ЕКОНОМЕТРИКА 14.06.2015 10:43
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
ІНСТИТУТ МІЖНАРОДНИХ ВІДНОСИН
кафедра світового господарства
та міжнародних економічних відносин
Укладач: кандидат фізико-математичних наук,
доцент Грисенко М. В.
ЕКОНОМЕТРИКА
МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ
для студентів відділення післядипломної освіти
напряму підготовки 0302 Міжнародні відносини
спеціальності 7.03020301 – міжнародний бізнес
Затверджено на засіданні кафедри:
протокол №1 від " " 2014 р.
Завідувач кафедри
_________________ О.І. Шнирков
Директор Інституту
__________________ В.В. Копійка
КИЇВ – 2014
МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ
з дисципліни
ЕКОНОМЕТРИКА
Укладач: канд. фіз.-мат. наук, доцент Грисенко М. В.
Лектор: канд. фіз.-мат. наук, доцент Грисенко М. В.
Викладач: канд. фіз.-мат. наук, доцент Грисенко М. В.
Погоджено
з науково-методичною комісією
«____» ______________ 2014 р.
________ проф. О.А. Коппель
(підпис голови НМК Інституту)
МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
1. Методика вивчення дисципліни. Програма дисципліни «Економетрика» визначає той рівень знань умінь та навичок, якими повинні оволодіти студенти спеціальності «міжнародний бізнес».
Робота студента над учбовим матеріалом дисципліни включає в себе вивчення теоретичного матеріалу за підручником, виконання тестів, самостійне виконання контрольної роботи, відвідування лекцій та участь у семінарських заняттях, захист контрольної роботи, складання письмово заліку.
2. Вивчення теоретичного дисципліни. Вивчення теорії потребує поступового оволодіння матеріалом дисципліни, конспектуючи та виконуючи на чернетці всі обчислення та перетворення. Рекомендується після вивчення теоретичного матеріалу кожного розділу виписати в робочий зошит основні означення, формули і теореми.
3. Виконання тестів. Після вивчення теоретичного матеріалу слід відповісти на контрольні запитання для повторення, які можна знайти в після кожного розділу та виконати тести.
4. Контрольна робота. Для успішного складання іспиту за учбовим планом студент повинен виконати контрольну роботу. Завдання для контрольної роботи розраховані для впровадження кредитно-модульної системи дисципліни «Економетрика» для студентів відділення «міжнародний бізнес» Інституту міжнародних відносин.
Розподіл варіантів завдань контрольної здійснює викладач. Студент виконує завдання контрольної роботи даного варіанту і здає на перевірку викладачу реєструючи роботу в деканаті. При виконанні та оформленні контрольної роботи потрібно дотримуватись наступних правил:
на титульній сторінці контрольної роботи повинні бути прізвище, ім’я та по-батькові студента, номер варіанта (див. оформлення титульної сторінки);
контрольна робота виконується на аркушах А4;
розв’язки слід розміщувати у порядку номерів, що вказані в завданнях; умову задачі потрібно записувати повністю;
розв’язки задач та пояснення до них слід вказувати детально, акуратно без скорочень слів, супроводжувати, за необхідністю, посиланнями на теоретичні відомості.
Контрольні роботи, які виконані неохайно, без проміжних обчислень або які не відповідають правилам, що наведені вище, повертаються студентам для переробки. Також не зараховуються і повертаються контрольні роботи, в яких студент виконав не свій варіант.
Перевірена робота дозволяє студенту зробити висновок про оволодіння ним відповідного розділу, вказує на недоліки у роботі, допомагає сформулювати запитання для консультації з викладачем.
Завдання контрольної роботи студент повинен виконувати самостійно. У випадку несамостійного виконання роботи студент не матиме необхідних знань і буде непідготовленим до складання заліку.
Якщо викладач пропонує переробити в роботі ту або іншу задачу, або дати більш детальний розв’язок, то це слід виконати в короткий термін, і знову надіслати роботу на повторну перевірку. Без зарахованої контрольної роботи студент не допускається до складання заліку. Після перевірки викладач оцінює кожну роботу та заносить відповідну кількість балів у відомість обліку успішності студентів в КМСОНП.
5. Лекції та семінарські заняття. Лекції та семінарські заняття проводяться для студентів протягом настановчої сесії, однак і вони мають за мету тільки допомогти студенту в його самостійній роботі, яка є основною формою навчання.
