Математична статистика 29.07.2015 07:04

Київський   національний університет    імені Тараса Шевченка                        

 

                                 Інститут післядипломної освіти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

               Навчально-методичний комплекс

 

                               з дисципліни

 

                   «Математична статистика»

 

 

                       для  студентів спеціальності

                           7.040101 «Психологія»

                         заочної форми навчання 

 

 

 

 

 

 

 

                                           Укладач: Бушуєва Т.В.

                                           кандидат   психологічних наук,                                                                 

                                           доцент

 

 

 

 

 

                                           Київ – 2011                                                  

Навчально-методичний комплекс з дисципліни «Математична статистика» для студентів спеціальності 7.040101 «Психологія» заочної форми навчання. Укладач: Бушуєва Т.В. кандидат психологічних наук, доцент.

 

Рекомендовано на засіданні навчально-методичної комісії Інституту післядипломної освіти.

Протокол  № 6  від 8 лютого  2011 р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                       

                                                      Зміст

 

 

   1. Пояснювальна записка ……………………………………………..    4

 

   2. Тематичний план з дисципліни ……………………………………    6

 

   3. Програмний зміст дисципліни 

       тематика лекційних занять      ……………………………………...    7

       тематика семінарських занять………………………………………    9

                             

   4. Завдання для самостійної роботи   ………………………………..   10

 

   5. Перелік питань до кінцевого контролю знань ……………………  19

 

   6. Рекомендована література  …………………………………………  21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                        І. Пояснювальна записка

 

      На сьогодні  в практиці підготовки психологів все ширше використовується міждисциплінарний підхід. Математична статистика – самостійна математична наука, яка розробляє методи збору та обробки статистичних даних для одержання наукових та практичних висновків. Однак, математичний апарат – зручний інструмент опису та моделювання певних явищ в різних галузях професійної діяльності. Сучасному психологу застосування математичної статистики дозволяє довести обґрунтованість використовуваних методів дослідження, узагальнювати емпіричні дані, знаходити залежності між експериментальними даними, довести закономірність висновків, будувати статистичні припущення тощо.

      Отже, наявність знань та практичних вмінь застосування методів аналізу статистичних даних є невід’ємною складовою професіоналізму психолога.

      Виходячи з особливостей вимог психологічної професійної діяльності до суб’єкта цієї діяльності визначаються програмно-цільові настанови у вивченні дисципліни «Математична статистика».

      Мета навчального курсу «Математична статистика» - забезпечення майбутніх психологів системою знань та практичних вмінь застосування статистичних методів аналізу даних дослідження.

      Завдання дисципліни «Математична статистика»:

-         формування системи знань про основні статистичні методи, статистичні процедури та способи їх застосування;

-         формування практичних вмінь використання статистичних методів при розв’язанні професійних психологічних завдань.

      Вивчення курсу передбачає формування у студентів знань: основ вимірювання та організації даних (статистичного розподілу вибірки); первинного опису вихідних даних; числових характеристик вибіркової сукупності; статистичної перевірки гіпотез; методів статистичного висновку.

      На основі набутих знань у студентів повинні бути сформовані уміння: висувати та перевіряти статистичні гіпотези; проводити первинну обробку даних емпіричного дослідження; здійснювати математико-статистичну обробку, аналіз первинних статистик.

     Програма курсу „Математична статистика” є модульною, містить два змістових модулі, які включають 7 тем.

     Обсяг курсу „ Математична статистика” становить 72 години. З них лекційні заняття  – 4 години,  семінарські заняття – 4 години, самостійна робота – 64 години.

     Форма контролю – залік.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         ІІ. Тематичний план з дисципліни  «Математична статистика»

 

№ п/п теми	Назва модулів і тем	Кількість годин
		Всього	Аудиторна робота			Самостійна робота
			Всього аудиторних	Лекції	Семінарські       2       2                     2     2     2                                 4 4           20 Лабораторні       2   2   2   2   2   2                 2     4     4     2 2   2             2   2   4 4   2       42               2       6   4                 2     6     4     2 2                     2   8 8   4       50
1.     2.   3.           4.     5.     6.       7.	Модуль 1. Статистичний розподіл та числові характеристики вибіркової сукупності   Тема 1. Вимірювання та первинний опис даних.   Тема 2. Описові статистики.   Тема 3. Розподіл даних.     Модуль 2.  Перевірка статистичних гіпотез   Тема 4. Статистичні гіпотези та статистичні рішення.   Тема 5. Двовимірна описова статистика.   Тема 6. Перевірка гіпотез стосовно явищ, виміряних в номінативній шкалі.   Тема 7. Порівняння вибірок за рівнем вираженості ознаки.	34                   38	4                   4	2                   2	2                   2	30                   34
	Всього	72	8	4	4	64

