|
|
Главная \ Методичні вказівки \ Статистика
Статистика« Назад
Статистика 11.10.2016 07:55
Тема 5. РЯДЫ ДИНАМИКИ
ЗАДАЧИ
№ 1. Имеются данные о розничном товарообороте района (млн.руб.):
П р и в е д и т е ряды динамики к сопоставимому виду (сомкните ряды). Укажите вид полученного ряда динамики. Начертите линейный график.
№ 2. Имеются следующие данные о производстве продукции предприятия текстильной промышленности за первое полугодие 1989 г. (тыс. руб.):
Исчислите среднемесячное производство продукции предприятия за первый квартал, за второй квартал, за второй квартал и за полугодие в целом.
№ 3. Численность рабочих предприятия в течение 1989 г. характеризовалась следующими данными (чел.):
На 1/I На 1/III На 1/VII На 1/VIII На 1/I-90 г. 520 510 530 505 524
Исчислите среднегодовую численность рабочих предприятия за 1989 г.
№ 4. Имеются следующие данные об остатках вкладов в сберегательном банке в первом полугодии 1989 г. (тыс. руб.):
На 1/I На 1/II На 1/III На 1/IV На 1/V На 1/VI На 1/VII 880 883 881 900 910 918 920 Исчислите средние остатки вкладов в сберегательном банке а) за первый квартал; б) за второй квартал; г) за полугодие в целом.
№ 5. Имеются следующие данные о товарных запасах магазина розничной торговли за первый квартал 1989 г. (тыс. руб.):
Исчислите средние товарные запасы магазина за первый квартал: а) продовольственных товаров; б) непродовольственных товаров; в) продовольственных и непродовольственных товаров вместе.
№ 6. Численность рабочих предприятия по месяцам года характеризуется следующими данными ( чел.) :
На 1/I …………………………………………….2150 На 1/II…………………………………………….2130 На 1/III ………………………………………….. 2156 На 1/IV……………………………………………2160 На 1/V ……………………………………………2145 На 1/VI ……………………….. …………………2168 На 1/VII …………………………………………..2180 На 1/VIII…………………………………………..2205
Известно, что среднесписочная численность рабочих за III квартал составила 2172 чел., за IV квартал – 2181 чел. Определите среднесписочную численность рабочих за первое полугодие, за второе полугодие и за год в целом.
№ 7. Имеются следующие данные о производстве продукции промышленного предприятия за 1985-1990 г.г. (в сопоставимых ценах; млн. руб.): 1985 г. 1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г. 1990 г. 18,0 19,0 20,5 21,5 23,0 25,0
Для анализа динамики производства продукции предприятия исчислите:
1) среднегодовое производство продукции за двенадцатую пятилетку; 2) ежегодные и базисные абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста; 3) абсолютное значение одного процента прироста; 4) среднегодовой абсолютный прирост; 5) среднегодовой темп роста и среднегодовой темп прироста; 6) среднее значение одного процента прироста.
Полученные данные представьте в таблице и проанализируйте их. Изобразите динамику производства продукции предприятия на графике.
№ 8. Ежегодный прирост производства продукции промышленного предприятия за 1985-1989 гг. характеризуется следующими данными ( в% к предыдущему году):
1985 г. 1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г. 3 6 5 7 8
Исчислите базисные темпы роста (1985 г. = 100) производства продукции предприятия за годы двенадцатой пятилетки и среднегодовой темп роста.
№ 9. Имеются данные о производстве товаров культурно-бытового назначения в СССР в среднем за сутки (тыс. шт.):
Приведите ряды динамики к одному основанию. Исчислите коэффициенты опережения производства холодильников к производству радиоприемников и телевизоров, а также производства телевизоров к радиоприемникам. Сделайте краткие выводы.
№ 10. Имеются следующие данные о ежесуточной выплавке чугуна по области в первой половине октября (тыс. т):
Произведите сглаживание методом пятидневной скользящей средней.
№ 11. Реализация картофеля на колхозных рынках города за три года составила (тыс. т):
Измерьте сезонные колебания реализации картофеля, исчислив индексы сезонности методом отношений средних месячных к постоянной средней. Постройте график сезонной волны продажи картофеля. Объясните, для чего измеряют сезонные колебания.
№ 12. Имеются данные о внутригодовой динамике продажи овощей и фруктов в системе потребительской кооперации района по кварталам за 1987-1989 гг. (тыс. руб.):
Для анализа внутригодовой динамики продажи овощей и фруктов в системе потребительской кооперации района исчислите индексы сезонности с применением метода аналитического выравнивания по прямой. Постройте график сезонной волны.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
№ 1. В 1985 г. были изменены границы района. Данные о поголовье крупного рогатого скота в районе за 1983-1989 гг. приведены ниже (тыс. голов):
Требуется привести ряды динамики к сопоставимому виду. Решение. Предварительно определим коэффициент пересчета уровней в 1985 г., в котором произошло изменение границ района: К=70:50=1,4. Умножая на этот коэффициент уровни ряда динамики в старых границах, получаем их сопоставимыми с уровнями в новых границах.
В 1983г………………………………45×1,4=63,0 (тыс.голов) В 1984 г……………………………...48×1,4=67,2 (тыс.голов).
Теперь представим полученные данные о поголовье крупного рогатого скота в виде ряда динамики:
1983 г. 1984 г. 1985 г. 1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г. 63,0 67,2 70,0 71,3 73,2 74,1 75,0
Полученные сопоставимые данные характеризуют рост поголовья крупного рогатого скота в районе за 1983-1989 гг. Они могут быть использованы для расчета аналитических показателей ряда динамики.
№ 2. Имеются следующие данные о потреблении электроэнергии на производственные цели колхозами и совхозами СССР за 1975-1986 гг. (млрд. кВт/ч):
Требуется привести ряды динамики к общему основанию. Сделать краткие выводы.
Решение. Чтобы привести различные динамические ряды к единому основанию , необходимо уровни рядов динамики сравнить с одним уровнем, принятым за базу. В данных рядах за базу сравнения примем уровень 1975 г. и исчислим базисные темпы роста.
