁  та Е₂, які розраховуються за наступною формулою:

 

де     а_і  – коефіцієнт регресії при і-тому факторі;

          –  середнє значення і-тої незалежної змінної (фактора);

          – середнє значення залежної змінної (розрахункове).

 

 

Розраховані коефіцієнти еластичності дають можливість побудувати графік еластичності:

 

 

14. Порівняємо дві моделі (лаб.№1 та лаб. №2)

Коефіцієнти кореляції r = 0,9879  та  r = 0,9902 свідчать про те, що залучення другої змінної Х₂  збільшує тісноту зв’язку між залежною і факторами. Середньоквадратична похибка зменшилася  з 0,3413 до
0,3261 тис.грн./рік. Відносна похибка зменшилась з 2,157% до 2,06%.

15. Висновок.

З аналізу одержаної моделі залежності продуктивності праці від втрат робочого часу і коефіцієнту використання потужності можна зробити висновок, що модель достовірна і може бути використана для кількісного практичного економічного висновку.

На даному підприємстві збільшення продуктивність праці обумовлюється  зменшенням втрат робочого часу. Так, при зменшенні втрат робочого часу на кожну 1 тис.год./рік, продуктивність праці збільшиться на 0,797 тис.грн./чол.

При збільшенні коефіцієнту використання потужності на 1% продуктивність праці зросте на 0,03 тис.грн./чол.

 

Тема: «Методи Побудови множинних економетричних моделей»

Лабораторна робота № 3

Побудова множинних економетричних моделей

Згідно варіанту завдання та вихідними даними (додаток 3) побудувати множинну лінійну регресійну модель залежності Y (продуктивності праці,  тис.грн./чол.) від Х₁ – втрат робочого часу,  тис.год./рік, Х₂  – коефіцієнту використання потужностей, %, Х₃  – рівня механізації і автоматизації виробництва, %.

 

Мета роботи:

1. Побудувати рівняння регресії.

2. Провести оцінку точності та імовірності моделі: розрахувати коефіцієнт кореляції; розрахувати середньоквадратичну та відносну похибки; розрахувати критерій Фішера; розрахувати коефіцієнт еластичності.

3. Представити модель на графіку.

4. Зробити загальний економічний аналіз моделі.

 

Рішення.

1. Побудова рівняння регресії

У загальному вигляді множинна лінійна регресія буде мати вигляд:

Y = а₀ + а₁Х₁ + а₂Х₂ + а₃Х₃

Вихідні дані наводяться в таблиці 3.1.

 

Таблиця 3.1

 

Щоб визначити коефіцієнти регресії  а₀,  а₁,  а₂ та  а₃,  складаємо систему нормальних рівнянь:

 а₀*N  + а₁∑X₁ + а₂∑X₂  + а₃∑X₃ = ∑Y

а₀∑X₁+ а₁∑ (X₁)² + а₂X₁*X₂ + а₃∑X₁*X₃= ∑Y*X₁  

а₀ ∑X₂ + а₁ ∑X₁*X₂ +  а₂∑ (X₂)²+ а₃∑X₃*X₂  = ∑Y*X₂

а₀∑X₃ + а₁∑X₁*X₃ + а₂∑X₂*X₃  + а₃∑ (X₃ )² =  ∑*X₃

Всі суми обраховуються на основі похідних статистичних даних
в таблиці 3.2.

На основі системи рівнянь та обрахованих сум в таблиці 3.2 запишемо для нашого прикладу:

а₀ ×15  + а₁ × 80,6 + а₂ ×1029,3 + а₃ × 1234,4 =  237,4

а₀ × 80,9+ а₁× 530,1+ а₂×5260,3+ а₃× 6260,0= 1196,8₁  

а₀ ×1029,3+ а₁ × 5260,3 +  а₂ × 71690,2+ а₃ × 86099,3 = 16554,5

а₀  ×1234,4 + а₁ × 6260,0 + а₂ × 86099,3 + а₃ × 103547,0 =  19901,6

В результаті розв’язування системи отримуємо значення:   

а₀ = –0,174,   a₁ = –0,00013,   a₂ = 0,06921,  a₃ = 0,137.

Таким чином, рівняння регресії  має вигляд:

Y_р = – 0,174 – 0,00013× Х₁  + 0,06921× Х₂  + 0,137  × Х₃

 

 

Коефіцієнт регресії  а₁ = –0,00013показує, що зниження втрат робочого часуна 1 тис. год./рік може привести до зростанняпродуктивностіпраці на 0,00013 тис.грн./чол.

Коефіцієнт регресії  а₂ =  0,06921 свідчить про те, що підвищення коефіцієнту використання потужності на 1% може привести до росту продуктивності праці на 0,06921 тис.грн./чол.

Коефіцієнт регресії  а₃ = 0,137 показує, що підвищення рівня механізації і автоматизації виробництва на 1% може привести до росту продуктивності праці на 0,137 тис.грн./чол.

Таблиця 3.2

спостереження	Yф	X1	X2	X3	Y*X1	Y*X2	Y*X3	X1*X1	X1*X2	X1*X3	Х2*Х2	Х2*Х3	Х3*Х3	Yр	(Yф- Yр)2	(Yф- Yсер)2
1	13,1	8,3	55,8	60,7	108,7	731,0	795,2	68,9	463,1	503,8	3113,6	3387,1	3684,5	11,986	1,240	7,43
2	13,4	8,0	56,1	65,1	107,2	751,7	872,3	64,0	448,8	520,8	3147,2	3652,1	4238,0	12,609	0,626	5,89
3	13,0	8,7	57,1	69,9	113,1	742,3	908,7	75,7	496,8	608,1	3260,4	3991,3	4886,0	13,334	0,112	7,99
4	12,8	8,1	60,3	70,4	103,7	771,8	901,1	65,6	488,4	570,2	3636,1	4245,1	4956,2	13,624	0,679	9,16
5	14,5	7,5	61,4	75,8	108,8	890,3	1099,1	56,3	460,5	568,5	3770,0	4654,1	5745,6	14,439	0,004	1,76
6	14,8	6,5	62,5	79,6	96,2	925,0	1178,1	42,3	406,3	517,4	3906,3	4975,0	6336,2	15,035	0,055	1,05
7	15,1	6,0	70,4	80,1	90,6	1063,0	1209,5	36,0	422,4	480,6	4956,2	5639,0	6416,0	15,650	0,302	0,53
8	15,4	5,9	71,7	85,4	90,9	1104,2	1315,2	34,8	423,0	503,9	5140,9	6123,2	7293,2	16,465	1,133	0,18
9	15,9	5,4	73,7	86,7	85,9	1171,8	1378,5	29,2	398,0	468,2	5431,7	6389,8	7516,9	16,781	0,776	0,01
10	16,3	5,1	73,7	89,9	83,1	1201,3	1465,4	26,0	375,9	458,5	5431,7	6625,6	8082,0	17,218	0,843	0,22
11	17,4	4,3	75,8	90,1	74,8	1318,9	1567,7	18,5	325,9	387,4	5745,6	6829,6	8118,0	17,391	0,000	2,48
12	18,1	2,1	76,7	90,3	38,0	1388,3	1634,4	4,4	161,1	189,6	5882,9	6926,0	8154,1	17,481	0,383	5,17
13	19,0	2,0	77,9	94,6	38,0	1480,1	1797,4	4,0	155,8	189,2	6068,4	7369,3	8949,2	18,152	0,719	10,07
14	19,3	1,5	78,1	96,8	29,0	1507,3	1868,2	2,3	117,2	145,2	6099,6	7560,1	9370,2	18,467	0,694	12,06
15	19,3	1,5	78,1	99,0	29,0	1507,3	1910,7	2,3	117,2	148,5	6099,6	7731,9	9801,0	18,768	0,283	12,06
S	237,4	80,9	1029,3	1234,4	1196,8	16554,5	19901,6	530,1	5260,3	6260,0	71690,2	86099,3	1035400	237,40	7,85	76,07

