Основи теорії кіл, сигнали та процеси в електроніці 16.10.2013 19:24
ПРИКЛАД ЗАВДАННЯ НА РОЗРАХУНКОВО ГРАФІЧНУ РОБОТУ
Варіант № Студента гр. №
Використовуючи метод вузлових потенціалів або метод контурних токів, визначити операторну передавальну функцію. На підставі одержаного результату отримати:
1. Перехідну характеристику електричного кола;
2. Імпульсну характеристику електричного кола;
3. Амплітудно – частотну характеристику (АЧХ) електричного кола;
4. Фазочастотну характеристику (ФЧХ) електричного кола.
Побудувати графіки АЧХ, ФЧХ, перехідної та імпульсної характеристики.
Визначити можливе призначення електричного пристрою, який
побудований за наведеною схемою.
Параметри електричного кола:
Індуктивність L1= 0,15 мкГн, L2= 0,15 мкГн,
Конденсатор C1 = 0,056 мкф,
Резистор Rн = Rв = 600 Ом
Зміст розрахунково-графічної роботи
Вступ.
1. Скласти систему рівнянь методом контурних токів або вузлових потенціалів виходячи з схеми свого варіанту. Рішивши її знайти операторну передавальну функцію схеми.
2. Використавши визначену операторну передавальну функцію розрахувати частотні характеристики схеми (амплітудно-частотну і фазочастотну), використавши програму Mathcad побудувати їх графіки і зробити висновки о можливості застосування заданої схеми.
3. Використавши визначену операторну передавальну функцію розрахувати часові характеристики схеми (перехідну та імпульсну) ), використавши програму Mathcad побудувати їх графіки і зробити висновки о відповідності отриманих результатів частотним характеристикам
Висновки.
Приклад оформлення титульного аркушу
НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Інститут інформаційно-діагностичних систем
Факультет телекомунікації та захисту інформації
Кафедра комп’ютеризованих систем захисту інформації
РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА
з дисципліні: “Основи теорії кіл, сигнали та процеси в електроніці”
на тему: “ Розрахунок частотних і часових характеристик електричних кіл”
Виконав студент
Факультету телекомунікації та захисту інформації
Спеціальність 160103, група № 1
Булгаков Дмитро Леонідович
Перевірив: доцент кафедри КСЗІ Шматок Олександр Станіславович
Київ 2006
Розрахунково-графічна робота виконується як пояснювальна записка з необхідними кресленнями.
Пояснювальна записка виконується у вигляді рукописного чи друкованого текстового документу на аркушах формату А4 (додаток - комп’ютерний варіант документу в текстовому редакторі Word) шрифтом 14, зброшурована в папку з титульним листом встановленого зразка.
Пояснювальна записка включає зміст, вступ та розділи, які є необхідними для повного розкриття виконаного завдання.
Роботи мають бути представленні в деканат в встановленні терміни. Роботи, які не відповідають встановленим вимогам, або містять принципові помилки, повертаються студентові і мають бути перероблені згідно з зауваженнями викладача - рецензента.
Студенти, розрахунково-графічні роботи яких не зараховані, не допускаються до здачі іспиту або заліку.
Приклад змісту пояснювальної записки
Зміст
Вступ; ______
1. Знаходження операторної передавальної функції схеми. ______
2.Визначення амплітудно-частотної та фазо - частотної
характеристик схеми ______
3.Визначення часових характеристик схеми ______
Висновки ______
Література ______
Методичні рекомендації по виконанню окремих розділів
розрахунково-графічної роботи
У вступі (1 – 2 сторінки) коротко викладається зміст задачі, вирішенню якої присвячена розрахунково-графічна робота, та значення такої задачі в загальній проблематиці сигналів та процесів телекомунікаційних мереж.
У першому питанні необхідно скласти систему рівнянь описуючих методом контурних токів або вузлових потенціалів задану схему виходячи з того, щоб кількість рівнянь була мінімальною. Рішивши її знайти операторну передавальну функцію схеми.
Метод контурних токів.
