СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ТРАНСПОРТНИХ ПРОЦЕСІВ

СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ТРАНСПОРТНИХ ПРОЦЕСІВ 04.01.2015 09:28

ВСТУП
Основна задача Методичних вказівок − надання методичної допомоги студентам при виконанні лабораторних робіт з метою формування у них системних уявлень та опанування методологією і методами системного аналізу як майбутніх фахівців у галузі організації і управління на залізничному транспорті.
Спеціаліст в області системного аналізу (системний аналітик) − професіонал високого рівня (експерт), який досліджує системи відповідно до принципів системного підходу та аналізу.
Основна задача системного аналітика − допомогти особі, що приймає рішення, прийняти вірне рішення при розв’язку конкретних проблем.
Використання методів системного аналізу необхідно насамперед тому, що в процесі прийняття рішень доводиться здійснювати вибір в умовах невизначеності, що обумовлено наявністю факторів, які не підлягають кількісній оцінці. Процедури й методи системного аналізу спрямовані саме на висування альтернативних варіантів розв’язку проблеми, виявлення масштабів невизначеності по кожному з варіантів і зіставлення варіантів за певними критеріями ефективності.
Системний аналіз застосовує прикладні математичні дисципліни і методи, які використовуються в сучасному управлінні: методи розкриття невизначеності цілей і ситуацій, методи прогнозування, метод аналізу ієрархій, методи експертних оцінок тощо.
Технічна основа системного аналізу − обчислювальна техніка й інформаційні системи.
Саме на реалізацію таких методів спрямоване виконання лабораторних робіт. Студентам пропонується виконати шість лабораторних робіт із застосуванням Microsoft Excel.
Перша робота пов’язана з розробкою моделі із застосуванням матричної алгебри за даними спостережень або результатами експерименту.
Задача розкриття невизначеності цілей і ситуацій, яка є типовою для практичних задач системного аналізу, є змістом другої роботи. Для розв’язку задачі використовується принцип Парето, основою якого є виключення з аналізу свідомо неприйнятних варіантів.
Побудова прогнозних моделей на базі часових рядів є сутністю третьої та четвертої робіт. У третій роботі потрібно розробити короткостроковий прогноз показника на базі лінійної моделі. Проблемою четвертої роботи є застосування методу Бокса-Дженкінса для реалізації середньострокового прогнозу.
У п’ятій роботі застосовується математичний інструмент системного підходу − метод аналізу ієрархій (метод Сааті), який дозволяє серед альтернативних варіантів за заданими критеріями обрати єдиний.
Основу шостої роботи складає метод експертного оцінювання, що базується на судженні експертів про важливість факторів (цілей системи) і, таким чином, дає можливість оцінити пріоритетність їхньго впливу на вирішення певної проблеми.

ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
Методичні вказівки розраховані на індивідуальний розв’язок запропонованих задач, що складають сутність дисципліни «Системний аналіз транспортних процесів». Для успішного виконання лабораторних робіт студенти мають володіти базовими знаннями, отриманими при вивченні таких дисциплін як «Вища математика», «Комп’ютерна техніка та програмування», «Математичні моделі в розрахунках на ЕОМ», «Інформаційні системи і технології», знаннями фахових дисциплін, а також функціональними можливостями Microsoft Excel.
Методичні вказівки містять постановку задачі для кожної роботи, порядок її виконання, детальний опис методики дослідження, який базується на конкретному прикладі, контрольні запитання, тридцять варіантів індивідуальних завдань і список рекомендованої літератури.
Після розробки електронної моделі задачі і аналізу отриманих результатів студенти повинні сформувати звіт про виконану работу з використанням текстового редактора Microsoft Word. Звіт має містити такі розділи:
1. Постановка задачі.
2. Початкові дані.
3. Розрахункові формули і таблиці.
4. Висновки.
5. Відповіді на контрольні запитання.
Початкові дані для розв’язку задачі обираються за індивідуальним варіантом, який визначається порядковим номером студента в журналі академічної групи. Якщо дані не відповідають завданню, лабораторна робота не зараховується.
Висновки звіту повинні містити аналіз отриманих результатів і продемонструвати здатність студента до самостійного формулювання і аналізу результатів виконаної роботи
Критерії оцінки знань при виконанні робіт визначені в Робочій програмі дисципліни «Системний аналіз транспортних процесів».
Для кожної лабораторної роботи мають значення результати, а не той спосіб моделювання (вигляд табличних форм, архітектура програмного продукту), за яким ці результати були отримані. Таким чином, нарахування балів відбувається за такими критеріями:
5 балів нараховується студентам, які захистили лабораторну роботу у визначений термін і оформили звіт у середовищі Microsoft Word;
4 бали нараховується студентам, які захистили лабораторну роботу у визначений термін, але не мають звіту цієї роботи;
3 бали отримують студенти, які захистили лабораторну роботу, мають оформлений звіт, але не вклалися в рамки визначеного терміну;
0 балів отримують студенти, які взагалі не виконали роботу.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1
РОЗРОБКА МОДЕЛІ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ МАТРИЧНОЇ АЛГЕБРИ
1. Мета роботи
1.1 Опанування методикою визначення коефіцієнтів статистичної моделі із застосуванням матриць.
1.2 Набуття досвіду використання операцій з матрицями на базі застосування функціональних можливостей Microsoft Excel.
2. Постановка задачі
Підібрати коефіцієнти запропонованої функціональної залежності і визначити сумарну похибку розрахунків із використанням матричних функцій Microsoft Excel.
3. Порядок виконання роботи
3.1 Засвоїти навчальний матеріал стосовно визначення коефіцієнтів функціональної залежності із застосуванням алгебри матриць.
3.2 Ознайомитися із наведеним прикладом розрахунку коефіцієнтів.
3.3 За даними індивідуального варіанта визначити коефіцієнти запропонованої моделі із застосуванням алгебри матриць.
3.4 Визначити похибку в розрахунку коефіцієнтів.
3.5 Побудувати суміщений графік експериментаьних даних і розрахункової моделі.
3.6 Розрахунки реалізувати в середовищі Microsoft Excel.
4. Навчальний матеріал
4.1. Визначення коефіцієнтів моделі із застосуванням матриць
Визначення коефіцієнтів моделі будь-якого типу розглянемо на прикладі функції y=ax3+bx2+d. Початковими даними для розв’язку задачі є результати експериментальних значень x і y, табл. 4.1.
Таблиця 4.1
Початкові дані для визначення коефіцієнтів моделі
x 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
y 12,0 10,1 11,6 17,4 30,7 53,6 87,8 136,9 202,5 287,0
На основі наведених даних формуються матриці Y, X3 і X2:
12 0,13 0,25
10,1 1,00 1,00
11,6 3,38 2,25
17,4 8,00 4,00
Y= 30,7 X3= 15,63 X2= 6,25
53,6 27,00 9,00
87,8 42,88 12,25
136,9 64,00 16,00
202,5 91,13 20,25
287 125,00 25,00
Складається система рівнянь, яка відповідає заданій функціональній залежності відносно невідомих коефіцієнтів a, b і d:
y=0,13a+0,25b+d
y=1,00a+1,00b+d
y=3,38a+2,25b+d
y=8,00a+4,00b+d
y=15,63a+6,25b+d (4.1)
y=27,00a+9,00b+d
y=42,88a+12,25b+d
y=64,00a+16,00b+d
y=91,13a+20,25b+d
y=125,00a+25,00b+d
За системою рівнянь (4.1) формується матриця коефіцієнтів M відносно невідомих a, b і d.
0,13 0,25 1
1,00 1,00 1
3,38 2,25 1
8,00 4,00 1
М= 15,63 6,25 1
27,00 9,00 1
42,88 12,25 1
64,00 16,00 1
91,13 20,25 1
125,00 25,00 1
Наступним кроком розв’язку задачі є транспонування матриці М, яке відбувається із застосуванням функції Microsoft Excel ТРАНСП.
Функція ТРАНСП використовується з метою заміни орієнтації масиву з вертикальної на горизонтальну й навпаки. Функція ТРАНСП уводиться як формула масиву ТРАНСП(масив) в інтервал, який має стільки ж рядків і стовпців, скільки стовпців і рядків має аргумент (масив).
0,13 1,00 3,38 8,00 15,63 27,00 42,88 64,00 91,13 125,0
MT= 0,25 1,00 2,25 4,00 6,25 9,00 12,25 16,00 20,25 25,00
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Транспонована матриця MT помножуєтья на матрицю М. Для цього використовується функція добутку МУМНОЖ із синтаксисом МУМНОЖ(масив1; масив2), де масив1 (МТ) і масив2 (М) − масиви, що перемножуються. Результатом є масив MTM з таким же числом рядків як МТ і з таким же числом стовпців як М.
30912,58 6900,78 378,13
MTM= 6900,78 1583,31 96,25
378,13 96,25 10,00
Подальша дія − формування матриці (MTM)-1, яка є зворотною для матриці MTM. Для цього використовується функція МОБР, синтаксис якої МОБР(масив), де (масив) − числовий масив, розмірність якого співпадає з розмірністю матриці MTM.
0,002362 0,011729 0,02356
(MTM)-1= -0,01173 0,059753 -0,13162
0,02356 -0,13162 0,475978
Отримана матриця (MTM)-1 перемножується с транспонованою матрицею MT. У результаті розрахунку за допомогою функції МУМНОЖ формується матриця (MTM)-1MT, яка має розмірність матриці MT.
0,021 0,014 0,005 -0,004 -0,013 -0,018 -0,019 -0,013 0,001 0,026
(MTM)-1MT= -0,118 -0,084 -0,037 0,014 0,059 0,089 0,097 0,074 0,010 -0,104
0,446 0,368 0,259 0,138 0,021 -0,072 -0,126 -0,122 -0,042 0,130
Результуюча матриця (MTM)-1MTY, яка визначає коефіцієнти a, b і d, утворюється шляхом перемноження матриці (MTM)-1MT з матрицею Y та має один стовпець з кількістю рядків, що відповідають матриці (MTM)-1MT.
a 3,22
(MTM)-1MTY = b = -5,09
d 12,31
Таким чином, задана емпірична модель має вигляд:
y=3,22x3−5,09x2+12,31.
4.2. Визначення похибки в розрахунку коефіцієнтів
Похибка2 в розрахунку коефіцієнтів моделі визначається за формулою:
, (4.2)
де yi − експериментальні значення y, i=1, 2, …, n;
ypi − розрахункові значення y;
n − кількість спостережень y.
Для визначення похибки створюється табл. 4.2.
Таблиця 4.2.
Розрахунок похибки
х y yр (y-yp)2
0,5 12 11,44 0,3106
1 10,1 10,44 0,1165
1,5 11,6 11,72 0,0145
2 17,4 17,69 0,0856
2,5 30,7 30,77 0,0049
3 53,6 53,36 0,0557
3,5 87,8 87,89 0,0077
4 136,9 136,75 0,0216
4,5 202,5 202,37 0,0164
5 287 287,16 0,0246
Похибка 0,6581
0,6581
За розрахунками (табл. 4.2, останній стовпчик) похибка становить . Такий самий результат можна отримати, якщо скористатися функцією СУММКВРАЗН електронної таблиці Excel. Синтаксис функції:
СУММКВРАЗН(масив_x;масив_y),
де масив_х відповідає масиву у, а масив_у − масиву ур, табл. 4.2.
Рекомендується в лабораторній роботі скористатися обома способами визначення похибки, тобто табличним та за допомогою функції Exel СУММКВРАЗН.
4.3. Побудова графічних моделей
Останнім етапом роботи є побудова суміщеного графіка y=f(x) і yp=f(x) для візуалізації отриманого розв’язку задачі. Графік (рис. 4.1) будується за даними табл.4.2.

Рис. 4.1. Емпірична і розрахункова моделі
Вигляд графиків наочно демонструє збіг двох моделей, що підтверджує достатню точність розрахунків коєфіцієнтів моделі.
5. Контрольні запитання
5.1. У чому полягає сутність визначення коефіцієнтів функціональної залежності матричним методом?
5.2. Яка функція Excel використовується для транспонування матриці?
5.3. Яка функція Excel використовується для множення матриць?
5.4. Яка функція Excel використовується для формування зворотної матриці?
5.5. Яка функція Excel використовується для розрахунків суми квадратів відхилень при визначенні похибки в розрахунках коефіцієнтів моделі?

