|
|
Главная \ Методичні вказівки \ Основи захисту та кодування інформацїї
Основи захисту та кодування інформацїї« Назад
Основи захисту та кодування інформацїї 25.07.2015 07:42
Міністерство освіти і науки УкраїниУкраїнський державний університет водного господарствата природокористування
Кафедра прикладної математики
100-64 0
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
для виконання лабораторних та самостійних робіт з дисципліни "Основи захисту та кодування інформацїї" студентами спеціальностей 7.080200, 8.080200 "Прикладна математика"
Рекомендовано до друкуметодичною комісієюфакультету комп’ютернихінтегрованих системта прикладної математикиПротокол № 9 від 26 квітня 2004 р.
Рівне 2004Методичні вказівки для виконання лабораторних та самостійних робіт з дисципліни "Основи захисту та кодування інформацїї" студентами спеціальностей 7.080200, 8.080200 "Прикладна математика". Частина І./ П. В. Ольшанський, - Рівне: УДУВГП, 2004, -52 с.
Упорядник П. В. Ольшанський, старший викладач кафедри обчислювальної математики.
Відповідальний за випускА.П. Власюк, доктор технічних наук,професор,завідувач кафедри прикладної математики.
Зміст
Вступ У 1949 році була опублікована стаття Клода Шеннона "Теорія зв'язку в секретних системах", яка підвела наукову базу під криптографію і криптоаналіз. З цього часу стали говорити про нову науку криптологію (гр. kryptos - таємний і logos - повідомлення) - науку про перетворення інформації для забезпечення її таємності. Якщо раніше шифрування застосовувалось переважно до невеликих за обсягом текстових повідомлень і виконувалось переважно "вручну", то на новому етапі для передачі і захисту конфіденційної інформації стали використовуватись електронні пристрої - спеціальні мікросхеми і комп’ютерні програми, причому об’єми і швидкості передачі інформації стрімко зростають. Розвиток електронних та комп’ютерних систем зв’язку поставив перед математиками ряд принципово нових задач, наприклад, захист електронних грошових рахунків та переказів від підробок і зловживань, обіг електронних грошей, питання довіри до партнерів по електронному листуванню чи бізнесу та підтвердження їх аутентичності, підписання контрактів та документів з використанням електронного підпису та багато інших. Основні поняття і терміни Розглянемо коротко зміст основних термінів і понять, які використовуються в сучасній теорії систем захисту та кодування інформації. Криптографія (cryptography) (гр. ktyptos - таємний і grapho - пишу) - наука про способи перетворення (шифрування) інформації з метою захисту її від незаконного чи небажаного використання. Крім того, шифрування повинне також забезпечувати можливість легкого одержання вихідної інформації із зашифрованої легітимними користувачами, яким відомий чи доступний ключ алгоритму розшифровування або інша ключова інформація. Найчастіше передбачається, що зашифрована інформація передається по загальнодоступному каналі зв'язку, наприклад, радіо чи Інтернет, так, що всі користувачі (законні і незаконні) мають до неї вільний доступ. У математичній чи теоретичній криптографії прагнуть показати, що задача зламування шифру є задачею із строго доказовими властивостями, зокрема, її розв’язування має визначену "складність" у рамках тієї чи іншої математичної моделі. Шифрування (encryption) - процес зашифровування інформації, тобто застосування криптографічного перетворення до вхідних даних (відкритого тексту). Дешифрування (deciphering) і розшифровування (decryption) - відповідно методи одержання із зашифрованого тексту інформації без знання криптографічного ключа і зі знанням його. Шифр і шифросистема (cipher, cypher, ciphercode) - найчастіше вихід криптосистеми і сама симетрична криптосистема відповідно. У залежності від контексту шифр може означати зашифроване повідомлення або саму криптографічну систему перетворення інформації. Криптографічний ключ (cryptographic key, іноді просто key) - для симетричних криптосистем - секретний компонент шифру. Повинен бути відомим тільки законним користувачам процесу обміну інформації. Криптографічна стійкість, криптостійкість (cryptographic strength) - стійкість шифросистеми проти всіх відомих видів криптоаналізу. Принцип Керкхоффа (Kerckhoff) - принцип розробки і поширення криптографічних алгоритмів, відповідно до якого в секреті тримається тільки визначений набір параметрів шифру (і в обов'язковому порядку криптографічний ключ), а все інше може бути відкритим без зниження криптостійкості алгоритму. Цей принцип був вперше сформульований у роботі голандського криптографа Керкхоффа "Військова криптографія" в середині 19 століття разом з десятком інших, не менш відомих (наприклад, шифр повинен бути зручним в експлуатації, шифр повинен легко запам'ятовуватись). Раунд чи цикл шифрування (round) - один комплексний крок алгоритму, в процесі якого перетворюються дані. Підключ шифрування (round key, subkey) - криптографічний ключ, що обчислюється і використовуваний тільки на етапі шифрування з основного ключа шифрування. Криптографічна атака (cryptoanalitic attack) - спроба викликати відхилення від нормального проведення процесу конфіденційного обміну інформацією. Відповідно зламування, розкриття, дешифрування шифру чи шифросистеми - це успішне застосування криптографічної атаки; Гама-послідовність чи просто гама (gamma sequence, gamma) - послідовність псевдовипадкових елементів, що генеруються за певним законом чи алгоритмом. Гамування (gamma xoring) - процес "накладання" гама-послідовності на відкриті дані, найчастіше з допомогою логічної операції XOR (виключне АБО). Автентичність даних і систем (authenticity of information) - для даних автентичність можна визначити як факт підтвердження дійсності інформації, що міститься в цих даних, а для систем - здатність забезпечувати процедуру відповідної перевірки - аутентифікації даних. Аутентифікація (authentication) - процедура перевірки дійсності даних, пересвідчення