 

2. Оцінка точності та імовірності моделі

Оцінка точності по середній квадратичній похибці:

 

 

Відносна похибка:

s= S_yx / Y_сер  × 100

 

Оцінка достовірності по розрахунковому критерію Фішера   

 

F_розр. = 76,07 : 7,85 = 9,7

 Порівнюємо розрахункове значення критерію Фішера з табличним:

F⁹⁵_табл. =  2,5 ;  

F_розр. > F⁹⁵_табл.

Коефіцієнт множинної кореляції 

,

, що свідчить про досить тісний зв’язок між показниками Y та  X₁ , X₂ , X₃.

Відносна зміна залежної змінна Y в процентах при зміні на 1% аргументів Х₁, Х₂ та Х₃ характеризують коефіцієнти еластичності  Е₁,  Е₂ та Е₃, які розраховуються за наступною формулою:

 

де     а_і  – коефіцієнт регресії при і-тому факторі;

          –  середнє значення і-тої незалежної змінної (фактора);

          – середнє значення залежної змінної.

Для нашого прикладу:  ; ; .

3. Графічне відображення моделі

Графічне відображення моделі базується на побудові ліній регресії у прямокутних координатах Y-Х_1, Y-Х₂ та Y-Х₃. При цьому масштаб необхідно вибрати таким, щоб мінімальні і максимальні значення X₁, X₂ та X₃ співпадали між собою.

	X1	X2	X3	Y=f(X1)  при X2=const, Х3=const	Y=f(X2)  при X1=const, Х3=const	Y=f(X3)   при X1=const, Х2=const	Середнє значення  X1	Середнє значення X2	Середнє значення X3
min	1,50	55,80	60,70	15,8272	14,94	12,87	5,39	68,62	82,29
max	8,70	78,10	99,00	15,8262	16,48	18,11

 

 

Лінія регресії Y=f(X₁) відображає вплив фактору Х₁ на продуктивність праці при постійних Х₂ та Х₃.

Лінія регресії Y=f(X₂) відображає вплив фактору Х₂ на продуктивність праці при постійних Х₁ та Х₃.

Лінія регресії Y=f(X₃) відображає вплив фактору Х₃ на продуктивність праці при постійних Х₁ та Х₂.

Розраховані коефіцієнти еластичності дають можливість побудувати графік еластичності:

Х1   (%)	Y1 (%)	Х2 (%)	Y2  (%)	Х3  (%)	Y3 (%)
1	0,000086	1	0,30	1	0,71
2	0,000043	2	0,60	2	1,42

 

4. Загальний економічний аналіз моделі

З аналізу одержаної моделі залежності продуктивності праці від втрат робочого часу, коефіцієнту використання потужності та рівня механізації і автоматизації виробництва можна зробити висновок, що модель достовірна і може бути використана для кількісного практичного економічного висновку.

На даному підприємстві істотно впливають на ріст продуктивності праці дає рівень механізації і автоматизації виробництва. Так, при збільшенні рівня механізації і автоматизації виробництва на 1% продуктивність праці збільшиться на 0,137 тис.грн./чол. (137 грн./чол.)

При збільшенні коефіцієнту використання потужності на 1% продуктивність праці збільшиться на 0,06921 тис.грн./чол. (69,21 грн./чол. )

Відносно незначний вплив на продуктивність праці мають втрати робочого часу. При зменшенні втрат робочого часу на 1 тис.год./рік, продуктивність праці збільшиться на 0,00013 тис.грн./чол. (0,13 грн./чол.)

 

Тема: «Методи Побудови нелінійних економетричних моделей»

Лабораторна робота № 4

Побудова нелінійних економетричних моделей обсягу виробленої продукції

Згідно з вихідними даними (дод. 3) треба побудувати лінійно-логарифмічну функцію залежності  обсягу виробленої продукції від вартості основних засобів та кількості працівників, яка має вид:

,

де   – залежна змінна, обсяг виробленої продукції, млн. т;  – невідомі параметри моделі; ,  – незалежні змінні, показники відповідно вартості основних засобів, млн грн та кількості працівників, чол.

Слід також:

1. Розрахувати коефіцієнти  кореляції та детермінації.

2. Обчислити коефіцієнти  еластичності.

3. Обрахувати стандартну та відносну похибки моделі.

4. Визначити розрахункове та табличне значення критерію Фішера.

5. Оцінити ступінь достовірності моделі та зробити загальний висновок.

Порядок виконання завдання

Моделювання здійснюють на основі вибірки статистичних даних, яку студент отримує з відповідної таблиці додатка, згідно зі своїм варіантом. Варіант задається трьома цифрами: перша – номер стовпця для показника Y, друга – номер стовпця для показника х₁, третя – номер стовпця для показника х₂. Далі розрахунки та моделювання проводять за допомогою програмного забезпечення та комп’ютерної техніки.

Модель вигляду       створюють у програмі “Excel” в такому порядку:

вводять у програму матрицю вихідних даних , х₁, х₂ ;

будують матрицю логарифмів        ;

вводять нові змінні та лінеарізують форму залежності;

будують систему нормальних рівнянь;

розв’язують систему рівнянь відносно невідомих параметрів ;

створюють на базі знайдених числових параметрів   модель (наприклад при значеннях числових параметрів а₀=9,35; а₁=0,27; а₂=0,03 модель матиме вигляд  ).

 

Аналіз результатів моделювання та висновки

Результатом моделювання є двофакторна економетрична модель.

Приміром, якщо модель має вигляд

,

в ній відображений кількісний взаємозв’язок  між обсягом виробленої продукції та чинниками, які впливають на нього: вартість основних засобів та кількість працівників.