6. Варіанти індивідуальних завдань
У табл. 6.1 наведені початкові дані задачі, які являють собою типи моделей і ряди спостережень (х і у) для кожного варіанту.
Таблиця 6.1
Варіант 1 Варіант 2 Варіант 3 Варіант 4
y=ax4+bx+d y=аx2+b y=ax4+bx2+d y=ax4+bx3+сx2+dx+f
x y x y x y x y
0,5 12 0,5 5,3 1 6,2 0,66 40
1 10,1 1 5,4 1,14 7,2 0,9 61
1,5 11,58 1,5 5,7 1,29 9,6 1,17 68
2 17,4 2 5,8 1,43 12,5 1,47 67
2,5 30,68 2,5 6,2 1,57 17,1 1,7 66
3 53,6 3 6,7 1,71 22,2 1,74 66,2
3,5 87,78 3,5 7 1,86 28,3 2,08 71
4 136,9 4 7,6 1,92 35,3 2,63 95
4,5 202,5 4,5 8,4 2 36,5 3,12 112
5 287 5 9,2
Варіант 5 Варіант 6 Варіант 7 Варіант 8
y=ax2−bx+c y=ax+b y=ax3+bx2+cx+d y=ax3+bx+c
x y x y x y x y
2 0,035 0 2 1,2 1,5 0 1,2
4 0,09 0,5 2,39 1,4 2,7 0,4 2,2
6 0,147 1 2,81 1,6 3,9 0,8 3
8 0,2 1,5 3,25 1,8 5,5 1,2 6
10 0,24 2 3,75 2 7,1 1,6 7,7
12 0,28 2,5 4,11 2,2 9,1 2 13,6
14 0,31 3 4,45 2,4 11,1
16 0,34 3,5 4,85 2,6 12,9
4 5,25 2,8 15,5
3 17,9
Варіант 9 Варіант 10 Варіант 11 Варіант 12
y=ax2+b y=ax4+bx2+c y=ax4+bx2+cx+d y=ax4+bx3+cx2+d
x y x y x y x y
0,29 3,33 1 6,2 2 12,57 3 57,14
0,57 6,67 1,14 7,2 2,13 16,43 3,13 64
0,85 7,5 1,29 9,6 2,25 19 3,25 74,29
1,15 13,33 1,43 12,5 2,38 22,86 3,38 81,14
1,43 16,67 1,57 17,1 2,5 26,7 3,5 91,43
1,71 23,33 1,71 22,2 2,63 31,86 3,63 105,14
1,82 27,8 1,86 28,3 2,75 37 3,75 115,43
2 33,35 1,92 32,8 2,88 43,43 3,88 129,14
2 37,1 3 49,86 4 142,86

Продовження табл. 6.1
Варіант 13 Варіант 14 Варіант 15 Варіант 16
y=ax4+bx+c y=ax3+b y=ax3+bx2 y=ax3+bx2+d
x y x y x y x y
0,88 0,03 0 0,086 1 2 0,7 15
0,9 0,12 0,2 0,087 2 5 1,2 23
0,91 0,18 0,4 0,091 3 10 1,7 34
0,93 0,31 0,6 0,102 4 17 2,2 41
0,94 0,43 0,8 0,12 5 23 2,7 54
0,96 0,57 1 0,16 6 27 3,2 91
0,97 0,67 1,2 0,22 7 30 3,7 131
0,99 0,86 1,4 0,31 8 31 4,2 183
1 0,97 1,6 0,39 9 26 4,7 247
1,8 0,51 10 19 5,2 324
Варіант 17 Варіант 18 Варіант 19 Варіант 20
y=ax2+b y=ax4+bx2+d y=ax4+bx3+сx2+dx+f y=ax2−bx+c
x y x y x y x y
2,3 10,3 3 60 1,2 39 1 35
2,7 13,1 3,5 74 1,4 58 3 90
3,1 13,9 4 101 1,6 60 5 147
3,5 16 4,5 130 1,8 56 7 200
3,9 18,2 5 175 2 55 9 240
4,3 20,9 5,5 250 2,2 60 11 280
4,7 25,1 6 310 2,4 74 13 310
5,1 27,3 6,5 360 2,6 93 15 340
5,5 31,8 7 407 2,8 110
5,9 34,2
Варіант 21 Варіант 22 Варіант 23 Варіант 24
y=ax+b y=ax3+bx2+cx+d y=ax3+bx+c y=ax2+b
x y x y x y x y
2,1 20 0,2 15 3 10 2 31
2,6 24 0,9 27 3,8 32 2,6 61
3,1 28 1,6 41 4,6 65 3,2 89
3,6 32 2,3 56 5,4 87 3,8 130
4,1 37 3 73 6,2 97 4,4 160
4,6 41 3,7 94 7 120 5 220
5,1 44 4,4 117 5,6 269
5,6 49 5,1 132 6,2 330
6,1 52 5,8 165
6,5 181

Закінчення табл 6.1
Варіант 25 Варіант 26 Варіант 27 Варіант 28
y=ax4+bx2+c y=ax4+bx2+cx+d y=ax4+bx3+cx2+d y=ax4+bx+c
x y x y x y x y
0,8 64 1,2 10,6 1,2 10 0,6 1,5
1,5 72 1,4 14 1,4 14 0,9 11
2,2 101 1,6 16,5 1,6 17 1,2 21
2,9 134 1,8 20,4 1,8 20 1,5 31
3,6 175 2 24,3 2 24 1,8 43
4,3 218 2,2 30,7 2,2 29 2,1 56
5 270 2,4 35,2 2,4 35 2,4 68
5,7 327 2,6 40 2,6 41 2,7 83
6,4 375 2,8 48,6 2,8 47 3 99
Варіант 29 Варіант 30
y=ax3+b y=ax3+bx2
x y x y
3 24 0,1 1
3,2 60 0,4 3
3,4 87 0,7 8
3,6 123 1 15
3,8 165 1,3 22
4 220 1,6 28
4,2 263 1,9 31
4,4 320 2,2 32
4,6 380 2,5 27
4,8 450 2,8 18

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2
ДОСЛІДЖЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ ЦІЛЕЙ І СИТУАЦІЙ
1. Мета роботи
Розв’язок формалізованих задач розкриття невизначеності цілей і ситуацій в системному аналізі складних систем.
2. Постановка задачі
При заданих цільових функціях і їхніх граничних значеннях визначити область Парето на заданому інтервалі при обмеженнях , .
Звузити область Парето, використовуючи принципи maxmin і minmax.
3. Порядок виконання роботи
3.1 Вивчити навчальний матеріал стосовно розкриття невизначеностей цілей і ситуацій.
3.2 Ознайомитися із наведеним прикладом виконання розв’язку задачі розкриття невизначеності цілей і ситуацій.
3.3 Для заданого варіанта розв’язати задачу розкриття невизначеностей цілей і ситуацій графічним і аналітичним методами.
3.4 Розв’язок задачі реалізувати в середовищі Microsoft Excel.
4. Навчальний матеріал
Невизначеність є типовою властивістю практичних задач системного аналізу, що обумовлене розмаїттям цілей, властивостей і особливостей складних систем.
У загальному випадку при розгляді цілісного об’єкта з огляду формулювання функції мети задачу можна розглядати в загальному вигляді:
. (4.1)
Оскільки функції , k=1, 2,…, n є різними (за типом), екстремум кожної функції досягається при відповідному значенні х і не можна знайти таке значення x0, за яким умови (4.1) виконуються одночасно для всіх функцій. Тому виникає задача знаходження такого значення x0, яке буде забезпечувати раціональний компроміс заданих цілей.
Для знаходження раціонального компромісу існують два підходи:
 сутність першого підходу − виключення з аналізу свідомо неприйнятних варіантів;
 сутність другого підходу − знаходження способів приведення багатоцільової задачі до звичайної задачі з одним критерієм.
В основі першого підходу лежить ідея, що запропонована Парето: спробувати скоротити множину вихідних варіантів шляхом вилучення з неформального аналізу таких варіантів, які є свідомо непридатними. Реалізація цієї ідеї здійснюється у такий спосіб.
Припустимо, що зроблено деякий вибір вектора – позначимо його значення Робимо деякий інший вибір такий, що для всіх цільових функцій виконується умова:
. (4.2)
Безумовно, що вибір переважає . Тому всі вектори зі значеннями , для яких виконується умова (4.2), слід виключити з даного аналізу. Піддавати неформальному аналізу, зіставляти між собою потрібно тільки ті вектори , для яких не існує такого значення , хоча б для однієї із заданих цільових функцій, для якого виконується нерівність (4.2).
4.1 Множина Парето
Задана множина f цільових функцій на множині D, де:
,
(4.3)
Знайдемо множину Г значень що поділяє первинну множину D на дві множини: П і .
Множина П складається з таких значень для яких виконується умова:
(4.4)
і визначається співвідношенням:
П . (4.5)
Множина складається з таких значень для яких виконується умова:
(4.6)
і визначається співвідношенням:
. (4.7)
Вектор має назву вектора, що не поліпшує результати цільових функцій f множини D, а множина П, яка задовольняє умові (4.5) називається множиною Парето. Тому всі варіанти, які належать множині , виключаються із подальшого розгляду.
Принцип Парето не виділяє єдиного розв’язку, але дозволяє звузити множину можливих альтернативних розв’язків. Питання про те, який розв’язок або яке значення є оптимальним залишається без відповіді.
4.2 Звуження множини Парето
Звуження множини Парето відбувається за допомогою принципів максиміна (maxmin) або мінімакса (minmax), або при одночасному їхньому використанні.
4.2.1 Максиміна задача
Уведемо для кожного значення x функцію:
(4.8)
і будемо визначати такі значення x0, щоби виконувалася умова , де − припустима багатовимірна область зміни вектора x. За такою постановкою задачі її розв’язок гарантує, що в найгіршому випадку, тобто для мінімально можливого відношення , буде забезпечено максимальне значення F(x).
Максиміна задача забезпечує максимально можливе відхилення серед усіх від їхніх заданих значень , оскільки це відхилення забезпечується для найгіршого випадку, тобто:
. (4.9)
4.2.2 Мінімаксна задача
Уведемо функцію:
(4.10)
і будемо визначати такі значення x0, при яких функція має мінімальне значення, тобто . За такою постановкою задачі її розв’язок гарантує, що в найгіршому випадку, тобто для максимально можливого відхилення , буде гарантовано мінімальне відхилення,
Мінімаксна задача, на відміну від максиміної, вирішує зворотну проблему − забезпечує мінімально можливе відхилення всіх від заданих значень , оскільки це відхилення забезпечується для найгіршого випадку, тобто:
. (4.11)
4.3 Приклад виконання роботи
Визначити множину Парето, якщо задані такі цільові функції:
(4.12)
Граничні значення й обмеження складають:
(4.13)
Розв’язок задачі здійснюється в середовищі Microsoft Excel.
Графічна побудова функцій (4.12) і граничних значень (4.13) дозволяє визначити множину Парето, рис. 4.1.


Рис. 4.1. Графічне відображення множини Парето
Графік наочно демонструє, що умова виконується при , а умова − при . Отже, множина Парето визначається однією точкою х=2.
Розрахункова таблиця (рис. 4.2) визначає область звуження множини Парето. За даними таблиці збіг значень max(minF1F2) = min(maxF1F2) відбувається в точці х=2, тобто множина Парето обмежується тільки однією точкою, що співпадає з графічними побудовами (рис.4.1).
Цільова функція Обмеження Межа для х f1(x) f2(x)
f1(x) f2(x) f1* f2* 1,5 40
1,5+0,5x2 40-5x 3,5 30 1 5 0,5 -5
x f1(x) f2(x) f1* f2* F1=f1(x)/f1* F2=f2(x)/f2* minF1F2 max(minF1F2) Визначення х max(F1F2) min(maxF1F2) Визначення х
1 2 35 3,5 30 0,57 1,17 0,571 1 1,1667 1
1,5 2,625 32,5 3,5 30 0,75 1,08 0,75 1,0833
2 3,5 30 3,5 30 1 1 1 2 1 2
2,5 4,625 27,5 3,5 30 1,32 0,92 0,917 1,3214
3 6 25 3,5 30 1,71 0,83 0,833 1,7143
3,5 7,625 22,5 3,5 30 2,18 0,75 0,75 2,1786
4 9,5 20 3,5 30 2,71 0,67 0,667 2,7143
4,5 11,63 17,5 3,5 30 3,32 0,58 0,583 3,3214
5 14 15 3,5 30 4 0,5 0,5 4
Рис. 4.2. Вигляд розрахункової таблиці в середовищі Microsoft Excel
5. Контрольні запитання
5.1 Чим обумовлена невизначеність цілей і ситуацій складних систем?
5.2 У чому полягає сутність двох підходів для знаходження раціонального компромісу розв’язку багатоцільової задачі?
5.3 Яку ідею реалізує принцип Парето?
5.4 Яким чином відбувається звуження множини Парето?
6. Варіанти індивідуальних завдань
Цільові функції f1(x) і f2(x), обмеження і , граничні значення x і межі змін х для кожного варіанта наведені в табл. 6.1.
Таблиця 6.1
Варіанти завдань
Цільові функції Обмеження Граничні значення
х х
№ з/п




