МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ  УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

 

До друку та в світ

дозволяю на підставі

«Єдиних правил»,

п.2.6.14

Заступник першого проректора-                      В.Б. Юскаєв

начальник організаційно-методичного

управління

2719 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичного заняття на тему

“ Метод статистичного моделювання ”

з дисципліни „Методологія та організація наукових досліджень”

для магістрів  факультету електроніки та інформаційних технологій

 

Усі цитати, цифровий,

фактичний матеріал

та бібліографічні                              

відомості перевірені,                                  

запис одиниць                                 

відповідає                                        

стандартам

 

Укладач                                                         В.В.Авраменко

                                                                  

Відповідальний за випуск                          А.С. Довбиш

Декан факультету електроніки

та інформаційних технологій                    С. І. Проценко

 

Суми

Видавництво СумДУ

2009

 

Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет

 

 

 

 

 

 

 

 

 2719 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичного заняття на тему

“ Метод статистичного моделювання ”

 

з дисципліни "Методологія та організація наукових досліджень ”

для магістрів  факультету електроніки та інформаційних технологій

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Суми

Видавництво СумДУ

2009

 

Методичні вказівки до практичних занять на тему “ Метод статистичного моделювання ”/ Укладач В.В.Авраменко. – Суми: Вид-во СумДУ, 2009. - 20 с.

 

            Кафедра інформатики

Зміст

                                                                                              С.

1 Мета роботи_ 4

2 Загальні вказівки_ 4

3 Поняття про статистичний ряд, гістограму і статистичну функцію розподілу 5

4 Одержання значення випадкової величини за заданою статистичною функцією розподілу  7

5 Постановка задачі 9

6 Варіанти завдань 9

6.1 Моделювання роботи дискового розпилювача рідини  9

6.2 Моделювання роботи віброгранулятора  11

6.3 Моделювання процесу витікання газу  12

6.4 Моделювання роботи перфорованої  оболонки гранулятора      14

7 Приклад виконання роботи  16

8 Комп’ютерна програма  17

9 Зміст звіту 19

10 Контрольні запитання  20

Список літератури_ 20

 

 

1 МЕТА РОБОТИ

 Прищепити студентам навички одержання імовірнісних характеристик вихідних режимних параметрів об'єкта за його математичною моделлю і статистичними характеристиками  вхідних випадкових впливів.

2 ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ

 

      Припустимо є математична модель об'єкта, який піддається випадковим впливам. Відомі закони розподілу цих впливів. Необхідно одержати деякі імовірнісні характеристики режимних параметрів, що описують стан об'єкта.

      У найпростіших випадках вдається аналітично виразити зв'язок між статистичними характеристиками випадкових впливів і досліджуваних режимних параметрів. Однак на практиці такі випадки зустрічаються рідко. Тому у випадку, коли одержання згаданих вище аналітичних залежностей стає важкою, а часом і практично нездійсненною задачею, доцільно вдатися до статистичного моделювання.

      Яким-небудь способом знайдемо конкретне значення випадкового впливу на об'єкт. Для цього необхідно «розіграти» випадкову величину із заданим законом розподілу. Потім досліджуємо на математичній моделі поводження об'єкта при цьому значенні впливу на нього. Зокрема, фіксуємо значення  режимних параметрів, які нас цікавлять. Після цього знаходимо нове значення випадкового впливу і знову визначаємо значення досліджуваних  показників. Так робиться  багато разів (число випробувань N залежить від необхідної точності результатів). У результаті випробувань на моделі одержуємо набори конкретних  значень режимних параметрів. Обробляючи ці набори, можна знайти необхідні ймовірні характеристики.

Для  об'єктів, які складаються з великої кількості  елементів (пристроїв, машин, людей, організацій), у яких випадкові фактори складним чином переплітаються і взаємодіють, метод статистичного моделювання, як правило, виявляється простіше аналітичного рішення задачі, а часом і єдино можливим.

3 ПОНЯТТЯ ПРО СТАТИСТИЧНИЙ РЯД, ГІСТОГРАМУ І СТАТИСТИЧНУ ФУНКЦІЮ РОЗПОДІЛУ

 

Часто при розв’язанні практичних задач закон розподілу випадкових параметрів невідомий. У цьому випадку за результатами спостережень за випадковою величиною X_сл. будують статистичну функцію розподілу F*(x)=P*(X_сл.<x),

де  x- будь-яке конкретне число;

P*(X_сл.<x) – імовірність того, що значення випадкової величини X_сл. буде менше  x.

Для побудови F*(x) весь діапазон, отриманих у результаті спостереження значень X_сл, , ділять на кілька інтервалів. Потім підраховують скільки разів (m_i) значення випадкової величини X_сл. потрапило в i- й інтервал (i=1,2,…,k). Ділять m_i    на загальну кількість спостережень  n .

У результаті одержують частоту  попадання значень X_сл. в i- й інтервал.

Сума частот для всіх інтервалів, повинна дорівнювати одиниці.

На наступному етапі будують таблицю, у якій наведені інтервали в порядку їхнього розміщення уздовж осі абсцис і відповідні частоти. Ця таблиця називається статистичним рядом.

 

Інтервали зміни	x1 ; x2	x2 ; x3	…	xi ; xi+1	…	xk ; xk+1
Частоти			…		…

Тут:  x_i ; x_i+1 – межі i-го інтервалу;

 - частота попадання значення X_сл. в i-й інтервал;

 - кількість інтервалів.

Графічне подання статистичного ряду називається гістограмою.

Для її побудови на осі абсцис наносять межі інтервалів x₁, x₂, x₃ , … , x_k+1...

Потім для кожного інтервалу частоту попадання в нього  ділять на його довжину, наприклад,

    ,            ,              ,              ,    

 

Отримані числа брати  за  висоти прямокутників, побудованих для кожного з інтервалів. (рис. 1)

 

 

X

Y

X1

X2

X3

X4

X5

X6

Рисунок 1

Гістограма дозволяє оцінити щільність розподілу випадкової величини, знайти її найбільш імовірні значення і т.д.

Крім гістограми, користуючись даними статистичного ряду, приблизно, по точкам будують також статистичну функцію розподілу F*(x) величини  X_сл..  За такі точки  зручно взяти межі x₁, x₁ ,…,x_k+1  інтервалів, які фігурують у статистичному ряді. Тоді очевидно, що

,  ,  ,

,       .

 

З'єднуючи отримані точки плавною кривою, одержують наближений графік статистичної функції розподілу F*(x). Природно, чим більше інтервалів і чим більше значень X_сл. попадає в них, тим точніше F*(x).

4 ОДЕРЖАННЯ ЗНАЧЕННЯ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ ЗА ЗАДАНОЮ СТАТИСТИЧНОЮ ФУНКЦІЄЮ РОЗПОДІЛУ

 

 

F*(x)

            Дано статистичну функцію розподілу  F*(x) (рис.2). Відповідно до  неї треба отримати послідовність випадкових чисел.

 

 

xсл.

1

X

0

ξ

 

Рисунок 2

            Для одержання значення випадкової величини X_сл.,  розподіленої за законом F*(x) , використовується такий алгоритм.

1 Одержують значення випадкової величини  з рівномірним законом розподілу на інтервалах від 0 до 1. Комп'ютер генерує так звані псевдовипадкові  числа. Щоразу, коли потрібно одержати значення псевдовипадкового числа  на інтервалі (0 , 1) з рівномірним законом  розподілу, викликається стандартна підпрограма або функція. Конкретно для Турбо-Паскаля :=random;  для Cі   =random (32767)/32767.  . (Слід звернути увагу на обов’язкову наявність крапки після 32767).

2 По кривій F*(x) знаходять відповідне цьому )  значення X_сл.   (див. рис. 2). При побудові F*(x) з використанням  статистичного ряду вона має вигляд ламаної лінії. Тому значення X_сл. обчислюється за  формулою кусково-лінійної апроксимації:

 .

 

Тут:  x_i,  x_i+1 –  межі i- го інтервалу;

F(x_i), F(x_i+1) – значення статистичної функції розподілу на межах i- го інтервалу.

Знайдене значення X_сл. підставляють у формулу для розрахунку необхідного режимного параметра, тобто використовують для моделювання поведінки об'єкта. Потім знову повертаються до пункту 1.

Так роблять  N раз, де N – число випробувань.

5 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

 

Дано вираз для вихідного параметра об'єкта. Один із параметрів, який входить у цей вираз, змінюється випадково. Для нього приводиться статистичний ряд.

Необхідно одержати оцінки математичного очікування і середньоквадратичного відхилення для вихідного параметра .

            Кількість інтервалів для вхідного і вихідного параметрів взяти рівним 10.

            Моделювання зробити спочатку при  кількості випробувань N=100. Потім збільшувати їх кількість доки практично перестануть змінюватись отримані результати.

6 ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ

 

6.1 МОДЕЛЮВАННЯ РОБОТИ ДИСКОВОГО РОЗПИЛЮВАЧА РІДИНИ

 

При роботі обертового дискового розпилювача рідини утворюються краплі, середній розмір діаметра яких обчислюється за формулою:

 

,

 

де                    δ  - товщина плівки рідини, м;

                         - середній розмір краплі, м;

                         V₀ – колова швидкість диска, м/с;

                        - поверхневий натяг рідини, дін/см;

                         ρ - щільність розчину, г/см³;

                        - в'язкість розчину, сПз;

 

Варіант 6.1а

 

            Випадковим  вхідним параметром є поверхневий натяг . Нижче приводиться статистичний ряд для , (табл. 1).

Значення інших параметрів: сПз;  м;

 г/; =50 м/с.

 

Таблиця 1

Інтерв. для α	50-54	54-58	58-62	62-66	66-70
Частота	0,05	0,05	0,1	0,12	0,25
Інтерв. для α	70-74	74-78	78-82	82-86	86-90
Частота	0,15	0,08	0,1	0,06	0,04

 

Варіант 6.1б

 

Випадковим вхідним параметром є товщина плівки рідини . Статистичний ряд для   зазначений у табл. 2

Значення інших параметрів: : сПз; =76 дін/см;

 г/; =50 м/с.

 

Таблиця 2

Інтерв. δ*	5-6	6-7	7-8	8-9	9-10
Частота.попад.	0,04	0,05	0,08	0,08	0,15
Інтерв. δ*	10-11	11-12	12-13	13-14	14-15
Частота попад	0,25	0,12	0,12	0,05	0,06

 

Варіант 6.1в

 

Випадковим вхідним параметром є в'язкість розчину. Статистичний ряд для див. табл. 3.

Значення інших параметрів:

 м;  г/; =50 м/с. ;=76 дін/см.

 

Таблиця 3

Інтервал зміни для  µ	6-6,4	6,4-6,8	6,8-7,2	7,2-7,6	7,6-8
Частота попадання	0,06	0,05	0,12	0,12	0,3
Інтервал зміни для  µ	8-8,4	8,4-8,8	8,8-9,2	9,2-9,6	9,6-10
Частота попадання	0,1	0,08	0,08	0,05	0,04

 

6.2 1МОДЕЛЮВАННЯ РОБОТИ ВІБРОГРАНУЛЯТОРА

 

 Діаметр гранул, одержаних за допомогою віброгранулятора, визначається за формулою:

 

,

де           G - масова продуктивність гранулятора, кг/с;

                            k - число отворів витікання;

                           ρ  - щільність гранул, кг/м³;

                           - частота коливань вібратора, Гц;

 

Варіант 6.2а

            Випадковим вхідним параметром є продуктивність гранулятора G. Статистичний ряд для G див. табл. 4.

Значення інших параметрів:  =800 Гц; k = 15000;

ρ = 1400 кг/м³.

Таблиця 4

Інтервал-.	10-10,5	10,5-11	11-11,5	11,5-12	12-12,5
Частота	0,05	0,06	0,12	0,1	0,25
Інтервал-.	12,5-13	13-13,5	13,5-14	14-14,5	14,5-15
Частота	0,15	0,1	0,08	0,05	0,04

Варіант 6.2б

 

Випадковим вхідним параметром є щільність гранул. Статистичний ряд для  див. табл. 5

Значення інших параметрів:  =800 Гц; k =15000;

ρ = 1400 кг/м³.

Таблиця 5

Інтервал	1100-1150	1150-1200	1200-1250	1250-1300	1300-1350
Частота	0,03	0,04	0,08	0,08	0,16
Інтервал	1350-1400	1400-1450	1450-1500	1500-1550	1550-1600
Частота	0,24	0,12	0,12	0,08	0,07

 

Варіант 6.2в

 

Випадковим вхідним параметром  є частота вібратора f. Статистичний ряд для f див. табл. 6.

Значення інших параметрів: k =15000; G = 12кг/c; ρ = 1400 кг/м³.

 

Таблиця 6

Інтервал зміни для  f	700-730	730-760	760-790	790-820	820-850
Частота	0,06	0,07	0,14	0,15	0,35
Інтервал зміни для  f	850-880	880-910	910-940	940-970	970-1000
Частота	0,15	0,05	0,05	0,03	0,05

 

6.3 МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ ВИТІКАННЯ ГАЗУ

 

Швидкість витікання ідеального газу з посудини під тиском обчислюється за формулою:

 

,

де        R – універсальна газова стала;

            M - молекулярна маса газу;

            T_c – температура в посудині;

            P - зовнішній тиск;

            P₀ - тиск у посудині;

            K_g =  , де K = C_p/C_v – відношення теплоємностей.

 

Варіант 6.3а

Випадковим вхідним параметром є температура в посудині . Статистичний ряд для   див. табл. 7.

Значення інших параметрів:

K = 1,402; M = 28,96; P = 1,2 ата; R = 8,31696 Дж/град∙ моль;

P₀ = 3,6 ата.

 

Таблиця 7

Інтервал	373-383	383-393	393-403	403-413	413-423
Частота	0,05	0,06	0,1	0,12	0,25
Інтервал	423-433	433-443	443-453	453-463	463-473
Частота	0,15	0,08	0,1	0,04	0,05

 

Варіант 6.3б

 

Випадковим вхідним параметром є тиск у посудині  .

Статистичний ряд для   див. табл. 8.

Значення інших параметрів:

K = 1,402; M = 28,96; P = 1,2 ата; R = 8,31696 Дж/град∙ моль;

T_c = 393^oK.

Таблиця 8

Інтервал для	2,5-2,7	2,7-2,9	2,9-3,1	3,1-3,3	3,3-3,5
Частота попадання	0,03	0,04	0,09	0,08	0,1
Інтервал для	3,5-3,7	3,7-3,9	3,9-4,1	4,1-4,3	4,3-4,5
Частота попадання	0,03	0,12	0,11	0,06	0,07

 

Варіант 6.3в

 

Випадковим вхідним параметром є зовнішній тиск  .

Статистичний ряд для   див. табл. 9.

Значення інших параметрів:

K = 1,402; M = 28,96; P₀ = 3,6 ата; R = 8,31696 Дж/град∙ моль;

T_c = 393^oK.

 

Таблиця 9

Інтервал	1,2-1,25	1,25-1,3	1,3-1,35	1,35-1,4	1,4-1,45
Частота	0,06	0,07	0,08	0,1	0,2
Інтервал	1,45-1,5	1,5-1,55	1,55-1,6	1,6-1,65	1,65-1,7
Частота	0,2	0,1	0,12	0,03	0,04

 

6.4 МОДЕЛЮВАННЯ РОБОТИ ПЕРФОРОВАНОЇ ОБОЛОНКИ ГРАНУЛЯТОРА

 

Продуктивність G обертової перфорованої оболонки гранулятора визначається формулою

,

де                    ρ – щільність розплаву, кг/м³;

                        d - діаметр отвору, м;

                         - коефіцієнт втрат;

                        h - висота рівня розплаву, м;

                         - кутова швидкість обертання оболонки, рад/с;

                        R - радіус оболонки, м;

                        - коригувальний множник;

                        g – прискорення вільного падіння, м/с² .

 

Варіант 6.4а

            Випадковим вхідним параметром є висота рівня розплаву h. Статистичний ряд для  h  див. табл. 10.

Значення інших параметрів: ρ = 1000 кг/м³;   d = 0,005 м;   

R = 0,2 м; Ω = 25 рад/c;   μ = 0,65;   Ө = 0,24;   g = 9,81 м/с^{2  .}

 

Таблиця 10

Інтерв.	0,2-0,21	0,21-0,22	0,22-0,23	0,23-0,24	0,24-0,25
Частота	0,06	0,05	0,13	0,14	0,25
Інтерв.	0,25-0,26	0,26-0,27	0,27-0,28	0,28-0,29	0,29-0,3
Частота	0,15	0,06	0,07	0,05	0,04

 

Варіант 6.4б

 

Випадковим вхідним параметром є діаметр отвору  d.

Статистичний ряд для  d  див. табл. 11.

Значення інших параметрів: ρ = 1000 кг/м³; R = 0,2 м;

Ω = 25 рад/c; μ = 0,65; Ө = 0,24;  g = 9,81 м/с²;  h = 0,25 м.

 

Таблиця 11

Інтервал зміни для	4-4,2	4,2-4,4	4,4-4,6	4,6-4,8	4,8-5
Частота попадання	0,03	0,04	0,16	0,1	0,2
Інтервал зміни для	5-5,2	5,2-5,4	5,4-5,6	5,6-5,8	5,8-6
Частота попадання	0,2	0,1	0,04	0,06	0,07

Варіант 6.4в

 

Випадковим вхідним параметром є кутова швидкість обертання оболонки .

Статистичний ряд для   див. табл. 12.

Значення інших параметрів: ρ = 1000 кг/м³;  d = 0,005 м;

 R = 0,2 м;  μ = 0,65; Ө = 0,24;  g = 9,81 м/с²;  h = 0,25 м.

 

Таблиця 12

Інтервал зміни для	20-21	21-22	22-23	23-24	24-25
Частота попадання	0,05	0,04	0,09	0,1	0,14
Інтервал зміни для	25-26	26-27	27-28	28-29	29-30
Частота попадання	0,26	0,1	0,11	0,06	0,05

7 ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ РОБОТИ

 

            Як приклад наводиться комп’ютерна програма мовою Сі для варіанта завдання 6.2а. У програмі використані ідентифікатори, наведені в таблиці 13.

 

Таблиція13

Позначення у виразі	Ідентифікатор	Пояснення
N	n	Кількість випробувань
	M	Максимальна кількість інтервалів
	k_interval	Фактична кількість інтервалів
k	k_otv	Кількість отворів
	dk	Діаметр крапель   М

Продовження табл. 13

Позначення у виразі	Ідентифікатор	Пояснення
,	sum_dk, sum_dk2
	m_dk	Математичне очікування діаметра крапель
	Ddk	Дисперсія для dk
	sig_dk	Середнє квадратичне відхилення для dk
G	Gt	Поточне значення продуктивності  кг/с
	ro	Щільність розплаву
f	ff	Частота коливання,  Гц
	ksi	Псевдовипадкове число
	F[i]	Масив значень статистичної функції розподілу
	G[i]	Масив значень продуктивності

 

КОМП’ЮТЕРНА ПРОГРАМА

 

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#include<conio.h>

#include<stdlib.h>

#define M 20

void main()

{

double G[M],F[M];

double dk,sum_dk=0,sum_dk2=0,mdk,Ddk,sigdk;

double Gt,ro,ff,ksi;

int i,k_interval;

long int k_otv,n,j;

FILE*p1;

clrscr();

p1=fopen("GF.txt","r");//Файл,де є статистичний ряд

if(!p1)

{

puts("File GF.txt is not opened!");

exit(1);

}

puts("Enter n=");//Введення кількості випробувань

scanf("%li",&n);

puts("Enter kol_interval<=M");//Введення кількості інтервалів

scanf("%i",&k_interval);

puts("Enter ro=");//Введення щільності

scanf("%lf",&ro);

puts("Enter frequency ff=");//Введення частоти коливань

scanf("%lf",&ff);

puts("Enter k_otv=");//Введення кількості отворів

scanf("%li",&k_otv);

for(i=0;i<k_interval+1;i++)

{

fscanf(p1,"%lf%lf",&G[i],&F[i]); //Введ. статист. ряду

printf("%lf %lf\n",G[i],F[i]);//Виведення його на екран

}

for(j=0;j<n;j++)//Початок статистичних випробувань

{

ksi=random(32767)/32767.;//Отримання випадкового числа

for(i=1;i<k_interval+1;i++)//Пошук інтервалу,в який він //попав

if(ksi>=F[i-1]  && ksi<=F[i])

{

//Обчислення випадкового поточного значення //продуктивності гранулятора

Gt=G[i-1]+((G[i]-G[i-1])*(ksi-F[i-1]))/(F[i]-F[i-1]);

//Обчислення діаметра крапель

dk=pow(6*Gt/(M_PI*k_otv*ro*ff),1./3.);

sum_dk+=dk;//Накопичення сум

sum_dk2+=dk*dk;

break;

}

}

//Обчислення оцінок математичного очікув. та с.к.в.

mdk=sum_dk/n;

Ddk=(sum_dk2-sum_dk*sum_dk/n)/(n-1);

sigdk=sqrt(Ddk);

printf("mdk=%lf sigdk=%lf\n",mdk,sigdk);

}

 

9 ЗМІСТ ЗВІТУ

 

1 Постановка задачі.

2 Таблиця символічних імен.

3 Блок-схема програми.

4 Текст програми.

5 Вхідні дані.

6 Результати.

7 Гістограма для вихідного параметра.

8 Висновки.

10 КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

 

1 Що таке статистичний ряд?

2 Що таке статистична функція розподілу і як вона будується?

3 Що таке гістограма і як її одержати?

4 У чому сутність статистичного моделювання?

5 Розповісти про  алгоритм статистичного моделювання.

 

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

 

1 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. ”Наука”,М, 1964

2 Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах "Советское радио", м.,1971г.