Математические методы исследования и моделирования экономических систем

Раздел 1. СТРУКТУРА КУРСА

1.1. Структура (распределение часов) курса в соответ-ствии с учебным планом

№ п/п Наименование темы Кол-во часов
1 Теоретико-методологические основы математиче-ских методов исследования и моделирования эко-номических систем 2
2 Базовые экономико-математические модели фи-нансово-кредитной сферы 4
3 Модели и процедуры принятия, поддержки и ана-лиза управленческих решений 2
4 Моделирование процессов функционирования и развития хозяйственных систем 4
Итого: 12

1.2. Цели и задачи курса «Математические методы ис-следования и моделирования экономических систем», его место в учебном процессе

Целью курса является освоение базовых представлений и знаний по модельному анализу хозяйственных процессов, овла-дение основными инструментами экономико-математического моделирования. В соответствии с основной целью курса его за-дачами являются:
 освоение основных типов экономико-математических мо-делей и подходов к моделированию;
 освоение возможностей моделирования и модельного ана-лиза;
 построение модельной математической базы макро- и мик-роэкономического анализа, анализа проблем профессио-нальной предметной области;
 формирование навыков построения моделей, проведения экономико-математических расчетов и анализа.
Курс «Математические методы исследования и моделиро-вания экономических систем» рассчитан на 12 часов аудиторных занятий и определенный объем индивидуальной самостоятельной внеаудиторной работы.
Для освоения курса «Математические методы исследова-ния и моделирования экономических систем» необходимы знания в объемах, соответствующих программам курсов высшей мате-матики, экономической информатики, общей экономической тео-рии.

Раздел 2. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

2.1. Темы и их содержание

Тема 1. Теоретико-методологические основы математиче-ских методов исследования и моделирования эко-номических систем
Задачи экономико-математического моделирования. Клас-сификация экономико-математических методов.
Модели и моделирование в исследовании экономических систем. Виды моделей. Возможности использования математи-ческих методов и моделей при исследовании экономических сис-тем.
Основные этапы процесса моделирования. Основные типы связей, используемые при экономико-математическом модели-ровании. Переменные и параметры моделей. Типы переменных и параметров моделей.

Тема 2. Базовые экономико-математические модели
Классификация моделей финансово-кредитной сферы. Ба-зовые экономико-математические модели и методы исследования финансово-кредитной сферы. Основные элементы моделей. Информационно-аналитические методы анализа модели.
Типы решений в системе моделирования. Экономическая интерпретация полученных результатов. Проверка адекватности модели. Основные свойства модели и возможности ее модифи-кации.
Уортонская эконометрическая прогнозная модель. Брукинг-ская модель. Квартальная эконометрическая модель. Экономет-рическая модель рынка ссудного капитала.

Тема 3. Модели и процедуры принятия, поддержки и анали-за управленческих решений
Понятие управленческого (хозяйственного) решения. Сложные управленческие решения. Проблемы моделирования сложных хозяйственных решений. Специфика разработки мето-дов и систем поддержки приятия и реализации решений в фи-нансово-кредитной сфере. Условия принятия решений.
Методы обеспечения системности принимаемых решений. Информационное обеспечение приятия решений. Моделирование решений и анализ целевых результатов в различных условиях. Технологии поддержки принятия управленческих решений. Тактические и стратегические решения. Формирование и модели-рование хозяйственных политик в финансово-кредитной сфере.
Модели приятия решений в условиях риска и неопределен-ности. Модели принятия решений в условиях действия неслож-ных критериев.
Тема 4. Моделирование процессов функционирования и развития хозяйственных систем
Статистические и динамические варианты моделирования систем и процессов финансово-кредитной сферы. Форма пред-ставления моделей в статике и динамике. Конструктивное описа-ние и содержательная интерпретация связей элементов системы при моделировании функционирования и развития системы. Пер-спективы использования современных технологий моделирова-ния в практике финансово-кредитной сферы.

