МАТЕМАТИЧНА ЕКОНОМІКА 24.07.2015 10:29
Міністерство освіти і науки України
Національний університет водного господарства та природокористування
Кафедра прикладної математики
100-74
КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ
з дисципліни
„МАТЕМАТИЧНА ЕКОНОМІКА”
для студентів спеціальності
„Прикладна математика”(6.080200)
Рекомендовано до видання методичною комісією факультету ПМіКІС
Протокол №
Від грудня 2005 року
Рівне – 2006
Конспект лекцій з дисципліни „Математична економіка” для студентів спе-ціальності „Прикладна математика” (6.080200).- Рівне, НУВГП, 2006.-52 с.
Укладач: А.І.Білецький, кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри прикладної математики
Відповідальний за випуск: А.П.Власюк, доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри прикладної математики
Комп’ютерний набір: Бабич Т.Ю., Гала І., Герасимович О.
Зміст
1. Лекція №1. Вступ. Економіко-математичні моделі. Таблиця Данціга....... 3
2. Лекція №2. Симплекс-метод та його застосування.....................................13
3. Лекція №3. Матриця експерименту. Основне матричне рівняння регресії. Основні формули лінійної регресії. Регресійна модель для України...............25
4. Лекція №4. Кореляційна матриця та її застосування..................................34
5. Лекція №5. Виробнича функція Кобба-Дугласа..........................................39
6. Лекція №6. Матриці “Затрати-випуск” та їх застосування в економіці....45
Література...............................................................................................................52
Лекція 1. Вступ.
Економіко-математичні моделі.
Базисний розвязок.Таблиця Данціга.
План
1.1 Вступ. Предмет “Економіко-математичні моделі”.
1.2 Базисні розвязки.
1.3 Таблиця Данціга.
1.1. Вступ. Предмет “Економіко-математичні моделі”.
Кожна свідома людина в сучасну епоху є в певному сенсі економістом, бо її завжди турбують проблеми:
- де отримати вигідну працю з максимально вигідною платнею;
- які ринкові ціни на продовольчу та промислову продукцію;
- як отримати в банку кредит з найнижчим відсотком і т.д.
Вчені-економісти також цікавились проблемами ринкової економіки.
Ще в 1776 році відомий англійський економіст Адам Сміт у своїй монографії “Дослідження про природу і причини багатства народів” висунув принцип “невидимої руки”, яка керує економічними процесами.
Французьки економісти Вальрас та Парето ввели в економіку математичні методи, з допомогою яких зробили перші кроки до вивчення ринкової економіки.
У 1936 році побачила світ історична праця Джона Майнарда Кейнса “Загальна теорія зайнятості, процента і грошей”. У цій праці Кейнс ввів споживчу функцію:
Y=β1+β2X (I)
У формулі (I) величина X – душовий прибуток індивідума, Y – споживання індивідуума, β1 та β2 – константи, які обчислюються методом BLUE, який ми розглянемо пізніше.
Для більшості високорозвинутих країн на основі надійних статистичних даних економісти встановили такі споживчі функції.
Англія: Y=0.950+0.392 Х (Х – сотні фунтів стерлінгів);
Австрія: Y=2.251+0,481 Х (Х – тисячі шилінгів);
Канада: Y=6.239+0.260 Х (Х – сотні канадських доларів);
Швеція: Y=13.535+0.392 Х (Х – сотні крон);
Японія: Y=601.0+0.738 Х (Х – тисячі єн);
США: Y=8.891+0.334 Х (Х – сотні доларів США).
Яку інформацію дають ці формули? Так для США при Х=1 (одна сотня) душового національного прибутку громадянин в середньому споживає 9.225 долара або в середньому = 9.2%.
Для Швеції маємо: Y=13.927=14%. Це найвищий показник.
У 1944 році для потреб Військово-Морських сил США відомий американський математик Данціг розробив за допомогою симплекс-методу оптимальний план морських перевезень озброєнь для СРСР морським шляхом при мінімальних втратах при атаках німецьких підводних човнів.
Після другої світової війни німецький економіст Людеке, користуючись методом BLUE, опрацював математичну модель економіки ФРН.
Так що ж вивчає предмет “Економіко-матеметичні моделі”? Цей предмет за допомогою математики вивчає економічні процеси і дає відповідні рекомендації для оптимального розвитку економіки. Класичною моделлю економіки є виробнича функція Кобба-Дугласа:
Y=b∙eωt∙Kα∙Lβ (II)
У формулі К – основні виробничі фонди в грошових одиницях; L – відпрацьовані людино-години; ω – норма технічного прогресу; t – час; b – коефіцієнт пропорційності; α – еластичність капіталу; β – еластичність праці. Нарешті, величина Y – валова продукція, виражена в грошових одиницях. Отже, формула (II) дає інформацію про те, що валовий продукт підприємства, фірми, держави залежить від факторів:
- капіталу K;
- праці L;
- норми технічного прогресу ω;
- часу t.
Кобб та Дуглас строго математично показали, що в економіці є лише такі три тенденції:
1) α+β>1
Економіка розвивається інтенсивно.
2) α+β=1
Економіка розвивається екстенсивно.
3) α+β<1
Економіка занепадає.
Скорочено “Економіко-математичні моделі” назвемо математичною економікою.
1.2. Допустимі базисні розвязки.
Маємо систему m рівнянь, яка містить n невідомих. В розгорнутій матричній формі ця система має вигляд:
(1.1)
Умовимось, що m<n.
Цілком зрозуміло, що в компактній матричній формі система (1.1) запишеться так:
AX=R (α)
Маємо: dim A= ; dim X= ; dim R= ;
Вимагаємо, щоб ранг матриці А був рівним m.
Систему (1.1) можна записати у векторній формі так:
Х1 1+Х2 2+Х3 3+...+Хк к+...+Хn n= (1.2)
Наголосимо, що вектор 1 – це перший стовпець матриці А; вектор 2 – другий стовпець матриці А і т.д.; нарешті n – n-й стовпець матриці А. Вектор – вектор вільних членів. Таким чином, система (α) може бути записана, як формула (1.1) або як формула (1.2).
Як відомо, з матриці А можна вибрати способами квадратну матрицю В, яка має m-рядків і m-стовпців. Матрицю В назвемо базисною,а стовпці матриці В-базисними векторами. Решта стовпців матриці А назвемо небазисними векторами; матрицю N, в яку входять небазисні вектори назвемо небазисною матрицею. Отже, маємо [4]:
Ẩ=B N (β)
Враховуючи формулу (β), система (α) запишеться так:
BXB+NXN=R (δ)
Приклад 1: Дано систему
∙ =
Звести цю систему до вигляду (δ), вважаючи базисними векторами .