6. Консультації. Перед складанням заліку проводяться консультації за участю викладача, з метою одержання від нього методичних вказівок.
7. Залік. Після вивчення дисципліни студенти складають залік в письмовій формі. Для складання заліку студентам необхідно знати означення, основні формули, математико-економічні моделі в межах матеріалів дисципліни, вміти розв’язувати відповідні задачі та застосовувати математичні методи в економічних дослідженнях. В процесі підготовки рекомендується повторити матеріал за підручником або навчальним посібником, конспектом лекцій.
Завдання на залік сформовані у вигляді відкритих та закритих тестів.
Результати студентів оцінюються за 100 бальною шкалою: іспит - 50 балів, форми поточного контролю: виконання модульних тестових завдань – 30 балів, контрольної роботи – 20 балів.
Шкала відповідності
За 100-бальною шкалою Оцінка за національною шкалою
90 – 100 5 зараховано
85 – 89 4
75 – 84
65 – 74 3
60 – 64
35 – 59 2 не зараховано
МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ВИКОНАННЯ
ЗАВДАННЬ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ
Завдання 1. Парна лінійна регресія
Об'єктами дослідження стохастичної залежності соціально-економічних процесів можуть бути різні статистичні по¬казники. Статистичний показник - це узагальнена характеристика певної властивості сукупності, групи. До статисти¬чних показників в економіці можна віднести: обсяг реалізованої продукції, собівартість продукції, прибуток підприємс¬тва, галузі та ін. На макроекономічному рівні показниками можуть виступати: валовий внутрішній продукт, суспільний продукт та інше.
Зв'язок між різними явищами в економіці складний і різноманітний. На рівень розвитку одного показника можуть впливати багато факторів, рівень впливу яких різний. Ці закономірності потрібно враховувати під час планування, про¬гнозування і проведення економічного аналізу. Для вивчення форми зв'язку між показником і факторами на основі статистичних даних використовується регресійний аналіз.
Серед парної регресії найбільш поширеною, вивченою й простою в практиці моделювання є парна лінійна регресія.
Парною лінійною регресією Y на X називається одностороння стохастична лінійна залежність між випадковими ве¬личинами показника Y і фактора X, які знаходяться в причинно-наслідкових відношеннях, причому зміна фактора викликає зміну показника. Слід відрізняти стохастичну залежність від функціональної. При стохастичній залежності одному значенню фактора може відповідати декілька значень показника. При функціональній залежності одному значенню аргументу відповідає лише одне значення функції. Між аргументом і функцією існує взаємно-однозначна відповідність.
Розглянемо модель лінійної регресії. Припустимо, що маємо результати n пар незалежних спостережень, зобра¬жених у вигляді множини точок у декартовій системі координат. Припустимо гіпотезу, що між показником Y і факто¬ром X існує стохастична лінійна залежність. Суть задачі по¬лягає в тому, щоб у декартовій системі координат знайти згладжувальну лінію, яка «найкращим» чином проходить че¬рез задану множину точок.
Найпоширенішим методом при розв'язанні подібних за¬дач є метод найменших квадратів (МНК). Основоположни¬ками методу найменших квадратів є К. Гаусc і П. Лаплас.
МНК для парної лінійної регресії
Зв'язок між показником Y і фактором X з урахуванням можливих відхилень запишемо у вигляді , де і – невідомі параметри регресії, – випадкова змінна, що характеризує відхилення паралельно осі OY спосте¬режуваних точок від лінії регресії.
Таким чином, показник Y зображується у вигляді систе¬матичної складової і випадкової величини . Залеж¬ність , яка характеризує середнє значення показ¬ника Y для даного значення фактора X, називається регресі¬єю. Можемо сказати інакше. Регресія характеризує тенден¬цію зміни показника, зумовлену впливом зміни фактора. Залежність характеризує індивідуальне значен¬ня показника Y з урахуванням можливих відхилень від сере¬дніх значень.
Оскільки значення показника є випадковою величиною, то для параметрів і обчислюються їх статистичні оцінки і . Розглянемо різницю і , : , де – фактичні, a – розрахункові значення показника, – відхилення спостережуваної точки від точки зглажувальної кривої. МНК для парної лінійної рег¬ресії полягає в підборі таких оцінок параметрів регресії і , для яких сума квадратів відхилень спостережуваних значень показника від згладжувальних буде мінімальною. Сума квад¬ратів відхилень має вигляд
.