чи доведення факту створення та відправлення легітимними (законними) учасниками процесу обміну інформації. Імітозахист - це захист даних у системах передачі і зберігання від спотворення чи зловмисного нав'язування помилкової інформації. Імітозахист досягається найчастіше за рахунок включення в пакет переданих даних імітовставки. Імітовставка - блок додаткової інформації, обчислений за певним алгоритмом і залежний від деякого криптографічного ключа і даних. Блочні (блокові) шифри - шифрують інформацію строго визначеними порціями - блоками, наприклад, по 64 біти. Найчастіше реалізуються у вигляді шифруючих мікросхем. Алгоритми блокових шифрів (симетричні криптосистеми) складають основу класичної післявоєнної криптографії із секретними ключами. Вважаються абсолютно стійкими - практичне розкриття можливе тільки грубою силою - перебором всіх можливих ключів. Потокові (поточні) шифри - шифрують інформацію по мірі надходження (побайтово чи побітово). Найчастіше реалізують накладання гами чи варіанти блочного шифрування. Як правило, в алгоритмах використовується зворотній зв’язок із раніше введеним текстом чи шифротекстом. Реалізовані в багатьох системах захищеного телефонного та мобільного зв’язку. Стеганографія - малопомітне приховування важливої інформації, переважно текстової, у великих за об’ємах графічних, звукових або текстових файлах, які передаються відкритими каналами. Криптоаналіз (cryptanalysis) - набір методик і алгоритмів дешифрування криптографічно захищених повідомлень, аналізу шифросистем. Основні методи кpиптоаналізу:
Симетрична криптосистема - система із секретним ключем, який використовується і під час шифрування, і під час розшифровування. Для одержання секретного ключа учасниками обміну інформацією потрібен секретний канал, що є головним недоліком класичних симетричних криптосистем. Схема симетричної криптосистеми показана на рис.1. Асиметрична криптосистема чи система з відкритим (публічним) ключем - система із двома ключами. Генеруються два ключі - секретний і відкритий. Відкритий ключ передається відкритими каналами зв’язку одному або декільком партнерам, з допомогою нього шифруються повідомлення і передаються володарю секретного ключа. Розшифрувати повідомлення можна тільки секретним ключем. Знайти секретний ключ за відомим публічним - обчислювально складна задача, яку неможливо розв’язати (поки що) за допомогою комп’ютерних систем. Для генерації ключів і шифрування використовуються обчислювально - складні алгоритми, наприклад, розклад астрономічно великих чисел на прості множники, цілочисельне логарифмування, еліптичні функції. Алгоритми, які грунтувались на задачі вкладання ранця, виявились ненадійними і спростовані математично. Недоліком асиметричних криптосистем є їх нестроге теоретичне обгрунтування. Однак є практичні області, де без них обійтись неможливо - це системи електронного підпису, електронного голосування, "електронні" гроші. Для електронного підпису автор шифрує документ секретним ключем. Перевірка підпису відбувається з допомогою відкритого ключа, тобто відбувається процес, протилежний до описаного вище. Для запобігання внесення змін, сторони, що підписують договір, зашифровують документ послідовно кожен своїм секретним ключем.
Рис.1 Схема симетричної криптосистеми із секретним ключем
Лабораторна робота №1
Тема: Реалізація симетричного XOR-алгоритму шифрування файлів в Delphi Мета роботи. Створити програму для шифрування файлів довільного типу одним з найпоширеніших алгоритмів, відлагодити проект Delphi з декількома модальними формами, спроектувати базовий шаблон для подальшого вивчення різних методів шифрування. Теоретичні відомості Прості алгоритми шифрування поділяють на дві групи:
Підстановочні шифри поділяють на
Поліалфавітні та поліграмні шифри використовувались багато століть в ручній криптографії до закінчення Другої світової війни, коли з’явились перші комп’ютери. В сучасних машинних шифрах використовуються в комбінаціях з перестановочними шифрами для надійного перемішування бітів та байтів. К.Шенноном в 1946р. було доведено, що якщо довжина ключа дорівнює довжині шифрованого тексту і кожен ключ є випадковим набором символів і використовується лише один раз, то такий шифр є абсолютно надійним, і без знання ключа його однозначно неможливо розшифрувати. Однак цей метод, названий методом одноразового блокнота, практично використовується лише в одиничних випадках, бо його неможливо реалізувати для шифрування великих об’ємів інформації. На практиці використовуються ключі (паролі) обмеженої довжини, які можна запам’ятати чи таємно повідомити користувачам доступними засобами. Найпростішим в реалізації різновидом поліалфавітного шифру є XOR-алгоритм. Таблиця 1. Логічна операція XOR
Операція XOR - eXclusive OR, виключне АБО чи додавання за модулем 2 - результат логічної операції з двома двійковими розрядами дорівнює 1, якщо розряди різні, і дорівнює 0, якщо розряди співпадають.
Рис.2 Головна форма проекту Хід роботи 1. Відкрийте новий проект в Delphi, створіть головну форму і заповніть підписами і кнопками згідно рис.2. 2. Розмістіть на формі компонент OpenDialog1 (закладка Dialogs). У властивості Filter задайте типи файлів згідно рис.3.
Рис.3 Задання властивостей Filter для OpenDialog1
3. Створіть нову форму Form2 для задавання ключа згідно рис.4. Задайте для фоми властивості: BorderStyle=None; Visible=False; Position=poScreenCenter; Розмістіть на формі компонент Edit. Створіть для форми обробники подій
Рис.4 Модальна форма для введення ключа
Рис.5 Форма Form3 для демонстрації процесу шифрування
