Економіко-математичне моделювання

Економіко-математичне моделювання 26.08.2013 01:37

Вправа 2.

1. В наступній виборці представлені дані по ціні Р деякого блага і кількості (Q) даного блага, що домогосподарство купує щомісяця впродовж року.

Місяць	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Р	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Q	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

1. Побудуйте кореляційне поле і за розташуванням точок на графіку  визначте  формулу залежності між P та Q.
2. Оцініть за  МНК параметри рівняння лінійної регресії.
3. Оцініть вибірковий коефіцієнт кореляції rpq.
4. Проінтерпретуйте результати.

2. Дана таблиця тижневого прибутку (X) та тижневого  споживання (Y) для 60 домашніх господарств:

X	Y
100	60	65	75	85	90
120	70	70	80	85	90	100
140	90	95	95	100	100	120
160	100	110	115	120	125	125	130
180	110	120	120	130	135	140	150	150
200	120	125	130	135	140	150	160	165
220	120	140	145	145	155	165	180
240	150	160	170	190	200
260	140	160	180	210	220
280	180	210	230

1. Для кожного рівня прибутку розрахуйте середнє значення споживання, що є оцінкою умовного математичного сподівання M(Y|X = x_i).
2. Побудуйте кореляційне поле для даної виборки.
3. Побудуйте емпіричне лінійне рівняння регресії, використовуючи всі дані.
4. Побудуйте емпіричне лінійне рівняння регресії, використовуючи тільки середні значення споживання для кожного рівня прибутку.
5. Порівняйте побудовані рівняння. Яке з них, з вашої точки зору, ближче до теоретичного?
6. Розрахуйте вибірковий коефіцієнт кореляції для d) та i). Чи буде лінійний зв’язок між даними змінними суттєвим?  Відповідь обгрунтуйте.

Вказівка. На підставі початкових даних утворити варіанти завдань, додаючи у першому наборі даних до кожного значення число N, а у другому – віднімаючи N, де N=46 – остання цифра залікової книжки, або номер за списком групи.

 

Вправа 3.

1. Після оцінювання параметрів парних моделей попереднього заняття провести їх економетричне дослідження:
1. Обчислити модельні значення  результативного показника ŷ_i = â₀ + â₁x₁ та залишки  моделі  u_i = y_i - ŷ_i.
2. Обчислити відносні похибки  та середнє значення відносної похибки .
3. Обчислити стандартну похибку рівняння   та незміщену  дисперсію залишків  і відповідне середньо квадратичне відхилення залишків 
4. Обчислити коефіцієнт детермінації , .

2. Перевірити статистичні  гіпотези:
1. про значущість коефіцієнта детермінації (тобто перевірити адекватність моделі;
2. про значущість кореляційного зв’язку;
3. про значущість окремих параметрів моделі.

 

 

Вправа 9.

Для заданої моделі лінійної регресії на рівні α = 0,05 побудувати:

1. надійні інтервали регресії;
2. надійні інтервали параметрів;
3. визначити точковий прогноз результативного показника при прогнозних значеннях факторних змінних Xpr = (1; 48,74;34,68;27,69;49,69)
4. визначити інтервальний прогноз результативного показника та його математичного сподівання на рівні α = 0,05.
5. на підставі парної регресії залежності факторних змінних від значення i обчислити прогнозні значення кожної з них для моменту i = 13;
6. обчислити прогнозне значення результативної змінної за допомогою рівняння парної регресії, яка описує залежність показника від значення i, а також  за допомогою рівняння множинної регресії для прогнозних значень факторних змінних. Порівняти результати.

Зробити висновки щодо моделі загалом і отриманих за її допомогою результатів.

 

Вправа 11.

1. За наведеними даними по ВНП (Y), споживанню (C) і інвестиціям (I) для вигаданої економіки за 20 років:

Y	95,75	98,55	103,55	109,00	108,25
C	60,45	62,45	65,90	68,90	68,45
I	14,30	15,85	17,75	19,70	18,10

2.  