Оцінки параметрів і лінії регресії мають бути підібрані методом найменших квадратів так, щоб функція двох змінних набувала мінімального значення, тобто .
Необхідною умовою існування мінімуму функції є рівність нулю частинних похідних цієї функції по і :
Розкриємо дужки і дістанемо нормальну систему рівнянь:
Нормальна система рівнянь має єдиний розв’язок:
, .
Таким чином отримали єдину критичну точку.
Перевіривши достатні умови, можна переконатись, що ця критична точка є точкою мінімуму функції . Звідси випливає, що оцінки параметрів і є такими оцінками, для яких виконується умова
.
Вираження параметрів парної лінійної регресії через числові характеристики показника і фактора
Розглянемо розв'язок системи нормальних рівнянь. Па¬раметр визначається такою формулою:
.
Після ділення чисельника і знаменника на отримаємо
,
тобто параметр дорівнює відношенню кореляційного мо¬менту до дисперсії фактора, і це відношення дорівнює тан¬генсу кута між лінією регресії і віссю ОХ.
У формулі для параметра поділимо почленно вирази:
.
Звідси випливає, що лінія регресії проходить через точку, координати якої є середні значення показника Y і фактора X.
Використовуючи рівняння прямої із заданим кутовим коефіцієнтом, яка проходить через точку , запишемо парну лінійну регресію у вигляді:
.
У даному випадку парна лінійна регресія виражається через такі числові характеристики: середні значення показ¬ника і фактора, кореляційний момент і дисперсію фактора.
Інтервальні оцінки параметрів парної лінійної регресії
Середнє квадратичне відхилення параметра а обчислюється за формулою :
.
Якщо відхилення розподілені за нормальним законом , то надійний інтервал для параметра a визначають за формулою . В цій формулі , де – значення -критерію, який визна¬чається за заданим значенням рівня значущості і числом ступенів вільності .
Середнє квадратичне відхилення вільного члена обчислюється за формулою , де .
Надійний інтервал для параметра визначається за формулою , де .
Надійна зона регресії
Середнє квадратичне відхилення теоретичного середнього значення для заданого базисного значення обчислюється за формулою
.
Надійний інтервал для визначається за формулою
, де .
Сполучаючи неперервною лінією всі значення і, відповідно, , , дістанемо надійну зону для базисних даних показника. Зазначимо, що найменший надійний інтервал знаходиться в околі точки . Надійна зона показника збільшується при відхиленні від значення .
Прогноз і його довірчий інтервал
Прогнозом називається наукове передбачення ймовірнісних шляхів розвитку соціально-економічних явищ і процесів для більш-менш віддаленого майбутнього.
Періодом упередження називається проміжок часу від моменту, для якого є останні спостережувані дані про досліджуваний об'єкт, до моменту часу, до якого належить прогноз.
Прогнозування, яке будується на збереженні загальної тенденції розвитку явищ у часі, можна звести до добору адекватних аналітичних виразів типу за даними за минуле, та екстраполяції здобутих залежностей на майбутнє. Прогноз показника одержують підстановкою в здобуте регресійне рівняння значень фактора. Результатом є точкова оцінка середнього значення показника при заданих прогнозних рівнях факторів.
Середнє значення прогнозу показника для прогнозного значення фактора для парної лінійної регресії обчислюється за формулою .
Довірчий інтервал прогнозу. При визначенні дисперсії показника необхідно враховувати ще одну невизначеність – розсіяння навколо лінії регресії. Оскільки , то рівнянню відповідає дисперсія
.
Замінюючи його точковою оцінкою , запишемо межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозних значень , де
.
ПРИКЛАД
Відомі статистичні дані показника Y – товарооборот торговельних підприємств, фактора X – торговельної площі (блок В2:С11).
Припустимо, що між показником Y і фактором X існує лінійна залежність. Використовуючи можливість копіювання формул з відносними і абсолютними адресами знайти оцінки параметрів регресії . Перевірити правильність розрахунків оцінок параметрів регресії, використовуючи вбудовану статистичну функцію ЛИНЕЙН.
З надійністю = 0,95 , використовуючи -статистику, оцінити адекватність прийнятої стохастичної залежності спостережуваним даним. Знайти з надійністю = 0,95 надійні зони базисних даних, прогноз показника та його надійний інтервал. Побудувати графіки: статистичних даних, лінії регресії та її довірчої зони. Зробити висновки.