procedure TForm2.Edit1KeyDown(Sender: TObject; var Key: Word; Shift: TShiftState); begin if (key=VK_RETURN) then begin psw1:=Edit1.Text; ModalResult:=6; end; end; procedure TForm2.FormShow(Sender: TObject); begin Edit1.Text:=''; end; 4. Створіть нову форму Form3 для наочної демонстрації процесу шифрування (рис.5). Задайте властивості BorderStyle=bsDialog; Visible=False; Position=poScreenCenter. Розмістіть на формі п’ять підписів, два поля Memo1 та Memo2, індикатор Gauge1 (закладка Samples). 5. Створіть основну процедуру для шифрування файлів за зразком procedure XOR_alg; var f,f1:file of byte; b,b1:byte; s,s1:string; k,k100:integer; time0,time1:TDateTime; FileLen :integer; millisec :comp; procedure Code(b:byte;var bc:byte); var r, a : byte; begin r:=k mod length(psw1); a:=ord(psw1[r+1]); bc:=a XOR b end; begin Form3.Caption:=' XOR алгоритм'; Form3.Label1.Caption:='Вхідний файл:'+name1; AssignFile(f,name1); Reset(f); FileLen:= FileSize(f); k100:= FileLen div 100; Form3.Label3.Caption:='Довжина файла '+ IntToStr(FileLen)+'байтів'; Form3.Label5.Caption:=' '; Form3.Label2.Caption:='Зашифрований файл:'+ name1+'.cip'; AssignFile(f1,name1+'.cip' ); Rewrite(f1); k:=0;// лічильник кількості символів Form3.Gauge1.Progress:=0; // покажчик індикатора time0:=Time; //початок формування рядків для виведення на екран s:='';s1:=''; while not eof(f) do begin // очищення полів Мемо для запобігання переповнення if k mod 20000=0 then begin Form3.Memo1.Clear; Form3.Memo2.Clear end; // відлік відсотків на індикаторі if k mod k100=0 then begin Form3.Gauge1.Progress:=Form3.Gauge1.Progress+1; // виведення системного часу Form3.Label4.Caption:='Час '+TimeToStr(Now); Form3.Refresh; // оновлення форми end; read(f,b); // читання байта з файла // формування рядка для виведення на екран s:=s+chr(b); code(b,b1); // кодування байта write(f1,b1); // запис байта в результуючий файл // формування рядка для виведення на екран s1:=s1+chr(b1); //виведення на екран рядків по 80 символів if (b=13) or (length(s)>79) then begin Form3.Memo1.Lines.Add(s); Form3.Memo2.Lines.Add(s1); s:='';s1:='' // очищення рядкових буферів end; inc(k) // відлік байтів end; // виведення залишків символів на екран Form3.Memo1.Lines.Add(s); Form3.Memo2.Lines.Add(s1); time1:=Time-time0; // обчислення часового проміжку Form3.Label4.Caption:='Час шифрування ' +FormatDateTime(' n хв. ss,zz сек.',time1); millisec:=TimeStampToMsecs(DateTimeToTimeStamp(time))- TimeStampToMsecs(DateTimeToTimeStamp(time0)); Form3.Label5.Caption:='Швидкість '+ IntToStr(Trunc(FileLen*1000/millisec))+' б/сек'; // закінчення роботи з файлами closefile(f);closefile(f1); ShowMessage('Збережено у файлі '+name1+'.cip'); end; 6. Для виконання процедур та керування формами створити обробник подій для натискання відповідної кнопки головної форми procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); begin OpenDialog1.Title:='Виберіть файл для шифрування/ розшифровування'; OpenDialog1.Execute; if OpenDialog1.FileName='' then exit; name1:=OpenDialog1.FileName; Form1.Hide; Form2.ShowModal; if Form2.ModalResult=6 then begin ShowMessage('Ваш пароль '''+psw1+''''); Form2.Close; end; Form3.Show; XOR_alg; Form3.Close; Form1.Show end; 7. В описовому розділі головної форми опишіть глобальні змінні var Form1: TForm1; psw1, // ключ шифрування name1 // назва файла, вибраного для шифрування :string; 8. Відлагодьте програму та збережіть всі файли проекту в окремому каталозі для звіту.
Контрольні запитання.
Лабораторна робота №2
Тема: Реалізація перестановочного алгоритму шифрування файлів в Delphi. Комбінування підстановочних та перестановочних алгоритмів Мета роботи. Створити програму для шифрування файлів довільного типу з допомогою перестановочного алгоритму, інтегрувати алгоритм в створений раніше проект Delphi, розробити власний оригінальний метод шифрування у вигляді довільної комбінації підстановок та перестановок. Теоретичні відомості Перестановочні алгоритми шифрування використовувались в практичній криптографії з давніх давен. Більшість сучасних складних криптографічних машинних алгоритмів (DES, ГОСТ-89 та подібні) для кращого перемішування інформації в зашифрованому файлі включають декілька етапів, на яких переставляються місцями окремі біти, байти або групи байтів. Перестановочні алгоритми легко реалізуються в шифрувальній електронній апаратурі, бо для цього досить перекомутувати провідники, по яких передаються сигнали. Ефективна програмна реалізація цих алгоритмів набагато важча, бо перестановки бітів чи груп байтів не входять до основного набору операцій сучасних процесорів. Розробникам нових програмних алгоритмів шифрування рекомендується уникати перестановок, а використовувати лише підстановки та циклічні зсуви. Однак це рекомендації для майбутнього, бо машинні шифри на основі DES добре вивчені, пройшли тривалу практичну перевірку і довели свою надійність і криптостійкість. Алгоритм, який розглядається в даній роботі, реалізовує перестановки байтів згідно заданого ключа. Вхідний файл розбивається на порції, довжина яких відповідає довжині ключа. Ключ повинен містити різні букви (символи). Першим в результуючий файл записується той байт (символ), номер якого співпадає з номером наймолодшого (розташованого в алфавіті чи кодовій таблиці раніше інших) символа ключа. Наприклад, в якості ключа використовується слово "YOURSELF" Порядок символів в ключі за алфавітом утворює масив номерів 8, 4, 7, 4, 5, 1, 3, 2. Згідно з цими номерами будуть формуватись символи результуючої перестановки. procedure Transposition(s:string; var ss:string); var i:integer; begin ss:=s;//для ініціалізації рядка символів довж. L for i:=1 to L do ss[key_number[i]]:=s[i] end; Потім процес повторюється для наступної порції інформації. Якщо остання порція є неповною (меншою довжини ключа), можливі різні варіанти реалізації: а) доповнення порції до необхідної довжини; б) застосування спеціального алгоритму, який використовує частину ключа; в) дописування неповної останньої порції у результуючий файл без змін. В даній роботі вибрано найпростіший третій спосіб. Розшифровування файлів здійснює процедура, обернена до попередньої procedure Reverse(s:string; var ss:string); var i:integer; begin ss:=s;//для ініціалізації рядка символів довж. L for i:=1 to L do ss[i]:=s[key_number[i]] end; Хід роботи 1. Відкрийте проект з попередньої лабораторної роботи в Delphi, доповніть кнопками згідно рис.2. 