Фізика

Фізика 30.09.2015 08:15

Міністерство освіти і науки України

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фізика

Методичні вказівки до практичних занять

для студентів напряму «Приладобудування»

денної форми навчання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Луцьк

 2015

 

УДК 539.2

         К19

 

До друку  ________________  Голова Навчально-методичної ради Луцького НТУ

                                             (підпис)

 

Електронна копія друкованого видання передана для внесення в репозитарій Луцького НТУ  ________________  директор бібліотеки.

              (підпис)

 

Затверджено Навчально-методичною радою Луцького НТУ,

протокол № __від «__»_________20 __ року.

 

Рекомендовано до видання Навчально-методичною радою факультету екології та приладо-енергетичних систем Луцького НТУ, протокол № __від «__»_________20 __ року.

________________  Голова навчально-методичної ради факультету екології та приладо-

              (підпис)                              енергетичних систем

 

Розглянуто і схвалено на засіданні кафедри фізики і електротехніки Луцького НТУ,

протокол № __від «__»_________20 __ року.

 

 

 

Укладачі:    _______________ Ю.В. Коваль, канд. фіз.-мат.  наук, доцент Луцького НТУ

                                            (підпис)

  _______________ Д.А. Захарчук, канд. фіз.-мат.  наук, доцент Луцького НТУ

                                            (підпис)

 

Рецензент:   _______________ Л.В. Ящинський, канд. фіз.-мат.  наук, доцент Луцького НТУ

                                             (підпис)

                        

Відповідальний

за випуск:        ____________ Л.В. Ящинський, канд. фіз.-мат.  наук, доцент Луцького НТУ

                                              (підпис)

 

                 

 

 

 Фізика [Текст] : методичні вказівки до практичних занять

 для студентів напряму «Приладобудування»

К19   денної форми навчання/ уклад. Ю.В. Коваль, Д.А. Захарчук. – Луцьк :  Луцький НТУ, 2015. – 54 с.

 

 

 

 

   Видання містить методичні вказівки до практичних занять.

   Призначене для студентів напряму «Приладобудування» денної форми навчання.

 

 

 

© Ю.В. Коваль, Д.А. Захарчук, 2015

 

 

ЗМІСТ

 

Приклади розв’язування типових задач...................................	4
Кінематика гармонічних коливань............................................	21
Додавання коливань....................................................................	22
Сила та енергія в гармонічних коливаннях..............................	25
Математичний і фізичний маятники.........................................	26
Пружинний маятник...................................................................	28
Інші гармонічні осцилятори......................................................	30
Закон збереження енергії (метод узагальнених     координат) у коливальних процесах.........................................	33
Коливальні системи з двома ступенями вільності...................	35
Згасаючі механічні коливання...................................................	36
Пружні хвилі. Розподіл зміщень і деформацій у пружній хвилі..............................................................................................	41
Швидкість пружних хвиль. Потік енергії.................................	44
Елементи акустики......................................................................	45
Поглинання, відбивання й заломлення звуку...........................	47
Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі............................................	49
Дисперсія хвиль. Фазова і групова швидкості.........................	52
Список рекомендованої літератури...........................................	53

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

       

 

МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ

Задача 1

За яку частину періоду точка, що здійснює гармонічні коливання за законом косинуса, зміститься на половину амплітуди, якщо в початковий момент вона перебувала в положенні рівноваги?

Розв’язання:

Коливання точки описується рівнянням:

.

Оскільки при t =0 зсув х = 0, то початкова фаза φ повинна дорівнювати π/2, тобто рівняння має вигляд:

 = .

За умовою зсув , отже,  (знак «мінус» не враховуємо, тому що нас цікавить перше попадання частинки, що коливається у цьому положенні).

Звідси  і .

 

Задача 2

Точка здійснює коливання за законом (м), де . Визначити прискорення точки в момент часу, коли її швидкість дорівнює 8 м/с.

Розв’язання:

        Залежність швидкості точки, яка коливається, від часу задається рівнянням:

 

і при  отримуємо:

Отже, .

Залежність прискорення точки, яка коливається, від часу задається рівнянням:

 

і з врахуванням того, що кут , отримуємо:

 м/с².

Задача 3

Максимальна швидкість точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює 10 см/с, максимальне прискорення дорівнює 100 см/с². Знайти циклічну частоту, період і амплітуду коливань.

Розв’язання:

Порівнюючи формули

,

,

 

бачимо, що    .

Тоді . Звідси випливає, що с^-1.

Період коливань   с.

Амплітуда   м.

 

Задача 4

Амплітуда гармонічних коливань матеріальної точки , повна енергія коливань = 3·10^-7 Дж. При якому зміщенні від положення рівноваги на точку, що коливається, діє сила F = 2,25·10^-5 Н?

Розв’язання:

Повна енергія коливань згідно закону збереження енергії W_повн = W_кін + W_пот = . З цього виразу випливає, що .

Сила згідно другого закону Ньютона . Прискорення точки, що коливається

Отже, сила, що діє на матеріальну точку, . Звідси шукане зміщення

 м.

 

Задача 5

Амплітуда гармонічних коливань матеріальної точки рівна 5 см. Маса матеріальної точки 10 г і повна енергія коливань . Написати рівняння гармонічних коливань цієї точки, якщо початкова фаза коливань рівна .

Розв’язання:

Загальне рівняння гармонічних коливань має вигляд:

.                              (1)

У нас , . Період коливань невідомий, але його можна знайти з умови задачі:

.

Звідси період:

.                                   (2)

У нас ,  і . Підставляючи ці дані в формулу (2), отримаємо . Тоді , і рівняння (1) буде мати вигляд:

.

Відмітимо, що так як  - величина безрозмірна, то амплітуду А не обов’язково підставляти в метрах; одиниці вимірювання х будуть відповідати одиницям вимірювання амплітуди А.

 

Задача 6

Матеріальна точка масою  здійснює гармонічні коливання за законом косинуса з періодом  і початковою фазою, яка рівна нулю. Повна енергія точки, що коливається . Знайти амплітуду коливань ; написати рівняння даних коливань; знайти найбільше значення сили , що діє на точку.

Розв’язання:

        Запишемо рівняння гармонічних коливань без початкової фази:

,

де  - циклічна частота.

Залежність швидкості точки, яка коливається, від часу задається рівнянням:

.

Кінетична енергія точки рівна:

.

Звідси амплітуда:

.

Циклічна частота:

.

        Таким чином, рівняння такого гармонічного коливання може бути представлене у вигляді:

.

Прискорення точки:

.

Звідси максимальне значення прискорення:

.

Згідно другого закону Ньютона максимальна сила, що діє на точку,

.

 

Задача 7

Знайти амплітуду, період, частоту і початкову фазу коливання, яке задається рівнянням:

.

 

Розв’язання:

        Рівняння гармонічного коливання в загальному вигляді:

,

де  - амплітуда,  - циклічна частота,  - початкова фаза.

Порівнюючи обидва вирази і враховуючи, що , знаходимо:

;

;

;

.

 

Задача 8

Точка здійснює гармонічні коливання, рівняння яких має вигляд:

.

У момент, коли зростаюча сила вперше досягла значення , точка мала потенціальну енергію . Знайти цей момент часу  і відповідну йому фазу коливань.

Розв’язання:

        Зростаюча сила . Якщо рівняння гармонічного коливання має вигляд: , то прискорення буде рівним:

,

і відповідно, зростаюча сила:

.

        Потенціальна енергія:

.

Враховуючи, що , отримаємо:

.

З виразів для  та  знаходимо:

;

,

звідки

;

;

.

 

Задача 9

Стержень, що використовується як фізичний маятник, підвішений за один з його кінців. Чому дорівнює період коливань стержня, якщо його довжина 1 м?

Розв’язання:

Період коливань фізичного маятника визначається за формулою:

.

Отже, щоб знайти період коливань стержня, необхідно за теоремою Штейнера обчислити момент інерції стержня відносно осі, що проходить через точку підвісу:

.

Тоді, з огляду на те, що ,

с.

 

 

Задача 10

Два однаково напрямлених гармонічних коливання задані рівняннями  та , де ; ; . Визначити амплітуду результуючого коливання А, його частоту  і початкову фазу . Знайти рівняння цього руху.

Розв’язання:

Запишемо перше рівняння гармонічного коливання у вигляді:

.

Одержимо .

Тоді, згідно з формулою, амплітуда результуючого коливання:

.

Частота результуючого коливання дорівнює частоті коливань, що накладаються.

Початкову фазу знаходимо за формулою:

,

 

Початкова фаза

Рівняння результуючого коливання має вигляд:

 (м).

 

Задача 11

Точка бере участь одночасно в двох взаємно перпендикулярних коливаннях, що виражаються рівняннями (см) і (см). Знайти рівняння траєкторії точки і побудувати її, вказавши напрямок руху, якщо (с^-1).

 

Розв’язання:

Запишемо друге рівняння у вигляді : . Як видно, різниця фаз коливань, що накладаються , і це відповідає випадку . Траєкторією руху в цьому випадку є еліпс, приведений до головних осей, рівняння якого  Для того, щоб вказати напрямок руху точки, необхідно проаналізувати, як змінюється її положення з часом. Для цього обчислимо координати точки для двох найближчих моментів часу. Період результуючих коливань с. Тому моменти часу, що відрізняються на одну секунду, можна вважати досить близькими. При :  . При с:

 Отже, точка 1 має координати (2;0), а точка 2 - (1; -0,86). Це означає, що рух відбувається за годинниковою стрілкою.