2.2. Содержание самостоятельной работы

В ходе самостоятельной работы по курсу «Математические методы исследования и моделирования экономических систем» студенты разбирают и решают следующие типовые экономико-математические задачи:
 двухэтапную транспортную задачу;
 транспортную задачу в сетевой постановке;
 динамическую задачу о распределении ресурса.
Рассматриваются также возможности применения подоб-ных методов решения к задачам, имеющим другую природу.

Раздел 3. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ И ПРОЦЕДУР ПРИНЯТИЯ, ПОДДЕРЖКИ И АНАЛИЗА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Экономико-математические методы - это обобщающее на-звание комплекса экономических и математических научных дис-циплин, введенное академиком B.C. Немчиновым в начале 1960-х гг. С известной долей условности классификация этих дисциплин может быть представлена в следующем виде.
1. Математическая статистика:
 дисперсионный анализ;
 корреляционный анализ;
 факторный анализ;
 теория индексов и др.
2. Математическая экономия и эконометрия:
 теория экономического роста (модели макроэкономической динамики);
 теория производственных функций;
 межотраслевые балансы;
 национальные счета;.
 анализ спроса и потребления;
 региональный и пространственный анализ;
 глобальное моделирование и др.
3. Методы принятия оптимальных решений, включая исследова-ние операций:
 оптимальное (математическое) программирование:
~ линейное программирование;
~ нелинейное программирование;
~ дискретное программирование;
~ блочное программирование;
~ стохастическое программирование;
~ динамическое программирование;
 сетевые методы планирования и управления;
 программно-целевые методы планирования и управления;
 теория управления запасами;
 теория массового обслуживания;
 теория игр;
 теория расписаний и др.
4. Экономическая кибернетика:
 системный анализ экономики;
 теория экономической информации, включая экономиче-скую семиотику;
 теория автоматизированных систем управления.
5. Методы экспериментального изучения экономических явлений:
 методы машинной имитации;
 деловые игры;
 методы реального экономического эксперимента.
Наибольшее распространение получили оптимизационные методы, к которым, прежде всего, относятся линейные модели, которые адекватно соответствуют многим различным ситуациям. Одной из таких моделей является модель двухэтапной транс-портной задачи.
1. Двухэтапная транспортная задача
Экономическая ситуация состоит в следующем. Пусть име-ется m пунктов по производству промежуточной продукции, при этом известны объемы производства в каждом из пунктов Имеется s пунктов по дополнительной переработке продукции с максимально возможными мощностями по перера-ботке . Имеются также n пунктов потребления гото-вой продукции с объемами потребностей Кроме то-го, известны:
- затраты на производство единицы продукции в i-ом пункте производства и ее транспортировку в k-ый промежуточный пункт;
- затраты на переработку единицы продукции в k-ом промежуточном пункте и ее транспортировку в j-ый пункт потреб-ления.
Требуется определить реальные объемы переработки про-дукции в промежуточных пунктах (при условии ) и определить план перевозок из пунктов производства в пункты потребления через пункты переработки (из i-ых в k-ые, а из k-ых в
j-ые) так, чтобы суммарные затраты на производство, переработ-ку и транспортировку были минимальными.
Экономико-математическая модель данной ситуации имеет вид:
(1),
при ограничениях:
; ;

; ; ; ; где
- объемы перевозки из i-го пункта производства в k-ый промежуточный пункт;
- объемы перевозки из k-го промежуточного пункта в
j-ый пункт потребления.
Необходимым и достаточным условием разрешимости дан-ной задачи является:
(2)
В случае если , вводится фиктивный либо пункт производства, либо пункт потребления.
Решение двухэтапной транспортной задачи осуществляет-ся методом потенциалов и ведется в специальной таблице, со-держащей 4 блока. Общее число строк в таблице - (т + s), a столбцов - (s + n).
Таблица 1
I II
III IV