 

 

Параметр моделі а₁=0,27 характеризує діапазон зміни  за умови зміни вартості основних засобів. Тобто якщо вартість основних засобів зросте на підприємстві на 1 %, обсяг виробленої продукції може підвищитися на 0,27 % (за умови незмінної дії інших чинників). І навпаки, зменшення обсягів основних засобів на 1 % може призвести до скорочення обсягів випуску продукції на 0,27 %.

Параметр моделі а₂=0,03 характеризує діапазон зміни показника  за умови зміни кількості працівників на підприємстві. Так, якщо остання зросте на 1 % можливе підвищення обсягів виробленої продукції буде становити 0,03 % (за умови незмінної дії інших чинників).

У разі зменшення кількості працівників на підприємстві на 1 % можливе скорочення обсягу виробленої продукції буде становити 0,03 % за умови, що решта чинників залишиться незмінною.

Для наведеної степеневої нелінійної моделі коефіцієнти еластичності дорівнюють параметрам моделі а₁ та а₂, тобто .

Загальна сумарна еластичність для нелінійної степеневої моделі

 ,

Сумарна еластичність показує, що коли враховані в моделі чинники x₁, x₂ одночасно збільшуються на 1 %, то обсяг виробленої продукції може зрости на 0,3 %.

Виходячи з того, що│а₁│>│а₂│, можна сказати, що чинник вартості основних засобів x₁ впливає більш суттєво на значення , ніж чинник кількості працівників x₂.

Аналіз і оцінку ступеня достовірності моделі за характеристиками (коефіцієнт кореляції, коефіцієнт детермінації, стандартна та відносна похибки, критерій Фішера) та по моделі виконують за порядком, наведеним у лабораторній № 2.  Загальний висновок робиться по коефіцієнтах еластичності.

Приклад виконання лабораторної роботи № 4

         Постановка задачі.

Побудувати виробничу функцію виду   

 

де   Y - обсяг випущеної продукції, тис.грн.;  Х₁ - вартість основних засобів, млн.грн.;  Х₂  - чисельність працюючих, чол.

        Визначити  числові параметри цієї функції А ,  a  і   b.

         Провести економічний аналіз впливу факторів впливу факторів  Х₁  та  Х₂  на  Y,  використовуючи як окремі коефіцієнти еластичності   a  і  b  так і об’єднані (a + b).

Похідні дані наводяться в таблиці 4.1, матриця логарифмів – в таблиці 4.2.

                          Таблиця 4.1                                           Таблиця 4.2

Спосте-реження	Функція	1-й аргумент	2-й аргумент
	Y	X1	X2		ln Y	ln X1	ln X2
1	30,1	10,3	51		3,4	2,33	3,93
2	32,3	11,7	52		3,48	2,46	3,95
3	34,7	11,8	50		3,55	2,47	3,91
4	38,1	11,9	51		3,64	2,48	3,93
5	40,5	12	53		3,7	2,48	3,97
6	41,7	12,5	55		3,73	2,53	4,01
7	40,8	12,15	50		3,71	2,5	3,91
8	41,9	12,5	51		3,74	2,53	3,93
9	42	13	50		3,74	2,56	3,91
10	43	12,5	49		3,76	2,53	3,89
11	44,5	13	48		3,8	2,56	3,87
12	46,1	13,1	46		3,83	2,57	3,83
13	47,1	13,2	40		3,85	2,58	3,69
14	49	13,4	30		3,89	2,6	3,4
15	49,9	15	30		3,91	2,71	3,4

Приведемо  функцію до лінійного вигляду за допомогою логарифмування.

Логарифмуємо функцію Y  = А × Х₁^a x₂^b

lnY = ln А + a × ln Х₁ + b × ln Х₂,

Виконаємо підстановку:

lnY = Y¢,     ln Х₁ = Х₁¢ ,     ln Х₂ = Х₂¢ ,   ln А = А¢ ,

Одержимо:

Y¢ = А¢ + a × Х₁¢+ b × Х₂¢

Складаємо систему нормальних рівнянь:

å Y¢ = А¢ × n + a × å Х₁¢+ b × å Х₂¢

å Y¢ Х₁¢ = А¢ × å Х₁¢ + a ×  å(Х₁¢)²  + b × å Х₁¢ × Х₂¢

å Y¢ Х₂¢ = А¢ × å Х₂¢ + a ×  å(Х₁¢× Х₂¢)²  + b × å (Х₂¢)²

Результатом розрахунку буде:  А¢ = -0,37;  a = 1,61;  b = 0,003.

Y¢  =  -0,37 + 1,61 Х₁   + 0,003 Х₂

Степенева  модель:

Y_роз = exp (-0,37)  × Х₁^1,16 × Х₂^0,003

Y_роз = 0,694 × Х₁^1,16 × Х₂^0,003

Аналіз і висновки.

Коефіцієнт еластичності  a = 1,16  відображає еластичність випуску продукції відносно вартості основних засобів підприємства при незмінній чисельності робочої сили.

Якщо збільшити вартість основних фондів підприємства на 1%, то слід очікувати збільшення обсягів випуску продукції на 1,7 %.

Коефіцієнт еластичності   b = 0,003 відображає еластичність випуску продукції відносно чисельності працюючих при незмінній вартості основних фондів, тобто, якщо збільшити чисельність працюючих на 1 %, то слід очікувати підвищення випуску продукції на 0,003 %.

Сумісний вплив (a  + b) > 1:    (1,16 + 0,003) = 1,163 > 1. Звідси  можна сказати про зростаючу ефективність факторів, тобто темпи зростання Y (обсяг випущеної продукції)  вище ніж темпи зростання Х₁ та Х₂ .

 

Лабораторна робота № 5

Побудова нелінійних економетричних моделей попиту на продукцію

Згідно з варіантом та вихідними даними (дод. 4) потрібно побудувати модель попиту на пиво. Модель має вигляд:

,

 

де   – обсяг реалізації пива (попит на пиво), млн. дал;  – невідомі параметри моделі;   – ціна за 1 дал пива, грн;  – середньорічний дохід на душу населення, тис. грн.

Слід також:

1. Розрахувати коефіцієнти  кореляції та детермінації.

2. Обчислити коефіцієнти  еластичності.

3. Обрахувати стандартну та відносну похибки моделі.

4. Визначити розрахункове та табличне значення критерію Фішера.

5. Оцінити ступінь достовірності моделі та зробити загальний висновок.

Завдання  виконують за порядком, наведеним у лабораторній роботі № 4.

Аналіз результатів моделювання та висновки.

Результатом моделювання є нелінійна степенева економетрична модель.

Наприклад, модель має вигляд

.

Виходячи з моделі еластичність попиту на пиво залежно від ціни
1 дал пива дорівнює (–0,208). Це означає, що за інших рівних умов (при постійному рівні доходів на душу населення) підвищення ціни за 1 дал пива на 1 % призведе до зниження попиту на пиво на 0,208 %.

Еластичність попиту на пиво залежно від доходів населення дорівнює 1,098. Це означає, що за інших рівних умов (особливо при незмінних цінах на пиво) збільшення доходу на душу населення на 1 % сприятиме підвищенню попиту на пиво на 1,098 %.

