МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА 29.07.2015 07:03

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Інститут післядипломної освіти

 

 

 

 

 

 

Навчально-методичний комплекс

з дисципліни

“МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА”

для студентів спеціальності 7.03010201 «Психологія»

 

 

 

 

Укладач: кандидат фізико-математичних наук, доцент Сидоров Микола Володимир-Станіславович

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Київ – 2013

 

         Навчально-методичний комплекс з дисципліни «Математична статистика» для студентів спеціальності 7.03010201 «Психологія».

 

        Укладач: к.ф.-м.н., доцент  Сидоров Микола Володимир-Станіславович

 

 

          Рекомендовано до друку навчально-методичною комісіє   Інституту післядипломної освіти Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Протокол № 8 від «09»  квітня  2013 р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зміст

 

Загальні положення

Навчальна програма курсу

Тема 1. Основна задача математичної статистики

Тема 2. Розподіли у математичній статистиці. Критичні величини

Тема 3. Задача точності точкового оцінювання

Тема 4. Перевірка статистичних гіпотез

Тема 5. Статистичні критерії

Тема 6. Перевірка гіпотез однорідності двох вибірок

Тема 7. Регресія

Робоча програма курсу

План лекційних занять

Лекція 1. Стандартні розподіли математичної статистики. Довірчі області. Перевірка статистичних гіпотез

Лекція 2. Критерій згоди для параметрів нормального розподілу. Критерій Пірсона c². Критерій згоди Колмогорова. Гіпотези однорідності двох вибірок

План семінарських занять

Семінар 1. Точність точкового оцінювання параметрів. Перевірка статистичних гіпотез

Семінар 2. Статистичні критерії

Завдання до самостійної роботи

Тема 1. Основна задача математичної статистики

Тема 2. Розподіли у математичній статистиці. Критичні величини

Тема 3. Задача точності точкового оцінювання

Тема 4. Перевірка статистичних гіпотез

Тема 5. Статистичні критерії

Тема 6. Перевірка гіпотез однорідності двох вибірок

Рекомендована література

Основна

Додаткова

Перелік питань, що виносяться на залік

 

Загальні положення

Метою дисципліни є формування у студентів комплексного розуміння статистичних методів аналізу даних.

Предмет навчальної дисципліни – методи статистичного оцінювання та перевірки гіпотез.

Протягом вивчення курсу студенти знайомляться з основними задачами математичної статистики та опановують методи їх розв’язання та практичного використання.

Завданням дисципліни є:

• Сформувати уяву про головні статистичні поняття, властивості імовірнісних об’єктів;
• Ознайомити з аксіоматичною побудовою статистичних математичних теорій, навчити оперувати з абстрактними об’єктами та коректно використовувати математичні поняття та символи для вираження кількісних та якісних відношень;
• Представити ряд загальновживаних статистичних методів та ознайомити з їх використанням при розв’язанні прикладних задач;
• Дати навички практичного вирішення навчальних прикладів;

Зміст навчальної дисципліни: задача точкового оцінювання, точкове оцінювання параметрів розподілів; головні статистичні розподіли та їх інтегральні характеристики; критичні величини розподілів; задача точності точкового оцінювання, оцінки ТТО для параметрів нормального розподілу; перевірка статистичних гіпотез, типи гіпотез, перевірка гіпотез про значення параметрів нормальних генеральних сукупностей; критерій Хі-квадрат та критерій Колмогорова; перевірка гіпотез однорідності двох нормальних сукупностей; рівняння лінійної регресії.

Структура програми курсу включає тематичний план навчальної дисципліни, навчальну та робочу програми, пакет задач для проведення практичних занять та самостійної роботи, орієнтовний перелік питань для проміжного та підсумкового контролю, перелік рекомендованої літератури.

Тематичний план дисципліни викладається у обсязі 72 годин, з яких 8 аудиторних (4 лекційних та 4 семінарських) та 64 годин самостійної роботи і розрахований на слухачів заочної форми навчання,

Навчальна програма містить повний перелік тем, що розглядається у межах курсу та їх короткий зміст.