Розрахунок складних електричних ланцюгів методом контурних струмів зводиться до рішення системи рівнянь, складених тільки по другому законі Кирхгофа. .
Рис. 1
Сутність цього методу розглянемо на прикладі розрахунку ланцюга, схема якого приведена на мал. 1. Система рівнянь, складених для цього ланцюга по першому і другому законах Кирхгофа, має вид:
I1 - I2 - I3 = 0
Z1 I1 + Z3 I3 = E1 (1.1)
Z2 I2 - Z3 I3 = - E2
Виключимо з цієї системи рівнянь струм I3, що протікає в галузі, що входить одночасно в два контури. Цей струм дорівнює I3 = I1 - I2 .
Підставивши його в рівняння, складені по другому законі Кирхгофа, одержимо:
Z1 I1 + Z3 (I1 - I2 ) = E1 (1.2)
Z2 I2 - Z3 (I1 - I2 ) = -- E2
чи
(Z1 + Z3 )I1 - Z3 I2 = E1 (1.3)
-Z3 I1 +( Z2 + Z3 ) I2 = -- E2
Ця система рівнянь дає підставу вважати, що в кожному незалежному контурі протікає свій, так називаний контурний струм (ток), що незалежно від інших струмів створює спадання напруги на тих опорах ланцюга, по яких він протікає. Контурні струми звичайно позначаються буквою I з римськими індексами. У розглянутій схемі, приведеної на мал. 1, напрямок контурних струмів II і III показано стрільцями усередині контурів. Ці струми дорівнюють струмам у галузях I1 і I2 ,по яких протікає тільки один з контурних струмів, тобто II = I1 і III = I2.
При розрахунку електричних ланцюгів розглянутим методом крім контурних струмів уводять ще ряд понять: контурні э.д.с., власні і взаємні опори.
Контурної э.д.с. називають алгебраїчну суму усіх э.д.с. контуру. При цьому обхід контуру роблять по напрямку контурного струму і э.д.с. беруть зі знаком «плюс», якщо її напрямок збігається з напрямком контурного струму, і зі знаком «мінус», якщо ці напрямки протилежні. Контурні э.д.с. звичайно позначають буквою Е с римськими індексами, що відповідають номерам контурів.
У розглянутому прикладі контурні э.д.с. EI = E1 і EII = - E2 .
Власним опором контуру називають суму всіх опорів, що входять у даний контур. При цьому кожен опір береться з позитивним знаком. Власні опори контурів позначаються буквою Z з подвійними індексами, що відповідають номеру контуру.
У розглянутому прикладі власні опори контурів
Z11 = Z1 + Z3 і Z22 = Z2 + Z3 .
Взаємними опорами контурів називають опору, що одночасно входять у два різних контури. Вони позначаються буквою Z із двома індексами, перший з який відповідає номеру розглянутого контуру, а другий — номеру контуру, що має загальний опір з розглянутим контуром. Взаємні опори вважаються позитивними, якщо контурні струми, що протікають по цих опорах, мають однаковий напрямок, і негативними, якщо напрямку контурних струмів протилежні.
У розглянутому прикладі взаємний опір першого контуру з другим Z12 = - Z3, а другого контуру з першим Z21 = - Z3. Звідси видно, що Z12 =Z21, тобто взаємні опори, що відрізняються одне від іншого порядком індексів, рівні між собою. Це справедливо тільки для електричних ланцюгів, що не містять залежних джерел э.д.с. чи струму.
З урахуванням уведених понять систему рівнянь (1.3) для розглянутого приклада можна записати у виді:
Z12 II + Z12 III = EI (1.4)
Z21 II + Z22 III = EII
Вирішивши цю систему рівнянь, знайдемо контурні струми II , III . Якщо деякі з цих струмів виходять негативними, то їхні дійсні напрямки будуть протилежні спочатку прийнятим позитивним напрямкам. Знаючи контурні струми, можна знайти струми в галузях. Якщо в галузі протікає тільки один контурний струм, то щирий струм у галузі буде дорівнює цьому струму. Струми в галузях, по яких протікають кілька контурних струмів, рівні їхній алгебраїчній сумі.