2. Для кнопок Button2 та Button3 створіть спільний обробник події натискання за наступним зразком procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject); label m1; var Sen:Tobject; psw:string; i,j:byte; procedure Transposition_algorithm; var f,f1:file of char; time0,time1:TDateTime; FileLen :integer; millisec :comp; c:char; s,ss:string; k, k100, i, j, L, i1, num : integer; key_number : array[1..255] of integer; smemo1,smemo2 : string; Last : Boolean; begin Sen:=Sender; L:=Length(psw1); // формування числового масиву // з номерами- відповідниками букв ключа for i:=1 to L do begin key_number[i]:=1; for j:=1 to L do if psw1[i]>psw1[j] then Inc(key_number[i]) end; Form3.Caption:= 'Алгоритм шифрування перестановками'; Form3.Label1.Caption:='Вхідний файл:'+name1; AssignFile(f,name1); Reset(f); FileLen:= FileSize(f); k100:= FileLen div 100; Form3.Label3.Caption:= 'Довжина файла '+IntToStr(FileLen)+'байтів'; Form3.Label5.Caption:=' '; Form3.Label2.Caption:= 'Зашифрований файл:'+name1+'.cip'; AssignFile(f1,name1+'.cip' ); Rewrite(f1); time0:=Time; k:=0; // лічильник кількості символів Form3.Gauge1.Progress:=0;//покажчик індикатора Last:=False; smemo1:=''; smemo2:=''; repeat // початок формування блока із L символів s:=''; for i:=1 to L do begin // перевірка на досягнення кінця файла if eof(f) then begin Last:= True; Break end; read(f,c); // читання символа з файла inc(k); // відлік кількості символів // очищення полів Мемо для запобігання переповнення if k mod 20000=1 then begin Form3.Memo1.Clear; Form3.Memo2.Clear end; // відлік відсотків на індикаторі if k mod k100=0 then begin Form3.Gauge1.Progress:=Form3.Gauge1.Progress+1; // виведення системного часу Form3.Label4.Caption:='Час '+TimeToStr(Now); Form3.Refresh; // оновлення форми end; s:=s+c // формування блока із L символів end; // остання неповна порція записується у вихідний файл if Last then for i:=1 to Length(s) do write(f1,s[i]) else // шифрування перестановкою символів // блоку із L символів begin ss:=s; for i1:=1 to L do begin num:=key_number[i1]; if Sen=Button2 then ss[num]:=s[i1] //шифрування одного символа else // розшифровування одного символа if Sen=Button3 then ss[i1]:=s[num] end; // запис зашифрованого блока у файл for i:=1 to L do write(f1,ss[i]); end; // формування рядків для виведення на екран smemo1:=smemo1+s; smemo2:=smemo2+ss; if length(smemo1)>60 then begin //виведення на екран рядків по 60 символів Form3.Memo1.Lines.Add(smemo1); Form3.Memo2.Lines.Add(smemo2); // очищення рядкових буферів smemo1:=''; smemo2:='' end until Last; time1:=Time-time0; // обчислення часового проміжку Form3.Label4.Caption:='Час шифрування '+ FormatDateTime(' n хв. ss,zz сек.',time1); millisec:=TimeStampToMsecs(DateTimeToTimeStamp(time))- TimeStampToMsecs(DateTimeToTimeStamp(time0)); Form3.Label5.Caption:='Швидкість '+ IntToStr(Trunc(FileLen*1000/millisec))+' б/сек'; // закінчення роботи з файлами closefile(f);closefile(f1); ShowMessage('Збережено у файлі '+name1+'.cip'); end; begin OpenDialog1.Title:= 'Виберіть файл для шифрування/ розшифровування'; OpenDialog1.Execute; if OpenDialog1.FileName='' then exit; name1:=OpenDialog1.FileName; Form1.Hide; Form2.ShowModal; if Form2.ModalResult=6 then begin // вилучення із ключа символів, що повторюються psw:=''; psw:=psw+psw1[1]; for i:=2 to length(psw1) do begin for j:=1 to length(psw) do if psw[j]=psw1[i] then goto m1; psw:=psw+psw1[i]; m1:end; psw1:=psw; ShowMessage('Ваш пароль '''+psw1+''''); Form2.Close; end; Form3.Show; Transposition_algorithm; Form3.Close; Form1.Show end; 3. Додайте до головної форми ще дві кнопки - Button4 i Button5 згідно рис.2. Розробіть власний алгоритм шифрування у вигляді комбінацій підстановок та перестановок, опишіть його детально в словесній формі та запрограмуйте в обробнику натискання кнопок. 4. Збережіть всі файли проекту в окремому каталозі для звіту.
Контрольні запитання.
Лабораторна робота №3. Тема: Реалізація алгоритму шифрування файлів методом одноразового блокнота в Delphi Мета роботи. Створити програму для шифрування файлів довільного типу класичним абсолютно надійним алгоритмом, інтегрувати алгоритм в створений раніше проект Delphi, відлагодити проект з декількома модальними формами та організувати роботу в програмі з трьома одночасно відкритими файлами. Теоретичні відомості К.Шенноном в 1946р. було доведено, що якщо довжина ключа дорівнює довжині шифрованого тексту і кожен ключ є випадковим набором символів і використовується лише один раз, то такий шифр є абсолютно надійним, і без знання ключа його однозначно неможливо розшифрувати. Однак цей метод, названий методом одноразового блокнота, практично використовується лише в одиничних важливих випадках, бо його неможливо реалізувати для шифрування великих об’ємів інформації. У військовій криптографії, дипломатії, розвідці метод використовується для надійної передачі важливих повідомлень чи особливо відповідальних наказів. В комп’ютерному варіанті реалізації алгоритма шифрування файла методом одноразового блокнота потрібно вказати ключовий файл з довжиною не менше, ніж той, який підлягає шифруванню. Бажано, щоб ключовий файл містив дані випадкового походження. Якщо ключовий файл містить дані, що піддаються статистичному аналізу (наприклад тексти літературних творів, або BMP-файли, які містять велику кількість однакових символів), це значно ослаблює ефективність методу. В цьому випадку імовірність криптоаналітичного розкриття шифру зростає до 1/2. Хід роботи 1. Відкрийте проект з попередньої лабораторної роботи в Delphi, доповніть кнопкою Button6 згідно рис.2. 