РОЗВ’ЯЗАННЯ:
Оцінки параметрів парної лінійної регресії розраховуємо двома методами.
Перший метод полягає у можливості MS Excel тиражувати формули з абсолютними і відносними адресами.
Для розрахунку оцінки параметра а в комірках D13 і Е13 знаходимо і . Для цього в комірки D2 і Е2 вводимо формули =В2*С2 і =В2*В2, і копіюємо їх в блок D3:E11. Використовуючи вбудовану математичну функцію СУММ, в комірці В1З знаходимо . Здобуту формулу копіюємо в комірки C13:G13. Для розрахунку параметра а знайдено всі необхідні суми. В комірку В15 вводимо формулу для оцінки параметра а.
Для знаходження параметра в комірках В18, В19 використовуючи вбудовану статистичну функцію СРЗНАЧ, знаходимо середні значення, відповідно, фактора і показника. В комірці В16 знаходимо оцінку параметра .
Другий метод оцінки параметрів полягає у використанні вбудованої статистичної функції ЛИНЕЙН:
1. Виділяємо блок D15:E19, де мають знаходитись розра¬хункові дані: число стовпців блока дорівнює числу оцінюваних параметрів, а висота дорівнює п'яти рядкам.
2. Відкриваємо діалогове вікно Мастер функций, вибираємо функцію ЛИНЕЙН у полі категорії Статистические і натискаємо на клавішу Ok для переходу в наступне діалогове вікно .
3. У другому діалоговому вікні вводимо: в перше поле адресу блока даних показника (С2:С11) ; у друге поле адресу блока даних факторів (B2:B11) ; в третє поле вводиться слово ИСТИНА (або 1), якщо не дорівнює нулю, і слово ЛОЖЬ (або 0), якщо дорівнює нулю; в четверте поле вводиться слово ИСТИНА (або 1), якщо необхідно знайти не лише параметри лінії регресії, а й додаткову регресійну статистику. Якщо необхідно знайти лише параметри лінії регресії, то вводимо слово ЛОЖЬ (або 0) .
4. Для того, щоб у блоці розрахункових даних було видно не лише значення першої комірки, натискаємо наприкінці комбінацію Ctrl+Shift+Enter (замість натискання кнопки Ok).
Опишемо розрахункові дані:
У першому рядку D15, Е15 справа наліво знаходяться оцінки параметрів лінійної регресії, відповідно, і .
У другому рядку D16, С16 справа наліво знаходяться середні квадратичні відхилення параметрів , .
У третьому рядку в комірці D17 знаходиться коефіцієнт детермінації, а в комірці Е17 – середнє квадратичне відхилення показника відносно лінії регресії.
У четвертому рядку в комірці D18 знаходиться розрахункове значення -статистики, в комірці Е18 знаходиться – число ступенів вільності.
У п'ятому рядку в комірці D19 знаходиться сума квадратів відхилень розрахункових значень показника від його середнього значення, в комірці Е19 знаходиться сума квадратів відхилень.
D E
15 a b
16
17 r2 S
18 Fр K
19
Оцінки параметрів а і b парної лінійної регресії, розраховані різними способами, співпадають. Вони знахо¬дяться, відповідно, в комірках В15, В16 і D15, Е15 співпадають.
Прогноз
Розглянемо два методи знаходження розрахункових значень показника.
Перший метод полягає в складанні і тиражуванні формул з відносними і абсолютними адресами. В комірку F2 вводимо формулу =$D$15*B2+$E$15. Для введення цієї формули активізуємо комірку F2, ставимо знак =, активізуємо комірку В15, де знаходиться значення параметра а, і один раз натискаємо клавішу F4. Створена таким чином абсолютна адреса комірки $D$15 при тиражуванні по стовпцю залишатиметься без зміни. Аналогічним способом вводиться абсолютна адреса комірки $Е$15, де знаходиться оцінка параметра . Після копіювання одержаної формули у діапазон комірок F3:F11, дістанемо розрахункове і прогнозне значення показника. Для знаходження прогнозованого значення показника при значенні фактора виконуємо наступні дії: в комірку B12 вводимо 780, а в комірку F12 вводимо формулу =$D$15*B12+$E$15.