I блок соответствует перевозкам из пунктов производства в пункты переработки. Содержит m строк и s столбцов.
II блок соответствует перевозкам из пунктов производства в пункты потребления, что по условиям задачи запрещено. Для того, чтобы в этом блоке не появлялись перевозки, полагаем . Содержит m строк и n столбцов.
III блок отражает двойственный характер пунктов перера-ботки: по отношению к пунктам производства они являются по-требителями, а по отношению к пунктам потребления – постав-
0, если k=k
щиками. Поэтому в этом блоке ckk = ,
+∞, если k≠ k
а остальные стоимости, как и во II блоке, равные +∞. Блок содер-жит s строк и s столбцов.
IV блок соответствует перевозкам из промежуточных пунк-тов в пункты потребления. Содержит s строк и n столбцов.
Начальный опорный план данной задачи строится методом наименьшей стоимости, начиная с I блока, затем переходят к III блоку, а после него - к IV блоку. Опорный план должен содержать ровно (n + m + 2s -1) положительных перевозок и не иметь замкнутых маршрутов.
После построения опорного плана рассчитывают потен-циалы аналогично обычной транспортной задаче:
, для , (3)
где
- потенциал пунктов производства, ;
- потенциал пунктов потребления, .
Найденные потенциалы позволяют проверить построенный опорный план на оптимальность:
для любых , (4)
в этом случае найденные являются составляющими опти-мального плана перевозок X*.
В случае невыполнения условия (4) производится расчет невязок :
,
вводится -перевозка, определяется -маршрут, величина
-перевозки и рассчитывается новый опорный план, который проверяется на оптимальность с помощью вновь найденных по-тенциалов. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет выполняться условие (4).
В найденном оптимальном плане перевозки, входящие в I блок, дают оптимальный план перевозок из пунктов производства в промежуточные пункты, входящие в IV блок - оптимальный план перевозок из промежуточных пунктов в пункты потребления, а входящие в III блок - показывают резервные мощности в соответ-ствующих промежуточных пунктах.
Пример.
Имеется 3 пункта с объемами производства продукции, за-даваемыми вектором ; 3 промежуточных пункта с мощностями по переработке ; 4 пункта потребле-ния с потребностями в продукции . Затраты на производство и транспортировку задаются матрицами и :
; .

Проверяем данную задачу на разрешимость, то есть, выполняется ли условие (2):
,
следовательно, возникает необходимость введения фиктивного пункта потребления с объемом потребления . Стоимость перевозки продукции в этот пункт :

следовательно, возникает проблема создания резервов мощностей по переработке.
В основной таблице, таким образом, 6 строк
(т + s = 3+3=6) и 8 столбцов (s + n = 3+5=8), с учетом фиктивно-го пункта производства). Данные в нее заносятся так, как указано в таблице 2:

Таблица 2

14 12 13 26 23 23 27 13
10 6 7 3
11 м м м м м 11
9 5
10 5 4
9 м м м м м 19
6 8
2 6
16 9 м м м м м 18
14 0
7 м м 12
4 8 8 11 13
8 0 19
1
16 м 0
м 10
5 7
11 12 15 0 16
13 м м 0 13 9 10
10 14
6 0
4
20
1
19 16 20 9 11 10 14 4

Здесь М = +∞.
Начальный опорный план строится, как уже говорилось, методом наименьшего элемента, при этом стоимости, равные 0 (в III и IV блоках) рассматриваются в последнюю очередь. Таким образом, наименьшая стоимости - с13 = 3 в I блоке, и именно с этой клетки и начинается построение опорного плана. Величина перевозки х13 определяется как наименьшая из двух величин – a1 и q3, т.е. х13 = min {11;20}=11. После определения х13 очередная перевозка вводится в клетку с наименьшей стоимостью из остав-шихся, а именно в этом же столбце. Это - стоимость с23 = 4 , а объем перевозки Х23 = min {аα; q3 – х13} = min {19;9} = 9. Процедура продолжается до тех пор, пока не будут израсходованы все объемы производства и потребления. Полученный план представлен в таблице 2. Он содержит 13 положительных перевозок, что соответствует требованию (m+n+2s-1 = 3+5+2*3-1=13) и не содержит циклов, что позволяет говорить о его опорности и невырожденности.
Определяем потенциал всех пунктов производства и по-требления в соответствии с условием (3), при этом величину по-тенциала U1 задаем произвольно, например, U1 =10. Полученные потенциалы также заносим в таблицу 2 и проверяем найденный план на оптимальность, для чего используем условие (4). Данное условие не выполняется в двух случаях в IV блоке в клетках со стоимостями, равными 8 и 9. Следовательно, для этих клеток определяются невязки
η45=23-14-8 = 1
η 65=23-13-9 = 1.
Так как невязки равны, то ε -перевозка вводится в ту клетку, где меньше стоимость перевозки, т.е. в клетку со стоимостью, равной 8. Для сохранения баланса объемов производства и по-требления необходимо построить ε -маршрут. В данном случае он проходит через клетки (4,4), (4,5), (5,5) и (5,4), т.е.