 

Задача 12

Як зміниться період коливань математичного маятника при переносі його з Землі на Місяць?

Розв’язання:

Періоди коливань математичного маятника на Місяці й на Землі відповідно рівні:

;    ,

де  - прискорення вільного падіння на поверхні Місяця і Землі;  - довжина маятника.

        Згідно закону всесвітнього тяжіння:

;    ,

де  - гравітаційна стала; , , ,  - маси  і радіуси Місяця та Землі відповідно. Таким чином, можемо записати:

.

 

Задача 13

Чому рівний період коливань математичного маятника, який знаходиться в вагоні, який рухається горизонтально з прискоренням ?

Розв’язання:

Період коливань математичного маятника:

,

де  - прискорення вільного падіння в вагоні, що рухається з прискоренням.

        Таким чином,

.

 

Задача 14

Амплітуда коливань математичного маятника довжиною 1 м за час 10 хв зменшилася в два рази. Визначити коефіцієнт згасання, логарифмічний декремент згасання коливань і кількість коливань, зроблених за цей час. Записати рівняння коливань, якщо в початковий момент маятник був відведений з положення рівноваги на 5 см і відпущений.

Розв’язання:

Період коливань математичного маятника визначається заформулою: , а (с^-1). Запишемо відношення амплітуд початкової см і через час                t = 10 хв:

.

Отже,  звідси с^-1. Кількість коливань N, зроблених за час t , знайдемо з того, що . Звідси виходить, що  і .

Логарифмічний декремент згасання визначимо за формулою: .

Вибір гармонічної функції для написання рівняння коливань проведемо на основі того, що в початковий момент зсув точки від положення рівноваги дорівнює амплітуді, а цій умові задовольняє функція косинус. Тоді рівняння таких згасаючих коливань має вигляд: (м).

 

Задача 15

Пружинний маятник (жорсткість пружини k = 10 Н/м, маса вантажу m = 100 г) робить вимушені коливання у в’язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 2·10^-2 кг/с. Визначити коефіцієнт згасання β і резонансну частоту А_рез, якщо амплітудне значення сили F₀ = 10 мН.

Розв’язання:

Коефіцієнт згасання визначається згідно з формулою:  с^-1.

Власна частота с^-1. Тоді резонансна частота  м.

 

Задача 16

        Тіло (рис. 1) масою  зв’язане з двома пружинами жорсткостями . Якою буде максимальна амплітуда коливань тіла, якщо йому надати початкову швидкість ? Горизонтальну площину вважати гладкою.

Розв’язання:

        Якщо тілу надати початкової швидкості , то воно почне деформувати пружини до тих пір, поки кінетична енергія руху повністю не перейде в потенціальну енергію деформації.

        Коли тіло максимально зміститься від положення рівноваги, пружини набудуть потенціальну енергію:

,

де  - максимальне зміщення, або амплітуда коливань ;    - жорсткість пружини. Відповідно,

.

Звідси                          .

 

МЕХАНІЧНІ ХВИЛІ

Задача 1

Поперечна хвиля поширюється вздовж пружного шнура зі швидкістю 15 м/с. Період коливань точок шнура дорівнює 1,2 с, амплітуда  - 2 м. Визначити фазу коливань, зміщення, швидкість і прискорення точки, що розміщена на відстані     45 м від джерела в момент часу t = 4 с. Початкова фаза дорівнює нулю.

Розв’язання:

Довжина хвилі  м. Зміщення точки визначимо з рівняння хвилі:

,

Звідси

 м.

Фаза коливань (аргумент косинуса)  рад.

Для знаходження швидкості точки продиференціюємо  по часу:

 м/с.

Диференціювання швидкості по часу дозволяє знайти прискорення:

 м/с².

 

Задача 2

Хвиля поширюється в пружному середовищі зі швидкістю  = 100 м/с. Найменша відстань між точками середовища, фази яких протилежні, дорівнює 1 м. Визначити частоту коливань.

 

Розв’язання:

Згідно означення, довжиною хвилі називається найменша відстань між точками, фази яких однакові. Тому відстань між точками, що коливаються в протифазі, відповідає λ/2. Звідси довжина хвилі λ = 2 м (до цього ж висновку можна прийти, використовуючи формулу, що визначає зв'язок між різницею фаз і різницею ходу: , поклавши , а     м). Частота відповідно рівна   Гц.

 

Задача 3

        Знайти різницю фаз коливань двох точок, які лежать на промені і які розміщені на відстані 2 м одна від одної, якщо довжина хвилі рівна 1 м.

Розв’язання:

Якщо дві точки лежать на промені на відстанях  та  від джерела коливань, то різниця фаз між ними визначається за формулою:

.

Оскільки за умовою задачі , то різниця фаз рівна:  - точки коливаються в однакових фазах.

 

Задача 4

Повз залізничну платформу проходить електропоїзд. Спостерігач, що стоїть на платформі, чує звук сирени електропоїзда. Коли електропоїзд наближається, то частота звуку  = 1100 Гц; коли віддаляється, то частота  = 900 Гц. Знайти швидкість електропоїзда і частоту звуку, сирени _. Швидкість звуку 332 м/с.

 

Розв’язання:

Відповідно до формули для ефекту Доплера позначимо швидкість спостерігача , швидкість електропоїзда, що подає сигнал, , а швидкість звуку .

Тоді

;

.

Звідси

;

.

 

Задача 5

Визначити довжину біжучої хвилі, якщо в стоячій хвилі відстань між: 1) першою і сьомою пучностями дорівнює 15см; 2) між першим і четвертим вузлами дорівнює 15см.

Розв’язання:

Координати пучностей стоячої хвилі задаються формулою . Тоді відстань між першою і сьомою пучностями . Звідси .

Координати вузлів стоячої хвилі задаються формулою . Тоді відстань між четвертим і першим вузлом . Звідси .

 

Задача 6

Циліндричною трубою діаметром d = 20 см і довжиною    l = 5 м, яка заповнена сухим повітрям, поширюється звукова хвиля середньою інтенсивністю I = 50 мВт/м² за період. Знайти енергію W звукового поля, яке розміщене в трубі. Швидкість звуку  = 332 м/с.

 

Розв’язання:

За означенням густина енергії:

,

а інтенсивність звукової хвилі .

Тоді енергія звукового поля:

.

 

Задача 7

Рівень звукового тиску  рівний . Знайти амплітуду звукового тиску і інтенсивність звуку. Поріг гучності звуку прийняти рівним .

Розв’язання:

Рівень звукового тиску  в децибелах пов’язаний з амплітудою звукового тиску  співвідношення:

,                                (1)

де  - амплітуда звукового тиску при нульовому рівні гучності. В системі МКС (складова частина системи СІ в області акустичних вимірювань) . За умовою задачі . Тоді з (1) маємо , звідси , тоді невідома амплітуда звукового тиску:

 

        Рівень гучності  в фонах пов’язаний з інтенсивністю звуку наступним співвідношенням:

.                                      (2)

За означенням фону маємо при  . Тоді з (2) , або . Шукана інтенсивність звуку .

 

Кінематика гармонічних коливань

 

1. Точка здійснює гармонічні коливання за законом                 х = 4 sin (0,5πt + 0,25π), де х - зміщення, см. Зобразити на одному рисунку у відповідному масштабі графіки залежності від часу зміщення х, швидкості υ_x і прискорення a_х. Як співвідносяться фази коливань цих величин?

2. На рис. 1, а - в зображено графіки гармонічних коливань. Для кожного графіка обчислити період Т, частоту ν, амплітуду А, початкову фазу φ коливання, а також зміщення  від положення рівноваги через деякий час t після початку кожного з коливань: t_a = 6 с, t_б = 200 с, t_в = 2,5 год. За графіками гармонічних коливань (рис. 2) встановити закон руху кожного з них.

3. Записати закон гармонічного коливального руху, якщо швидкість точки в момент проходження положення рівноваги υ_max = 3,14 см/с, період коливань  Т = 4 с, зміщення точки від положення рівноваги у початковий момент часу х(0) =1,41 см, а точка рухається при цьому: а) від положення рівноваги;      б) до положення рівноваги.

 

   

 

      

                          

                         Рис.1                                  Рис, 2

4. Амплітуда гармонічних коливань точки А = 5 см, амплітуда швидкості υ_max = 7,85 см/с. Обчислити циклічну частоту ω коливань і максимальне прискорення a_max точки.

5. Точка здійснює коливання за законом синуса з періодом     Т = 12 с. У деякий момент часу зміщення x точки дорівнювало 1 см. Коли фаза коливань збільшилась удвічі, швидкість υ точки стала дорівнювати π/6 см/с. Визначити амплітуду A коливань.

6. Точка, що здійснює гармонічні коливання за законом          х = A cos (ωt + φ), де x - зміщення, см, у певний момент часу t₁ має зміщення х₁ = 4 см, швидкість υ₁ = 5 см/с і прискорення  a₁ = -80 см/с². Визначити: амплітуду А і період Τ коливань точки; фазу коливань ωt₁ + φ у момент часу, що розглядається; максимальні швидкість υ_max та прискорення a_max точки; час Δt проходження шляху, що дорівнює половині амплітуди коливань при русі: а) з положення рівноваги; б) з точки, координата якої х = A/2, у напрямі від положення рівноваги.

7. Точка здійснює коливання за законом x = 10 sin Зt, де x - зміщення, см. У деякий момент часу прискорення становило a₁ = 45 см/с². Визначити модуль швидкості | υ₁| точки в цей момент часу.