Другий метод знаходження розрахункових значень показника полягає у використанні вбудованої статистичної функції ТЕНДЕНЦИЯ. Ця функція використовується для знаходження точкової оцінки прогнозу показника. Опишемо порядок цієї функції. У відкритому діалоговому вікні Мастер функций - шаг 2 из 2 вказуємо: у першому полі вихідні дані показника; у другому полі – вихідні дані фактора або факторів; у третьому полі – значення фактора або факторів, для яких необхідно знайти прогнозне значення показника; в четвертому полі вводимо слово ИСТИНА або 1, якщо в регресії знаходиться вільний член, і слово ЛОЖЬ або 0, якщо в регресії не знаходиться вільний член.
У тому випадку, коли функція використовується для знаходження розрахункових значень показника, у першому і другому полі вказуються абсолютні адреси вихідних даних . Наприклад, при копіюванні формули по стовпчику, після того, як відмічені дані, натискаємо клавішу F4. Формула для знаходження розрахункового значення показника у комірці F12 буде мати вигляд =ТЕНДЕНЦИЯ(С$2:С$Н;В$2:В$11;В12;1).
Вважається, що при знаходженні всіх розрахункових значень показника, краще використовувати перший метод, а при знаходженні лише точкової оцінки прогнозу, слід користуватись статистичною функцією ТЕНДЕНЦИЯ.
Для визначення довірчого півінтервалу
,
використовуємо вбудовані статистичні функції СРЗНАЧ, ДИСПР, СТЬЮДРАСПРОБР. Тут , .
Критичне значення розподілу Стьюдента у комірці B20 знаходиться з використанням вбудованої статистичної функції СТЬЮДРАСПРОБР.
В діалоговому вікні у першому полі вказуємо рівень значущості ( – надійний рівень), у другому полі вводимо число ступенів вільності ( – число спостережень).
При обчисленні дисперсії у діалоговому вікні Мастер функций – шаг 2 из 2 – розрахунок дисперсії вказується діапазон комірок, в яких знаходяться значення величини, для якої необхідно знайти дисперсію =ДИСПР(В2:В11), комірка В21.
Використовуючи вбудовану математичну функцію КОРЕНЬ, в комірку Н2 вводимо формулу довірчого інтервалу і копіюємо її в решту комірок НЗ:Н12. В комірці Н12 коригуємо формулу згідно з формулою довірчого півінтервалу прогнозу.
У блоці І2:J2 знаходяться значення нижньої і верхньої межі довірчої зони базисних даних і прогнозу показника.
На основі одержаних розрахунків будуємо графіки.
Перевірка адекватності моделі
Для з'ясування наявності лінійної стохастичної залежності між показником і фактором можна використовувати коефіцієнт кореляції. Коефіцієнт кореляції є однією з найбільш розповсюджених характеристик зв'язку між випадковими змінними.
Коефіцієнт кореляції – безрозмірна статистична харак¬теристика, яка описує ступінь щільності лінійної залежності між випадковими величинами X, Y і змінюється в межах від –1 до 1, причому, якщо , то з деякою надійністю можна вважати, що між випадковими величинами (показ-ником і фактором) існує пряма залежність, тобто зміна фактора в одному напрямку (збільшення, зменшення) викликає зміну показника в тому ж напрямку. Якщо , то з деякою надійністю можна вважати, що між випадковими величинами існує обернена залежність – зміна фактора в одному напрямку (збільшення, зменшення) викликає зміну показника протилежному напрямку (зменшення, збільшення).
Коефіцієнт кореляції можна знаходити за формулою
,
де – кореляційний момент; – середнє квадратичне відхилення випадкової величини X (фактора), – середнє квадратичне відхилення випадкової величини Y (показника).
Кореляційний момент – статистична характеристика, яка описує не лише щільність зв'язку між випадковими величинами X і Y , а й їх розсіяння, і має розмірність добутку розмірностей цих випадкових величин
.
Враховуючи формулу для кореляційного моменту і середніх квадратичних відхилень, формулу для коефіцієнта кореляції можна записати у вигляді
.
Коефіцієнт кореляції не залежить від вибору початку відліку і одиниць виміру.
Вибірковий коефіцієнт кореляції, здобутий за вибірковими даними, є точковою оцінкою коефіцієнта кореляції, і в свою чергу, є випадковою величиною, яка залежить від вибірки. Тому доцільно робити перевірку гіпотези про відсутність кореляційного зв'язку між випадковими величинами Х та Y .
Перевіряється нульова гіпотеза і альтер¬нативна гіпотеза . Якщо випадкові величини X і Y розподілені за нормальним законом, то обчислюється t-статистика за формулою
.