12
4- ε 8
ε
10
5+ε 7
11-ε

Определяем величину ε -перевозки как наименьшую из всех перевозок, стоящих на ε -маршруте в клетке с «-ε », т.е.
ε = min{4;11} = 4.
- ε
Определив ε -перевозку, строим новый план, в котором учитывается изменение перевозок на величину ε (см. табл. 3).

Таблица 3

14 12 13 25 22 27 27 13 ai
10 6 7 3
11 м м м м м 11
9 5
10 5 4
9 м м м м м 19
6 8
2 6
16 9 м м м м м 18
14 0
7 м м 12
8
4 11 13
8 0 19
15 м 0
м 10
9 7
7 12 15 0 16
13 м м 0 13 9 10
10 14
6 0
4
20
19 16 20 9 11 10 14 4

Для этого нового плана вновь строим систему потенциалов Uα и Vβ и проверяем план на оптимальность. Для данного плана условие (4) полностью выполняется и, следовательно, он является оптимальным. Целевая функция для него имеет величину:


Таким образом, минимальные затраты на производство, переработку и перевозку всей продукции составляют 690 единиц.
2. Транспортная задача в сетевой постановке
Очень часто особенности исходной информации таковы, что возможно рассматривать их в сетевой постановке, и это по-зволяет иногда использовать более простые алгоритмы их реше-ния. К числу таких задач относится и транспортная задача в се-тевой постановке. Экономическая ситуация состоит в следую-щем.
Пусть имеется N пунктов (производства, потребления, транзитной транспортировки грузов), связанных между собой не-которой транспортной сетью. В каждом пункте сети заданы числа
ai . Если ai < 0, то в этом пункте продукция производит-ся, если а, > 0, то продукция потребляется, а если ai = 0, то дан-ный пункт является транзитным, т.е. все, что в него привезено, должно быть вывезено.
Пусть транспортная сеть содержит s участков пути. Под участком пути понимается часть сети, соединяющая любые два ее пункта. Рассмотрим q-ый участок пути, на котором осуществ-ляется перевозка:
xq

iq cq jq

где:
iq - пункт, из которого груз вывозится;
jq - пункт, в который груз завозится;
cq - стоимость перевозки единицы груза на этом участке пути:
xq - объем перевозки из пункта iq в пункт jq.
Стрелка → показывает направление перевозки груза.
Требуется найти такой план перевозки груза, при котором из пунктов производства вывозится вся продукция, в пунктах по-требления удовлетворяются их потребности, а суммарные затра-ты на перевозку грузов были бы минимальных, т.е. необходимо найти такой вектор X = (x1, x2, … xs), для которого:
(5)
при условии
, ; , ;

