Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика 22.07.2014 22:02

Завдання 1

Використовуючи рекомендовану літературу дати змістовну відповідь на питання. Навести приклади.

1.Предмет теорії ймовірностей. Основні поняття та алгебра подій.

2.Класичне,геометричне,статистичне означення ймовірності.

3.Основні формули комбінаторики та особливості їх застосування.

4. Основні теореми множення та додавання випадкових подій.

5. Формули повної ймовірності та Байєса.

6.Граничні теореми у схемі Бернуллі.

7. Схема та формула Бернуллі

8. Надійність системи та способи її дослідження.

9. Випадкові величини та їх види.

10. Дискретні випадкові величини. Способи задання  ДВВ.

11.Числові характеристики ДВВ.

12. Неперервні випадкові величини. Способи задання НВВ

13.Числові характеристики НВВ.

14.Основні поняття математичної статистики. Методи відбору.

15.Числові характеристики вибіркової сукупності.

16.Статистичні гіпотези та їх різновиди.

 

Завдання 2

Розрахунок ймовірності за допомогою формул

 комбінаторики.

1. Серед 100 електроламп 5 зіпсованих. Яка ймовірність того, що взяті навмання 3 лампи будуть справними?

2. Монету кидають два рази. Вказати кількість випадкових подій, які при цьому утворюють повну групу.

3. У філії банку працюють п`ятнадцять співробітників, три з яких не мають потрібної кваліфікації. Скільки можна скласти списків по восьми співробітниках.

4. Правління підприємства складається з дев`яти осіб. Скільки можна скласти варіантів обрання з їх числа трьох керівників: президента, директора та комерційного директора.

5. У малому підприємстві працюють чотири жінки та п`ять чоловіків. Випадковим способом дві особи запізнились. Знайти ймовірність того, що одна з цих осіб жінка, а друга - чоловік.

6. До профкому обрано семеро осіб, з яки потрібно обрати голову профкому та його заступника. Скількома способами це можливо зробити.

7. У філії банку працюють п`ятнадцять співробітників, три з яких не мають потрібної кваліфікації. Скільки можна скласти списків по шести кваліфікованих співпрацівниках.

8. В урні п`ятнадцять червоних, дев`ять синіх та шість зелених куль однакового розміру. Навмання беруть шість куль. Яка ймовірність того, що будуть взяті одна зелена, дві сині та три червоні кулі.

9. Скількома способами з десяти осіб можна вибрати комісію з чотирьох осіб.

10. Скільки парних чотиризначних чисел, що складаються з цифр 2,3,5,7 можна одержати, якщо повторення цифр у числах заборонені.

11. Скількома способами  можна розмістити дванадцять гостей за столом, біля якого стоять дванадцять стільців.

12. У філії банку працюють п`ятнадцять співробітників, три з яких не мають потрібної кваліфікації. Скільки можна скласти списків по дев`яти співробітниках, два з яких не мають потрібної кваліфікації.

13. Студент забув останні три цифри потрібного телефону, але він пам`ятає, що всі три цифри є різні, тому вибирає їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрані цифри вірні.

14.У розіграшу першості країни з футболу приймають участь 17 команд.

Скількома способами можуть бути розподілені золота, срібна та бронзова медалі?

15.Скількома способами 7 осіб можуть стати в чергу до каси?

16. Студенту необхідно протягом 8 днів скласти 4 екзамени. Скількома способами це можна зробити?

 

Завдання 3

Обчислення ймовірності з використанням основних теорем теорії ймовірності

1. Студент знає 20 з 25 питань програми. Обчисліть ймовірність того, що студент знає запропоновані йому екзаменатором 2 питання.

2. Стрілок влучить у “десятку” з імовірністю 0.05, в “дев`ятку” - з ймовірністю 0.20, у “вісімку” - 0.6. Зроблено один постріл. Яка ймовірність того, що вибито не менше восьми очок.

3. Транспортування вантажу для замовника виконують два автопідприємства, кожне з яких повинно виділити для цього по одній вантажівці. Ймовірність виходу на лінію вантажівки з першого автопарку дорівнює 0.7, а з другого - 0.6. Знайти ймовірність того, що замовник одержить потрібні вантажівки.

4. В урні десять білих, п`ятнадцять чорних, двадцять блакитних  та 25 червоних куль однакового розміру. Навмання взято одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля буде біла або чорна.

5. Із колоди карт (32 карти) навмання взято одну. Яка ймовірність того, що це дама, якщо відомо, що взято карту червоної масті?

6. У коробці п`ять однакових виробів, але три з них забарвлені. Навмання беруть два вироби. Знайти ймовірність того, що серед них два забарвлені вироби.

7. Обчислити ймовірність того, що п`ятидесяти виробів, серед яких три нестандартні будуть прийнятими приперевірці навмання вибраної половини виробів. Умовами прийому дозволено не більше 4% нестандартних виробів.

8. Працівник обслуговує три станки, що працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що протягом години перший станок не вимагатиме уваги працівника дорівнює 0.9, а для другого та третього станків - 0.8 та 0.85 відповідно. Якою є ймовірність того, що протягом години три станки не вимагатимуть уваги працівника.

9. На складі 70%  кінескопів, виготовлених заводом №1, а решта - заводом № 2. Ймовірність того, що кінескоп, виготовлений заводом №1, витримає гарантійний термін, дорівнює 0.8. Ця ж ймовірність для кінескопа заводу №2 дорівнює 0.9. Знайти ймовірність того, що не витримає гарантійного терміну.

10. Система має два незалежно працюючих елемента. Ймовірність їх відмови  - 0.05 та 0.08.Знайти ймовірність відмови системи, якщо для цього,достатньо відмови хоча б одного з елементів.

11. У першій урні десять куль, з них вісім білих . У другій урні двадцять куль, з них чотири білих. З кожної урни навмання взято одну. Знайти ймовірність того, що остання куля буде білою.

12. Маємо два однакових ящики. У першому з них вісім пар взуття сорок першого розміру та чотири пари сорок другого розміру. З вибраного навмання ящика взято одну пару взуття сорок другого розміру. Знайти ймовірність того, що ця пара взята з першого ящика.

13. У рибалки є три улюблених місця, куди він приходить з однаковою  ймовірністю. Ймовірність кльову на першому місці дорівнює 1/3, на другому - 1/2, на третьому - 1/4. Рибалка закинув вудку у навмання вибраному місці і риба клюнула. Знайти ймовірність того, що рибалка закинув вудку у першому місці.

14. У першій урні дві білі та чотири чорні кулі, а в другій урні - три білі та одна чорна куля. Із першої урни переклали у другу одну кулю. Знайти ймовірність того, що куля, вийнята з другої урни після перекладання, буде білою.

15. У коробці п`ять однакових виробів, але три з них забарвлені. Навмання беруть два вироби. Знайти ймовірність того, що серед них  хоча б один забарвлений виріб.

16.В урні десять білих, п`ятнадцять чорних, двадцять блакитних  та 25 червоних куль однакового розміру. Навмання взято одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля буде блакитна або червона.

 

Завдання 4

Розв`язання задач на послідовність випробувань.

1. По мішені роблять 100 пострілів. Яка найімовірніша кількість влучань, якщо ймовірність влучення в мішень при одному пострілі дорівнює 5/6?

2. У виробництві деякої продукції третій сорт складає 20 %. Знайти ймовірність того,що з п`яти навмання взятих виробів цієї продукції не менше, ніж три будуть третього сорту.

3. Ймовірність влучення у мішень при одному пострілі дорівнює 0.4. Зроблено шість незалежних пострілів. Знайти ймовірність того,що буде хоча б одне влучення у мішень.

4.Скільки разів треба кинути гральний кубик, щоб наймовірніше число появи трьох дорівнює п`ятдесят п`ять.

 5.База обслуговує вісім магазинів. Щодня вимоги на товари можуть поступити з ймовірністю 0.6. Знайти наймовірніше число вимог, які можуть поступити в будь - який день.

6.Завод відправив до бази п`ятсот виробів. Ймовірність пошкодження виробу при транспортуванні дорівнює 0.002. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено три вироби.

7.Засівний фоннд має  92% насіння першого сорту. Навмання взято 150 насінин. Знайти ймовірність того, що серед всіх насінин 140 є першого сорту.

8.Відсоток проростання пшеничного насіння становить 95. Знайти ймовірність того, що з 2000 посіяних насінин проросте від 1880 до 1920.

9.Електрична станція обслуговує мережу з десяти тисяч ламп. Ймовірність включення кожної з них становить 0.6. Визначити ймовірність одночасного включення від 5900 до 6100.

10.Ймовірність присутності студента на лекції 0.8. Знайти ймовірність того, що із 100 студентів на лекції будуть не менше 75 та не більше 90.

11.Працівник обслуговує три станка, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що протягом години перший станок не вимагатиме уваги працівника - 0.9, другий станок - 0.8, третій станок - 0.85. Якою є ймовірність того, що протягом години жоден станок не потребуватиме уваги працівника.

12.Ймовірність присутності студента на лекції 0.8. Знайти ймовірність того, що із 100 студентів на лекції будуть не менше 75.

13.Працівник обслуговує три станка, що працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що протягом години перший станок не вимагатиме уваги працівника - 0.9, другий станок - 0.8, третій станок - 0.85. Якою є ймовірність того, що протягом години усі три потребуватимуть уваги працівника.

14.Відсоток проростання пшеничного насіння становить 98. Знайти ймовірність того, що з 1000 посіяних насінин проросте від 780 до 920.

15.Ймовірність присутності студента на лекції 0.8. Знайти ймовірність того, що із 100 студентів на лекції будуть не більше 74.

16. У виробництві деякої продукції перший сорт складає 80 %. Знайти ймовірність того,що з п`яти навмання взятих виробів цієї продукції не менше, ніж три будуть першого сорту.

 

Завдання 5

Розв’язати задачі з розділу”Випадкові величини”

1.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,2 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=5,8; дисперсіяD(x)=5,76.   

 2.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,3 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=6,6; дисперсіяD(x)=13,44.   

3.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,4 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=4,4; дисперсіяD(x)=3,84.  

4.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,5 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=4; дисперсіяD(x)=4.    

5.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,6 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=4; дисперсіяD(x)=6.

6.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,7 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=3,8; дисперсіяD(x)=7,56.

7.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,8 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=3,4; дисперсіяD(x)=7,84.

8.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,9 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=2,8; дисперсіяD(x)=5,76.

 

9.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,9 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=3,9; дисперсіяD(x)=0,09.

10.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,9 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=3,1; дисперсіяD(x)=0,09.

11.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,3 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=3,2; дисперсіяD(x)=0,15.

12.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,7 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=3,3; дисперсіяD(x)=0,21.

13.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,3 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=3,1; дисперсіяD(x)=1,39.

14.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,5 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=3,5; дисперсіяD(x)=0,25.

15. Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,4 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=3,6; дисперсіяD(x)=0,24.    

16.Знайти закон розподілу випадкової величини Х, що може набувати тільки два значення х₁ з ймовірністю р=0,3 і х₂ , причому х_{1 <} х_{2 .}    Математичне сподівання

М(х)=3,7; дисперсіяD(x)=0,21.    

 

 

 

 

Завдання 6

 

Внаслідок дослідження заробітної плати 100 працівників деякого підприємства одержали дані, які записані у таблиці (грн.)

Дані для кожного з варіантів потрібно вибирати так: в таблиці викреслити к-тий рядок та l-тий стовпчик. Дані, які залишаться у таблиці-це дані вашого варіанту.

К та L вибирають так:

№ варіанту/   1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20

 

K\L	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	293	309	296	303	305	325	347	228	320	231
1	312	201	347	352	259	243	243	285	295	296
2	294	394	301	399	393	226	256	339	298	276
3	305	336	274	231	318	269	233	368	244	400
4	218	248	302	336	208	301	275	208	304	325
5	242	294	256	211	276	353	215	330	387	286
6	256	298	339	234	308	312	331	326	309	320
7	236	368	342	256	324	263	296	288	369	299
8	294	274	248	276	352	285	231	256	394	243
9	293	347	312	295	320	231	303	242	294	336

  

Потрібно провести аналіз цих статистичних даних за схемою:

1.Побудувати варіаційний ряд.

2.Представити статистичний матеріал таблично та графічно (побудувати графік, полігон, гістограму частот), взявши 5 інтервалів розбиття.

3.Методом добутків обчислити: вибіркове середнє, виправлену вибіркову дисперсію, вибіркову дисперсію.