1

2,5 15 1 6 0,5
2

20 15 1 5 0,5
3

3 10 1 5 0,5
4

0,3 5 1 5 0,5
5

3,5 30 1 5 0,5
6

22 20 0 2 0,1
7

101 150 5 20 1
8

15,3 80 0 7 1
9

100 50 1 20 1
10

22 11 0 4 0,2
11

2 4 0 4 0,2
12

1 1,76 0 3 0,2
13

7 4 2 4 0,2
14

15 4 0 3 0,2
15

46 10 2 6 0,4
16

10 12 1 5 0,2
17

8 10 1 5 0,2
18

6 5 1 3 0,1
19

4 8 0 6 0,4
20

20 10 1 4 0,2

Закінчення табл. 6.1
Цільові функції Обмеження Граничні значення
х х
№ з/п




21

11 10 0 4 0,2
22

10 4 0 4 0,2
23

35 40 1 4 0,2
24

50 30 0 4 0,2
25

10 30 2 6 0,4
26

23 10 2 6 0,4
27

100 50 0 6 0,4
28

100 50 1 20 1
29

50 100 0 7 1,5
30

20 5 1 4 0,2

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3
РОЗРОБКА ПРОГНОЗУ НА БАЗІ ЧАСОВОГО РЯДУ
1. Мета роботи
1.1 Опанування методикою розробки лінійної моделі короткострокового прогнозу.
1.2 Набуття досвіду розробки прогнозної моделі з використанням функцій Microsoft Excel.
2. Постановка задачі
Розробити місячний прогноз продажу залізничних квитків однією касою на базі часових рядів, які визначають обсяг продажів чотирма касами вокзалу впродовж шести місяців, застосувавши лінійну прогнозну модель вигляду:
y=a+bx. (2.1)
3. Порядок виконання роботи
3.1 Вивчити основні положення навчального матеріалу щодо розробки екстраполяційного методу прогнозування.
3.2 За даними індивідуального варіанта визначити середні значення місячних продажів.
3.3 Побудувати для кожної з чотирьох кас суміщений графік динаміки місячних продажів квитків.
3.4 Визначити коефіцієнт b лінійної моделі (2.1), застосувавши функцію Excel ЛИНЕЙН.
3.5 Визначити коефіцієнти aі, лінійної моделі (2.1) за розрахунковим значенням b.
3.6 Розрахувати підсумкове значення а, застосувавши функцію Excel СРЗНАЧ.
3.7 Навести прогнозну модель продажу залізничних квитків.
3.8 Розрахувати коефіцієнт кореляції для масиву середніх значень продажу і масиву прогнозної моделі із застосуванням функції Excel КОРРЕЛ.
3.9 Визначити прогнозне значення кількості проданих квитків за сьомий місяць за допомогою функції ПРЕДСКАЗ і порівняти його зі значенням, отриманим за прогнозною моделлю
3.10 Побудувати суміщений графік емпіричної та прогнозної моделей місячних продажів квитків.
4. Навчальний матеріал
4.1. Загальні відомості про прогнозування.
Слово «прогноз» походить від грецького слова «prognosis» (передбачення про розвиток дечого на основі визначених даних). Процес розробки прогнозу дістав назву прогнозування. Прогнозування використовується майже у всіх областях людської діяльності і особливу актуальність має в задачах управління.
Методи прогнозування − це сукупність прийомів мислення, способів, що дозволяють на основі аналізу інформації про історію розвитку і поточний стан об’єкту висунути відносно достовірне судження про його майбутній розвиток.
В основу будь-якого прогнозування покладена гіпотеза про інерційність об’єкту.
Існує біля двохсот методів прогнозування, які базуються на трьох основних методах:
 екстраполяційному, коли єдиною причиною зміни показника, що прогнозується, є час;
 модельному, при якому визначається функціональна залежність показника від факторів, які на нього впливають;
 експертному − це прогноз на основі суджень експертів.
Задачу прогнозування у загальному вигляді можна поставити таким чином: є деякий показник Р, необхідно визначити значення цього показника Рs у деякий момент часу s у майбутньому. Час s називається часом упередження. За часом упередження розрізняють прогнози короткострокові (до 1 – 2 років), середньострокові (5 – 10 років), довгострокові (15 – 20 років) і наддовгострокові (30 – 100 років).
4.2. Екстраполяційний метод прогнозування
Екстраполяційний метод є найбільш расповсюдженим серед інших. Він полягає в тому, що аналізується часовий ряд значень показника, що прогнозується, встановлюється закономірність (тенденція) його зміни у часі і ця закономірність екстраполюється на майбутні моменти часу.
При екстраполяційному підході єдиною причиною зміни прогнозного показника є час. Для визначення закономірності зміни показника Р у часі (моделі Р=f(t)) необхідно знати значення цього показника у попередні моменти часу. Прогнозування полягає у тому, що визначається вигляд функції f(t) за значеннями показника за попередні моменти часу і ця функція екстраполюється на наступні моменти часу. Таким чином, екстраполяційний метод придатний тільки для прогнозування динамічних процесів, які відображаються часовими (динамічними) рядами.
При аналізі часових рядів традиційно розглядаються чотири складові: тренд, циклічна складова, сезонна складова і випадкові коливання.
Найбільший інтерес при аналізі викликає тенденція розвитку системи. Під тенденцією розуміють деякий загальний напрямок розвитку, тривалу еволюцію. Зазвичай тенденцію розвитку прагнуть уявити у вигляді більш менш гладкої траєкторії, яку можна формалізувати у вигляді деякої функції від часу. Таку функцію називають трендом. Тренд відображає фактичну, усереднену для періоду спостереження тенденцію досліджуваного процесу у часі.
Найбільше розповсюдженим і простим методом виявлення тренду є метод згладжуванного середнього. Зобразивши після згладжування в осях координат часовий ряд значень прогнозованого показника можна графічно розв’язати задачу прогнозування шляхом продовження виявленої тенденції розвитку для наступних моментів часу. До недоліку метода можна віднести те, що при згладжуванні знищуються дрібні хвилі й вигини у тренді.
Більш точний прогноз можна отримати за допомогою аналітичного вирівнювання динамічного ряду − знаходження моделі Р=f(t).
Функції, що описують закономірності розвитку явища у часі і отримані шляхом аналітичного вирівнювання динамічних рядів, одержали назву кривих росту.
4.3 Приклад виконання роботи
У табл. 4.1 наведені дані продажу залізничних квитків чотирма касами за номерами 10, 11, 12 і 13 упродовж шістьох місяців і середнє значення продажів за кожний місяць.
Таблиця 4.1
Початкові дані продажу залізничних квитків

1 2 3 4 5 6
10 6278 7162 6799 6374 7430 7559
11 6723 5864 6737 7574 7416 7837
12 6518 6142 6514 7900 8230 8990
13 6361 6846 6600 7230 8442 8592
Середнє 6470 6504 6663 7270 7880 8245
За даними табл. 4.1 будується суміщений графік місячних продажів квитків для чотирьох кас (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Динамічні ряди місячних продажів
Середні значення кількості продажів (табл. 4.2) дозволяють визначити коефіцєнт b прогнозної моделі (2.1).
Для цього формується табл. 4.2, яка містить дані помісячних середніх продаж yi, розрахункові значення коефіцієнтів моделі аі та помісячні дані прогнозної моделі продажу. Коефіцієнт b розраховується за функцією Excel ЛИНЕЙН(масив yi; масив хi), табл. 4.2.
В результаті розрахунку коефіцієєнт b приймає значення:
b=388,86.
Визначаються значення аі=yi−bxi, які є базовими для застосування функції СРЗНАЧ(масив а).

Таблиця 4.2
Розрахункова таблиця
Місяць (хi) Кількість продажів (yi) Визначення аi Прогнозна модель
1 6470 6081,1428 6200
2 6504 5726,2857 6589
3 6663 5496,4285 6978
4 7270 5714,5714 7366
5 7880 5935,7142 7755
6 8245 5911,8571 8144
7 8533 8533
У підсумку коєфіцієнт а приймає значення а=5811 і прогнозна модель місячного продажу квитків має вигляд:
y=5811+388,86x.
Отже, розрахунок коефіцієнтів а і b дозволяє визначити всі значення прогнозної моделі, включаючи прогноз на сьомий місяць, який становить y7=8533, табл. 4.2.
Якщо дослідника цікавить тільки прогнозне значення показника, його можна отримати за допомогою функції Excel ПРЕДСКАЗ(7, масив y, масив x). де 7 − точка даних, для якої розраховується прогнозне значення (сьомий місяць); масив y − середні значення продажів; масив х − інтервал даних (табл. 4.2). Не викликає сумнівів, що прогнозне значення продажів за сьомий місяць за функцією ПРЕДСКАЗ також прийме значення y7=8533.
Наступним етапом розрахунків є визначення відповідності між відправним масивом продажів (табл. 4.1, середні значення) і отриманої прогнозної моделі, табл. 4.2. Для цього застосовується функція КОРРЕЛ(масив1, масив2), де масив1 − це середня кількість продажів за шість місяців, а масив2 − відповідні прогнозні значення продажів. Для нашого прикладу коефіцієнт кореляції дорівнює r=0,96, що свідчить про високу ступінь зв’язку між масивами.
При розробці прогнозної моделі слід пом’ятати, що мова йде про показник, який є цілим числом, а тому його розрахунок потребує використання функції ОКРУГЛ.
За даними середніх значень продажів та прогнозної моделі будується суміщений графік, наведений на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Емпірична і прогнозна моделі продажів квитків
5. Контрольні запитання
5.1 Надати визначення термінам «прогноз» і «прогнозування».
5.2 Що розуміють під методами прогнозування?
5.3 Визначити основні методи прогнозування.
5.4 Надати постановку задачі прогнозування.
5.5 Що означає термін «час упередження»?
5.6 Навести класифікацію прогнозу за часом упередження.
5.7 Яку функцію називають «трендом»?
5.8 У чому полягає сенс екстраполяційного підходу до прогнозування?
6. Варіанти індивідуальних завдань
Дані продажів залізничних квитків чотирма касами за шість місяців, що відповідають індивідуальним варіантам, наведені в табл. 6.1.
Таблиця 6.1
Варіант №1

х 1 2 3 4 5 6
10 у1 6278 7162 6799 6374 7430 7559
11 у2 6723 5864 6737 7574 7416 7837
12 у3 6518 6142 6514 7900 8230 8990
13 у4 6361 6846 6600 7230 8442 8592

Продовження табл. 6.1
Варіант №2

х 1 2 3 4 5 6
12 у1 1176 1198 1143 1178 1199 1201
13 у2 1342 1360 1378 1389 1400 1405
14 у3 1198 1187 1198 1189 1201 1233
15 у4 1239 1243 1265 1243 1198 1200
Варіант №3

х 1 2 3 4 5 6
40 у1 8870 8934 8709 8600 9221 9310
41 у2 8709 8822 8760 8943 9021 9700
42 у3 7986 8098 8310 8453 8759 8879
43 у4 7681 7869 8900 8109 8320 8502
Варіант №4

х 1 2 3 4 5 6
42 у1 6330 5850 5790 6210 6030 2820
43 у2 8250 6450 6120 7140 5940 8010
44 у3 5940 5910 8040 6150 5010 7320
45 у4 6720 7920 8910 5940 7320 5370
Варіант №5

х 1 2 3 4 5 6
20 у1 660 780 750 2520 1920 2670
21 у2 1710 2490 1620 1710 2130 2340
22 у3 2010 1500 1440 1740 2280 1680
23 у4 840 600 1740 990 1410 1470
Варіант №6

х 1 2 3 4 5 6
13 у1 7320 4800 7440 3060 5370 7980
14 у2 6900 9060 4920 4650 5460 6210
15 у3 9180 7350 8610 6300 6120 4980
16 у4 6090 4920 7650 7440 3090 5010

Продовження табл. 6.1
Варіант №7

х 1 2 3 4 5 6
11 у1 7980 7440 6990 7230 8160 7860
12 у2 6210 8970 9420 9810 7770 9570
13 у3 4980 3630 9120 11100 11070 11550
14 у4 5010 6780 11430 10920 8430 7680
Варіант №8

х 1 2 3 4 5 6
42 у1 7860 8640 8670 7950 8670 9270
43 у2 9570 9510 7140 9270 8670 9600
44 у3 9630 8610 9030 9360 11370 9990
45 у4 7680 9780 9420 9000 7950 9210
Варіант №9

х 1 2 3 4 5 6
20 у1 870 480 1710 1470 2040 3000
21 у2 990 4920 3600 5610 2940 2010
22 у3 450 3090 3000 3630 3240 2940
23 у4 1470 1500 1920 2940 4200 4950
Варіант №10

