Написание контрольных, курсовых, дипломных работ, выполнение задач, тестов, бизнес-планов

Не нашли подходящий заказ?

Заказать в 1 клик: /contactus

Главная \ Методичні вказівки \ Математичні методи економічної динаміки НАУ

Математичні методи економічної динаміки НАУ

« Назад

Математичні методи економічної динаміки НАУ 16.05.2015 04:22

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

до виконання контрольної роботи з дисципліни

«Математичні методи економічної динаміки»

для студентів заочної форми навчання спеціальності

8.03050801 "Фінанси і кредит"

КИЇВ-2013

УДК 378.2: 657:658 (076.5)

ББК Ч481.252.45р

М545

Укладач : Олешко Т.І.

Рецензенти: Ластівка І.О., к.т.н., доцент, зав. кафедри вищої математики Інституту економіки та менеджменту Національного авіаційного університету

Григорак М.Ю., к.е.н., доцент, зав. кафедри логістики Інституту економіки та менеджменту Національного авіаційного університету

Затверджено на засіданні кафедри економічної кібернетики Інституту економіки та менеджменту НАУ , протокол № 8 від 20 травня 2013 р.

Математичні методи економічної динаміки: Методичні вказівки до виконання контрольної роботи / Уклад.: Т.І. Олешко, - К.: НАУ, 2013. - 50 с.

Методичні вказівки містять рекомендації до виконання курсової роботи з дисципліни «Математичні методи економічної динаміки» для студентів заочної форми навчання спеціальності 8.03050801 "Фінанси і кредит".

. УДК 378.2: 657:658 (076.5)

ББК Ч481.252.45р

М545

ЗМІСТ

Правила виконання та оформлення контрольних робіт	4
Програма курсу...............................................................	5
Методичні вказівки до контрольної роботи	8
Динамічні системи	6
Формальне визначення динамічної системи	12
Лінійна динамічна модель Харрода-Домара	14
Динамічна модель Леонтьева	15
Модель ринкової рівноваги Вальраса	18
Нелінійні динамічні моделі.Модель Гудвіна	23
Модель розвитку економіки України	29
Варіанти контрольної роботи ......................................	37
Література	50

ПРАВИЛА ВИКОНАННЯ ТА ОФОРМЛЕННЯ

КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

1. Студент повинен виконати контрольну роботу, яка містить три завдання – одне теоретичне питання та дві задачі..

Варіант для виконання контрольної роботи вибирається за двома останніми цифрами студентського шифру. Позначимо число, складене із цих цифр, через n. Тоді:

а) якщо 0 <п £ 30, номер варіанту дорівнює n;

б) якщо 30 < п £ 60, номер варіанту дорівнює n -30;

в) якщо 60 < п £ 90, номер варіанту дорівнює n -60;

г) якщо 90 < п £ 99, номер варіанту дорівнює n - 90;

д) якщо n = 0, номер варіанту дорівнює 30.

2. На титульному аркуші зошита мають бути написані прізвище та ініціали студента, номер його залікової книжки, назва групи, назва дисципліни, номер варіанта.

3. Перед розв'язанням задачі необхідно вказати її номер та повністю переписати її умову.

4. Після рецензування роботи викладачем студент повинен передивитися роботи та виконати повторно неправильно виконані завдання.

5. Контрольні роботи підлягають захисту.

ПРОГРАМА КУРСУ

Тема1.Математичне моделювання економічних систем. Економічна динаміка

Загальні поняття про математичні моделі. Поняття економічної системи та принципи її моделювання. Загальна економічна рівновага.

Тема 2. Ряди економічної динаміки

Основні поняття та визначення. Показники аналізу динамічних рядів. Перевірка наявності тренда. Побудова трендових моделей динамічного ряду.

Тема 3. Математичний апарат економічної динаміки

Диференціальні рівняння та їх застосування в моделюванні економічних систем. Найпростіша модель рівноваги. Використання теорії різницевих рівнянь для моделювання.

Тема 4. Лінійні динамічні моделі

Модель Домара. Модель Харрода. Модель Харрода-Домара.

Тема 5.Факторні моделі економічного розвитку

Макроекономічні динамічні виробничі функції. Динамічна функція Кобба-Дугласа. Неокласична модель Солоу.

Тема 6. Нелінійні динамічні моделі та динамічні міжгалузеві моделі

Модель економічного циклу Хікса. Динамічна модель Леонтьева. Модель Неймана. Динамічна модель Канторовича.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

Економічна динаміка - відносно новий напрямок в економічній теорії, що охоплює різні концепції і парадигми пояснення складних процесів і явищ, що виникають в сучасних соціально-економічних системах на макро- і мік рівнях.

При дослідженні соціально-економічних систем можна виділити статичний і динамічний підхід. При статичному підході дослідника цікавить лише зріз, стан економічної системи в певний момент часу, набір зафіксованних в часі показників, що відображають конкретний стан. Таким чином, при статичних дослідженнях не виникає питання про вплив фактора часу на характеристики соціально-економічної системи.

Економічна динаміка, на відміну від статики, вивчає поведінку економічних систем і розвиток процесів, що протікають в них. При динамічному підході дослідника цікавить не один, а спектр станів системи протягом певного часу. Дослідження динаміки поведінки економічних систем дозволяє не тільки визначити перспективи та можливі сценарії розвитку досліджуваного об'єкта, але також розробити комплекс адаптивних впливів, виявити можливі резерви і скорегувати політику, реалізовану в реальній економічній системі. Для вивчення економічної динаміки застосовуються як формалізовані математичні методи і апарат економіко-математичного моделювання, так і евристичні методи, засновані на якісних оцінках, в рамках поведінкового підходу до розвитку економічних процесів.