Розв’язування.
Ясно, що m=3; n=6. Формуємо базисну матрицю В, яка має своїми стовпцями перший, четвертий та шостий стовпці матриці А; небазисна матриця містить стовпці: другий, третій та п”ятий. Отже, формула (δ) для нашого прикладу має такий вигляд:
∙ + ∙ =
Повернемось до формули (δ).
Для матриці В обчислимо методом приклеювання обернену матрицю В-1 [5].
Рівність (δ) зліва множимо на В-1:
B-1BXB+B-1NXN=B-1R (1.3)
Ясно, що B-1B=1, де 1-одинична матриця. Позначимо решту співмножників так:
Q=B-1N (1.4)
=B-1R (1.5)
Остаточно, враховуючи (1.4) та (1.5), маємо
(γ)
Формула (γ) називається канонічною формою системи (α).
Якщо покласти XN=0, то отримаємо:
ХВ= (ε)
Матриця-стовпець формули (ε) називається базисним розв’язком системи (α).
Наголосимо, що існує способів отримання базисних розв”язків системи (α).
Приклад 2. Дано систему:
∙ =
Обчислити базисні розв’язки, якщо базисні вектори
Розв’язування.
Поскільки базисні вектори відомі, то базисна матриця В має вигляд:
=
Небазисна матриця N містить вектори . Отже, маємо:
N=
Методом приклеювання обчислюємо обернену матрицю B-1:
= ∙
Обчислюємо матрицю Q згідно формули (1.4):
Q = ∙ ∙=
Згідно формули (1.5), обсислюємо :
= ∙ ∙ ∙10 =
Застосовуємо формулу (δ):
+ ∙ =
Поклавши Х1=Х3=Х5=0, отримаємо: Х2=4; Х4=12; Х6=40.
Перевірка
∙ = =
Висновок. Базисні розв’язки задовільняють систему, задану в прикладі №2.
Означення. Базисний розв’язок ХВ називається допустимим, якщо всі елементи матриці ХВ невід’ємні. Ми весь час будемо працювати тільки з допустимими базисними розв’язками.
1.3. Матриця Данціга
Нехай ринок держави має у вільному продажу Х1 одиниць товару А; Х2 одиниць товару В; Х3 одиниць товару С і т.д. Хn одиниць товару Z. Відома ціна одиниці кожного товару:
С1 – ціна одиниці товару А;
С2 – ціна одиниці товару В;
С3 – ціна одиниці товару С;
...............................................
Сn – ціна одиниці товару Z.
Тоді легко обчислити загальну вартість товарної продукції:
W=C1X1+C2X2+C3X3+…+CnXn (1.6)
Формулу (1.6) зручно записати у матричній формі:
W=CTX (1.7)
Х= СТ=(С1С2С3... Сn)
Цілком зрозуміло, що на виробництво товарів потрібна сировина. Отже, ми повинні врахувати витрати сировини та її запаси. Поміркуємо так. Для виготовлення Хк одиниць товару потрібно:
а1к одиниць сировини 1 виду;
а2к одиниць сировини 2 виду;
а3к одиниць сировини 3 виду;
..................................................
аmк одиниць сировини m-того виду.
У векторній формі цей факт залишається таким чином:
аikXk; i=1, (1.8)
Запаси сировини – обмежені:
аikXk=rK (1.9)
(1.10)
Бачимо, що формула (1.10) – це векторна форма для системи (1.2), а формула (1.2) еквівалентна формулі (1.1). Наголосимо, що у формулі (1.10) маємо n+1 векторів: Тепер формулу (1.10) запишемо так:
∙ = (1.11)
Економічний зміст виразу (1.11) такий:
1) Матриця А – матриця витрат. dim A=m .
2) Матриця-стовпець Х – матриця товару. dim X=n 1.
3) Матриця R – матриця запасів. dim R=m .
Компактно маємо:
(1.12)
Застосуємо метод знаходження допустимого базисного розв’язку, тобто зведемо систему (1.12) до канонічної форми:
(1.13)
Для спрощення вважаємо, що базисні вектори Р1; Р2; Р3; ...; Рm.
Тепер розпишемо вираз (1.13) у розгорнутій формулі:
∙ + ∙ = (E)
Формула (Е) інформує, що кількість векторів не змінилась; інформує про базисні вектори, про допустимі базисні вектори, та про допустимі базисні розв’язки, які отримаємо, коли Хm+1=Xm+2=Xm+3=…=Xm+n=0.
Наголосимо, що формулу (Е) зручно записати у вигляді таблиці Данціга.
Ця таблиця має m+2 рядки та n+2 стовпці. Наголосимо, що в лівій верхній клітинці літера В означає вектори, а літера Б означає базис.
Наголосимо, що в таблиці Данціга останній рядок має заголовок і цей рядок ми залишаємо незаповненим.
Таблиця Данцiга
B
Б
1 0 0 0
0
0 1 0 0
0
0 0 1 0
0
0 0 0 1
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
1
Приклад № 3. Побудувати таблицю Данціга для такої економічної моделі
∙ = ,
якщо базисні вектори
Розв’язування:
В= N=
Обчислюємо В -1:
= ∙
Обчислюємо Q=B-1∙N
Q= ∙ ∙ = ∙
Обчислюємо R:
=B-1R=Q= ∙ =
Базисний розв’язок Х1=4; Х4=14; Х6=38 допустимий.
Запишемо дану систему у канонічній формі:
∙ + ∙ =
Тепер ми маємо всі дані, щоб сформувати таблицю Данціга, яка має m+2=3+2=5 рядків та n+2=6+2=8 стовпців. Маємо таблицю 1.
Т. 1
В
Б
1 0 0 1 -1/10 1/5 4
0 1 0 1/2 23/20 1/5 14
0 0 1 -1/2 3/10 2/5 38
Лекція 2. Симплекс-метод та його застосування
План
2.1. Математична модель оптимального розвитку економіки.
2.2. Стандартна модель оптимізації.
2.3. Приклад
2.1. Математична модель оптимального розвитку економіки
З попередньої лекції нам відомо, що вираз АХ=R означає зв’язок між матрицею сировини А, матрицею запасів R та матрицею товарів Х. Ця рівність гарантує повне використання сировини. Також нагадаємо рівність – W=CTX. W – повна вартість товарів заданих матрицею Х. Тепер ми хочемо максимізувати вартість товару і повністю використати всю сировину. Математична модель має такий вигляд:
Модель (αα) є найголовнішою математичною залежністю для фірми, підприємства чи держави. Тепер почнемо аналізувати дану модель.
