Випадкові процеси

МОДУЛЬ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ВИПАДКОВИХ   

                        ПРОЦЕСІВ.

Тема 1. Ймовірнісне описання випадкових процесів.

1. Визначення випадкового процесу.

2. Поняття статистичного ансамблю.

3. Багатовимірна щільність розподілу. Основні властивості.

4. Умовна щільність розподілу, її властивість і зв’язок з багатовимірною безумовною щільністю розподілу.

5. Щільність розподілу квазидетермінованих випадкових процесів.

   Тема 2. Статистичні характеристики випадкових процесів.

1. Характеристична функція випадкового процесу і її властивість.

2. Моментні і кумулятивні функції, їх взаємозв’язок.

3. Кореляційна і коваріаційна функції випадкового прцесу. Коефіцієнт кореляції.

4. Твірна функція.

   Тема 3. Гаусовські випадкові процеси.

          3.1.   Багатовимірна характеристична функція і щільність розподілу

                   ймовірності гаусовського процесу.

          3.2.   Коваріційна матриця гаусовського випадкового процесу.

          3.3.   Основні властивості гаусовських випадкових процесів.

    

   Тема 4. Властивості випадкових процесів. 

          4.1. Неперервність, диференційованість і інтегрованість випадко-

                 вого процесу.

          4.2. Збіжність  випадкового процесу за середнє квадратичним.

                 Неперервність випадкового процесу за середнє квадратичним.

          4.3. Неперервність випадкового процесу за ймовірністю і з

                 ймовірністю одиниця.

          4.4. Ергодичність випадкових процесів. Необхідні і достатні умови

                 ергодичності по відношенню до середнього значення,

                 кореляційної функції і одномірної щільності розподілу.

   Тема 5. Спектрально – кореляційний аналіз випадкових процесів.

           5.1. Властивості кореляційних функцій стаціонарних і нестаціо-

                  нарних випадкових процесів.

           5.2. Середнє значення і кореляційна функція похідної і інтеграль-

                  ного перетворення від випадкового процесу.

           5.3. Спектральне розкладання випадкового процесу.

                  5.3.1. Спектральна функція і спектральна щільність розподілу.

                  5.3.2. Випадковий процес з скінченною енергією.

                  5.3.3. Спектральна щільність енергії, функція кореляції

                            першого роду і її властивість.

                  5.3.4. Випадковий процес з скінченною потужністю.

                  5.3.5. Спектральна щільність потужності.

                  5.3.6. Співвідношення між спектральною щільністю

                             потужності і кореляційною функцією для стаціонарних

                             випадкових процесів.

                 5.3.7. Спектральна щільність нестаціонарних випадкових

                           процесів. 

                 5.3.8. Функція кореляції другого роду. Ширина спектру

                           випадкового процесу і її взаємозв’язок з часом кореляції.

                 5.3.9. Випадковий процес типу «білий шум».

    

   МОДУЛЬ 2. МАРКОВСЬКІ ПРОЦЕСИ   

   Тема 1. Дискретний ланцюг Маркова.

1. Перехідні ймовірності. Рівняння Колмогорова-Чепмена.

2. Однорідність ланцюга Маркова. Використання твірної функції для дослідження ланцюгу Маркова.

3. Класифікація станів ланцюгу Маркова. Класифікація станів за арифметичними властивостями ймовірностей переходу.

4. Блочна структура матриці переходу ймовірностей у випадку розкладання ланцюгу Маркова. Нерозкладання періодичного ланцюгу Маркова.

5. Асимптотична поведінка ланцюгу Маркова. Класифікація ланцюгу Маркова за асимптотичними властивостями перехідних ймовірностей.

6. Ергодичність ланцюгу Маркова. Граничний розподіл.

7. Стаціонарні ланцюги Маркова.

   Тема 2. Випадкові блуждання.

1.     Задача про банкрутство. Очікуваність тривалості гри.

1. Оптимальна стратегія в ланцюгу Маркова.

2. Правила прийняття рішень.

   Тема 3. Неперервні марківські процеси.

                             3.1. Приклади неперервних марковських процесів.

                             3.2. Узагальнене рівняння Маркова.

                             3.3. Обернене рівняння Колмогорова.

                             3.4. Рівняння Колмогорова-Фоккера-Планка.

                             3.5. Точкові випадкові процеси.

                             3.6. Пуасонівський випадковий процес.

                             3.7. Процеси загибелі і розмноження.

    

   МОДУЛЬ 3. СТОХАСТИЧНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ.

   Тема 1. Задачі, які приводять до стохастичних диференціальних

        рівнянь.

1.   Стохастичні аналоги класичних диференціальних рівнянь.

2.   Задачі фільтрації.

3.   Стохастичний підхід до детермінованим краєвим задачам.

4.   Оптимальна зупинка.

5.   Стохастичне керування.

   Тема 2. Інтеграли Іто і Стратоновича.

                           2.1. Побудова інтералів Іто і Стратоновича.

                           2.2. Властивості інтегралів Іто.

                           2.3. Узагальнення інтегралу Іто.

                           2.4. Взвємозв’язок між інтегралами Іто і Стратоновича.

   Тема 3. Формула Іто і теорема про представлення мартингала.

                           3.1. Формула Іто для одновимірного випадку.

                           3.2. Теорема про представлення мартингалу.

                           3.3. Деякі методи розв’язування стохастичних диференціальних

                                  рівнянь. Приклади.

                           3.4. Існування і єдність розв’язку.

                           3.5. Слабі і сильні розв’язки.