              

 

 

               ІІІ. Програмний зміст дисципліни «Математична статистика»

 

               Ш.1. Тематика лекційних занять

 

        Модуль 1. Статистичний розподіл та числові характеристики вибіркової сукупності

 

        Тема 1. Вимірювання та первинний опис даних

     Статистична сукупність. Генеральна сукупність та вибірка. Репрезентативність вибірки, способи її забезпечення. Залежні та незалежні вибірки.

     Проблеми вимірювання в психології. Види шкал: неметричні (номінативна, рангова) та метричні (інтервальна, шкала відношень). Типи даних: номінативні (якісні) дані, рангові, метричні (кількісні) дані.

     Табличні та графічні методи представлення даних. Таблиця вихідних даних. Статистичні ряди. Варіаційний ряд розподілу. Таблиці розподілу частот та частостей. Графіки (діаграми): гістограма, полігон, секторна (кругова) діаграма (незгруповані та згруповані дані) .

 

         Тема 2. Описові статистики

Обчислення числових характеристик вибіркової сукупності.

     Міри центральної тенденції: мода, медіана, середнє. Вибір міри центральної тенденції.      Квантілі розподілу як міри положення. Процентілі, квартилі.     Міри варіативності: розмах, дисперсія, стандартне  відхилення.

 

          Тема 3. Розподіл даних

     Основні види розподілу даних в психологічних дослідженнях: нормальний розподіл та розподіл Стьюдента (розподіл метричних даних); біноміальний та Пуассонівський розподіл (розподіл номінативних даних).

     Нормальний  закон розподілу та його роль в застосуванні числених методів в психології. Одиничний нормальний розподіл як стандарт. Асиметрія та ексцес. Перевірка нормальності розподілу: графічний спосіб; критерії асиметрії та ексцесу; статистичний критерій нормальності Колмогорова-Смірнова, тощо.

 

        Модуль 2.  Перевірка статистичних гіпотез

 

        Тема 4. Статистичні гіпотези та статистичні рішення

     Статистична гіпотеза. Основна (нульова) гіпотеза  та альтернативна. Гіпотези спрямовані та неспрямовані. Завдання статистичної перевірки гіпотез в психологічних дослідженнях.

     Рівень статистичної значущості. Статистичний критерій. Число степеней свободи. Перевірка гіпотез за допомогою статистичних критеріїв. Критична область. Область прийняття гіпотези (область допустимих значень). Статистичне рішення та ймовірність похибки. Похибки першого та другого роду. Обчислювання імовірності похибки другого роду. Довірча ймовірність та потужність критерію. Фактори, які визначають потужність критерію. Статистичне рішення та змістовий висновок стосовно гіпотези.     

 

        Тема 5. Двовимірна описова статистика

     Поняття кореляції. Коефіцієнт кореляції. Основна перевірювана статистична гіпотеза стосовно коефіцієнтів кореляції.

     Перевірка статистичної гіпотези про зв’язок двох метричних змінних – коефіцієнт кореляції r-Пірсона. Перевірка гіпотез про відмінність кореляцій. Порівняння кореляцій для незалежних вибірок. Порівняння кореляцій для залежних вибірок. Кореляція рангових змінних: коефіцієнт кореляції r-Спірмена, коефіцієнт кореляції  Кендалла. Проблема зв’язаних рангів. Умови застосування коефіцієнтів кореляції.

 

     Тема 6. Перевірка гіпотез стосовно явищ, виміряних в номінативній шкалі

     Порівняння емпіричного та теоретичного розподілів. Завдання співставлення двох чи кількох градацій. Порівняння емпіричних розподілів (двох або більше). Таблиці кростабуляції. Аналіз послідовностей: критерій серій. Порівняння розподілів емпіричного та рідкісних подій (пуассонівський розподіл).

 

      Тема 7. Порівняння вибірок за рівнем вираженості ознаки

     Параметричні методи порівняння двох вибірок. Порівняння дисперсій. F- критерій Фішера.  Критерій t-Стьюдента для однієї вибірки. Критерій t-Стьюдента для незалежних вибірок. Критерій t-Стьюдента для залежних вибірок.