Порівняльний аналіз впливу ціни за 1 дал пива та доходу на душу населення на еластичність попиту на пиво показує, що другий чинник впливовіший ніж перший (│1,098│>│–0,208│).

Аналіз сумісного впливу обох чинників на попит свідчить про те, що в умовах одночасного зростання на 1 % ціни за 1 дал пива та доходу на душу населення на 1 % можливе підвищення попиту на пиво буде дорівнювати (1,098–0,208) = 0,89 %.

Аналіз і оцінку достовірності моделі за характеристиками (коефіцієнт кореляції, коефіцієнт детермінації, стандартна та відносна похибки, критерій Фішера) та загальний висновок по моделі виконують за порядком, наведеним у лабораторній роботі № 2.

Лабораторна робота № 6

Побудова нелінійних економетричних моделей пропозиції продукції

Згідно з варіантом та вихідними даними (дод. 5) потрібно побудувати економетричну модель пропозиції молочних продуктів вигляду:

,

 

де  – кількість молочної продукції, запропонованої на ринку виробниками, млн. грн;  – невідомі параметри моделі;  – ціна за 1 л молока, грн.;  – обсяг (сума), тис. грн.

Слід також:

1. Розрахувати коефіцієнти  кореляції та детермінації.

2. Обчислити коефіцієнти  еластичності.

3. Обрахувати стандартну та відносну похибки моделі.

4. Визначити розрахункове та табличне значення критерію Фішера.

5. Оцінити ступінь достовірності моделі та зробити загальний висновок.

Лабораторну роботу № 6 виконують за порядком, наведеним у лабораторній роботі № 4. Аналіз результатів моделювання та висновки по моделі студент виконує самостійно.

 

Тема: «Мультиколінеарність»

Лабораторна робота № 7

Дослідження наявності мультиколінеарності між змінними

за допомогою алгоритму Фарара-Глобера

Згідно з варіантом завдання та вихідними даними (дод. 6)  для дослідження наявності мультиколінеарності між змінними х₁, х₂, х₃ потрібно:

1. Обчислити середні значення змінних Y, х₁, х₂, х₃ та стандартні відхилення.
2. Провести нормалізацію змінних.
3. Знайти кореляційну матрицю r.
4. Обрахувати визначник матриці r (det r).
5. Обчислити критерій c².
6. Знайти розрахункове і табличне значення критерію Фішера.
7. Обчислити часткові коефіцієнти кореляції r.
8. Обрахувати t-критерії.
9. Обґрунтувати висновок щодо існування мультиколінеарності  між чинниками х₁, х₂, х₃.

Порядок виконання завдання

За варіантом завдання виконують розрахунки на базі стандартних функцій Excel в такому порядку:

1. Обчислюють через майстер функцій Excel СРЗНАЧ та стандартні відхилення змінних х₁, х₂, х₃; (дод.10)
2. Проводять нормалізацію змінних х₁, х₂, х₃ через статистичні функції;
3. Знаходять кореляційну матрицю r;
4. Обраховують визначник матриці r (det r) за допомогою математичних функцій;

Якщо det r  наближається до 0, роблять висновок про те, що в масиві змінних може існувати мультиколінеарність. Далі знаходять ln (det r).

1. Обчислюють критерій  c² за формулою

c²_факт= -{n – 1 – 1/6(2m+5)}  ln(det r).

Знайдене значення c²_факт порівнюють з табличним значенням c²_табл для ½m(m–1) ступенів свободи та за рівня значущості a=0,05.

Якщо c²_факт > c²_табл роблять висновок про те, що у масиві змінних х₁, х₂, х₃ існує мультиколінеарність.

Обчислюють критерії F_{1 розр} , F_{2 розр} та F_{3 розр}.  Розрахункові значення
F-критерію визначають за формулою

 

де    С_kk – діагональний елемент матриці;          n – кількість спостережень; m – кількість змінних.

Порівнюють з табличними значеннями F_табл для (m–1) та (n–m) ступенів свободи та за рівня значущості a=0,05.

Якщо F_{1 розр} > F_табл, F_{2 розр} > F_табл та F_{3 розр} > F_табл, то кожна зі змінних х₁, х₂, х₃ мультиколінеарна з іншими.

Коефіцієнт детермінації для кожної змінної обчислюється за формулою

.

1. Визначають часткові коефіцієнти кореляції r_kj за формулою

 

 

де – елемент матриці С, що міститься в k-тому рядку та j-тому стовпці
();    – діагональні елементи матриці С.

1. Визначаються t-критерії за формулою

 

1. Порівнюються фактичні значення критеріїв t_kj з табличними для
   n–m ступенів свободи та рівня значущості a. Якщо t_{kj факт} >  t_{kj табл}  роблять висновок, що між змінними х₁, х₂, х₃ існує мультиколінеарність.

 

Приклад виконання завдання

при відсутності мультиколеніарності

На середньомісячну заробітну плату впливає низка чинників. Вирізнимо серед них продуктивність праці, фондомісткість та коефіцієнт плинності робочої сили.

Щоб побудувати економетричну модель заробітної плати від згаданих чинників за методом найменших квадратів, потрібно переконатися, що про­дуктивність праці, фондомісткість та коефіцієнт плинності робочої сили як пояснювальні змінні моделі — не мультиколінеарні.

Вихідні дані наведено в табл. 7.1.

 

Таблиця 7.1

 

Дослідити наведені чинники на наявність мультиколінеарності.

Порядок виконання завдання

Дослідимо наявність мультиколінеарності, вико­навши такі кроки:

1. 1.  Обчислити середні значення показників та стандартні відхилення.  Нормалізувати  пояснювальні змінні моделі.
2.  Знайти кореляційну матрицю r_хх.
3.  Визначити детермінант матриці r_хх.
4.  Обчислити критерій c².
5. Розрахувати матрицю, обернену до матриці r_хх.
6. Визначення F-критерію.
7. Обчислити частинні коефіцієнти кореляції.
8. Визначити t-критерій.
9.  Зробити висновки щодо мультиколінеарності.

Крок 1.     Нормалізація змінних.

Позначимо вектори пояснювальних змінних — продуктивності праці, фондомісткості, коефіцієнтів плинності робочої сили — через Х₁, Х₂, Х₃.

Елементи нормалізованих векторів обчислимо за формулою:

 

де n — кількість спостережень, n = 10; т — кількість пояснюва­льних змінних, т = 3;  - середнє арифметичне значення ком­понентів вектора Х_k;     — дисперсія змінної х_k.

Із формули випливає, що спочатку потрібно обчислити середні арифметичні значення і величини    для кожної пояснювальної змінної:

 

 

 

 

 

 

Дисперсії кожної пояснювальної змінної мають такі зна­чення:

 

 

 

 

 

 

Усі розрахункові дані для нормалізації змінних Х₁, Х₂, X₃, згідно з поданими співвідношеннями наведено в табл. 7.2.

