Написание контрольных, курсовых, дипломных работ, выполнение задач, тестов, бизнес-планов

Не нашли подходящий заказ?

Заказать в 1 клик: /contactus

Главная \ Методичні вказівки \ Теорія ймовірності і математична статистика

Теорія ймовірності і математична статистика

« Назад

Теорія ймовірності і математична статистика 16.07.2014 09:46

Контактне заняття № 1

Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей.

Тема 2. Основні теореми теорії ймовірностей.

Мета заняття - набути знання основні поняття теорії ймовірностей: експеримент, результат, подія, набути навичок обчислення ймовірностей за класичними та геометричними формулами, навчитися виконувати операції над подіями із застосування теорем теорії ймовірностей.

Заняття спрямоване на здобування компетентностей: критично мислити і генерувати креативні ідеї та вирішувати важливі проблеми на інноваційній основі; вміння переходити від розрізнених теорій до узагальненої теорії.

Використання інноваційних технологій: інформаційна лекція, семінар – розвязхування практичних задач.

Питання

1. Емпіричні поняття. Простір елементарних подій. Класифікація подій.

2. Класичне означення ймовірностей. основні властивості ймовірності.

3. Елементи комбінаторики. Види сполук. Властивості комбінацій.

4. Геометричне означення ймовірності.

5. Частота. Статистичне означення ймовірності.

6. Множинно-аксіоматичний підхід до побудови теорії ймовірності: універсальна множина (простір елементарних подій), алгебра (сігма-алгебра) подій, її підмножини (події) та адитивна функція на них (ймовірність). Її визначальні властивості (аксіоми ймовірності). Ймовірнісний простір.

7. Умовні ймовірності. Залежність та незалежність подій.

8. Теореми множення ймовірностей.

9. Форпмула Байєса.

[1; 2; 3]

Вправи.

1. На складі взяли 4 мішки борошна 1 ґатунку і 8 мішків борошна 2 ґатунку. Довільні 6 мішків витратили на приготування одного з видів паляниць. Знайти ймовірність того, що половина з цих мішків виявилася борошном 1 ґатунку.
2. Ймовірність того, що один з трьох ліфтів в даний момент на першому поверсі, дорівнює 0,1. Яка ймовірність того, що хоча б один ліфт виявиться на першому поверсі?
3. 30% приладів складає спеціаліст вищої кваліфікації і 70% - середньої. Надійність приладу, складеного спеціалістом вищої кваліфікації, дорівнює 0,9, приладу, складеного спеціалістом середньої кваліфікації, - 0,8. Визначити ймовірність. що випадково взятий прилад працює безвідмовно. Якщо взятий прилад працює безвідмовно, яка ймовірність, що його склав спеціаліст високої кваліфікації?
4. Виготовлено 6 замків, ключі до яких змішані. Випадково беруть два ключа та два замки. Яка ймовірність того, що навмання взяті ключі підійдуть до взятих замків.
5. Яка ймовірність того, що довільно взяті 3 людини народилися в один і той же самий день тижня?
6. У ящику 12 сталевих та 8 мідних деталей. Ймовірність того, що сталева деталь буде придатною при складанні, дорівнює 0,95, мідна - 0,97. Знайти ймовірність того, що випадково взята деталь виявиться стандартною. Якщо випадково взята деталь виявилася стандартною, то яка ймовірність, що ця деталь мідна?

Четверо робітників прийшли на роботу до цеху, в якому працюють 12 робітників. З усіх робітників сформували випадковим чином 2 групи по 8 осіб в кожній. Знайти ймовірність того, що робітники, які щойно прийшли будуть в одній групі.

7. Знайти ймовірність того, що виріб, який складається з трьох деталей, вийшов з ладу через несправність не менш ніж двох деталей, якщо ймовірність виходу з ладу деталей дорівнює 0,2; 0, 3; 0,1.
8. З першого автомату на складання надходить 40%, з другого – 30%, з третього – 20%, решта – з четвертого. Серед деталей першого автомату 0,1% бракованих, другого – 0,2%, третього – 0,5%, четвертого – 0,5%. Знайдіть ймовірність того, що на складання надійшла бракована деталь. Якщо на складання надійшла бракована деталь, яка ймовірність того, що вона з третього автомату?

