МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ  УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

 

До друку та в світ

дозволяю на підставі

«Єдиних правил»,

п.2.6.14

Заступник першого проректора-                      В.Б. Юскаєв

начальник організаційно-методичного

управління

2717 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичного заняття на тему

“ Методи Монте-Карло ”

 

з дисципліни „Методологія та організація наукових досліджень”

для магістрів  факультету електроніки та інформаційних технологій

 

Усі цитати, цифровий,

фактичний матеріал

та бібліографічні                             

відомості перевірені,                                  

запис одиниць                                 

відповідає                                        

стандартам

 

Укладач                                                         В.В.Авраменко

                                                                  

Відповідальний за випуск                          А.С. Довбиш

Декан факультету електроніки

та інформаційних технологій                    С. І. Проценко

 

Суми

Видавництво СумДУ

2009

 

Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет

 

 

 

 

 

 

 

 

 2717 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичного заняття на тему

“Методи  Монте-Карло ”

 

з дисципліни "Методологія та організація наукових досліджень ”

для магістрів  факультету електроніки та інформаційних технологій

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Суми

Видавництво СумДУ

2009

 

Методичні вказівки до практичних занять на тему “Методи Монте-Карло ” / Укладач В.В.Авраменко. – Суми: Вид-во СумДУ, 2009. - 11 с.

 

            Кафедра інформатики

 

Зміст

                                                                                                        С.

1 Мета роботи_ 4

2 Постановка задачі 4

3 Загальні вказівки_ 4

4 Послідовність дій при обчисленні k- вимірного інтеграла_ 7

5 Порядок виконання роботи_ 8

6 Зміст звіту 9

7 Контрольні запитання_ 9

8 Варіанти завдань 9

Список літератури_ 11

 

 

1 МЕТА РОБОТИ

Ознайомлення студентів із методами статистичних випробувань (методами Монте-Карло).

 

2 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

 Скласти блок-схему алгоритму та комп’ютерну програму для наближеного обчислення k- кратного інтеграла методами Монте-Карло. Варіант завдання одержати у викладача.

 

3 ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ

Монте-Карло - це чисельні методи наближеного рішення задач за допомогою моделювання випадкових чисел.

Приклад. Припустимо, потрібно обчислити площу S плоскої фігури складної форми. Впишемо її всередину одиничного квадрата і виберемо в ньому N випадкових точок. Очевидно, імовірність того, що яка-небудь випадкова точка потрапить усередину фігури, пропорційна частці її площі від площі квадрата. Таким чином, якщо n- число випадкових точок, що потрапили усередину фігури, то її площа приблизно  дорівнює  n/N .

Якщо ж плоску фігуру вписати усередину прямокутника, представленого в системі координат  , де  і , то приблизно площа дорівнює

- (частка  від площі  прямокутника).

Похибка обчислень методами Монте-Карло пропорційна , де  - деяка постійна; N - число випробувань. Із цього виразу  видно, що для зменшення похибки в 10 разів, число випробувань N варто збільшити в 100 разів.

Методи Монте-Карло особливо ефективні при рішенні задач, що допускають відповідь із похибкою 5-10%. Зокрема, їх застосовують для одержання шляхом моделювання статистичних характеристик процесів, що протікають в об'єктах, на які діють випадкові впливи. Використовуються ці методи: і для рішення задач, не пов'язаних з випадковими факторами. Прикладом такої задачі є обчислення кратних інтегралів.

Нехай потрібно обчислити k - кратний інтеграл

.

Число J є k - вимірний об'єм прямого циліндроїда, побудованого на основі  і обмеженого зверху поверхнею  .

Для k=2 об'єм J дорівнює добутку площі S основи  (області інтегрування) на середнє значення висоти .

Нехай , де i=1,2…k... Впишемо область інтегрування усередину k-вимірного паралелепіпеда  з  довжинами  сторін

, і візьмемо всередині нього N випадкових точок. Очевидно, що приблизно k - вимірна площа дорівнює

,

де n - число точок, що потрапили в область інтегрування.

Для визначення   необхідно обчислювати значення  функції під інтегралом для всіх тих точок, які попадають в область інтегрування. Тоді

 .

            У  результаті вираз для обчислення  інтеграла  має вигляд

.

Вибирають випадкові точки за допомогою генераторів випадкових чисел із рівномірним законом розподілу на інтервалі від 0 до 1. Комп'ютер генерує так звані псевдовипадкові  числа.

Щоразу, коли потрібно одержати значення псевдовипадкового числа R на інтервалі (0 , 1) з рівномірним законом розподілу, викликається стандартна підпрограма або функція.

Конкретно:

для Турбо-Паскаля R:=random;

для Cі   R=random (32767)/32767.  ;

Одержавши псевдовипадкове число 0<R <1 , його підставляють у вираз  і знаходять значення координати з рівномірним законом розподілу вже на інтервалі . Оскільки

 j = 1, 2, ...k,  то для одержання координат однієї випадкової точки в k- вимірному просторі необхідно k раз звертатися до генератора псевдовипадкових чисел. Координати отриманої точки задовольняють умовам . Однак потрібно ще переконатися, що точка потрапила в область інтегрування.

Наприклад, нехай .

Тут  ; ; .

Після одержання   та ,

де - значення псевдо випадкових чисел, варто перевірити умову     потрапляння точки з координатами  в область інтегрування.

4 ПОСЛІДОВНІСТЬ ДІЙ ПРИ ОБЧИСЛЕННІ K- ВИМІРНОГО ІНТЕГРАЛА

1 Ввести  число випробувань N, кратність k інтеграла, нижні  і  верхні  межі координат (i=1,2,…k)...

2 Присвоїти  нуль змінній, що позначає суму значень підінтегральної функції  (S = 0).

3 Установити номер випробування j= 1 (початок циклу по j).

4 Установити номер  координати  i= 1,  яка генерується.

5 Звернутися до функції для одержання значення псевдовипадкового  числа R на інтервалі (0 , 1) з рівномірним законом розподілу.

6  Обчислити  .

7 Збільшити i на 1.

8 Якщо , то перейти  до п.5. Інакше-до п.9.

9 Перевірити, чи потрапила точка в область інтегрування. Якщо потрапила, то  перейти до п.10. Інакше - до  п. 12.

10 Обчислити значення  підінтегральної функції.

11 Присвоїти  .

12 Збільшити j на 1.

13 Якщо ,  то перейти  до п.4. Інакше - до п.14.

14Обчислити наближене значення J  інтеграла

.

15 Вивести  на екран значення J.

 

5 ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

 

1 Одержати варіант завдання.

2 Скласти блок-схему програми.

3 Скласти комп’ютерну  програму.

4 Ввести програму  і налагодити її при невеликій кількості статистичних випробувань.

5 Одержати наближені значення інтеграла при різних значеннях N.

 

6 ЗМІСТ ЗВІТУ

1 Постановка задачі.

2 Таблиця символічних імен.

3 Блок-схема програми.

4 Текст програми.

5 Результати, отримані методом Монте-Карло при різних кількостях статистичних випробувань.

6 Висновки.

 

7 КОНТРОЛЬНІ  ЗАПИТАННЯ

 

1 Дати визначення методів Монте-Карло.

2 Які задачі ефективно вирішуються методами Монте-Карло?

3 Як залежить похибка обчислення від кількості статистичних випробувань?

4 Яким чином обчислюються інтеграли методом Монте-Карло?

 

8 ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ

 

Обчислити  значення таких  кратних  інтегралів методом  Монте-Карло:

 

1  . Відповідь:  при a=1.

2  . Відповідь:  при a=1.

3  . Відповідь: .

4  . Відповідь .

5  . Відповідь: .

6  . При a=2, відповідь  .

7  . При a=1, відповідь  .

8  . Відповідь: .

9  .Відповідь .

10  . Відповідь .

11  .

12  .

13  .

14  .

15  .

16  .

17  .

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. - М.: Наука, 1985р. .
2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Учебник для вузов. -М. : Высш. шк. ,  1985г.
3. Зеленський К.Х., Ігнатенко В. Н., Коц О.П. Комп'ютерні методи прикладної математики. – К. : Академперіодика,2002

.