Робоча програма курсу складається з плану лекційних занять, плану практичних занять та вказівок до самостійної роботи. Також представлено перелік практичних завдань, які охоплюють проблематику лекцій та допомагають ефективнішому засвоєнню теоретичного матеріалу. Програма містить перелік рекомендованої літератури, у якій присутній курс лекцій з зазначеної дисципліни.

Навчальна програма курсу.

Тема 1. Основна задача математичної статистики.

Основна задача математичної статистики. Основні риси-параметри розподілу, який визначає ймовірності появи тих чи інших значень у вибірці. Зміст ОЗМС. Статистика, значення якої використовується замість невідомого параметру. Оцінка параметрів основних розподілів ймовірностей. Оцінка параметрів дискретних розподілів. Оцінка параметрів неперервних розподілів.

 

Тема 2. Розподіли у математичній статистиці. Критичні величини.

Розподіли “хі-квадрат з n степенями свободи”, “t-розподіл Стьюдента з n степенями свободи”, ”еф-розподіл Фішера з m та n степенями свободи”. Графіки функції щільності. Поняття “степінь свободи”. Математичне сподівання та дисперсія розподілів. Симетричні та несиметричні розподіли ймовірностей. Симетричні розподіли серед стандартних. Несиметричні розподіли серед стандартних. Верхня  та нижня  критична величина. Рівень значущості критичної величини. Квантилі та процентилі. Q-процентні точки. Основні співвідношення між критичними величинами. Критичні величини для основних розподілів. Критичні величини розподілу Фішера. Довірчі області симетричних стандартних розподілів: Z, t_n.. Довірчі області стандартних несиметричних розподілів: , F_m,n.. Двосторонні довірчі області стандартних розподілів

 

Тема 3. Задача точності точкового оцінювання.

Загальна підхід до розв’язання задачі ТТО. Точність точкової оцінки. Довірчий інтервал рівня b для невідомого параметра q. Задача інтервального оцінювання. Загальний алгоритм побудови розв’язку задачі ТТО. Точність точкового оцінювання параметрів нормального -розподілу. Точність точкового оцінювання m за допомогою . Точність точкового оцінювання s²

 

Тема 4. Перевірка статистичних гіпотез.

Помилки першого та другого роду. Формалізація третього типу ОЗМС. Загальний алгоритм розв’язання задачі перевірки гіпотез типу Н₀: критерій згоди чи критерій значущості. Основна та альтернативна гіпотези. Перевірка гіпотези про значення параметру m нормального розподілу у випадку, коли точність відома. Перевірка гіпотези про значення параметру m нормального розподілу у випадку, коли точність невідома. Зауваження про критерії згоди гіпотез про параметр m нормального розподілу з нерівностями: H₀: m>m₀, чи m<m₀. Перевірка гіпотези про значення параметру σ² нормального розподілу. Перевірка гіпотези про значення параметру σ² нормального розподілу: m відоме. Перевірка гіпотези про значення параметру σ² нормального розподілу: m невідоме.

 

Тема 5. Статистичні критерії.

Критерій Пірсона. Приклад формулювання гіпотези для групованої вибірки. Статистика критерію. Довірча область критерію. Теорема Колмогорова. Критичні величини критерію. Таблиця розподілу.

 

Тема 6. Перевірка гіпотез однорідності двох вибірок

Однорідність розподілів випадкових величин. Однорідність двох нормальних сукупностей за МХ при відомих дисперсіях. Однорідність двох нормальних сукупностей за МХ при невідомих дисперсіях. Перевірка гіпотез про однорідність для DX.

 

Тема 7. Регресія.

Лінійна регресія. Найпростіша, множинна та поліноміальна регресії. Метод найменших квадратів у оцінюванні параметрів регресії. Припущення класичної нормальної регресії. ТТО параметрів регресії та прогнозу за емпіричною регресією. Довірчі смуги Воркінга - Готелінга.