У ліфт на першому поверсі ввійшли три чоловіки та три жінки. Кожна з шести осіб з однаковою ймовірністю виходить на одному з трьох поверхів. Яка ймовірність того, що на кожному з цих поверхів вийде один чоловік та одна жінка?

9. На підприємстві 96% виробів виготовляють придатними. У кожній сотні придатних деталей виявляється 75 виробів 1 ґатунку, решта – другого ґатунку. Знайти ймовірність того, що випадково взятий вибір підприємства буде другого ґатунку.
10. Кінескоп телевізора може належати до однієї з трьох партій з ймовірностями 0,25; 0,5; 0,25. Імовірність того, що кінескоп працюватиме задану кількість годин для цих партій відповідно дорівнюють 0,2; 0,4 і 0,1. Яка ймовірність того, що навмання взятий кінескоп не пропрацює задану кількість годин. Якщо навмання обраний телевізор не пропрацював задану кількість годин, яка ймовірність того, що його було взято не з другої партії?

Контактне заняття № 2

Тема 3.Схема незалежних випробувань.

Мета заняття – засвоїти основні методи обчислення ймовірностей в схемі незалежних випробувань із застосуванням формул Бернуллі, Пуассона та Лапласа..

Заняття спрямоване на здобування компетентностей: критично мислити і генерувати креативні ідеї та вирішувати важливі проблеми на інноваційній основі; розв’язання задач.

Використання інноваційних технологій: міні-лекція; семінар розв’язування вправ.

Питання

1. Незалежні випробування.

2. Формула Бернуллі.

3. Найімовірніша кількість настання подій.

4. Асимптотичні формули для схеми Бернулі: формула Пуассона.

5.Локальна та інтегральна теореми Лапласа.

[1; 2; 3; 4]

Вправи.

Задача 1. 13 пасажирів навмання сідають у чотири пронумеровані підряд вагони. Яка ймовірність того, що у перший вагон сядуть не більше 4 пасажирів?

Задача 2. На факультеті навчається 1825 студентів. Яка ймовірність того, що 1 вересня є днем народження одночасно хоча б у 4 студентів факультету?

Задача 3. Радіостанція аеропорту посилає 10 повідомлень екіпажу літака.

Знайдіть ймовірність того, що екіпаж прийме принаймні 5 повідомлень.

Задача 4. Завод відправив на базу 10000 стандартних виробів. Середнє число виробів, що пошкоджуються при транспортуванні , складає 0,02 %. Знайти ймовірність того, що буде пошкоджено хоча б 3 вироби.

Задача 5. Посіяли 16 зерен соняшника з проростанням 80%. Яка ймовірність того, що проростуть більше 10 зерен?

Задача 6. В банк відправлено 4000 пакетів грошових знаків. Ймовірність того, що пакет містить не достатню або надлишкову кількість грошових знаків, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що при перевірці буде виявлено не більше 3 помилково укомплектованих пакетів.

Задача 7. Досліджується 500 проб руди. Ймовірність промислового вмісту заліза у кожній пробі дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що кількість проб з промисловим вмістом заліза буде 420.

Задача 8. Ймовірність присутності студента на лекції 0,8. Знайти ймовірність того, що серед 100 студентів не буде жодного відсутнього.

Контактне заняття № 3

Тема 4. Випадкові величини.

Мета заняття - ознайомитися з поняттям випадкова величина, дискретна ВВ та непевна ВВ, вміти визначати їх якісні (функція розподілу, закон розподілу, щільнітсь розподілу) та числові характеристики.

Заняття спрямоване на здобування компетентностей: критично мислити і генерувати креативні ідеї та вирішувати важливі проблеми на інноваційній основі; розв’язання практичних задач.

Використання інноваційних технологій: міні-лекція, семінар – розвязувааня вправ та проблемних задач.

Питання

1. Випадкова величина: дискретна та неперервна.
2. Закон розподілу, ряд та многокутник розподілу ДВВ.
3. Функція розподілу ДВВ та НВВ, її властивості.
4. Щільнітсь розподілу НВВ, її властивості.
5. Числові характеристики: мода, медіана, математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення., асиметрія та ексцес.