Ця величина має розподіл Стьюдента з ступенями вільності. Для заданої надійності і ступенів вільності k знаходиться табличне значення -статистики. Якщо , то із заданою надійністю приймається гіпотеза , про наявність кореляційного зв'язку між випадковими величинами X та Y (фактором і показником). Тобто, в цьому випадку, можна говорити про наявність лінійного зв'язку між показником і фактором , де і є оцінками параметрів парної лінійної регресії.
Якщо , то приймається гіпотеза . В цьому випадку можна говорити, що з надійністю кореляційний зв'язок між випадковими величинами X, Y відсутній.
Оцінка адекватності нелінійної парної регресії за критерієм Фішера.
Для оцінки адекватності парної нелінійної регресії спостережуваним даним можна використовувати критерій Фішера. Розрахункове значення Фішера знаходиться за формулою
,
де п - число дослідів, – число включених у регресію факто¬рів , які чинять суттєвий вплив на показник (в нашому прикладі фактор один).
Для даного рівня надійності ( – рівень значу¬щості) і числа ступенів вільності , знаходи¬ться табличне значення . Отримане розрахункове значення порівнюється з табличним.
При цьому, якщо надійністю можна вважати, що розглянута математична модель адекват¬на експериментальним даним, у протилежному випадку з надійністю розглянуту парну регресію не можна вважати адекватною.
Значення підраховуємо у комірці H18 використовуючи вбудовану функцію FРАСПОБР(0,05;1;9). Порівнюючи значення у комірках D18 та H18 , робимо висновок про адекватність моделі.
A B C D E F G H I J
1 № Торгова площа
(кв. м) Х Товаро
оборот
(тис. грн.) Y XY X^2 Y розрахун
кове Відхи
лення Dy Ymin Ymax
2 1 268,40 560,50 150 438,20 72 038,56 549,79 10,71 31,54 518,25 581,34
3 2 317,90 630,50 200 435,95 101 060,41 646,19 - 15,69 26,93 619,27 673,12
4 3 369,50 754,90 278 935,55 136 530,25 746,68 8,22 22,63 724,05 769,31
5 4 423,50 839,10 355 358,85 179 352,25 851,84 - 12,74 19,09 832,76 870,93
6 5 478,30 967,50 462 755,25 228 770,89 958,56 8,94 17,11 941,45 975,67
7 6 531,60 1 075,30 571 629,48 282 598,56 1 062,36 12,94 17,29 1 045,08 1 079,65
8 7 583,20 1 121,30 653 942,16 340 122,24 1 162,85 - 41,55 19,39 1 143,46 1 182,24
9 8 630,50 1 278,90 806 346,45 397 530,25 1 254,96 23,94 22,54 1 232,42 1 277,50
10 9 676,20 1 370,60 926 799,72 457 246,44 1 343,96 26,64 26,30 1 317,66 1 370,26
11 10 726,90 1 421,30 1 033142,97 528 383,61 1 442,70 - 21,40 30,98 1 411,72 1 473,67
12 780,00 608 400,00 1 546,11 64,61 1 481,50 1 610,71
13 sum 5 006,00 10 019,90 5 439784,58 2723 633,46 1 546,11
14 a b
15 a= 1,947 1,947447101 27,09798112
16 b= 27,098 0,049724925 25,9506635
17 0,99481143 23,19708304
18 Xсер= 500,600 1533,850625 8 Fa= 5,117
19 Yсер= 1 001,990 825372,1717 4304,837293
20 tak 2,306
21 D[X]= 21762,986
22
23 Ккор= 0,997
