|
|
Главная \ Методичні вказівки \ Теорія ймовірностей та математична статистика
Теорія ймовірностей та математична статистика« Назад
Теорія ймовірностей та математична статистика 11.10.2016 07:03
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
Запорізький національний технічний університет
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ
до лабораторних робіт з курсу «Теорія ймовірностей та математична статистика»
для студентів напряму підготовки 6.040303 “Системний аналіз” галузі знань 0403 “Системні науки та кібернетика” денної форми навчання
Частина 3 Математична статистика
2012
ЗМІСТ
1 Лабораторна робота №1: Попередній аналіз статистичних даних 1.1 Постановка завдання 1.2 Теоретичні відомості 1.3 Приклад виконання лабораторної роботи 1.4 Індивідуальні завдання 2 Лабораторна робота №2: Визначення числових характеристик по виборці та інтервальному ряду 2.1 Постановка завдання 2.2 Теоретичні відомості 2.3 Індивідуальні завдання 3 Лабораторна робота №3: Побудова довірчих інтервалів для параметрів нормального розподілу 3.1 Постановка завдання 3.2 Теоретичні відомості 3.3 Рекомендації до виконання лабораторної роботи 4 Лабораторна робота №4: Перевірка гіпотези про види розподілу 4.1 Постановка завдання 4.2 Теоретичні відомості 4.3 Індивідуальні завдання 5 Лабораторна робота №5: Перевірка гіпотези про однорідність двох вибірок 5.1 Постановка завдання 5.2 Теоретичні відомості 5.3 Індивідуальні завдання 6 Лабораторна робота №6: Регресійний аналіз даних 6.1 Постановка завдання 6.2 Теоретичні відомості 6.3 Індивідуальні завдання 7 Вимоги до оформлення лабораторної роботи 8 Література
1 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1 Попередній аналіз статистичних даних
1.1 Постановка завдання Згрупувати дані і побудувати інтервальний статистичний ряд розподілу випадкової величини. Побудувати емпіричну функцію розподілу та її графік. Побудувати гістограму частостей статистичного ряду. 1.2 Теоретичні відомості При розв’язанні багатьох практичних задач необхідно визначити невідомі ймовірнісні характеристики досліджуваного процесу, що характеризується деякою випадковою величиною. Їх потрібно визначити за експериментальними даними. Грамотне планування експерименту, компактний статистичний опис результатів спостережень, побудова і перевірка різних математичних моделей, що використовують вірогідність, складають основний зміст математичної статистики. Фундаментальні поняття статистичної теорії - поняття генеральної сукупності і вибірки об’єму п. Генеральна сукупність - це сукупність всіх мислимих результатів спостережень над випадковою величиною (ВВ), які можуть бути проведені за даних умов. Вибірка об’єму п - це кінцевий набір значень випадкової величини, отриманий в результаті спостережень в заданих умовах. Сенс статистичних методів полягає в тому, щоб по вибірці обмеженого об’єму п, тобто по деякій частині генеральної сукупності, висловити обґрунтовані думки про її властивості в цілому. Метод, що полягає в тому, що на підставі характеристик і властивостей вибірки робляться висновки про числові характеристики і закон розподілу випадкової величини X, називається вибірковим методом. Основою вибіркового методу є інтерпретація вибірки як зменшеної моделі досліджуваної генеральної сукупності, в якій спостереження (тобто практично реалізовані) значення інтерпретуються як можливі, а вірогідність здійснення цих можливих значень приймається рівними зареєстрованим відносним частотам їх появи, тобто 1/ п . Припустимо, що вивчається деяка випадкова величина X, закон розподілу якої невідомий. Для вислову думок про закон розподілу і його основні числові характеристики виконують ряд незалежних спостережень х1,х2,...,хп. При великій кількості вимірювань п для отримання оцінок функції або щільності розподілу дані групують, виконуючи при цьому наступні дії:
1. Результати спостережень х1, х2,..., хn перегруповують розстановкою їх в зростаючому порядку. Таку перегруповану вибірку xmin =x(1), x(2),…,x(n) = xmax, де x(i) ≤ x(i+1) називають варіаційним рядом. Різниця хmах — xmin = R називається розмахом варіювання.