х 1 2 3 4 5 6
30 у1 1770 1380 1710 1740 1830 2010
31 у2 1620 1920 1650 2520 2100 840
32 у3 2970 750 2520 1920 2310 2370
33 у4 660 1140 1710 2130 1950 3090
Варіант №11

х 1 2 3 4 5 6
10 у1 480 750 1020 1290 1680 2010
11 у2 660 2220 1620 2280 2550 2910
12 у3 420 1710 2130 1950 2310 2610
13 у4 330 420 570 570 720 750

Продовження табл. 6.1
Варіант №12

х 1 2 3 4 5 6
31 у1 1890 870 960 1260 1590 1710
32 у2 600 2490 660 780 2910 1020
33 у3 540 1500 1470 690 1350 2610
34 у4 1170 720 3960 4350 6030 6630
Варіант №13

х 1 2 3 4 5 6
16 у1 1710 1110 1470 1200 2280 2340
17 у2 1020 1680 2070 1830 1800 2280
18 у3 2610 6780 5220 4290 5400 7200
19 у4 6630 6900 6510 8280 6270 6900
Варіант №14

х 1 2 3 4 5 6
14 у1 7380 6390 6150 5070 7620 8340
15 у2 3600 8010 6540 7380 5520 6720
16 у3 2940 2670 3240 7380 8340 8010
17 у4 6450 7680 4710 3390 7470 8400
Варіант №15

х 1 2 3 4 5 6
13 у1 5910 6390 6600 6900 8340 9480
14 у2 6900 6090 6270 6960 7440 9900
15 у3 5700 6000 7440 7680 8730 8040
16 у4 8670 9270 8970 6720 7920 8910
Варіант №16

х 1 2 3 4 5 6
13 у1 8340 9480 10800 3570 6720 7920
14 у2 7440 9900 6390 6150 5070 5340
15 у3 7350 8040 8010 6540 7380 5040
16 у4 7920 8910 3450 4500 7350 3330

Продовження табл. 6.1
Варіант №17

х 1 2 3 4 5 6
30 у1 9120 6780 7620 8880 9030 8010
31 у2 4290 7080 3750 10650 10170 7650
32 у3 6120 7740 9180 9750 10620 6450
33 у4 6780 4620 13410 9960 11700 12480
Варіант №18

х 1 2 3 4 5 6
40 у1 120 330 780 870 1380 2430
41 у2 990 1410 1470 1500 1920 2610
42 у3 1380 1710 1740 1920 2340 480
43 у4 1920 1650 2520 2940 3120 3330
Варіант №19

х 1 2 3 4 5 6
22 у1 1500 1920 1650 2520 2100 2820
23 у2 780 750 2520 2370 2310 2940
24 у3 2970 3600 3060 2130 1950 1620
25 у4 1920 2310 2610 2880 2970 2940
Варіант №20

х 1 2 3 4 5 6
07 у1 720 810 2490 1620 2520 2850
08 у2 2010 1770 1500 720 2940 2580
09 у3 450 750 600 1740 960 1890
10 у4 600 810 960 1290 1470 1620
Варіант №21

х 1 2 3 4 5 6
08 у1 1230 1710 1350 1170 1500 2280
09 у2 900 600 1770 1470 1740 2070
10 у3 1290 1890 2610 2790 2880 2640
11 у4 2700 2520 2460 2820 2490 2790

Продовження табл. 6.1
Варіант №22

х 1 2 3 4 5 6
42 у1 750 2520 1920 2010 2490 1620
43 у2 1620 1710 2130 1770 1500 1440
44 у3 720 420 630 780 870 1380
45 у4 1740 990 1410 1470 1500 1920
Варіант №23

х 1 2 3 4 5 6
30 у1 1380 1710 1740 1020 2010 1380
31 у2 1920 1650 1920 2100 1140 1920
32 у3 750 2520 1920 2310 2520 750
33 у4 480 1710 1470 2040 1920 480
Варіант №24

х 1 2 3 4 5 6
16 у1 6330 5850 5790 6210 2790 3240
17 у2 8250 6450 6120 7140 8340 8580
18 у3 3480 5910 8040 8520 8010 8010
19 у4 6720 7920 6180 6270 7320 7950
Варіант №25

х 1 2 3 4 5 6
12 у1 7020 6210 4950 6090 8160 8130
13 у2 7050 8160 6840 6600 8220 10410
14 у3 7440 3060 5370 7980 7440 9030
15 у4 4920 4650 5460 6210 8970 7710
Варіант №26

х 1 2 3 4 5 6
18 у1 8340 9480 10800 3570 6720 5040
19 у2 7440 9900 6390 6150 5070 8100
20 у3 5910 8040 8010 6540 7380 6180
21 у4 8340 3180 7350 6000 7440 3480

Закінчення табл. 6.1
Варіант №27

х 1 2 3 4 5 6
10 у1 8370 7320 3570 10620 6450 8220
11 у2 6120 5970 9180 6780 7620 3990
12 у3 10110 10650 5370 7980 7440 3900
13 у4 5910 9750 5460 6210 8970 5040
Варіант №28

х 1 2 3 4 5 6
13 у1 6450 8220 10680 10140 9390 11670
14 у2 7620 3990 5940 7350 6030 10080
15 у3 7440 6900 5250 7020 8670 7350
16 у4 8970 5040 7440 6180 7950 6000
Варіант №29

х 1 2 3 4 5 6
22 у1 1920 300 840 1410 1470 1500
23 у2 2010 480 750 1710 1740 2340
24 у3 480 1710 1470 2040 1020 1770
25 у4 4920 3600 8010 6540 7170 6870
Варіант №30

х 1 2 3 4 5 6
40 у1 1020 630 840 1020 960 1350
41 у2 2010 720 750 1620 1710 2490
42 у3 1380 1710 1740 2010 2010 2280
43 у4 1620 1650 2340 2100 2670 2730


ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4
РОЗРОБКА СЕРЕДНЬОСТРОКОВОГО ПРОГНОЗУ
1. Мета роботи
1.1 Опанування методикою розробки середньострокового прогнозу із застосуванням різницевих рівнянь.
1.2 Використання можливостей електронної таблиці Microsoft Excel для розв’язку задачі.
2. Постановка задачі
Розробити п’ятирічний прогноз заданого показника перевізного процесу з використанням моделі різницевих рівнянь Бокса і Дженкінса за даними спостережень за його зміною протягом шістнадцяти років.
3. Порядок виконання роботи
3.1 Вивчити теоретичний матеріал щодо аналізу часових рядів методом Бокса і Дженкінса.
3.2 За даними індивідуального варианта розрахувати характеристики часового ряду і визначити наявність тренду.
3.3 Побудувати прогнозну модель показника і визначити його значення на наступні п’ять років.
3.4 Побудувати графічну модель зміни показника із зазначенням прогнозних даних.
4. Навчальний матеріал
4.1. Метод аналізу часових рядів
Усе розмаїття методів прогнозування має за мету наступне: на основі показників, які характеризують стан об’єкта в минулому і контрольованому проміжку часу, встановити взаємозв’язки між цими показниками і їхніми значеннями у майбутньому.
Різноманітні дані в комерції, економіці, техніці надходять у формі часових (динамічних) рядів, у яких спостереження залежні й характер цієї залежності цікавий сам по собі
Сукупність існуючих методів аналіза таких рядів залежних спостережень дістав назву аналізу часових рядів.
До таких методов належить метод Бокса-Дженкінса, який пропонує аналіз нестаціонарних моделей з трендами, які розгядаються як стохастичні, а не детерміновані процеси.
4.2. Перевірка гіпотези про наявність тренду в часовому ряді
Поведінку динамічного ряду, що характеризує розвиток будь-якого явища, традиційно розглядають як суму чотирьох компонентів − це тенденція розвитку (або тренд), циклічна складова, сезонна складова і випадкові коливання. При аналізі динамічних рядів найбільший інтерес викликає тенденція розвитку досліджуваної системи. Під тенденцією розуміють деякий загальний напрямок розвитку, довгочасну еволюцію. Зазвичай тенденцію розвитку прагнуть представити у вигляді більш-менш гладкої траєкторії, яку можна формалізувати у вигляді деякої функції від часу. Таку функцію називають трендом, він описує фактичну, усереднену для періоду спостереження тенденцію досліджуваного процесу в часі.
Аналіз часових рядів починають з перевірки наявності тренду. Для цього слід виконати розрахунки таких параметрів ряду: середнього хронологічного значення, середнього значення, середнього абсолютного приросту, середнього коефіцієнту росту, середнього коефіцієнту приросту, дисперсії, середнього квадратичного відхилення, коефіцієнта варіації.
Середнє хронологічне значення ряду Ахр визначається за формулою:
(4.1)
де n − кількість членів часового ряду (передісторія).
Середнє значення ряду Aсер:
. (4.2)
Середній абсолютний приріст Аабс
. (4.3)
Cередній коефіцієнт росту kp:
. (4.4)
Середній коефіцієнт приросту kпр:
. (4.5)
Дисперсія D(A):
. (4.6)
Середнє квадратичне відхилення (A):
. (4.7)
Коефіцієнт варіації (A):
. (4.8)
4.2. Метод різницевих рівнянь
Основна ідея використання різницевих рівнянь полягає у тому, щоби виявити поточне значення процесу At через попередні значення А і помилку в оцінюванні показників а. Щодо помилки а, то вона не суттєво впливатиме на результат, якщо число даних буде не занадто малим.
Прогнозну модель часових рядів за методом різницевих рівнянь Бокса-Дженкінса можна уявити у вигляді рекуррентних співвідношень:
Аt+l=1,8At+l−1−0,8At+l−2+at+l, (4.9)
де Аt+l − прогнозне значення показника за час t+l;
t − поточний рік
l − час упередження;
аt+l − помилка (білий шум).
4.3. Приклад аналізу часового ряду
За даними спостережень обсягів залізничного транзиту протягом 16 років визначити прогнозні значення показника на 5 років, тис.т. Часовий ряд транзиту наведено в табл. 4.1
Таблиця 4.1
Початкові дані
Рік Ai (Аi-Aсер)2
1 27900 220695165
2 29260 182136955
3 30153 158830883
4 30264 156045380
5 36182 43215010,8
6 35354 54786828,3
7 42012 553257,03
8 49238 42018754,8
9 49104 40299484,5
10 47162 19414488,3
11 51574 77760430,8
12 62340 383540400
13 63444 428001102
14 41318 2067304,7
15 42432 104854,5
16 46356 12961350
Сума 684093 1822431648
Розрахунок характеристик часового ряду для визначення наявності тренду наведено в табл. 4.2. Коефіцієнт варіації (A) дорівнює 0,25, що свідчить про наявність тренду.
Таблиця 4.2
Характеристики часового ряду
Середнє хронологічне (Aхр) 46211,79
Середнє значення (Асер) 42755,81
Серед. абсол. приріст (Aабс) 1230,4
Серед.коеф.росту kp 1,034
Серед.коеф.приросту kпр -0,029
Дисперсія D(A) 113901978
Середнє квадратичне (A) 10672,49
Коефіцієнт варіації (A) 0,25
Розрахунок прогнозних значень обсягів залізничного транзиту на 17, 18, 19, 20 і 21 роки за співвідношенням (4.9) наведено в табл. 4.3.

Таблиця 4.3
Розрахунок прогнозу
Рік Апр
15 42432,0
16 46356,0
17 49495
18 52007
19 54016
20 55623
21 56909
На заключному етапі розв’язку задачі будується графічна модель обсягу транзитних вантажів, яка містить у собі також роки прогнозу. Прогнозні значення транзиту зображені на рис. 4.1 пунктирними лініями.

Рис. 4.1. Динаміка зміни обсягів транзиту
5. Контрольні запитання
5.1 До яких моделей можна застосувати метод Бокса-Дженкінса?
5.2 Які компоненти характеризують розвиток будь-якого показника?
5.3 Що розуміють під тендецією розвитку системи?
5.4 Що означає поняття «тренд»?
5.5 Навести формулу Бокса-Дженкінса.