24 t= 39,164
A B C D E
1 № Торгова площа
(кв. м) Х Товарооборот
(тис. грн.) Y XY X^2
2 1 268,4 560,5 =B2*C2 =B2*B2
3 2 317,9 630,5 =B3*C3 =B3*B3
4 3 369,5 754,9 =B4*C4 =B4*B4
5 4 423,5 839,1 =B5*C5 =B5*B5
6 5 478,3 967,5 =B6*C6 =B6*B6
7 6 531,6 1075,3 =B7*C7 =B7*B7
8 7 583,2 1121,3 =B8*C8 =B8*B8
9 8 630,5 1278,9 =B9*C9 =B9*B9
10 9 676,2 1370,6 =B10*C10 =B10*B10
11 10 726,9 1421,3 =B11*C11 =B11*B11
12 780 =B12*B12
13 sum =СУММ(B2:B11) =СУММ(C2:C11) =СУММ(D2:D11) =СУММ(E2:E11)
14 a b
15 a= =(10*D13-B13*C13)/
(10*E13-B13*B13) =ЛИНЕЙН(C2:C11;B2:B11;1;1) =ЛИНЕЙН(C2:C11;B2:B11;1;1)
16 b= =B19-B15*B18 =ЛИНЕЙН(C2:C11;B2:B11;1;1) =ЛИНЕЙН(C2:C11;B2:B11;1;1)
17 =ЛИНЕЙН(C2:C11;B2:B11;1;1) =ЛИНЕЙН(C2:C11;B2:B11;1;1)
18 Xсер= =СРЗНАЧ(B2:B11) =ЛИНЕЙН(C2:C11;B2:B11;1;1) =ЛИНЕЙН(C2:C11;B2:B11;1;1)
19 Yсер= =СРЗНАЧ(C2:C11) =ЛИНЕЙН(C2:C11;B2:B11;1;1) =ЛИНЕЙН(C2:C11;B2:B11;1;1)
20 tak= =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8)
21 D[X]= =ДИСПР(B2:B11)
22
23 Ккор= =КОРРЕЛ(B2:B11;C2:C11)
24 t= =B23*КОРЕНЬ
(8/(1-B23*B23))
F
G H I J
1 Y розрахункове Відхилення Dy Ymin Ymax
2 =B$15*B2+$E$15 =C2-F2 =$B$20*$E$17*КОРЕНЬ((1/10)*
(1+(B2-$B$18)^2/$B$21)) =F2-H2 =F2+H2
3 =B$15*B3+$E$15 =C3-F3 =$B$20*$E$17*КОРЕНЬ((1/10)*
(1+(B3-$B$18)^2/$B$21)) =F3-H3 =F3+H3
4 =B$15*B4+$E$15 =C4-F4 =$B$20*$E$17*КОРЕНЬ((1/10)*
(1+(B4-$B$18)^2/$B$21)) =F4-H4 =F4+H4
5 =B$15*B5+$E$15 =C5-F5 =$B$20*$E$17*КОРЕНЬ((1/10)*
(1+(B5-$B$18)^2/$B$21)) =F5-H5 =F5+H5
6 =B$15*B6+$E$15 =C6-F6 =$B$20*$E$17*КОРЕНЬ((1/10)*
(1+(B6-$B$18)^2/$B$21)) =F6-H6 =F6+H6
7 =B$15*B7+$E$15 =C7-F7 =$B$20*$E$17*КОРЕНЬ((1/10)*
(1+(B7-$B$18)^2/$B$21)) =F7-H7 =F7+H7
8 =B$15*B8+$E$15 =C8-F8 =$B$20*$E$17*КОРЕНЬ((1/10)*
(1+(B8-$B$18)^2/$B$21)) =F8-H8 =F8+H8
9 =B$15*B9+$E$15 =C9-F9 =$B$20*$E$17*КОРЕНЬ((1/10)*
(1+(B9-$B$18)^2/$B$21)) =F9-H9 =F9+H9
10 =B$15*B10+$E$15 =C10-F10 =$B$20*$E$17*КОРЕНЬ((1/10)*
(1+(B10-$B$18)^2/$B$21)) =F10-H10 =F10+H10
11 =B$15*B11+$E$15 =C11-F11 =$B$20*$E$17*КОРЕНЬ((1/10)*
(1+(B11-$B$18)^2/$B$21)) =F11-H11 =F11+H11
12 =B$15*B12+$E$15 =$B$20*$E$17*КОРЕНЬ((1/10)*
(1+10+(B12-$B$18)^2/$B$21)) =F12-H12 =F12+H12
13 =ТЕНДЕНЦИЯ(C2:C11;B2:B11;B12;1)
14
15
16
17
18 Fa= =FРАСПОБР(0,05;1;9)
Завдання 2. Нелінійна парна регресія
Найбільш популярною моделлю в економіці є лінійна регресія. Проте далеко не всі економічні процеси можна моделювати за її допомогою. Тому на практиці використовуються складніші мо¬делі з нелінійною залежністю між показником і фактором . За методикою оцінок параметрів розглядають парні нелінійні регресії двох видів: 1) нелінійні за факторами, але лі¬нійні за невідомими параметрами, які підлягають оцінці; 2) нелінійні за факторами і параметрами. Регресії, нелінійні за факторами, але лінійні за оцінюваними параметрами, на¬зиваються квазілінійними.