Для колхозов:
%; и т.д.
Для совхозов:
; и т.д.
Представим полученные показатели в таблице.
Таблица 1
Темпы роста потребления электроэнергии колхозами и совхозами СССР за 1975-1986 гг., % (1975 г.=100)
Данные таблицы показывают, что потребление электроэнергии на производственные цели в колхозах и совхозах постоянно растет. За годы десятой и одиннадцатой пятилеток и один год двенадцатой пятилетки прирост производственного потребления электроэнергии составил в колхозах 79,4% и совхозах 119,8%. Это свидетельствует о неуклонном росте технического прогресса в сельскохозяйственном производстве. Чтобы узнать, во сколько раз производственное потребление электроэнергии выше в совхозах по сравнению с колхозами, необходимо сравнить базисные коэффициенты роста за изучаемый период, т.е. исчислить коэффициенты опережения:
.
где Тс - темп роста потребления электроэнергии в совхозах; Тк - темп роста потребления электроэнергии в колхозах.
Для 1980 г. коэффициент опережения равен:
,
Для 1986 г. коэффициент опережения равен:
.
Коэффициенты опережения показывают, что по сравнению с 1975 г. производственное потребление электроэнергии в совхозах в 1980 г. было в 1,21 раза (или на 21%) выше, чем в колхозах, в 1986 г. – в 1.23 раза выше, что свидетельствует о более высоком уровне технического прогресса в совхозах по сравнению с колхозами.
№ 3. Имеются следующие данные о производстве продукции предприятием за 1986-1990 гг. (тыс. руб.):
1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г. 1990 г. 20400 21300 22200 22650 23600
Требуется исчислить среднегодовое производство продукции за двенадцатую пятилетку.
Решение. Для интервального ряда динамики средний уровень исчислим по формуле средней арифметической простой:
= 22030 (тыс.руб.).
№ 4. Имеются следующие данные об остатках сырья и материалов на складе предприятия (тыс. руб.):
На 1/I …………………………………………….400 На 1/II……………………………………………..455 На 1/III ……………………………………………465 На 1/IV…………………………………………….460 Требуется определить среднемесячный остаток сырья и материалов на складе предприятия за I квартал.
Решение. По условию задачи имеем моментный ряд динамики с равными интервалами, поэтому средний уровень ряда будет исчислен по формуле средней хронологической:
(тыс. руб.).
№ 5. Имеются следующие данные о товарных запасах розничного торгового предприятия (тыс. руб.):
На 1/I-1988г. На 1/V-1988 г. На 1/VIII-1988 г. На 1/I-1989 г. 61,1 57,5 51,3 74,7
Требуется исчислить среднегодовой товарный запас розничного торгового предприятия за 1988г.
Решение. Имеем моментный ряд динамики с неравными интервалами. Средний уровень товарных запасов за год исчислим по формуле:
,
где - средние уровни а интервале между датами; t – величина интервала времени (число месяцев между моментами времени).
Так, средний уровень товарных запасов равен:
с 1/I по 1/V = 59,3;
с 1/V по 1/VII = 54,4 и т.д.
Число месяцев (t) между моментами времени равно 4, 3, 5. Следовательно, средний уровень товарных запасов за год составит:
(тыс. руб.).
№ 6. Автотранспортное предприятие по состоянию на 1 января 1989 г. имело 200 автомашин, 1 марта выбыло 5 автомашин, 1 сентября в распоряжение автотранспортного предприятия поступило 15 автомашин.
Требуется вычислить среднегодовую численность автомашин предприятия.
Решение. Представим вышеприведенные данные в виде моментного ряда динамики. Численность автомашин составила (шт.):
На 1/I …………………………………………….209 На 1/III …………………………………………..195 На 1/IХ …………………………………………..210
Представленный моментный ряд динамики имеет неравные интервалы (2, 6, 4 месяца). Для такого типа задач средний уровень будет исчислен по формуле средней арифметической взвешенной:
.
автомашина.
№ 7. Имеются следующие данные о производстве продукции промышленного предприятия за 1985-1990 г.г. (в сопоставимых ценах; млн. руб.): 1985 г. 1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г. 1990 г. 8,0 8,4 8,9 9,5 10,1 10,8
Требуется исчислить аналитические показатели ряда динамики производства продукции предприятия за годы двенадцатой пятилетки: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, абсолютное значение одного процента прироста, а также средние обобщающие показатели ряда динамики. Решение. В зависимости от задачи исследования абсолютные приросты , темпы роста и темпы прироста могут быть исчислены с переменной базой сравнения (цепные) и с постоянной базой сравнения (базисные). 1. Абсолютный прирост - это разность между последующим уровнем ряда и предыдущим (или базисным). Так , в 1986 г. прирост продукции равен: 8,4 - 8,0 = 0,4 млн. руб. Аналогично исчисляются абсолютные приросты за любой год. В общем виде абсолютный прирост равен: цепной
;
базисный
.
Результаты расчета показателей в табл. 2, гр. 2,3. Средний абсолютный прирост исчисляется двумя способами:
а) как средняя арифметическая простая годовых (цепных) приростов
(млн.руб.);
б) как отношение базисного прироста к числу периодов
(млн. руб.).
2. Темп роста (Т) – относительный показатель, характеризующий интенсивность развития явления, Он равен отношению изучаемых уровней и выражается в коэффициентах и процентах. Цепной темп роста исчисляют отношением последующего уровня к предыдущему: , базисный – отношением каждого последующего уровня к одному уровню, принятому за базу сравнения:
Цепные темпы роста составили: В 1986 г. по сравнению с 1985г. Т86/85 = (или 105,0%); в 1987 г. по сравнению с 1986 г. Т87/86 = (или 105,2%) и т.д. Базисные темпы за эти же периоды равны: Т86/85 = (или 105,0%); Т87/85 = (или 111,2%) и т.д. (см.табл.2, гр.4,5). Между цепными и базисными темпами роста имеется взаимосвязь: произведение соответствующих цепных темпов роста равно базисному. Зная базисные темпы, можно исчислить цепные делением каждого последующего базисного темпа роста на каждый предыдущий. 3. Темп прироста определяют двумя способами: а) как отношение абсолютного прироста к предыдущему уровню или базисному уровню : 86/85 = (или 5,0%), 87/86 = (или 5,9%) и т.д. (цепные – см. табл. 2, гр.6); 86/85 = (или 5,0%), 87/85 = (или 11,2%) и т.д. (базисные – см. табл. 2, гр. 7);
б) как разность между темпами роста и единицей, если темпы роста выражены в коэффициентах: Т∆=Т-1; или как разность между темпами роста и 100%, если темпы роста выражены в процентах: Т∆=Т-100%.
