Математика

Математика 17.10.2016 11:54

КОНТРОЛЬНА РОБОТА №2

Зразок розв`язання і оформлення контрольної роботи №2

Варіант № 31

 

Завдання 1.31. Визначити ймовірності подій за класичною моделлю.
Група з 24 студентів, серед яких 5 відмінників, довільно розбивається порівну на дві підгрупи. Знайти ймовірність того, що три відмінники будуть у першій підгрупі (подія А).
Розв’язання. Будемо випадково відбирати 12 студентів у першу підгрупу. Побудуємо класичну модель досліду, в якому кожен випадок – це один із варіантів розподілу студентів. Якщо послідовність відбору не береться до уваги, то загальне число п випадків у такій моделі дорівнює числу різних комбінацій із 24 по 12:
.
Серед знайденого числа способів комплектування першої підгрупи знайдемо число варіантів т, сприятливих події А. Це такі варіанти, у яких 3 студенти взяті серед 5 відмінників, а решта 9 – серед 19 студентів, що не вчаться на відмінно. Число т знайдемо за комбінаторним принципом добутку
.
Тоді ймовірність попадання трьох відмінників у першу підгрупу обчислюється за класичною формулою:
.
Відповідь: 0,34.
Завдання 2.31. Імовірності суми й добутку подій
1). Серед семи виробів є три бракованих. Знайти ймовірність події А, яка полягає в тому, що один за одним без повернення будуть вийняті три вироби у такій послідовності: бракований – не бракований – бракований.
Розв’язання. Позначимо події: А1 – перший узятий виріб бракований; А2 – другий виріб не бракований; А3 – третій виріб бракований. Тоді ймовірність події А можна обчислити за теоремою множення ймовірностей:
.
Відповідь: 0,114.
2). Знайти ймовірність влучити в мішень принаймні один раз при трьох пострілах (подія А), якщо ймовірність влучити в мішень при першому пострілі (подія А1) становить 0,7, при другому (подія А2) – 0,8, при третьому (подія А3) – 0,85.
Розв’язання. Перейдемо до протилежної події – стрілець не влучив жодного разу в мішень із трьох пострілів (подія ). Тоді . Оскільки події , а разом з ними відповідні протилежні події – незалежні, то за наслідком теореми 1
(1– 0,7)(1– 0,8)(1– 0,85)=0,009,
звідки знайдемо ймовірність події А : .
Відповідь: 0,991.
Завдання 3.31. Функція розподілу неперервної випадкової величини має вигляд:
а) Знайти коефіцієнт A та зробити креслення ; б) записати та зробити креслення; в) обчислити числові характеристики та ; г) знайти ймовірність події .
Розв’язання. а) Функція розподілу випадкової величини неперервна, тому . Звідси маємо А=1. Отже, графік функції розподілу має вигляд (Рис. 2.1):

 

 

 

 

Рис.2.1

б) знайдемо за властивістю 2):
Графік щільності розподілу наведений на рис. 2.2:

 

 

 

Рис. 2.2

в) За формулами обчислимо числові характеристики:
.
= .
г) Використовуючи властивість щільності розподілу, одержимо :
P = .
Або
P = .
Відповідь: а) А=1; б) в)
г)
Завдання 4.31. Для даного варіанта задана вибірка
1, 3, 4, 5, 1, 3, 4, 3, 5, 1, 3, 4, 1, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3.
Потрібно:
1. Побудувати дискретний розподіл частот і відносних частот.
Варіаційний ряд вибірки має вигляд
1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5.
Обсяг вибірки становить , оскільки вона складається з 20 значень. У вибірці 4 варіанти: 1, 3, 4, 5. Порахуємо частоти, з якими варіанти входять у вибірку та запишемо дискретний розподіл частот вибірки:

1 3 4 5

4 8 6 2
Знайдемо відносні частоти:

Отже, розподіл відносних частот має вигляд:

1 3 4 5

0,2 0,4 0,3 0,1
Перевірка:
2. Побудувати полігон відносних частот дискретного розподілу.
Розв’язання. Для побудови полігону відносних частот скористаємося розподілом відносних частот

1 3 4 5

0,2 0,4 0,3 0,1
На площині зобразимо точки з координатами та з’єднаємо їх відрізками. Отримуємо шуканий полігон відносних частот.