У загальному випадку для електричного ланцюга, що містить п незалежних контурів, система контурних рівнянь має вид:
Z11 II +Z12 III +…+ Z1n IN = EI
Z21 II +Z22 III +…+ Z2n IN = EII
……………………………………….. (1.5)
Zn1 II +Zn2 III +…+ZnnIN=EN
де Zkk -власний опір k-гo контуру;
Zkj -- взаємний опір k-гo і j -го контурів;
Ek — контурна э.д.с. k - гo контуру.
Вирішуючи цю систему рівнянь за допомогою визначників, знайдемо струм у будь-якому k-м контурі
Ik = Δ k /Δ, (1.6)
де Δ — визначник системи:
Z11 Z12 … Z1n
Z21 Z22 … Z2n
Δ = ……………...
Zn1 Zn2 … Znn
Цей визначник для пасивних ланцюгів, що не містять залежних джерел
э.д. с. і струму, симетричний щодо його головної діагоналі, тому що для таких ланцюгів будь-які взаємні опори Zkj і Zjk рівні між собою.
Визначник Δ k виходить з визначника Δ k шляхом заміни k -го стовпця вільними членами:
Z11 Z12 …EI …Z1n
Z21 Z22 …EII …Z2n
Δk = …………….
Zn1 Zn2 …EN …Znn
Розкладаючи у вираженні (1.6) визначник Δ k по елементах k-ro стовпця, одержимо n
I = Δ1k /Δ*EI + Δ2k /Δ*EII + … + Δnk /Δ*EN = Σ Δjk /Δ*Ej , (1.7)
j=1
де Δjk - алгебраїчне доповнення визначника системи, що виходить шляхом викреслювання в ньому j-й рядка і k-гo стовпця і множення на(-1) j+k.
При розрахунку електричних ланцюгів методом контурних струмів доцільно дотримувати наступного порядку:
1.Вибрати незалежні контури ланцюга і вказати позитивні напрямки контурних струмів у них.
2. Обчислити власні і взаємні опори контурів, а також контурні е.д.с.
3. Скласти систему рівнянь для контурних струмів у відповідності з другим законом Кирхгофа.
4. Вирішити отриману систему рівнянь одним з відомих методів визначити контурні струми.
5. Визначити струми в галузях.
На закінчення необхідно відзначити, що контурні струми в загальному випадку є розрахунковими величинами, а реально існуючими струмами є струми, що протікають у галузях електричного ланцюга.
Перевагою розглянутого методу контурних струмів є менше число рівнянь у порівнянні з методом рівнянь Кирхгофа і можливість формалізації рішення, що дозволяє розраховувати дуже складні електричні ланцюги з застосуванням обчислювальних машин.
Метод вузлових потенціалів
Розрахунок складних електричних ланцюгів методом вузлових потенціалів, чи вузлових напруг, зводиться до рішення системи рівнянь, складених тільки по першому законі Кирхгофа. З цих рівнянь визначають напруги
у вузлах схеми електричного ланцюга щодо деякого базисного вузла, потенціал якого приймають рівним нулю, а струми в галузях, що з'єднують
вузли, знаходять за законом Ома.
Сутність цього методу розглянемо на прикладі електричного ланцюга (мал. 2), джерела енергії якої задані у виді джерел струму.
Мал..2
Потенціал одного з вузлів, наприклад нульового, зафіксуємо і будемо вважати його рівним нулю. Такий вузол звичайно називають базисним вузлом. При цьому потенціали інших вузлів будуть дорівнюють напругам між цими вузлами і базисним вузлом.
Вибравши позитивні напрямки струмів, складемо рівняння по першому законі Кирхгофа для незаземлених вузлів:
J1 = I1 + I3 = (φ1 – φ0) g1 + (φ1 – φ0) g3;
J2 = I2 - I3 = (φ2 – φ0) g2 + (φ1 – φ2) g3;
де g1 = 1/Z1 ; g1 = 1/Z1 ; g1 = 1/Z1 .