6. Варіанти індивідуальних завдань
Нижче наведені варіанти індивідуальних завдань, що містять інформацію про зміну відповідних експлуатаційних показників протягом шістнадцяти років.
Варіант 1. Обсяг залізничного транзиту через Україну, тис.т.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 30704,1 32184,1 33168,8 33290,8 39800,9 38889,8 46214,1 54162,4

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 54014.8 51878.5 56731.7 68574.2 69788.8 45450.6 46675.0 50992.8
Варіант 2. Обсяг перевезень українських портів (експорт), млн.т.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 62,231 61,458 59,340 56,970 60,672 63,803 65,197 56,171

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 65,436 70,698 68,391 63,86 76,261 88,082 87,574 85,9975
Варіант 3. Обсяг перевезень українських портів (імпорт), млн.т.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 8,450 7,098 6,675 5,781 5,923 6,465 7,605 10,955

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 11,675 13,331 15,231 18,784 21,139 12,839 17,598 19,6922
Варіант 4. Обсяг перевезень українських портів (внутрішній), млн.т.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 5,098 4,999 4,845 4,786 4,897 4,965 5,084 4,689

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 4,646 4,401 3,79 6,108 5,909 4,096 7,178 8,3409
Варіант 5. Відправлення вантажів, т.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 296050,7 293523,5 286321,5 284244,3 295921 313089 330188,3 363364,7

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 388295 378911,7 398148,3 415910,7 399679,7 322221,8 357969,1 388715,6
Варіант 6. Перевезення пасажирів залізничним транспортом, тис.пас.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 538568,7 500838,8 501428,7 486810,4 498683 467825,3 464810,4 476742,4

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 452225,6 445553,1 448421,7 447093,7 445465,7 425974,8 427240,6 429784,9
Варіант 7. Перевезення пасажирів морським тарнспортом, тис.пас.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 5044,6 4311,3 3838,3 3084,3 3760,5 5270,8 5417,9 6929,4

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 9678,4 11341,2 10901,3 7690,8 7361,4 6222,5 6645,6 7064,1
Варіант 8. Перевезення пасажирів річковим транспортом, тис.пас.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 2735,9 2443,1 2356,5 2269,4 2163,3 2034,2 2211,9 2194,1

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 2140,2 2247,6 2021,9 1851,6 1551,8 1511,6 985,2 962,8

Варіант 9. Перевезення пасажирів автомобільним транспортом, тис.пас.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 3304600 2512147 2403425 2501708 2557515 2722002 3069136 3297505

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 3720326 3836515 3987982 4173034 4369126 4014035 3726289 3611830
Варіант 10. Перевезення пасажирів авіаційним транспортом, тис.пас.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 1724 1484,5 1163,9 1087 1164 1289,9 1767,5 2374,7

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 3228,5 3813,1 4350,9 4928,6 6181 5131,2 6106,5 7504,8
Варіант 11. Перевезення пасажирів метрополітеном, тис.пас.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 536304,1 507897 668456,4 724425,5 753540,1 793197 831040,4 872812,5

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 848176,1 886597,7 917699,8 931511,9 958693,9 751988,3 760551,2 778253,4
Варіант 12. Простій під однією вантажною операцією на залізниці, год.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 17,09 17,01 16,08 22,41 26,97 26,18 28,87 44,18

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 54,75 52,16 45,82 42,08 39,14 37,15 31,81 30,43
Варіант 13. Вантажообіг, млн.ткм.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 95500 82631 72100 59396 45124 42053 36432 37353

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 36727 38746 40647 39955 44213 50940 51422 53021
Варіант 14. Навантаження на залізниці, вагони за добу.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 11116 9570 8948 6694 4909 4324 3922 3935

Рік 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Аі 3746 3722 3999 4051 4147 4386 4453 4620
Варіант 15. Вивантаження на залізниці, вагони за добу.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 9557 8363 7718 5945 4324 3676 3163 3249

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 3240 3275 3501 3379 3520 3698 3723 3896
Варіант 16. Обіг вантажного вагона, доба.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 1,64 1,66 1,62 2,1 2,36 2,28 2,61 3,38

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 4,26 4,11 3,57 3,22 3,08 3 2,54 2,87

Варіант 17. Пробіг локомотива, км.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 429,7 415,9 407,0 393,0 407,0 405,0 414,4 424,0

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 425,0 425,0 435,0 444,0 436,0 453,0 456,2 456,8
Варіант 18. Пасажирообіг, млн.пас-км.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 12758 13236,7 12116,8 11655,4 11681,4 11505 11889,7 11054,9

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 12000,2 8983,2 9111,65 9306,96 9458,23 9498,65 9876,95 10835
Варіант 19. Навантаження, т.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 601031 537780 406083 302751 269760 247140 250994 240079

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 240365 255044 259516 265082 265979 278703 305764 328604
Варіант 20. Відправлення вантажів, тис.т.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 599,5 537,8 406,1 302,7 269,8 247,1 251,0 240,1

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 240,4 255,1 259,5 306,4 303,5 354,3 376,2 385,8
Варіант 21. Середньодобовий пробіг локомотива на електротязі, км.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 457,8 440,0 430,0 411,0 417,0 411,0 420,0 428,0

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 431,0 433,0 441,0 453,0 450,0 458, 456,2 468,7
Варіант 22. Дільнична швидкість, км/год.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 34,1 33,4 32,9 32,7 31,3 29,8 30,2 31,2
2

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 31,2 31,4 32,3 33,4 32, 34,2 34,9 35,3
Варіант 23. Обіг вантажного вагона, год.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 39,83 38,97 50,40 56,70 54,74 62,60 81,20 102,18

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 98,64 85,68 77,28 79,45 86,34 83,24 89,56 90,23
Варіант 24. Обіг вантажного вагона, доба.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 1,19 1,25 1,84 2,17 2,19 2,42 2,67 2,66

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 2,87 2,88 2,54 2,68 2,78 2,67 2,42 1,88

Варіант 25. Технічна швидкість поїзда, км/год.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 43,4 42,5 42,0 40,4 38,4 36,4 36,7 37,2

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 37,4 37,8 38,4 39,8 40,0 41,3 41,6 42,3
Варіант 26. Середня ваги поїзда, т.
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 3361,0 3260,0 3228,0 3275,0 3394,0 3437,0 3475,0 3496,0
2

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 3558,0 3591,0 3557,0 3595,0 3534,0 3587,0 3585,0 3590,0
Варіант 27. Резервний пробіг експлуатаційних тонно-кілометрів брутто, млн. лок-км
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 8,1699 7,3662 6,3340 5,5877 5,5977 5,6077 5,6270 6,5113

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 6,4953 6,1041 6,2512 7,4690 7,2101 7,2389 7,4908 7,4598
Варіант 28. Обіг транзитного вагона, доба
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 1,02 1,01 1,14 1,15 1,22 1,59 1,52 1,57

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 1,47 1,40 1,14 1,21 1,34 1,94 1,66 1,45
Варіант 29. Прийом вагонів, вагони
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 11272 10264 8362 6526 5860 4957 5435 5115

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 5276 5711 5851 6143 6584 6601 6934 7095
Варіант 30. Продуктивність вагона, ткм нетто
Рік 1 2 3 4 5 6 7 8
Аі 8028 7946 6602 5930 6319 5585 4260 3519

Рік 9 10 11 12 13 14 15 16
Аі 3786 4278 4665 4769 4897 4998 5072 5201

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5
МЕТОД АНАЛІЗУ ІЄРАРХІЙ
1. Мета роботи
1.1 Оволодіння меодикою аналізу ієрархічних структур на прикладі розв’язку задачі вибору серед альтернативних варіантів єдиного за заданими критеріями.
1.2 Застосування для реалізації задачі структурних і обчислювальних можливостей Microsoft Excel.
2. Постановка задачі
За методом аналізу ієрархій прийняти рішення щодо вибору альтернативи серед декількох запропонованих, беручи до уваги існування певних критеріїв вибору.
3. Порядок виконання роботи
3.1 Вивчити теоретичний матеріал щодо методу аналізу ієрархій.
3.2 За індивідуальним варіантом побудувати модель структури ієрархій.
3.3 Визначити потрібну кількість тверджень експерта.
3.4 Сформулювати твердження експерта та на їхній основі побудувати матрицю попарних порівнянь.
3.5 Визначити локальні пріоритети кожного рівня ієрархії.
3.6 Оцінити узгодженість матриці за індексом узгодженості
3.7 Визначити глобальні пріоритети (вектори альтернатив).
3.8 Виконати аналіз отриманих резуьтатів щодо вибору альтернативи.
4. Навчальний матеріал
4.1. Теоретичні основи методу аналізу ієрархій
Метод аналізу ієрархій (МАІ) − це математичний інструмент системного підходу до складних проблем прийняття рішень запропонований американським математиком Томасом Сааті. Сутність методу полягає в тому, що він не пропонує особі, що ухвалює рішень (ОПР), будь-якого «правильного» рішення, а дозволяє в інтерактивному режимі віднайти такий варіант (альтернативу), який щонайкраще узгоджується з розумінням суті проблеми і вимогами до її розв’язку.
Аналіз проблеми прийняття рішення в МАІ починається з побудови ієрархічної структури, яка включає мету, критерії, альтернативи та інші фактори, що впливають на вибір. Ця структура відображає розуміння проблеми ОПР. Кожен елемент структури може зображати різні аспекти завдання. Аналіз ситуації вибору рішення в МАІ нагадує процедури і методи аргументації, які використовуються на інтуїтивному рівні.
Наступним етапом аналізу є визначення пріоритетів, які визначають відносну важливість або перевагу елементів побудованої ієрархічної структури за допомогою процедури парних порівнянь.
На заключному етапі виконується синтез пріоритетів, результатом якого є визначення пріоритетів альтернативних рішень щодо головної мети. Кращою вважається альтернатива з максимальним значенням пріоритету.
4.2. Матриця попарних порівнянь
У МАІ елементи одного рівня ієрархії порівнюються попарно відносно їхнього впливу («ваги» або «інтенсивності») на загальну для них характеристику. Наприклад, будується матриця для порівняння відносної важливості критеріїв на другому рівні стосовно загальної мети на першому рівні.
Матриця попарних порівнянь розміром n×n будується за такими правилами:
 елементам матриці rii (елементам головної діагоналі) призначаються числа 1;
 якщо елемент Ri домінує над елементом Rj, то експерт визначає ступінь домінування k за шкалою відносної важливості (табл. 4.1) і призначає значення k елементу rij, а елементу rji − зворотне йому значення 1/k.
Якщо критеріїв більше двох, твердження експерта потрібно перевірити на узгодженість за критерієм відношення узгодженості Іо.
4.3. Шкала відносної важливості
Для реалізаціі суб’єктивних парних порівнянь в МАІ використовується дев’ятибальна шкала, табл. 4.1.
Таблиця 4.1
Шкала відносної важливості МАІ
Бал, k Визначення Примітка
1 Рівна важливість Рівний вклад двох видів діяльності в мету
3 Помірна перевага Легка перевага одного виду діяльності над іншим
5 Суттєва перевага Відчутна перевага одного виду діяльності над іншим
7 Значна перевага Практично значна перевага одного виду діяльності над іншим
9 Дуже велика перевага Очевидна перевага − домінування одного виду над іншим
2, 4, 6, 8 Проміжні значення Застосовується у перехідний період
1/k Обернені величини Використовується для оцінки не переважаючих видів діяльності
4.4. Приклад алгоритму аналізу ієрархій
Метод аналізу ієрархій передбачає реалізацію таких етапів:
 постановка задачі;
 побудова структури ієрархії;
 формування тверджень експерта;
 побудова матриці попарних порівнянь;
 визначення локальних пріоритетів;
 оцінка узгодженості тверджень експерта;
 визначення глобальних (узагальнених) пріоритетів;
 аналіз отриманих результатів.
Наведемо алгоритм методу аналізу ієрархій на прикладі прийняття рішень про купівлю електронного магазину з двох запропонованих.
4.4.1. Постановка задачі
Для продажу запропоновано два електронних магазина А і В. Потрібно прийняти рішення про купівлю одного з них на основі чотирьох обраних критеріїв:
1. Вартість.
2. Умови придбання.
3. Супровід розробника.
4. Інтерфейс користувача.
4.4.2. Модель структури ієрархій
Модель структури ієрархій (рис.4.1) складається із трьох рівней. Перший рівень являє собою мету − вибір магазина. Другий рівень складають критерії вибору. Третій рівень − альтернативи (магазини A і B).