     Непараметричні методи порівняння  вибірок. Порівняння двох незалежних вибірок. U-критерій Манна-Уітні. Порівняння двох залежних вибірок. Т-критерій Вілкоксона. Критерій знаків G.

     Порівняння більше двох незалежних вибірок. H-критерій Краскала- Уоллеса. Порівняння більше двох залежних вібірок.   χ² –Фрідмана.

 

                       Ш.2. Тематика практичних занять

 

      Тема 1. Первинний опис даних та аналіз первинних статистик

 

1. Організація даних: статистичний розподіл вибірки.

2. Графічне зображення статистичних розподілів.

3. Первинні описові статистики.

 

      Тема 2. Методи статистичного висновку

1. Статистичні гіпотези, їх перевірка.

2. Вибір методу статистичного висновку.

3. Аналіз номінативних даних.

4. Дослідження взаємозв’язку ознак.

5. Оцінка достовірності різниці та достовірності зсуву.

 

 

                          ІУ.  Завдання для самостійної роботи

1. Визначити, який тип шкали представлений в кожному із наведених прикладів:

а)

№	Досліджуваний	Рівень  інтелекту
1	Ів –в  О.В.	високий
2	П –в  А.К.	високий
3	О –ко Л.Л.	середній
4	А- ко О.О.	середній
5	Д – ко П.Б.	низький

 

б)

№	Досліджуваний	Виконання тестового завдання
1	Ів –в  О.В.	виконав
2	П –в  А.К.	не виконав
3	О –ко Л.Л.	виконав
4	А- ко О.О.	виконав
5	Д – ко П.Б.	не виконав

 

 

в)

№	Досліджуваний	Стать
1	Ів –в  О.В.	Чол.
2	П –в  А.К.	Чол.
3	О –ко Л.Л.	Жін.
4	А- ко О.О.	Жін.
5	Д – ко П.Б.	Чол.

 

 

г)

№	Досліджуваний	Час виконання тестового завдання (в сек.)
1	Ів –в  О.В.	30
2	П –в  А.К.	45
3	О –ко Л.Л.	25
4	А- ко О.О.	40
5	Д – ко П.Б.	43

 

д)

№	Досліджуваний	Показник тривожності
		ситуативної	особистісної
1	Ів –в  О.В.	40	31
2	П –в  А.К.	29	20
3	О –ко Л.Л.	45	44
4	А- ко О.О.	31	20
5	Д – ко П.Б.	60	58

 

ж)

Досліджуваний	Черговість виконання завдання
Ів –в  О.В.	1
П –в  А.К.	2
О –ко Л.Л.	3
А- ко О.О.	4
Д – ко П.Б.	5

 

 

 

 

2. Для заданої вибірки із генеральної сукупності скласти розподіл частот та частостей:

6, 9, 5, 3, 6, 6, 9, 3, 5, 6, 9, 5, 6, 6, 9, 6, 9, 6, 6, 6.

3. Припустимо, проводилося опитування 1 тис. старших підлітків одного віку (500 юнаків та 500 дівчат) щодо улюбленого музичного стилю. Кожен опитуваний обирав один стиль із десяти запропонованих. Результати представлені в табл. 1. Побудувати гістограму частот (стовпчикову діаграму) первинних результатів дослідження.

                                                                                                             Табл. 1

           Частота вибору старшими підлітками різних музичних стилів

Музичний стиль	Частота вибору стилю (f)
	Юнаки	Дівчата	Вся вибірка
А	104	59	163
Б	37	50	87
В	87	179	266
Г	19	27	46
Д	41	3	44
Ж	20	11	31
З	145	82	227
І	8	29	37
К	12	16	28
Л	27	44	71
Всього	500	500	1000

 

 

4. Перевести показники з таблиці вихідних даних (табл.2) в рангову шкалу (окремо дані за субтестом А та за субтестом В). Використати принцип «меншому значенню – менший ранг». Застосувати правило ранжування для зв’язаних рангів. Побудувати гістограми та полігони частот.