8. Точка здійснює коливання за законом x = A cos (ωt + φ), де А = 4 см. Визначити початкову фазу φ, якщо: а) х(0) = 2 см, υ(0) < 0; б) х(0) = -2 см, υ(0)< 0; в) х(0) = 2 см, υ(0) > 0;             г) х(0) = - 2 см, υ(0) > 0. Побудувати векторну діаграму для моменту часу t = 0.

 

 

Додавання коливань

 

9. Встановити закон руху, що здійснюється внаслідок додавання двох однаково напрямлених гармонічних коливань, які задані рівняннями: а) х₁ = 5 sin (10t + 0,75π), x₂ = 6 sin(10t + + 0,25π); б) х₁ = 2 sin 2t, x₂ = 4 cos 2t, де x₁,  x₂ - зміщення, см.

10. Точка бере участь одночасно у двох коливаннях однакового напряму, які відбуваються за законами                  х₁ = A cos ωt і х₂ = A cos 2ωt. Визначити швидкість υ і прискорення а точки через час t = T/12 після початку коливань, а також максимальну швидкість υ_max точки.

11. Користуючись методом векторних діаграм, визначити амплітуду результуючого коливання при додаванні однаково напрямлених коливань: а) x₁ = 6 cos (πt + π/2), x₂ = 8 cos πt;    б) x₁ = Α₁ cos (ωt - φ), x₂  = Α₂ cos (ωt - φ + π/2), x₃ = A₃ cos (ωt –  – φ + π) за додаткової умови .A₁ > A₃, а початкова фаза результуючого коливання має дорівнювати нулеві;                 в) x₁ = 5 cos ωt, x₂ = 5 cos (ωt + π/3), x₃ = 5 cos (ωt + 7π/6). Записати рівняння результуючого коливання в кожному випадку.

12. Користуючись методом векторних діаграм, додати велику кількість т однаково напрямлених гармонічних коливань:     а) якщо амплітуди коливань dA₁, dA₂, ..., dA_m, є однаковими, а кожне наступне коливання відстає за фазою від попереднього на однакове мале значення, так що різниця фаз першого і останнього становить π; б) за таких самих умов, але амплітуди коливань монотонно зменшуються, а фази першого і останнього відрізняються на 2π.

13. Чому гармонічні коливання зручно описувати в комплексній формі? Як використати закон додавання комплексних чисел для додавання гармонічних коливань?

14. На рис. 3 зображено графік, який є результатом додавання двох гармонічних коливань одного напряму з однаковими амплітудами й початковими фазами, що дорівнюють нулеві. Визначити амплітуди.A₁ і А₂ та частоти ω₁ і ω₂ цих коливань.

                      

                                                 Рис. 3

15. Точка здійснює одночасно два гармонічних коливання, які відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямах і описуються рівняннями: а)х = 5 sin ωt, у = 2 sin ωt;                  б) x = А₁ sin ωt, у = Α₂ sin ω(t + τ), де А₁ =2 cм, Α₂ = 1 cм,            ω = π c^-1 , τ = 0,5 с; в) x = 2 cos ωt, у = - cos 2ωt, тут х, у - зміщення, cм. Записати рівняння траєкторії руху точки та побудувати її, вказавши напрям руху.

16. Точка рухається по колу радіусом а, центр якого міститься в початку координат, з кутовою швидкістю ω. На які два рухи можна розкласти рух цієї точки, якщо вона рухається: а) за рухом стрілки годинника; б) проти руху стрілки годинника?

17. Два камертони звучать одночасно, їх частоти ν₁ = 256 Гц і ν₂ = 258 Гц. Визначити період Τ зміни результуючої амплітуди.

18. Точка здійснює одночасно два гармонічних коливання, які відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямах і описуються рівняннями x = A sin ωt і у = A cos 2ωt. Встановити рівняння траєкторії руху точки, а також модулі швидкості υ і прискорення а точки як функції часу t.

19. Кулька закріплена, як показано на рис. 4. Жорсткість усіх пружин є однаковою. У момент часу t = 0 кульці надають горизонтального імпульсу, а коли вона дійде до крайнього положення, їй додатково надають такого самого за модулем вертикального імпульсу. Яку траєкторію описує кулька? Як зміниться відповідь, якщо: а) вертикальний імпульс більший (менший) за горизонтальний; б) жорсткість вертикальних і горизонтальних пружин відрізняється? Вважати, що на кульку діють сили тільки з боку пружин.                           Рис. 4       

20. В електронному осцилографі електронний промінь відхиляється у двох взаємно перпендикулярних напрямах. Коливання променя описуються рівняннями x = A sin 3ωt,       у = A cos 2ωt. Побудувати траєкторію світної точки на екрані, додержуючись масштабу. Прийняти А = 4 см.

 

 

Сила та енергія в гармонічних коливаннях

 

21. Матеріальна точка, маса якої т = 50 г, здійснює коливання за законом   x = 10 sin (2t + π/3) , де x - зміщення, см; 2t + π/3 - аргумент синуса, рад. Визначити максимальні значення сили F_max, що повертає точку в положення рівноваги, і кінетичної енергії W_кmax.

22. Обчислити повертальну силу F у момент часу t₁ = 1,25 с   та повну механічну енергію Ε матеріальної точки, маса           якої т = 10 г, а коливання здійснюються за законом                         x =  0,1 cos (πt/3 + π/4), де x - зміщення, м.

23. Матеріальна точка, маса якої т = 10 г, здійснює гармонічні коливання за законом косинуса з періодом Τ = 2 с і початковою фазою φ = 0. Повна механічна енергія точки        Ε = 0,1 мДж. Визначити амплітуду коливань А і записати закон руху точки. Обчислити максимальне значення сили, що діє на точку.

24. Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання за законом x = 0,1 sin 2t, де x - зміщення, м. У момент часу t₁, коли сила, що діє на точку, набуває значення F₁ = -0,01 Η, точка має потенціальну енергію U₁ = 0,2 мДж. Встановити цей момент часу й відповідну фазу коливання.

25. На матеріальну точку, маса якої т = 10 г, що рухається вздовж осі Ох, діє сила F_x = 0,02 - x, де x - координата, м; F_x - сила, Н. У початковий момент часу t₀ = 0 матеріальна точка перебувала в положенні, яке визначалося координатою          х₀ = 0,02 м, і їй було надано імпульсу p₀ = 4·10^-3 кг·м/с. Встановити, який рух здійснює точка, та записати диференціальне рівняння її руху. Якій координаті х₀ відповідає положення рівноваги? Записати закон руху точки. Знайти повну механічну Ε і потенціальну U енергії точки в момент часу t₁ = 2 с.

26. Матеріальна точка, маса якої т = 10 г, здійснює гармонічні коливання. Амплітуда коливань А = 3 см, частота   ν = 10 с^-1, початкова фаза коливань φ = 0. Встановити закон, за яким змінюється сила F, що діє на точку. Визначити повну механічну енергію Ε точки, значення діючої сили F та відношення потенціальної енергії до кінетичної U/W_к для моменту часу, коли точка відхилена від положення рівноваги на x = 2 см.

27. Яке співвідношення існує між середніми значеннями кінетичної (W_к) і потенціальної (U) енергій у гармонічних коливаннях?

 

 

Математичний і фізичний маятники

 

28. Кулька підвішена на нитці завдовжки l = 2 м. її відхиляють на кут α = 4° і спостерігають коливання. Визначити швидкість кульки під час проходження нею положення рівноваги, вважаючи коливання незгасаючими гармонічними. Перевірити розв'язок, обчисливши швидкість кульки з рівнянь механіки.

29. Кулька масою т = 20 г, що підвішена на ізолювальній нитці на висоті h = 15 см від великої горизонтальної провідної площини, здійснює малі коливання. Після того як кульці надати деякого заряду q, період коливань змінився у n = 3 рази. Визначити заряд q.

30. Встановити закон, згідно з яким змінюється з часом сила натягу F нитки математичного маятника. Маятник коливається за законом α = α_т cos ωt, маса його т, довжина l.

31. Годинник, в якому механічний маятник відрегульовано на певну частоту, підняли на висоту h = 25 км над поверхнею Землі. Як зміняться показання цього годинника протягом однієї години?

32. Секундний маятник (Т₀ = 2 с) відрегулювали при температурі t₀ = 0 °С. При якій температурі t маятник відставатиме на ∆t = 0,5 хв за добу, якщо температурний коефіцієнт лінійного розширення матеріалу нитки маятника   α = 2·10^-5 Κ^-1?

33. Цвях забито в стіну горизонтально. На нього підвішено тонкий обруч, який коливається в площині, паралельній стіні. Радіус обруча R = 30 см. Обчислити період Τ коливань обруча.

34. Математичний маятник завдовжки l₀ = 40 см і тонкий однорідний стрижень, довжина якого l = 60 см, здійснюють малі синхронні коливання навколо горизонтальної осі. Визначити відстань x від центра мас стрижня до цієї осі.

35. Однорідний диск радіуса R = 30 см здійснює коливання навколо горизонтальної осі, що проходить через: а) одну з твірних циліндричної поверхні диска; б) середину одного з радіусів перпендикулярно до площини диска. Які періоди Т₁ і Т₂ його коливань?

36. На тонкій нитці, довжина якої l = 20 см, підвішена куля радіуса R = 5 см. Обчислюючи частоту ν коливань цього маятника, дослідник вважав його за математичний. Наскільки помилився дослідник?