 

Робоча програма курсу

з дисципліни "Математична статистика"

Тематичний план лекцій і семінарських занять

Тема	Кількість годин
	Лекцій­ні	Семінар­ські	Самос-тійна робота	Разом
1. Основна задача математичної статистики. Точкове оцінювання.	0	0	8	8
2. Розподіли у математичній статистиці.	1	0	4	5
3. Задача точності точкового оцінювання.	0	1	10	11
4. Перевірка статистичних гіпотез.	1	1	10	12
5. Статистичні критерії.	1	1	8	10
6. Перевірка гіпотез однорідності двох вибірок.	1	1	14	16
7. Регресія.	0	0	8	8
Всього	4	4	64	72

 

Загальний обсяг лекційних, семінарських занять та самостійної роботи: 72 години, з них лекцій 4 год., семінарських 4 год. (практичних, лабораторних), самостійна робота 64 год. та форма підсумкового контролю іспит.

 

План лекційних занять

Лекція 1. Стандартні розподіли математичної статистики. Довірчі області. Перевірка статистичних гіпотез.

 

1. Нормальний та стандартний нормальний розподіли. Розподіли “хі-квадрат з n степенями свободи”, “t-розподіл Стьюдента з n степенями свободи”, ”еф-розподіл Фішера з m та n степенями свободи”.
2. Графіки функції щільності. Поняття “степінь свободи”.
3. Математичне сподівання та дисперсія розподілів.
4. Симетричні та несиметричні розподіли ймовірностей. Симетричні розподіли серед стандартних. Несиметричні розподіли серед стандартних.
5. Верхня  та нижня  критична величина.
6. Рівень значущості критичної величини.
7. Квантилі та процентилі. Основні співвідношення між критичними величинами.
8. Критичні величини для основних розподілів.
9. Критичні величини розподілу Фішера.

10.Довірчі області симетричних стандартних розподілів: Z, t_n.. Довірчі області стандартних несиметричних розподілів: , F_m,n.. Двосторонні довірчі області стандартних розподілів.

11.Другий тип ОЗМС – задача ТТО.

12.Помилки першого та другого роду. Формалізація третього типу ОЗМС.

13.Загальний алгоритм розв’язання задачі перевірки гіпотез типу Н₀: критерій згоди чи критерій значущості. Основна та альтернативна гіпотези.

 

Література: 1, 5, 8.

 

Лекція 2. Критерій згоди для параметрів нормального розподілу. Критерій Пірсона c². Критерій згоди Колмогорова. Гіпотези однорідності двох вибірок.

 

1. Перевірка гіпотези про значення параметру m нормального розподілу у випадку, коли точність відома. Перевірка гіпотези про значення параметру m нормального розподілу у випадку, коли точність невідома. Зауваження про критерії згоди гіпотез про параметр m нормального розподілу з нерівностями: H₀: m>m₀, чи m<m₀.
2. Перевірка гіпотези про значення параметру σ² нормального розподілу. Перевірка гіпотези про значення параметру σ² нормального розподілу: m відоме. Перевірка гіпотези про значення параметру σ² нормального розподілу: m невідоме.
3. Критерій Пірсона. Приклад формулювання гіпотези для групованої вибірки. Статистика критерію. Довірча область критерію.
4. Теорема Колмогорова. Критичні величини Критерію. Таблиця розподілу.
5. Однорідність двох нормальних сукупностей за МХ при відомих дисперсіях.
6. Однорідність двох нормальних сукупностей за МХ при невідомих дисперсіях.
7. Перевірка гіпотез про однорідність для DX.

Література: 1, 5, 7, 8, 9.

 

План семінарських занять

Семінар 1. Точність точкового оцінювання параметрів. Перевірка статистичних гіпотез.