3. Знайти емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік.
Розв’язання. Емпіричну функцію шукаємо за формулою. Обсяг вибірки: .
При оскільки найменша варіанта Тому
При лише варіанта причому Тому при .
При варіанти менші , причому . Тому при .
При варіанти менші , причому . Тому при .
При і отже
Таким чином емпірична функція розподілу має вигляд:

Побудуємо графік цієї функції.

4. Знайти точкові оцінки математичного сподівання і дисперсії генеральної сукупності.
Розв’язання. Незміщеною оцінкою генерального середнього є вибіркове середнє, що обчислюється за формулою:

1 3 4 5

4 8 6 2

.
Точковою зміщеною оцінкою є вибіркова дисперсія , яку обчислимо за формулою:


Точковою незміщеною оцінкою є виправлена вибіркова дисперсія, яку обчислюємо за формулою:
; .
5. Побудувати довірчий інтервал для оцінки з надійністю математичного сподівання та середнього квадратичного відхилення.
Розв’язання. Оскільки за умовою значення генерального середнього квадратичного відхилення невідоме, то довірчий інтервал для генерального середнього має вигляд:
.
Для побудови довірчого інтервалу для генерального середнього знайдемо .
За таблицею (дод. 3) для розподілу Стьюдента за заданою надійністю γ = 0,95 і знаходимо значення tγ = 2,093. Обчислимо кінці довірчого інтервалу, якщо , , :
;
.
Отже, з надійністю 0,95 оцінюваний параметр покривається інтервалом .
Для побудови довірчого інтервалу для генерального середнього квадратичного відхилення обчислимо значення за таблицею (дод. 4): . Оскільки , то довірчий інтервал має вигляд: < σ < .
Визначимо кінці інтервалу:
;
.
Отже, довірчим інтервалом для σ з надійністю γ = 0,95 є інтервал .

 

Завдання 5.31. Знайти оптимальний план перевезень транспортної задачі.

Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

7
110 12
70 4 8 5 180

1 8
20 6
120 5
80 3
130 350

6 13 8 7 4
20 20
Потреби 110 90 120 80 150

Розв’язання. Задача закритого типу. Опорний план знайдемо методом північно-західного кута.

Запаси

7
110 12
70 4 8 5 180

1 8
20 6
120 5
80 3
130 350

6 13 8 7 4
20 20
Потреби 110 90 120 80 150 550
Допустимий план знайдено:

Кількість базисних змінних дорівнює m+n–1=7.
Методом потенціалів перевіряємо допустимий план на оптимальність.





αi

7
110 12
70 - 10 4
+ 9 8 7 5 0

3 1 8
20 + 6
120 - 5
80 3
130 -4

4 6 9 13 7 8 6 7 4
20 -3
βj 7 12 10 9 7

αi

7
110 - 6 12 4
70 + 3 8 1 5 0

9 1
+ 8
90 6
50 - 5
80 3
130 2

1 6 9 13 7 8 6 7 4
20 3
βj 7 6 4 3 1

αi

7
60 - 14 12 4
120 11 8
+ 3 5 0

1
50 + 8
90 -2 6 5
80 - 3
130 -6

2 6 9 13 -1 8 6 7 4
20 -5
βj 7 14 4 11 9

 

αi

4 7 11 12 4
120 8
60 - 6 5
+ 0

1
110 8
90 1 6 5
20 + 3
130 - -3

2 6 9 13 2 8 6 7 4
20 -2
βj 4 11 4 8 6

αi

3 7 10 12 4
120 7 8 5
50 0

1
110 8
90 2 6 5
80 3
70 -2

2 6 9 13 3 8 6 7 4
20 -1
βj 3 10 4 7 5

План є оптимальним.

 

Відповідь:

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ №2

2.1. Визначити ймовірності подій за класичною моделлю

2.1.1. Серед 25 фірм, з яких 10 українських, а інші російські, розігрується 5 урядових контрактів. Вважається, що кожна фірма має рівні шанси на отримання контракту. Знайти ймовірність того, що принаймні дві українські фірми виграють контракт.
2.1.2. У фірмі десять співробітників (6 чоловіків і 4 жінки) претендують на заняття трьох вакансій. Вважаємо, що всі кандидатури мають рівні шанси на заняття цих вакансій. Знайти ймовірність того, що жінки не займуть жодної вакансії.
2.1.3. В авіакасу звернулися 3 транзитні пасажири, кожен з яких може з однаковою ймовірністю замовити квиток на один із 6 рейсів, що виконуються протягом доби до аеропорту N. Знайти ймовірність того, що всі пасажири замовлять квитки на один і той самий рейс.
2.1.4. Комплект містить 6 виробів з номерами від 1 до 6. Випадковим способом із комплекту виймають усі вироби по одному. Знайти ймовірність того, що номери виробів розташуються в зростаючому порядку.
2.1.5. Серед 15 фірм, з яких 5 українських, а інші російські, розігрується 2 урядових контракти. Вважається, що кожна фірма має рівні шанси на отримання контракту. Знайти ймовірність того, що принаймні одна українська фірма виграє контракт.
2.1.6. У групі з 12 бізнесменів тільки 8 мають досвід роботи у запропонованій новій галузі. Для проекту треба відібрати 4 чоловіки. В припущенні, що відбір претендентів ведеться навмання, знайти ймовірність того, що в команду з чотирьох чоловік потраплять всі, хто має досвід роботи.
2.1.7. Шість літаків, серед яких два В-747, після посадки в аеропорту розставлені випадковим способом в один ряд на шести стоянках. Знайти ймовірність того, що літаки В-747 будуть на сусідніх стоянках.
2.1.8. Комплект містить 7 виробів 1-го сорту, 6 – 2-го сорту і 2 вироби – 3-го сорту. Випадковим способом з комплекту відбирають 5 виробів. Знайти ймовірність того, що серед них не виявиться виробів 3-го сорту.
2.1.9. У касі куплено 5 авіаквитків для п'яти пасажирів і випадковим способом роздано їм. Знайти ймовірність того, що: а) усі пасажири одержали свої квитки; б) тільки 4 пасажири одержали свої квитки.
2.1.10. З 15 рейсів, що виконуються з аеропорту протягом доби, 60% рейсів виконуються на власному літаковому парку. Знайти ймовірність того, що з вибраних навмання п'яти рейсів рівно три виконуються на власному парку.
2.1.11. Технічне обслуговування кожного з літаків, що прибувають в аеропорт, виконується окремою бригадою. Усього в аеропорту працює 3 бригади, які випадковим способом призначаються на обслуговування 5 літаків, які прибули в аеропорт. Знайти ймовірність того, що будуть обслуговані 3 літаки, що прибули першими.
2.1.12. З десяти літаків, що прибувають в аеропорт протягом доби, 80% мають повне комерційне завантаження. Знайти ймовірність того, що серед п‘яти випадковим способом узятих літаків тільки чотири мають повне завантаження.
2.1.13. 12 виробів, серед яких чотири нестандартних, випадковим способом розбиваються на дві рівні партії. Знайти ймовірності того, що: а) у кожній партії буде рівне число нестандартних виробів; б) усі нестандартні вироби будуть в одній партії.
2.1.14. У групі з 10 бізнесменів тільки 6 мають досвід роботи у запропонованій новій галузі. Для проекту треба відібрати 4 чоловіки. В припущенні, що відбір претендентів ведеться навмання, знайти ймовірність того, що в команду з чотирьох чоловік потраплять два чоловіка, які мають досвід роботи.
2.1.15. Сім літаків, серед яких два В-737, прибули в аеропорт і були розміщені випадковим способом на 10 стоянках, розташованих в один ряд. Знайти ймовірність того, що літаки В-737 зайняли сусідні стоянки.
2.1.16. У конкурсі газети бере участь 12 чоловіків та 8 жінок. Є два призових місця. Яка ймовірність того, що обидва місця займуть жінки?