37. На кінцях тонкого стрижня завдовжки l закріплені тягарці масами m₁ та т₂. Стрижень коливається навколо горизонтальної осі, що проходить через його середину. Визначити період Τ коливань стрижня, якщо: а) стрижень невагомий; б) маса стрижня т.

38. Лійка з піском підвішена на нитці. Як змінюватиметься період коливань такого маятника, якщо пісок висипається з лійки поступово?

39. Стрижень може вільно обертатися навколо горизонтальної осі, що проходить через його верхній кінець. Невеликий тягарець можна закріпляти в різних місцях стрижня. Як зміниться період коливань, якщо тягарець із середини стрижня перемістити на його нижній кінець?

Пружинний маятник

 

40. Брусок, маса якого т = 0,5 кг, лежить на гладкому столі. Його з'єднано горизонтальною пружиною жорсткістю             k = 32 Н/м зі стіною (рис. 5). У початковий момент часу пружину стиснули на х₀ = 1 см і відпустили. Встановити закон руху бруска. Тертям нехтувати.

41. Брусок масою M = 5 кг, який лежить на гладкому столі, з'єднано горизонтальною пружиною жорсткістю k = 150 Н/м зі стіною. У брусок влучає і застряє в ньому куля, маса якої   т = 10 г, що летіла горизонтально вздовж осі пружини зі швидкістю υ = 300 м/с. Встановити закон руху бруска. Тертям нехтувати.

42. Визначити період T малих поздовжніх коливань тіла, маса якого т, у системі, зображеній на рис. 6, якщо жорсткості пружин k₁ і k₂. Масами пружин і тертям нехтувати.

43. Наскільки розтягнеться спіральна пружина у разі навантаження її тягарцем, який здійснює на ній малі коливання з частотою ν = 2 Гц?

44. Тягарець масою т = 0,1 кг, підвішений на спіральній пружині, розтягує її на ∆х = 0,1 мм. Яку амплітуду А матимуть коливання тягарця, якщо повна механічна енергія   Ε = 1 Дж?

         

                          Рис. 5                                    Рис. 6

 

45. Пружинний маятник вивели з положення рівноваги й відпустили. Через який час (у частинах періоду Т) кінетична енергія тіла, що коливається, дорівнюватиме потенціальній енергії пружини?

46. До спіральної пружини жорсткістю k = 40 Н/м підвішено тягарець, маса якого т = 0,1 кг. Тягарець відтягнули вниз від положення рівноваги на х₀ = 8 см і надали початкової швидкості, спрямованої вниз, υ₀ =  2,8 м/с. Записати закон руху тягарця.

47. До спіральної пружини підвішено тягарець, внаслідок чого пружина розтягнулася на = 9 см. Яким буде період Τ коливань тягарця, якщо його відтягнути вниз від положення рівноваги, а потім відпустити?

48. Дві пружини однакової довжини, жорсткість яких k₁ і k₂, з'єднано: а) паралельно (рис. 7, а); б) послідовно (рис. 7, б). Визначити періоди T  коливань в обох випадках.

49. Кулька коливається на тонкому сталевому стрижні з частотою ν₁ (рис. 8, а). Потім цю кульку підвішують до пружини, і вона коливається з частотою ν₂ (рис. 8, б). Якою буде частота ν коливань кульки, якщо її разом з пружиною прикріпити до кінця стрижня (рис. 8, в)? Масами стрижня й пружини нехтувати.

 

 

 

                                            Рис. 7

 

         

 

                                            Рис. 8

Інші гармонічні осцилятори

 

50. Посередині натягнутої струни завдовжки l = 50 см закріплено тягарець, маса якого т = 10 г (рис. 9). Натяг струни F = 2 Н. Встановити період Τ малих коливань тягарця.

51. Ртуть, маса якої т = 121 г, міститься в U - подібній трубці (рис. 10). Площа поперечного перерізу трубки S = 0,3 см². Визначити період Τ коливань ртуті в трубці, що виникають у разі виведення системи зі стану рівноваги.

52. Визначити період Τ  коливань тіла, що вільно рухалося б у тунелі, якби він проходив через центр Землі вздовж її осі. Вважати Землю однорідною кулею. Яким буде рух, якщо густина Землі зростатиме з наближенням до центра?

53. Айсберг у вигляді прямої призми коливається вздовж вертикальної осі. Визначити період Τ малих коливань айсберга, якщо висота його надводної частини  h = 100 м.

54. Диск, маса якого т = 1 кг і радіус R = 10 см, підвішено на сталевому дроті в горизонтальному положенні (рис. 11). Під час повертання диска на кут φ = π/6 рад з положення рівноваги в дроті виникає момент пружних сил Μ = 0,026 Н·м. Обчислити період Τ  коливань диска.

 

 

                  Рис. 9                       Рис. 10                 Рис. 11

 

55. На сталевому дроті радіуса r = 1 мм і завдовжки l = 1 м підвішено горизонтально врівноважений тонкий стрижень, довжина якого l₁ = 30 см і маса m₁ = 0,15 кг. На кінцях стрижня закріплено мідні кулі радіуса R = 2,5 см кожна. Визначити період Τ крутильних коливань стрижня.

56. У середині нескінченного плоского шару рівномірно розподілений позитивний заряд з об'ємною густиною              ρ = 7 мкКл/м³. Встановити частоту ω коливань електрона, вміщеного в цей шар.

57. Точковий диполь з електричним моментом р_e = 100 пКл·м вільно встановився в однорідному електричному полі напруженістю Ε = 9 МВ/м. Диполь був повернутий на малий кут і вільно відпущений. Визначити частоту ν власних коливань диполя в електричному полі. Момент інерції I диполя відносно осі, що проходить через його центр, дорівнює 4·10^-12кг·м².

58. Акустичним резонатором (резонатором Гельмгольца) називають посудину, яка з'єднується із зовнішнім середовищем через невелику трубку - горло (рис. 12). Якщо дути біля горла резонатора, можна почути звукові коливання певного тону. Вважаючи, що рух повітря відбувається тільки в горлі, а повертальна сила виникає внаслідок зміни тиску у великому об'ємі, обчислити власну частоту резонатора за такими даними: V = 1 л, l = 7 см, S = 3 см², швидкість звуку    υ = 340 м/с.

59. Візок, маса якого т₁, із закріпленим маятником (кулька масою т₂ на нитці завдовжки l) легко підштовхнули вздовж містка. Визначити період Τ коливань маятника, що виникнуть у такій системі (рис. 13).

 

 

 

 

 

 

 

                   Рис. 12                                  Рис. 13              

 

60. Кругла рамка зі струмом, сила якого I = 2 А, вільно підвішена в однорідному магнітному полі й здійснює малі крутильні коливання відносно вертикальної осі. Площа рамки S = 2 см , момент інерції I = 1,2c10^-7 кг·м² , період коливань    Τ = 1,2 с. Визначити магнітну індукцію поля В.

61. Дошка й брусок, що лежить на ній, здійснюють горизонтальні гармонічні коливання з амплітудою A = 10 см. Визначити коефіцієнт тертя/між дошкою та бруском, якщо останній починає ковзати по дошці, коли її період коливань менший, ніж T = 1 с.

62. Горизонтальна платформа здійснює у вертикальному напрямі гармонічні коливання за законом x = A cos ωt. На платформі лежить шайба з абсолютно непружного матеріалу. За якої умови шайба відділятиметься від платформи?

63. Частинка масою т міститься в одновимірному полі, її потенціальна енергія залежить від координати x як             U(x) = а - b cos kx, де a, b>0, k - сталі. Встановити період Τ малих коливань частинки навколо положення рівноваги.

64. У двохатомній молекулі атоми здійснюють коливання, які приблизно можна вважати гармонічними. Вираз для потенціальної енергії, запропонований Морзе, має вигляд U(x) = D(1 - e^–αx)², де D, а - константи, D ≈ 5 еВ, а = 6·10¹⁰ м^-1. Вважаючи, що маса атома т ≈ 2·10^{-26 кг, оцінити частоту} ω електромагнітної хвилі, яку випромінює така молекула.

65. Визначити період Τ коливань математичного маятника, закріпленого на візку, який: а) рухається горизонтально з прискоренням а = 2 м/с ; б) рухається вгору вздовж похилої площини, яка утворює кут α = 30° з горизонтом, з прискоренням а = 2 м/с² ; в) розміщується в ліфті, що підіймається вгору з прискоренням а = 2 м/с .

66. Який вигляд матиме на фазовій площині (θ, θ/ω₀ ) фазова траєкторія незгасаючих гармонічних коливань математичного маятника θ = θ _max cos (ω₀t + φ), де θ - кутове зміщення? Як зображуються на фазовій площині вільні коливання з різними амплітудами? У чому полягає ізохронність коливань?

67. Встановити період Τ малих коливань кулі масою т на стрижні, який обертається з кутовою швидкістю ω в горизонтальній площині навколо вертикальної осі, що проходить через його кінець  (рис. 14). Куля з'єднана з кінцем стрижня пружиною жорсткістю k. За якої умови коливання неможливі?                      Рис. 14

 

 

Закон збереження енергії (метод узагальнених координат) у коливальних процесах

 

68. Однорідна кулька радіуса r катається по внутрішній поверхні сферичної чашки радіуса R > r (рис. 15). Визначити власну частоту ω₀ малих коливань кульки біля положення рівноваги, якщо вона: а) ковзає; б) котиться без проковзування.

69. Циліндр масою т і радіуса R з'єднаний зі стіною невагомою пружиною жорсткістю k (рис. 16). Визначити період T малих коливань системи, якщо циліндр котиться по поверхні без проковзування. Масою пружини й тертям на осі циліндра нехтувати.