2. Для кнопки Button6 створіть обробник події натискання за наступним зразком procedure TForm1.Button6Click(Sender: TObject); procedure File_key_alg; var f,f1,f_key:file of byte; b,b1,b_key:byte; s,s1:string; k,k100:integer; time0,time1:TDateTime; FileLen :integer; millisec :comp; begin AssignFile(f_key,name_key); Reset(f_key); Form3.Caption:='Алгоритм одноразового блокнота'; Form3.Label1.Caption:='Вхідний файл : '+name1; AssignFile(f,name1); Reset(f); FileLen:= FileSize(f); k100:= FileLen div 100; Form3.Label3.Caption:='Довжина файла '+IntToStr(FileLen)+'байтів'; Form3.Label5.Caption:=' '; Form3.Label2.Caption:= 'Зашифрований файл : '+name1+'.cip'; AssignFile(f1,name1+'.cip' ); Rewrite(f1); k:=0;// лічильник кількості символів Form3.Gauge1.Progress:=0; // покажчик індикатора time0:=Time; // початок формування рядків для виведення на екран s:='';s1:=''; //перевірка на досягнення кінця вхідного файла while not eof(f) do begin // очищення полів Мемо для запобігання переповнення if k mod 20000=0 then begin Form3.Memo1.Clear; Form3.Memo2.Clear end; // відлік відсотків на індикаторі if k mod k100=0 then begin Form3.Gauge1.Progress:=Form3.Gauge1.Progress+1; // виведення системного часу Form3.Label4.Caption:='Час '+TimeToStr(Now); Form3.Refresh; // оновлення форми end; read(f,b); // читання байта з файла // формування рядка для виведення на екран s:=s+chr(b); // перевірка на досягнення кінця ключового файла if eof(f_key) then reset(f_key); // читання байта з ключового файла read(f_key,b_key); b1:=b XOR b_key; // кодування байта write(f1,b1); // запис байта в результуючий файл // формування рядка для виведення на екран s1:=s1+chr(b1); //виведення на екран рядків по 80 символів if (b=13) or (length(s)>79) then begin Form3.Memo1.Lines.Add(s); Form3.Memo2.Lines.Add(s1); s:='';s1:='' // очищення рядкових буферів end; inc(k) // відлік байтів end; // виведення залишків символів на екран Form3.Memo1.Lines.Add(s); Form3.Memo2.Lines.Add(s1); time1:=Time-time0; // обчислення часового проміжку Form3.Label4.Caption:='Час шифрування '+ FormatDateTime(' n хв. ss,zz сек.',time1); millisec:=TimeStampToMsecs(DateTimeToTimeStamp(time))- TimeStampToMsecs(DateTimeToTimeStamp(time0)); Form3.Label5.Caption:='Швидкість '+ IntToStr(Trunc(FileLen*1000/millisec))+' б/сек'; //закінчення роботи з файлами closefile(f_key);closefile(f);closefile(f1); ShowMessage('Збережено у файлі '+name1+'.cip') end; begin OpenDialog1.Title:= 'Виберіть файл для шифрування/розшифровування'; OpenDialog1.Execute; if OpenDialog1.FileName='' then exit; name1:=OpenDialog1.FileName; OpenDialog1.Title:='Виберіть ключовий файл'; OpenDialog1.Execute; if OpenDialog1.FileName='' then exit; name_key:=OpenDialog1.FileName; Form1.Hide; Form3.Show; File_key_alg; Form3.Hide; Form1.Show end; 4. Відлагодьте програму та збережіть всі файли проекту в окремому каталозі для звіту.
Контрольні запитання.
Лабораторна робота №4.
Тема: Реалізація симетричного алгоритму гамування шифрування файлів в Delphi Мета роботи. Створити програму для шифрування файлів довільного типу одним з найчастіше використовуваних на практиці алгоритмів, створити та випробувати власний генератор псевдовипадкових чисел, інтегрувати програму в спільний пакет з раніше розробленими алгоритмами.
Теоретичні відомості Для генерації дуже довгих ключів шифрування можна використати генератор псевдовипадкових чисел. Стандартні генератори типу функції Random для шифрування використовувати не рекомендується, бо по-перше, вони легко піддаються криптоаналізу, по-друге, їх реалізації відрізняються в різних версіях компіляторів. Для створення власного генератора можна використати дуже простий алгоритм лінійного конгруентного методу. Послідовність чисел в діапазоні від 0 до m-1 формується за рекурентною формулою xk+1=(a xk +c) mod m Д. Кнут в другому томі "Мистецтва програмування" наводить такі рекомендації для вибору парамерів: 1) x0 -довільне; 2) a задовольняє таким умовам: а) a - просте число; б) a mod 8 =5 ; в) 3) с - непарне число, таке що
Одержана послідовність псевдовипадкових чисел - гама шифру - накладається у вигляді послідовності байтів з допомогою операції XOR на файл, який шифрується. Пароль (ключ) використовується для вибору x0. Для 16-розрядних чисел (тип Word в Turbo Pascal) можна вибрати: Діапазон від 0 до 216-1 =65535 с=13849
Конкретні значення параметра а можна вибрати з допомогою паскаль-програми program Select_a; var a:word; function Prime(n:Word):Boolean; var i,im:word; begin im:=trunc(sqrt(n)); for i:=2 to im do if n mod i =0 then begin Prime:=False; Exit end; Prime:=True end; begin for a:=257 to 65279 do if (Prime(a)) AND (a mod 8 =5) then writeln(a) end. Одержуємо довгий список можливих значень: 269, 277, 293, 317, 349, 373, 389, 1397, 421, 461, 509, 541, 557, 613, …, 65141, 65173, 65213, 65269. Для 32-розрядних чисел (тип Cardinal в Delphi Object Pascal) можна вибрати: Діапазон від 0 до 232-1 = 4 294 967 295 с=907612489
Для одержання конкретних значень параметра а потрібно модифікувати попередню програму, змінивши тип Word на Cardinal, вибрати для циклу невеликий діапазон можливих значень і відкомпілювати, як консольну (Console Application), в Delphi. program select_a32; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils; var a:Cardinal; function Prime(n:Cardinal):Boolean; var i,im:Cardinal; begin im:=trunc(sqrt(n)); for i:=2 to im do if n mod i =0 then begin Prime:=False; Exit end; Prime:=True end; begin { TODO -oUser -cConsole Main : Insert code here } for a:=65537 to 400001 do if (Prime(a)) AND (a mod 8 =5) then writeln(a); readln end. Хід роботи 1. Відкрийте проект з попередньої лабораторної роботи в Delphi, доповніть кнопкою Button7 згідно рис.2. 