2.1.17. В авіакасі було 15 квитків, серед яких 6 квитків – до пункту А. До кінця зміни продано 8 квитків. Знайти ймовірність того, що в касі не залишилося квитків до пункту А, якщо ймовірність продажу кожного квитка однакова.
2.1.18. Комплект містить 10 виробів, 5 з яких коштують по 4 гривні кожний, 3 – по 2 гривні і 2 – по 3 гривні. Знайдіть імовірність того, що узяті навмання два вироби коштують 6 гривень.
2.1.19. Після посадки п'яти літаків, серед яких два В-747, вони були розставлені випадково в один ряд на 8 стоянках. Знайти ймовірність того, що літаки В-747 займуть крайні стоянки.
2.1.20. У конкурсі газети бере участь 5 чоловіків та 7 жінок. Є два призових місця. Яка ймовірність того, що обидва місця займуть чоловіки?
2.1.21. Комплект містить 5 виробів першого сорту, 4 – другого і 3 вироби – третього сорту. Знайти ймовірність того, що два випадково узяті вироби будуть одного сорту.
2.1.22. Шість пасажирів придбали квитки на літак в одному ряді крісел із шести місць і випадковим способом зайняли ці місця. Знайти ймовірність того, що кожний пасажир зайняв своє крісло.
2.1.23. Партія містить 6 виробів першого сорту, 4 вироби другого і 2 вироби третього сорту. Навмання відбирається 5 виробів. Знайти ймовірність того, що серед них буде 3 вироби першого сорту.
2.1.24. В авіакасу звернулися 3 транзитні пасажири, кожен з яких з однаковою ймовірністю може замовити квиток на один із 6 рейсів, що виконуються до аеропорту А протягом доби. Знайдіть імовірність того, що всі пасажири замовили квитки на різні рейси.
2.1.25. Партія з 30 виробів містить 10% браку. Знайти ймовірність того, що серед семи виробів, узятих випадково: а) тільки 2 бракованих; б) немає бракованих.
2.1.26. Комплект містить 12 виробів, 5 з яких коштують по 3 гривні кожний, інші – по 1 гривні. Знайдіть імовірність того, що взяті навмання 4 вироби коштують разом 10 гривень.
2.1.27. У касі придбано 5 квитків для п'яти пасажирів і випадковим способом роздано їм. Знайдіть імовірність того, що тільки 3 пасажири одержали свої квитки.
2.1.28. Комплект із 40 виробів містить 30% нестандартних виробів, серед яких 50% – браковані. Знайти ймовірність того, що серед узятих випадковим способом чотирьох виробів: а) один бракований; б) усі браковані.
2.1.29. До аеропорту прибув літак із шестизначним бортовим номером. Знайти ймовірність того, що цей номер складається: а) з різних цифр; б) з трьох різних пар цифр.
2.1.30. Шість пасажирів придбали квитки на літак в одному шестимісному ряді крісел і випадковим способом зайняли місця. Знайдіть імовірність того, що:
а) кожен із пасажирів зайняв своє місце; б) тільки два пасажири зайняли свої місця.
Завдання 2. Імовірності суми й добутку подій
2.2.1. З аеропорту протягом доби виконуються 3 рейси. Імовірність повного комерційного завантаження для першого рейса дорівнює 0,9, для другого й третього рейсів – 0,7 і 0,8 відповідно. Знайти ймовірності того, що з повним завантаженням будуть виконані тільки два рейси.
2.2.2. Фірма має можливість отримати два контракти. Імовірність отримання першого контракту дорівнює 0,9, а другого – 0,8. Вважаючи ці події незалежними, знайти ймовірності подій: а) фірма отримає обидва контракти; б) фірма отримає принаймні один контракт.
2.2.3. Надійність лінії зв'язку між об'єктами (імовірність безвідмовної роботи за певний час) дорівнює 0,75. Для підвищення якості зв'язку встановлена резервна лінія з надійністю 0,65. Визначити надійність зв'язку з резервною лінією.
2.2.4. Через метеорологічні умови літак було відправлено на запасний аеродром, при наближенні до якого на борту літака залишалося палива на 3 заходи на посадку. Імовірність посадки літака при першому заході дорівнює 0,8, при другому – 0,95, при третьому – 0,995. Знайти ймовірність благополучної посадки літака.
2.2.5. Є 8 кандидатів на одержання роботи. Серед них є люди з відповідною кваліфікацією (подія А) і люди, що закінчили економічний факультет (подія В), а також інші. Їхні кількості подані таблицею.