70. Математичний маятник з'єднали пружиною зі стіною. Положення рівноваги коливальної системи і її параметри зображено на рис. 17. Визначити власну частоту ω₀ малих коливань системи.

 

               Рис. 15                          Рис. 16                 Рис. 17

71. До центра мас С фізичного маятника прикріплено пружину жорсткістю k = 20 Н/м, інший кінець пружини закріплено в стіні (рис. 18). Маятником є однорідний стрижень, маса якого т₁ = 0,5 кг і довжина l₁ = 60 см, з'єднаний з кулею. Маса кулі т₂ = 2 кг, її радіус R = 4 см. Вісь обертання проходить через верхній кінець стрижня. У положенні рівноваги пружина не деформована. Визначити частоту ω₀ коливань маятника.

72. Однорідний стрижень масою т і завдовжки l може обертатися навколо горизонтальної осі, яка проходить через його кінець. Іншим кінцем стрижень підвішений на пружині (рис. 19) жорсткістю k. У положенні рівноваги стрижень розміщується горизонтально. Визначити частоту ω₀ малих коливань стрижня.

73. Блок радіуса r з моментом інерції відносно осі обертання I, тягарець масою т і пружина з коефіцієнтом жорсткості k з'єднані, як показано на рис. 20. Шнур не може проковзувати по блоку. Визначити період Τ коливань тягарця.

74. Чи можуть бути гармонічними коливання з великою амплітудою?

 

 

 

 

        Рис. 18                       Рис. 19                        Рис. 20

 

 

75. Кусок пластиліну, маса якого          т = 0,1 кг, упав на шальку пружинної ваги з висоти h = 10 см і прилип до неї (рис. 21). Визначити амплітуду А і період Τ коливань шальки, якщо маси її й пружини є незначними, а жорсткість пружини  k = 40 Н/м.

                                                                       Рис. 21

 

 

 

Коливальні системи з двома ступенями вільності

 

76. Два бруски масами т₁ і т₂ з'єднані невагомою пружиною жорсткістю k і лежать на гладкій горизонтальній площині (рис. 22). Пружину трохи розтягнули і одночасно відпустили бруски. Визначити період Τ коливань системи.

77. На гладенькій горизонтальній поверхні стоїть візок масою Μ (рис. 23). Визначити період Τ коливань горизонтального пружинного маятника масою т, що міститься на візку. Жорсткість пружини дорівнює k.

78. Визначити власну частоту ω₀ коливань двохатомної молекули NaCl, розглядаючи її як гармонічний осцилятор зі сталою міжатомної взаємодії k = 120 Н/м. Маси атомів Na і Сl відповідно становлять 23 а.о.м. і 35 а.о.м. Якій частині спектра відповідає випромінювання молекули NaCl?

 

        

 

                     Рис. 22                                    Рис. 23

 

79. Два тіла з однаковими масами т = 1 кг можуть ковзати по поверхні без тертя. Тіла з'єднані зі стінами і одна з одною трьома однаковими невагомими пружинами. Коефіцієнт жорсткості пружин k = 66,7 Н/м. Рівноважна довжина пружин а (рис. 24). Визначити частоту й форму нормальних коливань (мод).

80. Два маятники з'єднані між собою пружиною (рис. 25) і можуть коливатися у вертикальній площині, яка проходить через лінію, що сполучає їхні точки підвісу. Які нормальні коливання (моди) маятників? Чи обмінюватимуться маятники енергією, якщо вони здійснюють нормальні коливання? Скільки мод матиме система, якщо маятники можуть здійснювати коливання одночасно і в площині рисунка, і в перпендикулярному напрямі?

 

 

                       Рис. 24                                    Рис. 25

 

 

Згасаючі механічні коливання

 

81. Як поводить себе маятник, занурений у рідину з великою в'язкістю (наприклад, у гліцерин)? Чи будуть згасаючі коливання гармонічними? Що розуміють під періодом згасаючих коливань?

82. Тіло, маса якого т = 1 кг, здійснює коливання під дією квазіпружної сили (k =10 Н/м). Визначити коефіцієнт опору r в'язкого середовища, якщо період згасаючих коливань            Т = 2,1 с.

83. Амплітуда згасаючих коливань за час t₁ = 20 с зменшилась у 2 рази. У скільки разів вона зменшиться за час t₂ = 1 хв?

84. Визначити кількість N повних коливань, після яких енергія системи зменшилась у n = 2 рази. Логарифмічний декремент згасання δ = 0,01.

85. Амплітуда коливань маятника завдовжки l = 1 м за час       t = 10 хв зменшилась у 2 рази. Визначити логарифмічний декремент згасання δ системи.

86. Якою буде добротність Q осцилятора, власна частота коливань якого ν₀ = 1 кГц, а час релаксації, протягом якого амплітуда коливань зменшується в e разів, τ = 60 с?

87. Вантаж підвішено на пружині, жорсткість якої k = 0,1 Н/м, і занурено в середовище. Коефіцієнт опору середовища           r = 0,05 кг/с. Маса вантажу m = 1 кг. Визначити добротність Q коливальної системи.

88. Після N = 10 повних коливань точки її амплітуда коливань зменшилась від А₀ = 10 см до А = 6 см. Коефіцієнт згасання    β = 0,2. Записати закон руху точки.

89. За час t = 100 с система робить N = 100 коливань. За цей самий час амплітуда коливань зменшується в e разів. Обчислити: коефіцієнт згасання коливань β; логарифмічний декремент згасання δ; добротність Q системи; відносне зменшення енергії системи за період коливань.

90. Добротність коливальної системи Q = 3, частота вільних коливань ω = 150 с ^-1. Визначити власну частоту ω ₀ коливань системи.

91. Амплітуда згасаючих коливань осцилятора за час                 τ = 6,93 с зменшилась у n = 8 разів. Як за цей час зменшилась механічна енергія осцилятора? Чому дорівнює коефіцієнт згасання β?

92. Вантаж масою т = 500 г, який підвішено до спіральної пружини жорсткістю k = 20 Н/м, здійснює пружні коливання в деякому середовищі. Логарифмічний декремент згасання коливань δ = 0,004. Визначити кількість N повних коливань, які має здійснити вантаж, щоб енергія коливань зменшилась у n = 2 рази. За який час ∆t відбудеться це зменшення?

93. Тягарець, маса якого т = 0,1 кг, закріплено на вертикальній пружині жорсткістю k = 10 Н/м. Сила опору руху пропорційна швидкості, коефіцієнт пропорційності         r = 0,87 кг/с. Тягарець відхилили на відстань х_т0 = 2 см від положення рівноваги й відпустили без поштовху. Записати закон руху тягарця.

94. За умовами задачі 93 визначити шлях s, який пройшов тягарець до зупинки.

95. За умовами задачі 93 визначити, яку частку енергії η втрачає система за півперіод коливань.

96. Тіло, маса якого т = 0,5 кг, прикріплено до стіни пружиною (див. рис. 5) і міститься у в'язкому середовищі. Жорсткість пружини k = 50 Н/м, коефіцієнт опору руху           r = 10 кг/с. Спочатку тіло перебувало в положенні рівноваги і в початковий момент часу t = 0 одержало швидкість υ₀ = 1 м/с у горизонтальному напрямі. Визначити максимальне відхилення х_тах тіла в напрямі швидкості. Побудувати графік залежності зміщення від часу.

97. Чому в балістичному гальванометрі використовують режим критичного згасання?

98. Чим відрізняються фазові траєкторії для згасаючих осциляторів з різними добротностями?

99. Встановити відстань між сусідніми точками перетину осі Ох фазовою кривою коливань, початкова амплітуда яких          A₀ = 1 см і логарифмічний декремент δ = 0,01, у момент часу        t = 100 с, якщо період коливань Т = 1 с.

100. Осцилятор має період коливань Τ = 1 мкс, а коефіцієнт згасання β = 10 с. Скільки разів фазова крива для осцилятора перетне вісь Ох за час ∆t = 1 с? У скільки разів зменшиться за цей час радіус фазової кривої?

101. Вантаж підвішено на пружині, жорсткість якої                  k = 0,2 Н/м, і занурено в середовище. Коефіцієнт опору середовища r = 0,05 кг/с. Маса вантажу m = 2 кг. Визначити добротність Q коливальної системи.

102. На гармонічний осцилятор масою т = 10 г, який здійснює коливання з коефіцієнтами квазіпружної сили           k = 10² Н/м і згасання β = 1 с^-1 , діє змушувальна сила, що змінюється за законом F = 0,1 cos 90t, де F - сила, Н. Встановити закон, за яким відбуваються коливання. Порівняти значення амплітуди коливань з амплітудою в резонансі.

103. Період власних коливань пружинного маятника              Т₀ = 0,55 с. У в'язкому середовищі період T цього самого маятника становить 0,56 с. Визначити резонансну частоту ν_рез коливань.

104. Амплітуда вимушених коливань, частоти яких                ω₁ = 100 с^-1 і ω₂ = 300 с^-1, є однаковою за умови незмінної амплітуди змушувальної сили. Обчислити резонансну частоту ω _рез.

105. Частота вільних коливань системи ω = 100 с^-1, резонансна частота ω _рез = 99 с^-1. Визначити  власну  частоту  ω₀ і добротність Q цієї системи.

106. Довга пружна дошка перекинута через канавку. Під дією ваги хлопчика, який стоїть на ній нерухомо, дошка ввігнулася на h = 10 см. Хлопчик іде зі швидкістю υ = 3,6 км/год. Яка ширина l кроку спричинить сильне розгойдування дошки?