І етап. Зводимо рівність АХ=R до канонічної форми:
Х +QX = (2.1)
Наголосимо, що матриця стовпець повинна мати додатні члени.
ІІ етап. Вартість товару розбиваємо на суму базисних та небазисних величин.
Wmax=C ∙X + ∙X (ββ)
ІІІ етап. Із виразу (2.1) маємо
Х = -QX (2.2)
це значення підставляємо у формулу (ββ). Маємо:
Wmax=C ∙ -(C Q - )∙X (δδ)
IV етап. Аналіз формули (δδ).
Введемо такі позначення:
W =C ∙ (2.3)
(2.4)
Тоді залежність (δδ) в кінцевому підсумку запишеться так:
Wmax=W0 – Δ∙Х (γγ)
Формула (2.4) називається симплекс-матрицею. Обчислимо розмірність симплекс матриці Δ.
dim Δ=[(1 m) (m (n – m)) – 1 (n – m)] = 1 (n – m).
Отже, матриця Δ має один рядок та n-m стовпців.
Обчислимо розміреність матриць W0
dim W0 = [(1 m) (m 1)] = 1 1
Висновок. W0 – скаляр.
V етап. Умови оптимальності. Як показано у монографії [4], необхідною і достатньою умовою оптимального розв’язку є умова, що всі елементи матриці Δ невід’ємні, тобто там можуть бути як додатні числа так і нулі.
Якщо ця умова виконується, то маємо:
Wmax = W0 (εε)
Якщо хоч один член матриці Δ від’ємний, то формула (εε) невірна. Тоді застосовуємо метод введення в базис нового вектора. Цей метод нам знайомий із математичного програмування. Тепер наголосимо слідуюче. В таблиці Данціга ми не заповнили останній рядок. Він заповнюється наступним чином:
1) перші m стовпці – базисні вектори. Отже, записуємо нулі.
2) Матриця Δ - це матриця-рядок:
Δ = (Δ1Δ2Δ3Δ4...Δn-m)
В останньому рядку після m нулів записуємо ці числа. Отже, в стовпці буде записано Δ1; стовпці буде записано Δ2 і т.д. І в стовпці буде записано число Δn-m.
Таким чином, будуть заповнені всі клітини останнього рядка, крім правої крайньої клітини.
3) В нижню праву клітину записуємо значення W0.
Приклад № 4. Обчислити оптимальний розв’язок задачі, заданої такою математичною моделлю:
∙ =
W = (10 11 12 13 14 15) ∙ ;
X
Нехай базисні вектори такі: .
Тоді небазисні вектори .
= N=
Методом приклеювання обчислюємо В-1:
= ∙ ;
Обчислюємо базисний розв’язок
=B-1R= ∙ ∙ ∙10 = ;
Базисний розв’язок допустимий.
Обчислюємо матрицю Q:
Q=B-1N∙ ∙ = ∙ ;
Цілком зрозуміло, що маємо
C = (С3 С5 С6) = (12 14 15);
= (С1 С2 С4)=(10 11 13)
Обчислюємо симплекс-матрицю Δ згідно формули (2.4):
Δ = C Q –
Маємо:
Δ = (12 14 15) ∙ ∙ – (10 11 13) = ∙ (308 279 ) = ∙ (208 169 -38)
Обчислюємо W0 згідно (2.3):
W =C = (12 14 15) = 822
Формуємо першу таблицю Данціга, яка має m+1=3+2=5 рядків та n=6+2=8 стовпців.
Т. 1
В
Б
-4/5 -2/5 1 4/5 0 0 8
23/5 24/5 0 2/5 1 0 24
-8/5 -23/10 0 -2/5 0 1 26
Δ 104/5 169/10 0 -19/5 0 0 822
Із таблиці маємо такі дані: Х3=8; Х5=24; Х6=26. Вартість продукції W0=822. Отриманий результат не являється оптимальним, оскільки рядок Δ містить від’ємний член (-19/5).
За відомими правилами формуємо другу таблицю Данціга, ввівши в базис вектор замість вектора .
Т. 2
В
Б
-1 -1/2 5/4 1 0 0 10
5 5 -1/2 0 1 0 20
-2 -5/2 -1/2 0 0 0 30
Δ 17 15 19/4 0 0 0 860
Отримаємо оптимальний розв’язок:
Х4=10; Х5=2; Х6=30;
Х1=Х2=Х3=0
Вартість продукції Wmax=860.
Виконуємо перевірку згідно умови задачі:
Задача розв’язана вірно.
2.2. Стандартна модель оптимізації
Ця модель інформує, що виробництво повністю не використовує сировину.
Покажемо, що модель (α1) зводиться до моделі (αα).
Введемо фіктивні зміни Хn+1; Xn+2; Xn+3; і т.д. Xn+m з фіктивними нульовими цінами Сn+1=Сn+2=Сn+3=...=Сn+m=0.
До кожної нерівності формули (2.5) плюсуємо одну фіктивну величину.
Тоді модель α1 запишеться так:
Будемо аналізувати модель (α2). Якщо Х1=X2=X3=... =Xn=0, то отримаємо Хn+1=r1; Xn+2=r2; Xn+3=r3; …=Xn+m=rm.
Це допустимий базисний розв’язок.
Тоді Wmax=0. Отже, маємо:
С =(0 0 0 ... 0); С =(С1 С2 С3 ... Сn);
Матриця Q=A.
Обчислюємо симплекс-матрицю Δ:
Δ = C Q – =(0 0 ... 0)∙A – = – ;
Ще раз наголосимо, що в цьому випадку маємо:
– = – (С1 С2 С3 ... Сn); (α)
W =C R = 0.
Маємо всі дані для формування першої симплекс-таблиці Данціга, яка буде мати m+2 рядки та m+n+2 стовпців, які задаються векторами ; та R. Отже, для стандартної моделі максимізації ніяких обчислень виконувати не треба.
Приклад. Обчислимо оптимальний розв’язок задачі про максимізацію для такої математичної моделі:
Розв’язування згідно моделі (α2) маємо:
Наголосимо, що X6, X7 та X8 – фіктивні невідомі; С6=С7=С8=0. Ми маємо всю інформацію для формування першої симплекс-таблиці Данціга, яка має 5 рядків та 10 стовпців.
Т.1
В
Б
2 3 5 3 8 1 0 0 750
1 4 2 5 4 0 1 0 550
3 2 3 5 10 0 0 1 860
-5 -4 -3 -2 -2 0 0 0 0
Остання таблиця (третя) виглядає так:
Т. 3
В
Б
0 0 5/2 -2 1 1 1/2 -1/16 45
0 1 3/10 1 1/5 0 3/10 -1/10 79
1 0 4/5 1 16/5 0 -1/5 1/15 234
0 0 11/5 7 74/5 0 1/5 8/3 1486
Економічний аналіз задачі.
Вигідно виробляти Х1=234 одиниці продукції першого виду та Х2=79 одиниць продукції другого виду. Реальна продукція Х3=Х4=Х5=0.
Обрахуємо затрату сировини.
∙ = =
Ми мали запас сировини першого виду 750 одиниць. Отже, залишається 750-705=45.
Сировину другого та третього виду буде використано повністю.
Максимальна вартість:
Wmax= (5 4 3 2 2) ∙ = 5∙234+4∙79=1486
Математична модель стандартної форми про мінімізацію має вигляд:
Ця модель методом двоїстості зводиться до стандартної моделі максимізації:
Приклад. Обчислити оптимальний розв’язок задачі, яка задана такою математичною моделлю:
Розв’язання.
Переходимо до двоїстої моделі згідно формули (αβγ).
Введено фіктивні невідомі Y4; Y5; Y6; Y7; Y8 з ціною С4=С5=С6=С7=С8=0.
Тоді перша симплекс-таблиця Данціга має такий вигляд.
Т. 1
В
Б
2 1 3 1 0 0 0 0 2
3 4 2 0 1 0 0 0 3
5 2 3 0 0 1 0 0 4
3 5 5 0 0 0 1 0 5
8 4 10 0 0 0 0 1 6
-350 -240 -430 0 0 0 0 0 0
Остання, третя таблиця виглядає так.
Т. 3
В
Б
39/80 0 0 1 1/16 0 0 - 5/16
7/16 1 0 0 5/16 0 0 -1/16 9/16
9/4 0 0 0 -1/4 1 0 1/5 7/4
-37/16 0 0 0 - 0 1 -1/8 5/16
5/8 0 1 0 -1/8 0 0 3/20 3/8
87/4 0 0 0 85/4 0 0 155/4 1185/4
Економічний аналіз задачі.
Згідно теорії економічної рівноваги фон Неймана, маємо таку формулу:
Wmin= C X;
C X = R Y (β1)
Wmax= R Y
Вираз C X дає максимальну вартість товару, оскільки C - матриця ціни. R – матриця запасів сировини. Тоді матриця Y – це матриця ціни для сировини. Отже, маємо ринкову рівновагу фон Неймана.
Тепер перевіримо формулу (β1) для нашої задачі.
Згідно таблиці 3 ми отримали Y1=0; Y2=9/16; Y3=5/16.
Решта невідомих – фіктивні.
Отже, максимальна ціна сировини така:
∙
Тепер наголосимо наступний факт.
Остання таблиця Данціга (таблиця 3) дає інформацію про розв’язок для матриці Х.
Поступаємо так. Перша таблиця Данціга (таблиця 1) мала базисні вектори
В останній таблиці Данціга (таблиці 3) в рядку Δ проти цих векторів маємо: Х1=0; Х2=85/4; Х3=0; Х4=0; Х5=155/4
Тепер ми можемо підрахувати вартість продукції:
Wmin=
Задача розв’язана вірно, оскільки виконується рівність (β1).
Лекція 3. Матриця експерименту.
Основне математичне рівняння регресії.
Основні формули лінійної регресії.
Регресійна модель для України
План
3.1. Матриця експерименту та її застосування.
3.2. Метод BLUE.
3.3. Застосування лінійної регресії для економіки України.
3.1. Матриця експерименту та її застосування.
Коли ми виконуємо економічний аналіз діяльності фірми, підприємства та регіонів, то результуюча зміна Y (як правило, валовий продукт) залежить від багатьох факторів:
1) від основних фондів;
2) від трудових ресурсів;
3) від нових технологічних процесів;
4) від транспортних засобів і т.д.
В регресійному аналізі прийнято фактори нумерувати з номера 2. Отже, нас цікавить функція:
Y=F(X2; X3; X4; …; Xm) (3.1)
Цілком зрозуміло, що для отримання залежності (3.1), потрібно мати серію статистичних даних, які записують у вигляді такої таблиці:
Т. 1
№ серії Фактор Х2 Фактор Х3 Фактор Х4 ... Фактор Хm Результуючий
фактор Y
1 Х21 Х31 Х41 … Хm1 Y1
2 Х22 Х32 Х42 … Хm2 Y2
3 Х23 Х33 Х43 … Хm3 Y3
4 Х24 Х34 Х44 … Хm3 Y4
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
n-1 Х2n-1 Х3n-1 Х4n-1 … Хmn-1 Yn-1
n Х2n Х3n Х4n … Хmn Yn
Наголосимо, що зажди маємо m факторів. Кожен фактор має серію значень від 1 до n. На основі таблиці 1 формуємо так звану матрицю експерименту.
X= (3.2)
Цілком зрозуміло, що маємо:
dim X =n m (3.3)
Тепер транспонуємо матрицю Х і отримаємо матрицю . Ясно що:
dim = m n (3.4)
Покажемо, що існує добуток Х:
dim ( Х)=[(m n) (n m)]=m m (3.5)
Висновок: матриця Х існує і являється квадратною матрицею. За правилом Келі [4] виконаємо множення матриць та Х. Маємо:
(ααα)
Властивості матриці наступні:
1) Матриця Х симетрична.
2) Матриця Х не вироджена.
3) Діагональні елементи – додатні.
4) Кожний елемент, крім (1,1)=n являє собою суму факторів та їх добутків від 1 до n.
Домовимось писати суми без верхньої та нижньої межі, пам’ятаючи, що змінюється від 1 до n: =1,n.
Найпростіша залежність між факторами Х2; Х3; Х4; ...; Хm та результуючим фактором Y є лінійна.
(3.7)
Отже, найголовніша проблема полягає в наступному.
Маючи матрицю експерименту (3.2), обчислити коефіцієнти так, щоб значення (читається Y з дашком) відрізняється від на невелику похибку:
(3.8)
Ведемо дві такі матриці: (3.9)
(3.10)
Тоді залежність (3.7) у матричній формі запишеться так:
(3.11)
Для похибки (3.8) у матричній формі маємо:
(3.12)
3.2. Метод BLUE
Для знаходження застосовуємо метод незміщених найкращих оцінок: Best Linear Unbiased Estimator.
Вимагаємо, щоб сума квадратів похибок була мінімальною:
(3.13)
Отже, будемо застосовувати залежність (3.12)
(3.14)
Аналіз формули (3.14) виконано в літературі [2].
Отже, для знаходження коефіцієнтів маємо таку матричну модель:
(α3)
В розгорнутому вигляді модель (α3) виглядає так:
(α4)
Для системи (α4) обчислюємо обернену матрицю ( Х) і множимо зліва рівність (α3). Остаточно маємо:
(δ3)
За допомогою формули (δ3) покажемо незміщеність матриці . Застосуємо математичне сподівання для :
Наголосимо, що - це ідеальне значення. Без доведення запишемо формулу для квадрата стандартної похибки:
(3.14)
Як показано в літературі [1], матриця похибок ER має вигляд:
(3.15)
Коефіцієнт детермінації має вигляд:
(3.16)
Формула для F – статистики:
(3.17)
3.3. Застосування лінійної регресії для економіки України
Лінійна регресія має широке застосування в багатьох галузях науки. Ми розглянемо тільки застосування лінійної регресії в економіці. Маємо такі економічні показники для регіонів України:
№п/п Область Заробітна плата (Х2) Вартість основ-них фондів (Х3) Балан-совий прибуток (Y)
1 Республіка Крим 15,34 1,6 5
2 Вінницька 10,48 1 3,1
3 Волинська 6,07 0,5 1,9
4 Дніпропетровська 22,59 2,6 8,9
5 Донецька 30,68 3,1 1,8
6 Житомирська 6,26 1,1 2,8
7 Закарпатська 7,12 0,5 1,4
8 Запорізька 11,93 1,4 5,8
9 Івано-Франківська 7,76 0,7 1,9
10 Київська 9,43 1,5 4,2
11 Кіровоградська 6,95 0,9 2,2
12 Луганська 16,61 2 6,1
13 Львівська 16,0 1,3 5,2
14 Миколаївська 7,78 1,1 2,8
15 Одеська 15,62 1,5 5,4
16 Полтавська 9,79 1,3 4,4
17 Рівненська 6,49 0,6 1,9
18 Сумська 7,91 1 2,7
19 Тернопільська 6,41 0,7 1,5
20 Харківська 18,54 1,7 7
21 Херсонська 7,29 1 2,5
22 Хмельницька 8,44 0,9 2,5
23 Черкаська 8,49 1,2 3,1
24 Чернівецька 5,54 0,4 1,3
25 Чернігівська 7,44 0,9 3,5
26 м. Київ 19,1 0,6 7,1
Застосовуємо Пакет Прикладних Програм (ППП) BILREG [5] і отримаємо наступні результати.
1.
2. =
3.
4.
5. Отже, рівняння регресії має вигляд:
(α5)
Формула (α5) являє регресійну модель для економіки України.
6. За допомогою формули (α5) формуємо наступну таблицю.
Кореляційна таблиця № 2
№
1 5 5,6465 -0,6465 0,417983 -
2 3,1 3,4540 -0,3540 0,125308 0,085572
3 1,9 1,5419 0,3581 0,128204 0,507008
4 8,9 9,1002 -0,2002 0,040070 0,311621
5 11,8 11,8805 -0,0805 0,006479 0,014324
6 2,8 2,6326 0,1674 0,028017 0,061441
7 1,4 1,7897 -0,3897 0,151854 0,310324
8 5,8 4,4933 1,3067 1,707372 2,877601
9 1,9 2,2893 -0,3893 0,151557 2,876304
10 4,2 4,0778 0,1222 0,014936 0,261650
11 2,2 2,4468 -0,2468 0,060912 0,136174
12 6,1 6,6434 -0,5434 0,295275 0,087965
13 5,2 5,2793 -0,0793 0,006291 0,215366
14 2,8 2,9913 -0,1913 0,036577 0,012529
15 5,4 5,5383 -0,1383 0,199119 0,002807
16 4,4 3,8141 0,5859 0,343267 0,524411
17 1,9 1,8153 0,0847 0,007166 0,251239
18 2,7 2,8476 -0,1476 0,021790 0,053948
19 1,5 1,9708 -0,4708 0,221633 0,104435
20 7 6,5758 0,4242 0,179911 0,800916
21 2,5 2,7013 -0,2013 0,040534 0,391238
22 2,5 2,7984 -0,2984 0,089018 0,009414
23 3,1 3,3331 -0,2331 0,054325 0,004262
24 1,3 1,2426 0,0574 0,003296 0,084384
25 3,5 2,5624 0,9376 0,879065 0,774703
26 7,1 6,5337 0,5663 0,320739 0,137824
106,0 -9,855892*10-10 5,350699 10,897461
7. Квадрат стандартної похибки:
7. Матриця похибки ER має такі значення:
Економічний аналіз отриманих результатів
Ми повинні переконатись, що модель(α5) адекватно описує економіку України.
Для цього комп’ютер обчислює коефіцієнт детермінації
Як бачимо між Y та факторами Х2 та Х3 існує сильний кореляційний зв’язок. Обчислюємо межі для R з допомогою ППП; де фіксована Z – перетворення Фішера
0,9626<0,9882<0,9926
Як виникає із заданої нерівності, існує надійна оцінка для коефіцієнта детермінації R.
Стандартні похибки для коефіцієнтів наступні:
Для n-m=26-3=23 ступенів свободи показник статистики Стьюдента такий: ts=1,714. Тоді маємо такі оцінки для :
-1,124779< <-0,398758 (3.18)
0,164247< <0,307639 (3.19)
1,035762< <2,450382 (3.20)
В рівностях (3.18), (3.19) та (3.20) зліва маємо мінімальне значення коефіцієнтів , а справа – максимальне.
Отже, маємо такі регресій ні моделі:
(І)
(ІІ)
Згідно ППП, маємо таке значення F – статистики:
F=339,4001.
Теоретичне значення F – статистики має таке значення F1=3,42.
Оскільки 339,4001>3,42, то гіпотеза про те, що відхиляється.
Отже, модель (α5) є надійною.
Обчислимо показник Дарбіна-Уотсона [2].
(3.21)
Дані для обчислення беремо із кореляційної таблиці № 2.
Із таблиці для статистики Дарбіна-Уотсона беремо дві величини:
Напишемо основну залежність: якщо справедлива нерівність:
(α6)
то це означає, що похибки носять випадковий характер (автокореляція похибок відсутня) і модель (α5) являється надійною. Маємо оцінку:
1,54<2,036643<2,46 (3.22)
Висновок. Модель (α5) адекватно описує економіку України.
Введемо поняття еластичності для фактора Хк
(α7)
Цілком зрозуміло, що для лінійної регресійної моделі маємо:
(3.23)
Як відомо [2], економічний зміст еластичності такий: Коли фактор ХК зросте на 1%, то результуючий фактор Y зросте на %.
Для України маємо:
Тоді еластичність має такі показники:
- еластичність по заробітній платі
- еластичність по основних фондах
Як бачимо, більш вигідним є зростання заробітної платні. Так коли заробітна плата зросте на 10%, то балансовий прибуток зросте на 6,89% 7%.
Застосуємо модель (α5) для прогнозування розвитку економіки Рівненщини.
Нехай прогнозні значення: Х2=10; Х3=1. Тоді згідно моделі (α5) маємо:
Згідно формули (І) і (ІІ), маємо:
Отже, при несприятливих умовах прогнозний балансовий прибуток ; при сприятливих – економічний прибуток . Прогнозований балансовий прибуток при нормальних умовах . Тепер ми можемо повністю описати регресій ну модель для економіки України:
(0,211790) (0,041830) (0,412666)
R2=0,967224; F=339,4
D.W.=2,036643; n=26
Як бачимо, біля рівняння регресії в круглих дужках записано стандартні похибки , далі – коефіцієнт детермінації, стандартна похибка, F – статистика та статистика Дарбіна-Уотсона - D.W.
Лекція 4. Кореляційна матриця та її застосування.
План
4.1. Коефіцієнт кореляції та його властивості.
4.2. Кореляційна матриця та її властивості.
4.3. Застосування кореляційних матриць.
4.1. Коефіцієнт кореляції та його властивості
Нехай ми маємо один фактор Х2 та результуючий фактор Y. Для одного фактора індекс 2 опускаємо. Лінійна регресія для цього випадку має вигляд:
(4.1)
Цілком зрозуміло, що легко обчислити середні:
(4.2)
Ми ще обчислимо такі середні величини:
(4.3)
Тоді згідно літератури [1] маємо такі формули для дисперсії:
; (4.4)
Для середніх квадратичних відхилень маємо:
(4.5)
Кореляційний момент KXY обчислюємо за такою формулою:
(4.6)
Означення. Якщо величини Х та Y називаються некорельованими (незалежними).
Для некорельованих величин формули (4.1) не існує.
Якщо то завжди існує залежність (4.1). Коефіцієнт кореляції визначається формулою:
(α4)
Для коефіцієнта кореляції справедлива така оцінка:
(4.7)
Доведення цього факту дивись в [1].
Формулу (α4) в розгорнутому вигляді можна записати так:
(4.8)
Доведення цього факту дивись [1].
Нехай ми маємо фактори Х2; Х3; Х4; ...; Хm та результуючий фактор Y.
Присвоїмо результуючому фактору Y номер 1.
Тоді можна обчислити коефіцієнт кореляції між фактором номер 1 та фактором K=2,3,4, ...,. m. Маємо:
(4.9)
Цю формулу можна модифікувати:
(4.10)
Обчислюємо коефіцієнт кореляції для факторів ХK та XP за такою формулою:
(4.11)
Маючи ці значення із формули (4.7) та (4.8) формулюємо кореляційну матрицю:
(α4)
4.2. Кореляційна матриця та її властивості
Матриця COR має такі властивості:
1) матриця COR симетрична;
2) всі елементи матриці COR по модулю менші одиниці;
3) dim COR=m*m.
Економічний аналіз матриці COR
Цілком зрозуміло, що в першому рядку матриці COR записано коефіцієнти кореляції між факторами Х2; Х3; Х4; ...; Хm та результуючим фактором Y. Чим ближче по модулю ці фактори наближаються до одиниці, тим тісніший зв’язок між цими елементами. Якщо хоч один вираз , то це означає що фактор XK не впливає на результуючий фактор Y. Отже, цей фактор потрібно усунути.
Висновок. Перший рядок матриці (перший стовпець) COR не повинен містити нулів.
Число є коефіцієнт кореляції між факторами XK та XP. З точки зору економічних процесів та явищ ці фактори повинні бути незалежними. Отже, повинно бути 0 або величиною, яка істотно відрізняється по модулю від одиниці.
Для інформації наведено значення кореляційної матриці для прикладу із лекції № 3.
COR = (α44)
Маємо: Отже, між факторами Х2 та Y існує сильний кореляційний зв’язок. Це х саме можна сказати про зв’язок між Х3 та Y.
Також маємо значення
Це означає, що існує високий кореляційний зв’язок між факторами Х2 та Х3, але він менш тісний ніж зв’язок Х2 та Y і Х3 та Y.
4.3. Застосування кореляційних матриць
Введемо такі величини:
(4.14)
(4.15)
Згідно формули (α4), ми маємо COR, яка має m рядків та m стовпців.
Мисленно викреслимо в цій матриці перший рядок і перший стовпець. Ми отримаємо матрицю, яка має m-1 рядків та m-1 стовпців.
Обчислимо детермінант цієї матриці, який ми позначимо так:
(4.16)
Тепер із матриці (α4) мисленно викреслимо p-ий рядок і другий стовпець. Отримаємо матрицю, яка має m-1 рядок і m-1 стовпець. Обчислимо детермінант цієї матриці, який позначимо так:
(4.17)
Остаточно, викреслюючи перший рядок та p-ий стовпець отримаємо детермінант
(4.18)
Якщо 1+ - парне число, то визначник не змінює знак; якщо 1+ - непарне число, то визначник змінює знак.
Як показано в монографії [2], коефіцієнт можна обчислити за такою формулою:
(β4)
Для кореляційної матриці економіки України маємо:
Тоді
Як бачимо, ми отримали такі ж значення величини , як в лекції № 3.
Альтернативне значення коефіцієнта детермінації можна обчислити за формулою
(δ4)
Альтернативне обчислення суми квадратів похибок:
(j4)
Лекція 5. Виробнича функція Кобба-Дугласа
План
5.1. Однопродуктова економічна модель.
5.2. Властивості виробничої функції Кобба-Дугласа.
5.3. Алгоритм обчислення параметрів функції Кобба-Дугласа.
5.4. Виробнича функція Кобба-Дугласа для США.
5.1. Одно продуктова економічна модель
Введемо в модель такі фактори:
1. Основні виробничі фонди К.
2. Праця L.
Тоді валовий продукт Y є функція факторів K та L. Отже, маємо:
(5.1)
Валовий продукт розподіляємо так:
(5.2)
W – виробниче споживання; Z – кінцевий продукт.
Кінцевий продукт Z розподіляємо так:
(5.3)
I – інвестиції; C – невиробниче споживання.
Інвестиції розподіляємо так:
(5.4)
A – амортизація ОВФ; V – швидкість вводу в дію ОВФ.
Схематично це зображено на рис. 1.
Рис. 1
Підставимо в формулу (5.2) значення (5.3) та (5.4) і отримаємо балансову модель одно продуктової економіки
(І)
Виконаємо аналіз моделі (І).
1) Виробниче споживання залежить від валового продукту. Отже, маємо:
0<а<1 (5.5)
2) Амортизація залежить від капіталовкладень К:
<μ<1
3) Швидкість V вводу в дію основних виробничих фондів (ОВФ) залежить від швидкості капіталовкладень:
(ІІ)
Враховуючи (5.5), (5.6) та (ІІ), формула (І) остаточно запишеться так:
(ІІІ)
Ця модель служить джерелом аналізу економіки фірми, підприємства, держави, оскільки являє собою диференціальне рівняння, яке має безліч розв’язків.
Введемо поняття темпу росту фактора праці L наступним виразом
(IV)
Це диференціальне рівняння першого порядку з розділяючи ми змінними. Розв’язавши це рівняння, отримаємо:
(V)
L0 – це значення L(0).
Введемо відносні величини:
1) продуктивність праці (5.7)
2) фондоозброєність працівника (5.8)
3) споживання працівника (5.9)
Із (5.8) маємо
(5.10)
Диференціюємо (5.10)
(5.11)
У виразі (5.11) підставимо вираз (IV). Маємо:
(5.12)
вираз (ІІІ) почленно ділимо на L і, врахувавши (5.12), отримаємо:
(β5)
Рівність (β5) – балансова модель Солоу.
Американські економісти Кобб та Дуглас виконали математичний аналіз моделі Солоу і встановили таку формулу:
(β6)
Формула (β6) має назву виробнича функція Кобба-Дугласа.
Наголосимо, що t – час;ω – норма технічного процесу.
5.2. Властивості виробничої функції Кобба-Дугласа
І. Нехай за певний час капітал K та праця L зросли в λ раз. Це означає, що K=λK; L=λL. Підставивши ці значення в формулі (β6), отримаємо:
(VI)
Із формули (VI) випливають такі висновки:
1) α+β>1 (5.13)
Економіка розвивається інтенсивно.
2) α+β=1 (5.14)
Економіка розвивається екстенсивно.
3) α+β<1
Економіка занепадає.
ІІ. Обчислимо еластичність капіталу К.
Висновок: α – еластичність капіталу. Легко показати, що константа β це є еластичність праці.
Таким чином, ми вияснили економічний зміст усіх параметрів, які входять у формулу (β6).
5.3. Алгоритм обчислення параметрів функції Кобба-Дугласа
Маємо формулу виробничої функції Кобба-Дугласа
Логарифмуємо цей вираз.
(5.13)
Введемо такі співвідношення:
Враховуємо фактори X2=t; Х3=lnK; X4=lnL. Тоді рівність (5.13) остаточно запишеться так:
(5.14)
Формула (5.14) являє собою регресійну модель для факторів X2; Х3; X4. Всі обчислення виконуються згідно теорії, висвітленій у лекціях № 3 та № 4. В літературі [1] виведено блок-схему для обчислення формули Кобба-Дугласа.
5.4. Виробнича функція Кобба-Дугласа для США
Маємо такий статистичний матеріал для економіки США.
Роки Основний капітал К
(млрд. доларів) Відпрацьовані
людино-години L
(млрд. доларів) Валовий продуктY
(млрд. доларів)
1 2 3 4
1959 300,4 113,7 431,1
1960 303,9 114,1 441,7
1961 302,70 113,8 449,5
1962 317,0 115,5 479,5
1963 329,6 117,5 499,3
1964 351,7 119,3 522,1
1965 388,2 122,2 569,9
1966 441,2 124,0 599,6
1967 447,4 123,6 612,7
1968 472,9 125,2 643,4
Застосовуємо ППП BILREG і маємо такі результати.
1. Матриця має таке значення:
2. Обернена матриця має таке значення:
3. Значення коефіцієнтів
β1=-1б7895541;
β2= 0,022029;
β3= 0,128730;
β4=1,499542.
Отже, рівняння лінійної регресії має вигляд:
(δ5)
Наголосимо, що фактор Х2 – це час t; фактор Х3 – це lnK; фактор X4 – lnL.
4. Матриця похибок має такий вигляд:
5. Кореляційна матриця COR має таке значення:
6. Коефіцієнт детермінації:
R =0,998440
7. Показник d для статистики Дарбіна-Уотсона задовольняє умову:
0,51<d=2,48<2,49
Отже, автокореляція похибок відсутня.
8. F – статистика задовольняє умову:
F=1164,9>6,65
9. Обчислюємо
Для економіки США виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд:
Аналіз економіки США
1) α+β=1,622872
Економіка США розвивається інтенсивно. Якщо капітал і працю збільшити в два рази, то валовий продукт Y зросте в 21,628272 3 рази.
2) ω=0,022025>0
Економіка США має додатній показник норми технічного прогресу.
3) α=0,128730
Це означає, що при зростанні К на 1% Y зросте на 0,12873 %. Це означає зростання.
4) β=1,499542
Це означає, що при зростанні L на 1% Y зросте на 1,499542 %.
Бачимо, що продуктивність праці в США висока.
5) Визначимо абсолютний приріст США за один рік, застосувавши формулу повного диференціалу:
(δ6)
Нехай
Лекція 6. Матриці „Затрати-Випуск” та їх застосування в економіці
План
6.1. Математична модель зв’язку валового продукту з потребами ринку.
6.2. Два основні алгоритми сучасної економіки.
6.3. Ринкова ціна.
6.1. Математична модель зв’язку
валового продукту з потребами ринку
Як відомо, виробник товару завжди зацікавлений у тому, щоб вироблений продукт був реалізований на ринку, причому обов’язково виробник хоче мати прибуток.
Отже, ми будемо розглядати процес виробництва ринкових товарів, тобто таких товарів, які потрібні споживачеві.
При аналізі певної економіки ми будемо опиратись на економіку США, яка завжди характеризується надійними статистичними даними.
Основою для математичної моделі є статистичні дані по галузях економіки США за 1958 рік [6].