Следовательно, темп прироста в 1986 г. по сравнению с 1985 г. равен: 1,050-1=0,050, или 105%-100%=5,0% и т.д. 4. Абсолютное значение одного процента прироста равно отношению абсолютного прироста (цепного) к темпу прироста (цепному) (%): . Тогда в 1986 г. = 0,08 (млн. руб.); в 1987 г. = 0,084 (млн. руб.) и т.д.
Для наглядности единицы измерения удобнее записать в тыс. руб., т.е. 0,08 млн. руб. = 80 тыс. руб. и т.д. Этот показатель может быть исчислен иначе: как одна сотая часть предыдущего уровня. Например, в 1987 г. по сравнению с 1986 г. абсолютное содержание 1 % прироста составило: = 0,084 (млн. руб.) = 84 (тыс. руб.) и т.д. Расчет среднего абсолютного значения одного процента прироста за несколько лет производится по формуле: (тыс. руб.). Исчисленные выше аналитические показатели ряда динамики представим в таблице 2.
Т а б л и ц а 2
Динамика производства продукции промышленного предприятия за 1985-1990 гг.
№ 8. По исходным данным задачи № 7 исчислить среднегодовой темп роста и прироста производства продукции за годы двенадцатой пятилетки. Решение. Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле средней геометрической двумя способами:
или , где Т – цепные коэффициенты роста; n – число коэффициентов; П – знак произведения.
Следовательно,
= (или 106,2%). 2)
где уо – начальный уровень; уп – конечный уровень.
Для нашего примера этот показатель равен:
(или 106,2%).
Среднегодовой темп прироста исчисляется: а)= 106,2-100 = 6,2% (если темп роста выражен в %); б) 106,2-1,00 = 0,062 (если темп роста выражен в коэффициентах). Следовательно, в течение пяти лет, начиная с 1986 г. по 1990 г., производство продукции увеличилось в среднем за год на 6,2%.
№ 9. Имеются данные о продаже молока и молочных продуктов на душу населения по области за 1981-1989 гг. (руб.):
1981 г. 1982 г. 1983 г. 1984 г. 1985 г. 1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г. год год год год год год год год год 10,0 10,7 12,0 10,3 12,9 16,3 15,6 17,8 18,0
Требуется выявить основную тенденцию продажи молока и молочных продуктов на душу населения за 1981-1989 гг.: 1) методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей средней; 2)методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой. Решение. Метод сглаживания ряда динамики скользящей средней. Сгладим ряд динамики по трехлетней скользящей средней, так как период колебаний продажи равен трем годам.
Исчислим: средний уровень за 1981-1983 гг.
= 10,9 (руб.);
средний уровень за 1982-1984 гг.
= 11,0 (руб.);
средний уровень за 1983-1985 гг.
= 11,8 (руб.) и т.д.
Результаты расчета трехлетней скользящей средней представлены в табл.3,гр.3
Т а б л и ц а 3
Динамика продажи молока и молочных продуктов на душу населения по области за 1981-1989 гг. (руб.)
В гр. 1 табл. 3 нет четкой тенденции роста продажи молока и молочных продуктов на душу населения. Наряду с ростом имеется в отдельные годы и снижение продажи молочных продуктов. Выравненные значения (табл.3, гр. 3) показывают, что с 1981 г. по 1989 г. наблюдается рост продажи молока и молочных продуктов на душу населения области.
Метод аналитического выравнивания ряда динамики по прямой
Уравнение прямой линии выражено формулой:
, где - значения выравненного ряда, которые нужно вычислить (теоретические уровни);
и - параметры прямой; - показатель времени (дни, месяцы, годы и т.д.).
Для нахождения параметров и необходимо решить систему нормальных уравнений:
,
где у –фактические уровни ряда динамики; п – число уровней.
Для упрощения расчетов обозначим время так, чтобы начало отсчета времени приходилось на середину рассматриваемого периода:
Следовательно, ∑t = 0. Тогда система нормальных уравнений примет вид: аоn = ∑y
а1∑t2=∑yt
Отсюда ао =; а1 = .
Т а б л и ц а 4
Расчет параметров ао и а1
Следовательно,
ао =(руб.);
а1 =(руб.).
Таким образом, уравнение прямой примет вид:
.
Подставив в это уравнение значение t (табл.4. гр.2), получим выравненные теоретические значения yt (табл. 4, гр. 5).
Параметры ао и а1 можно исчислить иначе с помощью определителей: ао =; а1 =
Приведенные формулы показывают, что для нахождения параметров ао и а1 необходимо получить следующие значения: ; ;. Обозначив годы (t) порядковыми номерами, определим эти величины и представим их значения в табл. 5. Т а б л и ц а 5
Расчет параметров ао и а1 с помощью определителей
Далее определим параметры ао и а1 :
ао = = = = 8,19 руб.;
а1 = = = = 1,11 руб.
Следовательно, y = 8,19 +1,11t. Далее расчет аналогичен приведенному выше. Подставив в это уравнение значения t (табл. 5, гр.2), получим выравненные теоретические значения yt (табл.5, гр. 5).
После решения уравнения наносим на график фактические уровни и исчисленную прямую линию, характеризующую тенденцию динамического ряда. № 10. Реализация картофеля на колхозных рынках города за три года характеризуется следующими данными (т):
Требуется определить индексы сезонности.