107. Вантаж масою т = 0,5 кг підвішений на пружині, коефіцієнт пружності якої k = 0,49 Н/см, і поміщений у масло. Коефіцієнт опору руху в маслі r = 0,5 кг/с. На верхній кінець пружини діє вертикальна змушувальна сила, що змінюється за законом F = 0,98 sin ωt, де F - сила, Н. При якій частоті змушувальної сили амплітуда вимушених коливань буде максимальною? Чому вона дорівнює?

108. Кулька масою т = 50 г коливається на легкій нитці, довжина якої l = 1 м. Вважаючи, що коефіцієнт опору повітря r = 0,1 кг/с, визначити: частоту власних коливань ν₀; резонансну частоту коливань ν_рез; резонансну амплітуду А_рез, якщо амплітудне значення змушувальної сили F₀ = 0,01 Η.

109. Вантаж, маса якого т = 0,5 кг, підвішений на вертикальній пружині жорсткістю k = 40 Н/м у в'язкому середовищі. Сила в'язкого тертя пропорційна швидкості з коефіцієнтом тертя r = 0,5 кг/с. У початковий момент часу, коли зміщення вантажу від положення рівноваги становило  х₀ = 0,1 м, на вантаж почала діяти зовнішня періодична сила  F = 2 cos 8t, Η. Записати закон руху в перехідному режимі. За час t₀ після початку коливань амплітуда вільних коливань зменшується в n = 100 разів і вони практично припиняються. Визначити цей час.

110. Чому дорівнює відношення максимальної амплітуди зміщення до амплітуди зміщення при дуже малій частоті?

111. Тіло масою т = 0,1 кг підвішено на пружині жорсткістю k = 10 Н/м. Верхня частина пружини перебуває під дією вертикальної сили F = 10^-3 cos ωt, Η. Коливання відбуваються у в'язкому середовищі. Визначити максимальну силу тертя   F_{т max}, що  заважає  рухові, якщо  при  резонансі  амплітуда      A_рез = 0,1 м.

112. На тіло масою т = 10 г, яке здійснює коливання за законом x = 0,1 ехр (-6t) cos 10,5 πt, де x - зміщення, м, у деякий момент часу почала діяти зовнішня періодична сила F, внаслідок чого коливання стали гармонічними, їх амплітуда   А = 5 см і циклічна частота ω = 10 π с^-1. За яким законом змінюється змушувальна сила F з часом? Визначити зсув фаз φ між силою і зміщенням та період T₀ власних коливань.

113. За умовами задачі 102 визначити середню за часом потужність <Р>, що поглинається системою: а) удалині від резонансу; б) у резонансі.

114. Користуючись співвідношенням між фазами змушувальної сили F та швидкості υ, пояснити походження резонансного підсилення коливань.

115. У чому полягає різниця між вимушеними коливаннями та автоколиваннями? Вказати, якими - вимушеними чи автоколиваннями - є коливання: а) верхівок дерев, які розгойдуються вітром; б) маятника годинника; в) крил літака під дією зустрічного потоку повітря; г) мосту від автомобілів, що проїжджають по ньому; д) мембрани динаміка; є) двигуна автомобіля; є) молоточка електричного дзвінка; ж) повітря в духових інструментах; з) струн смичкових інструментів.

116. Період власних коливань пружинного маятника              Т₀ = 0,42 с. У в'язкому середовищі період T цього самого маятника становить 0,43 с. Визначити резонансну частоту ν_рез коливань.

117. На рис. 26 зображено перші три гармоніки складного коливання. Яким буде графік складного коливання? Записати його у вигляді Фур'є - розкладання.                     Рис. 26

118. Показати дію періодичних поштовхів на осцилятор на фазовій площині. Як змінюватиметься амплітуда коливань гармонічного осцилятора, якщо на нього діятимуть поштовхи з періодами: а) Т = Т₀ + Δ; б) Τ = Т₀ - Δ; в) Τ = Т₀; г) Τ = nТ₀;   д) Τ = Т₀/4; є) Τ = Т₀/2, де Т₀ - період власних коливань осцилятора, Δ « Т₀? Час дії поштовху τ < Т₀. Згасанням нехтувати.

 

 

Пружні хвилі.

 Розподіл зміщень і деформацій у пружній хвилі

 

119. Як описати одиничний імпульс, який поширюється в додатному напрямі осі Ох, якщо форма його не змінюється?

120. Який процес описує функція ξ = f(at - bx), де f - довільна функція? Який зміст має величина а/b?

121. Джерело гармонічних коливань, що здійснюються за законом ξ = 100 cos 188,4t, де ξ - зміщення, мкм; t - час, с, з'єднане з торцем довгого сталевого стрижня й міститься в площині x = 0. Яка довжина λ поздовжньої пружної хвилі у стрижні? В яких точках стрижня модуль нормального напруження: а) дорівнюватиме нулеві; б) буде максимальним для моменту часу t = 4с?

122. Який характер руху мають частинки пружного середовища, в якому вздовж осі Ох поширюється плоска хвиля? Чи збігається напрям руху частинок з напрямом поширення хвилі?

123. Ультразвукові пружні хвилі поширюються в повітрі, воді та сталі. їх частота ν = 100 МГц. Якими є довжини звукових хвиль у цих середовищах?

124. Плоска хвиля задана рівнянням ξ = А cos (ωt - kx). Для моменту часу t = π/(2ω) побудувати графіки зміщень та швидкостей частинок середовища. Порівняти ці графіки.

125. Плоска гармонічна хвиля, період якої Τ = 0,25 с і амплітуда A=3см, поширюється в пружному непоглинальному середовищі вздовж осі Ох зі швидкістю υ = 240 м/с. Чому дорівнює зміщення ξ (x,t) точки середовища, що міститься на відстані x = 60 м від джерела хвилі тоді, коли від початку коливань джерела пройшов час t = 1,5 с? Початкова фаза хвилі дорівнює нулеві.

126. Уздовж осі Ох у пружному непоглинальному середовищі поширюється плоска гармонічна хвиля зі швидкістю               υ = 20 м/с. Дві точки середовища, які містяться на відстанях   x₁ = 12 м і х₂ = 15 м від джерела хвилі, коливаються з амплітудою А = 0,1 м і різницею фаз Δφ = 3π/4. Початкова фаза хвилі дорівнює нулеві. Визначити довжину хвилі λ та записати рівняння хвилі. Обчислити зміщення ξ згаданих точок у момент часу t = 0,5 с.

127. У гірській породі на відстані а = 8 м один від одного розміщені два циліндричних заряди вибухової речовини. Під час вибуху від кожного заряду в породі поширюється циліндрична хвиля напруги. На досліді встановлено, що зміщення частинок породи на відстані r від осі заряду має вигляд ξ (r) = (A₀/r^3/2) cos ω(t - r/υ), де А₀ = 10^-3 м^5/2, ω = 10^-3с^-1, υ = 5·10³ м/с. Визначити максимальне зміщення ξ_max частинок породи в точці, що міститься на відстані r = 9 м від кожного заряду.

128. На рис. 27 показано залежність зміщення від часу в деякій точці х₀ осі Ох, уздовж якої поширюється плоска синусоїдальна хвиля. Записати рівняння хвилі, якщо х₀ = 8 м, фазова швидкість хвилі υ = 6 м/с.

 

 

Рис. 27

 

129. Плоска поздовжня гармонічна хвиля, період якої              Т = 3,5 мкс і амплітуда А = 10 мкм, поширюється в пружному середовищі вздовж осі Ох. Різниця фаз коливань у точках, що лежать на відстані Δx = 1 мм одна від одної, дорівнює π/З. Визначити: швидкість υ поширення хвилі; зміщення ξ, швидкість і прискорення для точок, в яких відносна деформація середовища ε = 3·10^-3; амплітуду коливань швидкості ξ _тах частинок середовища.

130. Плоска поздовжня гармонічна хвиля поширюється вздовж осі Ох у пружному середовищі, причому її джерело розміщується в площині x = 0. Початкова фаза хвилі дорівнює нулеві. Яка відносна деформація ε середовища в точці, віддаленій від джерела на відстань x = λ/8 у момент часу, коли від початку відліку пройшов час t = T/3 (Τ - період)? Максимальна швидкість частинок середовища ξ _тах = 0,7 м/с, швидкість хвилі υ = 3,5 км/с.

131. Джерело гармонічних коливань, що здійснюються за законом ξ = 200 cos 188,4t, де ξ - зміщення, мкм; t - час, с, з'єднане з торцем довгого мідного стрижня й міститься в площині x = 0. Яка довжина λ поздовжньої пружної хвилі у стрижні? В яких точках стрижня модуль нормального напруження: а) дорівнюватиме нулеві; б) буде максимальним для моменту часу t = 2с?

132. У сталевому стрижні діаметра d = 1 см поширюється поздовжня хвиля, рівняння якої ξ (x,t) = ξ₀ cos (2π/T)·(x/υ₀ - t), де ξ₀ = 10^{-4 см, Т} = 2π мс. Визначити максимальну силу F_max, що діє в перерізі x стрижня.

 

 

Швидкість пружних хвиль. Потік енергії

 

133. Визначити швидкість υ поздовжніх пружних хвиль у сталевому, мідному та алюмінієвому стрижнях.

134. У скільки разів n швидкість поздовжньої хвилі в міді є більшою, ніж швидкість поперечної хвилі?