 

1 2 3 4
1 2 3 4

 

 

 

Рис. 4.1 Зміст рівней структури ієрархій
4.4.3. Твердження експерта
Кількість тверджень експерта визначається за формулою:
(n(n−1))/2=(4(4−1))/2=6, (4.1)
де n − кількість критеріїв, n=4.
Твердження експерта щодо попарного оцінювання критеріїв другого рівня (рис. 4.1) набувають такого змісту:
1. Вартість (1) має дуже велику перевагу над супроводом розробника (3).
2. Інтерфейс користувача (4) помірно переважає супровід розробника (3).
3. Умови придбання (2) між помірно і суттєво поступаються вартості (1).
4. Інтерфейс користувача (4) значно переважає умови придбання (2).
5. Умови придбання (2) знаходяться між помірно і суттєвою перевагою над супроводом розробника (3).
6. Вартість (1) помірно переважає інтерфейс користувача (4).
4.4.4. Матриця попарних порівнянь другого рівня ієрархії
На основі тверджень експерта та шкалою відносної важливості МАІ будується матриця попарних порівнянь R:
(4.2)
Матриця R трансформується в табл. 4.2 для визначення суми елементів матриці по стовпцях .
Таблиця 4.2
Шкала тверджень експерта
Критерій Кількість стовбців
1 2 3 4
1 1 4 9 3
2 0,250 1 4 0,143
3 0,111 0,250 1 0,333
4 0,333 7 3 1
Сума 1,694 12,250 17 4,476
4.4.5 Визначення локальних пріоритетів
Визначення локальних пріоритетів Li базується на застосуванні матриць попарних порівнянь шляхом обчислення середнього геометричного рядків матриці попарних порівнянь R з наступною нормалізацією всіх складових отриманого вектора за формулою:
, (4.3)
де n − кількість критерієв рівня ієрархії.
Розраховуються чисельники формули (4.3) для визначення локальних пріоритетів:



Знаменник формули (4.3) має однакове значення для всіх елементів вектора і для нашого прикладу складає:

Таким чином, пріоритети для чотирьох критерієв другого рівня ієрархії становлять:
.
.
.

Зважаючи на реалізацію обчислень у середовищі Excel, доцільно скористатися табличною формою розрахунків, табл. 4.3.
Таблиця 4.3
Локальні пріоритети для другого рівня
Критерії i
i
Li
Вартість 1 108 3,224 0,558
Умови придбання 2 0,143 0,615 0,106
Супровід розробника 3 0,009 0,31 0,054
Інтерфейс користувача 4 7 1,627 0,282
SUM 5,775

 

 

 

4.4.6 Оцінювання узгодженості матриці
Для перевірки узгодженості думок експерта слід (4.2) слід розрахувати індекс узгодженості Ін та відношення узгодженості Іо.
Індекс узгодженості визначається за формулою:
, (4.4)
де max − максимальне власне значення матриці R:
. (4.5)
Для нашого прикладу max розраховується за даними табл. 4.2 і 4.3:

Індекс узгодженості (4.4) приймає значення:

Відношення узгодженості Іо визначається за формулою:
(4.6)
де Ів − випадковий індекс узгодженості, який визначається за довідковою таблицею випадкових індексів (табл. 4.4) при прийнятому порядку матриці n=4.
Таблиця 4.4
Випадкові індекси узгодженості (фрагмент)
Порядок матриці (n) 1 2 3 4 5 6 7 8
Випадковий індекс (Ів) 0,00 0,00 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41

За табл. 4.4 випадковий індекс узгодженості приймає значення Ів=0,90 і відношення узгодженості Іо (4.6) дорівнює :
.
Якщо значення Іо менше 0,10 − рівень узгодженості вважається задовільним. Якщо значення Іо менше 0,20, рівень узгодженості вважається прийнятним. Щодо отриманого рішення, рівень узгодженості матриці R можна вважати доволі прийнятним.
4.4.7. Матриця попарних порівнянь третього рівня ієрархії
Матриці попарних порівнянь для третього рівня ієрархії мають розмірність n=2 за кількістю об’єктів (А і В). Кількість тверджень: 2(2–1)/2=1, табл. 4.44.7.
1. Вартість магазину А значно переважає вартість магазину В.
Таблиця 4.4
Матриця порівнянь для вартості
A B
A 1 7
B 1/7 1
1. Умови придбання магазину В у порівнянні з магазином А знаходяться між рівно важливими і помірно переважаючими
Таблиця 4.5
Матриця порівнянь для умови придбання
А В
А 1 1/2
В 2 1
1. Супровід розробника магазину А значно поступається супроводові розробника магазину В.

Таблиця 4.6
Матриця порівнянь для супроводу розробника
А В
А 1 1/5
В 5 1
1. Інтерфейс користувача магазину В помірно переважає інтерфейс користувача магазину А.
Таблиця 4.7
Матриця порівнянь для інтерфейсу користувача
А В
А 1 1/3
В 3 1
4.4.8 Розрахунок локальних і глобальних пріоритетів третього рівня
Таблиця 4.8
Локальні пріоритети A i B
А B LА LВ
Вартість 7 2,646 0,143 0,378 0,604 0,066
Умови придбання 0,5 0,707 2 1,414 0,162 0,246
Супровід розробника 0,2 0,447 5 2,236 0,102 0,388
Інтерфейс користувача 0,333 0,577 3 1,732 0,132 0,301
SUM 4,377 SUM 5,760
Глобальні пріоритети для задачі розраховуються за формулами:
для магазину А: ; (4.7)
для магазину В: . (4.8)
Підсумкові розрахунки пріоритетів магазинів А і В наведені в табл. 4.9.
Таблиця 4.9
Глобальні пріоритети
Li LA LB LiLA LiLB
Вартість 0,558 0,604 0,066 0,337 0,037
Умови придбання 0,106 0,162 0,246 0,017 0,026
Супровід розробника 0,054 0,102 0,388 0,005 0,021
Інтерфейс користувача 0,282 0,132 0,301 0,037 0,085
Узагальнений пріоритет G 0,397 0,17
Розрахунки (табл. 4.9) демонструють, що рішення про купівлю магазину А переважає рішення про купівлю магазину В (0,3970,17), а найбільш важливим критерієм для прийняття такого рішення є вартість магазину А (max(Li)=0,558).
5. Контрольні запитання
5.1 Яка основна ідея методу аналізу ієрархій?
5.2 За якою формулою визначається кількість тверджень експерта?
5.3 Яким чином формується матриця попарних порівнянь?
5.4 Як використовується шкала відносної важливості?
5.5 Навіщо розраховується узгодженість матриці попарних порівнянь?
5.6 За якою формулою визначаються локальні пріоритети?
5.7 За якою формулою визначаються глобальні пріоритети?
5.8 За якими ознаками відбувається остаточний вибір альтернативи?
6. Варіанти індивідуальних завдань
Варіант 1. Клієнт повинен прийняти рішення щодо вибору авомобіля між моделями А і В за критеріями:
1. вартість;
2. комфортність;
3. швидкість;
4. надійність.
Варіант 2. Досліднику потрібно оцінити кваліфікацію трьох експертів (А, В, С) за критеріями:
1. професійний рівень;
2. незалежність;
3. порядність.
Варіант 3. Фірма приймає рішення щодо будівництва своєї філії в одній з трьох країн (А, В, С). При цьому беруться до уваги такі критерії:
1. дешева робоча сила;
2. незначне втручання держави;
3. надійність транспортних комунікацій;
4. стабільність валюти країни-господаря.
Варіант 4. Для відновлення комп’ютерного парку корпорації необхідно обрати один із трьох типів комп’ютерів (А, В, С), враховуючи такі аспекти:
1. технічний;
2. вартісний;
3. ергономічний;
4. супровід.
Варіант 5. Фірмі необхідно обрати керівника проекту з трьох претендентів (А, В, С). Ураховувалися такі критерії оцінювання:
1. вік;
2. досвід;
3. освіта;
4. харизма.

Варіант 6. Сім’я обирає побутову техніку з двох типів (А і В) за споживчими характеристиками:
1. ціна;
2. гнучкість розрахунку;
3. простота експлуатації;
4. дизайн;
5. відмовостійкість.
Варіант 7. З метою сприяння соціальному і політичному положенню суспільства, знайти відповідний розподіл електроенергії серед трьох значних споживачів у відповідності з їхнім внеском у різноманітні цілі суспільства.
Споживачі:
1. побутове споживання (А);
2. транспорт (В);
3. промисловість(С).
Критерії:
1. внесок у розвиток економіки;
2. екологія;
3. внесок у національну безпеку.
Варіант 8. Клієнт обирає квартиру з двох запропонованих (А і В) за критеріями:
1. вартість;
2. площа;
3. планування;
4. транспортне забезпечення.
Варіант 9. Для мандрівки пропонуються два види транспорту: залізничний (А) і автомобільний (В). Клієнт керується такими критеріями вибору:
1. час у дорозі;
2. комфорт;
3. безпека;
4. вартість проїзду.
Варіант 10. Громадська організація шукає лідера серед трьох претендентів (А, В, С) за ознаками:
1. комунікабельність;
2. емоційна стійкість;
3. енергійність,
4. соціальна зрілість;
5. оптимізм.
Варіант 11. Серед чотирьох марок автомобілей (А, В, С, D) обрати один за критеріями:
1. стиль;
2. надійність;
3. економія пального.

Варіант 12. На продаж виставлені три магазина (А, В, С), з яких потрібно придбати один, керуючись критериями:
1. вартість;
2. територія розташування;
3. спеціалізація;
4. умови придбання.
Варіант 13. Корпорація має намір створити дочірнє підприємство в одній з чотирьох країн (А, В, С, D). Вибір країни обумовлено такими критеріями:
1. вартість робочої сили;
2. політична стабільність країни;
3. прозорість ринку.
Варіант 14. Підприємство має намір здійснити купівлю машини для прання серед трьох запропонованих (А, В, С). Вибір здійснюється за критеріями:
1. дизайн;
2. ціна;
3. функціональність.
Варіант 15. Локомотивне депо має намір придбати новий локомотив. Серед трьох альтернативних варіантів (А, В, С) треба зробити вибір за критеріями:
1. вартість;
2. країна-виробник;
3. продуктивність.
Варіант 16. На продаж виставлені два Internet-магазини (А і В). Потрібно вибрати один з них за критеріями:
1. вартість;
2. умови придбання;
3. супровід розробника;
4. інтерфейс користувача;
5. функції, що надаються.
Варіант 17. Сім’я бажає змінити місце проживання і має три альтернативи (А, В, С). Критерії вибору сім’ї такі:
1. кліматичні умови;
2. транспортне забезпечення;
3. заклади культури;
4. дитячі заклади;
5. спортивні установи.
Варіант 18. Молодому фахівцю запропоновано роботу в двох компаніях (А і В). Маючи дві альтернативи, він застосував метод аналізу ієрархій за критеріями:
1. заробітна плата;
2. умови кар’єрного зросту;
3. наявність закордонних відряджень;
4. час, витрачений на поїздку на роботу.
Варіант 19. Мандрівник обирає вид транспорту серед трьох альтернативних: автомобільний (А), залізничний (В) та повітряний (С). Свій вибір він визначив за такими критеріями:
1. час у дорозі;
2. вартість подорожі;
3. комфорт;
4. безпека;
5. надійність.
Варіант 20. Метрополітен здійснює закупівлю вагонів у двох виробників (А і В). Обрання фірми-виробника відбувається за такими критеріями:
1. вартість вагонів;
2. надійність;
3. дизайн;
4. бренд фірми-виробника.
Варіант 21. Потенційний покупець обирає можливість купівлі товару між двома варіантами: в Internet-магазині (А) або у звичайному (В). За критерії оцінювання варіантів обрано такі:
1. вартість товару;
2. економія часу на придбання;
3. гарантія якості;
4. кількість асортименту.
Варіант 22. Молода сім’я бажає найняти няньку для своїх дітей і має зробити вибір між двома претендентками (А і В). Вибір здійснюється за критеріями:
1. вік претендентки;
2. рекомендації;
3. освітній ценз;
4. стаж роботи за спеціальністю.
Варіант 23. Фірма, що спеціалізується на наданні послуг з питань бізнесу, має намір відкрити свій філіал у місті А або В. Критерії вибору міста:
1. кількість бізнесових структур у місті;
2. наявність промислових об’єктів;
3. прозорість ринку;
4. наявність пропозицій щодо оренди офісів.
Варіант 24. Підприємець обирає банк для одержання кредиту серед трьох можливих (А, В, С). Критеріїї вибору банку такі:
1. репутація банку;
2. відсотки по кредиту;
3. термін повернення кредиту;
4. можливості по достроковому поверненню кредиту;
5. пропозиції банку щодо застави.