Решение. Расчет индексов сезонности в стабильных рядах динамики (к постоянной средней). Для исчисления индексов сезонности применяют различные методы. Выбор метода зависит от характера общей тенденции ряда динамики. Чтобы выявить общую тенденцию ряда динамики, воспользуемся наиболее простым методом: сначала произведем сопоставление месячных уровней одноименных месяцев, затем – укрупнение месячных уровней в годовые и по годовым показателям исчислим темпы роста:
Для анализа рядов внутригодовой динамики, в которых наблюдается стабильность годовых уровней или имеет место незначительная тенденция роста (снижения), изучение сезонности основано на методе постоянной средней. Примером является представленный ряд динамики, в котором цепные и базисные темпы изменяются незначительно, поэтому индекс сезонности будет исчислен по формуле:
, где - средние месячные уровни ряда ( по одноименным месяцам); - общий средний уровень ряда (постоянная средняя). Применяя формулу средней арифметической простой, определим средние месячные уровни за три года: . Тогда январь (т), февраль (т) и т.д. (см. табл. 6, гр. 5). Исчислим общую (постоянную) среднюю: или ,
= = = 261 т или
= 261 т .
и, наконец, исчислим за каждый месяц индексы сезонности: январь (или 26,3%); февраль (или 27,6%) и т.д. (см. табл. 6, гр.6).
Т а б л и ц а 6
Реализация картофеля на колхозных рынках города за три года
По индексам сезонности можно наблюдать рост или снижение продажи картофеля в различное время года. Так, наименьший спрос приходится на январь – февраль, а наибольший – на сентябрь – октябрь. Для наглядности можно построить график сезонной волны реализации картофеля (см. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1984, с. 256).
№ 11. Имеются следующие данные о внутригодовой динамике заготовок сельскохозяйственной продукции области по кварталам за три года:
Для анализа внутригодовой динамики заготовок сельскохозяйственной продукции области требуется исчислить индексы сезонности.
Решение. Вычисление индексов сезонности в рядах динамики с тенденцией развития (к переменной средней). По аналогии с предыдущим примером для каждого года квартальные уровни укрупним до годовых и по ним исчислим темпы роста:
Можно заметить, что ряд динамики имеет четкую тенденцию роста заготовок, это подтверждают довольно высокие цепные и базисные темпы роста. Для анализа рядов внутригодовой динамики, в которых наблюдается тенденция роста, изучение сезонности основано на методе переменной средней.
Для расчета индекса сезонности в таких рядах динамики применяется формула:
где - фактические (эмпирические) уровни ряда; - выравненные (теоретические) уровни ряда; п – число лет.
Определим теоретические значения () по уравнению: . Для расчета параметров ао и а1 составим таблицу 7.
Т а б л и ц а 7
Расчет параметров ао и а1
Исчислим параметры:
ао =; а1 =.
Следовательно, уравнение прямой примет вид:
Подставив в полученное уравнение значения t (квартальные), получим выравненные значения ряда:
для первого года
I квартал ; II квартал ; III квартал и т.д. (см. табл. 7, гр. 5). Далее необходимо найти для каждого квартала процентные отношения эмпирических уровней ряда к теоретическим уровням , т.е. 100%.
Тогда, для первого года
I квартал 100 = 99,6%. II квартал 100 = 103,2% и т.д.
для третьего года
IV квартал 100 = 91,8%.
После этого нужно просуммировать полученные процентные отношения за три года по одноименным кварталам (см. с. 28 табл. 8): I квартал 99,6+92,7+87,4=279,7; II квартал 103,2+111,0+123,0=337,2 и т.д.
Затем следует исчислить индексы сезонности (см. табл. 8, гр.11)
Т а б л и ц а 8
Динамика заготовок сельскохозяйственной продукции области
Индексы сезонности характеризуют размеры заготовок сельскохозяйственной продукции в зависимости от времени года. Наибольший удельный вес заготовок сельскохозяйственной продукции приходится на второй квартал. Чтобы наглядно представить сезонную волну, индексы сезонности наносят на график.
Т е м а 6. ИНДЕКСЫ
ЗАДАЧИ
№ 1. Имеются следующие данные о продаже товаров в магазинах потребительской кооперации:
В ы ч и с л и т ь: 1. Индивидуальные индексы цен и количества проданного товара. 2. Общие индексы: а) товарооборота; б) физического объема товарооборота; в) цен и сумму экономии или перерасхода от изменения цен. П о к а ж и т е взаимосвязь между исчисленными индексами.
№ 2. Имеются следующие данные о количестве произведенной продукции и ее себестоимости по предприятию:
В ы ч и с л и т ь: 1. Индивидуальные индексы себестоимости и количества произведенной продукции; 2. общие индексы: а) затрат на продукцию; б) физического объема продукции; в) себестоимости и экономический эффект от снижения себестоимости продукции. П о к а ж и т е взаимосвязь между исчисленными индексами.
№ 3. Имеются следующие данные о реализации товаров:
В ы ч и с л и т ь: 1) общий индекс товарооборота; 2) общий индекс цен; 3) общий индекс физического объема товарооборота;
№ 4. Имеются следующие данные о продаже товаров в магазинах города:
В ы ч и с л и т ь: 1) общий индекс физического объема товарооборота в 1988 г. по сравнению с 1986 г. ; 2) общий индекс цен, если известно, что товарооборот в фактических ценах за этот период вырос на 12%;
№ 5. Имеются следующие данные о продаже товаров по району:
В ы ч и с л и т ь: 1) общий индекс товарооборота; 2) общий индекс цен; 3) общий индекс физического объема товарооборота; 4) прирост товарооборота за счет изменения количества проданных товаров и изменения цен.
№ 6. Имеются следующие данные о продаже сельскохозяйственных продуктов на колхозном рынке:
В ы ч и с л и т ь: 1. Общие индексы: а) стоимости товаров (товарооборота); б) физического объема товарооборота; в) цен; 2. изменение стоимости товара в 1988 г. по сравнению с 1987 г. за счет изменения количества проданного товара и изменения цен. П о к а ж и т е взаимосвязь исчисленных индексов.