З огляду на, що φ0 = 0, після перетворення одержимо;
J1 = (g1 + g3)φ1 – g3 φ2 ;
J2 = - g3 φ1 + (g2 + g3) φ2 ;
Позначивши g11 = g1 + g3 ; g22 = g2 + g3 ; g12 = g21 = - g3
одержимо:
J1 = g11 φ1 + g12 φ2 ;
J2 = g21 φ1 + g22 φ2 ;
У загальному випадку для електричного ланцюга, що має (n+1) вузлів, система рівнянь для визначення вузлових потенціалів буде мати вид:
g11 φ1 + g12 φ2 + … + g1n φn = J1
g21 φ1 + g22 φ2 + … + g2n φn = J2 (1.8)
…………………………………
gn1 φ1 + gn2 φ2 + … + gnn φn = Jn
де: gkk — власна провідність k-го вузла, рівна сумі проводимостей усіх галузей, з'єднаних з цим вузлом; ця провідність завжди позитивна;
gkj—взаємна провідність між k-м і j-м вузлами, рівна сумі проводимостей гілок, що з'єднують ці вузли; ця провідність при обраному напрямку усіх вузлових напруг до базисного вузла для ланцюгів, що не містять залежних джерел електричної енергії, завжди негативна;
Jk - вузловий струм k-го вузла, дорівнює алгебраїчній сумі струмів джерел струму, приєднаних до k- му вузла, ці струми беруться зі знаком «плюс», якщо вони спрямовані до вузла, і зі знаком «мінус», якщо спрямовані від вузла. Вище передбачалося, що джерела електричної енергії задані у виді джерел струму.
У випадку якщо яка-небудь галузь містить ідеальне джерело э.д.с., тобто її опір дорівнює нулю, і, отже, напруга між двома вузлами задано, доцільно як базисний вузол вибрати один з вузлів даної галузі. У цьому випадку число невідомих вузлових напруг і, отже, число вузлових рівнянь скоротиться на одиницю.
Для пасивних ланцюгів завжди справедлива рівність gkj = gjk ,а для активних ланцюгів ця рівність може виявитися несправедливим.
Рішення одним з відомих методів системи рівнянь (1.8) дає можливість знайти потенціали вузлів, знаючи які, можна за законом Ома знайти струми у всіх гілках. При розрахунку електричних ланцюгів методом вузлових потенціалів доцільно дотримувати наступного порядку:
1.Прийняти потенціал одного з вузлів рівним нулю, тобто заземлити один з вузлів і пронумерувати один за одним інші вузли.
2. Обчислити вузлові струми.
3. Визначити власні і взаємні провідності вузлів.
4. Скласти і вирішити систему рівнянь вузлових потенціалів.
5. Знайти вузлові потенціали, а при необхідності знайти струми в гілках.
Операторні схемні функції
До числа найважливіших понять електричних кіл відносяться вхідні і передаточні функції ланцюгів. Маючи операторні схемні функції ланцюга, можна визначити всі її характеристики і властивості. Тобто операторні схемні функції несуть інформацію про властивості ланцюга і не залежать від форми впливу.
Схемні функції підрозділяють на вхідні і передатні. Операторною передаточною функцією ланцюга називається відношення зображення реакції до зображення впливу при нульових початкових умовах
( 1.9).
де - зображення реакції; - зображення впливу.
У залежності від того, якою величиною (током або напругою) визначається вплив і реакція (1.9), операторні передаточні функції можуть мати один з наступних видів:
(1.10)
Кожну з передатних функцій можна розглядати як коефіцієнт між операторними зображеннями впливу і реакція.
З (1.10), наприклад, випливає
Тобто, знаючи операторну передаточну функцію ланцюга, можна знайти зображення реакції на довільний вплив. Це свідчить про те, що операторна передатна функція містить повну інформацію про властивості ланцюга як системи передачі сигналів від входу до навантаження при нульових початкових умовах.
Так, наприклад, для RL - кола, зображеного на мал.3, по визначенню операторної передаточної функції маємо
Мал.3.