[1; 2; 4]

Вправи

Завдання 1. Випадкова величина Х – кількість підприємців, із кожних 10, які декларують не весь товар при перетині кордону, розподілена за таким законом:

х	0	1	2	4
р	0,2	0,3	…	0,1

Знайти: МХ, DX, , асиметрі., ексцес, моду та медіану. Побудувати функцію та многокутник розподілу.

Завдання 2. Знайти значення параметра , для якого задана функція є щільністю розподілу випадкової величини X, знайдіть функцію розподілу, математичне сподівання, дисперсію, мрду, медіану, асиметрію та ексцес X:

Завдання 3. Закон неперервної випадкової величини Х заданий функцією розподілу

Побудувати графіки функцій і . Знайти та .

Завдання 4. Оцінити можливі значення ймовірностей, які відповідають значенням, якщо ,

Контактне заняття № 4.

Тема 5. Основні закони розподілу.

Мета заняття – ознайомитися з основними законами розподілу ДВВ: біноміальний, геометричний, гіпергеометричний, пуассонівський, та НВВ: рівномірний, показників, нормальний..

Використання інноваційних технологій: міні-лекція, семінар – розв’язування вправ

Питання

1. Твірна функція (z- перетворення), її властивості та використання.

2. Біноміальний, пуссонівський, геометричний закони розподілу. Їх твірні функції та числові характеристики.

3. Гіпергеометричний закон.

4. Характеристична функція, її властивості та використання.

5. Розподіли неперервних випадкових величин: рівномірний, показників (експоненціальний). Їх характеристичні функції та числові характеристики.

6. Нормальний закон розподілу. Правило „трьох сігм”.

7. Розподіл Стьюдента.

8. Розподіл ᵡ².

9. Розподіл Фішера.

[1; 3; 4]

Вправи.

1. Згідно багаторічним статистичним даним відомо, що ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,515. Скласти закон розподілу ВВ Х – числа хлопчиків в родині з 4 дітьми. Знайти математичне сподівання та дисперсію цієї ВВ.

2. Серед 10 виготовлених приладів 3 неточні. Скласти закон розподілу числа неточних приладів серед взятих навмання 4 приладів. Знайти математичне сподівання та дисперсію.

3. Гральний кубік підкидають до першої появи цифри 5. Визначити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини Х – числа здійснюваних підкидань.

4. У деякому населеному пункті маємо 0,1% дальтоніків. Навмання обирають 5000 мешканців цього пункту. Визначити математичне сподівання та дисперсію ВВ Х – числа дальтоніків, які будуть виявлені з серед 5000 мешканців населеного пункту.

5. 1. Випадкова величина Х розподілена за рівномірним законом розподілу на інтервалі від 5до 7. Записати та побудувати графіки щільності та функції розподілу. Знайти математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення.

5.2. Поїзди метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хв. Пасажир виходить на платформу у випадковий момент часу. Яка ймовірність того, що пасажиру прийдеться чекати не більше 0,5 хв?

6. Встановлено, що час ремонту телевізора є випадкова величина Х, розподілена за показниковим законом. Визначити ймовірність того, що на ремонт телевізора буде потрібно не менше 20 днів, якщо середній час ремонту телевізора складає 15 днів. Знайти щільність та функцію розподілу та середнє квадратичне відхилення.

7. Вважаючи, що зріст чоловіків певної вікової групи є нормально розподілена ВВ з математичним сподіванням 1,73 та знайти, функцію щільності розподілення випадкової величини, частку костюмів 4 зросту (176-182) та 3 зросту (170-176) які потрібно передбачити в загальному об’ємі виробництва для даної конкретної групи, сформулювати правило трьох сігм,.

Контактне заняття 5.

Тема 6. Багатовимірні випадкові величини.

Мета заняття - навчитися визначати якісні та числові характеристики багатовимірних випадкових величин

Використання інноваційних технологій: міні-лекція, семінар – розв’язування вправ.

Питання

1. Багатовимірна випадкова величина та закони її розподілу.

2. Система двох випадкових величин. Таблиця розподілу.

3. Багатовимірні функція та щільність розподілу ймовірностей, їх властивості.