План

1. Вибіркове середнє значення шістнадцяти (N = 16) досліджених конденсаторів склало 20 мкФ (мікрофарад – одиниця ємності конденсатора), а відоме середньоквадратичне відхилення складає s = 4мкФ. Визначити ТТО ємності вибірковим середнім для довірчої ймовірності  0.9. Якою мусить бути мінімальна кількість вимірів, щоб з тою ж довірчою імовірністю точність була не меншою за 0.5 мкФ.
2. Розв’язати попередню задачу, якщо s невідоме, вибіркове середньоквадратичне відхилення склало S = 4 мкФ. Зробити порівняльний аналіз результатів обох задач.
3. Елементами вибірки є три числа: 1, 2 та 3. Побудувати довірчі інтервали для MX та DX при a = 0.1.
4. Визнання піддослідного здатним виконувати певну роботу відбувається, коли за результатами однотипних тестувань визнається, що він може набрати більше за 120 очок. Зважаючи, що методика оцінювання характеризується стандартним відхиленням s у 1,5 бали, перевірити гіпотезу про відповідність піддослідного умовам для довірчої імовірності 0.95, якщо результати тестування мають вигляд: 118, 120, 117, 121, 122, 116
5. Харчова цінність склянки кефіру складала 100 кілокалорій (ккал). В результаті технологічних змін харчова цінність мала зменшитись. Для перевірки цього було проведено 25 незалежних експертиз, за якими вибіркова середня харчова цінність склянки кефіру склала = 92 ккал. Припустимо, що вибірка експертиз отримана з нормальної генеральної сукупності з невідомим середнім m та дисперсією s²= 50 ккал². Перевірити гіпотезу про те, що технологічні зміни не змінили харчової цінності продукту, обравши рівень значущості a = 0.05.
6. В умовах задачі 2 попереднього семінару разом з гіпотезою H₀ : m = 100 розглядається альтернативна гіпотеза H₁ : m = 90. Критична область задається нерівністю  . Знайти ймовірність похибок першого та другого роду для критерію з такою критичною областю
7. В умовах вихідної задачі знайти критичну область для статистики .

Література: 1-8.

Семінар 2. Статистичні критерії.

1. Вибірка об’єму 50 представлена наступною таблицею:

 

Для довірчої ймовірності 0,9 перевірити гіпотезу про те, що ці дані є вибіркою із гаусівського N(2; 3) розподілу, ці дані є вибіркою із гаусівського розподілу. (c² критерій)

1. Для вибірки -6,4211; -4,01; -3,17; -2,6; -2,17; -1,8; -1,49; -1,21; -0,95; -0,72; -0,5; -0,29; -0,09; 0,09; 0,27; 0,45; 0,62; 0,78; 0,94; 1,1; 1,26; 1,41; 1,57; 1,72; 1,87; 2,02; 2,17; 2,32; 2,5; 2,62; 2,78; 2,94; 3,1; 3,26; 3,42; 3,59; 3,77; 3,95; 4,14; 4,34; 4,55; 4,77; 5,01; 5,27; 5,56; 5,89; 6,27; 6,73; 7,34; 8,33 з довірчою ймовірністю 0,9 перевірити чи є вона вибіркою із гаусівського розподілу N(2,9). (Критерій Колмогорова)
2. За вибіркою об’єму N₁=30 мешканців міста A знайдено середній розмір зарплати =1300 грн., а за вибіркою об’єму N₂=40 мешканців міста B знайдено середній розмір зарплати =1250 грн. Генеральні дисперсії відомі – =600 та =800 відповідно. Потрібно при рівні значущості a=0,05 перевірити нульову гіпотезу H₀: m₁=m₂, де m₁ та m₂ – середні генеральних сукупностей, при альтернативній гіпотезі H₁: m₁≠m₂. Вважається, що генеральні сукупності є незалежними і нормально розподіленими. (критерій однорідності при відомих дисперсіях)
3. За вибіркою об’єму N₁=30 мешканців міста X знайдено середній розмір зарплати =1300 грн., а за вибіркою об’єму N₂=40 мешканців міста Y знайдено середній розмір зарплати =1250 грн. Вибіркові дисперсії відомі – =600 та =800 відповідно. Потрібно при рівні значущості a=0,05 перевірити нульову гіпотезу H_0: =, де  та  – дисперсії генеральних сукупностей, при альтернативній гіпотезі H₁: ≠. Вважається, що генеральні сукупності є незалежними і нормально розподіленими. (критерій однорідності за невідомих дисперсій)
4. Результатом 20 спостережень за реалізаціями випадкової величини Х є наступна вибірка: 5, -2, 3, -1, 6, 9, 17, -11, 15, 2, 1, 2, -3, 3, 4, 5, 7, -8, 3, 1. Оцінити середнє значення випадкової величини Х , її дисперсію та ймовірність того, що Х  прийме значення, менше за 4.
5. Оцінити невідомий параметр р бернулієвського розподілу та математичне сподівання і дисперсію відповідної випадкової величини, якщо у вибірці 21 нуль та 29 одиниць.
6. Оцінити дисперсію, математичне сподівання та параметр р біноміального розподілу з n = 10 за вибіркою: 6, 4, 3, 0, 5, 9, 8, 7, 2, 6, 5, 3, 4, 5, 6, 1.
7. Оцінити параметр р геометричного розподілу та відповідне математичне сподівання за вибіркою: 1, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 1, 2, 2.
8. Оцінити параметр l пуассонівського розподілу та відповідне математичне сподівання за вибіркою: 3, 0, 1, 2, 4, 3, 2, 4, 2, 3, 1, 0, 2, 3, 1.
9. Оцінити параметр l експоненційного розподілу за вибіркою 3.7, 4.1, 2.4, 1.3, 3.7, 4.2, 1.6, 1.8, 0.9, 2.1, 1.1, 0.7, 1.7, 4.5, 1.7.
10. Оцінити параметри гауссівської випадкової величини за вибіркою 0.1, -0.2, 3.1, 2.6, -0.3, 1.7, 1.9, -0.6, 0.3, -1.1, 1.3, -0.1, 0, -1.
11. Оцінити параметри а, b, MX, DX рівномірного неперервного розподілу за вибіркою 1.15, 1.71, 1.62, 1.03, 1.48, 1.31, 1.56, 1.22, 1.34, 1.91, 1.41, 1.57, 1.47, 1.2, 1.51.