Таблиця 7.2

 

3,3	0,274	4,7	10,89	0,07508	21,9961	0,2487	0,5191	0,3365
0,3	-0,186	0,8	0,09	0,03460	0,6241	0,0226	-0,3524	0,0567
1,3	0,084	-1,3	1,69	0,00706	1,7161	0,0980	0,1591	-0,0940
2,3	-0,006	-5,3	5,29	0,00004	28,1961	0,1733	-0,0114	-0,3810
-3,7	-0,106	8,7	13,69	0,01124	75,5161	-0,2788	-0,2008	0,6235
5,3	-0,106	-2,3	28,09	0,01124	5,3361	0,3994	-0,2008	-0,1657
0,3	0,034	2,7	0,09	0,00116	7,2361	0,0226	0,0644	0,1930
-4,7	-0,186	-0,3	22,09	0,03460	0,0961	-0,3542	-0,3524	-0,0222
-8,7	-0,106	-0,3	75,69	0,01124	0,0961	-0,6556	-0,2008	-0,0222
4,3	0,304	-7,3	18,49	0,09242	53,4361	0,3240	0,5759	-0,5245
Усього			176,10	0,27864	194,2490

Тоді знаменник для нормалізації кожної пояснювальної змінної буде такий:

X₁  :                    

X₂  :                    

X₃  :                    

Матриця нормалізованих змінних подається у вигляді:

 

 

Крок 2. Визначення кореляційної матриці[1]⁾:

 

де   —   матриця   нормалізованих   пояснювальних   змінних;

 — матриця, транспонована до X*.

Ця матриця симетрична і має розмір 3 х 3.

Запишемо шукану кореляційну матрицю

 

 

Кожний елемент цієї матриці характеризує тісноту зв'язку однієї пояснювальної змінної з іншою.

Оскільки діагональні елемен­ти характеризують тісноту зв'язку кожної незалежної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці.

Решта елементів матриці r_хх такі:

 

 

 

тобто вони є парними коефіцієнтами кореляції між пояснюваль­ними змінними.

Користуючись цими коефіцієнтами, можна зро­бити висновок, що між змінними Х₁, Х₂, Х₃ існує кореляційний зв'язок.

Постає запитання: чи можна стверджувати, що цей зв’язок є виявленням мультиколінеарності і через це негативно впливатиме на оцінку параметрів економетричної моделі?

Щоб відповісти на це запитання, потрібно ще раз звернутися до алгоритму Фаррара-Глобера і знайти статистичні критерії оцінки мультиколінеарності.

Крок 3.  Обчислимо детермінант кореляційної матриці r і

критерій c²:

а)

б)       

Якщо   ступінь  свободи ,   а  рівень  значущості
a=0,01, критерій . Оскільки  >   доходимо висновку, що в масиві змінних не існує мультиколінеарності.

Далі недоцільно реалізувати алгоритм Фаррара-Глобера, бо вже очевидно, що мультиколінеарність між досліджуваними пояснювальними змінними відсутня.

Приклад виконання завдання

при наявності мультиколеніарності

На основі даних про чинники, що впливають на прибуток (дод. 6), дослідити їх на наявність мультиколінеарності за допомогою алгоритму Фаррара-Глобера, що містить три статистичні критерії:  c²;   F-критерій;  
t-критерій.

Таблиця 7.3

 

Постановка задачі:

На доход підприємства впливає низка чинників. Вирізнимо серед них продуктивність праці, кількість працівників, фондовіддача. Щоб побудувати економетричну модель доходу підприємства від вказаних чинників за методом найменших квадратів, потрібно переконатися, що продуктивність праці, кількість працівників, фондовіддача, як пояснювальні змінні моделі  — не мультиколінеарні.

Дослідити наведені чинники на наявність мультиколінеарності.

Порядок виконання завдання

Дослідимо наявність мультиколінеарності, вико­навши такі кроки:

1. Нормалізацію (стандартизацію) пояснювальних змінних моделі.

1. Розрахунок кореляційної матриці r_хх.
2. Визначення детермінанта матриці r_хх.
3. Визначення критерію c².
4. Розрахунок матриці, оберненої до матриці r_хх.
5. Визначення F-критерію.
6. Обчислення частинних коефіцієнтів кореляції.
7. Визначення t-критерію.

 

Крок 1. Нормалізація (стандартизація) пояснювальних змінних моделі.

Обчислимо середні арифметичні пояснювальних змінних:

 

 

 

 

Визначимо стандартні відхилення.

Позначимо вектори пояснювальних змінних — продуктивності праці, фондомісткості, коефіцієнтів плинності робочої сили  — через Х₁, Х₂, Х₃. Елементи нормалізованих векторів обчислимо за формулою:

 

 

 

де  n — кількість спостережень,  n = 15;  т — кількість пояснювальних змінних, т = 3;        —  середнє арифметичне значення компонентів вектора Х_k;              —  дисперсія змінної х_k.

Із формули випливає, що спочатку потрібно обчислити середні арифметичні значення і величини           для кожної пояснювальної змінної.  Дисперсії кожної пояснювальної змінної мають такі значення:

	25,3075556
	43,1875556
	1,96906667

Усі розрахункові дані для нормалізації змінних Х₁, Х₂, X₃, згідно з поданими співвідношеннями наведено в табл. 7.4.

                                                                                     Таблиця 7.4     

-6,1667	-8,1333	-1,7	38,03	66,151	2,7556	-0,3165	-0,3196	-0,3054
-4,7667	-7,9333	-1,6	22,72	62,938	2,4336	-0,2446	-0,3117	-0,2870
-4,5667	-7,8333	-1,6	20,85	61,361	2,4336	-0,2344	-0,3078	-0,2870
-4,4667	-7,3333	-1,5	19,95	53,778	2,1316	-0,2293	-0,2881	-0,2686
-4,0667	-5,7333	-1,5	16,54	32,871	2,1316	-0,2087	-0,2253	-0,2686
-3,0667	-4,1333	-1,4	9,40	17,084	1,8496	-0,1574	-0,1624	-0,2502
-2,4667	-3,0333	-1,3	6,08	9,201	1,5876	-0,1266	-0,1192	-0,2318
-2,1667	0,2667	0,9	4,69	0,071	0,8836	-0,1112	0,0105	0,1730
0,8333	1,2667	1,0	0,69	1,604	1,0816	0,0428	0,0498	0,1914
1,8333	3,2667	1,0	3,36	10,671	1,0816	0,0941	0,1283	0,1914
1,9333	6,2667	1,1	3,74	39,271	1,2996	0,0992	0,2462	0,2098
3,1333	6,3667	1,1	9,82	40,534	1,2996	0,1608	0,2501	0,2098
3,6333	6,5667	1,3	13,20	43,121	1,7956	0,1865	0,2580	0,2466
8,9333	8,2667	1,8	79,80	68,338	3,3856	0,4585	0,3248	0,3386
11,4333	11,8667	1,8	130,72	140,818	3,3856	0,5868	0,4662	0,3386
Усього			379,61	647,81	29,536