А
Усього
В 1 3 4

2 2 4
Усього 3 5 8

Всі кандидати мають рівні шанси на отримання роботи. Знайти ймовірність того, що роботу отримає людина без кваліфікації, яка закінчила економічний факультет.
2.2.6. Група з 15 студентів, серед яких 6 відмінників, випадковим способом розбивається на 3 підгрупи по 5 чоловік. Знайти ймовірність того, що в кожній підгрупі буде по 2 відмінники.
2.2.7. Три російські фірми та дві українські беруть участь у конкурсі на одержання контракту. Імовірність одержання контракту у всіх фірм однакова. За умовами фірма може одержати не більше одного контракту. Знайти ймовірність того, що контракт одержала одна з українських фірм.
2.2.8. Аеропорт протягом доби виконує 3 рейси до міста А. Імовірність затримки першого рейса через метеоумови дорівнює 0,05, другого – 0,1, третього – 0,15. Знайти ймовірність того, що: а) тільки 2 рейси будуть відправлені із затримкою; б) усі рейси будуть відправлені вчасно.
2.2.9. Імовірність виготовлення виробу вищого сорту на першому верстаті становить 0,7, на другому – 0,8. На першому верстаті виготовлені 2 вироби, на другому – 3. Знайти ймовірність того, що всі вироби належать до вищого сорту.
2.2.10. Відомо, що в деякому регіоні 40 % компаній мають у штаті юриста і 80 % компаній мають у штаті економіста. Вважаємо, що ці події незалежні. Знайти ймовірність того, що фірма має в штаті економіста і юриста.
2.2.11. Є два ринки цінних паперів. Фірма направила на обидва ринки 260 акцій водночас різноманітної якості. У визначений день на першому ринку зросли ціни 197 акцій (подія А), а на другому ринку зросли ціни 191 акції (подія В). Одночасно на обох ринках зросли ціни 165 акцій. Інші акції не піднялися в ціні. Результати торгів наведені в таблиці.

А
Разом
В 165 191


Разом 197 260

Заповнити порожні місця в таблиці. Знайти ймовірність того, що зросла ціна акцій на першому ринку, якщо відомо, що зросла ціна акцій на другому ринку.
2.2.12. На фірмі було опитано 100 службовців із метою вивчення стану транспортного обслуговування. Виявилося, що 70 чоловік користуються метро (подія А). Іншими видами транспорту користується 40 чоловік (подія В), а 20 чоловік одночасно користуються метро та іншими видами транспорту. Дані опитування занесені у таблицю.

А
Разом
В 20 40


Разом 70 100

Заповнити порожні місця в таблиці. Знайти ймовірність того, що людина користується метро або іншими видами транспорту.
2.2.13. Радіостанція аеропорту надсилає 3 повідомлення для літака. Імовірність прийому літаком першого повідомлення дорівнює 0,6; другого – 0,65; третього – 0,7. Знайти ймовірність того, що літаком прийняті: а) тільки два повідомлення; б) усі три повідомлення.
2.2.14. З опитаних бізнесменів 80 % віддають перевагу зберігати гроші в банку (подія А), 60 % вкладає гроші в цінні папери (подія В), 50 % одночасно тримають гроші в банку та у вигляді цінних паперів. Результати опитування подані таблицею
А
Разом
В 0,5 0,6


Разом 0,8 1

Заповнити таблицю до кінця. Знайти ймовірність того, що навмання обраний бізнесмен тримає гроші в банку або у вигляді цінних паперів.
2.2.15. З аеропорту протягом доби виконуються 3 рейси. Імовірність повного комерційного завантаження для першого рейса дорівнює 0,95; для другого – 0,9; для третього – 0,85. Знайти ймовірність того, що з повним комерційним завантаженням буде виконано хоча б один рейс.
2.2.16. Імовірність того, що продавець, який продає товар по телефону, продасть свій товар дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що два дзвінки за день будуть успішними.
2.2.17. Власник кафе звернув увагу на те, що 75 % відвідувачів беруть після обіду десерт, 60 % – соки, 40 % – і те, і інше. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний відвідувач, який замовив десерт, візьме ще і сік.
2.2.18. Менеджером з’ясовано, що 40 % співробітників чудово справляються зі своєю роботою, 30 % активно використовують в своїй роботі комп’ютер, 20 % задовольняють обом вимогам. Знайти ймовірність того, що навмання обраний співробітник, використовує комп’ютер при умові, що відмінно справляється зі своєю роботою.
2.2.19. Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб виявиться першосортним, якщо 4% усіх виробів є браком, а першосортні вироби складають 75% від усіх не бракованих.
2.2.20. Комплект, який містить 10 виробів, підлягає вибірковому контролю: із комплекту навмання один за одним виймають і перевіряють 4 вироби. Умовою приймання комплекту є доброякісність усіх відібраних виробів. Знайти ймовірність того, що комплект буде прийнято, якщо він містить 10% браку.
2.2.21. Диспетчер керує двома літаками, що заходять на посадку з різних коридорів. Імовірність посадки літака без відходу на друге коло з першого коридору дорівнює 0,95, а з другого – 0,92. Знайти ймовірність того, що: а) обидва літаки зроблять посадку без відходу на друге коло; б) один літак піде на друге коло; в) хоча б один літак піде на друге коло.
2.2.22. З аеропорту А виконуються щодоби 3 рейси до аеропорту В. Імовірність придбати квиток на перший рейс дорівнює 0,85; на другий – 0,9; на третій – 0,95. Замовлено квитки на кожний рейс. Знайти ймовірність одержання квитка: а) тільки на один рейс; б) на два рейси; в) принаймні на один рейс.
2.2.23. З опитаних бізнесменів 90 % віддають перевагу зберігати гроші в банку (подія А), 70 % вкладає гроші в цінні папери (подія В), 50 % одночасно тримають гроші в банку та у вигляді цінних паперів. Результати опитування подані таблицею
А
Разом
В 0,5 0,7


Разом 0,9 1

Заповнити таблицю до кінця. Знайти ймовірність того, що навмання обраний бізнесмен не тримає гроші в банку за умови, що він не тримає цінних паперів.
2.2.24. Є 10 кандидатів на одержання роботи. Серед них є люди з відповідною кваліфікацією (подія А) і люди, що закінчили економічний факультет (подія В), а також інші. Їхні кількості подані таблицею.

А
Усього
В 1 4 5

2 3 5
Усього 3 7 10

Всі кандидати мають рівні шанси на отримання роботи. Знайти ймовірність того, що роботи отримає людина, яка закінчила економічний факультет, але без кваліфікації.
2.2.25. З аеропорту протягом дня виконують 3 рейси. Імовірність затримки через метеоумови для першого рейса дорівнює 0,1, для другого – 0,15, для третього – 0,2. Знайти ймовірність того, що із затримкою буде відправлений:
а) тільки один рейс; б) хоча б один рейс.
2.2.26. Є два ринки цінних паперів. Фірма направила на обидва ринки 200 акцій водночас різноманітної якості. У визначений день на першому ринку зросли ціни 180 акцій (подія А), а на другому ринку зросли ціни 100 акції (подія В). Одночасно на обох ринках зросли ціни 80 акцій. Інші акції не піднялися в ціні. Результати торгів наведені в таблиці.

А
Разом
В 80 100


Разом 180 200

Заповнити таблицю до кінця. Знайти ймовірність того, що зросла ціна акцій на другому ринку, якщо відомо, що зросла ціна акцій на першому ринку.
2.2.27. Менеджер встановив, що 50 % співробітників чудово справляються зі своєю роботою, 20 % активно використовують в своїй роботі комп’ютер, 10 % задовольняють обом вимогам. Знайти ймовірність того, що навмання обраний співробітник, не використовує комп’ютер при умові, що відмінно справляється зі своєю роботою.
2.2.28. Комплект містить 15 виробів, серед яких 6 – нестандартних. З комплекту відбираються випадковим способом три рази по 3 вироби без повернення. Знайти ймовірність того, що після цього в комплекті залишаться лише нестандартні вироби.
2.2.29. В одному з комплектів є 5 виробів першого сорту, 11 виробів другого сорту і 8 – третього сорту; а в другому – відповідно 10, 8 і 6 виробів. З обох комплектів навмання виймається по одному виробу. Знайдіть імовірність того, що будуть вийняті вироби одного сорту.
2.2.30. Відділ технічного контролю перевіряє вироби. Імовірність того, що виріб виявиться стандартним, дорівнює 0,9. Знайдіть імовірність того, що: а) із трьох перевірених виробів тільки один буде нестандартним; б) четвертий з перевірених виробів виявиться нестандартним.

Завдання 3. Задана функція розподілу неперервної випадкової величини . Знайти коефіцієнт А; записати щільність розподілу ; обчислити числові характеристики , а також ймовірність події . Зробити креслення функції розподілу та щільності розподілу.

№

2.3.1

0,25
0,75

2.3.2

1

2

2.3.3

0,5
1,5

2.3.4

0,3
0,8

2.3.5

0,2
3,5

2.3.6

0,1
0,4.

2.3..7

3
5

2.3.8

–0,5
1,5

2.3.9

1

2.3.10

0,2
1,7

2.3.11

0,3
1,2

2.3.12

2,5
3,5

2.3.13

0,5
1,5

2.3.14
0 0,5

2.3.15

–1
1

2.3.16

 

 

2.3.17

0

2.3.18
–1 1

2.3.19

 

2.3.20

0,1
0,3

2.3.21

2
10

2.3.22

–0,5

0,5

2.3.23

0

1,5

2.3.24

–

0

 

2.3.25

 

–2

0,5

2.3.26

1,5

3

2.3.27

0

2.3.28

2
10

2.3.29

0,3
0,8

2.3.30

–

 

Завдання 4. Задано інтервальний розподіл частот. Потрібно:
1. Побудувати дискретний розподіл частот і відносних частот.
2. Побудувати полігон відносних частот дискретного розподілу.
3. Знайти емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік.
4. Знайти точкові оцінки математичного сподівання і дисперсії генеральної сукупності.

2.4.1 Інтервал 4,0 4,2
4,2 4,4
4,4 4,6
4,6 4,8
4,8 5,0

14 16 40 14 12
2.4.2 Інтервал 60 64
64 68
68 72
72 76
76 80

4 6 20 4 2
2.4.3 Інтервал 10 14
14 18
18 22
22 26
26 30

14 16 40 14 12
2.4.4 Інтервал 10 14
14 18
18 22
22 26
26 30

8 14 20 32 6
2.4.5 Інтервал 0,36 0,38
0,38 0,4
0,4 0,42
0,42 0,44
0,44 0,46

4 6 20 4 2
2.4.6 Інтервал 160 164
164 168
168 172
172 176
176 180

4 6 20 4 2
2.4.7 Інтервал 0 10
10 20
20 30
30 40
40 50

40 30 20 6 4
2.4.8 Інтервал 80 96
96 112
112 128
128 144
144 160

14 16 40 14 12
2.4.9 Інтервал 46 52
52 58
58 64
64 70
70 76

18 12 6 2 2
2.4.10 Інтервал 0 24
24 48
48 72
72 96
96 120

1 2 4 6 12
2.4.11 Інтервал 80 90
90 100
100 110
110 120
120 130

2 14 60 20 4
2.4.12 Інтервал 44 46
46 48
48 50
50 52
52 54

32 20 16 5 2
2.4.13 Інтервал 0 8
8 16
16 24
24 32
32 40

40 30 20 8 2
2.4.14 Інтервал 80 96
96 112
112 128
128 144
144 160

4 6 8 5 2
2.4.15 Інтервал 2,4 2,6
2,6 2,8
2,8 3,0
3,0 3,2
3,2 3,4

5 8 9 5 1
2.4.16 Інтервал 8 16
16 24
24 32
32 40
40 48

10 15 20 25 20
2.4.17 Інтервал 60 70
70 80
80 90
90 100
100 110

4 6 20 4 2
2.4.18 Інтервал 0 4
4 8
8 12
12 16
16 20

2 5 7 11 15
2.4.19 Інтервал 42 62
62 82
82 102
102 122
122 142

2 4 5 9 5
2.4.20 Інтервал 0 2,4
2,4 4,8
4,8 7,2
7,2 9,6
9,6 12,0

10 16 24 40 32
2.4.21 Інтервал 54 58
58 62
62 66
66 70
70 74

8 14 20 32 11
2.4.22 Інтервал 5,8 6,8
6,8 7,8
7,8 8,8
8,8 9,8
9,8 10,8

40 30 20 6 4
2.4.23 Інтервал 6,8 7,2
7,2 7,6
7,6 8,0
8,0 8,4
8,4 8,8

10 20 30 25 5
2.4.24 Інтервал 1,5 2,5
2,5 3,5
3,5 4,5
4,5 5,5
5,5 6,5

30 35 40 48 52
2.4.25 Інтервал 1,0 1,6
1,6 2,2
2,2 2,8
2,8 3,4
3,4 4,0

5 15 20 25 30
2.4.26 Інтервал 52 62
62 72
72 82
82 92
92 102

2 14 60 20 4
2.4.27 Інтервал 0 4
4 8
8 12
12 16
16 20

32 20 16 5 2
2.4.28 Інтервал 1,0 1,5
1,5 2,0
2,0 2,5
2,5 3,0
3,0 3,5

40 30 20 8 2
2.4.29 Інтервал 10 20
20 30
30 40
40 50
50 60

2 5 13 16 25
2.4.30 Інтервал 0 24
24 48
48 72
72 96
96 120

2 4 6 12 16

Завдання 5. Знайти оптимальний план перевезень транспортної задачі.

2.5.1.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

7 8 4 5 450

3 9 7 4 250

4 6 5 8 300
Потреби 220 480 100 200
2.5.2.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

7 8 1 2 160

4 5 9 8 140

9 2 3 6 170
Потреби 120 50 190 110

2.5.3.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

2 4 7 9 200

5 1 8 12 270

11 6 4 3 130
Потреби 120 80 240 160
2.5.4.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

1 2 4 1 50

2 3 1 5 30

3 2 4 4 10
Потреби 30 30 10 20
2.5.5.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

11 7 4 6 340

3 9 6 5 270

7 4 5 8 390
Потреби 210 400 170 220
2.5.6.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

6 9 4 5 460

4 10 3 6 210

7 5 6 8 330
Потреби 290 380 180 150
2.5.7.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

9 8 3 7 370

6 10 5 4 290

3 7 6 8 240
Потреби 210 450 100 140
2.5.8.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

7 10 5 3 400

6 9 4 6 270

4 7 5 8 330
Потреби 220 450 190 140
2.5.9.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

9 4 5 6 210

7 10 3 7 430

6 4 5 8 360
Потреби 370 270 160 200
2.5.10.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

6 10 5 6 390

3 9 4 5 180

5 4 7 8 430
Потреби 260 310 190 240
2.5.11.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

9 8 3 6 410

4 7 6 3 270

5 4 7 10 320
Потреби 230 450 120 200
2.5.12.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

6 10 5 7 320

4 8 3 5 270

5 7 6 9 410
Потреби 200 390 170 240
2.5.13.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

10 7 4 6 460

3 9 5 4 180

6 7 3 8 360
Потреби 210 430 120 240
2.5.14.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

7 9 5 4 410

6 10 7 5 210

5 3 6 9 380
Потреби 280 340 160 220
2.5.15.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

9 8 5 6 370

6 10 3 4 240

5 6 7 9 390
Потреби 420 190 230 160
2.5.16.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

7 9 3 6 250

5 10 5 7 360

3 8 4 8 290
Потреби 380 230 100 190
2.5.17.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

10 7 5 6 280

3 8 4 5 180

4 7 6 9 440
Потреби 200 260 120 320
2.5.18.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

8 10 5 7 330

4 9 4 3 190

3 7 6 8 380
Потреби 240 280 210 170
2.5.19.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

7 9 5 3 270

4 10 6 4 210

5 3 7 8 420
Потреби 160 320 290 130
2.5.20.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

9 8 7 3 410

4 10 6 7 210

6 5 4 8 380
Потреби 370 250 200 180
2.5.21.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

7 9 6 5 380

3 8 4 6 220

4 5 7 9 400
Потреби 290 310 180 220
2.5.22.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

8 9 6 4 280

3 7 4 5 220

4 5 3 9 350
Потреби 190 310 170 180
2.5.23.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

10 7 4 6 360

5 8 3 7 220

4 6 5 9 420
Потреби 190 390 270 150
2.5.24.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

9 8 5 6 410

3 10 7 4 160

4 5 6 9 430
Потреби 260 310 190 240
2.5.25.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

10 8 6 5 180

4 9 7 3 320

3 6 9 8 400
Потреби 270 230 160 240
2.5.26.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

8 9 3 5 430

4 8 7 3 170

5 6 4 9 400
Потреби 270 330 110 290
2.5.27.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

10 8 6 4 330

6 9 7 3 170

5 6 8 9 300
Потреби 290 210 100 200
2.5.28.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

7 9 4 5 360

4 8 7 6 140

3 6 7 9 400
Потреби 220 280 210 190
2.5.29.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

7 8 6 5 250

4 9 7 3 150

3 6 5 8 400
Потреби 180 220 240 160
2.5.30.
Пункти відправлення Пункти призначення Запаси

9 7 6 4 250

5 8 3 6 400

6 4 7 9 350
Потреби 370 280 160 190