4. Числові характеристики системи випадкових величин: математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, кореляційний момент, коефіцієнт кореляції та їх властивості.

5. Числові характеристики системи двох випадкових величин.

6. Умовні закони розподілу та умовні числові характеристики.

7. Система n випадкових величин. Характеристика системи.

8. Кореляція, кореляційна матриця, нормована кореляційна матриця.

9. Нормальний закон розподілу на площині. [1; 2; 4]

Вправи

Завдання 1. ДВВ задано законом розподілу:

y_j / x_i	1	3	4
-1	0,04	0,3	0,1
0	0,05	0,2	0,1
1	0,15	0,05	0,01

Знайти: 1) закони розподілу випадкових величин Х та Y,

2) Функцію розподілу , 3) функції розподілу та ;

4) З(1,3 < x <5; -0,1 < y < 1); 5) М(Х), М(Y), 6) D(X), D(Y); 7) коефіцієнт кореляції; 8) М(х/y=0)

Завдання 2. Знайти щільність розподілу , якщо система випадкових величин рівномірно розподілена в області з вершинами

Завдання 3. Задана щільність розподілу ймовірностей неперервної двовимірної випадкової величини

Побудувати функцію розподілу. Знайти .

Завдання 4. Задана щільність розподілу ймовірностей неперервної двовимірної випадкової величини

Знайти параметр а.

Контактне заняття 6.

Тема 7. Функції випадкових аргументів.

Тема 8. Граничні теореми теорії ймовірностей.

Мета заняття – ознайомитися з правилами знаходження якісних та числових характеристик функції дискретного та неперервного випадкового аргументу; вивчити основні граничні тереми теорії ймовірностей.

Використання інноваційних технологій: міні-лекція, семінар – розв’язування практичних задач.

Питання

1. Означення функції випадкового аргументу.

2. Закони розподілу функцій дискретного та неперервного випадкових аргументів.

3. Числові характеристики функцій випадкових аргументів.

4. Функції двох випадкових аргументів, визначення їх законів розподілу.

5. Види збіжності послідовностей випадкових величин.

6. Граничні теореми. Закон великих чисел.

5. Нерівність Чебишова та наслідки з неї.

6. Закон великих чисел для послідовності незалежних випадкових величин.

7. Теорема Чебишова.

8. Центральна гранична теорема (теорема Ляпунова) та її використання у математичній статистиці.

9. Теорема Муавра- Лапласа.

[1; 2; 4]

Вправи

Завдання 1. Заданий закон розподілу ДВВ

	-5	-3	-1	1	3	5
	0,2	0,05	0,1	0,1	0,2	0,35

Побудувати закон розподілу ймовірностей для

Завдання 2. Задана щільність розподілу НВВ Х:

Знайти , якщо

Завдання 3. Середнє число дощових днів на рік в даному районі дорівнює 80. Оцінити ймовірність того, що в цьому районі буде не більше 100 дощових днів.

Завдання 4. Номінальне значення діаметру втулки дорівнює 5 мм, а дисперсія, як наслідок похибки виготовлення, не більше 0,01. Оцінити ймовірність того, що розмір втулки буде відрізнятися від номіналу не більш як на 0,5 мм.

Завдання 5. Визначити, скільки потрібно здійснити вимірювань діаметрів дерев, щоб середній діаметр дерев відрізнявся від дійсного значення не більш ніж на 2 см з ймовірністю не менше 0,95. Відомо, що на даній ділянці середнє квадратичне відхилення діаметрів дерев не перевищує 10 см.

Завдання 6. Для визначення врожайності поля з 200 га взяли вибірку з кожного га. Відомо, що по кожному га поля дисперсія не перевищує 2. Оцінити ймовірність того, що відхилення середньої вибіркової врожайності від середньої врожайності не перевищує 0,2 ц.

Завдання 7. Скільки потрібно провести незалежних випробувань, щоб ймовірність виконання нерівності перевищувала 0,75, якщо ймовірність появи даної події в окремому випробуванні ?

Контактне заняття7.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА

ПЕРВИННА ОБРОБКА СТАТИСТИЧНИХ ДАНИХ. ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ.