 

                                                                                         Табл. 2

                               Таблиця вихідних даних

№	ПІБ	Тестові дані за субтестом А	Тестові дані за субтестом  В
1.		8	11
2.		10	12
3.		11	12
4.		13	9
5.		9	12
6.		13	12
7.		7	4
8.		13	13
9.		8	12
10.		12	12
11.		8	7
12.		14	12
13.		11	11
14.		10	12
15.		9	7
16.		9	9
17.		11	7
18.		12	12
19.		11	8
20.		12	13
21.		11	12
22.		7	8
23.		8	14
24.		12	9
25.		12	6
26.		10	12
27.		8	7
28.		6	13
29.		7	7
30.		12	7

 

5. Визначити моду, медіану, середнє арифметичне, розмах, дисперсію, стандартне відхилення у тестових показників із табл. 2 (окремо за субтестом А та за субтестом В).

6. Навести приклади розподілу, який не має моди.

7. Перевірити нормальність розподілу тестових показників з табл. 2. (відповідно за субтестами А та В), застосовуючи критерії асиметрії та ексцесу.

8. Припустимо, за результатами вимірювання тривожності (за допомогою тестової шкали) побудовані варіаційні ряди.

                                                                                                                      Табл. 3

Рівень тривожності		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f (кільк. випадків)	юнаки	5	8	14	16	17	17	14	8	4	4	4	3
	дівчата	-	2	3	5	10	18	20	20	14	12	11	-

 

     Побудувати накладення графіків та визначити:

а) Хто в середньому більш тривожний – юнаки чи дівчата? (за мірами центральної тенденції)

б) У кого в більшій мірі виражені індивідуальні відмінності – у юнаків чи у дівчат? (за мірами варіативності).

9. Навести приклади психологічних досліджень із залежними та незалежними вибірками.

10. Навести приклади статистичних гіпотез: нульової та альтернативної, спрямованих та неспрямованих.

11. Припустимо, були виміряні (в см) величини колінного рефлексу при інструкції розслабити м’язи  (Х) та при інструкції напружити м’язи (У). Чи пов’язані між собою величини колінного рефлексу? Перевірити  статистичну гіпотезу. Застосувати коефіцієнт кореляції r-Пірсона.

                                                          Табл. 4

№	Х	У
1.	10	7
2.	8	9
3.	6	11
4.	6	3
5.	13	11
6.	5	7
7.	12	14
8.	10	11
9.	3	6
10.	2	1

 

12. Припустимо, визначалися ціннісні орієнтації подружжя за методикою Рокіча. Наскільки у чоловіка та жінки співпадають термінальні цінності? Перевірити нуль-гіпотезу. Обчислити коефіцієнт кореляції Спірмена.

 

 

                                                               Табл. 5

 

№	Ранжування цінностей
	Чол.	Жін.
1.	2	8
2.	14	18
3.	5	12
4.	7	4
5.	13	14
6.	1	1
7.	4	6
8.	6	5
9.	16	17
10.	15	11
11.	12	10
12.	17	16
13.	11	13
14.	8	9
15.	3	3
16.	18	15
17.	10	8
18.	9	7

 

13. Перевірити нуль-гіпотезу щодо відсутності зв’язку  показників субтестів А та В за табл 2. Використовуючи ранги показників, обчислити коефіцієнт кореляції Спірмена (для зв’язаних рангів).

14. Перевірити нуль-гіпотезу щодо відсутності зв’язку  показників вербального та невербального інтелекту підлітків. Обчислити коефіцієнт кореляції r – Пірсона. Вихідні дані вимірювання показників вербального  та невербального інтелекту 20 учнів восьмого класу наведені в табл.6.

 

                                                      Табл. 6

№	Верб.IQ      (Х)	Неверб.IQ     (У)
1.	13	12
2.	9	11
3.	8	8
4.	9	12
5.	7	9
6.	9	11
7.	8	9
8.	13	13
9.	11	9
10.	12	10
11.	8	9
12.	9	8
13.	10	10
14.	10	12
15.	12	10
16.	10	10
17.	8	11
18.	9	10
19.	10	11
20.	11	13

 

 

15. Припустимо, проводилося опитування студентів з метою визначення рейтингу викладачів за професійною компетентністю. За отриманими даними визначити, чи оцінюється хтось з викладачів як менш компетентний?

                          

                                                                                                                Табл. 7

Предмет А	Предмет В	Предмет С	Предмет D	Предмет E
10	5	3	8	9

 

     Вказівки до виконання завдання.

     Для відповіді на питання необхідно порівняти отриманий емпіричний розподіл із теоретичним рівномірним розподілом. Розв’язання завдання будується за наступним алгоритмом:

І. Формулюються статистичні гіпотези (Ho та   H1).

П. Підраховується загальна кількість виборів.