Якщо буде потрібно знайти реакцію ланцюга на одиничний імпульсний вплив
то легко визначати це з використанням операторної передаточної функції:
До вхідних операторних функцій відносяться операторна вхідна провідність (опір)
і вихідна провідність (опір)
Вхідні функції електричного кола є досить важливою інформацією в тих випадках, коли потрібне підключення електричного кола до іншого електричного кола або джерел енергії. Для нашого приклада маємо
У другому питанні необхідно використавши визначену операторну передавальну функцію розрахувати частотні характеристики схеми (амплітудно-частотну і фазочастотну).
Частотні характеристики електричних кіл
Опір або провідність реактивних елементів залежать від частоти ( , ), тому, якщо електричне коло містить реактивні елементи, то вони вносять зміни у величину амплітуди і фази прикладеного впливу при зміні його частоти. Тобто, амплітуда і фаза реакції електричного кола, що містить реактивні елементи, є функціями частоти. Ці функціональні залежності доцільно розраховувати відносно до амплітуди і фази струму або напруги на вході електричного кола. Це дозволяє характеризувати частотні властивості електричного кола безвідносно до амплітудних значень і початкових фаз впливів. Для визначення частотних властивостей електричного кола використовуються комплексна передаточна і вхідні функції.
Під комплексною передаточною функцією будемо розуміти відношення комплексних амплітуд реакції і впливу
Як і будь-яке інше комплексне число, комплексна передаточна функція може бути представленою у показовій формі
Модуль комплексної передатної функції
називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ) електричного кола, що показує як залежить амплітуда реакції ланцюга від частоти впливу. При однаковій природі впливу і реакції (струм або напруга) АЧХ функції безрозмірна, при різній природі має розмірність провідності або опору. Аргумент комплексної передатної функції
називається фазочастотною характеристикою (ФЧХ) електричного кола і визначає частотну залежність різниці фаз реакції і впливи
ФЧХ вимірюється в градусах або радіанах незалежно від природи впливу і реакції.
Використавши визначену операторну передаточну функцію (перехід від операторних до комплексних функцій здійснюється шляхом заміни операторів на ), одержимо
(1.11)
Тобто комплексна передатна функція може бути представлене як відношення комплексної реакції до комплексного впливу. Таким чином комплексна передаточна функція відображає частотні властивості ланцюга відразу у всьому діапазоні частот і на кожній окремо узятій частоті.
Маючи комплексну передаточну функцію і функцією завжди можна визначити , так як з (1.11) випливає
Частотні характеристики електричних кіл описують безпосередньо електричні кола (не залежать від впливу) і визначається структурою і значеннями параметрів елементів електричного кола. У більшості випадків виявляється більш зручним визначення операторної передаточної функції, а потім перехід до комплексної з метою визначення частотних характеристик електричного кола.
Для приклада розглянемо частотні характеристики RC - кола (Мал. 5,а).
Спочатку визначимо операторну передаточну функцію і перейдемо до комплексної передаточної функції
Представляючи комплексну передатну функцію в показовій формі, знаходимо вираження для АЧХ і ФЧХ ланцюга
Графіки отриманих характеристик представлені на мал.5. б, в.
Рис. 5. RC-коло (а); її частотні характеристики: б- АЧХ, в- ФЧХ
Графічне представлення характеристик зв'язане зі значеннями частоти і параметрів елементів електричного кола. При значення й одержимо . Частоту називають квазірезонансною. При збільшенні частоти зменшується, до нуля, а при зменшенні значення прямує до одиниці. Такий ланцюг має властивість затримувати високочастотні складового спектра вхідного коливання.
У третьому питанні необхідно розрахувати часові характеристики схеми (перехідну та імпульсну).
Часові характеристики електричних кіл
До часових характеристик електричних кіл відносяться імпульсна характеристика і перехідна характеристика .
Імпульсною характеристикою ланцюга називається відношення реакції електричних кіл на імпульсний вплив до площі цього впливу при нульових початкових умовах
де - реакція електричного кола (струм або напруга) на імпульсний вплив
Таким чином, можна дати і більш просте визначення імпульсної характеристики як реакції електричного кола на одиничний імпульсний вплив , Під реакцією можна розуміти не тільки напруга, але і ток у визначеній гільці електричного кола.