2. Для кнопки Button7 створіть обробник події натискання за наступним зразком procedure TForm1.Button7Click(Sender: TObject); procedure Random_alg; var f,f1:file of byte; b,b1,bHi,bLo:byte; s,s1:string; i, k,k100:integer; time0,time1:TDateTime; FileLen :integer; millisec :comp; x:Word; begin //встановлення ГПВЧ в позицію, задану ключем шифрування randseed:=0; for i:=1 to Length(psw1) do inc(randseed,ord(psw1[i])); Form3.Caption:='Алгоритм гамування'; Form3.Label1.Caption:='Вхідний файл:'+name1; AssignFile(f,name1); Reset(f); FileLen:= FileSize(f); k100:= FileLen div 100; Form3.Label3.Caption:= 'Довжина файла '+IntToStr(FileLen)+'байтів'; Form3.Label5.Caption:=' '; Form3.Label2.Caption:= 'Зашифрований файл:'+name1+'.cip'; AssignFile(f1,name1+'.cip' ); Rewrite(f1); k:=0;// лічильник кількості символів Form3.Gauge1.Progress:=0; // покажчик індикатора time0:=Time; // початок формування рядків для виведення на екран s:='';s1:=''; while not eof(f) do begin // очищення полів Мемо для запобігання переповнення if k mod 20000=0 then begin Form3.Memo1.Clear; Form3.Memo2.Clear end; // відлік відсотків на індикаторі if (k mod k100=0) OR (k mod k100=1) then begin Form3.Gauge1.Progress:=Form3.Gauge1.Progress+1; // виведення системного часу Form3.Label4.Caption:='Час '+TimeToStr(Now); Form3.Refresh; // оновлення форми end; read(f,b); // читання байта з файла // формування рядка для виведення на екран s:=s+chr(b); // генерування двобайтового випадкового числа x:=random(65536); bHi:=Hi(x); // старший байт bLo:=Lo(x); // молодший байт b1:=b XOR bHi; // кодування старшим байтом write(f1,b1); // запис байта в результуючий файл // формування рядка для виведення на екран s1:=s1+chr(b1); inc(k); // відлік байтів if not eof(f) then begin read(f,b); // читання байта з файла // формування рядка для виведення на екран s:=s+chr(b); b1:=b XOR bLo; // кодування молодшим байтом // запис байта в результуючий файл write(f1,b1); // формування рядка для виведення на екран s1:=s1+chr(b1); //виведення на екран рядків по 80 символів if (b=13) or (length(s)>79) then begin Form3.Memo1.Lines.Add(s); Form3.Memo2.Lines.Add(s1); s:='';s1:='' // очищення рядкових буферів end; inc(k) // відлік байтів end end; // виведення залишків символів на екран Form3.Memo1.Lines.Add(s); Form3.Memo2.Lines.Add(s1); time1:=Time-time0; // обчислення часового проміжку Form3.Label4.Caption:='Час шифрування '+ FormatDateTime(' n хв. ss,zz сек.',time1); millisec:=TimeStampToMsecs(DateTimeToTimeStamp(time))- TimeStampToMsecs(DateTimeToTimeStamp(time0)); Form3.Label5.Caption:='Швидкість '+ IntToStr(Trunc(FileLen*1000/millisec))+' б/сек'; // закінчення роботи з файлами closefile(f);closefile(f1); ShowMessage('Збережено у файлі '+name1+'.cip'); end; begin OpenDialog1.Title:= 'Виберіть файл для шифрування/розшифровування'; OpenDialog1.Execute; if OpenDialog1.FileName='' then exit; name1:=OpenDialog1.FileName; Form1.Hide; Form2.ShowModal; if Form2.ModalResult=6 then begin ShowMessage('Ваш пароль '''+psw1+''''); Form2.Close; end; Form3.Show; Random_alg; Form3.Hide; Form1.Show end;
3. У вищенаведеній програмі для одержання шифруючої послідовності використовується стандартний генератор Object Pascal x:=random(65536); Початкова позиція генератора формується з використанням заданого ключа randseed:=0; for i:=1 to Length(psw1) do inc(randseed,ord(psw1[i])); Внесіть зміни у програму для використання власного генератора псевдовипадкових чисел довжиною 16 бітів (тип Word). Опишіть генератор в довідці до програми. 4. Внесіть зміни у програму для використання власного генератора псевдовипадкових чисел довжиною 32 біти (тип Cardinal). Опишіть генератор в довідці до програми. 5. Внесіть зміни у програму для використання нелінійного генератора псевдовипадкових чисел. Опишіть генератор в довідці до програми. 6. Внесіть зміни у програму для використання декількох генераторів псевдовипадкових чисел, які використовуються послідовно по черзі в процесі шифрування. Опишіть генератор в довідці до програми. 7. Внесіть зміни у програму для використання декількох генераторів псевдовипадкових чисел, які використовуються паралельно для одержання спільного випадкового числа. Опишіть генератор в довідці до програми. Власні генератори псевдовипадкових чисел оформити у вигляді окремих гарно документованих функцій. Проміжні варіанти програми (процедури Button7Click) зберегти на дискеті в текстових файлах з різними назвами для звіту.
Контрольні запитання.
Змістдисципліни "Основи захисту і кодування інформації" q Загальні проблеми захисту інформаціїКласифікація загроз безпеці комп’ютерних систем. Загрози даним. Рівні захисту даних. Протидія загрозам. Безпека персональної ЕОМ.Захист компонентів операційної системи. Захист баз даних.q Безпека мережевих системПроблеми безпеки мереж. Джерела загроз в мережах.Види загроз і протидія їм. Атаки на мережеві системи: на апаратуру, на файловий сервер, на пароль, на канал телефонного зв’язку. q Вступ до криптографії та криптоаналізу.Коди та їх призначення. Коротка історія криптології. Елементи криптоаналізу. Характеристика повідомлень, випробування шрифтів, розкриття машинного шифру. q Елементарна криптографіяШифри простої заміни. Поліграмні та поліалфавітні шифри. Шифри перестановки. Шифрування блоками. Дешифрування ітераціями. q Математичні основи криптографіїАлгоритми та їх складність. Лінійні програми. Рандомізація. Порівняння складності задач. Тестування простоти. Ймовірносний тест Соловея-Штрассена. Тест Міллера-Рабіна. Факторизація. q Імовірнісне криптування. Криптографічні інструменти. Важкооборотні функції. Поняття ядра функції. Предикат із секретом та імовірнісне криптування. q Криптосистеми з відкритим ключем.Концепція відкритих систем. Система RSA, її опис, коректність, надійність. Система Рабіна. q Система генерування, зберігання та обміну ключами. Цифровий підпис.Генератори псевдовипадкових бітів. Протоколи обміну ключами. Ідентифікація за допомогою симетричної криптосистеми, на основі цифрового підпису. q Комп’ютерні віруси і троянські програмиКласифікація комп’ютерних вірусів. Механізми поширення. Засоби і прийоми для профілактики і захисту. Антивірусне програмне забезпечення. q Правові і соціальні основи захисту інформаціїКомп’ютерне право. Комп’ютерні злочини. Деякі відомі справи про комп’ютерні злочини.