Варіант 25. Для розвитку бізнесу фірма має намір орендувати (А) або придбати (В) додаткові площі. Критеріями вибору є:
1. вартість одного квадратного метру;
2. територіальне розташування;
3. умови придбання;
4. репутація власника.
Варіант 26. Укрзалізниця подає заявку на молодого спеціаліста. Обрання одного з чотирьох можливих претендентів А, В, С і D відбувається за критеріями:
1. успіхи в навчанні;
2. тема дипломної роботи;
3. місце постійного проживання;
4. організаційні здібності.
Варіант 27. Залізниця має намір придбати тепловоз у одного з двох виробників А і В. За критерії вибору виробника обираються такі:
1. вартість тепловоза;
2. умови оплати;
3. технічні характеристики;
4. характеристики електронного обладнання;
5. характеристики надійності.
Варіант 28. Підприємець наймає фахівця для роботи в офісі серед трьох претендентів (А, В і С) за критеріями:
1. вищий учбовий заклад, який закінчив претендент;
2. володіння комп’ютером;
3. володіння іноземною мовою;
4. водіння автомобіля;
5. стаж роботи;
6. віковий ценз.
Варіант 29. Фірма прагне отримати замовлення на виконання роботи з розробки інформаційної системи і має на увазі двох замовників А і В. Критерії вибору замовника такі:
1. пропозиції замовника щодо вартості роботи;
2. репутація замовника;
3. терміни виконання;
4. країна виконавця;
5. можливості фірми щодо виконання роботи.
Варіант 30. Через обмеження перевізних спроможностей залізниця має обрати одного з двох клієнтів А і В на виконання замовлення на перевезення вантажу. Критеріями вибору є:
1. специфіка вантажу;
2. терміни доставки вантажу;
3. умови перевезення;
4. репутація клієнта.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 6
МЕТОД ЕКСПЕРТНИХ ОЦІНОК
1. Мета роботи
1.1 Оволодіння методикою застосування експертних оцінок для ранжування факторів, які впливають на ефективність системи.
1.2 Використання структурних і функціональних можливостей Microsoft Excel для реалізації методу експертних оцінок..
2. Постановка задачі
Для заданих факторів, що впливають на систему, за результатами їхнього ранжування групою експертів оцінити пріоритетність впливу цих факторів на розв’язок певної проблеми.
3. Порядок виконання роботи
3.1 Опанувати теоретичний матеріал щодо експертного методу оцінки факторів, які впливають на рішення, яке приймає особа, що приймає рішення (ОПР).
3.2 На підставі матриці оцінок експерта відповідно до індивідуального завдання розрахувати сумарний ранг.
3.3 Визначити рангову кореляцію для двох експертів або рангову конкордацію, якщо експертів більше двох.
3.4 Оцінити узгодженість отриманих коефіцієнтів кореляції або конкордації.
3.5 Визначити вагу факторів.
3.6 Виконати аналіз отриманих результатів.
4. Навчальний матеріал
4.1 Сутність методу експертних оцінок
Сутність методу експертних оцінок факторів полягає у наступному: потрібно чітко визначити всі фактори, які впливають на мету системи і запропонувати групі експертів розташувати їх за рангами.
При ранжуванні кожен експерт повинен призначити кожному факторові ранг (бал), що відповідає його важливості із числа натурального ряду (1, 2, 3, ..., n). Максимальний ранг повинен дорівнювати загальному числу факторів. При проведенні оцінювання експерт може порахувати важливість декількох факторів однаковою і привласнити цим факторам однакові ранги.
Після цього індивідуальні ранги підсумовуються (сумарний ранг) і визначаються результуючі ранги для кожного фактора.
Оцінювання вагомості і погодженості думок експертів базується на теорії рангової кореляції і рангової конкордації.
4.2 Визначення рангової кореляції
Метод рангової кореляції застосовується у випадках, коли оцінювання факторів виконується двома експертами, що дозволяє визначити наскільки можна довіряти отриманим рангам, тобто чи існує зв’язок між ранжуванням кожного з двох експертів.
Для визначення ступеню зв’язку рангів двох експертів використовується коефіцієнт рангової кореляціїї Спірмена Rs:
, (6.1)
де di – різниця між рангами першого і другого експертів для і-го фактора;
n − кількість факторів.
Якщо оцінки експертів щодо якихось факторів співпадають, коефіцієнт рангової кореляції Спірмена визначається за формулою:
(6.2)
де Та і Тb − поправки, які розраховуються за формулами:
(6.3)
де a − кількість однакових рангів в ранговому ряду першого експерта;
b − кількість однакових рангів в ранговому ряду другого експерта.
Для визначення значимості коефіцієнта рангової кореляції Спірмена розраховується критерій Стьюдента tp за формулою:
. (6.4)
За таблицею Стьюдента (Додаток І) для k=n–m i =0,05, де n − кількість факторів; m − кількість експертів;  − рівень значимості, =1−p визначається tтабл
Якщо tр>tтабл, гіпотеза про значимість отриманої від експертів інформації приймається. Якщо tр<tтабл, гіпотеза про значимість отриманої від експертів інформації відкидається.
4.3 Визначення рангової конкордації
Якщо число експертів більше двох, погодженість їхніх оцінок визначається з використанням коефіцієнта конкордації Кендалла К:
(6.5)
де S – сумма квадратів відхилення суми рангів кожного фактора від середнього значення суми;
Smax – максимальне значення S, яке визначається за формулою;
(6.6)
або, зважаючи на наявність співпадаючих рангів:
(6.7)
де m – кількість експертів;
n – кількість факторів;
k − кількість рядків матриці оцінок зі співпадаючими рангами;
l − загальна кількість експертів, які призначили факторам однакові ранги;
Tk − поправки, що враховують співпадаючі ранги.
Сума квадратів відхилення сум рангів від їхнього середнього розраховується за формулою:
(6.8)
де хij – оцінка і−го фактора j−м експертом; ; ;
 – середнє значення суми рангів, яке визначається за формулою:
(6.9)
Визначити значення середньої суми рангів можна також поділом загальної суми рангів на кількість факторів.
4.4 Узгодженість коефіцієнта конкордації
Узгодженість коефіцієнта конкордації визначається за критерієм Пірсона :
(6.10)
Розрахункове значення порівнюється з табличним (Додаток ІІ) за прийнятим рівнем уровень значимості =0,05 і числом ступенів свободи k=n−1.
Існує приблизна оцінка ступеня узгодженості. Якщо значення коефіцієнта конкордації знаходяться у межах:
K≤0,75 – ступінь узгодженості слабка;
0,75≤K≤0,85 – ступінь узгодженості середня;
0,85≤K≤0,95 – ступінь узгодженості вище середньої;
K>0,95 – ступінь узгодженості сильна.
4.5 Визначення ваги факторів
Важливою проблемою при аналізі системи є отримання інформаціїї про вагомість і пріоритетність кожного фактора.
Для визначення ваги факторів на підставі матриці рангів розраховується матриця нормованих оцінок за формулою:
(6.11)
Матриця нормованих оцінок є основою для обчислення ваги факторів i:
(6.12)
4.6 Приклади виконання роботи
Для оцінювання ступеню зв’язку між оцінками експертів розглянемо три можливі випадки формування матриці рангів: незбіжні оцінки двох експертів; співпадаючі оцінки двох експертів; число експертів більше двох (m=4).
4.6.1 Матриця із незбіжними оцінками двох експертів
Розглянемо узгодженість оцінювання десяти факторів двома експертами на прикладі таблиці рангів, табл. 6.1.
Таблиця 6.1
Матриця із незбіжними рангами
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сума
А 8 5 7 3 9 1 6 10 4 2 55
В 4 6 7 5 10 2 9 8 3 1 55
Сума рангів 12 11 14 8 19 3 15 18 7 3 110
Різниця рангів (di) 4 -1 0 -2 -1 -1 -3 2 1 1 0
Квадрат різниці рангів (di2) 16 1 0 4 1 1 9 4 1 1 38
Для кожного фактора визначається сума рангів, яка є підставою для розрахунку сумарного (результуючого) рангу.
Для розрахунку сумарного рангу потрібно відсортувати отримані суми рангів і привласнити кожній з них вагу від 1 до 10: від найменшого значення суми до найбільшого, табл. 6.2.
Таблиця 6.2
Розрахунок сумарного рангу
Вага суми рангів 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сума
Сума рангів 3 3 7 8 11 12 14 15 18 19 110
Сумарний ранг 1,5 1,5 3 4 5 6 7 8 9 10 55
Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена Rs (6.1) становить:

За критерієм Стьюдента tp визначається значимість коефіцієнта Спірмена (6.4):

Порівняння розрахункового значення критерія Стьюдента tp =3,41 з його табличним значенням tтабл(8;0,05)=2,306 (Додаток І) свідчить про значимість інформації, отриманої від експертів.
4.6.2 Матриця зі співпадаючими оцінками експертів
Наступний приклад демонструє випадок, коли матриця рангів містить співпадаючі для деяких факторів оцінки експертів, табл. 6.3.
Таблиця 6.3
Матриця зі співпадаючими рангами
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сума
А 10 6 7 8 10 1 5 10 5 2 64
В 7 5 8 5 10 2 7 8 3 1 56
Сума рангів 17 11 15 13 20 3 12 18 8 3 120
Різниця рангів (di) 3 1 -1 3 0 -1 -2 2 2 1 8
Квадрат різниці рангів (di2) 9 1 1 9 0 1 4 4 4 1 34
Розрахунок сумарного рангу для матриці зі співпадаючими рангами наведено в табл. 6.4.
Таблиця 6.4
Розрахунок сумарного рангу
Вага суми рангів 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сума
Сума рангів 3 3 8 11 12 13 15 17 18 20 120
Сумарний ранг 1,5 1,5 3 4 5 6 7 8 9 10 55
Для розрахунку коефіцієнта рангової кореляції Спірмена при збігові рангів в оцінках експертів потрібно спочатку розрахувати поправки Та і Тb (6.2):


Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена за формулою (6.2) становить:

Значимість отриманого коефіцієнта Спірмена розраховується за формулою (6.4):

Розрахункове значення критерія Стьюдента tp перевищує табличне tтабл 3,410>2,306 (Додаток І), що підтверджує статистичну значимість коефіцієнта Спірмена.
4.6.3 Матриця рангів чотирьох експертів
Розглянемо приклад, в якому група з чотирьох експертів (A, B, C, D) оцінює шість факторів, табл. 6.5.
Таблиця 6.5
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 Сума
A 1 3 2 5 4 6 21
B 2 4 1 6 3 5 21
C 3 3 1 6 2 5 20
D 3 4 2 5 4 6 24
Сума рангів 9 14 6 22 13 22 86
Сумарний ранг 2 4 1 5,5 3 5,5 21
Відхилення суми від середнього -5 0 -8 8 -1 8 2
Квадрат відхилення 25 0 64 64 1 64 218
Матриця рангів
Узгодженість оцінок експертів визначається з використанням коефіцієнта конкордації Кендалла К (6.5):

де S – сумма квадратів відхилення суми рангів кожного фактора від їхнього середнього значення за формулою (6.8) наведена в табл. 6.5:
;
 – середнє суми рангів дорівнює (6.9):
;
Smax – максимальне значення S, яке розраховується за формулою (6.7) з огляду на те, що матриця рангів містить у третьому і четвертому рядках (експерти С і D) однакові ранги − 3, 3 і 4, 4 відповідно.
Розраховуються поправки Tc i Td :


Узгодженість коефіцієнта конкордаціїї за критерієм Пірсона (6.10) складає:
.
Порівняння отриманого розрахункового значення критерію Пірсона з відповідним табличним (Додаток ІІ) свідчить про значимість коефіцієнта конкордації: 15,57>11,7.
4.6.4 Розрахунок ваги факторів
Розрахунок ваги фактора відтворимо на прикладі оцінювання шести факторів чотирма експертами, табл. 6.5.
Вагомість кожного фактора та їхня пріоритетність визначається на підставі матриці нормованих оцінок, табл. 6.6.
Елементами матриці є відношення кожного елемента матриці рангів (табл.6.5) до суми рангів відповідного експерта (табл.6.5, останній стовпець).
Таблиця 6.6
Матриця нормованих оцінок

Фактори
Експерти 1 2 3 4 5 6
A 0,048 0,143 0,095 0,238 0,190 0,286
B 0,095 0,190 0,048 0,286 0,143 0,238
C 0,150 0,150 0,050 0,300 0,100 0,250
D 0,125 0,167 0,083 0,208 0,167 0,250
Сума 0,418 0,650 0,276 1,032 0,600 1,024
Матриця нормованих оцінок є основою для обчислення ваги факторів, табл. 6.7. Вага кожного фактора обчислюється як середнє нормованих оцінок (6.12).
Таблиця 6.7
Результуюча таблиця ваги факторів
Фактори 1 2 3 4 5 6
Вага 0,104 0,163 0,069 0,258 0,150 0,256
max 0,258
Відповідно до табл. 6.7, за вагою фактори розташувалися у такому порядку: найбільшу вагу має четвертий фактор − 0,258, за яким з невеликим відривом розмістився шостий − 0,256, потім другий − 0,163, п’ятий − 0,150, перший − 0,104 і, нарешті, третій − 0,069.
Графічне уявлення про відповідний вплив кожного фактора на систему (об’єкт) за даними табл. 6.7 наведено на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Частка впливу факторів (цілей) на систему (об’єкт)
5. Контрольні запитання
1. У чому полягає сутність методу експертних оцінок?
2. Яким чином можна перевірити значимість інформації, отриманої від експертів?
3. За яким алгоритмом визначаэться сумарний (результуючий) ранг?
4. За якою формулою визначається коефіцієнт рангової кореляціїї Спірмена Rs.
5. Як оцінити суттєвість коефіцієнта Спірмена?
6. За якою формулою визначається коефіцієнт конкордації Кендалла?
7. За яким критерієм визначається узгодженість коефіцієнта Кендалла?
8. У яких випадках і як визначається вага факторів (цілей), визначених експертами?
6. Варіанти індивідуальних завдань
Варіант 1.