№ 7. Товарооборот республики в 1988 г. по сравнению с 1987 г. вырос на 6%, розничные цены в среднем повысились на 4%. Как изменился физический объем товарооборота?
№ 8. Как в среднем изменились цены, если известно, что товарооборот вырос на 18%, а физический объем товарооборота увеличился на 16%? № 9. В отчетном году по сравнению с базисным цены на сельскохозяйственные товары в среднем снизились на 3%, физический объем продажи товаров вырос в среднем на 15%. Как изменился товарооборот сельскохозяйственных товаров?
№ 10. Имеются следующие данные о количестве произведенной продукции и ее себестоимости за три года:
В ы ч и с л и т ь: цепные и базисные индексы себестоимости и количества произведенной продукции: а) индивидуальные; б) общие.
П о к а ж и т е взаимосвязь исчисленных индексов. № 11. Имеются следующие данные о продаже в городе молока на колхозных рынках и в государственной торговле:
Вычислить: 1) индекс цен переменного состава; 2) индекс цен постоянного состава; 3) индекс структурных сдвигов. Покажите взаимосвязь исчисленных индексов. Поясните полученные результаты индексов.
№ 12. Имеются следующие данные о производстве однородной продукции по двум заводам:
Вычислить: 1) индекс себестоимости переменного состава; 2) индекс себестоимости постоянного состава; 3) индекс структурных сдвигов. Покажите взаимосвязь исчисленных индексов. Поясните полученные результаты.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
№ 1. Имеются данные о продаже товаров на колхозных рынках города в январе месяце:
Вычислить: 1) индивидуальные индексы цен и количества проданного товара: 2) общий индекс товарооборота; 3) общий индекс физического объема товарооборота; 4) общий индекс цен и сумму экономии или перерасхода от изменения цен; 5) прирост товарооборота за счет изменения цен и количества продажи товаров. Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.
Решение. 1. Индивидуальные индексы (однотоварные) равны: а) цен .
б) количества проданных товаров . Так, для моркови = 0,7:0,8 = 0,875 (87,5%). Следовательно, цена на морковь снизилась на 12,5%. = 1,08, т.е. количество проданной моркови выросло на 8%. Соответствующие индексы для яблок будут равны = 1,4 и =1,02. 2. Общий индекс товарооборота исчисляется по формуле:
(138,6%).
Товарооборот в январе 1988 г. вырос на 38,6% по сравнению с январем 1986 г.
3. Общий индекс физического объема товарооборота (количества проданных товаров) исчисляется по следующей агрегатной форме индекса:
, или 102,5%.
Это значит, что количество проданного товара в отчетном периоде было на 2,5% больше, чем в базисном периоде.
4. Общий индекс цен равен:
, (135,2%), т.е. цены на оба товара в среднем выросли на 35,2 %.
Экономический эффект или иначе сумма сэкономленных или перерасходованных денег за счет изменения цен исчисляется по данным общего индекса цен и равна разности числителя и знаменателя индекса: тыс. руб. следовательно, в связи с ростом цен на 35,2% население в отчетном периоде дополнительно израсходовало 49,38 тыс. руб. на покупку данного товара.
5. Прирост товарооборота исчисляется как разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота: тыс. руб. Этот прирост обусловлен изменением цен на товары и изменением количества проданных товаров. Прирост за счет изменения цен составил: 189,84-140,46=49,38 тыс. руб. и за счет изменения количества проданных товаров: 140,46-137,0=3,46 тыс. руб. Следовательно, увеличение товарооборота на 52,84 тыс. произошло за счет роста цен на 49,38 тыс. руб. и роста количества проданного товара на 3,46 тыс. руб. (49,38+3,46=52,84 тыс. руб.).
Между исчисленными индексами существует взаимосвязь:
.
№ 2. Имеются данные о продаже товаров в универсаме города:
(103,4%).
№ 3. Имеются следующие данные о продаже товаров магазина потребительской кооперации за два квартала 1988 г.:
Вычислить: 1) общий индекс товарооборота; 2) общий индекс цен; 3) сумму экономии (или перерасхода), полученную населением от изменения цен; 4) общий индекс физического объема товарооборота.
Решение. Общий индекс товарооборота равен:
(106,6%). Товарооборот во II квартале вырос по сравнению с первым кварталом на 6,6%. Общий индекс цен исчислим по формуле среднегармонического индекса, который тождествен агрегатной форме индекса:
.
Для вычисления этого индекса определим предварительно индивидуальные индексы цен: для овощей 100-20=80%, или 0,80 в коэффициентах; мяса и мясопродуктов 100+10=110%, или 1,10 в коэффициентах; зерна 100%, или 1.
Следовательно, , или 92,4%, т.е. цены в среднем снизились на 7,6%.
Сумма экономии, полученная населением от снижения цен, составила: 146-158=-12 тыс. руб. Общий индекс физического объема товарооборота (количества проданного товара) может быть исчислен с помощью взаимосвязи индексов:
Следовательно, :0,924 = 1,153 (115,3%).
№ 4. Имеются данные о продаже товаров на колхозных рынках города в I квартале 1988 г.:
Вычислить : 1) индивидуальные цепные и базисные индексы цен на яблоки; 2) общие цепные и базисные индексы цен и физического объема товарооборота.
Решение. Цепные и базисные индексы цен:
а) цепные ; ;
б) базисные ; .
Между цепными и базисными индивидуальными индексами существует связь – произведение цепных индексов равно базисному:
Зная базисные индексы, можно вычислить цепные, разделив последующий базисный индекс на предыдущий. Например,
Аналогично исчисляются индивидуальные индексы количества проданных товаров. 2. Исчислим общие индексы цен: а) цепные 1,162, или 116,2%.
1,057, или 105,7%.
б) базисные 1,162, или 116,2%.
1,194, или 119,4%.
Как видно из вычислений, цепные общие индексы цен имеют переменные веса на уровне отчетного периода. Для таких индексов нет взаимосвязи между цепными и базисными индексами, что характерно для всех качественных индексов.