 

Тоді знаменник для нормалізації кожної пояснювальної змінної буде такий:

	19,48
	25,45
	5,43

 

Матриця нормалізованих змінних подається у вигляді:

	-0,3165	-0,3196	-0,3054
	-0,2446	-0,3117	-0,2870
	-0,2344	-0,3078	-0,2870
	-0,2293	-0,2881	-0,2686
	-0,2087	-0,2253	-0,2686
	-0,1574	-0,1624	-0,2502
	-0,1266	-0,1192	-0,2318
Х* =	-0,1112	0,0105	0,1730
	0,0428	0,0498	0,1914
	0,0941	0,1283	0,1914
	0,0992	0,2462	0,2098
	0,1608	0,2501	0,2098
	0,1865	0,2580	0,2466
	0,4585	0,3248	0,3386
	-0,3165	-0,3196	-0,3054

 

Крок 2. Розрахунок кореляційної матриці нульового порядку[2]⁾.

 

де         — матриця нормалізованих пояснювальних змінних;

    — матриця, транспонована до X*.

Маємо:

	-0,3165	-0,3196	-0,3054
	-0,2446	-0,3117	-0,2870
	-0,2344	-0,3078	-0,2870
	-0,2293	-0,2881	-0,2686
	-0,2087	-0,2253	-0,2686
	-0,1574	-0,1624	-0,2502
	-0,1266	-0,1192	-0,2318
Х* =	-0,1112	0,0105	0,1730
	0,0428	0,0498	0,1914
	0,0941	0,1283	0,1914
	0,0992	0,2462	0,2098
	0,1608	0,2501	0,2098
	0,1865	0,2580	0,2466
	0,4585	0,3248	0,3386
	0,5868	0,4662	0,3386

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

	-0,3165	-0,24465	-0,23438	-0,22925	-0,20872	-0,1574	-0,1266	-0,1112
X*' =	-0,31955	-0,3117	-0,30777	-0,28812	-0,22526	-0,1624	-0,11918	0,010477
	-0,30544	-0,28704	-0,28704	-0,26864	-0,26864	-0,25024	-0,23184	0,172963
						Продовження матриці
		0,042771	0,094096	0,099228	0,160818	0,186481	0,458504	0,586816
		0,049767	0,128345	0,246213	0,250142	0,258	0,324792	0,466234
		0,191363	0,191363	0,209763	0,209763	0,246564	0,338565	0,338565

 

 

	1	0,9516	0,8820
rxx  =	0,9516	1	0,9530
	0,8820	0,9530	1

 

Кожний елемент цієї матриці характеризує тісноту зв'язку  однієї пояснювальної змінної з іншою.  Оскільки діагональні елементи характеризують тісноту зв'язку  кожної незалежної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці.

Решта елементів матриці r_хх такі:

r12    =	0,9516
r13   =	0,8820
r23   =	0,9530

 

Парні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв'язку між двома змінними. Вони можуть змінюватися в межах від - 1 до 1.

Коефіцієнти парної кореляції   r₁₂ ,  r₂₃  близькі до одиниці, тому  можна передбачити, що досліджувані пояснювальні змінні є мультиколінеарними. Користуючись цими коефіцієнтами, можна зробити висновок, що між змінними Х₁ і Х₂,   та   Х₂ і Х₃   існує вельми високий зв'язок.

Постає запитання: чи можна стверджувати, що цей зв’язок є виявленням мультиколінеарності і через це негативно впливатиме на оцінку параметрів економетричної моделі?

Щоб відповісти на це запитання, потрібно ще раз звернутися до алгоритму Фаррара-Глобера і знайти статистичні критерії оцінки мультиколінеарності.

Крок 3.  Обчислимо детермінант кореляційної матриці r_хх і  критерій  c²:

а)  

б)                                                         (n=15; m=3)

ln|r_xx | = -4,8226;

Отже,  критерій  c²= 58,6749.

Якщо ступінь свободи дорівнює                     а рівень значущості a=0,05, то критерій  c²_табл = 11,43.

Оскільки     <       доходимо висновку, що в масиві змінних існує мультиколінеарний зв'язок.

Крок 4.   Розрахуємо матрицю, обернену до матриці r_xx :

 

 

Матриця C — симетрична, і її діагональні елементи завжди мають бути додатними.

Крок 5.  Визначення F-критерію:  

 

де n — кількість спостережень; т — кількість пояснювальних змінних.

Виконавши обчислення, дістанемо:

 

 

 

Коли a = 0,05 і ступені свободи m-1=3-1=2,  n-m=15-3= 12    маємо F_крит = 3,885.

Фактично знайдене значення F-критерію порівнюємо з табличним.  У нашому випадку F_факт > F_крит , тобто пояснювальні змінні мультиколінеарні з рештою змінних.

Коефіцієнт детермінації до кожної змінної:

 

 

R21  =

0,912

R22  =

0,96

R23  =

0,9149

Якщо коефіцієнт детермінації наближається до одиниці, то пояснювальна змінна мультиколінеарна з іншими.

Крок 6.  Обчислення частинних коефіцієнтів кореляції:

 

 

де  С_kj — елемент матриці С, що міститься в k-му рядку i j-му стовпці;  
C_kk і C_jj —діагональні елементи матриці С.

 

Частинні коефіцієнти кореляції характеризують рівень тісноти зв'язку між двома змінними за умови, що решта змінних на цей зв'язок не впливає. Частинні коефіцієнти кореляції за модулем нижчі, ніж коефіцієнти парної кореляції, бо на їхній рівень не впливає решта змінних, які мають зв'язок із цими двома.

Крок 7.  Обчислення t-критеріїв:

 

 

t12 =  4,287

t13 = -0,962

t23  = 4,394

tкрит = 2,179

Обчислені t-критерії порівнюємо з табличним за вибраного рі­вня значущості a = 0,05 і ступенів свободи n-m= 12.

Якщо t_kj більше за t_табл, як у нашому випадку, то пара цих пояснювальних змінних тісно пов'язана між собою.

Оскільки розраховані   t₁₂ > t_табл  та   t₂₃ > t_табл ,  то можна зробити висновок, що пари цих пояснювальних змінних (X₁  і X₂   та   X₂  і X₃) – тісно пов'язані  між собою.

Висновок.

Оскільки            <                   доходимо висновку, що в масиві змінних існує мультиколінеарний зв'язок.

t₁₂ > t_табл  – між  змінними Х₁ і X₂ (продуктивністю праці та чисельністю працівників) існує мультиколінеарність.

t₂₃ > t_табл – між  змінними Х₂ і X₃ (чисельністю працівників та фондовіддачею) існує мультиколінеарність.