где
- объем груза, ввозимого в пункт i,
- объем груза, вывозимого из i .
Необходимым и достаточным условием разрешимости данной задачи является
; (6)
т.е. все, что произведено, должно быть потреблено.
Решение задачи осуществляется методом потенциалов. Опорный невырожденный план транспортной задачи должен со-держать ровно (N - 1) положительную перевозку, не иметь замк-нутых маршрутов и «висячих» пунктов.
Первоначальный опорный план строится по методу наи-меньшей стоимости. Затем для каждого пункта сети находятся потенциалы по формуле
Vjq - Vjq =Cq, Xq > 0, (7)
где Vjq и Vjq - потенциалы пунктов, ограничивающих один и тот же q-ьм участок пути, a Cq - стоимость единицы перевозимого по этому участку груза.
Для оптимального плана транспортной задачи в сетевой постановке для всех участков пути должно выполняться условие:
, . (8)
Если условие (8) не выполняется, то для тех участков пути, где оно не выполняется, рассчитывается невязка по формуле:
;
и на участке сети с наибольшей невязкой вводится ε-перевозка, определяется ε-маршрут, величина ε-перевозки, рассчитывает-ся новый опорный план, который проверяется на оптималь-ность. Процедура повторяется до тех пор, пока не будет вы-полняться условие (8).

Пример.



Найти оптимальный план перевозки груза в следующей транспортной задаче в сетевой постановке.
Рис. 1
Данная сеть содержит три пункта производства, пять пунктов потребления и два транзитных пункта. Проверяем ус-ловия разрешимости этой задачи (условие (6)):
,
и, таким образом, эта задача разрешима. Следовательно, на-чинаем строить опорный план с участка пути с наименьшей стоимостью перевозки. Для удобства решения поименуем все пункты латинскими буквами. Наименьшая стоимость перевозки находится на участках пути AG и FH. Так как А - пункт произ-водства, то с участка AG и начинаем строить опорный план. Полученный план указан на рисунке 1.
Всего получилось 9 перевозок, что точно равно N - 1, замк-нутые маршруты также отсутствуют, следовательно, план явля-ется опорным. Теперь строим систему потенциалов, начиная с пункта А. Значение потенциала для этого пункта задаем произ-вольно, например, VА = 100.
Используя условие (7), находим все остальные потенциа-лы:
VB = 97; VC = 85; VD = 96; VE = 102; VF = 107;
VG = 105; VH =112; VK = 103; VL = 93.
Проверяем план на оптимальность, используя условие (8), которое нарушается один раз на участке BF (VF - VB > CBF = 8). Следовательно, на этом участке необходимо ввести ε -перевозку и произвести перераспределение плана. Направление
ε-перевозки определяем исходя из величины потенциалов пунк-тов Вир направление задается из пункта с меньшим потенциа-лом, т.е. из В в F, что и отмечаем на рисунке 1. С введением
ε-перевозки мы получаем замкнутый ε-маршрут, проходящий через пункты В, F, Н, К, L, E, D, С, по которому и происходит пе-рераспределение плана, что отмечается знаками «+» и «-». Оп-ределяем величину с -перевозки как наименьшую из всех пере-возок, стоящих на ε -маршруте со знаком «-», т.е. ε = min {xq } В данном случае ε = min {5; 22;10;10} =5. Определив
ε -перевозку, строим новый план, в котором учитываем измене-ние перевозок на величину ε (т.е. уменьшаем их, если стоит знак «-» и увеличиваем, если стоит знак «+»). Новый план представлен на рис. 2.
Проверяем его на оптимальность, для чего сначала строим систему потенциалов:
VA=100; VB=99; VС=87; VD=98; VE=104;
VF = 107; VG = 105; VH =112; VK = 105; VL = 95.
Проверяя условие оптимальности, приходим к выводу, что, поскольку условие (8) выполняется для всех участков пути, данный план является оптимальным, а целевая функция равна:


т.е. суммарные затраты на транспортировку 90 единиц продукции составляют в оптимальном плане 985 единиц.

Рис. 2
Таким образом, оптимальное решение предполагает транс-портировку 16 единиц продукции из пункта А в пункт G, 19 единиц из пунктов Л и С в пункт АУ (14 и 5 единиц, соответственно, через пункт F), 20 единиц продукции из пункта С в пункт В, 5 и 13 единиц продукции из пунктов Си LB пункт Е и, наконец, 17 единиц продукции из пункта L в пункт К.

3. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Динамическое программирование - метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия ре-шений может быть разбит на отдельные шаги (этапы).
В основе метода лежит принцип оптимальности, сформули-рованный Р. Бэллманом: «Каково бы ни было начальное состоя-ние, на любом шаге решение должно приниматься с учетом опти-мальных решений на последующих шагах, т.е. должно выбирать-ся решение лучшее не для данного шага, а для оптимизируемого процесса в целом».
Реализуется этот принцип посредством решения задач с последнего шага. При этом оптимального решения для любого шага (кроме первого) не найти, т.к. не известны начальные со-стояния процесса для каждого из шагов. Поэтому осуществляется перебор всех возможных состояний для каждого шага и для каждого возможного состояния отыскивается условно-оптимальное решение.
Условно-оптимальным на данном шаге является решение, которое обеспечивает экстремальное значение суммы значения критерия на оставшихся до конца процесса шагах.
Основным моментом решения многошаговых задач являет-ся составление рекуррентных соотношений. Общий вид рекур-рентного соотношения следующий:
, (9)
n - номер рассматриваемого шага, нумерация шагов осуществляется с конца, т.е. n = 1 присваивается последнему шагу оптимизируемого процесса, с которого и начинается решение;
yn - возможное состояние процесса на начало n -го шага (зависит от xn+1 и yn+1);
xn - решение, возможное на n-ом (от конца процесса) шаге;
fn(xn) - значение критерия на n-ом шаге при принятии решения xn;
Fn(yn) - суммарное экстремальное значение критерия за n шагов, при условии что n-ый шаг начинается при состоянии yn; F0 = 0.
Процесс построения рекуррентных соотношений для реше-ния конкретных задач сводится к следующим основным элемен-там:
• выбирается деление процесса на шаги;
• устанавливаются параметры состояния и их возможные значения на начало каждого шага;
• устанавливаются возможные решения для каждого шага;
• записывается уравнение состояния;
• описывается критерий на одном шаге;
• записывается рекуррентное соотношение.
Решение задачи начинается с последнего шага, т.е. при n = 1. Для этого шага обычно:
,
где x1 связан однозначно с y1.
Затем отыскивается F2(y2) и т.д. до FN(yN) (N - общее число шагов).
Поскольку yn обычно известно из условий задачи, постольку расчет FN(yN) обеспечивает выбор xN* - полностью оптимального решения (а не условно-оптимального). Зная уравнение состояния, можно найти yn-1, для которого уже известно условно-оптимальное решение xn-1, которое и оказывается полностью оптимальным; и т.д. до x1.
Решение обычно осуществляется в табличном виде. Число таблиц определяется числом шагов в задаче.
Таблица для решения задачи имеет вид:

xn
yn xn1 … xnе xn* (yni) Fn (yni)
yn1
.
.
.
ynk a11
.
.
.
ak1 …

aij

… a1е
.
.
.
akе

к - число возможных состояний процесса на начало n-го шага;
упi - возможное (i-ое) состояние на n-ом шаге (i = 1,...,к);
е - число возможных решений на n-ом шаге;
xnj - возможное (j-ое) решение на n-ом шаге (j = 1,...,е);
x*n{ynj) - оптимальное решение на n-ом шаге при условии, что yn состояние процесса на начало n-го шага;
Fn (yni) - условно оптимальное суммарное значение крите-рия, соответствующего xn*:
, где (10)
, (11)
При n = 1 в связи с однозначной зависимостью решения от состояния, таблица имеет вид:

y1 x1 (y1i ) F1(y1i )
y11
.
.
.