Исчислим общие индексы физического объема товарооборота: а) цепные 1,104, или 110,4%, 0,795, или 79,5%. б) базисные 0,877, или 87,7%. 1,104, или 110,4%. Данные примера показывают, что цепные и базисные индексы количественных показателей взвешиваются по постоянным весам, следовательно, между ними имеется связь: произведение цепных индексов равно базисному:
или 1,104 × 0,795 = 0,877. От базисных индексов можно перейти к цепным, как это показано выше.
№ 5. Имеются данные о выпуске продукции «А» по двум заводам:
Вычислить: 1) индекс себестоимости переменного состава; 2) индекс себестоимости постоянного состава; 3) индекс структурных сдвигов. Решение. 1. Вычислим индекс себестоимости переменного состава, который равен соотношению средней себестоимости продукции по двум заводам:
Средняя себестоимость продукции по двум заводам в отчетном и базисном периодах равна:
18,8 руб. 22 руб. Следовательно, индекс себестоимости переменного состава равен:
или 85,5%.
Индекс показывает, что средняя себестоимость изделия по двум заводам снизилась на 14,5%. Это снижение обусловлено изменением себестоимости продукции по каждому заводу и изменением структуры продукции (удельного веса продукции заводов). Выявим влияние каждого из этих факторов на динамику средней себестоимости, исчислив индексы себестоимости постоянного состава и структурных сдвигов.
2. Индекс себестоимости постоянного состава (индекс в постоянной структуре): 0,870. Себестоимость продукции по двум заводам в среднем снизилась на 13%. 3. Индекс структурных сдвигов равен: . = = 21,6 : 22,0 = 0,982, или 98,2%.
Средняя себестоимость изделия в отчетном периоде снизилась дополнительно на 1,8% за счет изменения структуры, т.е. за счет увеличения доли продукции 2-го завода с 50 до 60%, на котором уровень себестоимости продукции был ниже по сравнению с первым заводом. Исчисленные выше индексы можно вычислять по удельным весам продукции заводов, выраженных в коэффициентах: а) индекс себестоимости переменного состава – 0,855; б) индекс себестоимости постоянного состава- 0,870; в) индекс структурных сдвигов – 0,982 Индекс структурных сдвигов может быть вычислен так же с помощью взаимосвязи индексов. Известно, что индекс переменного состава равен произведению индексов постоянного состава и структурных сдвигов:
Следовательно, 0,982.
Тема 7. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
ЗАДАЧИ
№ 1. Для определения срока службы металлорежущих станков было проведено 10%-ное выборочное обследование по методу случайного бесповоротного отбора, в результате которого получены следующие данные:
Определите для каждого варианта: 1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых ожидается средний срок службы металлорежущих станков; 2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку репрезентативности для доли и пределы удельного веса станков со сроком службы свыше 8 лет. Ответ: для варианта 1: 1) ∆х = 0,6 лет; 2) ∆ω = 9,0%.
№ 2. С целью изучения выполнения норм выработки 5000 рабочими машиностроительного завода было отобрано в случайном порядке 1000 рабочих. Из числа обследованных 80% рабочих выполняют норму выработки на 100 % и выше. Определите с вероятностью 0,997 ошибку выборки и возможные пределы доли рабочих завода, выполняющих и перевыполняющих норму выработки. Ответ: ∆ω = 3,4%.
№ 3. По данным 2%-ного выборочного обследования (n=100) средняя урожайность зерновых культур равна 32 ц/га при дисперсии, равной 6,15. определите ошибку выборки и возможные пределы средней урожайности зерновых культур со всей посевной площади с вероятностью: а) 0,954; б) 0,997.
Ответ: а) ∆х = 0,5ц/га.
№ 4. Принимая распределение металлорежущих станков по сроку службы, приведенное в задаче № 1, за результаты ранее проведенного выборочного наблюдения, рассчитайте для каждого варианта, какое число станков следует подвергнуть наблюдению при условии, что: а) предельная ошибка выборки при определении среднего срока службы была бы не более одного года при вероятности 0,997; б) то же при вероятности 0,954; в) предельная ошибка доли станков со сроком службы свыше 8 лет была бы не более 5% с вероятностью 0,954; в) предельная ошибка доли станков со сроком службы свыше 8 лет была бы не более 5% с вероятностью 0,954; г) с той же вероятностью (0,954) предельная ошибка доли не должна превышать 3%. Ответ: а) n = 39 станков.
№ 5. С целью определения среднего стажа работы рабочих завода произведена 20%-ная типическая пропорциональная выборка ( внутри групп применялся метод случайного бесповторного отбора). Результаты обследования характеризуются следующими данными:
Определите с вероятностью 0,954 ошибку выборки и пределы, в которых будет находиться: а) средний стаж работы всех рабочих; б) удельный вес рабочих со стажем до 5 лет.
Ответ: а) ∆х = 0,7года: б) ∆ω = 4,1%.
№ 6. Для оценки средней урожайности пшеницы посевную площадь совхоза в 5000 га разделили на 50 равных участков. Из них по методу случайной бесповторной выборки отобрали пять участков, где произвели сплошной учет фактического урожая. В результате получены следующие данные:
Определите: 1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться средняя урожайность пшеницы. Ответ: 1) ∆х = 0,8ц/га; 2) ∆n = 0,6%.
№ 7. Партия готовых деталей упакована в 500 ящиков по пять штук в каждом. Для определения средней массы деталей обследовано пять ящиков. Результаты проверки показали, что средняя масса обследуемых деталей составляет 2 кг, межсерийная дисперсия равна 0,025. определите с вероятностью 0,954 ошибку выборки и пределы, в которых будет находиться средняя масса деталей, поступивших на склад. Ответ: ∆х = 0,14 кг.
№ 8. Из партия готовых продукции в 1000 шт. в случайном бесповторном порядке обследовано 100 шт., из которых продукция со Знаком качества составила 85%. Определите вероятность того, что допущенная при выборочном обследовании погрешность в оценке среднего процента продукции со Знаком качества не превысит: а) 5%; б) 10%. Ответ: а) t = 1,47; б) t = 2,94.