Завдання для самостійної роботи
Задача 1. У конструкторському бюро розроблені кодові замки двох типів. Замок кожного типу відкривається за допомогою секретної комбінації з n цифр, встановлюваної для кожного замка індивідуально. Секретна комбінація замка першого типу повинна обов'язково містити хоча б один 0, а другого типу - не містити нулів. У всьому іншому замки аналогічні. Який тип замків (в залежності від n) варто вибрати головному конструктору і чому?
Задача 2. Мальвіна вирішила подарувати Буратіно на Новий рік один пакетик "Мівіни". Сама Мальвіна свято буде зустрічати в іншому місті, а їй дуже хочеться, щоб Буратіно завчасно не витяг подарунок із коробки. Тому Мальвіна вирішила покласти коробку з подарунком у сейф, що закривається на кодовий замок. Комбінацію із цифр x1x2...x100, що відмикає замок, вона вибрала так, що на місці з номером i знаходиться остання цифра (N+i-100)-го числа Фібоначчі. Для підбору потрібного числа N Мальвіна написала комп'ютерну програму, яка обчислює послідовно числа Фібоначчі, і з'ясувала, що за одну секунду на комп'ютері Буратіно вдається обчислити 500 нових чисел. Рівно за 5 діб до Нового року Мальвіна передала Буратіно цю програму, повідомила правило побудови кодової комбінації і значення N=216000000. Чи може Буратіно, взагалі не використовуючи комп'ютер, відкрити сейф до настання Нового року? (Примітка: послідовність Фібоначчі означається так: перші два її елементи рівні 1, а кожен наступний дорівнює сумі двох попередніх.) Задача 3. Для запуску комп'ютера Гаріку Потеру необхідно ввести пароль, що складається із 12 цифр. Коли Гарік записував цей пароль, він випадково пропустив одну цифру. Скільки комбінацій прийдеться перебрати Гаріку (у найпідлішому випадку), щоб запустити комп'ютер? Задача 4. Для передачі повідомлення по телеграфу кожна буква представляється у вигляді п'ятизначної комбінації з нулів і одиниць, яка відповідає двійковому запису номера даної букви в алфавіті (нумерація починається з нуля; замість букви Ё використовується Е, тому всього виходить 32 букви). Передача п'ятизначної комбінації виконується по кабелю, що містить п'ять провідників, причому кожен двійковий розряд передається по окремому провіднику. Один із провідників виявився ушкоджений, внаслідок чого на прийомному кінці міг бути отриманий як 0, так і 1 незалежно від переданого значення. Знайдіть передане слово, якщо був прийнятий текст ВПРЗЙЬ.
Розв’язок.
Задача 5. Із пункту Ч. в пункт З. прокладений кабель, що складається з п'яти провідників. Провідники зовні однакові. Польовому Агенту Бібігону необхідно правильно приєднати провідники до двох шифрувальних апаратів, які розташовані на кінцях кабелю, так, щоб перша клема одного апарата була з'єднана провідником з першою клемою другого і т.д. У розпорядженні агента є тільки пробник, що складається із батарейки і лампочки, і пронумеровані таблички. Складіть алгоритм правильного приєднання провідників так, щоб пройти при цьому найменшу відстань?
Задача 6. Під час шифрування вихідного повідомлення кожен його символ (букву чи пропуск) заміняли однією або двома цифрами, причому однакові символи завжди заміняли однаково. Для зручності запису одержану послідовність цифр розбили на п'ятірки. Знайдіть вихідне повідомлення за заданим шифротекстом: 14936 21803 25872 18125 86808 62163 49258 62581 21432 42921 29325 43204 08781 32545 81127 81208 56212 57270 32508 74986 21478 04349 32547 49874 92128 25866 43246 21472 98325 81443 64725 74947 47293 80254 46125 45246 72749 24802 16202 84781 23812 54381 47214 94321 49254 46125 27149 80347 81832 54524 81276 24438 02580 25446 12545 24672 74924 80216 20284 78123 81258 14436 47492 54349 43818 32520 80448 12580 47268 12434 95806 83252 78685 25476 81442 28178 03498 52572 08525 45818 62920 43802 54180 26248 12749 47478 12381 25868 18144 42647 80852 58047 26812 43495 80852 58144 42678 18621 04547 49
Задача 7. Для шифрування цифрових повідомлень радистка Кет складає двохрядкову таблицю, у верхньому рядку якої виписані цифри 0,..,9 одна за одною, а в нижньому - ці ж цифри в довільному порядку. Потім Кет послідовно кожну цифру вихідного повідомлення заміняє відповідною цифрою в нижньому рядку таблиці. Скільки існує варіантів заповнення нижнього рядка таблиці, таких, що після двох шифрувань зазначеним способом завжди буде отримане вихідне повідомлення.
Задача 8. Для використання шифру "Прямокутна ґратка" виготовляють з паперового прямокутника трафарет розміром 6x10 кліток. Вирізані клітки вибирають так, що при накладенні трафарету на лист паперу того ж розміру чотирма можливими способами кожна клітинка листа "відкривається" рівно один раз. Перші 15 букв тексту повідомлення вписуються в прорізи трафарету (по одній в кожну), потім трафарет повертається на 180 градусів, вписуються наступні 15 букв, трафарет перевертається "навиворіт" і т.д. Результат шифрування виглядає так:
Який текст був зашифрований?