135. Бронебійний снаряд, маса якого m = 5,6 кг, швидкість      υ = 800 м/с, влучає в абсолютно жорстку перешкоду. Визначити середню силу F, з якою снаряд діє на перешкоду, і час t удару. Діаметр снаряда d = 30 мм, модуль Юнга матеріалу E = 340 ГПа, його густина ρ = 1,9·10⁴ кг/м³. Розглянути цей процес як удар пружного циліндра торцем у перешкоду, а час удару визначити часом проходження пружної хвилі вздовж циліндра туди й назад.

136. Визначити швидкість υ_гл звуку в гліцерині, якщо коефіцієнт стисливості для нього β = 2·10^-10 Па ^-1 .

137. Під дією поперечної гармонічної сили кінець дуже довгої натягнутої струни коливається з частотою ν = 50 Гц і амплітудою А = 2 см. Лінійні густина струни μ = 0,1 г/см, сила натягу F_H = 1 кН. Обчислити середній за часом потік (Φ) енергії вздовж струни.

138. Пружна гармонічна хвиля поширюється в мідному стрижні, площа поперечного перерізу якого S = 3 см², що розміщений вздовж осі Ох. Визначити потік Φ енергії крізь довільний поперечний переріз стрижня через 1/8 періоду коливань після того, як швидкість частинок середовища в цьому перерізі набула максимального значення                         ξ _тах = 3,5 см/с.

139. Уздовж сталевої рейки поширюється поздовжня пружна хвиля, рівняння якої ξ = ξο ехр i(ωt - kx). Обчислити модуль напруження |σ| у довільному поперечному перерізі з координатою x тоді, коли об'ємна густина енергії хвилі у цьому перерізі w = 150 Дж/м³, а хвильове число k = 1 м^-1.

140. Визначити амплітуду A незгасаючої сферичної хвилі на відстані r₂ = 15 м від точкового джерела в ізотропному середовищі, якщо на відстані r₁ = 3м від нього середня густина потоку енергії <j> = 5 ГВт/м² . Густина середовища   ρ = 4·10 кг/м³, модуль Юнга Ε = 100 ГПа, частота коливань джерела хвиль ν = 15 кГц.

 

 

Елементи акустики

 

141. Визначити швидкість υ_зв звуку за нормальних умов у гелії, азоті та вуглекислому газі.

142. За який час t звукові коливання пройдуть відстань               х₀ = 7 км між двома поверхнями, якщо температура повітря між ними зменшується за експоненціальним законом              Τ = Τ₁ ехр (-αx) від значення Τ₁ = 300 Κ на першій поверхні до значення Т₂ = 200 Κ на другій?

143. Виразити швидкість υ_зв звуку в газі через середню швидкість <υ> його молекул.

144. Порівняти швидкість υ_зв звуку, середню швидкість <υ> молекул та максимальну швидкість ξ_тах коливань частинок повітря, крізь яке проходить звукова хвиля за нормальних умов. Акустичний тиск (∆p)₀ =  10 Па.

145. На відстані R = 3 км від спостерігача з висоти h = 4 км вертикально вдарила блискавка. Який час t спостерігач чутиме грім від неї?

146. Три звукові хвилі однакової інтенсивності I = 50 мВт/м² поширюються в повітрі, воді та сталевому стрижні. Які амплітуди звукового тиску (∆p)₀  у цих середовищах? Порівняти їх з нормальним атмосферним тиском. Вважати, що швидкість звуку в повітрі υ_п = 330 м/с, у воді υ_в = 1500 м/с, у сталі υ_ст = 5100 м/с.

147. Амплітуда коливань тиску повітря у звуковій хвилі за нормальних умов (∆p)₀  =  0,01 Па. Якому рівневі гучності L відповідає це значення?

148. Рівень гучності авіаційного двигуна L = 100 дБ. Яка амплітуда А коливань частинок повітря для частоти звуку       ν = 2 кГц за нормальних умов?

149. Обчислити амплітуду швидкості ξ_тах частинок повітря, якщо рівень гучності звуку L = 60 дБ. Вважати, що швидкість звуку υ_зв = 330 м/с.

150. Чи може людське вухо реєструвати зміщення молекул повітря на відстань, що порівнянна з діаметром молекули?

151. Обчислити амплітуду коливань звукового тиску (∆p)₀:    а) біля порога чутності, інтенсивність звуку I_min = 10^-12 Вт/м²; б) поблизу больового порога, I_тах = 10 Βτ/м² . Який висновок можна зробити?

152. Спочатку джерело звуку рухається назустріч нерухомому спостерігачеві зі швидкістю υ_дж = 40 м/с, потім спостерігач рухається назустріч нерухомому джерелу з тією самою швидкістю. Чи буде однаковою частота звуку, який сприймає спостерігач в обох випадках? Частота коливань джерела звуку v₀ = 1 кГц, швидкість звуку υ_зв = 340 м/с.

153. Спостерігач на залізничній платформі чує сигнал поїзда, що проходить повз нього. Коли поїзд наближається, то частота звуку, який сприймає спостерігач, ν₁ = 1100 Гц, а коли поїзд віддаляється, то v₂ = 900 Гц. Визначити швидкість υ поїзда і частоту ν₀ звуку, що випускається сигналом нерухомого поїзда. Вважати, що швидкість звуку                     υ_зв = 340 м/с.

154. Поїзд, що рухається зі швидкістю υ = 144 км/год, подає звуковий сигнал, частота якого ν₀ = 1 кГц. Як зміниться частота сигналу, який сприймає спостерігач, якщо він прямує назустріч поїзду з тією самою швидкістю (відносно Землі)?

155. Швидкість руху и точкового джерела звуку перевищує швидкість звуку υ у середовищі у n = 1,5 раза. Визначити кут α, який утворює фронт ударної хвилі з траєкторією джерела звуку.

156. Коли літак долає звуковий бар'єр, то людина, яка перебуває на деякій відстані від нього, чує акустичний удар ("постріл"). Пояснити це явище.

157. Відомо, що швидкість хвиль на воді від корабля завжди втричі менша від його швидкості. Виходячи з цього, визначити кут α розхилу конуса, що є обвідною хвиль від корабля.

 

 

Поглинання, відбивання й заломлення звуку

 

158. Плоска хвиля, рівняння якої ξ = A е^-γxcos(ωt - kx), поширюється в однорідному поглинальному середовищі. Визначити різницю фаз Δφ коливань у точках, для яких відношення амплітуд зміщення частинок середовища η = 1,02, якщо коефіцієнт поглинання γ = 0,25 м^-1, довжина хвилі          λ = 0,75 м.

159. Від ізотропного джерела у поглинальному середовищі поширюється сферична хвиля. Частота випромінювання             ν = 150 Гц. На відстані r₂ = 15 м від джерела амплітуда зміщення частинок середовища менша у η = 2,5 раза, ніж на відстані r₁ = 10 м. Визначити коефіцієнт поглинання γ, довжину λ і швидкість υ хвилі, якщо різниця фаз коливань у згаданих точках Δφ = π/3.

160. На відстані r = 100 м від точкового ізотропного джерела звуку при частоті ν = 500 Гц рівень гучності L = 20 дБ. Визначити потужність Ρ джерела звуку.

161. Фронт циліндричної пружної хвилі перемістився в радіальному напрямі на відстань ∆r = 3 м від початкового положення r₁ = 2 м від осі циліндричної хвильової поверхні. При цьому інтенсивність хвилі зменшилась у η = 4,5 раза. Визначити коефіцієнт поглинання γ хвилі.

162. Коефіцієнт поглинання γ звукових хвиль у повітрі залежить від частоти звуку ν за формулою γ = aν², де стала     а = 2·10^-11 с²/м. На якій відстані x₀ інтенсивність плоскої звукової хвилі, що поширюється в повітрі вздовж осі Ох, зменшиться в η = 2 рази для коливань: а) звукових з частотою ν = 10³ Гц; б) ультразвукових з частотою ν = 5·10⁵ Гц?

163. Кажан підковоніс, що випромінює дуже вузький пучок ультразвукових хвиль інтенсивністю I₀ = 10 Вт/м² і частотою ν = 0,1 МГц, виявив хруща на відстані r = 20 м. Визначити інтенсивність I₁' відбитої від хруща хвилі, яку сприйняв кажан, якщо коефіцієнт поглинання ультразвуку в повітрі на згаданій частоті за нормального тиску γ = αν , де                      а = 6·10^-11 с²/м.

164. Залежність коефіцієнта поглинання γ звукових хвиль від частоти звуку ν визначається за формулою γ = αν , де для повітря а_п =  2·10^-11 с²/м, для води а_в = 3·10^-11 с²/м. На якій відстані x згасання плоских ультразвукових хвиль з частотою ν = 10 Гц становитиме L = 30 дБ у повітрі та у воді?

165. За умовами задачі 164 обчислити, на яких відстанях x інтенсивність звуку в повітрі та у воді зменшиться в η = 10 разів.

166. Визначити показник заломлення η звукових хвиль на межі повітря - скло. Модуль Юнга для скла Ε = 60 ГПа, густина скла ρ = = 2,6·10³ кг/м³. Швидкість поширення звуку в повітрі υ_п= 340 м/с.

167. Використовуючи формули геометричної оптики, обчислити фокусну відстань F акустичної лінзи для ультразвукових хвиль, що поширюються у воді. Лінза сталева (Е = 2·10¹¹ Па), двовгнута з радіусами кривизни R = 4 м. Покласти швидкість поширення хвиль у воді υ_в = 1497 м/с, у сталі υ_ст = 6100 м/с.