А це означає, що метод найменших квадратів застосувати в цьому разі не можна.

Тестові завдання

1. Коефіцієнт кореляції розраховується  за  формулою:

[1 ]

[2 ]

[ 3]

[4 ]

 

1.  Коефіцієнт детермінації приймає   значення:

[1 ] від -4 до +4

[2 ] від 0 до 1

[3 ] від -1 до +1

[4 ] від   0,8  до 1

 

1. Майстер функцій “f” системи Microsoft Eхсеl  повертає визначник матриці за допомогою функції:

[1 ] МУМНОЖ

[2 ] МОБР

[ 3] МОПРЕД

[ 4] ТРАНСП

[5 ] ВПР

[6 ] КОРРЕЛ

 

1. Розв'язок системи нормальних рівнянь матричному запису:

[1 ]

[2 ]

[3 ]

[4 ]

 

1. Міра варіації залежної змінної (результативного показника) Y залежить від варіації незалежної змінної (вхідного показника) X  і визначається за:

[1 ] коефіцієнтом  кореляції

[2 ] стандартною похибкою

[3 ] середньоквадратичним відхиленням

[4 ] коефіцієнтом детермінації

 

1. Оцінка точності моделі визначається

[1 ] за F-критерієм Фішера

[2 ] по коефіцієнту кореляції

[3 ] по середньоквадратичному відхиленню

[4 ] за допомогою алгоритму Фаррара-Глобера

 

1. Кількісну оцінку зв'язку між залежною змінною Y та незалежною змінною X оцінюють

[1 ] за F-критерієм Фішера

[2 ] за   критерієм   Пірсона   c²

[3 ] по середньоквадратичному відхиленню

[4 ] по коефіцієнту кореляції

 

1. Коефіцієнт детермінації розраховується  за  формулою:

[1 ]

[2 ]

[3 ]

[4 ]

 

9. Коефіцієнт кореляції приймає   значення:

[1 ] від 0 до 1

[2 ] від -4 до +4

[3 ] від -1 до +1

[4 ] від   0,8  до 1

 

10. Майстер функцій “f” системи Microsoft Eхсеl  знаходить матрицю, обернену до квадратної матриці за допомогою функції:

[1 ] МУМНОЖ

[2 ] ТРАНСП

[3 ] ОТБР

[4 ] МОПРЕД

[5 ] МОБР

[6 ] НОРМОБР

 

11. Гіпотеза про значимість зв'язку між залежною та незалежними змінними множинної регресії підтверджується, якщо:

[1 ] t_a > t_табл

[2 ] F_розр > F_табл

[3 ] c² _факт > c²_табл

[4 ] r_хх  > 0,8

 

12.  Табличне значення критерію Фішера вибирається:

[1 ] за   критерієм   Пірсона   c²

[2 ] ступеням вільності f₁ та  f₂ 

[3 ] верхній межі d_L

[4 ] нижній межі d_U

 

13. Середньоквадратична похибка розраховується  за  формулою:

[1 ]

[2 ]

[3 ]

[4 ]

 

14. Коефіцієнт детермінації приймає   значення:

[1 ] від 0 до 1

[2 ] від -4 до +4

[3 ] від -1 до +1

[4 ] завжди дорівнює 0

 

15. Майстер функцій “f” системи Microsoft Eхсеl  знаходить добуток матриць за допомогою функції:

[1 ] МУМНОЖ

[2 ] ДДОБ

[3 ] ТРАНСП

[4 ] МОПРЕД

[5 ] МОБР

[6 ] МБСД

 

16. Зв'язок, при якому кожному значенню незалежної змінної відповідає строго визначена величина залежної перемінної

[1 ] функціональній зв'язок

[2 ] статистичний зв'язок

[3 ] лінійний  зв'язок

[4 ] кореляційний зв'язок

 

17. Значимість зв'язку між змінними моделі характеризує

[1 ] ступені вільності f₁ та  f₂ 

[2 ] F-критерій Фішера

[3 ] відносна похибка

[4 ] коефіцієнт кореляції

 

18. Для аналізу і прогнозування економічних процесів і явищ за допомогою методів математичної статистики призначена

[1 ] Імітаційна модель

[2 ] Оптимізаційна модель

[3 ] Економетрична модель

[4 ] Балансова модель

 

19. Якщо у заданій матриці А поміняти місцями елементи рядків   на   відповідні   елементи   стовпців,   то дістанемо

[1 ] одиничну

[2 ] діагональну

[3 ] обернену матрицю

[4 ] транспоновану матрицю

 

20. Припустимо, що для опису одного економічного процесу придатні дві моделі. Обидві адекватні за F-критерієм Фішера. Перевагу надають моделі з

[1 ] Меншим значенням F-критерію Фішера

[2 ] Більшим значенням F-критерію Фішера

[3 ] Меншим коефіцієнтом детермінації

[4 ] Більшим коефіцієнтом детермінації

 

21. Коефіцієнт кореляції розраховується  за  формулою:

[1 ]

[2 ]

[3 ]

[4 ]

 

 

22. Якщо регресія R²=0,80, то регресійна лінія:

[1 ] Пояснює 80% варіації змінної х

[2 ] Не пояснює зв'язку між y та х

[3 ] Пояснює 80% варіації змінної y

[4 ] Матиме перетин 0,80

 

23. Майстер функцій “f” системи Microsoft Eхсеl  повертає транспоновану матрицю за допомогою функції:

[1 ] МУМНОЖ

[2 ] МОПРЕД

[3 ] ТРАНСП  

[4 ] ТТЕСТ

[5 ] ТЕНДЕНЦИЯ

[6 ] МОБР

 

24. Тіснота зв'язку між змінними моделіпервіряються:

[1 ] За ступенями вільності f₁ та  f₂ 

[2 ] За F-критерієм Фішера

[3 ] За середньоквадратичною похибкою

[4 ] За коефіцієнтом кореляції

 

25. Для характеристики відхилень коефіцієнта кореляції, як вибіркової величини, від свого "істотного" значення вимагається перевірка його значимості за

[1 ] t-критерієм Ст 'юдента

[2 ] коефіцієнтом детермінації R² 

[3 ] за   критерієм   Пірсона   c²

[4 ] F-критерієм Фішера

 

26. Можна зробити висновок про значимість коефіцієнта кореляції між змінними, якщо

[1 ] t_a > t_табл

[2 ] F_розр > F_табл

[3 ]

[4 ] c² _факт > c²_табл

 

27. Модель вважається достовірною якщо:

[1 ] R = 0,9 і більше

[2 ] F_розр > F_табл

[3 ] c² _факт > c²_табл

[4 ] t_факт < t_табл

 

28. Якщо у заданій матриці А поміняти місцями елементи стовпців на   відповідні   елементи   рядків,   то дістанемо

[1 ] одиничну

[2 ] діагональну

[3 ] обернену матрицю

[4 ] транспоновану матрицю

 