Ш. Складається таблиця для обчислення емпіричного значення χ²

ІУ. Визначається степінь свободи df.

У. Визначається критичне значення χ²    та  порівнюється з емпіричним.

УІ. Приймається статистичне рішення та формулюється висновок.

 

16. Припустимо, група студентів до та після тренінгу проходила тестування за методикою САН (самопочуття, активність, настрій). Результати подані в табл. 8. Чи можна стверджувати, що робота на тренінгу  допомогла студентам поліпшити їх функціональний стан? Використати t–критерій Стьюдента для оцінки достовірності зсуву.

                                                                      Табл. 8

№	Показники
	до тренінгу	після тренінгу
1.	150	168
2.	180	184
3.	122	129
4.	143	147
5.	125	134
6.	170	178
7.	165	165
8.	161	162
9.	148	150
10.	180	184

 

17. В групі студентів проведено тренінг креативного мислення. Визначити результативність впливу, використовуючи Т- критерій Вілкоксона.

                                                   Табл. 9

№	Показники креативності
	до тренінгу	після тренінгу
1.	19	17
2.	26	20
3.	18	20
4.	15	18
5.	29	30
6.	21	25
7.	21	28
8.	18	19
9.	21	20
10.	23	27
11.	14	19
12.	10	13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                    У.  Перелік питань до кінцевого контролю знань

1. Генеральна сукупність та вибірка.

2. Репрезентативність вибірки, способи її забезпечення.

3. Поняття вимірювання. Вимірювальні шкали.

4. Впорядкування даних. Статистичні ряди.

5. Табличні методи представлення даних. Розподіл частот, згрупований розподіл накопиченої частоти, розподіл частості вибірки.

6. Графічні методи представлення даних. Гістограма, полігон частот та частостей (незгруповані та згруповані дані).

7. Мода, угоди при використанні моди.

8. Медіана, її обчислення.

9. Середнє арифметичне, його властивості.

10. Вибір міри центральної тенденції.

11.Квантілі розподілу.

12.Дисперсія та стандартне відхилення.

13.Нормальний розподіл, його застосування.

14.Перевірка нормальності розподілу.

15.Статистичні гіпотези. Основна (нульова) та альтернативна; спрямовані та неспрямовані.

16.Статистичні рішення та ймовірність похибки.

17. Статистичний критерій перевірки основної гіпотези.

18. Критична область. Область прийняття гіпотези. Знаходження критичних областей.

19. Вибір методу статистичного висновку.

20. Порівняння емпіричного та теоретичного розподілів.

21. Порівняння емпіричних розподілів.

22. Аналіз таблиць кростабуляції  (2х2).

23. Перевірка статистичної гіпотези про зв’язок двох метричних змінних. Коефіцієнт лінійної кореляції (r-критерій Пірсона).

24. Перевірка статистичної гіпотези про зв’язок рангових змінних. Критерій  r-Спірмена. Рангова кореляція за Спірменом для зв’язаних рангів.

25. F-критерій Фішера.

26. Критерій t-Стьюдента для однієї вибірки.

27. Критерій t-Стьюдента для незалежних вибірок.

28. Критерій t-Стьюдента для залежних вибірок.

29. Критерій U-Манна-Уітні.

30.Т-критерій  Вілкоксона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                         УІ.       Рекомендована література

 

                                         Основна

1. Гласс Дж., Стенли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. – М.: Прогресс, 1976.

2. Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов. – М., 2006.

3. Рунион Р. Справочник по непараметрической статистике. – М.: Финансы и статистика. 1982.

4. Сидоренко Е.В. Методы статистической обработки в психологии. – СПб., 2006.

5. Суходольский Г.В. Основы математической статистики для психологов. – СПб., 1998.

           

                                                 Додаткова

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003.

7. Грабарь М.И. Применение математической статистики в психологических исследованиях. Непараметрические методы. – М.: Педагогика, 1977.

8. Калинин С.И. Компьютерная обработка данных для психологов / Под науч. ред. А.Л.Тулупьева. – СПб.: Речь, 2004.

9. Кричевец А.Н., Шикин Е.В., Дьячков А.Г. Математика для психологов/ Под ред. А.Н.Кричевца. – М., 2003.

10. Куликов Л.В.Психологическое исследование. – СПб.: Речь, 2002.

11. Романко В.К. Курс теории вероятностей и математической статистики для психологов. – М.: МГППИ, 2000.