Фактори
Експерти 1 2 3 4 5 6
A 5 1 3 4 2 6
B 3 4 1 6 2 5
C 4 1 3 5 2 6
D 4 2 3 5 1 6

Варіант 2
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А 9 3 2 4 5 1 8 10 7 6
В 7 2 1 3 4 3 9 7 10 8
Варіант 3
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А 10 5 1 3 2 6 4 8 7 9
В 9 5 2 3 1 4 6 7 10 9
С 10 4 1 1 2 5 6 6 7 9
Варіант 4
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8
А 8 3 2 4 5 1 6 7
В 7 4 2 3 5 1 6 8
Варіант 5
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8
А 8 3 7 2 1 6 5 4
В 6 2 6 4 1 7 8 3
С 7 3 6 3 1 7 5 4
Варіант 6
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8
А 8 3 3 4 5 2 6 7
В 7 2 3 3 5 2 6 8
Варіант 7
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8
А 8 3 3 4 7 2 6 8
В 7 3 3 3 6 2 6 7

Варіант 8

Фактори
Експерти 1 2 3 4 5 6
A 5 1 4 3 2 6
B 6 2 3 4 1 5
C 4 3 2 5 1 6
D 6 1 4 3 2 5
Варіант 9

Фактори
Експерти 1 2 3 4 5 6
A 6 4 1 3 2 5
B 4 5 3 2 1 6
C 5 4 2 3 1 6
D 4 6 3 2 1 5
Варіант 10
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8
А 7 3 3 4 5 2 7 6
В 6 3 3 3 6 2 6 7
Варіант 11

Фактори
Експерти 1 2 3 4 5 6
A 5 1 3 4 2 6
B 3 4 1 6 2 5
C 4 1 3 5 2 6
Варіант 12
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8
А 8 3 7 2 1 6 5 4
В 6 2 6 4 1 7 8 3
C 7 2 6 3 1 8 5 4
D 8 3 7 2 4 7 6 3
E 6 2 6 4 3 6 5 1

Варіант 13
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А 2 4 10 8 1 6 3 5 7 9
В 3 3 9 10 1 6 4 5 8 7
С 3 4 8 10 2 5 4 6 7 9
Варіант 14
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А 6 1 10 9 3 5 7 8 4 2
В 4 2 9 10 3 6 7 8 5 1
С 5 1 10 8 3 5 6 9 4 2
D 6 2 9 10 1 6 7 8 3 2
Варіант 15
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А 1 9 4 8 3 5 2 7 10 6
В 2 10 3 7 1 5 4 8 9 6
C 2 10 4 8 3 5 1 7 9 6
D 3 9 2 7 1 6 4 8 10 5
Варіант 16

Фактори
Експерти 1 2 3 4 5 6
A 6 4 2 1 3 5
B 5 3 1 2 4 6
C 4 2 1 3 5 6
D 4 3 2 1 6 5
Варіант 17
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А 4 3 4 6 8 10 8 7 6 10
В 3 4 2 5 7 9 8 10 7 9

Варіант 18
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8
А 1 3 5 7 5 2 7 8
В 1 3 4 6 6 2 8 7
Варіант 19
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А 5 2 10 8 1 5 9 7 3 3
В 3 2 9 7 2 6 8 10 4 5
C 5 2 8 10 1 5 9 7 6 4
Варіант 20
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6
А 1 3 4 6 5 3
В 1 3 4 5 6 2
Варіант 21
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6
А 3 6 5 2 1 4
В 2 5 6 4 1 3
C 1 6 4 3 2 5
Варіант 22
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8
А 8 6 5 1 2 3 7 4
В 6 8 5 2 1 4 7 3
C 7 8 6 3 1 4 5 2
D 8 7 5 2 3 1 6 4
Варіант 23
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8
А 1 5 6 3 2 4 7 8
В 2 5 6 1 3 4 8 7
Варіант 24
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6
А 2 6 4 1 3 5
В 2 5 6 3 1 4
C 1 4 5 2 3 6
D 1 6 4 2 3 5
Варіант 25
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А 4 2 10 9 1 6 7 7 3 3
В 4 2 7 10 2 6 8 8 5 4
C 3 5 8 10 1 5 9 7 6 4
Варіант 26
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А 6 1 8 10 5 3 2 7 4 6
В 5 2 7 10 6 4 1 9 3 8
C 4 1 8 9 5 2 3 7 6 7
D 4 2 7 9 6 1 2 8 3 5
Варіант 27
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6
А 3 5 4 5 4 1
В 1 4 4 5 6 2
C 2 3 5 5 6 1
D 1 3 4 6 5 2
Варіант 28
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А 6 1 10 9 3 5 7 8 4 2
В 4 2 9 10 3 6 7 8 5 1
C 5 1 10 8 3 5 6 9 4 2

Варіант 29
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А 4 1 8 10 5 3 2 7 9 6
В 5 2 7 10 6 1 3 9 4 8
C 4 1 8 9 5 2 3 7 5 6
D 4 2 7 9 6 1 2 10 3 5
E 6 1 8 10 5 4 2 9 3 7
Варіант 30
Фактори

Експерти 1 2 3 4 5 6 7 8
А 8 7 6 3 1 2 4 5
В 6 5 7 2 3 4 8 1
C 5 6 7 3 1 4 8 2
D 8 4 6 3 1 5 7 2

ДОДАТОК І. ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ t-КРИТЕРІЮ СТЬЮДЕНТА
Критичні значення t-критерію Стьюдента для різної довірчої ймовірності p і числа ступенів свободи k.
p
k 0,90 0,95 0,99
4 2,132 2,776 4,604
5 2,015 2,571 4,032
6 1,943 2,447 3,707
7 1,895 2,365 3,499
8 1,860 2,306 3,355
9 1,833 2,262 3,250
10 1,812 2,228 3,169
11 1,796 2,201 3,106
12 1,782 2,179 3,055
13 1,771 2,160 3,012
14 1,761 2,145 2,977
15 1,753 2,131 2,947
18 1,734 2,103 2,878
20 1,725 2,086 2,845
30 1,697 2,042 2,750
40 1,684 2,021 2,704
50 1,676 2,008 2,677
60 1,671 2,000 2,660
70 1,667 1,995 2,648
80 1,664 1,990 2,639
90 1,662 1,987 2,632
100 1,660 1,984 2,626

1,645 1,960 2,576

ДОДАТОК ІІ. ТАБЛИЦЯ КРИТИЧНИХ ТОЧОК РОЗПОДІЛУ ПІРСОНА
k/ 0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99
1 6,63490 5,02389 3,84146 0,00393 0,00098 0,00016
2 9,21034 7,37776 5,99146 0,10259 0,05064 0,02010
3 11,34487 9,34840 7,81473 0,35185 0,21580 0,11483
4 13,2767 11,14329 9,48773 0,71072 0,48442 0,29711
5 15,08627 12,8325 11,0705 1,14548 0,83121 0,55430
6 16,81189 14,44938 12,59159 1,63538 1,23734 0,87209
7 18,47531 16,01276 14,06714 2,16735 1,68987 1,23904
8 20,09024 17,53455 15,50731 2,73264 2,17973 1,64650
9 21,66599 19,02277 16,91898 3,32511 2,70039 2,08790
10 23,20925 20,48318 18,30704 3,94030 3,24697 2,55821
11 24,72497 21,92005 19,67514 4,57481 3,81575 3,05348
12 26,21697 23,33666 21,02607 5,22603 4,40379 3,57057
13 27,68825 24,7356 22,36203 5,89186 5,00875 4,10692
14 29,14124 26,11895 23,68479 6,57063 5,62873 4,66043
15 30,57791 27,48839 24,99579 7,26094 6,26214 5,22935
16 31,99993 28,84535 26,29623 7,96165 6,90766 5,81221
17 33,40866 30,19101 27,58711 8,67176 7,56419 6,40776
18 34,80531 31,52638 28,86930 9,39046 8,23075 7,01491
19 36,19087 32,85233 30,14353 10,11701 8,90652 7,63273
20 37,56623 34,16961 31,41043 10,85081 9,59078 8,26040
21 38,93217 35,47888 32,67057 11,59131 10,2829 8,89720
22 40,28936 36,78071 33,92444 12,33801 10,98232 9,54249
23 41,63840 38,07563 35,17246 13,09051 11,68855 10,19572
24 42,97982 39,36408 36,41503 13,84843 12,40115 10,85636
25 44,31410 40,64647 37,65248 14,61141 13,11972 11,52398
26 45,64168 41,92317 38,88514 15,37916 13,84391 12,19815
27 46,96294 43,19451 40,11327 16,15140 14,57338 12,87850
28 48,27824 44,46079 41,33714 16,92788 15,30786 13,56471
29 49,58788 45,72229 42,55697 17,70837 16,04707 14,25645
30 50,89218 46,97924 43,77297 18,49266 16,79077 14,95346
31 52,19139 48,23189 44,98534 19,28057 17,53874 15,65546
32 53,48577 49,48044 46,19426 20,07191 18,29076 16,36222
33 54,77554 50,72508 47,39988 20,86653 19,04666 17,07351
34 56,06091 51,96600 48,60237 21,66428 19,80625 17,78915
35 57,34207 53,20335 49,80185 22,46502 20,56938 18,50893
36 58,61921 54,43729 50,99846 23,26861 21,33588 19,23268
37 59,89250 55,66797 52,19232 24,07494 22,10563 19,96023
38 61,16209 56,89552 53,38354 24,8839 22,87848 20,69144
39 62,42812 58,12006 54,57223 25,69539 23,65432 21,42616
40 63,69074 59,34171 55,75848 26,5093 24,43304 22,16426
41 64,95007 60,56057 56,94239 27,32555 25,21452 22,90561
42 66,20624 61,77676 58,12404 28,14405 25,99866 23,65009
43 67,45935 62,99036 59,30351 28,96472 26,78537 24,39760
44 68,70951 64,20146 60,48089 29,78748 27,57457 25,14803
45 69,95683 65,41016 61,65623 30,61226 28,36615 25,90127

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Лившиц В. Н. Системный анализ экономических процессов на транспорте. – М.: Транспорт, 1986. . – 240 с.
2. Орловский П. Н. Системный анализ. Основные понятия, принципы, методология. – Киев, 1996. – 368с.
3. Орловский П. Н. Системный анализ проблем транспортных узлов – Киев, «Основа», 2007. – 234с.
4. Белов И. В., Каплан А. Б. Математические методы в планировании на железнодорожном транспорте, – М.: Транспорт, 1972. – 248 с.
5. Катренко А. В. Системний аналіз: підручник – Львів: «Новий Світ-2000», 2009, – 396с.
6. Валуев С. А. и др. Системный анализ в экономике и организации производства. – Л.: «Политехника», 1991. – 398с.,
7. Акулиничев В. М, Кудрявцев В. А, Корешков А. Н. Математические методы в експлуатации железных дорог. – М.: Транспорт, 1981. – 262 с.
8. Юн Г. М., Марінцева К. В. Основи теорії систем і системний аналіз. Конспект лекцій. – К.: НАУ. – 2004. – 168с.
9. Могилевський В. Д. Методологія систем. – М.: «Экономика», 1999. – 251с.
10. Перегудов Ф. И, Тарасенко Ф. П. Введение в системный анализ. – М: Высшая школа, 1992. – 367 с.
11. Цветов Ю. М. Транспорт: Системній подход. – М.: Знание. 1980. − 213 с.
12. Качала В .В. Основы теории систем и системного анализа. Учебное пособие для вузов. – М.: Горячая линия – Телеком, 2007. – 216 с.
13. Анфилатов B. C., Емельянов А. А., Кукушкин А. А. Системный анализ в управлении. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 368 с.
14. Сурмин Ю. П. Теория систем и системный анализ: Учеб. пособие.– Киев: МЛУП, 2003. – 368 с
15. Дивак М. П. Методичний посібник з дисципліни «Системний аналіз» – Тернопіль: ТІНГ, 2004. – 136 с.
16. Громов Ю. Ю. и др. Системный анализ в информационных технологиях. – Тамбов, ТГТУ, 2007. – 86 с.
17. Романов В. Н. Системный анализ для инженеров. – СПб, СЗГЗТУ, 2006. – 180 с.
18. Т. Саати. Принятие решений. Метод анализа иерархий./ Пер. с англ. Р. Г. Вачнадзе – М., Радио и связь, 1993. – 278 с.
19. Дж. Бокс, Г. Дженкинс. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. − М. Мир, 1974. − 406 с.