Завдання до самостійної роботи

Тема 1. Основна задача математичної статистики.

 

 

Тема 2. Розподіли у математичній статистиці.           Критичні величини.

План

1. Побудувати графік щільності та знайти математичне сподівання та дисперсію для розподілу t_n для n=2.
2. Побудувати графік щільності та знайти математичне сподівання та дисперсію для розподілу t_n для n=4.
3. Побудувати графік щільності та знайти математичне сподівання та дисперсію для розподілу F_mn для m=10, n =12.
4. Побудувати графік щільності та знайти математичне сподівання та дисперсію для розподілу F_mn для m=8, n =10.
5. Знайти критичні величини для розподілу  для n=2.
6. Знайти критичні величини для розподілу  для n=4.
7. Знайти критичні величини для розподілу  для n=8.
8. Знайти критичні величини для розподілу t_n для n=2.
9. Знайти критичні величини для розподілу t_n для n=4.
10. Знайти критичні величини для розподілу F_mn для m=10,  n =12.
11. Знайти критичні величини для розподілу F_mn для m=8,    n =10.

 

Тема 3. Задача точності точкового оцінювання.

План

1. Згенерувати вибірку нормального розподілу N(2,4). Оцінити точність оцінки
2. Середнього при невідомій дисперсії
3. Середнього при відомій дисперсії
4. Дисперсії при невідомому середньому
5. Дисперсії при відомому середньому
6. Результати 10 вимірів ємності конденсаторів приладом, що не має систематичної помилки (m = 0), склали такі відхилення від номіналу (пкФ): 5.4; -13.9; -11; 7.2; -15.6; 29.2; 1.4; -0.3; 6.6; -9.9. Знайти 90% - вий довірчий інтервал для дисперсії та середньоквадратичного відхилення.
7. Вибіркове середнє значення шістнадцяти (N = 20) досліджених конденсаторів склало 18 мкФ (мікрофарад – одиниця ємності конденсатора), а відоме середньоквадратичне відхилення складає s = 4мкФ. Визначити ТТО ємності вибірковим середнім для  довірчої ймовірності 0.8. Якою мусить бути мінімальна кількість вимірів, щоб з тою ж довірчою імовірністю точність була не меншою за 0.5 мкФ.
8. Для часу х (в днях) безвідмовної роботи ліфта маємо: вибіркове середнє = 500 днів при N = 100 дослідженнях. Відомо, що s = 10 днів. Знайти довірчий інтервал для МХ при a = 0,01.