Мета заняття – навчитися досліджувати отримані статистичні дані, за вибіркою визначати характеристики генеральнох сукупності, висувати гіпотези, щодо можливого закону розподілу та підтверджувати їх.

Заняття спрямоване на здобування компетентностей: критично мислити і генерувати креативні ідеї та вирішувати важливі проблеми на інноваційній основі; здатність застосовувати теоретичні знання на практиці, вміння аналізовувати та інтерпретовувати.отримані практичні результаи .

Використання інноваційних технологій: вирішення ситуаційних вправ, розв’язання проблемних завдань, практикум з використанням комп’ютерних програм.

ЗМІСТ РОБОТИ

1. Сформувати масив випадкових чисел обсягом 100 варіант (шляхом генерування випадкових чисел розподілених за нормальним законом), що характеризує дані про виручку від продажу товарів, продукції, робіт, послуг малих підприємств однієї з галузей регіону.

2. Зробити 30 – відсоткову випадкову без повторну вибірку.

2. Побудувати інтервальний ряд розподілу, створивши 5 інтервалів.

3. Обчислити середній розмір виручки від продажу товарів, продукції, робіт послуг одного підприємств та середнє квадратичне відхилення σ.

4. З імовірністю 0,954 визначити довірчий інтервал, в яких можна очікувати генеральні параметри для середньої виручки за формулою

де t = 2. Зробити висновок.

5. Знати частку підприємств w, для яких розмір виручки більший за . З імовірністю 0,954 визначити довірчий інтервал, в яких можна очікувати генеральні параметри для частки малих підприємств, з розміром виручки більшою за за формулою

де t = 2. Зробити висновок.

6. Загальний розмір виручки від продажу товарів, продукції, робіт, послуг малих підприємств регіону: .

7. Обчислити довірчий інтервал для числа підприємств з розміром виручки більшою за : ). Зробити висновок.

8. Побудувати гістограму та полігон для 30 – ти відсоткової вибірки. Зробити припущення про можливий закон розподілу генеральної сукупності.

9. Перевірити гіпотезу обчисливши асиметрію та ексцес. Зробити висновок.

Емпіричний центральний момент k порядку обчислюється за формулою:

10. Перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу генеральної сукупності за критерієм Пірсона.

Контактне заняття 8.

Тема 11. Інтервальні оцінки параметрів розподілу. Перевірка статистичних гіпотез.

Тема 12. Елементи теорії регресії, кореляції та дисперсійного аналізу.

Мета заняття – ознайомитися з методами побудови довірчих інтервалі для оцінки параметрів генеральної сукупності; навчитися будувати кореляційну залежність між параметрами багатовимірної вибірки.

Використання інноваційних технологій: міні-лекція, семінар – розв’язування вправ

Питання

1. Точність і надійність оцінки параметрів.

2. Поняття про інтервали надійності. Побудова інтервалів надійності для оцінки математичного сподівання й дисперсії випадкової величини.

3. Статистичні гіпотези: нульова й альтернативна, проста й складна. Помилки першого й другого роду.

4. Статистичні критерії. Критична область, область прийняття нульової гіпотези, критична точка.

5. Перевірка статистичних гіпотез. Критерії узгодженості. Критерій узгодженості Неймана-Пірсона.

6. Функціональна, статистична і кореляційна залежності. Рівняння парної регресії.

7. Властивості статистичних оцінок параметрів парної функції регресії.

8. Вибірковий коефіцієнт кореляції та його властивості. Інтервал надійності для лінії регресії.

9. Коефіцієнт детерміналізації.

10. Множинна регресія, визначення статистичних оцінок для параметрів лінійної множинної функції регресії. Множинний коефіцієнт кореляції та його властивості.

[1; 2; 3;4]

Вправи

Завдання 1. Для залежності Y від Х, що задана кореляційною таблицею, знайти оцінки параметрів а та b рівняння лінійної регресії y_x = a +bx, остаточну дисперсію, значущість рівняння регресії при α = 0,05; визначити довірчі інтервали для М_х, Y та Y₀ при X₀ = 22.

Y X	20	25	30	35	40
16	4	6
26		8	10
36			32	3	9
46			4	12	6
56				1	5

Теорія ймовірності і математична статистика

Комментарии