№ 9. В результате исследования 20 проб молока, поступившего из колхоза на молокозавод, определили, что средняя жирность молока 3,6% при среднеквадратическом отклонении 0,5%. Какова вероятность того, что возможная ошибка средней жирности поступившего молока не более 0,3%? Ответ: t = 2,68.
№ 10. В порядке 5%-ной серийно-гнездовой выборки обследовано пять сберегательных касс одного из городов. Результаты обследования показали, что средний размер вклада составляет 2000 руб., доля рабочих в общей численности вкладчиков обследованных сберегательных касс равна 60%, межсерийные дисперсии: а) для средней – 13155; б) для доли – 0,0025.
Определите, с какой вероятностью можно гарантировать: а) предельную ошибку среднего вклада во всех сберкассах города, не превышающую 100 руб.; б) предельную ошибку доли рабочих в общей численности вкладчиков, равную 6%.
Ответ: а) t = 2,0; б) t = 3,08. .
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
№ 1. Для изучения оснащения заводов основными производственными фондами было проведено 10%-ное выборочное обследование, в результате которого получены следующие данные о распределении заводов по стоимости основных производственных фондов:
Требуется определить: 1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных производственных фондов всех заводов, генеральной совокупности; 2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находиться удельный вес заводов со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. Решение. Предельная ошибка выборки (ошибка репрезентативности) исчисляется по формуле:, где μ - средняя ошибка репрезентативности; t – коэффициент кратности ошибки, показывающий, сколько средних ошибок содержится в предельной ошибке.
Пределы возможной ошибки (∆) определяются с вероятностью. Значение t найдем по таблице интеграла вероятностей.
Для Соответствует вероятность
t = 1……………………………………………. Р = 0,683; t = 2……………………………………………. Р = 0,954; t = 3……………………………………………..Р = 0,997 и т.д.
Конкретное количественное выражение предельная ошибка принимает после определения средней ошибки выборки. Для нахождения ошибки репрезентативности собственно случайной и механической выборок имеются нижеследующие формулы.
Повторная выборка при определении: среднего размера ошибки признака ; (1)
средней ошибки доли признака (2)
Бесповторная выборка при определении:
среднего размера ошибки признака (3)
средней ошибки доли признака (4)
N - численность генеральной совокупности;
n - численность выборочной совокупности;
-дисперсия варьирующего (осредняемого) признака в выборочной совокупности;
- доля данного признака в выборке;
- доля противоположного признака в выборке.
1. Для определения границ генеральной средней необходимо исчислить среднюю выборочную и дисперсию , техника расчета которых приведена в таблице:
Тогда млн. руб.;
== 3,13.
Для упрощения расчетов средней и дисперсии можно использовать способ моментов. Техника расчетов и по способу моментов изложена в первой части брошюры «Практикум по общей теории статистики» (М.6 изд. ВЗФЭИ, 1989). Итак, имеются данные: N = 500, N = 50 заводов; = 3,13. Средняя ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных фондов составит:
а) при повторном отборе (по формуле 1) – млн. руб.;
б) при бесповторном отборе (по формуле 3) –
млн.руб.
Следовательно, при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем мы могли допустить среднюю ошибку репрезентативности в 0,25 млн. руб. при повторном и 0,24 млн. руб. при бесповторном отборе в ту или иную сторону от среднегодовой стоимости основных производственных фондов приходящейся на один завод в выборочной совокупности. Исчисленные данные показывают, что при бесповторной выборке средняя ошибка репрезентативности (0,24) меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе (0,25). В нашем примере Р = 0,997, следовательно, t = 3. Исчислим предельную ошибку выборочной средней (∆х): ∆х = ± 3μ ; т.е. ∆х = ± 3 · 0,25 = ±0,75 млн. руб.(при повторном отборе); ∆х = ± 3 · 0,24 = ±0,72 млн. руб.(при бесповторном отборе). Порядок установления пределов, в которых находится средняя величина изучаемого показателя в генеральной совокупности в общем виде, может быть представлен следующим образом:
;
Для нашего примера среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на один завод генеральной совокупности будет находиться в следующих пределах: а) при повторном отборе - или 4,27 млн.руб. ≤ ≤ 4,77 млн. руб.; б) при бесповторном отборе - или 4,28 млн.руб. ≤ ≤ 4,76 млн. руб.;
Эти границы можно гарантировать с вероятностью 0,997. 2. Вычисление пределов при установлении доли осуществляется аналогично нахождению пределов для средней величины. В общем виде расчет можно представить следующим образом : ; где р – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности. Доля заводов в выборочной совокупности со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. составляет: , или 66%. Определяем предельную ошибку для доли. По условию задачи известно, что N = 500; n = 50; ω = 0,66; P = 0,95; t = 2. Исчислим предельную ошибку доли: при повторном отборе (по формуле 2) – , или 13,4%; при бесповторном отборе (по формуле 4) - , или 12,7%. Следовательно, с вероятностью 0,954 доля заводов со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. в генеральной совокупности будет находиться в пределах:
или 52,6% ≤ р ≤ 79,4% при повторном отборе; или 53,3% ≤ р ≤ 78,7% при бесповторном отборе.
Расчеты убеждают в том, что при бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при повторной выборке.
№ 2. Используя данные предыдущей задачи, требуется ответить, каким должен быть объем выборочной совокупности при условии, что: 1) предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов (с вероятностью 0,997) была бы не более 0,5 млн. руб.; 2) то же при вероятности 0,954; 3) предельная ошибка доли (с вероятностью 0,954) была бы не более 15%. Решение. Для нахождения численности случайной и механической выборок имеются следующие четыре формулы:
Повторный отбор Бесповторный отбор
при определении среднего размера ; (5) (6) ошибки признака
при определении ошибки доли признака ; (7) (8)
1) Известно, что N = 500; млн. руб.; ; Р = 0,997; t = 3. Найдем объем выборки для расчета ошибки средней: при повторном отборе (по формуле 5) – заводов; при бесповторном отборе (по формуле 6) – завода; 2) Известно, что N = 500; млн. руб.; ; Р = 0,954; t = 2. Определим объем выборки при бесповторном отборе (по формуле 6): заводов.