При n = N в связи с тем, что начальное состояние процесса известно, таблица имеет только одну строку.
Задача о распределении ресурса
Метод динамического программирования может быть при-менен не только к многошаговым задачам, но и к таким, которые, являясь по сути одношаговыми, могут быть представлены как многошаговые. Такой задачей является, например, задача о рас-пределении ресурса. Суть ее состоит в следующем.
Пусть имеются свободные денежные средства (ресурс), ко-торые можно вложить в несколько финансовых инструментов. Для этих финансовых инструментов известна их доходность (или имеется оценка доходности). Требуется так распределить имею-щиеся денежные средства между финансовыми инструментами, чтобы суммарная доходность была максимальной.
Эту задачу можно представить в виде процесса последова-тельного вложения денежных средств, когда на каждом шаге происходит вложение только один финансовый инструмент. В таком случае число шагов будет равно N - числу финансовых инструментов. Эти инструменты нумеруются произвольным образом. Инструмент, получивший номер 1, стоит последним в очереди на вложение в него денежных средств.
В качестве параметра состояния yn выступает объем де-нежных средств, вкладываемых в n финансовых инструментов.
В качестве элемента решения на n -ом шаге - xn - выступает объем денежных средств, вкладываемых в один n-ый финансо-вый инструмент. Тогда уравнение состояния выглядит следую-щим образом:
yn-1 = yn - xn
Ограничения для данной задачи следующие:
а) объем денежных средств, вкладываемых в n финансо-вых инструментов, не может превышать общего объема денеж-ных средств:
yn ≤ yN
б) объем денежных средств, вкладываемых в n-ый финан-совый инструмент, не может превышать объем денежных средств, вкладываемых в n финансовых инструментов:
xn ≤ yn
Рекуррентное соотношение имеет вид:

где:
fn(xn) -доходность n го финансового инструмента при вложении в него xn денежных средств;
Fn(yn) - суммарная максимальная доходность n финансо-вых инструментов при вложении в них yn денежных средств.
Пример.
Пусть имеется 50 у.е. денежных средств и 4 финансовых инструмента, в которые эти средства можно вложить. Известна доходность каждого финансового инструмента при вложении в них 10, 20, 30, 40 и 50 у.е. денежных средств. Значения доходно-сти представлены в табл. 1:
Таблица 1
x f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)
10 10 8 12 11
20 19 15 20 20
30 26 22 28 25
40 33 28 36 32
50 39 34 45 41
Решение:
1. n = 1 F1(y1) = f1(x1).
При этом ясно, что y1 = x1 , поскольку и y1 и x1 - денежные средства, вкладываемые в первый финансовый инструмент.
2. n = 2 F2(y2) =

у2 = 10 х2 = 0 a = f2(0) + F1(10 - 0) = 0 + 10 = 10
х2 = 10 a = f2(10)+F1(10 - 10)=8 + 0 = 8
F2 (10) = max (10; 8) =10 при х2 = 0
У2 = 20 х2 = 0 a = f2(0) + F1(20 - 0) = 0 + 19 = 19
х2 = 10 a = f2(10) + F1(20 - 10) = 8 + 10 = 18
х2 = 20 a = f2(20)+F1(20 - 20) = 15 + 0 = 15
F2(20) = max(19;18;15) = 19 при х2 = 0.
Аналогично производится расчет для У2 = 30, У2 = 40 У2 = 50. Результаты расчетов заносятся в таблицу 2.
Произведя подобные расчеты при n = 3 и n = 4, определя-ем F3(y3) и F4(y4) . Результаты расчетов заносятся в табл. 3 и табл.4.
Таблица 2
х2
У2 0 10 20 30 40 50 x2* (y2) F2(y2)
10 10 8 — — — — 0 10
20 19 18 15 _ — — 0 19
30 26 27 25 22 _ — 10 27
40 33 34 34 32 28 — 10, 20 34
50 39 41 41 41 38 34 10, 20, 30 41
Таблица 3
х3
У3 0 10 20 30 40 50 x3* (y3) F3(y3)
10 10 12 — — — — 10 12
20 19 22 20 — _ — 10 22
30 27 31 30 28 — — 10 31
40 34 39 39 38 36 — 10, 20 39
50 41 46 47 47 46 45 20, 30 47
Таблица 4
х4
У4
0 10 20 30 40 50 x4* (y4) F4(y4)
50 47 50 51 47 44 41 20 51