Перехідною характеристикою ланцюга називається відношення реакції електричного кола на східчастий вплив до величини цього впливу Е при нульових початкових умовах
Іншими словами можна сказати, що перехідна характеристика лінійного ланцюга чисельно дорівнює реакції ланцюга на одиничний східчастий вплив .
Часові характеристики є нормованими реакціями, тому вони характеризують електричне коло у часовій області, не залежать від виду впливу і можуть бути визначені по операторній передаточній функції.
Дійсно, якщо на ланцюг діє одиничний імпульсний вплив , то операторна реакція прийме вид׃
Але по визначенню імпульсна характеристика є реакцією електричного кола на одиничний імпульсний вплив, тому зображенням імпульсної характеристики є операторна передаточна функція
При впливі одиничного перепаду на електричне коло маємо:
Але в цьому випадку реакцією електричного кола є перехідна характеристика, тому можна записати;
Тобто зображення перехідної характеристики дорівнює операторній передаточній функції, діленої на оператор .
Таким чином, часові характеристики можуть бути визначені по операторній передаточній функції. Наприклад, для електричного кола мающого передаточну функцію
с використанням таблиць відповідностей можна одержати наступні вирази для часових характеристик:
Графіки отриманих часових характеристик представлені на мал.6. Неважко помітити, що між часовими характеристиками мається зв'язок, що легко установити, використовуючи їхнє операторне зображення
Рис.6.
Останні рівності дозволяють здійснити перехід в область оригіналів і встановити зв'язок між імпульсною і перехідною характеристиками
Часові характеристики електричних кіл є досить важливою інформацією і дозволяють визначити реакцію електричного кола в часовій області на як завгодно складний вплив.
Наприклад, нехай заданий вплив і відома імпульсна характеристика електричного кола , а потрібно визначити реакцію електричного кола на заданий вплив. Знайти реакцію електричного кола можна, скориставшись співвідношенням
Тоді, відповідно до зворотного перетворення Лапласа (оригіналом добутку двох зображень є згортка оригіналів) одержимо
(1.12)
Тобто реакція електричного кола є згорткою впливу s(t) і імпульсної характеристики електричного кола .
Аналогічним чином для визначення реакції на складний вплив можна скористатися і перехідною характеристикою. Дійсно, оскільки
то при переході до оригіналів одержимо:
Продиференціював отриманий вираз по параметру в остаточному підсумку одержимо наступні вираження для реакції:
Або (1.13)
Вираження (1.12) і (1.13) широко використовуються в теорії ланцюгів для визначення реакцій у часовій області.
У висновках слід зробити короткий (підсумковий) огляд викладеного в усіх питаннях розрахунково-графічної роботи. Визначити можливе призначення електричного пристрою, який побудований за наведеною схемою.
Основна та додаткова література :
1. Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сборник задач и упражнений: Учеб. пособие для вузов.- М.:Радио и связь , 1989. – 328с.
2. Карташов Р.П., Медведев А.П. Теория электрорадиоцепей. Под ред.
А. М.Широкова, М.: Воениздат МО СССР. 1980 г.
3. Лосев А.К, Теория линейных электрических цепей. Учебник для Вузов. – М. Высшая школа. 1987 г.
4. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. –М. „Радио и связь”, 1986 г.
5. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники, ч.1. Линейные электрические цепи. – М.: Энергия, 1978 г.
6. Попов П.А. Расчет частотных электрических фильтров.– М. Энергия, 1966 г.
7. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для Вузов. - М.: Радио и связь, 1986 г.
8. Баскаков С.І..- Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для Вузов М.: Высшая школа, 1983. г.
Додаткова література:
1. Зернов Н.В. Карпов В.Г. Теория радиотехнических цепей. – Л. „Энергия” 1972 г.
2. Ланне А.А. Оптимальный синтез линейных электрических цепей . – М.: Связь, 1969 г.
3. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи . -М.: Высшая школа, 1981г.
4. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров / Перевод. Под ред. Слепова Н.Н. – М.: Радио и связь, 1983.