1. Динамічні системи

Найбільш загальне визначення динамічної системи таке: динамічної називається система, параметри якої явно чи неявно залежать від часу. З цього визначення випливає, що якщо дня поведінки системи визначено функціональні рівняння, то в них включаються в явному вигляді змінні, пов'язані з різних моментів часу.

Розглянемо найважливіші властивості складних динамічних систем.

1. Цілісність (емерджентність).

В системі окремі частини функціонують спільно, складаючи в сукупності процес функціонування системи як цілого. Сукупна функціонування різнорідних взаємопов'язаних елементів породжує якісно нові функціональні властивості цілого, що не мають аналогів у властивостях його елементів. Це означає принципову незвідність властивостей системи до суми властивостей її елементів.

2. Взаємодія з зовнішнім середовищем.

Система реагує на вплив навколишнього середовища, еволюціонує під цим впливом, але при цьому зберігає якісну визначеність і властивості, що відрізняють її від інших систем.

3. Структура.

При дослідженні системи структура виступає як спосіб опису її організації. Залежно від поставленого завдання дослідження проводиться декомпозиція системи на елементи і вводяться відносини і зв'язки між ними, суттєві для розв'язуваної проблеми. Разом з тим декомпозиція системи на елементи і зв'язку

визначається внутрішніми властивостями розглянутої системи. Структура динамічна за своєю природою, її еволюція в часі і просторі відображає процес розвитку систем.

4. Нескінченність пізнання системи.

Під цим властивістю розуміється неможливість повного пізнання системи і всебічного уявлення кінцевим безліччю описів, тобто кінцевим числом якісних і кількісних характеристик. Тому система може бути представлена не скінченним числом структурних та функціональних варіантів, що відображають різні аспекти системи.

5. Ієрархічність системи.

Кожен елемент в декомпозиції системи може розглядатися як цілісна система, елементи якої, в свою чергу, можуть бути також представлені як системи. Але, з іншого боку, будь-яка система - лише компонент більш широкої системи.

6. Елемент.

Під елементом розуміється найменша ланка в структурі системи, внутрішню будову якого не розглядається на обраному рівні аналізу. Відповідно з властивістю 5 будь-який елемент є системою, але на обраному рівні аналізу ця система характеризується тільки цілісними характеристиками.

Цілісність, структура, елемент, нескінченність і ієрархічність складають ядро системоутворюючих понять загальної теорії систем і є основою системного уявлення об'єктів і формування концепцій системних досліджень.

Однак для більш докладного вивчення властивостей динамічних економічних систем (ЕС) необхідно розглянути ще ряд найважливіших властивостей і характеристик.

1. Стан системи. Стан системи визначається станами її елементів. Теоретично можливий набір станів дорівнює числу можливих поєднань всіх станів елементів. Проте взаємодія складових частин призводить до обмеження числа реалізованих поєднань. Зміна стану елемента може відбуватися неявно, безперервно і стрибкоподібно.

2. Поведінка системи. Під поведінкою системи розуміється закономірний перехід з одного стану в інший, обумовлений властивостями елементів і структурою.

3. Безперервність функціонування. Динамічних систем властива безперервність функціонування. Система існує поки функціонують соціально-економічні та інші процеси в суспільстві, які не можуть бути перервані, інакше система перестане функціонувати. Всі процеси в ЕС, як у живому організмі, взаємопов'язані. Функціонування частин визначає характер функціонування цілого, і навпаки. Функціонування системи пов'язане з безперервними змінами, накопичення яких призводить до розвитку.

4. Розвиток системи. Життєдіяльність складної системи представляє собою постійну зміну фаз функціонування і розвитку, яка виражається в безперервній функціональної і структурної перебудови системи, її підсистем і елементів.

Еволюція економічних систем визначається одним з найважливіших властивостей складних систем - здатністю до саморозвитку. Центральним джерелом саморозвитку є безперервний процес виникнення і вирішення протиріч. Розвиток, як правило, пов'язано з ускладненням системи, тобто із збільшенням її внутрішнього різноманіття.

5. Динамічність. Економічна система функціонує і розвивається в часі, вона має передісторію і майбутнє, характеризується певним життєвим циклом, в якому можуть бути виділені певні фази: виникнення, зростання, розвиток, стабілізація, деградація, ліквідація або стимул до зміни.

6. Складність. Економічна система характеризується великим числом неоднорідних елементів і зв'язків, поліфункціональність, поліструктурністю, багатокритериальністю, багатоваріантністю розвитку і властивостями складних систем.

7. Гомеостатичність. Гомеостатичність відображає властивість системи до самозбереження, протидія руйнівним діям

8. Цілеспрямованість. Всім динамічних систем в економіці властива цілеспрямованість, тобто наявність певної мети і прагнення до її досягнення. Розвиток системи пов'язане саме із зміною мети.

9. Керованість. Свідома організація цілеспрямованого функціонування системи та її елементів називається керованістю. У процесі життєдіяльності система за допомогою цілеспрямованого управління дозволяє постійно виникаючі в ній протиріччя і реагує на зміну внутрішніх і зовнішніх умов свого існування. Відповідно до умов, що змінюються вона змінює свою структуру, коригує цілі розвитку і зміст діяльності елементів, тобто відбувається цілеспрямована самоорганізація системи, яка на практиці реалізує здатність до саморозвитку. Однією з основних функцій самоорганізації є збереження в процесі еволюції системи її якісної визначеності.

Властивості керованості проявляються також у таких особливостях, як відносна автономність і функціональна керованість.

Відносна автономність функціонування економічно систем означає, що в результаті дії зворотного зв'язку кожна і складових вихідного сигналу може бути змінена за рахунок зміни вхідного сигналу, причому інші складові залишаються незміненими.

Функціональна керованість економічної системи означає, що відповідним вибором вхідного впливу можна домогтися будь-якого вихідного сигналу.

10. Адаптивність. Адаптивність економічної системи визначається двома видами адаптації - пасивною і активною. Пасив ная адаптація є внутрішньо властивою характеристикою економічної системи, яка має в своєму розпорядженні певними можливостями саморегулювання. Активна адаптація представляє механізм адаптивного управління економічної системи та організацію його ефективного здійснення.

11. Інерційність. Інерційність економічної системи позначається у виникненні запізнювання в системі, симптоматично реагує на возмущающие та управляючі. Таки запізнювання враховуються, зокрема, за допомогою лагів, що включаються до моделі опису систем. Розрізняють внутрішні лаги, мул: лаги прийняття рішень, щодо стабілізуючих вплив і зовнішні лаги, що відображають затриману реакцію системи на відповідні впливу.

12. Стійкість. Система визнається стійкою щодо введеного визначення околиці, якщо при досить малих змінах умов функціонування її поведінка істотно не змінюється. У рамках теорії систем досліджуються структурна стійкість і стійкість траєкторії поведінки системи. Стійкість ЕС забезпечується такими аспектами самоорганізації, ка диференціація і лабільність (чутливість). Диференціація - це прагнення системи до структурного і функціональному різноманітності елементів, яке забезпечує не тільки умови виникнення і вирішення протиріч, а й визначає здатність системи швидко пристосовуватися до наявних умов існування. Більше різноманітності - більше стійкості, і навпаки. Лабільність означає рухливість функцій елементів при збереженні стійкості структури системи в цілому.

13. Стан рівноваги. Стійкість системи пов'язана з її прагненням до стану рівноваги, яке передбачає таке функціонування елементів системи, при якому забезпечується підвищена ефективність руху до цілей розвитку. У реальних умовах система не може повністю досягти стану рівноваги, хоча і прагне до нього. Елементи системи функціонують по-різному в різних умовах, і їх динамічна взаємодія постійно впливає на рух системи. Система прагне до рівноваги, на це спрямовані зусилля управління, але, досягаючи його, вона тут же від нього йде. Таким чином, стійка економічна система постійно знаходиться в стані динамічної рівноваги, вона безперервно коливається щодо положення рівноваги, що є не тільки її специфічною властивістю, а й умовою безперервного виникнення протиріч як рушійних сил еволюції.

Формальне визначення динамічної системи

Формально динамічна система в загальному вигляді може бути задана наступним кортежем:

М = <T, Ф, Х, Ω, V, Y, G, R>.

Властивості динамічної системи задаються наступними аксіомами:

1. Для системи S задані безліч моментів часу Т, макро функція системи Ф, безліч вхідних впливів X, безліч ценій Ω, безліч станів V, безліч значень вихідних величин У, структура системи G і відносини емерджентносгі R.

2. Безліч Т є деяке впорядковане підмножина безлічі дійсних чисел, що представляє собою безліч моментів часу, в які вивчається система.

3. Макрофункції системи визначається за допомогою двох функцій:

S:Х→У і V:Х*У→С,

де S - функціональна модель об'єкта, V - функція якості, або оціночна, функція, С - безліч оцінок. Макрофункція системи визначається парою Ф = (S, V).

4. Безліч збурень Ω, або безліч невизначеностей, являє собою безліч всіх можливих впливів, які позначаються на поведінці системи

Якщо така безліч Ω, не порожня, тобто Ω ≠ 0, то функціональна модель об'єкта приймає вигляд:

S:Х * Ω.→У,

а оціночна функція

V:Х*Ω*У>С.

5. Існує перехідна функція стану

φ=Ф*Ф*V*Х→V,

значеннями якої служать стану u(t) =φ (t, τ, u, х) ϵ V, в яких виявляється система в момент часу tϵТ, якщо в початковий момент τ<t вона перебувала в стані u(τ)ϵV і протягом відрізка [τ, t] на неї діяли вхідні дії хєХ.

6. Визначено вихідне відображення

ɳ:Т*V→У,

що визначають вихідні величини y(t) = ɳ (t, u (t)).

Пару (τ, u), де τ ϵ Т, і u є V, називають станом, або фазовими координатами системи S, а множину Т*V - простором станів системи.

Кінцевий набір станів системи , що задається перехідною функцією φ і визначений на деякому тимчасовому відрізку називається траєкторією поведінки системи на інтервалі при заданих початкових умовах.

Говорячи про рух системи, ми будемо мати на увазі траєкторію поведінки даної системи. Сукупність траєкторій системи, які відповідають різним (всім можливим) її початковим станам, називаються фазовим портретом системи.

7. Структура системи G визначається в термінах теорії графів:

G = ({S_j},(S_i,S_j)), I_,j = 1…n, i≠j

де S_,j - вершини, (S_i, S_j) - дуги графів.

8. Ставлення емерджентності R:Ф→G.

Розглянуте поняття динамічної системи дозволяє виробити загальну термінологію, уточнити концептуалізацію і забезпечити єдиний підхід до опису загальних властивостей.

Лінійна динамічна модель Харрода-Домара

Як приклад динамічної моделі з безперервним часом, представленої лінійним диференціальним рівнянням, розглянемо модель макроекономічної динаміки, запропонованої Харродом і Домаром. Модель описує динаміку доходу , який розглядається як сума споживання і інвестицій . Економіка вважається закритою, тому чистий експорт рівний нулю і державні витрати не виділяються. Основна передумова моделі зростання – формула взаємозв'язку між інвестиціями і швидкістю росту доходу. У моделі передбачається, що швидкість росту доходу пропорційна інвестиціям

де В – коефіцієнт капіталоємкості приросту доходу, або коефіцієнт прірістної капіталоємкості. Зворотна йому величина 1/B називається пріростною капіталовідачею.

Тим самим, в модель фактично включаються наступні передумови:

- інвестиції миттєво перетворюються на приріст капіталу. Формально це означає, що , де - безперервна функція приросту капіталу за часом.

- вибуття капіталу відсутнє

- виробнича функція в моделі лінійна. Це витікає з пропорційності приросту доходу приросту капіталу

Лінійна виробнича функція

де b=1/B цією властивістю в тому випадку, якщо а=0, або L(t)=Const.

- витрати праці постійні в часі, або випуск не залежить від витрат праці, оскільки праця не є дефіцитним ресурсом.

- модель не враховує технічного прогресу.

Ці передумови, звичайно, істотно огрублюють опис динаміки реальних макроекономічних процесів, роблять проблематичним застосування цієї моделі, наприклад, для прогнозування величини сукупного випуску, або доходу. Однак ця модель і не розрахована для цього. У той же час, її відносна простота дозволяє більш глибоко вивчити взаємозв'язок динаміки інвестицій і зростання випуску, одержати точні формули траєкторій даних параметрів.

Динамічна модель Леонтьева

Динамічна модель Леонтьева є деталізованою моделлю зростання валового суспільного продукту і національного доходу. Базою для динамічної моделі В. Леонтьева служить статична модель міжгалузевого балансу в грошовому виразі, яка відображає виробництво і розподіл валового суспільного продукту в галузевому розрізі, міжгалузеві виробничі зв'язки, використовування матеріальних і трудових ресурсів, створення і розподіл національного доходу (НД). Кожна галузь в балансі розглядається двічі - як споживач і як виробник. Це і визначає матричну структуру балансу. У балансі розглядаються як галузі, так і підгалузі. В окремих випадках баланс може включати до декількох сотень позицій.

У основі статичної моделі лежить припущення про взаємозв'язок між накопиченням і приростом валового продукту.

При побудові динамічної моделі В. Леонтьева, як і для моделі міжгалузевого балансу, робляться наступні припущення:

1) у кожній галузі (або підгалузі) є єдина технологія виробництва;

2) норми виробничих витрат не залежать від об'єму продукції, що випускається;

3) не допускається заміщення у виробництві одних видів продукції іншими.

При цих припущеннях величина міжгалузевого потоку доводиться пов'язаній з валовою продукцією галузі таким чином

(1)

де - коефіцієнт прямих матеріальних витрат, за допомогою якого вимірюються технологічні зв'язки між галузями. Коефіцієнт показує, скільки одиниць продукції i-той галузі безпосередньо витрачається на випуск одиниці валової продукції j-той галузі. Так, при маємо коефіцієнт витрат власної продукції галузі на одиницю її валового випуску.

Всі коефіцієнти прямих матеріальних витрат утворюють квадратну матрицю

(2)

Статична модель міжгалузевого балансу в матричній формі має вигляд:

, (3)

де А — матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат;

Х- вектор-стовпець валових об'ємів випуску (ВОП);

Y- вектор-стовпець кінцевого продукту (НД).

У основі динамічної моделі лежить припущення про взаємозв'язок між накопиченням і приростом валової продукції Цей взаємозв'язок реалізується за допомогою матриці капіталоємкості приростів виробництва. Крім того, вважається миттєвість перетворення капіталовкладень в приріст основних фондів і миттєвість віддачі цих фондів в об'єми виробництва (що, взагалі кажучи, невірно). Час вважається безперервним, що і визначає застосування диференціальних рівнянь.

Основне співвідношення моделі має вигляд

(4)

де - вектор об'ємів валового випуску продукції по галузях у момент часу t;

- вектор абсолютних приростів за малу одиницю часу;

А - матриця коефіцієнтів прямих витрат, включаючи витрати на відшкодування вибуття основних фондів;

- виробниче споживання, що забезпечує просте відтворення;

У - матриця коефіцієнтів капіталоємкості приростів виробництва (( - витрати виробничого накопичення i-го виду продукції на одиницю приросту j-го виду продукції);

- вектор-стовпець, що характеризує споживання по галузях.

Модель ринкової рівноваги Вальраса

Макроекономічна рівновага на конкурентному ринку, як відомо, визначається точкою, в якій попит і пропозиція рівні. Розглянемо випадок, коли попит і пропозиції залежать тільки від ціни товару. У початковий момент часу система може не перебувати в стані рівноваги внаслідок двох причин. Або вона була випадковим чином виведена зі стану рівноваги, або вона ніколи в ньому не знаходилася. У будь-якому випадку виникає питання, чи прийде система в стан рівноваги і як швидко.

Якщо система не перебуває в стані рівноваги, то можливі два варіанти: або попит перевищує пропозицію, або навпаки - пропозиція перевищує попит. Назвемо різницю між кількістю товару, яку покупці збираються придбати за даною ціною, і кількістю товару, яку виробники готові продати за даною ціною, надлишковим попитом. Залежно від ситуації надлишковий попит може бути позитивним або негативним. З величиною надлишкового попиту пов'язана ціна надлишкового попиту - це різниця між ціною, яку покупці готові заплатити за довільну дану кількість товару, і ціною, яка може викликати збільшення пропозиції до даної кількості товару (рис.1 ). Таким чином, якщо існує позитивний надлишковий попит, то незадоволені покупці зрушують ціну вгору. А якщо виникає позитивна ціна надлишкового попиту, то виробники приходять до висновку, що вигідно збільшити кількість продукції.

Рис. 1. Динаміка ціни при надлишковому попиті

При побудові моделі рівноваги основними є припущення Вальраса і Маршалла. Відповідно до припущення Вальраса ціна прагне до збільшення (зменшення), якщо величина надлишкового попиту позитивна (негативна). За припущенням Маршалла пропозиція прагне до збільшення (зменшення), якщо ціна надлишкового попиту позитивна (негативна).

Визначимо стійкість рівноваги. У даному випадку стійкість означає, що економічні стимули зрушують траекторію зміни ціни в напрямку точки рівноваги. Позначимо надлишковий попиту

Е(р)=D(р)-S(р)

Де D (p), S (p) –функція попиту і пропозиції відповідно; p-ціна.

Стійкість рівноваги за припущенням Вальраса означає, що збільшення ціни, викликане позитивним надлишковим попитом, зменшує його, тобто

(6.21; 6.22)

З іншого боку, якщо слідувати припущенням Маршалла, то збільшення кількості товару, викликане позитивною ціною надлишкового попиту, зменшує цю ціну. Ціна надлишкового попиту є функція, зворотна Е (р), тобто

Де - функція, зворотна - функція, зворотна S(q).

Таким чином, отримуємо, що для ціни надлишкового попиту, має бути виконане

(6.23; 6.24)

У силу властивостей похідних взаємно зворотних функцій отримуємо

(6.25)

Розглянемо простий випадок лінійних функцій попиту і пропозиції, тобото

Тоді нерівність приймає вигляд

(6.26)

Таким чином, система прагне деяким чином до стану рівноваги, якщо нахил лінії пропозиції більше нахилу лінії попиту.

Використовуючи припущення Маршалла, отримуємо

отже, для нерівності (6.25) маємо

Зазвичай функція попиту є спадною, тобто b <О, а функція пропозиції - зростаючою, тобто > 0. У такому випадку нерівність (6.26) виконується автоматично. Для нерівності (6.27) отримуємо

таким чином, воно також виконується автоматично.

Те ж має місце і для нерівностей (6.22) і (6.25), оскільки, якщо D (р) - спадна функція, то

А якщо S (p) зростаюча функція,то

отже, обидві нерівності з очевидністю виконуються.Таким чином, припущення Вальраса і Маршалла дають однаковий результат в нормальному випадку.Розглянемо тепер динаміку поведінки ціни, тобто питання про асимптотичнe стійкостm. Відповідно до припущення Вальраса отримуємо

(6.28)

де - функція надлишкового попиту, має той же знак, що і надлишковий попит, та (0) = 0, тобто нульовий надлишковий попит означає, що система знаходиться в рівновазі; тобто при переході від негативних до позитивних значень функція зростає.

Для вирішення диференціального рівняння (6.28) необхідно знати точний вид функцій Для спрощення розрахунків проведемо лінеаризацію функцій, розкладаючи в ряд Тейлора до першого ступеня в околиці точки рівноваги Отримуємо

В стані рівноваги , тому

Рівнянню (6.31) відповідає однорідне рівняння

З характеристичним коренем

Загальний розв’зок рівняння (6.31) будемо шукати у вигляді:

Підставляємо вираз (6.34) в рівняння (6.31), отримуємо

Отже, для функції ціни p(t) отримуємо

Де константу С знаходимо з умови

Константа С дорівнює первісному відхиленню від стану рівноваги.

Таким чином, остаточно маємо

Нелінійні динамічні моделі.Модель Гудвіна

Перейдемо тепер до складніших, нелінійних, моделей, що описують виникнення циклічних коливань в економічному розвитку. Починаючи з простої моделі, запропонованої Гудвіном, будемо послідовно її ускладнювати, враховуючи всю більшу кількість чинників.

Будемо вважати, що у будь-який момент часу t економіка має в своєму розпорядженні основний капітал К, який включає заводи, устаткування і т.д. його об'єм міняється з швидкістю, рівною відношенню справжніх капіталовкладень до загального зносу за даний період часу. Джерелом економічного доходу є об'єм виробництва У і споживання С. Ці величини зв'язані між собою відносинами

(1)

(2)

де а і b — дійсні константи, такі, що З рівняння (1) видно, що між об'ємом виробництва і споживанням існує лінійна залежність. Рівняння (2) означає, що вся продукція, що випускається, або споживається, або йде на розширення виробництва. Припустимо далі, що основним капіталом До управляють так, щоб підтримувати його на рівні, пропорційному об'єму виробництва. Якщо R — бажаний рівень основного капіталу у момент часу t, то

(3)

де g — деякий параметр.

Представимо перший варіант моделі. З рівнянь (1) і (2) витікає, що

, (4)

звідки

(5)

Із співвідношення (3) видно, що періодичну поведінку вели чини У (або До) може виникнути як наслідок коливань в капіталовкладенні До. У свою чергу, ці коливання виникають з прагнення зрівняти величини З і R (бажаний рівень основного капіталу). Нехай проводиться екстремальна політика капіталовкладень:

, (6)

де , і , не залежать від часу t.

Розглянемо суть формули (6). Якщо основний капітал менше бажаного рівня, то умова (6) відповідає максимальному рівню капіталовкладень (перша умова в (6)). Якщо ж бажаний рівень перевищений, то капіталовкладення нульові, а основний капітал амортизується з швидкістю (третя умова (6)). Розумно допустити, що при максимальному рівні капіталовкладень швидкість, з якою можуть будуватися нові підприємства більше швидкості амортизації і старіння, тобто

(7)

З рівнянь (3) - (6) витікає, що

. (8)

Нехай , так що при виконується . Тоді рівень капіталовкладень рівний , величина Ко росте, а У залишається постійною (мал. 1) до тих пір, поки не досягається рівність . Тоді R приймає значення ,оскільки . Тепер , і величина R миттєво стає рівною . Таким чином, Ко миттєво міняється від величини до а R — від до . У той же самий момент, згідно формулі (5), різко падає об'єм виробництва. Тепер Ко спадає до величини . Аналогічні міркування показють, що R при цьому стає рівним , так що , і величина Ко знову стає рівною . Основний капітал До знову зростає до , і цикл замикається. Таким чином, обидві величини - К і У — здійснюють коливання, як показано на рис. 1.

Рис. 1. Коливання величин К і У в часі.

Розглянемо поведінку моделі на фазовій площині , представленої на рис.2. Рух відбувається по прямолінійних відрізках BC і DA, де , і відповідно. Скачки від А до В і від З до D відповідають розривам функції У, показаним на мал. 1.

Описана модель добре відображає економічний цикл. Під час періодів капіталовкладення об'єм виробництва високий і економіка знаходиться в періоді підйому. Коли ж капіталовкладення відсутні, об'єм виробництва падає, і економіка знаходиться в стані депресії. Проте у розглянутої моделі є багато недоліків. Так, стрибки в капіталовкладенні і миттєва реакція на них з боку об'єму виробництва У (див. формулу (5)) не відповідають дійсності. Крім того, з умови витікає, що періоди спаду значно перевищують періоди підйому, чого в реальності не спостерігається. Більш того, в моделі відсутнє загальне зростання економіки, оскільки об'єм виробництва, основний капітал і інші показники періодично приймають колишні значення.

Мал. 2. Представлення стану економіки на фазовій площині

Приведемо другий варіант моделі. Модифікуємо модель, враховуючи такі чинники:

1) вплив капіталовкладень на зростання об'єму виробництва;

2) відсутність стрибкоподібних змін в капіталовкладенні. Для обліку першого чинника змінимо рівняння (5) так, щоб у функції У не було стрибків навіть у тому випадку, коли величина Ко їх має. Це можна зробити, замінивши рівняння (5) на

(9)

де e — деяка позитивна константа.

Зрозуміло, що новий доданок в (9) породжує затримку в реакції функції У на зміну К. З рівняння (9) знаходимо:

(10),(11)

Припустимо, що у момент часу депресія закінчується і відбувається миттєвий перехід від (11) до рівняння (10). Тоді залежність величини У від часу t для фази підйому матиме вигляд

З рішення (12) видно, що величина У не зростає миттєво до значення , а прагне до нього при . Помітимо, що час, який потрібен для того, щоб функція із заданою точністю стала рівній цій величині, цілком залежить від параметра e. Аналогічним чином, рівняння (11) згладжує стрибкоподібне падіння (див. мал. 1) в кінці періоду підйому. Ліквідуємо тепер розриви в капіталовкладенні, тобто «пом'якшимо» раптовий перехід від до (і навпаки), виникаючий, коли К стає рівним R..

Модель розвитку економіки України

Розглянемо одну з моделей макроекономічної системи, в якій представлені основні взаємозв'язки між виробництвом, споживанням, накопиченням і грошовою масою. Дана модель була запропонована В. С. Михалевичем як одна з моделей сценаріїв розвитку перехідної економіки.

Для побудови моделей були обрані наступні змінні:

X (t) - величина внутрішнього валового продукту в t-й період;

Y (t) - національний дохід в t-й період;

А - матеріаломісткість валового продукту;

R (t) - частина НД, яка витрачається на споживання (фонд споживання) в t-й період;

W - норма нагромадження;

S (t) - величина платоспроможного попиту в t-й період;

с - норма споживання;

D (t) - грошова маса, що забезпечує платоспроможний попит в t-й період;

- запаси грошових коштів у населення в t-й період;

- приріст запасів грошових коштів за одиничний період в t-й період;

Р (t) - індекс споживчих цін відносно базового періоду часу в t-й період;

m- коефіцієнт еластичності цін;

Е - коефіцієнт ефективності інвестицій;

q - частка доходів населення у НД;

г - коефіцієнт, що враховує зниження валового продукту за рахунок втрат внаслідок затовареністі, неплатежів, розриву економічних зв'язків і т. д.

Розглянемо основні рівняння моделі.

1. Рівняння динаміки ВВП

2. Рівняння динаміки ВВП (динамічна функція Кобба - Дугласа з урахуванням нейтрального НТП)

3. Рівняння впливу інвестицій на зміну ВВП

а) - ситуація зростання обсягів виробництва; (8.3)

б) - ситуація падіння обсягів виробництва

4. Балансове рівняння невиробничого споживання

5. Рівняння динаміки платоспроможного попиту

6. Рівняння динаміки цін

7. Баланс грошових коштів

У даному комплексі моделей слід звернути увагу на формування величини S(t). Величина S(t) в ринковій економіці залежить від безлічі факторів, які можна поділити на два класи: екзогенні (зовнішні) фактори і ендогенні (внутрішні) фактори. Екзогенні фактори - це фактори, що відображають стан макроекономічної системи, такі, як рецесія (спад), стагнація або зростання виробництва, інфляція, податковий тягар і т. д. Ендогенні фактори - це внутрішні фактори, що формуються на основі розглянутих в даній системі показників. Величина платоспроможного попиту S(t) залежить від рівня доходів населення (не тільки поточних, як представлено в цій моделі, а й за минулі періоди часу), від рівня пропозиції товарів і послуг, від їх вартості, від рівня освіти і культури споживання, від інших різних факторів (прямих або непрямих), впливаючих на формування поведінки споживачів. У силу того, що величина S(t) представляє особливий інтерес при моделюванні механізму споживчого попиту, її слід представити набором структурних моделей, що відображають попит на продукти харчування, одяг, предмети тривалого користування (квартири, машини, меблі), медичні послуги, освіта, туризм і т. д. У структурних моделях з'являється можливість відобразити вплив різних чинників на той чи інший вид споживчого попиту.

Розглянемо методи розв'язання систем диференційних рівнянь і проведемо дослідження моделей механізму споживчого попиту.

Дану систему диференційних рівнянь, частина з яких є нелінійними, можна вирішити за допомогою підстановок і перетворень.

З рівнянь (8.4), (8.1), (8.3а) слідує, що

Таким чином, можна виразити траекторію динаміки фонду споживання R(t) за умови зростання виробництва.

Якщо спостерігається спад виробництва, тобто то слід скористатися рівнянням (8.3б), де коефіцієнт (E*W-r) може приймати від‘ємне значення.

Проводячи аналогічне рішення системи диференційих рівнянь з урахуванням (8.3б), отримаємо

Відповідно до (8.4), (8.1) отримаємо вираз національного доходу Y(t) і внутрішнього валового продукту Х(t) через фонд споживання R(t):

Далі розглянемо рівняння (8.5) -

Провівши інтегрування цього рівняння, отримаємо:

Відповідно до цього рівнянням можна виразити функціональну залежність необхідної кількості грошової маси D(t) (від величини платоспроможного попиту S(t):

У цій формулі другий доданок відображає обсяг грошової маси базового періоду з урахуванням темпів зростання індексу цін, а перша необхідна зміна грошової маси з урахуванням індексу цін зміни величини платоспроможного попиту.

Розглянемо наступні випадки.

Передбачається, що в економічній системі попит точно відповідає пропозиції, S(t)=R(t).

Частина національного доходу, яка витрачається на потреби, точно відповідає обсягу запропонованих товарів і послуг.

Відповідно до цього припущенням P(t)=0, тобто Р(t)=Р(0) = де Р=const. Як видно, індекс споживчих цін у цьому випадку не змінюється, він дорівнює значенню в базовий момент часу (t = 0)

Так як R(t) = S(t), то mіn (S(t),R (t))=S(t)=R(t).

З формули балансу коштів слідує, що приріст (зміна) запасів грошових коштів представлений у вигляді:

Замінюючи Y(t) через R(t), отримаємо такий вираз для величини грошових запасів:

З формули випливає, що при D(0)=P*S(0)= P*R (0) виконується наступна тотожність

тобто якщо початкова грошова маса точно дорівнює обсягу початкових пропозицій товарів і послуг, виражених у вартісній формі,то спостерігається стан адекватного зростання всіх макроекономічних показників з темпом

2. Припустимо, що в економічній системі платоспроможний попит перевищує пропозиції товарів і послуг, тобто S(t)=α*R(t),де α>1. У відповідності з рівнянням (8.6), враховуючи, що min (S(t),R(t))=R(t), отримаємо

Інтегруючи це рівняння, отримаємо,

У відповідності з рівнянням динаміки грошових коштів необхідних для забезпечення платоспроможного споживчого попиту, отримаємо:

Величина зміни грошових запасів може бути:

Величину відхилення необхідної грошової маси для забезпечення платоспроможного відіндексованого споживчого попиту з урахуванням цін фонду споживання, тобто , можна інтерпретувати як величину відкладеного попиту. Таким чином якщо платоспроможний попит перевищує обсяг запропонованих товарів і послуг та якщо частка доходів населення у фонді споживання на момент t більше частки обсягу платоспроможного попиту в фонді споживання для базового періоду, то приріст грошових запасів буде величиною позитивною і більше величини відкладеного попиту. Якщо остання умова не виконується, то приріст грошовиих запасів буде менший, ніж величина відкладеного попиту.

3. Припустимо, що в економічній системі платоспроможний попит менше обсягу передбачуваних для споживання товарів і послуг, тоді S(t)=α*R (t), де α <1.

У відповідності з рівнянням (8.7) отримаємо:

Якщо частка доходів населення у фонді споживання, тобто величина буде перевищувати величину , то буде спостерігатися приріст грошових запасів населення. Якщо ж ця умова виконуватися не буде, то грошові запаси будуть скорочуватися, тобто .

4. Припустимо, що в економічній системі платоспроможний попит знаходиться в залежності не тільки від фонду споживання, а й від рівня цін. Можна допустити, що існує наступна залежність де α і β - деякі параметри, причому,

Виходячи з цієї формули, можна записати наступне:

Розглянемо випадок, коли , тобто платоспроможний попит перевищує рівень пропонованих для споживання товарів і послуг.

Тоді, вирішуючи рівняння (8.6), знаходимо вираз для динаміки рівня цін, отримаємо:

Динаміка необхідної для забезпечення грошової маси буде виглядати так:

Зміна величини грошових запасів у цьому випадку буде виглядати так:

Необхідно розглянути і випадок, коли , тоді вираз для зміни величини грошових запасів буде виглядати наступним чином:

При дослідженні величини у зазначеному випадку слід визначити величину Якщо частка доходів у фонді споживання більше величини то відзначається приріст грошових запасів населення, в іншому випадку грошові запаси населення будуть скорочуватися.

ВАРІАНТИ КОНТРОЛЬНОЇ РОЮБОТИ

Варіант 1.

1.Загальна економічна рівновага.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 2 p′′ – p′– p + 15, S = 3 p′′+ p′ + p + 5

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 6,

D(0) = S(0) = 10.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 2.

1.Принципи моделювання динамічних економічних процесів.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 3 p′′ – p′– p + 6, S = 6 p′′ + p′ + p + 4

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ – темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p (0) = 3,

D(0) = S(0) = 7.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 3.

1.Ряди економічної динаміки.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 4 p′′– p′– p + 11, S = 3 p′′ + p′ + p + 3

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни;

p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p (0) = 2,

D(0) = S(0) = 8.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 4.

1.Побудова трендових моделей динамічного ряду.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 1 p′′ – p′– p + 1, S = 6 p′′ + p′ + p + 3

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни;

p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p (0) = 4,

D(0) = S(0) = 6.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 5.

1.Аналіз динамічних рядів.Перевірка наявності тренда.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 2 p′′– p′– p + 12, S = 8 p′′ + p′ + p + 6

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p (0) = 2,

D(0) = S(0) = 9.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 6.

1. Найпростіша модель рівноваги.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 2 p′′– p′– p + 14, S = 3 p′′ + p′ + p + 1

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p (0) = 3,

D(0) = S(0) = 7.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 7.

1. Лінійні динамічні моделі.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 2 p′′– p′– p + 15, S = 3 p′′ + p′ + p + 2

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p (0) = 1,

D(0) = S(0) = 6.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 8.

1. Модель Домара.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 5 p′′ – p′– p + 14, S = 3 p′′ + p′ + p + 8

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p (0) = 5,

D(0) = S(0) = 3.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 9.

1. Модель Харрода.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 6 p′′– p′– p + 15, S = 4 p′′ + p′ + p + 1

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 4,

D(0) = S(0) = 10.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 10.

1. Модель Харрода-Домара.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 4 p′′ – p′– p + 10, S = 2 p′′ + p′ + p + 3

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p (0) = 3,

D(0) = S(0) = 10.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 11.

1.Макроекономічні виробничі функції.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 6 p′′ – p′– p + 10, S = 3 p′′ + p′ + p + 7

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 4,

D(0) = S(0) = 8.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 12.

1. Динамічна функція Кобба-Дугласа.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 8 p′′ – p′– p + 14, S = 5 p′′ + p′ + p + 5

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 8,

D(0) = S(0) = 4.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 13.

1.Неокласична модель Солоу.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 9 p′′ – p′– p + 12, S = 4 p′′ + p′ + p + 4

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 8,

D(0) = S(0) = 10.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 14.

1. Модель економічного циклу Хікса.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 6 p′′ – p′– p + 15, S = 2 p′′ + p′ + p + 5

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 7,

D(0) = S(0) = 10.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 15.

1. Динамічна модель Леонтьєва.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 4 p′′– p′– p + 15, S = 2 p′′ + p′ + p + 5

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 5,

D(0) = S(0) = 10.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 16.

1. Модель Неймана.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 7 p′′ – p′– p + 10, S = 4 p′′ + p′ + p + 2

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 1,

D(0) = S(0) = 9.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 17.

1. Динамічна модель Канторовича.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 3 p′′ –p′– p + 11, S = 8 p′′ + p′ + p + 5

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 4,

D(0) = S(0) = 1.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 18.

1.Моделі економічного зростання.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 1 p′′ – p′– p + 15, S = 2 p′′ + p′ + p + 5

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 6,

D(0) = S(0) = 7.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 19.

1.Перехідний режим у моделі Солоу.Золоте правило накопичення.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 9 p′′ – p′– p + 13, S = 6 p′′ + p′ + p + 5

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 8,

D(0) = S(0) = 4.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 20.

1.Нелінійні динамічні моделі.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 3 p′′ – p′– p + 15, S = 5 p′′ + p′ + p + 5

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 6,

D(0) = S(0) = 8.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 21.

1.Динамічні і статичні моделі.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 11 p′′ – p′– p + 15, S = 10 p′′ + p′ + p + 12

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 7,

D(0) = S(0) = 2.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 22.

1. Використання теорії різницевих рівнянь в економіці.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 2 p′′ – p′– p + 15, S = 3 p′′ + p′ + p + 5

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 6,

D(0) = S(0) = 10.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 23.

1.Виробничі функції.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 2 p′′ – p′– p + 15, S = 3 p′′ + p′ + p + 5

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 5,

D(0) = S(0) = 10.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 24.

1.Економічна система як об’єкт математичного аналізу складних систем.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 2 p′′– p′– p + 15, S = 3 p′′ + p′ + p + 5

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 2,

D(0) = S(0) = 3.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

Варіант 25.

1. Застосування диференціальних рівнянь в моделюванні економічних систем.

2.Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D = 2 p′′ – p′– p + 13, S = 5 p′′ + p′ + p + 5

де p — ціна на товар; p′ — тенденція формування ціни; p′′ — темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:

p(0) = 1,

D(0) = S(0) = 9.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

3. Знайти загальний розв’язок різницевого рівняння:.

4.ЛІТЕРАТУРА

4.1. Основні рекомендовані джерела

4.1.1. Антонова А.О. Математичні методи економічної динаміки. Дослідження лінійних моделей: навч.-метод. посіб. / А.О. Антонова. – К. : НАУ, 2008. – 60 с.

4.1.2. Аллен Р. Математическая экономия. – М.: ИЛ, 1963. – 667 с.

4.1.3. Замков О.О., Толстопятенко, Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. –М.: “ДИС”, 1997. – 368с.

4.1.4. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в экономической теории. – М.: Мир, 1999. – 335с.

4.1.5. Колемаев В.А. Математическая экономика. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 400с.

4.1.6. Shone R. Economic Dynamics. – CambridgeUniversity Press, 2002., 2nd ed. – 708р.

4.2. Додаткові рекомендовані джерела

4.2.1. Лысенко Ю.Г., Петренко В.Л., Тимохин В.Н., Филипппов А.В. Экономическая динамика: Уч.пособие; Донецкий гос.ун-т. – Донецк: ДонГУ, 2003. – 176 с.

4.2.2. Иванилов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. – М.: Наука, 1979. – 368с.

4.2.3. Кочура Є.В., Косарєв В.М. Моделювання макроекономічної динаміки. –К.: ЦНЛ, 2003. – 236с.

4.2.4. Кривцов О.С.., Бережний В.М., Онегіна В.М. Макроекономіка у запитаннях та відповідях. –К.: ЦНЛ, 2004. – 200с.

4.2.5. Вітлінський В.В. Моделювання економіки: Навч. посібник. – К: КНЕУ, 2003. – 408 с.

Математичні методи економічної динаміки НАУ

4.ЛІТЕРАТУРА

Комментарии