Таким образом, из расчета в таблице 4 следует, что х*4 = 20, следовательно, из имеющихся 50 у.е. в четвертый финансо-вый инструмент следует вложить 20 у.е., а в три оставшихся не-обходимо вложить
у3 =у4 - х4 = 50 - 20 = 30 у.е.
В таблице 3 объему денежных средств 30 у.е. соответству-ет х*3 = 10, следовательно
У2 = Уз – хЗ = 30 - 10 = 20 у.е.
По таблице 2 определяется х*2 = 0 и, следовательно,
х*1 = 20 у.е.
Таким образом, суммарная максимальная доходность со-ставляет 51 единицу при вложении в первый финансовый инст-румент 20 у.е., в третий - 10 у.е., в четвертый - 20 у.е., т.е.
х* =(20; 0; 10; 20).
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.
2. Бэллман Р. Динамическое программирование. - М.: ИЛ, 1960.
3. Бэллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. - М.: Наука, 1965,
4. Вагнер Г. Основы исследования операций. - М.: Мир, 1972.
5. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому програм-мированию. - М.: Высшая школа, 1975.
6. Капустин В.Ф. Практические занятия по курсу математического программирования: ЛГУ, 1976.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Контрольная работа включает в себя решение трех задач:
1. Двухэтапная транспортная задача.
2. Транспортная задача в сетевой постановке.
3. Задача о распределении ресурса.
Варианты решения первых двух задач контрольной рабо-ты определяются первой буквой фамилии студента в соответст-вии со следующей таблицей:

Начальные буквы
фамилии студента Номер
варианта
А Ж Н У Щ 1
Б З О Ф Э 2
В И П Х Ю 3
Г К Р Ц Я 4
Д Л С Ч 5
Е М Т Ш 6
а третья задача - по специальному условию:
3. Задача о распределении ресурса
Необходимо таким образом распределить 60 единиц ресурса между четырьмя объектами, чтобы полученный суммарный эффект был максимальным. Исходные данные следующие:

X f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)
10 10 12 9 11
20 20 23 19 22
30 30 32 30 33
40 41 42 40 44
50 51 53 51 54
60 62 63 62 64
а Ь с d

Вместо букв а, Ь, с, d необходимо каждому студенту под-ставить последние четыре цифры номера зачетной книжки и най-денные числа прибавить ко всем значениям соответствующего столбца исходной таблицы. Так, если четыре последних цифры зачетки 4041, то а=4, b=0, c=4, d=1, а исходные данные имеют вид:

X f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)
10 14 12 13 12
20 24 23 23 23
30 34 32 34 34
40 45 42 44 45
50 55 53 55 55
60 66 63 66 65

Именно эти данные и являются исходными для решения задачи студентом, чья зачетка имеет номер, заканчивающийся на «4041».
ВАРИАНТ 1
1. Решить двухэтапную транспортную задачу:
аi, =(11;17;18);
qk=(13;18;20);
bj=(8;10;15;11);

2. Решить транспортную задачу в сетевой постановке:


ВАРИАНТ 2
1. Решить двухэтапную транспортную задачу:
аi, =(17;17;16);
qk=(20;20;20);
bj=(11;13;12;11);


2. Решить транспортную задачу в сетевой постановке:

ВАРИАНТ 3
1. Решить двухэтапную транспортную задачу:
аi, =(11;19;17);
qk=(20;16;19);
bj=(9;11;10;9);

2. Решить транспортную задачу в сетевой постановке:

ВАРИАНТ 4
1. Решить двухэтапную транспортную задачу:
аi, =(13;17;14);
qk=(19;18;20);
bj=(10;9;12;9);


2. Решить транспортную задачу в сетевой постановке:
ВАРИАНТ 5
1. Решить двухэтапную транспортную задачу:
аi, =(11;18;19);
qk=(16;19;21);
bj=(11;9;10;14);


2. Решить транспортную задачу в сетевой постановке:
ВАРИАНТ 6
1. Решить двухэтапную транспортную задачу:
аi, =(14;13;17);
qk=(20;19;18);
bj=(10;11;11;10);

2. Решить транспортную задачу в сетевой постановке: