Моделювання економіки 29.11.2013 05:55

ЗМІСТ

 

ПЕРЕДМОВА.. 4

ЗАВДАННЯ 1. ПОБУДОВА ВИРОБНИЧОЇ ФУНКЦІЇ ТА ЗАСТОСУВАННЯ ЇЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ВИРОБНИЧОЇ СИСТЕМИ.. 5

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ.. 5

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ. 8

ПРИКЛАДИ ВИКОНАННЯ.. 9

ЗАВДАННЯ 2. ЗАСТОСУВАННЯ МОДЕЛІ ЛЕОНТЬЄВА ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ЧОТИРИГАЛУЗЕВОЇ ЕКОНОМІЧНОЇ СИСТЕМИ.. 14

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ.. 16

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ. 19

ПРИКЛАДИ ВИКОНАННЯ.. 20

ЗАВДАННЯ 3. МОДЕЛЬ ЕКОНОМІЧНОЇ СИСТЕМИ У ВИГЛЯДІ СИСТЕМИ СТРУКТУРНИХ РІВНЯНЬ.. 26

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ.. 26

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ. 33

ПРИКЛАДИ ВИКОНАННЯ.. 34

ОЦІНЮВАННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ.. 46

ПЛАН–ГРАФІК ЗАХИСТУ РОЗРАХУНКОВИХ РОБІТ.. 46

ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ.. 46

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА.. 48

ПЕРЕДМОВА

 

Дана розрахункова робота виконується з дисципліни "Моделювання економіки". Ця дисципліна є одним з головних курсів у процесі підготовки сучасних фахівців з економічної кібернетики. Курс має одночасно теоретичне, методологічне та прикладне значення.

Метою розрахункової роботи є закріплення теоретичних знань про типові економіко-математичні моделі, набуття навичок практичної роботи з ними, програмна реалізація цих моделей. В умовах ринкової економіки використання типових та розробка нових моделей дає змогу правильно оцінити та передбачити різні економічні показники, прийняти оптимальні управлінські рішення. Використання інформаційних технологій на базі комп'ютерів дозволяє автоматизувати певні етапи розробки моделей та дає можливість розв'язувати задачі великих розмірів. В розрахунковій роботі студенти будують економіко-математичні моделі, виконують конкретні розрахунки, які необхідні для дослідження економічних систем.

Для виконання розрахункової роботи необхідні знання з економіки, вищої математики, економетрії, економічної кібернетики та економічної інформатики.

Розрахункова робота передбачає творчий підхід до розв’язання завдань і активне використання програмних засобів MS Excel для автоматизації обчислень.

ЗАВДАННЯ 1. ПОБУДОВА ВИРОБНИЧОЇ ФУНКЦІЇ ТА ЗАСТОСУВАННЯ ЇЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ВИРОБНИЧОЇ СИСТЕМИ

 

На основі статистичних даних, де Х - обсяг випущеної продукції, L - працезатрати,  K -  основні фонди:

1. побудуйте економетричну модель виробничої функції Кобба-Дугласа, довівши її адекватність статистичним даним;
2. знайдіть

2.1.           середню продуктивність праці та середню продуктивність основних фондів;

2.2.          граничну продуктивність праці та граничну ефективність основних фондів;

2.3.          коефіцієнт еластичності випуску за працею та коефіцієнт еластичності випуску за основними фондами;

2.4.          граничну норму заміщення фондів працею та праці фондами;

1. побудуйте ізокванту у відповідності до варіанту завдання;
2. обґрунтуйте  точковий прогноз для заданого значення факторів виробництва.

 

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ

№ з/п	Варіант №1			Варіант №2			Варіант №3			Варіант №4
	L	K	X	L	K	X	L	K	X	L	K	X
1	32,1	44,1	74,2	33,1	25,1	54,1	43,2	35,2	71,1	54,2	33,6	75,4
2	34,3	45,4	76,2	34,2	25,4	54,9	44,9	36,4	75,1	56,8	39,1	85,4
3	36,3	46,4	78,5	36,3	30,2	62,0	46,2	41,7	82,4	59,7	40.4	88,5
4	38,4	50,9	85,9	38,4	32,7	66,3	46,8	47,3	88,9	61,4	42,9	92,7
5	40,8	55,5	91,0	41,0	35,7	70,5	49,4	50,8	94,7	63,5	44,0	95,2
6	42,1	57,9	95,6	43,7	41,1	79,3	51,7	52,2	96,8	64,7	46,8	99,5
7	43,5	63,4	102,4	44,3	43,5	81,3	52,5	52,6	97,6	64,8	51,9	106,2
8	45,8	63,8	104,4	46,0	47,9	88,0	54,8	57,6	104,5	67,4	56,3	113,2
9	48,7	66,5	108,3	47,0	53,3	94,8	57,3	62,8	112,7	69,0	56,6	114,5
10	51,6	66,9	111,3	49,3	56,8	99,7	57,9	67,9	117,7	70,7	58,7	118,1
11	53,7	68,3	114,6	50,1	62,2	106,2	60,2	71,5	124,0	71,3	59,6	118,7
12	54,4	71,5	119,4	51,6	64,2	110,4	60,6	75,7	127,9	73,7	62,4	123,0
Прогноз	55,7	76,5		53,9	69,7		63,0	79,1		75,9	63,9
Ізокванта			95,6			79,3			96,8			99,5

 

№ з/п	Варіант №5			Варіант №6			Варіант №7			Варіант №8
	L	K	X	L	K	X	L	K	X	L	K	X
1	34,8	32,4	62,4	43,6	34,7	71,9	43,4	32,3	69,3	45,3	36,6	75,4
2	35,8	36,4	67,5	44,0	37,7	75,1	45,5	37,2	75,4	45,6	38,5	77,7
3	38,7	39,9	74,0	44,8	40,4	78,1	46,3	42,5	82,4	45,9	42,5	81,3
4	40,7	43,4	79,5	46,3	42,8	83,1	46,8	47,7	88,1	48,4	47,7	89,2
5	41,9	47,9	85,9	47,6	44,7	86,7	49,8	50,2	93,8	51,0	53,2	97,7
6	42,3	51,8	88,9	47,9	49,5	92,3	51,3	54,6	99,3	51,6	57,7	103,1
7	44,3	56,0	95,3	50,1	51,8	94,9	53,8	57,2	104,9	52,1	60,7	105,4
8	46,6	60,7	101,9	50,5	53,8	97,5	55,1	60,4	108,8	52,6	64,8	111,7
9	48,4	61,9	104,7	51,1	57,6	102,0	56,2	62,7	111,6	55,5	64,9	114,2
10	48,8	66,9	110,1	52,9	60,4	106,4	56,9	64,0	114,4	56,7	69,4	118,3
11	51,7	70,6	116,6	53,1	63,3	110,0	59,6	68,4	120,5	57,8	74,6	127,4
12	53,3	72,3	118,1	54,0	63,6	110,0	60,3	71,6	123,3	58,7	80,3	131,6
Прогноз	54,4	75,2		56,8	66,0		60,4	74,3		60,9	84,3
Ізокванта			110,1			83,1			104,5			105,4

 

№ з/п	Варіант №9			Варіант №10			Варіант №11			Варіант №12
	L	K	X	L	K	X	L	K	X	L	K	X
1	43,1	32,4	68,7	55,0	32,5	74,9	46,0	32,8	69,9	45,9	52,1	92,3
2	45,2	34,8	73,3	55,4	36,7	81,7	46,6	34,7	72,4	46,2	55,5	97,2
3	45,5	38,0	77,6	55,6	40,6	86,0	48,7	38,9	80,3	47,4	55,9	98,6
4	47,8	40,3	80,1	56,8	45,0	93,1	49,2	42,1	85,4	49,8	56,5	100,9
5	49,5	45,7	88,1	58,3Q	49,4	99,3	49,3	43,8	85,1	51,8	57,9	102,7
6	50,3	48,2	91,0	69,7	52,2	102,3	51,7	48,4	92,3	53,8	63,2	111,2
7	53,3	53,3	100,4	60,8	52,4	103,2	54,3	48,7	94,9	55,3	63,7	111,8
8	53,7	55,4	102,2	63,6	55,3	109,2	54,7	52,5	99,4	56,5	64,3	114,1
9	55,5	56,7	103,9	65,6	59,7	115,9	55,7	56,9	104,1	59,5	65,4	117,6
10	57,4	62,2	112,1	68,0	60,4	117,4	58,6	59,7	110,2	60,7	69,5	121,9
11	59,2	65,9	118,3	70,7	62,3	120,6	61,5	62,1	115,8	61,4	73,1	126,5
12	61,2	68,4	121,9	71,4	65,6	124,7	64,1	66,3	121,6	63,3	74,8	129,6
Прогноз	61,8	73,0		74,2	66,3		67,1	66,9		64,7	80,3
Ізокванта			100,4			103,2			94,9			111,8

 

№ з/п	Варіант №13			Варіант №14			Варіант №15			Варіант №16
	L	K	X	L	K	X	L	K	X	L	K	X
1	21,1	52,1	69,5	30,1	52,1	78,2	26,9	52,1	75,2	23,8	42,7	63,4
2	23,6	57,0	75,9	32,6	53,5	82,5	28,7	56,7	81,4	23,8	45,6	67,2
3	24,4	60,7	79,9	33,7	53,1	83,8	29,8	60,9	84,9	24,2	49,3	70,9
4	24,8	65,7	84,6	35,1	56,5	86,7	31,5	62,9	90,0	24,8	51,8	72,2
5	27,0	69,9	89,0	36,4	54,1	87,0	34,4	67,2	96,3	24,9	53,3	74,2
6	28,6	74,6	95,6	39,4	58,2	92,8	35,5	67,5	97,2	25,9	55,5	76,2
7	31,0	77,8	99,8	41,8	55,1	91,5	35,9	72,7	102,2	26,7	58,6	81,2
8	33,1	78,0	103,1	43,3	57,2	95,3	37,3	76,9	107,1	27,8	59,0	81,4
9	33,7	83,0	107,6	44,2	56,1	94,7	40,1	81,0	114,0	30,3	64,4	88,8
10	34,9	86,9	111,9	46,0	56,1	96,7	42,7	84,4	118,5	31,5	65,7	92,7
11	35,2	89,2	114,5	47,8	57,1	99,5	44,6	85,8	123,1	33,4	68,8	96,5
12	36,4	94,6	120,9	49,5	58,7	102,9	44,8	89,8	126,2	35,6	69,2	99,1
Прогноз	37,2	97,0		49,7	58,1		46,5	93,7		37,7	74,4
Ізокванта			99,8			91,5			97,2			81,2

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Виробнича функцію (ВФ) є особливим видом економіко-статистичних моделей.

Безпосереднім об’єктом моделювання щодо ВФ є процеси виробництва продукції в реально функціонуючих протягом певного відрізку часу господарських системах на підприємстві (фірмі), в галузі, регіоні чи в народному господарстві загалом. Відповідно, щодо рівня модельованої системи виробничі функції поділяються на макроекономічні, регіональні, галузеві, а також виробничі функції підприємства.

У теорії виробничих функцій виробничий процес аналізується з погляду перетворення ресурсів у продукт (продукцію). Входами є потоки ресурсів різноманітного виду, повністю чи частково використовувані у виробництві, виходом — готова до реалізації продукція. Функціонуючі в системі ресурси (чинники), технологія та умови організації виробництва визначають потенційні можливості та стан процесу (системи).

ВФ будується для розв’язання певних економічних задач, що стосуються аналізу, прогнозування і планування. Використовуються ВФ як самостійно, так і в складі більш загальних економіко-математичних моделей. Мету побудови ВФ можна охарактеризувати як аналіз чинників щодо суттєвого впливу їх на обсяги випуску продукції.

Однак у кожній конкретній ситуації ця мета має свої особливості, що істотно впливають на процес побудови функції. Доцільно розрізняти такі можливі способи використання ВФ:

1)       визначення обсягів випуску за фіксованих обсягів та показників основних ресурсів (випадок, коли ці обсяги несуттєво відрізняються від тих, що спостерігались у минулому);

2)       те саме щодо випадку обсягів ресурсів, котрі суттєво відрізняються від усіх, що спостерігалися в минулому;

3)       визначення обсягів випуску за заданих значень обсягів ресурсів, що належать до деякої неперервної області (зокрема таких, що змінюються в заданих межах);

4)       визначення впливу на обсяг випуску малої зміни обсягів одного чи кількох ресурсів;

5)       визначення (виявлення) характеристик виробничого процесу, що виражається через параметри ВФ.

ВФ є економіко-статистичною моделлю процесу виробництва продукції в даній економічній системі й виражає стійку закономірну кількісну залежність між об’ємними показниками ресурсів і випуску продукції.

Виробничу функцію X = F(K, L) називають неокласичною, якщо вона є гладкою і задовольняє умови, які мають чітку, несуперечливу, обґрунтовану економічну інтерпретацію:

 

1) F(0, L) = F(K, 0) = 0 — за відсутності одного з ресурсів виробництво неможливе;

2)   —  зі зростанням обсягів ресурсів зростає й випуск;

3)  — зі зростанням обсягів ресурсів швидкість зростання випуску знижується;

4) F(+¥, L) = F(K, +¥) = ¥ — за необмеженого зростання обсягів одного з ресурсів випуск також необмежено зростає.

 

ПРИКЛАДИ ВИКОНАННЯ

 

ПРИКЛАД 1

Нехай виробнича функція має вигляд функції Кобба-Дугласа:

 

Тут У - обсяг випущеної продукції, X₁ - працезатрати, Х₂ - основні фонди.

 

Щоб зробити необхідні розрахунки, приведемо логарифмуванням задану функцію до лінійного виду:

 (1)

               Таблиця 1

Вихідні дані та розрахунки

 

№ з/п	X1	X2	Y	Z1	Z2	Y1	Y1p	Yp
1	44,4	33,3	70,1	3,7932	3,5056	4,2499	4,2517	70,2246
2	47,3	38,5	78,6	3,8565	3,6507	4,3644	4,3634	78,5220
3	48,2	40,4	81,7	3,8754	3,6988	4,4031	4,4000	81,4471
4	49,8	45,8	88,7	3,9080	3,8243	4,4853	4,4914	89,2450
5	52,2	46,2	90,8	3,9551	3,8330	4,5087	4,5081	90,7532
6	54,3	50,0	96,4	3,9945	3,9120	4,5685	4,5701	96,5575
7	54,4	52,1	99,7	3,9964`	3,9532	4,6022	4,5981	99,2915
8	56,9	56,7	106,1	4,0413	4,0378	4,6644	4,6651	106,1710
9	58,7	57,9	109,2	4,0724	4,0587	4,6932	4,6863	108,4502
10	61,5	60,5	112,8	4,1190	4,1026	4,7256	4,7265	112,8978
11	63,8	63,0	117,1	4,1558	4,1331	4,7630	4,'7621	116,9892
12	64,2	65,1	119,1	4,1620	4,1759	4,7800	4,7854	119,7549
прогноз	65,4	66,2

 

Всі обчислені значення Y₁, Z₁, Z₂ знаходяться у таблиці 1. До отриманих даних Z₁, Z₂ та Y₁, застосуємо  функцію ЛИНЕЙН.  Вона за методом найменших квадратів (1МНК) знаходить значення невідомих КОЕФІЦІЄНТІВ РЕГРЕСІЇ. Ця функція вводиться в масив комірок  і завершувати її введення потрібно з Ctrl+Shift+Enter.

Отримаємо:

0,668256	0,232594	1,026804
0,033503	0,058586	0,107533
0,99952	0,004092	#Н/Д
9376,302	9	#н/д
0,313991	0,000151	#н/д

 

У цій таблиці a₂₌0,668256, a₁₌0,232594, lna₀=1,026804.

В результаті обчислень ми отримали наступну модель:

 

 

або повертаючись до вихідної форми:

 

Перевіримо адекватність моделі статистичним даним. Для цього знайдемо значення критерію Фішера за допомогою функції MS Excel FРАСПОБР на рівні значущості a = 0,05 та ст  упенями свободи  (див. рис.1)

 

 

 

Рис.1. Обчислення критерію Фішераза за заданим рівнем значущості

 

 

Оскільки , то отримана модель достовірна з ймовірністю 0,95.

Для перевірки значущості коефіцієнтівзнайдемо спочатку критичне значення критерію Стьюдента за допомогою функції MS Excel СТЬЮДРАСПОБР на рівні значущості a = 0,05  та супенем свободи

k=12-2-1=9 (див. рис.2)

 

Рис.2. Обчислення критерію Стьюдента за заданим рівнем значущості

 

 та порівняємо його із значеннями критерію Стьюдента для коефіцієнтів

 

 

 

Так як всі відповідні значення то всі коефіцієнти значущі.

 

Побудувати задану економетричну модель можна також застосовуючи надбудову Поиск решения для розв’язання задачі нелінійного опуклого програмування (див. рис. 3 чи рис.4).

 

 

Рис.3. Побудова моделі як задача нелінійного програмування без лінеаризації

 

 

Рис.4. Побудова моделі як задача нелінійного програмування з лінеаризацією

                                                      

Знайдемо коефіцієнти ефективності отриманої виробничої функції. Середня продуктивність праці (обчислити):

М₁= 1,7848.

Середня продуктивність виробничих фондів (обчислити):

М₂ = 1,9201.

Це значить, що на 1 у. о. обсягу виробленої продукції приходиться 1,7848 у. о. працезатрат і 1,9201 у. о. виробничих фондів.

Гранична ефективність працезатрат (обчислити)::

Е₁ = 0,2326.

Гранична ефективність виробничих фондів (обчислити)::

Е₂ = 0,6683.

Це означає, що, якщо працезатрати зростуть на 1 у. о., то обсяг виробленої продукції зросте на 0,2326 у. о. і, якщо виробничі фонди зростуть на 1 у. о., то обсяг виробленої продукції зросте на 0,6683 у. о.

Еластичність працезатрат (обчислити):

В₁ = 0,1303.

Еластичність виробничих фондів (обчислити):

D₂ = 0,3480.

Отже, якщо працезатрати зростуть на 1 %, то обсяг випущеної продукції зросте на 0,13 %; якщо виробничі фонди зростуть на 1 %, то обсяг випущеної продукції зросте на 0,35 %.

Міра ефективності працезатрат (обчислити):

G₁ = 0,0043.

Міра ефективності виробничих фондів (обчислити):

G₂ = 0,0132.

Додаткова продукція у розмірі 0,004 у. о., що виготовляється додатковим ресурсом працезатрат в 1 у, о., припадає на 1 у. о. працезатрат; 0,013 у. о. додаткової продукції, що виготовляється додатковими виробничими фондами, припадає на 1 у. о. виробничих фондів.

Гранична норма заміщення (обчислити)::

H₁₂ = - 0,3481.

Це означає, що на 0,3481 у. о. потрібно збільшити середню ефективність працезатрат, щоб компенсувати зменшення середньої ефективності виробничих фондів на 1 у. о. при умові, що обсяг продукції не зміниться.

Сумарна еластичність (обчислити)::

D = 0,4784.

Обсяг випущеної продукції збільшиться на 0,4784 %, якщо працезатрати та виробничі фонди зростуть одночасно на 1 %.

Для випадку статистичних даних табл.1, побудуємо ізокванту для Y =  70,1.

 

Розв’яжемо це рівняння відносно Х₂:

 

Обчислення виконати в Excel і побудувати графік. Див. рис.5.

                                                                                       

 

Рис.5. Побудова ізокванти

 

Для обчислення прогнозного значення потрібно підставити заданні значення факторів у рівняння регресії і обчислити випуск.

 

 

ЗАВДАННЯ 2. ЗАСТОСУВАННЯ МОДЕЛІ ЛЕОНТЬЄВА ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ЧОТИРИГАЛУЗЕВОЇ ЕКОНОМІЧНОЇ СИСТЕМИ

Економічна система складається з чотирьох галузей. Задана матриця А коефіцієнтів прямих матеріальних витрат та заданий  бажаний вектор випуску кінцевої продукції  Y .

 

1. Перевірити, чи здатна економічна система забезпечити невід’ємний кінцевий випуск.

2. Побудувати модель Леонтьєва («витрати-випуск») та знайти вектор валової продукції X.

3. Побудувати міжгалузеву балансову модель виробництва і розподілу продукції.

Таблиця 2.2.

 

4.Побудувати міжгалузеву балансову модель витрат праці. Використати таку кількість трудових ресурсів: Т=(120i ; 200i ;180і ; 250і), де і – номер варіанту.

Таблиця 2.3.

 

 

Всі розрахунки виконувати  із застосуванням матричних функцій Excel: MУМНОЖ(…)- множення матриць, МОБР(…) – знаходження оберненої до заданої матриці. Проілюструвати виконання роботи скриншотами.

 

 

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ

Вектор випуску кінцевої продукції

,

де i – номер варіанту.

 

 

 

 

 

	ВАРІАНТ №15
	0,09	0,23	0,29	0,26
А=	0,25	0,25	0,21	0,18
	0,17	0,24	0,2	0,11
	0,2	0,21	0,17	0,1
	ВАРІАНТ №16
	0,09	0,23	0,39	0,36
А=	0,25	0,25	0,21	0,18
	0,17	0,24	0,2	0,11
	0,2	0,21	0,17	0,1
	ВАРІАНТ №17
	0,19	0,23	0,39	0,36
А=	0,25	0,25	0,21	0,18
	0,17	0,24	0,2	0,11
	0,19	0,21	0,17	0,19
	ВАРІАНТ №18
	0,19	0,23	0,39	0,16
А=	0,25	0,25	0,21	0,18
	0,17	0,22	0,21	0,31
	0,19	0,21	0,17	0,19
	ВАРІАНТ №19
	0,19	0,23	0,39	0,16
А=	0,25	0,15	0,21	0,18
	0,17	0,22	0,21	0,22
	0,19	0,21	0,17	0,19
	ВАРІАНТ №20
	0,19	0,23	0,39	0,16
А=	0,25	0,15	0,21	0,18
	0,17	0,22	0,16	0,22
	0,19	0,21	0,15	0,19
	ВАРІАНТ №21
	0,19	0,23	0,32	0,16
А=	0,13	0,15	0,21	0,18
	0,17	0,22	0,16	0,22
	0,19	0,21	0,15	0,13
	ВАРІАНТ №22
	0,19	0,23	0,32	0,16
А=	0,43	0,15	0,21	0,18
	0,17	0,22	0,23	0,22
	0,19	0,21	0,23	0,43

 

	ВАРІАНТ №23
	0,19	0,23	0,32	0,16
А=	0,33	0,15	0,21	0,18
	0,17	0,22	0,23	0,22
	0,19	0,21	0,23	0,32
	ВАРІАНТ №24
	0,19	0,23	0,32	0,16
А=	0,33	0,15	0,21	0,18
	0,18	0,22	0,28	0,22
	0,19	0,21	0,23	0,32

 

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Якщо позначити через X_i - валову продукцію і-ї галузі, Y_i - кінцеву продукцію і-ї галузі, W_i – проміжну продукцію і-ї галузі, то можна записати,

X_i-W_i=Yі, .

Тутn - кількість галузей. В цій моделі діє припущення, що в кожній галузі виробництво здійснюється одним технологічним способом або галузі випускають однорідну продукцію. Нехай проміжна продукція і-ї галузі  дорівнює

,

де X_j - валова продукція j-ї галузі, , А_ij - кількість продукції і-ї галузі, яка витрачається на виробництво одиниці продукції j- ї галузі.

Модель Леонтьєва  характеризується виробничою матрицею А

A=(A_ij),   ;  .

Ця матриця також називається матрицею коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

В матрично-векторній формі модель має вигляд

(I-A)=,

де I – одинична матриця розміром (n×n),

 - вектор валової продукції (вектор випуску),

 - вектор кінцевої  продукції.

Вектор валової продукції можна знайти за формулою

=(I-A)^-1,

B=(I-A)^-1,

=B,

де B - обернена матриця Леонтьєва  або мультиплікатор Леонтьєва . Матриця B дорівнює

B=(B_ij), , .

Ця матриця називається матрицею коефіцієнтів повних матеріальних витрат. Елемент B_ij показує потребу в валовій продукції і-ї галузі для виробництва одиниці кінцевої продукції j -ї галузі.

Задача планування випуску валової продукції є перетворенням вектора кінцевої продукції  за допомогою матриці (I-A)^-1 у вихідний вектор валової продукції

=(I-A)^-1.

Виникає питання відносно умов, за яких існує така матриця (I-A)^-1 , що для будь-якого невід'ємного вектора , ≥0, вектор (I-A)^-1 також невід'ємний. Матриця А в такому разі називається невід'ємною, якщо всі її елементи є невід'ємними. Для економічних систем матриця А завжди невід'ємна.

Умови продуктивності матриці А зв'язані з використанням однієї з ознак:

1)       матриця (I-A) має невід'ємну обернену матрицю;

2)       максимальне власне число λ(A) матриці А менше 1;

3)       матричний ряд

I+A+A²+...+A^r+… = ,

A⁰=I,

(так званий ряд Неймана матриці А) збігається, при цьому його сума дорівнює оберненій матриці (I-A)^-1_.

Існують і інші ознаки продуктивності матриці А.

 

ПРИКЛАДИ ВИКОНАННЯ

ПРИКЛАД 1. Для тригалузевої економічної системи задані матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А і вектор кінцевої продукції Y:

 

 

1. Потрібно обчислити матрицю В, елементи якої є коефіцієнтами повних матеріальних витрат. Матриця В а є оберненою до матриці Е-А:

В= (Е – А)^–1.

а) обчислити матрицю Е-Аяк різницю матриць засобами Excel (див.рис.2.2);

 

 

Рис.2.2. Обчислення різниці матриць Е та А

 

б) обчислити обернену матрицю, застосувавши функцію МОБР(В6:D8) (див. рис.2.3); це і буде шукана матриця В коефіцієнтів повних матеріальних витрат.

 

Рис.2.3. Обчислення оберненої матриці В= (Е – А)^–1

 

Як бачимо, матриця повних матеріальних витрат В є невід’ємною. А це є ознакою продуктивності матриці А, а отже і продуктивності економічної системи: вона зможе забезпечити невід’ємний випуск кінцевої продукції.

 

2. Для обчислення вектора валової продукції застосуємо формулу:

 

Множення матриць зручно виконати, застосовуючи функцію Excel МУМНОЖ (див. формулу на рис.2.4)

 

 

Рис.2.4. Обчислення вектора валової продукції

 

3. Додати робочий аркуш з ім¢ям Таблиця МГБ та створити її зміст (див. рис.2.5)

а) Для обчислення елементів першого квадранта матеріального міжгалузевого балансу скористаємося формулою x_ij = a_ijX_j,  i, j = 1, 2, 3. Для отримання стовпчиків першого квадранта необхідно елементи першого стовпчика матриці А перемножити на величину 775,5; елементи  другого стовпчика матриці А — на X₂ = 510,1; елементи третього стовпчика матриці А — на X₃ = 729,6 (див. формулу на рис.5).

 

Рис.2.5. Обчислення елементів першого квадранта

 

б) Складові третього квадранта (умовно чиста продукція) знаходять як різницю між обсягами валової продукції та сумами елементів відповідних стовпчиків першого квадранта (див. формулу на  рис.2.6).

 

 

Рис.2.6. Обчислення елементів третього квадранта – умовно чистої продукції

в) Четвертий квадрант у наведеному прикладі складається лише з одного показника й слугує, зокрема, для контролю правильності обчислень: сума елементів другого квадранта повинна (у вартісному матеріальному балансі) збігатися із сумою елементів третього квадранта (див. рис.2.6).

 

 

     Рис.2.7. Обчислення елемента четвертого квадранта

 

4. Позначимо витрати живої праці для виробництва j-го продукту через L_j, а обсяг виробництва цього продукту (валовий випуск), як і раніше, через X_j, тоді прямі витрати праці на одиницю j-го виду продукції (коефіцієнта прямої трудомісткості) можна подати формулою:

                                                       (1)

Введемо таке поняття, як повні витрати праці — сума прямих витрат живої праці та витрат уречевленої праці, які переносяться на продукт через використані засоби виробництва. Якщо позначити величину повних витрат праці на одиницю продукції j-го виду через T_j, то добутки a_ij T_j відбивають витрати уречевленої праці, перенесеної на одиницю j-го продукту через і-й засіб виробництва. Припускається, що коефіцієнти прямих матеріальних витрат a_ij виражені в натуральних одиницях. Тоді повні трудові витрати на одиницю j-го виду продукції (коефіцієнти повної трудомісткості) дорівнюватимуть:

                                     (2)

Введемо до розгляду вектор-рядок коефіцієнтів прямої трудомісткості

 

i вектор-рядок коефіцієнтів повної трудомісткості

 

Тепер, із використанням розглядуваної вище матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А (у натуральному вираженні), систему рівнянь (1) можна подати в матричному вигляді:

                                                                          (3)

Виконавши відповідні математичні перетворення з використанням одиничної матриці Е, а власне:

 

дістанемо таке співвідношення:

                                                                    (4)

де                       

є матрицею коефіцієнтів повних матеріальних витрат, отже,

                                                                            (5)

Позначимо через L величину сукупних витрат живої праці за всіма видами продукції, котрі з урахуванням (1) дорівнюватимуть

                                                     (6)

Використовуючи співвідношення (6) та (5), дістанемо:

                                                                           (7)

де t і Т — вектор-рядки коефіцієнтів прямої та повної трудомісткості, а Х та Y — вектор-стовпці валової та кінцевої продукції відповідно.

Рівняння (7) є основним балансовим рівнянням у теорії міжгалузевого балансу праці. Його конкретний економічний сенс полягає в тому, що вартість кінцевої продукції, яка оцінена за пов­ними витратами праці, дорівнює сукупним витратам живої праці. Порівнюючи споживчий ефект різних взаємозамінюваних продуктів з повними трудовими витратами на їх випуск, можна аналізувати порівняльну ефективність їх виробництва.

За допомогою показників повної трудомісткості більш повно й точно, ніж за використання існуючих вартісних показників, виявляється структура витрат на випуск різних видів продукції, а також співвідношення між витратами живої й матеріалізованої праці.

На підставі використання коефіцієнтів прямої та повної трудомісткості можуть розроблятися міжгалузеві й міжпродуктові баланси витрат праці та використання трудових ресурсів. Схематично ці баланси будуються за спільним типом матричних моделей, а всі показники в них (міжгалузеві зв’язки, кінцевий продукт, умовно чиста продукція тощо) виражаються в трудових вимірювачах.

 

ПРИКЛАД 2

 Нехай задані витрати живої праці (трудові ресурси) в розрізі трьох галузей: L₁ = 1160; L₂ = 460; L₃ = 875 — в однакових одиницях вимірювання. Треба визначити коефіцієнти прямої та повної трудомісткості й скласти міжгалузевий баланс витрат праці.

Розв’язання

Скористаємось знайденою матрицею коефіцієнтів повних матеріальних витрат  і табличною моделлю міжгалузевого балансу виробництва і розподілу продукції:

 

 

знайдемо коефіцієнти прямої трудомісткості:

 

За формулою (7) знайдемо коефіцієнти повної трудомісткості (проілюструвати скриншотами):

 

Перемножуючи відповідно перший, другий і третій рядки першого та другого квадрантів міжгалузевого матеріального балансу (проілюструвати скриншотами), на відповідні коефіцієнти прямої трудомісткості, отримаємо схему міжгалузевого балансу праці (в трудових вимірювачах).

 

МІЖГАЛУЗЕВИЙ БАЛАНС ЗАТРАТ ПРАЦІ

 

ЗАВДАННЯ 3. МОДЕЛЬ ЕКОНОМІЧНОЇ СИСТЕМИ У ВИГЛЯДІ СИСТЕМИ СТРУКТУРНИХ РІВНЯНЬ

За заданими вихідними даними (див. табл.1 та табл.2) для заданої моделі економічної системи (див. варіанти завдань):

1)    виділити ендогенні та екзогенні змінні;

2)    записати приведену форму моделі;

3)    визначити коефіцієнти приведеної форми моделі;

4)    обчислити значення інструментальних змінних;

5)    визначити коефіцієнти структурної моделі;

6)    перевірити значущість отриманих рівнянь та їх коефіцієнтів;

7)    перевірити економетричні моделі на адекватність;

8)    записати модель економічної системи.

Отримана модель має бути адекватною з ймовірністю 0,95.

 

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ

 

ВАРІАНТ 1

 

  ,   де

 

 - споживання;  - ВВП;  - валові інвестиції;  - державні витрати;

 - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 2

 

, де

 

 - споживання;  - ВВП;  - валові інвестиції;  - державні витрати;

 - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

 

ВАРІАНТ 3

 

, де

 

 - споживання;  - ВВП;  - валові інвестиції;  - державні витрати;

 - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 4

 

, де

 

 - споживання;  - валовий національний дохід;  - валові інвестиції;

 - державні витрати;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 5

 

, де

 - споживання;  - валовий національний дохід;  - валові інвестиції;

 - державні витрати;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 6

 

, де

 - приватне споживання;  - валовий національний дохід;  - валові інвестиції;  - державні витрати;  - поточний і попередній періоди;

,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 7

 

, де

 

 - витрати на приватне споживання;  - національний дохід;  - чисті інвестиції;  - державні витрати;  - валовий прибуток економіки;  - індекс вартості життя;  - обсяг продукції промисловості;  - поточний і попередній періоди; , , ,  - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 8

 

, де

 

C- витрати на споживання; I -  інвестиції; R- національний дохід;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 9

 

, де

 

C – споживання; I – інвестиції; Y – національний дохід; T – податки; K – запас капіталу;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 10

 

, де

C- споживання; Y - ВВП; I - валові інвестиції;

 - поточний і попередній періоди;  - випадкова похибка.

 

ВАРІАНТ 11

 

, де

 

C- споживання; Y - ВВП; I - валові інвестиції; G - державні витрати;

 - поточний і попередній періоди;  - випадкова похибка.

 

ВАРІАНТ 12

 

, де

 

C – витрати на споживання; Y – чистий національний продукт; I – інвестиції; T- податки; G – державні витрати; D – чистий національний дохід;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 13

 

, де

 

C –приватне споживання; S  - заробітна плата; P – прибуток; R  - національний дохід;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

 

ВАРІАНТ 14

 

, де

 

C –приватне споживання; S - заробітна плата; P – прибуток; R  - національний дохід;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 15

 

, де

 

C – приватне споживання; S - заробітна плата; P – прибуток; R  - національний дохід;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 16

 

  ,   де

 

 - споживання;  - ВВП;  - валові інвестиції;  - державні витрати;

 - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 17

 

, де

 

 - споживання;  - валовий національний дохід;  - валові інвестиції;

 - державні витрати;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 18

 

, де

 - споживання;  - валовий національний дохід;  - валові інвестиції;

 - державні витрати;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 19

 

, де

 - приватне споживання;  - валовий національний дохід;  - валові інвестиції;  - державні витрати;  - поточний і попередній періоди;

,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 20

 

, де

 

 - витрати на приватне споживання;  - національний дохід;  - чисті інвестиції;  - державні витрати;  - валовий прибуток економіки;  - індекс вартості життя;  - обсяг продукції промисловості;  - поточний і попередній періоди; , , ,  - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 21

 

, де

 

C- витрати на споживання; I -  інвестиції; R- національний дохід;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 22

 

, де

 

C – споживання; I – інвестиції; Y – національний дохід; T – податки; K – запас капіталу;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 23

 

, де

 

C – витрати на споживання; Y – чистий національний продукт; I – інвестиції; T- податки; G – державні витрати; D – чистий національний дохід;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

ВАРІАНТ 24

 

, де

 

C –приватне споживання; S - заробітна плата; P – прибуток; R  - національний дохід;  - поточний і попередній періоди; ,   - випадкові похибки.

 

Таблиця 1

 

 

Таблиця 2

 

 

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Системою взаємопов'язаних одночасних економетричних рівнянь

називається система, в якій одні і ті ж залежні змінні в одних рівняннях входять до лівої частини, а в інших – до правої частини.

Структурний вигляд системи одночасних рівнянь.

У структурному вигляді системи одночасних рівнянь кожне рівняння відображає певний елемент структури економічної системи, що розглядається, і має економічну інтерпретацію.

Зведений вигляд системи одночасних рівнянь.

У зведеному вигляді в кожному рівнянні зліва стоїть ендогенна змінна, а справа – лише екзогенні змінні.

Ендогенні змінні – взаємозалежні змінні, які визначаються всередині моделі.

Екзогенні змінні – незалежні змінні, які визначаються зовні системи. До групи предетермінованих (наперед визначених) змінних також включають лагові значення ендогенних змінних (значення ендогенних змінних в попередні моменти часу).

Необхідна умова ідентифікації.

D + 1 = H – рівняння ідентифіковане,

D + 1 < H – рівняння неідентифіковане,

D + 1 > H – рівняння надідентифіковане,

де D – кількість предетермінованих змінних, що відсутні в рівнянні, але присутні в системі,

H – кількість ендогенних змінних в рівнянні.

Достатня умова ідентифікації.

Визначник матриці, складений з коефіцієнтів при змінних, відсутніх в даному рівнянні, не рівний 0, а ранг цієї матриці не менший числа ендогенних змінних системи без одиниці.

Непрямий метод найменших квадратів.

Використовується для оцінки ідентифікованих рівнянь.

1. Складається зведений вигляд моделі і визначаються її коефіцієнти за допомогою звичайного МНК.

2. Шляхом алгебраїчних перетворень повертаються до структурного вигляду системи одночасних рівнянь, отримуючи оцінки структурних параметрів.

Двоетапний метод найменших квадратів.

Використовується для оцінки надідентифікованих рівнянь.

1. За допомогою звичайного методу найменших квадратів оцінюється регресія кожної ендогенної змінної відносно набору всіх екзогенних змінних системи.

2. Замість ендогенних змінних, що входять у праву частину рівняння, підставляються їх оцінки, знайдені на першому етапі. Одержані рівняння оцінюються за допомогою звичайного методу найменших квадратів.

 

ПРИКЛАДИ ВИКОНАННЯ

ПРИКЛАД 1

Провести ідентифікацію та оцінку моделі грошового ринку України

 

 

на підставі даних за хххх-хххх+5 роки (табл.1).

Таблиця 1

 

 

 

Розв’язання

Для того, щоб змінні були співставними, візьмемо логарифми від  відповідних величин:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИКЛАД 2

Вихідні дані:

          - рівень значущості a=0,05;

          - система рівнянь являє собою модифіковану модель Кейнса

  (1)

де Y – валовий національний дохід;  C – споживання; I – інвестиції;  G – державні витрати; t  та  t-1 – поточний і попередній періоди;  e₁ таe₂ – випадкові помилки.

Потрібно визначити коефіцієнти структурної моделі (1).

Таблиця 1

Дані спостережень для макроекономічної моделі Кейнса

Рік спостереження	Ct	It	Yt	Yt-1	Gt	Розрахункові значення Ŷt
1	1016,6	267,0	1412,7	-	486,1	-
2	1435,9	376,0	1976,9	1412,7	652,7
3	1776,1	408,8	2292,0	1976,9	839,0
4	2003,8	407,1	2514,4	2292,0	842,1
5	3265,7	670,4	4632,0	2514,4	1258,0
6	4476,9	1165,2	7116,6	4632,0	1960,1
7	5886,9	1504,7	8819,9	7116,6	2419,4
8	7443,2	1762,4	10627,5	8819,9	3422,3
9	9024,8	2186,4	12886,1	10627,5	3964,9
10	11401,4	2865,0	16679,9	12886,1	4669,7
11	14363,5	3611,1	21079,5	16679,9	6820,6
12	17742,6	4580,5	26009,7	21079,5	8375,2

1) Ендогенні змінні: C_t, I_t, Y_t . Наперед визначені змінні:   Y_t-1, G_t .

2) Приведена форма моделі має вигляд:

 (2)

3) Визначимо  коефіцієнти приведеної форми моделі. Для цього скористаємось  надбудовою табличного процесора MS Excel “Анализ данных - Регрессия”. У діалоговому вікні Регрессия задамо відповідні діапазони вхідних значень та розміщення вихідних (див. рис.1 для першого рівняння).

 

 

 

Рис.1. Застосування засобу Регрессия для обчислення параметрів першого рівняння приведеної моделі (2).

 

Для першого рівняння:

 

 

Отже перше рівняння має вигляд

C_t =377,752+0,582Y_t-1+0,633G_t .  (3)

Для другого рівняння:

 

 

 

Отже друге рівняння має вигляд

I_t =19,324 +0,154Y_t-1+0,155G_t .            (4)

 

Для третього рівняння:

 

 

 

Отже друге рівняння має вигляд

Y_t =412,398 +0,817Y_t-1+1,036G_t .   .             (5)

 

4) Інструментальна змінна - Y_t , оскільки тільки вона входить у праві частини структурної моделі (1). Тому достатньо обчислити значення Ŷ_t  за формулою (5) . Обчислимо їх у таблиці 2.

 

Таблиця 2

Обчислення значень інструментальної змінної Ŷ_t

 

 

5) Визначаємо коефіцієнти структурної моделі (1). Для цього скористаємось  надбудовою табличного процесора MS Excel “Анализ данных - Регрессия”. У діалоговому вікні Регрессия задамо відповідні діапазони вхідних значень та розміщення вихідних (див. рис.2 для першого рівняння). Використовуємо значення інструментальної змінної Ŷ_t .

 

 

Рис.2. Застосування засобу Регрессия для обчислення коефіцієнтів першого рівняння структурної моделі (1).

Для першого рівняння моделі (1), в якому змінна Y_t  замінена на інструментальну змінну Ŷ_t

 

C_t =a₁+b₁₁ Ŷ_t+e₁ , (6)

 отримаємо:

 

 

Отже, для (6) множинний коефіцієнт кореляції R=0,998, а коефіцієнт детермінації R²=0,996. Критерій Фішера F=2558,92, а рівень значущості рівняння a=2,31^.10^-12.

Значення критерію Фішера для рівня значущості a=0,05  F_крит= 5,12 (див. рис.3). Отже F >F_крит .

 

 

 

 

Рис.3. Обчислення значення критерію Фішера на рівні значущості a=0,05 для рівняння (6)

 

Рівняння регресії має вигляд:

C_t =97,941+0,678Y_t .                                    (7)

Отже отримана модель (7) достовірна з ймовірністю 0,95.

Аналогічно для другого рівняння системи (1), застосувавши засіб Регрессия до рівняння з інструментальною змінною Ŷ_t

I_t =a₂+b₂₁ Ŷ_t+ b₂₂ Y_t-1 +e₂ ,                           (8)

 отримаємо:

 

 

 

Отже, для (8) множинний коефіцієнт кореляції R=0,998, а коефіцієнт детермінації R²=0,996. Критерій Фішера F=960,61, а рівень значущості рівняння a=2,96^.10^-10.

Критерій Фішера для  рівня значущості a=0,05 F_крит= 4, 459 (див. рис.4). Отже F >F_крит .

 

 

Рис.4. Обчислення критерію Фішера для рівня значущості a=0,05 для рівняння (8).

 

Рівняння регресії має вигляд:

І_t =-42,392+0,032Y_t-1 +0,150Y_t  .                             (9)

Отже отримана модель (9) достовірна з ймовірністю 0,95.

 

6) Перевірка значущості отриманих рівнянь (7) та (9).

Рівняння (7) та (9) є статистично значущими при рівні значущості a=0,05, оскільки F >F_крит.

Перевірка значущості коефіцієнтів отриманих рівнянь (7) та (9).

Для рівняння (7) з наведених вище результатів застосування засобу Регрессия бачимо:

- для a₁=97, 941 критерій Стьюдента t=0,565 ;

- для b₁₁=0,678   критерій Стьюдента t=50,59.

Обчислимо критичне значення критерію Стьюдента для даного рівняння t_крит =2,26 (див.рис.6).

 

 

 

Рис.6. Обчислення критичного значення критерія Стьюдента для коефіцієнтів рівняння (7).

Як бачимо, для a₁=97, 941 виконується умова t < t_крит . Отже цей коефіцієнт є не значущим.

Для b₁₁=0,678   виконується умова t >t_крит . Отже цей коефіцієнт є значущим.

Для рівняння (9) з наведених вище результатів застосування засобу Регрессия бачимо:

- для a₂=-42,392 критерій Стьюдента t=-0,556 ;

- для b₂₂=0,032 критерій Стьюдента t=0,192 ;

- для b₂₁=0,150   критерій Стьюдента t=1,107.

Всі коефіцієнти рівняння (9) є  не значущими при a=0,05, оскільки |t| < t_крит.

Висновки

Після знаходження коефіцієнтів модель (1) набуває вигляду:

C_t =97,941+0,678Y_t

І_t =-42,392+0,032Y_t-1 +0,150Y_t                                (10)

Y_t = C_t + І_t + G_t

Побудована модель є адекватною статистичним даним  з ймовірністю 0,95.

Значущим є лише коефіцієнт при Y_t  першого рівняння. 

Застосуємо модель (10) до аналізу економічної системи.

Ця структурна модель дозволяє зробити такі висновки:

-        67,8% приросту національного доходу витрачається на збільшення споживання;

-        3,2% приросту попереднього національного доходу та 15% приросту поточного національного доходу йде на збільшення інвестицій.

 

 

 

 

 

 

ОЦІНЮВАННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ

         

За виконання кожного завдання розрахункової роботи студенти і за умови захисту отримують максимально:

 

         

ПЛАН–ГРАФІКЗАХИСТУ РОЗРАХУНКОВИХ РОБІТ

(прізвище, ім’я, по-батькові, група)

 

№ зп	Назва теми	Термін видачі завдання	Термін захисту завдання	Max. кількість балів, яку можна отримати	Бали	Підпис викладача, (який приймає захист)
1	Завдання 1			10
2	Завдання 2			20
3	Завдання 3			30
Загальна кількість балів, одержана за всі завдання розрахункові роботи				50

 

ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ

Звіт з розрахункової роботи має бути збережений на диску  і оформлений як папка з ім’ям  RozRah_ВашеПрізвищеЛатиницею.

В цій папці мають знаходитись:

• файл документа програми MS Word з варіантом роботи (електронний звіт); файл документа програми MS Excel з ім’ям;
• ВашеПрізвищеЛатиницею.xls із застосованою для обчислень,  розробленою автором процедурою-підпрограмою.

Загальні вимоги

   Розрахункова робота оформлюється згідно Державного стандарту України. Таким стандартом є ДСТУ 3008-95 «Документація. Звіти у сфері науки і техніки. Структура і правила оформлення».

Розрахункова робота виконується на окремих аркушах білого паперу форматом А4 (210 х 297 мм). Робота має бути надрукована через 1,5 міжрядкові інтервали, шрифт 14.

Текст повинен мати поля з 4-х боків аркуша:

- зліва – 20 мм;

- справа – 15 мм;

- зверху – 20мм;

- знизу – 20 мм.

Усі сторінки мають бути пронумеровані. Починається нумерація з титульного листа (без позначення на ньому сторінки), арабськими цифрами у верхньому правому куті сторінки.

Готова робота подається у зброшурованому вигляді.

Заголовки структурних частин розрахункової роботи “Зміст”, “Завдання 1”, “ Завдання 2”, “ Завдання 3”, “Список використаних джерел” і “Додатки” друкують з великої літери (шрифт 14, жирний) симетрично до тексту. Крапку в кінці заголовка не ставлять. Заголовки підрозділів пунктів друкують маленькими літерами (розмір шрифту 14, жирний, крім першої великої) з абзацного відступу. В кінці заголовка не ставиться крапка. Відстань між заголовком  та текстом повинна дорівнювати 2  інтервали.

Вимоги до ілюстрацій

Текст розрахункової роботи ілюструють таблицями, скриншотами, графіками, діаграмами. Вибір виду ілюстрації залежить від змісту матеріалу та поставленої мети.

Кількість  ілюстрацій, використаних у розрахунковій роботі, визначається їхнім змістом і повинна бути достатньою для того, щоб надати тексту ясності і конкретності.

Ілюстрації  іменуються рисунками і нумеруються послідовно в межах розділу.

Усі ілюстративні матеріали розміщують після посилання на них.                                                                                                                                       

 

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

 

1 Вітлінський В.В. Моделювання економіки: Навч. посібник. – К.: КНЕУ, 2003.- 408с.

2 Пономаренко О.І. Пономаренко В.О. Системні методи в економіці, менеджменті та бізнесі.: Навч.посібник. К.-Либідь,1995. - 240с.

3 Клебанова Т.С., Забродський В.О., Полякова О.Ю., Петренко В.Л. Моделювання економіки: Навч. посібник. – Харків: Видавництво ХДЕУ, 2001.-140 с., рос. мовою.

4 Бережна О.В., Бережной В.Г. Математичні методи моделювання економічних систем. Навч. посібник. – М.: Фінанси та статистика, 2001. – 368с., рос. мовою.