2. Всю область зміни вибірки від xmin до хmах розбивають на k інтервалів однакової довжини ∆х. Число k залежить від об’єму вибірки і зазвичай коливається в межах від 5 до 25. Для вибору k можна використовувати напівемпіричне співвідношення k ≈ 1 + 3,2 lg n з округленням у бік найближчого цілого числа.
3. Визначають довжину інтервалу .
4. Підраховують число спостережуваних значень, що потрапили в j -тий інтервал ‑ mj (частоти), відношення частоти до об’ємувибірки (частості), накопичені частоти ‑ , накопичені частості – .
5. Значенням, що потрапили в один і той же інтервал, привласнюють значення, відповідне середині даного інтервалу.
6. Дані групування заносять в таблицю. Інтервальний статистичний ряд
Згруповані дані використовують для визначення емпіричної функції і емпіричної щільності розподілу вірогідності . Емпіричною функцією розподілу випадкової величини X називають функцію, що визначає для кожного значення х частість події {X < х}, тобто
де тх - кількість хі, менших за х. При n . Графічним зображенням емпіричної функції розподілу вірогідності є кумулята. Для побудови кумуляти на осі абсцис відкладають спостережені значення випадкової величини X, на осі ординат - накопичені частості. Якщо при побудові кумуляти осі координат поміняти місцями, то отримана ламана лінія називатиметься огивою. Під емпіричною щільністю розуміють величину
Графік функції називають гістограмою. Для побудови гістограми частостей на осі абсцис відкладають межі інтервалів і для кожного інтервалу будують прямокутник з висотою, рівною . Якщо на гістограмі частостей з’єднати середини інтервалів, то отримана ламана утворює полігон частостей.
1.3 Приклад виконання лабораторної роботи
Маємо вибірку об’єму n = 100.
Для подальшого аналізу елементи вибірки необхідно розстановити в зростаючому порядку - створити варіаційний ряд.
Розмах варіювання R = хmах – хmin = 51,35 — 20,39 = 30,96. Визначаємо кількість інтервалів k ≈ 1 + 3,2 1gl00 ≈ 7 (округлене до цілого), та довжину інтервалу . Визначаємо межі інтервалів , , =.
Знаходимо середні значення інтервалів . Наприклад: .
Підраховуємо число спостережуваних значень, що потрапили в j -тий інтервал – mj (частоти).
Перевіряємо: = 2 + 6 + 14 + 22 + 27 + 20 + 9 = 100 = n Знаходимо відношення частоти до об’єму вибірки (частості)
Визначаємо накопичені частоти і накопичені частості .
Дані групування заносимо у таблицю
Для побудування гістограми частостей на оси абсцис відкладають межі інтервалів та для кожного інтервалу будують прямокутник з висотою, що дорівнює .
Емпірична функція розподілу:
Побудуємо графік
1.4 Індивідуальні завдання
Варіанти завдань для лабораторної роботы
2 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2 Визначення числових характеристик по виборці та інтервальному ряду
2.1. Постановка завдання
1. Знайти основні числові характеристики вибірки: моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, розмах, коефіцієнт варіації, асиметрію, ексцес: а) по варіаційному ряду; б) по інтервальному статистичному ряду. 2. Сформулювати попереднє судження про закон розподілу випадкової величини, судячи з наступних міркувань: а) по виду гістограми частостей статистичного ряду; б) по числовим значенням моди, медіани та середнього арифметичного, виходячи з властивостей законів розподілу (нормального, експоненціального, рівномірного, логнормального); в) по емпіричному коефіцієнту варіації; г) за вибірковими коефіцієнтами асиметрії та ексцесу; д) за допомогою чисел Вестергарда.