 

Тема 4. Перевірка статистичних гіпотез.

План

1. Для вибірки -6,4211; -4,01; -3,17; -2,6; -2,17; -1,8; -1,49; -1,21; -0,95; -0,72; -0,5; -0,29; -0,09; 0,09; 0,27; 0,45; 0,62; 0,78; 0,94; 1,1; 1,26; 1,41; 1,57; 1,72; 1,87; 2,02; 2,17; 2,32; 2,5; 2,62; 2,78; 2,94; 3,1; 3,26; 3,42; 3,59; 3,77; 3,95; 4,14; 4,34; 4,55; 4,77; 5,01; 5,27; 5,56; 5,89; 6,27; 6,73; 7,34; 8,33
2. перевірити гіпотезу H₀: m₀=2 при відомій дисперсії 9 з довірчою ймовірністю b=0,9
3. перевірити гіпотезу H₀: m₀=2 при невідомій дисперсії з довірчою ймовірністю b=0,9
4. Для вибірки -3,6141; -2,01; -1,44; -1,07; -0,78; -0,53; -0,33; -0,14; 0,03; 0,19; 0,33; 0,47; 0,6; 0,73; 0,85; 0,97; 1,08; 1,19; 1,3; 1,4; 1,51; 1,61; 1,71; 1,81; 1,91; 2,01; 2,11; 2,21; 2,3; 2,42; 2,52; 2,62; 2,73; 2,84; 2,95; 3,06; 3,18; 3,3; 3,43; 3,56; 3,7; 3,85; 4,01; 4,18; 4,38; 4,59; 4,84; 5,15; 5,56; 6,22
5. перевірити гіпотезу H₀: m₀=2 при відомій дисперсії 4 з довірчою ймовірністю b=0,8
6. перевірити гіпотезу H₀: m₀=2 при невідомій дисперсії з довірчою ймовірністю b=0,8
7. Для вибірки -3,6141; -2,01; -1,44; -1,07; -0,78; -0,53; -0,33; -0,14; 0,03; 0,19; 0,33; 0,47; 0,6; 0,73; 0,85; 0,97; 1,08; 1,19; 1,3; 1,4; 1,51; 1,61; 1,71; 1,81; 1,91; 2,01; 2,11; 2,21; 2,3; 2,42; 2,52; 2,62; 2,73; 2,84; 2,95; 3,06; 3,18; 3,3; 3,43; 3,56; 3,7; 3,85; 4,01; 4,18; 4,38; 4,59; 4,84; 5,15; 5,56; 6,22
8. перевірити гіпотезу H₀: =4 при відомому середньому 2 з довірчою ймовірністю b=0,8
9. перевірити гіпотезу H₀: =4 при невідомому середньому з довірчою ймовірністю b=0,8
10. Для вибірки -6,4211; -4,01; -3,17; -2,6; -2,17; -1,8; -1,49; -1,21; -0,95; -0,72; -0,5; -0,29; -0,09; 0,09; 0,27; 0,45; 0,62; 0,78; 0,94; 1,1; 1,26; 1,41; 1,57; 1,72; 1,87; 2,02; 2,17; 2,32; 2,5; 2,62; 2,78; 2,94; 3,1; 3,26; 3,42; 3,59; 3,77; 3,95; 4,14; 4,34; 4,55; 4,77; 5,01; 5,27; 5,56; 5,89; 6,27; 6,73; 7,34; 8,33
11. перевірити гіпотезу H₀: =9 при відомому середньому 2 з довірчою ймовірністю b=0,9
12. перевірити гіпотезу H₀: =9 при невідомому середньому з довірчою ймовірністю b=0,9

 

Тема 5. Статистичні критерії.

План

1. Для вибірки -3,6141; -2,01; -1,44; -1,07; -0,78; -0,53; -0,33; -0,14; 0,03; 0,19; 0,33; 0,47; 0,6; 0,73; 0,85; 0,97; 1,08; 1,19; 1,3; 1,4; 1,51; 1,61; 1,71; 1,81; 1,91; 2,01; 2,11; 2,21; 2,3; 2,42; 2,52; 2,62; 2,73; 2,84; 2,95; 3,06; 3,18; 3,3; 3,43; 3,56; 3,7; 3,85; 4,01; 4,18; 4,38; 4,59; 4,84; 5,15; 5,56; 6,22 вказати найменшу (з точністю до десятих) довірчу ймовірність, при яких ми можемо стверджувати, що:
2. ці дані є вибіркою із гаусівського N(2,4) розподілу.
3. ці дані є вибіркою із гаусівського розподілу з невідомими параметрами.
4. Для вибірки

-4,6141; -3,01; -2,44; -2,07; -1,78; -1,53; -1,33; -1,14; -0,97; -0,81; -0,67; -0,53; -0,4; -0,27; -0,15; -0,03; 0,08; 0,19; 0,3; 0,4; 0,51; 0,61; 0,71; 0,81; 0,91; 1,01; 1,11; 1,21; 1,3; 1,42; 1,52; 1,62; 1,73; 1,84; 1,95; 2,06; 2,18; 2,3; 2,43; 2,56; 2,7; 2,85; 3,01; 3,18; 3,38; 3,59; 3,84; 4,15; 4,56; 5,22 перевірити з довірчою ймовірністю 0,9 гіпотезу про те, що

1. ці дані є вибіркою із гаусівського N(1,4) розподілу.
2. ці дані є вибіркою із гаусівського розподілу.
3. Для вибірки

-3,6141; -2,01; -1,44; -1,07; -0,78; -0,53; -0,33; -0,14; 0,03; 0,19; 0,33; 0,47; 0,6; 0,73; 0,85; 0,97; 1,08; 1,19; 1,3; 1,4; 1,51; 1,61; 1,71; 1,81; 1,91; 2,01; 2,11; 2,21; 2,3; 2,42; 2,52; 2,62; 2,73; 2,84; 2,95; 3,06; 3,18; 3,3; 3,43; 3,56; 3,7; 3,85; 4,01; 4,18; 4,38; 4,59; 4,84; 5,15; 5,56; 6,22

вказати найменшу (з точністю до десятих) довірчу ймовірність, при яких ми можемо стверджувати, що:

a. ці дані є вибіркою із гаусівського N(2,4) розподілу.

b. ці дані є вибіркою із гаусівського розподілу.

 

Тема 6. Перевірка гіпотез однорідності двох вибірок

План

1. За вибіркою об’єму N₁=30 мешканців міста A знайдено середній розмір зарплати =1300 грн., а за вибіркою об’єму N₂=40 мешканців міста B знайдено середній розмір зарплати =1290 грн. Генеральні дисперсії відомі – =600 та =800 відповідно. Потрібно при рівні значущості a=0,05 перевірити нульову гіпотезу H₀: m₁=m₂, де m₁ та m₂ – середні генеральних сукупностей, при альтернативній гіпотезі H₁: m₁≠m₂. Вважається, що генеральні сукупності є незалежними і нормально розподіленими.
2. За двома незалежними вибірками X та Y об’ємами N₁=9 та N₂=16, отриманими з нормальних генеральних сукупностей, знайдено виправлені вибіркові дисперсії =34,02 та =12,15. Для рівня значущості a=0,01 перевірити нульову гіпотезу H_0: =, де  та  – дисперсії генеральних сукупностей, при альтернативній гіпотезі H₁: ≠.
3. За вибіркою об’єму N₁=50 робітників заводу A знайдено середній коефіцієнт задоволеності матеріальним становищем =20.1, а за вибіркою об’єму N₂=50 робітників заводу B знайдено середній коефіцієнт задоволеності матеріальним становищем =19.8. Генеральні дисперсії відомі – =1.75 та =1.375 відповідно. Потрібно при рівні значущості a=0,05 перевірити нульову гіпотезу H₀: m₁=m₂, де m₁ та m₂ – середні генеральних сукупностей, при альтернативній гіпотезі H₁: m₁≠m₂. Вважається, що генеральні сукупності є незалежними і нормально розподіленими.
4. За вибіркою об’єму N₁=30 мешканців міста X знайдено середній розмір зарплати =1300 грн., а за вибіркою об’єму N₂=40 мешканців міста Y знайдено середній розмір зарплати =1250 грн. Вибіркові дисперсії відомі – =600 та =800 відповідно. Потрібно при рівні значущості a=0,05 перевірити нульову гіпотезу H_0: =, де  та  – дисперсії генеральних сукупностей, при альтернативній гіпотезі H₁: ≠. Вважається, що генеральні сукупності є незалежними і нормально розподіленими.

 

Рекомендована література

Основна

1. Донченко В.С., Сидоров М.В.-С., Шарапов М.М. Теорія ймовірностей та математична статистика.- К.: ВЦ "Академія", 2009.
2. Г.В. Емельянов, В.П. Скитович «Задачи по теории вероятностей и математической статистике», М. 1967.
3. В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике», М. 1979.
4. А.В. Свешников “Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов”, М. 1965.
5. Черняк О.І., Обушна О. М., Ставицький А. В. Теорія ймовірностей та математична статистика. Збірник задач. - К.: Знання, 2001.
6. Е.И. Гурский «Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике», Минск, 1984.
7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения, - М.: Наука, 1973.
8. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: Учебное пособие для ВТУЗов. - М.: Высшая школа, 1992.
9. Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статистики. М.: “Финансы и статистика”, 1982, 344 с., ил.

Додаткова

 

Перелік питань, що виносяться на залік.

1. Основна задача математичної статистики. Зміст ОЗМС.
2. Оцінка параметрів дискретних розподілів.
3. Оцінка параметрів неперервних розподілів.
4. Розподіл хі-квадрат з n степенями свободи. Графік функції щільності. Математичне сподівання та дисперсія.
5. t-розподіл Стьюдента з n степенями свободи. Графік функції щільності. Математичне сподівання та дисперсія.
6. F-розподіл Фішера з m та n степенями свободи. Графік функції щільності. Математичне сподівання та дисперсія.
7. Симетричні та несиметричні розподіли ймовірностей.
8. Верхня  та нижня  критична величина. Рівень значущості критичної величини.
9. Квантилі та процентилі. Основні співвідношення між критичними величинами.
10. Довірчі області симетричних стандартних розподілів: Z, t_n..
11. Довірчі області стандартних несиметричних розподілів: , F_m,n..
12. Двосторонні довірчі області стандартних розподілів.
13. Загальна підхід до розв’язання задачі ТТО. Точність точкової оцінки.
14. Загальний алгоритм побудови розв’язку задачі ТТО.
15. Точність точкового оцінювання параметрів нормального -розподілу.
16. Перевірка гіпотез типу Н₀ та перевірка гіпотез типу альтернативного вибору. Основна та  альтернативна гіпотези. Помилка першого та другого роду.
17. Загальний алгоритм розв’язання задачі перевірки гіпотез типу Н₀: критерій згоди чи критерій значущості. Критерій згоди для параметру m нормального розподілу.
18. Перевірка гіпотези про значення параметру m нормального розподілу у випадку, коли точність відома та коли вона невідома.
19. Перевірка гіпотези про значення параметру у² нормального розподілу: m відоме та невідоме.
20. Критерій Пірсона c²
21. Критерій згоди Колмогорова
22. Однорідність двох нормальних сукупностей за МХ при відомих дисперсіях
23. Однорідність двох нормальних сукупностей за МХ при невідомих дисперсіях
24. Перевірка гіпотез про однорідність для DX
25. Перетворення Фішера для перевірки гіпотез
26. ТТО параметрів регресії та прогнозу за емпіричною регресією