29. Зв'язок, при якому кожному значенню незалежної перемінної відповідає строго визначена величина залежної перемінної

[1 ] кореляційний зв'язок

[2 ] статистичний зв'язок

[3 ] функціональній зв'язок

[4 ] лінійний зв'язок

 

 

 

30. Коефіцієнт кореляції приймає   значення:

[1 ] завжди дорівнює 1

[2 ] від -4 до +4

[3 ] від 0 до 1

[4 ] від -1 до +1

 

31. Наслідком мільтиколінеарності є:

[1 ]  F_розр > F_табл  за своїми значеннями

[2 ] падає точність оцінювання параметрів моделі

[3 ] ступінь тісноти лінійної залежності зростає

[4 ] R = 0,1 ¸ 0,3

 

32. Ознакою мільтиколінеарності є:

[1 ] значне   наближення   коефіцієнта   кореляції   до одиниці

[2 ] велике стандартне відхилення

[3 ] економетрична модель є стохастичною (випадковою)

[4 ] відсутній кореляційний зв'язок між показниками

 

33. Мультиколінеарність може бути досліджена за  допомогою

[1 ] методу найменших квадратів

[2 ] розрахунку стандартної помилки

[3 ] оцінки параметрів

[4 ] алгоритму Фаррара-Глобера

 

34. В масиві пояснювальних змінних існує мультиколінеарність якщо:

[1 ] Помилка залежить від незалежної змінної

[2 ] Кореляція між помилками та незалежними змінними

[3 ] Дисперсія помилок не є постійною

[4 ] Незалежні змінні корелюють між собою

 

35. Наслідком мільтиколінеарності є:

[1 ] порушення   гіпотези   про   значимість зв'язку

[2 ] незалежна змінна надто корельовано із залежною змінною

[3 ] проблеми із статистичними висновками

[4 ] неефективні оцінки параметрів

 

36. Ознакою мільтиколінеарності є:

[1 ] Незалежна змінна виміряна з помилкою

[2 ] наявність високих значень парних коефіцієнтів кореляції

[3 ] відсутній кореляційний зв'язок між показниками

[4 ] відсутній лінійний зв'язок між показниками

 

37. Наявність сталої (постійної) дисперсії залишків називається

[1 ] незміщеністю

[2 ] гомоскедастичністю

[3 ] мультиколеніарністю

[4 ] розсіюванням

 

38. Наслідком мільтиколінеарності є:

[1 ] порушення   гіпотези   про   значимість зв'язку

[2 ] незалежна змінна надто корельовано із залежною змінною

[3 ] проблеми із статистичними висновками

[4 ] неефективні оцінки параметрів

 

39. Коефіцієнт кореляції розраховується  за  формулою:

[1 ]

[2]

[3 ]

[4 ]

 

40. Для аналізу і прогнозування економічних процесів і явищ за допомогою методів математичної статистики призначена:

[1 ] Імітаційна модель

[2 ] Економетрична модель

[3 ] Сітьова модель

[4 ] Економіко-математична модель

 

41. Зв'язок, при якому на показник-функцію впливають не тільки фактори-аргументи, відібрані в процесі дослідження, але й безліч інших ознак, що не піддаються вивченню в силу недосконалості статистичного обліку

[1 ] статистичний зв'язок

[2 ] функціональній зв'язок

[3 ] кореляційний зв'язок

[4 ] регресивний зв'язок

 

42. Ознакою мільтиколінеарності є:

[1 ] велике стандартне відхилення

[2 ] значне   наближення   коефіцієнта   кореляції   до одиниці

[3 ] економетрична модель є стохастичною (випадковою)

[4 ] відсутній кореляційний зв'язок між показниками

 

43. Наслідком мільтиколінеарності є:

[1 ]   F_розр > F_табл  за своїми значеннями

[2 ] R = 0,1 ¸ 0,3

[ 3] ступінь тісноти лінійної залежності зростає

[4 ] спадає точність оцінювання параметрів моделі

 

44. Крива Гомперця:

[1 ]

[2 ] Y = a(1  +  r)^x

[3 ]

[4 ]

 

45. Крива Філіпса:

[1 ]

[2 ] Y = a(1  +  r)^x

[3 ]

[4 ]

 

46. Якщо регресія R2=0,80, то регресійна лінія:

[1 ] Матиме нахил 0,80

[2 ] Не пояснює зв'язку між y та  х

[3 ] Пояснює 80% варіації змінної х

[4 ] Пояснює 80% варіації змінної  y

 

47. Майстер функцій “f” системи Microsoft Eхсеl  повертає визначник матриці за допомогою функції:

[1 ] МУМНОЖ

[2 ] НОРМОБР

[3 ] ТРАНСП

[4 ] МОБР

[5 ] ПОИСК

[6 ] МОПРЕД

 

48. Кількісну оцінку зв'язку між залежною змінною Y та незалежною змінною X оцінюють

[1 ] за F-критерієм Фішера

[2 ] по коефіцієнту кореляції

[3 ] за   критерієм   Пірсона   c²

[4 ] за t-критерієм Ст 'юдента

 

49. В масиві пояснювальних змінних існує мультиколінеарність якщо:

[1 ] t _факт >  t_табл

[2 ] F_розр > F_табл

[3 ] c² _факт > c²_табл

[4 ] t_факт < t_табл

 

50. Наявність сталої (постійної) дисперсії залишків називається

[1 ] незміщеністю

[2 ] розсіюванням

[3 ] мультиколеніарністю

[4 ] гомоскедастичністю

 

ДОДАТКИ

Додаток 1

 Вихідні дані для лабораторних робіт № 1 та № 2

 

 

 

Продовження дод. 1

 

 

 

Закінчення дод.1

 

Варіант 29				Варіант 30
Y	Х1	Х2		Y	Х1	Х2
18,1	4,5	20,5		13,1	8,3	55,8
18,0	4,0	21,6		13,4	8,0	56,1
17,6	4,1	21,8		13,0	8,7	57,1
18,4	4,6	21,3		12,8	8,1	60,3
19,1	3,7	22,8		14,5	7,5	61,4
19,9	3,1	23		14,8	6,5	62,5
20,1	3,0	24,0		15,1	6,0	70,4
20,3	2,8	25,6		15,4	5,9	71,7
21,4	2,5	25,0		15,9	5,4	73,7
22,5	2,0	27,8		16,3	5,1	73,7
23,4	1,9	29,1		17,4	4,3	75,8
25,1	0,9	30,5		18,1	2,1	76,7
26,3	0,7	31,3		19,0	2,0	77,9
28,0	0,7	32,7		19,3	1,5	78,1
28,0	0,7	32,7		19,3	1,5	78,1

 

Примітка.       Y – продуктивність праці, тис. грн/чол.;    Х₁ – втрати робочого часу, тис. людино-годин на рік;    Х₂ – коефіцієнт використання потужності, %.