Задача 9. Фірма ''Поп-лавський Unlimited" видає красивий диплом із написом "Сертифікований фахівець із шоу та поп-бізнесу" кожному, хто успішно пройде тестування, яке складається із чотирьох послідовних турів. У ході кожного туру випробовуваний повинен у кожному із 7 питань вибрати один із двох варіантів відповіді. Тур вважається успішно пройденим, якщо було дано не менше 6 правильних відповідей. По закінченні кожного туру претенденту повідомляється, пройшов він на наступний тур чи вибув. Відомо, що склад питань у кожному турі не змінюється. Число спроб пройти тестування не обмежене, але починати завжди приходиться з першого туру. Вєрка Сердючка зовсім нічого не розуміє в поп-бізнесі (і не збирається!), але дуже хоче одержати диплом. Як їй треба діяти, щоб реалізувати свою мрію швидше? Задача 10. Під час шифрування повідомлення кожну його букву заміняли її порядковим номером в алфавіті (А на 1, ..., Я на 33). Потім додавали до нього черговий член арифметичної прогресії і, нарешті, виписували залишок від ділення цієї суми на 100. Вийшло ось що: 9 90 61 48 44 36 0 93 77 75 41 40 8 4 84 73 50 36 18 12 90 60 52 47 26 6 79 71 75 41 16 98 94 77 52 33 30 7 96 82 58 40 33 19 2 83 69 67 33 23 96 92 64 44 42 28 6 91 94 71 36 25 17 6 72 63 64 50 18 3 88 60 43 28 19 96 89 68 75 42 30 6 96 91 66 46 18 14 2 72 62 53 38 3 3 86 64 47 25 12 9 94 73 58 37 22 12 88 79 66 46 18 16 83 80 64 40 21 31 88 88 55 58 52 16 99 89 68 65 41 31 2 93 91 57 46 34 10 0 95 70 63 29 22 92 82 73 58 37 12 7 92 64 47 45 30 95 81 75 79 36 34 17 15 69 66 43 32 18 94 85 83 52 Знайдіть вихідне повідомлення. Задача 11. У Міжнародному Банку "Євроцукорлізинг" працюють 9 директорів, причому вони не довіряють один одному. Головний сейф банку відкривається в тому, і тільки тому випадку, коли всі його замки відкриті. Для кожного замка можна виготовити необхідне число копій ключа. Яке найменше число замків повинне бути в сейфі, і як потрібно розподілити ключі між директорами, щоб сейф міг бути відкритий тільки тоді, коли разом зберуться не менше 5 директорів? Задача 12. У комп'ютерній мережі використовуються паролі, що складаються з цифр. Щоб уникнути розкрадання паролів, на диску їх зберігають у зашифрованому виді. При необхідності використання відбувається розшифровування відповідного пароля. Шифрування паролів відбувалося посимвольно одинаковим алгоритмом. Перша цифра залишалась без змін, а результат шифрування кожної наступної цифри залежав тільки від неї та від попередньої цифри. Відомий список зашифрованих паролів: 4350299891410, 540462295825, 4373382021476, 4356244895826, 428540012393, 4363481142576, 4356244895408 і два паролі 4391383375128, 4343503132936, що зберігаються в зашифрованому вигляді в цьому списку. Чи можна відновити які-небудь інші паролі? Якщо так, то відновіть їх. Задача 13. Дільник d натурального числа a назвемо максимальним, якщо жоден дільник числа а, крім самих a і d, не ділиться на d. Наприклад, числа 4, 6 і 12 є максимальними дільниками для 12, а числа 1, 2 і 3 - ні. Спадну послідовність натуральних чисел будемо вважати правильною, якщо кожен її член, починаючи з другого, є максимальним дільником попереднього. Знайдіть кількість різних правильних послідовностей, що починаються числом 226917 і закінчуються одиницею. Задача 14. Кожну букву повідомлення замінили парою цифр, що відповідають її порядковому номеру в алфавіті (А замінили на 01, Б - на 02, ..., Я - на 33). Послідовність цифр, що вийшла, a1, a2, ... поелементно склали з цифровою послідовністю b1, b2, ..., після чого виписали залишки одержаних сум від ділення на 10. Вийшло ось що: 10009116938035909245030918959820159211970829028014989216108520048529 Знайдіть вихідне повідомлення, якщо додатково відомо, що послідовність b1, b2, ... відповідає цифрам десяткового представлення частки 9419/16835, взятими підряд, починаючи з деякого номера. Задача 15. Під час шифрування тексту, записаного в 32-буквеному алфавіті, кожна його буква замінялася буквою того ж алфавіту, причому різні букви замінялися різними (такий шифр називається простою заміною). Ключем такого шифру називається таблиця, у якій для кожної букви алфавіту зазначено, якою буквою її треба замінити. Скільки існує різних ключів, таких, що після дворазового шифрування зазначеним способом з цим ключем, повідомлення МАЄМОТЕЩОМАЄМО перейде в себе? Задача 16. Тато Карло вирішив відправити Буратіно шифровану телеграму. Кожній букві російського алфавіту він присвоїв числове значення: букві А - 0, букві Б -1, :, букві Я - 32. Потім він вибрав "секретне" слово і приписав до нього праворуч текст вихідного повідомлення. Під кожною буквою вихідного повідомлення Карло виписав суму числових значень цієї букви і k попередніх букв вихідного повідомлення, де k - довжина секретного слова. Нарешті, кожна сума замінена буквою, числове значення якої дорівнює залишку від ділення цієї суми на 33. Вийшло ось що: СТДЖЬШЦМЁККЬЗЧЖСТГВСУГЖПЧЩИЫЬЪЙЮСАЪЧЧТБЬКЙБЛИЛЛСО Яке повідомлення послав Карло? Задача 17. У центральному комп'ютері Кострубатої мережі пейджингового зв'язку з’явився вірус. Він перетворює повідомлення так, що всі букви передаються без перекручувань, а кожна цифра декілька разів шифрується способом, описаним в задачі 7, причому кількість шифрувань дорівнює абонентському номеру одержувача повідомлення. Крім того, раз в день таблиця шифрування міняється на іншу. Мальвіна хоче вибрати абонентський номер так, щоб не залежати від дій вірусу. Знайдіть всі номери, які її влаштують. Задача 18. Один з дев'яти директорів банку "Євроцукорлізинг" обраний головою, у зв'язку з чим потрібно внести зміни в конструкцію сейфа Тепер потрібно, щоб могли відкрити сейф не тільки будь-які п'ять директорів, що зібралися разом , але і будь-який директор разом з головою. Група з менше, ніж п'яти директорів, серед яких немає голови, або голова поодинці не повинні мати можливості відкрити сейф. Яке найменше число замків треба встановити на двері сейфа, і яким чином роздати ключі директорам для реалізації зазначених правил доступу до вмісту сейфа? Задача 19. а) Чи може сума квадратів двох непарних чисел бути квадратом цілого числа? б) чи може сума квадратів трьох непарних чисел бути квадратом цілого числа? Задача 20. Доведіть, що сума квадратів п'яти послідовних натуральних чисел не є точним квадратом. Задача 21. Доведіть, що сума квадратів трьох натуральних чисел, зменшена на 7, не ділиться націло на 8. Задача 22. Сума трьох натуральних чисел, що є точними квадратами, ділиться націло на 9. Доведіть, що з них можна вибрати два, різниця яких також ділиться на 9.
53
54
КомментарииКомментариев пока нет Пожалуйста, авторизуйтесь, чтобы оставить комментарий. |