Y	107,40	112,70	117,75	123,45	126,55
C	70,00	73,55	76,55	79,70	81,60
I	14,60	17,35	20,00	22,15	22,30

3.  

Y	125,85	128,10	125,35	130,25	138,30
C	81,55	82,55	83,45	87,35	91,55
I	19,80	21,00	18,00	20,00	25,25

4.  

Y	142,65	146,80	151,30	157,40	161,25
C	95,50	99,00	101,75	105,40	107,45
I	24,85	24,50	25,00	25,80	26,15

1. оцінити за МНК параметри β₀ і β₁ функції споживання c_t = β₀ + β₁y_t + ε_t.
2. Оцінити ті ж параметри за схемою найпростішої кейнсіанської моделі формування прибутків  на основі НМНК.
3. Порівняти отримані результати. Зробити висновки про якість оцінок.

Вказівка. Варіанти завдань утворити додаванням до кожного спостереження числа N, де  N=46- останні дві цифри номера залікової книжки або порядковий номер у списку групи.

2. Розглядається наступна модель:

 

де r_t — процентна ставка в році t; y_t — ВВП у році t; m_t— грошова маса M₂ року t.

На підставі статистичних даних оцінити параметри ідентифікованих рівнянь. Чи збігаються знаки знайдених оцінок з передбачуваними теоретично?

rt	6,55	4,55	4,45	7,00	7,50
yt	95,75	98,5	103,55	109,00	108,25
mt	58,30	60,00	60,55	64,50	65,00

 

rt	8,75	9,70	10,00	11,50	7,75
yt	107,40	112,70	117,75	123,45	126,55
mt	63,45	67,60	70,50	74,00	76,50

 

rt	6,00	6,10	5,90	9,80	8,00
yt	125,85	128,10	125,35	130,25	138,30
mt	75,00	77,25	74,00	78,45	85,50

 

rt	7,50	7,00	6,50	7,40	5,50
yt	142,65	146,80	151,30	157,40	161,25
mt	87,00	88,00	90,50	94,40	96,50

Вказівка. Дані для різних варіантів утворити аналогічно першому завданню.

 

 

Вправа 13.

Розглядаються два проекти А та В щодо інвестування. Відомі оцінки прогнозованих значень доходу від кожного з цих проектів та відповідні значення ймовірностей. Цифрові дані наведено в таблиці.

Потрібно оцінити міру ризику кожного з цих проектів та обрати один із них для інвестування (той, що забезпечує меншу величину ризику), якщо за величину ризику приймається:

1. величина дисперсії;
2. величина коефіцієнта варіації;
3. величина семіваріації;
4. величина коефіцієнта семі варіації;
5. величина коефіцієнту асиметрії;
6. величина коефіцієнту ексцесу.

Оцінка можливого результату	Прогнозований прибуток ($млн.) Проект А	Прогнозований прибуток ($млн.) Проект В	Значення ймовірностей
Песимістична	100	120	0,2
Стримана	600	700	0,50
Оптимістична	900	1100	0,3

 

 

Вправа 19.

1. Перевірити наявність тенденції в часовому ряді:

1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998
14,1+N/10	9,3–N/10	19,4+N/10	19,7–N/10	5,4+N/10	24,2–N/10	13,8+N/10	24,5–N/10
1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
14,7+N/10	16,6–N/10	5,6+N/10	16,2–N/10	25,3+N/10	11,9–N/10	18,5–N/10

2. Перевірити наявність тенденції середнього рівня прибутку фірми і визначити порядок полінома, який описує цю тенденцію.

Роки	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Рівень прибутку  yt, ум.гр.од.	0,81+N/10	0,85+N/10	0,9+N/10	0,94+N/10	0,98+N/10	1,03+N/10	1,07+N/10
Роки	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Рівень прибутку  yt , ум.гр.од.	1,12+N/10	1,16+N/10	1,2+N/10	1,26+N/10	1,31+N/10	1,35+N/10	1,39+N/10	1,42+N/10

3. N=46 – остання цифра у номері залікової книжки або порядковий номер у списку групи.
4. Визначити структуру обох часових рядів.