2.2. Теоретичні відомості Вибіркові оцінки основних числових характеристик випадкової величини X можливо визначити як по вихідним даним (а), так і по згрупованим даним (б). І. Показники центру розподілу
а) = х0 | т0 = ;
б)
де х0 – нижня границя модального інтервалу (модальним називається інтервал, який має найбільшу частоту); , , – частоти відповідно модального, предмодального та постмодального інтервалів.
, якщо n - непарне
а)
, якщо n - парне
б) , де – нижня границя медіанного інтервалу (медіанним інтервалом називається перший інтервал, накопичена частота якого перевищує половину загальної суми частот); – накопичена частота інтервалу, який попереджає медіанний; - частота медіанного інтервалу. 3.Вибіркове середнє а) ; б) . II. Міри розсіювання 1. Вибіркова дисперсія а) ; б) , де - поправка Шепарда для другого центральногомоменту, яка усуває зміщення (застосовується при нормальному, логнормальному та не застосовується при рівномірному та експоненціальному законах).
.
III. Відносні показники варіації 1. Вибірковий коефіцієнт варіації V = 100%.
а) б) .
3. Вибірковий ексцес – показник „гостровершинності” f(х) a) б) , де поправка Шепарда для четвертого центрального моменту, яка усуває зміщення (застосовується при нормальному, логнормальному та не застосовується при рівномірному та експоненціальному законах).
Проведені розрахунки дозволяють сформулювати попереднє судження про закон розподілу випадкової величини X, виходячи з наступних міркувань: 1) з виду гістограми частостей статистичного ряду. Вид гістограми дає орієнтир на можливий закон розподілу; 2) за числовими значеннями моди, медіани та середнього квадратичного відхилення, виходячи з властивостей законів розподілу (нормального, експоненціального, рівномірного, логнормального); 3) за емпіричним коефіцієнтом варіації. Відомо, що кожному закону розподілу відповідає певний діапазон значень коефіцієнта варіації;
4) за вибірковими коефіцієнтами асиметрії та ексцесу. Емпірична функція вважається узгодженою з гіпотетичною функцією, якщо вибіркові коефіцієнти асиметрії та ексцесу відрізняються за абсолютною величиною від своїх математичних сподівань не більш ніж на три середніх квадратичних відхилення, таким чином якщо, то обраний закон розподілу узгоджується з експериментальними даними. Для нормального закону розподілу . Дисперсії вибіркових коефіцієнтів асиметрії та ексцесу обчислюються за формулами: . 5) За допомогою чисел Вестергарда. Цей критерій використовується тільки для перевірки близькості емпіричного закону розподілу до нормального. Числа Вестергарда: 0,3; 0,7; 1,1; 3. Емпіричний розподіл близький до нормального закону, якщо в інтервалі ( – 0,3S; + 0,3S) розташовано всій сукупності даних; в інтервалі ( – 0,7S; + 0,7S) розташовано всій сукупності даних; в інтервалі ( – 1,1S; + 1,1S) розташовано всій сукупності даних; в інтервалі ( – 3S; + 3S) розташовано 0,998 всій сукупності даних.
2.3 Індивідуальні завдання З генеральної сукупності отримана вибірка з 15 об’єктів. Варіанти завдань для лабораторної роботи. 1. х: 2, 4, 3, 7, 5, 2, 5, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 7, 7. 2. х: 21, 34, 35, 24, 26, 26, 34, 29, 33, 29, 23, 34, 26, 26, 22. 3. x: 112, 125, 135,110,124,125,130,123,134, 125, 124, 131, 140, 111,132. 4. х: 3, 3, 6, 9, 5, 7, 5, 7, 8, 3, 5, 7, 8, 6, 7. 5. х: 44, 54, 34, 43, 45, 56, 67, 23, 43, 56, 43, 54, 56, 56, 56. 6. х: 245, 246, 245, 241,244,250,246,231,246, 241, 242, 246, 244, 246,252 7. x: 1, 3, 2, 4, 8, 2, 7, 7, 4, 6, 4, 4, 6, 4, 3. 8. х: 33, 34, 32, 33, 33, 32, 35, 34, 36, 31, 33, 32, 34, 32, 36. 9. х: 546, 536, 556, 536, 576,566, 576, 546, 556,546,536,536,576,516,566. 10. х: 15, 11, 23, 45, 44, 23, 15, 22, 45, 33, 15, 22, 23, 30, 11. 11. х: 4, 4, 7, 7, 5, 8, 5, 5, 9, 8, 3, 4, 9, 8, 8. 12. x: 11, 24, 25, 34, 16, 16, 24, 39, 23, 19, 13, 24, 16, 16, 12. 13. х: 412, 425, 435, 410, 424, 425,430, 423,434,425,424,431,440,411,432. 14. х: 2, 4, 5, 9, 5, 6, 5, 4, 8, 3, 5, 7, 5, 6, 7. 15. х: 66, 54, 64, 73, 54, 66, 66, 73, 77, 66, 43, 54, 57, 66, 64. 16. x: 145,146,145,141,144,150,146,131, 146,141, 142, 146, 144, 146, 152. 17. х: 2, 6, 6, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 6, 5, 5, 6, 4, 9. 18. x: 13, 14, 12, 13, 13, 12, 15, 14, 16, 11, 13, 12, 14, 12, 16. 19. х: 246, 236, 256, 236, 276,266, 276,246,256,246,236,236,276, 216,266. 20. х: 25, 10, 20, 25, 30, 35, 15, 25, 30, 25, 15, 25, 30, 30, 40. 21. х: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 8, 7, 7, 9, 8, 8. 22. х: 51, 54, 55, 54, 56, 56, 54, 59, 53, 59, 53, 54, 56, 56, 52. 23. х: 212,225,235,210,224,225,230, 223,234, 225, 224, 231, 240, 211,232. 24. х: 3, 3, 3, 1, 2, 3, 6, 4, 2, 3, 5, 3, 4, 2, 3. 25. х: 96, 74, 84, 84, 74, 96, 74, 84, 74, 84, 96, 74, 74, 84, 84. 26. х: 245,246,245,243,244,245,246, 245, 246,241, 242, 246, 244, 246,243. 27. х: 2, 4, 6, 8, 8, 8, 2, 4, 8, 6, 6, 8, 6, 4, 8. 28. x: 15, 17, 17, 19, 21, 23, 19, 19, 19, 19, 15, 17, 21, 21, 19. 29. х: 740,750,730,720,760,760,740,730, 740, 750, 740, 750, 760, 730,740. 30. х: 1, 2, 8, 6, 2, 6, 8, 8, 1, 2, 2, 6, 8, 8, 6.
3 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3 Побудова довірчих інтервалів для параметрів нормального розподілу
3.1 Постановка завдання
1. Згенерувати вибірку нормально розподіленої випадкової величини з математичним сподіванням рівним номеру варіанту та стандартним відхиленням рівним половині номеру варіанту. 2. Побудувати довірчі інтервали для рівнів значущості α = 0,01 і α = 0,05 (двобічні, ліво- та правобічні): а) для математичного сподівання з відомою та невідомою дисперсією; б) для дисперсії з відомим та невідомим математичним сподіванням.
3.2 Теоретичні відомості
Оскільки вибірка із генеральної сукупності має випадковий характер, то для різних вибірок оцінка параметру може приймати різне значення. Тому для точкової оцінки знаходять границі похибки. Це особливо актуально для вибірок малого об’єму, де помилка оцінок збільшується. Для визначення точності та надійності оцінки параметрів вводяться інтервальні оцінки та довірчі інтервали. Задача інтервального оцінювання полягає в побудові такого інтервалу по даній виборці, щоб із заданою ймовірністю можна було б стверджувати, що значення параметра, який оцінюється, належить деякому інтервалу. Довірчим інтервалом (θ1, θ2) для параметра θ називається такий інтервал, для якого відомо, що з заданою ймовірністю р = 1 ‑ α йому належить параметр, який оцінюється. Число 1 - α називається рівнем довіри, α - називається рівнем значущості. Нижня θ1 та верхня θ2 границі довірчого інтервалу не залежать від параметра θ і визначаються по результатам спостережень. Таким чином, вони є випадковими величинами. У зв’язку з цим довірчий інтервал накриває параметр, що оцінюється, з ймовірністю 1 - α, або у 100·(1 - α)% випадках. 1. Побудова довірчого інтервалу для математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини з відомою дисперсією.
довірчий інтервал, – гранична похибка. Аналогічно будуються лівосторонні та правосторонні інтервали: лівосторонній: правосторонній: . 2. Побудова довірчого інтервалу для математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини з невідомою дисперсією. Формується статистика T з розподілом Стьюдента з n-1 ступенями свободи. Замість дисперсії використовується її оцінка : ~ , , . Аналогічно будуються ліво- та правосторонні інтервали: лівосторонній: , правосторонній: . 3. Побудова довірчого інтервалу для дисперсії нормально розподіленої випадкової величини з відомим математичним сподіванням. Найкращою оцінкою дисперсії при відомому математичному сподіванні є: . Величина не змінюється при зміні початку відліку, але залежить від одиниць вимірювання. Щоб позбавитися від цієї залежності необхідно пронормувати – поділити на масштабний множник: . Незалежні випадкові величини ~ . Сума квадратів незалежних стандартних нормальних випадкових величин розподілена за законом з n ступенями свободи. Скористуємося квантилями і та отримаємо довірчий інтервал для : , . Лівосторонній: . Правосторонній: .
4. Побудова довірчого інтервалу для дисперсії нормально розподіленої випадкової величини з невідомим математичним сподіванням. В цьому випадку найкраща оцінка дисперсії є . Пронормуємо її: . Аналогічно отримаємо: двосторонній довірчий інтервал: ; лівосторонній: ; правосторонній: .
3.3 Рекомендації до виконання лабораторної роботи
Для отримання вибірок випадкової величини з заданим законом розподілу в Ехсеl використовується настройка «Аналіз даних»: Сервіс – Аналіз даних – Генерація випадкових чисел – Ок. Число змінних: 1. Число випадкових чисел: 14 + номер варіанту. Розподіл: нормальний. Параметри розподілу задати у відповідності з номером варіанту. Для знаходження квантилей розподілу використовуються статистичні функції: нормального розподілу – НОРМСТОБР (); розподілу Ст’юдента – СТЬДРАСПОБР( , ); розподілу – ХИ2ОБР( , ).
4 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4 Перевірка гіпотези про види розподілу
4.1 Постановка завдання
Перевірити гіпотезу про закон розподілу випадкової величини за допомогою критеріїв узгодженості: 1. Критерій узгодженості Пірсона. 2. Критерій узгодженості Колмогорова – Смирнова.
4.2 Теоретичні відомості
При обробці ряду спостережень х1, х2,...,хn випадкової величини X дуже важливо зрозуміти механізм формування вибіркових значень, підібрати деяку модельну функцію розподілу , за допомогою якої можливо адекватно описати функцію розподілу ВВ X. Таку гіпотезу перевіряють за допомогою критеріїв узгодженості Критерій узгодженості Пірсона. Може використовуватися для: - будь-якого закону розподілу (дискретного або неперервного); - закону розподілу , якщо значення параметрів невідомі; - згрупованих даних, багатовимірних розподілів. Алгоритм перевірки гіпотези:
- загальна кількість інтервалів k повинна бути не менше восьми; - в кожний інтервал повинно попадати не менше 10 вибіркових значень Х (бажано, щоб в різні інтервали попало приблизно однакове число точок); - якщо діапазон досліджуваної ВВ - вся числова пряма, граничні інтервали будуть напівпрямі.
Критерій узгодженості Колмогорова – Смирнова. Нехай вибірка випадкової величини Х з невідомою функцією розподілу . Необхідно перевірити гіпотезу про те, що функція розподілу співпадає з раніше визначеним розподілом, тобто . Критерій узгодженості Колмогорова – Смирнова використовується коли: - функція неперервна; - відома цілком – не залежить від невідомих параметрів. Статистика критерію заснована на відстані між функціями и : . Статистика при не залежить від виду функції розподілу. При розподіл цієї статистики не залежить і від об’єму вибірки. Виконується наступне співвідношення: , ‑ значення функції Колмогорова в точці . При отримуємо, що . Дана статистика задає імовірнісний інтервал. Якщо при перевірці гіпотези задається рівень значущості , то . Алгоритм перевірки гіпотези. Обчислюється значення критеріальної статистики . Якщо для заданого рівня значущості величина статистики задовольняє нерівність , де – табличне значення статистики, то не має підстав відкинути , тобто, статистичні дані не суперечать гіпотезі .
4.3 Індивідуальні завдання
Для критерію Пірсона () n = 200; для критерію Колмогорова – Смирнова (K-S) n = 20 + № варіанту. Згенерувати в Ехсеl вибірки за законом розподілу згідно свого варіанту:
5 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5 Перевірка гіпотези про однорідність двох вибірок
5.1 Постановка завдання
Перевірити гіпотезу однорідності двох незалежних вибірок: 1) для повних вибірок, використовуючи граничні розподіли відповідних статистик за допомогою: - критерію однорідності Пірсона; - критерію однорідності Колмогорова – Смирнова; - рангових критеріїв однорідності; 2) для часткових вибірок (взявши 4 перших значення з першої вибірки та 6 - з другої), використовуючи точні розподіли відповідних статистик рангового критерію однорідності; 3) для множинних вибірок за критерієм Краскела – Уолліса.
5.2 Теоретичні відомості
Критерій однорідності Колмогорова–Смирнова. Критерій побудований на емпіричній функції розподілу. Розглянемо випадок двох одномірних вибірок: , . Нехай хi, уi – варіаційні ряди, які збудовані з елементів першої та другої вибірок, їх емпіричні функції розподілу , . Вводимо наступну статистику: . Якщо гіпотеза H0 істинна, розподіл статистики залежить тільки від об’єму вибірки і не залежить від виду функцій. Якщо , то заперечується, в іншому випадку – приймається. Критерій однорідності . Використовується для згрупованих, дискретних та неперервних випадкових величин. Нехай є вибірок об’єму та дані кожної вибірки згруповані в s груп (інтервалів). Кількість елементів j -ої вибірки, які попали в і -ту групу позначимо . Статистикою критерію є величина , , , . В окремому випадку при статистику можна записати у вигляді: , де – кількість елементів першої та другої вибірок, які потрапили в i -ту групу. У випадку вірності статистика має розподіл близький до з ступенями свободи. Якщо , то заперечується. Рангові критерії. Критерій Уілкоксона/Манна–Уітні. Критерій використовується для зрівняння двох незалежних вибірок об’єму n1 та n2, та перевіряється : вибірки отримані з однієї генеральної сукупності та мають рівні середні та медіани. Алгоритм перевірки гіпотези. Статистика W критерію визначається наступним чином. Поставимо n1 + n2 значень об’єднаної вибірки в порядку зростання у вигляді варіаційного ряду. Кожному елементу ряду поставимо у відповідність його номер в ряду – ранг. Якщо декілька елементів ряду співпадають за величиною, то кожному з них дається ранг, рівний середньому арифметичному їх номерів. Останній елемент в ранжировці об’єднаної вибірки повинен мати ранг n1 + n2 . Нехай T1 – сума рангів першої вибірки, T2 – сума рангів другої вибірки. Обчислимо значення U1 та U2:
Перевірка U1 + U2= n1n2.
Критерій Краскела–Уолліса. Якщо кількість вибірок l > 2, то використовують критерій Краскела – Уолліса. Загальне число випробувань об’єднують та ранжирують. Статистика критерію Краскела – Уолліса: , де Ti – сума рангів і -тої вибірки. Критична область критерію – правобічна, тому гіпотеза заперечується, якщо , де – квантиль розподілу Краскела – Уолліса рівня γ. При величина H приблизно розподілена за законом з ступенями свободи; тоді Н0 про рівність законів розподілу приймається, якщо .
5.3 Індивідуальні завдання
Для критерію однорідності Пірсона першу вибірку взяти з попередньої роботи згідно свого варіанту, другу вибірку згенерувати в Excel з тими ж параметрами та об’ємом m = 150.
Вибірки для критеріїв однорідності Колмогорова – Смирнова та Уілкоксона / Манна – Уітні:
Вибірки для критерію Краскела – Уолліса:
6 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №6 Регресійний аналіз даних
6.1 Постановка завдання
1. Побудувати лінійне рівняння регресії Y на X для запропонованих даних. Знайти точкові та інтервальні оцінки параметрів рівняння. 2. Перевірити значимість регресії та оцінити адекватність моделі. 3. Побудувати точковий та інтервальний прогноз для останнього значення x в таблиці. 4. Побудувати графік, відобразивши лінію регресії, вибіркові та прогнозні значення.
6.2 Теоретичні відомості
Лінійний регресійний аналіз полягає у визначені параметрів емпіричної залежності у(х) = kх + b, яка описує зв’язок між деяким числом n пар значень xi та yi, забезпечивши при цьому найменшу середньоквадратичну похибку. Параметри k та b підбираються так, щоб мінімізувати суму квадратів відхилень теоретичних значень залежної змінної y від табличних значень, тобто мінімізувати функцію
де n - кількість табличних значень xi та yi. Мінімум функції z знаходимо, розв’язуючи систему лінійних рівнянь:
Розв’язком системи є вирази:
Перший спосіб. Занесемо табличні значення xi та yi в діапазон A2 : В21. Для значень k та b відведемо клітини D2 та E2, а в клітині F2 розмістимо функцію z. В клітині F2 набираємо формулу {= СУММКВРАЗН(В2: В21; E2 + D2* А2 :А21)}. В клітину С2 вводимо формулу {= $D$2 * А2 + $E$2} та копіюємо її в діапазон С3 :С21. Далі вибираємо команду Сервис / Поиск решения та заповнюємо діалогове вікно Поиск решения. Натискаємо кнопку Выполнить. В клітинах D2 : F2з’являється результат. Другий спосіб Параметри k та b можна також визначити за допомогою функції НАКЛОН (SLOPE) та ОТРЕЗОК (INTERCEPT). Функція НАКЛОН визначає коефіцієнт нахилу лінійного тренда. Синтаксис: НАКЛОН (відомі значення Y; відомі значення X) Функція ОТРЕЗОК визначає точку перетину лінії лінійного тренда з віссю ординат. Синтаксис: ОТРЕЗОК (відомі значення X; відомі значення Y). В клітинах D3 та Е3 знайдені значення k та b відповідно по формулам = НАКЛОН (В2:В21; А2:А21) = ОТРЕЗОК (В2:В21; А2:А21)
6.3 Індивідуальні завдання
1. Лінійна регресія
2. Нелінійна регресія
7 ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ЛАБОРАТОРНОЇРОБОТИ
8 ЛІТЕРАТУРА
8.1 Гарнаев А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах. - СПб.: БХВ - Санкт-Петербург, 1999. - 336 с. 8.2 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. Пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2005.- 479с. 8.3 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.- 400 с. 8.4 Гурский Е.И. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1984.- 223 с. 8.5 Зайцев Е.П. Теория вероятностей и математическая статистика. - Кременчуг: Изд-во Кременчуг, 2005. - 484 с. 8.6 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.Ч. 2, - М. Высшая школа, 1999.- 416 с. 8.7 Коноваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1973.- 368 с. 8.8 Сборник задач по математике для ВТУЗов. Специальные курсы. Под руководством А.Ф. Ефимова. - М.: Наука, 1984.- 608 с. 8.9 Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики (под ред.. Г.И. Кручковича). - М.: Высшая школа, 1973.- 511 с. КомментарииКомментариев пока нет Пожалуйста, авторизуйтесь, чтобы оставить комментарий. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||