168. Ультразвукова хвиля відбивається від дна водоймища. У скільки разів амплітуда А₁' відбитої від дна хвилі більша за амплітуду А₂ хвилі, що проходить у донну речовину? Густина донної речовини ρ = 2000 кг/м³, а швидкість поздовжньої хвилі в ній υ = 3000 м/с.

169. За яких умов при відбиванні пружної хвилі від плоскої межі поділу двох середовищ відбита хвиля змінює свою фазу на протилежну?

170. На відстані r = 50 м від точкового ізотропного джерела звуку при частоті ν = 500 Гц рівень гучності L = 40 дБ. Визначити потужність Ρ джерела звуку.

171. Звукова хвиля поширюється нормально з повітря у воду. Яка частка D енергії проходить? Як зміниться відповідь, якщо звукова хвиля йде з води в повітря?

172. Скільки відсотків D звукової енергії можна передати через межу: а) вода - лід; б) вода - сталь?

173. Поясніть, чому для передавання енергії у всіх хвильових системах необхідно так зване узгодження імпедансів Ζ у всіх з'єднаннях (наприклад, з'єднання різних кабелів, генератора з навантаженням).

 

 

Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі

 

174. Чи можуть інтерферувати: а) векторні хвилі (наприклад, електромагнітні); б) скалярні хвилі (наприклад, температурні); в) векторні хвилі, які лінійно поляризовані у взаємно перпендикулярних напрямах?

175. Інтерференційна картина створюється двома точковими когерентними джерелами. Які поверхні становлять множини точок, де спостерігаються максимуми інтенсивності? Яка найменша відстань між ними?

176. Звукові хвилі від двох джерел накладаються в деякій точці Ρ простору і збуджують коливання однакового напряму, однакової частоти й початкової фази. Амплітуди хвиль         А₁ = 0,3 мм, А₂ = 0,4 мм, довжина хвилі λ = 21 м. Точка Ρ лежить на відстані r₁ = 8 м і r₂ = 4,5 м від кожного з джерел. Визначити амплітуду А результуючого коливання в точці Р.

177. Два точкових джерела S₁ і S₂, які випромінюють звукові хвилі однакової амплітуди, частоти і фази, розміщені на відстані d = 10 см одне від одного в повітрі. Інтерференція хвиль спостерігається на прямій, яка є паралельною відрізкові S₁S₂ і лежить на досить великій відстані l = 10 м від нього. Відстань між сусідніми максимумами інтенсивності              Δх = 20 см. Швидкість звуку υ_зв = 340 м/с. Визначити частоту ν звуку.

178. Труба завдовжки l = 680 см заповнена повітрям і закрита з одного кінця. Визначити основну частоту та частоту третьої гармоніки можливих власних коливань повітряного стовпа в трубі. Вважати, що швидкість звуку в повітрі υ = 340 м/с.

179. У пружному однорідному середовищі поширюються дві плоскі гармонічні хвилі: одна - вздовж осі Ох, інша - вздовж осі Оу. Частоти обох хвиль є однаковими. Чи буде мати місце інтерференція хвиль, якщо обидві хвилі: а) поперечні й напрями коливань однакові; б) поздовжні? Який характер руху частинок пружного середовища в площині хОу в обох випадках?

180. Чи переносить енергію хвиля, рівняння якої                      ξ (x,t) = A cos kx cos ωt?

181. Які перетворення енергії відбуваються в стоячій хвилі у пружному середовищі?

182. На струні завдовжки l = 1,5 м утворилась стояча хвиля, причому відстані між точками, в яких коливання відбуваються з амплітудою А = 4 мм, дорівнюють ∆х₁ = 9 см і ∆х₂ = 16 см. Визначити довжину хвилі λ та амплітуду ξ_max у пучності. Якому обертонові відповідають ці коливання?

183. Період коливань однакових зустрічних хвиль Т = 6 с, амплітуда коливань A = 10 см. Визначити зміщення ξ_max точок, які лежать у пучності стоячої хвилі в момент часу, коли фази коливань обох хвиль збігаються, а також через       t₁ = 0,5 с  і   t₂ = 1 с після моменту збігання фаз.

184. Стояча хвиля утворюється під час накладання падаючої хвилі і хвилі, відбитої від межі поділу середовищ, перпендикулярної до напряму поширення хвилі. Швидкість поширення звукових коливань υ = 340 м/с, частота                   ν = 3,4 кГц. Встановити відстань від межі поділу середовищ вузлів і пучностей стоячої хвилі, якщо відбиття відбувається: а) від менш густого середовища; б) від більш густого середовища.

185. Сталева струна рояля, довжина якої l = 1 м, дає частоту основного тону ν₁ = 256 Гц (нота "до" першої октави). Визначити швидкість υ хвилі на струні та силу натягу F_н струни, вважаючи, що діаметр струни d = 1 мм.

186. Сталева струна рояля, довжина якої l = 1 м і діаметр        d = 1 мм, натягнута із силою F_н = 4,7 кН. Якою буде частота биття v_б, якщо збудити коливання струни й камертона, частота якого v_кам = 440 Гц?

187. Вантовий міст висить на сталевих канатах, довжина яких від l₁ = 100 м до l₂ = 190 м. При достатньо сильному вітрі канати починають коливатись. Визначити частоти власних коливань канатів. Механічне напруження в канатах                 σ = 60 МПа.

188. Алюмінієвий стрижень завдовжки l = 80 см закріплений у середині. Встановити три найменші частоти поздовжніх власних коливань стрижня.

189. Труба завдовжки l = 170 см заповнена повітрям і закрита з одного кінця. Визначити основну частоту та частоту третьої гармоніки можливих власних коливань повітряного стовпа в трубі. Вважати, що швидкість звуку в повітрі υ = 340 м/с.

190. У відкритій з обох кінців трубі, яка заповнена повітрям, утворилися стоячі звукові хвилі. Довжина труби l = 0,85 м. Визначити частоту перших трьох гармонік і зобразити їх.

191. Відкрита з одного кінця труба завдовжки l = 0,75 м заповнена гасом. Визначити частоту перших двох нормальних коливань (гармонік), якщо коефіцієнт стисливості гасу            β = 7·10^-10 Па^-1.

192. У струні, яка закріплена з обох кінців, збудили третю гармоніку. Маса струни т = 9 г, частота основного тону         ν₁ = 440 Гц, амплітуда зміщення в пучностях струни А = 2 мм. Визначити максимальну кінетичну енергію W_{к max} струни.

 

 

Дисперсія хвиль. Фазова і групова швидкості

 

193. Хвильовий пакет утворено двома плоскими хвилями: ξ(x,t) = A cos (1000t - 4x), ξ(x,t) = A cos (1010t – 4,2x). Визначити фазові швидкості υ₁, υ₂ кожної хвилі та групову швидкість и пакета.

194. Хвильовий пакет утворено двома сферичними хвилями ξ(r,t) = A/r cos (100t – 5r), ξ(r,t) = A/r cos (103t – 4r). Визначити фазові швидкості υ₁, υ₂  кожної хвилі та групову швидкість и пакета.

195. Який вигляд має дисперсійне співвідношення ω(k) для хвиль: а) поперечних у струні; б) звукових у газах? Чи має місце дисперсія для цих хвиль?

196. Для хвиль на поверхні глибокої води дисперсія описується рівнянням ω² = gk + σk³/ρ, де g - прискорення вільного падіння; k - хвильове число; σ - коефіцієнт поверхневого натягу води, σ = 0,073 Н/м; ρ - густина води. За якої умови фазова швидкість хвиль дорівнює груповій? Для хвиль якої довжини λ це відбувається? Чому дорівнює при цьому фазова швидкість υ хвилі? Обчислити групову швидкість и капілярних хвиль (жмурів) завдовжки λ = 0,1 см. У скільки разів η вона перевищує фазову швидкість?

 

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

 

 

1. Чолпан П.П. Фізика. – К.: Вища школа, 2004. – 432 с.
2. Фізика для інженерних спеціальностей. Кредитно-модульна система: Навч. посібник. – У 2 ч. – Ч. 1. / В.В. Куліш, А.М. Соловйов, О.Я.Кузнєцова, В.М. Кулішенко. – К.: НАУ, 2004. – 456 с.
3. Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики. – К.: Культурні регіони, 2006. – 312 с.
4. Зачек І.Р., Кравчук І.М., Романишин Б.М. Курс фізики.  – Л.: Бескид Біт, 2002. – 376 с.
5. Загальний курс фізики: Зб. задач / І.П. Гаркуша,                І.Т. Горбачук, В.П. Курінний та ін.: За заг. ред.                 І.П. Гаркуші. – 2-ге вид, стер. – К.: Техніка, 2004. – 560 с.

 

 

 Фізика [Текст] : методичні вказівки до практичних занять

 для студентів напряму «Приладобудування»

К19   денної форми навчання/ уклад. Ю.В. Коваль, Д.А. Захарчук. – Луцьк :  Луцький НТУ, 2015. – 54 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Комп’ютерний набір                                  Ю.В. Коваль

Редактор                                                       Ю.В. Коваль

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Підп. до друку           2015 р.

Формат 60х84/16. Папір офс. Гарнітура Таймс.

Ум. друк. арк. 3,5. Обл.-вид. арк. 3,0.

Тираж ___ прим. Зам. ___.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Редакційно-видавничий відділ

Луцького національного технічного університету

43018  м. Луцьк, вул. Львівська, 75

Друк – РВВ Луцького НТУ