3) известно, что N = 500; млн. руб.; ; Р = 0,954; t = 2.
Объем выборки для расчета ошибки доли будет: при повторном отборе (по формуле 7) –
заводов;
при бесповторном отборе (по формуле 8) -
заводов;
В ы в о д ы: 1) численность выборки увеличится, если при прочих равных условиях уменьшить предельную ошибку; 2) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования; 3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования; 3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях увеличить предельную ошибку.
№ 3. На заводе 1000 рабочих вырабатывают одноименную продукцию. Из них со стажем работы до пяти лет трудятся 400 чел., а более пяти лет – 600 чел. Для изучения среднегодовой выработки и установления доли квалифицированных рабочих проведена 10%-ная типическая выработка с отбором единиц пропорционально численности рабочих по указанным группам (внутри групп применялся случайный метод отбора).
На основе обследования получены следующие данные:
Определим: 1) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки и границы в которых будут находиться среднедневная выработка всех рабочих завода; 2) с той же вероятностью пределы удельного веса квалифицированных рабочих в общей численности рабочих завода.
Решение. 1) Средняя ошибка типической выборки определяется по формуле: ; (9)
где - средняя из внутригрупповых дисперсий.
Она исчисляется по формуле: ; Тогда = .
Определим среднюю ошибку выборки при бесповторном отборе (по формуле 9): шт.
Технику расчета предельной ошибки при типической выборке аналогична вышеизложенному расчету предельной ошибки при случайном отборе:
или ;
Подставив данные, получим: шт. Для определения возможных пределов среднедневной выработки всех рабочих завода первоначально нужно исчислить среднедневную выработку в выборочной совокупности по средней арифметической взвешенной:
шт.
пределы среднедневной выработки всех рабочих завода: шт. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднедневная выработка всех рабочих завода находится в пределах 26,4 шт.шт. 2) Средняя ошибка репрезентативности для доли исчисляется по формуле:
(10)
где - дисперсия доли является средней из внутригрупповых дисперсий. Эта величина исчисляется по формуле:
=
Технику расчета покажем в таблице:
Тогда =.
Определим среднюю ошибку репрезентативности для доли ( по формуле 10):
или .
Исчислим предельную ошибку выборочной доли с вероятностью 0,954: или 6,4%.
Расчет предела при установлении доли в общем виде представляется следующим образом: .
Определим среднюю долю для выборочной совокупности:
, или 86%.
Отсюда: .
Вывод: с вероятностью 0б954 можно утверждать, что доля квалифицированных рабочих на заводе будет находиться в пределах 79,6% .
№ 4. С целью определения среднего эксплуатационного пробега 10000 шин легковых автомобилей, распределенных на партии по 100 шт., проводится серийная 4%-ная бесповторная выборка. Результаты испытания отобранных шин характеризуются следующими данными:
О п р е д е л и т е: 1) средние ошибки репрезентативности: а) эксплуатационного пробега шин; б) удельного веса шин с пробегом не менее 42 тыс. км; 2) с вероятностью 0,954 пределы, в которых будет находиться: а) средний эксплуатационный пробег всех обследуемых шин; б) доля шин, пробег которых не менее 42 тыс. км в генеральной совокупности.
Решение. 1) При бесповторном отборе серий средняя ошибка репрезентативности определяется по формулам:
для средней – ; (11)
для доли – , (12)
где R - число серий в генеральной совокупности; r - число отобранных серий; - межсерийная дисперсия средних; - межсерийная дисперсия доли.
Сначала исчислим обобщающие показатели. Средний эксплуатационный пробег шин:
тыс. км.
Средний удельный вес шин с пробегом не менее 42 тыс.км равен:
(или 87,5%)
для средней – ;
для доли –
Для ее расчета построим вспомогательную расчетную таблицу:
Тогда
; .
Определим средние ошибки репрезентативности: для средней (по формуле 11) –
тыс. км;
для доли (по формуле 12) –
, или .
2) определим с вероятностью 0,954 предельные ошибки репрезентативности для средней и для доли:
тыс. км; %
Отсюда средний эксплуатационный пробег всех обследуемых шин будет находиться в пределах: , или 40,75 тыс. км 46,75 тыс. км. Средний удельный вес шин с пробегом не менее 42 тыс. км в генеральной совокупности будет находиться в пределах:
, или 82,0% 93,0 %.
№ 5. Используя условие и решение предыдущей задачи, определите вероятность того, что: а) предельная ошибка выборки при установлении среднего эксплуатационного пробега шин не превышает 4,0 тыс. км; б) доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км будет находиться в пределах от 83% до 92%. Решение. При определении вероятности используется формула предельной ошибки: . В нашем примере следует использовать формулу предельной ошибки серийного отбора. а) Дано: ; ; тыс. км; =9,185; тыс. км. Требуется определить вероятность того, что разница средних величин эксплуатационного пробега шин в выборочной генеральной совокупности не превысит тыс. км, т.е.
тыс.км.
Подставляем данные в формулу:
;
По таблице значений вероятностей находим, что при t = 2,67 вероятность будет 0,992. Следовательно, с вероятностью 0,992 можно гарантировать, что средний эксплуатационный пробег шин легковых автомобилей в генеральной совокупности будет находиться в пределах 39,75 тыс. км тыс. км; б) Дано: ; ; ; = 0,003125; %.
Требуется определить:, т.е. вероятность того, что доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км в выборочной совокупности не будет отклоняться от доли генеральной совокупности более чем на 4,5%.
Подставив данные в формулу
(см. решение на с.54 ), получим 4,5% =;
тогда Р = 0,899.
Следовательно, вероятность того, что удельный вес шин с пробегом не менее 42 тыс. км будет находиться в пределах от 83% до 92%, равна 0,899.
КомментарииКомментариев пока нет Пожалуйста, авторизуйтесь, чтобы оставить комментарий. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||