№ Галузі економіки Заробітна плата
К (млн.) Відпрацьовані
людино-години L
(млрд. доларів) К/L
1 Продукти харчування та ліки 53,625 8,182 6,55
2 Тканини, одяг, меблі 20,390 3,929 5,19
3 Устаткування і машини 14,083 1,820 7,74
4 Транспортні засоби та побутова техніка 31,260 3,891 8,03
5 Будівництво 54,308 8,581 6,33
6 Виробництво металів 16,112 1,857 8,68
7 Виробництво енергії 29,930 1,775 16,86
8 Виробництво хімічних продуктів 6,894 0,671 10,27
Відомий американський економіст В.Леонтьєв, аналізуючи цю таблицю та обсяг валового продукту кожної галузі встановив балансову формулу
(α)
- обсяг валової продукції К-ї галузі.
Як інформує формула (α), галузь з номером К на ринок продукту K валової продукції. Коефіцієнти a, b, c, …, s – це коефіцієнти затрат. З точки зору економіки маємо, наприклад, для перших трьох коефіцієнтів
0 < < 1;
0 b < 1;
0 c < 1.
Найголовнішою проблемою було встановлення числових реальних значень. Наприклад, для галузі № 2 маємо:
(6.1)
Наголосимо, що модель (6.1) підтверджена цифрами Х2 (валовий продукт) і Y2 – товаром, що пішов на ринок.
Оскільки ми маємо вісім галузей економіки, то зручно звести коефіцієнти затрат до матриці.
Маємо:
(6.2)
Матриця А називається матрицею INPUT – OUTPUT (матриця „Затрати-Випуск”). Аналіз цієї матриці дає реальну картину власних затрат – це діагональні коефіцієнти. Так галузь № 2 має власні затрати 0,3511 – максимальні, а галузь № 5 має мінімальні затрати – 0,0070.
Решта елементів матриці А інформує про частини валового продукту, які потрібні даній галузі.
В.Леонтьєв встановив матричну модель:
(αα)
Для моделі (α) маємо такі розміреності
(6.2)
Пізніше економісти гарвардського університету встановили матрицю „Затрати –Випуск” розміреністю 250 250.
6.2. Два основні алгоритми сучасної економіки
Користуючись матричною алгеброю, модель (αα) зручно записати так:
(αα1)
Маємо такий алгоритм:
Рис. 1.
Алгоритм, зображений на рис. 1, інформує, що знаючи матрицю затрати А, обчислюємо різницю I –A (I – одинична матриця) і цю матрицю справа множимо на Х.
Наголосимо, що в матриці I –A змінюються лише діагональні елементи, а решта елементів являють елементи матриці А з протилежними знаками.
Для матриці із восьми галузей маємо:
(6.3)
Тепер ми зможемо за допомогою моделі α1 виконати перший аналіз. Нехай валовий продукт кожної галузі є одиниця. Це означає, що матриця є стовпець із восьми одиниць. Обчислюємо :
Висновок: Найрентабельніша 4-та галузь, яка з кожної одиниці валового продукту на ринок дає 0,866 одиниць.
Найменш рентабельна 6-та галузь, яка з кожної одиниці валового продукту на ринок дає 0,3001 одиницю.
Знову приступаємо до моделі (α1).
Обчислимо обернену матрицю (I –A) .
За допомогою цієї матриці маємо: Х=(I –A) (αα2)
Обернена матриця для США має такий вигляд:
(6.4)
Виконаємо аналіз матриці (I –A) .
1) Всі елементи цієї матриці – додатні. Це означає, що дана матриця теж є затратною для Y.
2) Елементи головної діагоналі більші одиниці. Це означає, що головну частину кожна галузь виконує самостійно.
3) Нехай на ринок кожна галузь планує випустити одиницю продукції. Це означає, що матриця Y є стовпець, який складається з одиниць.
Обчислюємо Х за формулою (αα)
Х1=1,4234; Х2=1,90844; Х3=1,3863;
Х4=2,1447; Х5=1,2505; Х6=2,3400;
Х7=1,7803; Х8=1,8941
Висновок: Найрентабельніша 5-та галузь, яка витрачає 1,25 одиниць валової продукції для того, щоб дати на ринок 1-ну одиницю. Найменш рентабельна 6-та галузь, яка витрачає 2,34 одиниці валового продукту для того, щоб дати на ринок 1-ну одиницю.
6.3. Ринкова ціна
Матриця А (матриця „Затрати - Випуск”) має ряд фундаментальних значень.
Без доведення запишемо таку модель: (ααβ)
- транспонована матриця А.
Тепер ми легко встановлюємо таку залежність:
(6.2)
Тепер ясно, що ми маємо матрицю A-I згідно формули (6.3). Тепер транспонуємо цю матрицю. Вважаємо ціни одиничними. Тоді за (ααβ) маємо:
Z1=0,7031; Z2=0,5586; Z3=0,7384;
Z4=0,59000; Z5=0,7837; Z6=0,5723;
Z7=0,6743; Z8=0,5800
Висновок: Щоб на ринку була оголошена одинична ціна, то дає затрати. Найменші затрати має 2-га галузь Z2=0,5586, а найбільші затрати має 5-та галузь: Z5=0,7837.
Використовуючи обернену матрицю, із залежностями (ααβ) отримаємо:
(ααββ)
Проведемо математичний аналіз формули (ααββ).
(6.4)
Отже, нам відома матриця .
Нам залишається матрицю (6.4) транспонувати.
Тепер ми маємо можливість встановити модель ринкової ціни.
(δδ)
Підприємець завжди знає свої затрати. Згідно формули (δδ) він встановлює мінімальну ціну, щоб покрити свої затрати. Нехай матриця Z складається з одиничних затрат.
Маємо:
Висновок: Для всебічного аналізу економіки держави потрібно мати матрицю „Затрати-Випуск”. Так зване „японське диво” – бурхливий розвиток економіки Японії базувався на матрицях „Затрати-Випуск”.
Для самостійної України поки що такої матриці не обчислено.
Література
1. Білецький А.І. Економетрія: конспект лекцій. – Рівне: РДТУ, 1999. – 40 с.
2. Джонстон Дж. Эконометрические методы. – М.: Статистика, 1980. – 430с.
3. Толбатов Ю.А.Економетрика. – К.: Четверта хвиля, 1997. – 320 с.
4. Стренг Г. Линейная алгебра и её применение. – М.:Мир, 1980. – 454с.
5. Білецький А.І. Пакет прикладних програм BILREG // Сучасні технології. – Рівне: РДТУ, 1999. – С. 152-155.