Розглянемо загальний випадок квазілінійних парних регресій. Нехай нам відомий статистичний ряд
X x1 x2 ... xn
Y y1 y2 ... yn
Парну квазілінійну регресію можна записати в загаль¬ному вигляді: . Заміною величин , нелінійна парна регресія зводиться до лінійної парної регресії: . Формули для оцінок параметрів (згідно до нормальної системи рівнянь для парної лінійної регресії) набувають вигляду
, .
Коефіцієнт еластичності
В економічних задачах для оцінки впливу на показник будь-якого фактора часто використовують коефіцієнт елас¬тичності. Якщо відомо статистичний ряд з базисними даними показника і фактора, то коефіцієнт еластичності для значення фактора знаходять за формулою ,
де , .
Якщо між фактором і показником знайдена стохастична залежність, то коефіцієнт еластичності для значення факто¬ра аналогічно можна знайти за формулою .
Якщо зробити граничний перехід при , то одер¬жимо формулу для точкової оцінки коефіцієнта елас¬тичності:
.
Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на один відсо¬ток.
Для парної лінійної регресії коефіцієнт елас¬тичності знаходиться за формулою .
Для парної квазілінійної регресії коефіцієнт еластичності знаходиться за формулою .
Розглянемо ряд парних квазілінійних регресій.
1) Регресія заміною змінної величини зводиться до лінійної регресії . Фор¬мули для оцінки параметрів будуть мати вигляд: , , де , .
Коефіцієнт еластичності обчислюється за формулою .
2) Регресія заміною змінної величини зводиться до лінійної регресії . Форму¬ли для оцінки параметрів набудуть вигляду:
, .
Коефіцієнт еластичності обчислюється за формулою .
3) Регресія заміною змінної величини зводиться до лінійної регресії . Формули для оцінки параметрів набудуть вигляду:
, .
Коефіцієнт еластичності для такої парної нелінійної рег¬ресії обчислюється за формулою .
4) Регресія заміною змінної величини зводиться до лінійної регресії . Оцінки параметрів обчислюється за формулами
, .
Коефіцієнт еластичності обчислюється за формулою
.
5) Розглянемо квазілінійну регресію виду . Заміною квазілінійна парна регресія зводиться до лінійної парної регресії . Параметри такої квазілінійної регресії оцінюються за формулою
, .
Коефіцієнт еластичності обчислюється за формулою .
6) Аналогічним чином знаходяться параметри регресії
7) Розглянемо регресію, нелінійну за показником .
Заміною величини зводимо регресію до лінійної регресії . Оцінки параметрів і знаходяться за формулами:
, .
Коефіцієнт еластичності обчислюється за формулою .
8) Аналогічно до лінійної зводиться регресія виду .
Розглянемо деякі нелінійні за параметрами парні регре¬сії.
9) . Логарифмуванням регресії зліва і справа та послідовною заміною величин і параметрів зводимо нелі¬нійну парну регресію до лінійної парної регресії: . Після заміни , , лінійна рег¬ресія набуває вигляду .
Для цієї регресії спочатку знаходяться оцінки параметрів і
, .
Потім знаходимо оцінки параметрів і : , , де , .
Коефіцієнт еластичності знаходиться за формулою .
Аналогічний підхід можна застосувати до таких регресій: , , .
10) Розглянемо показниково-степеневу парну регресію . Після логарифмування і заміни отримаємо , де , , . Параметри і оцінюються за формулами
, .
Потім знаходиться оцінка параметра .
Коефіцієнт еластичності знаходиться за формулою .
Так само можна діяти у випадку регресії .
Оцінка адекватності парної нелінійної регресії
Для оцінки адекватності парної нелінійної регресії спостережуваним даним можна використовувати критерій Фішера. Розрахункове значення статистики Фішера знаходиться за формулою
,
де п - число дослідів, – число включених у регресію факто¬рів , які чинять суттєвий вплив на показник (в нашому прикладі фактор один).
Для даного рівня надійності ( – рівень значу¬щості) і числа ступенів вільності , знаходи¬ться табличне значення . Отримане розрахункове значення порівнюється з табличним.
При цьому, якщо надійністю можна вважати, що розглянута математична модель адекват¬на експериментальним даним, у протилежному випадку з надійністю розглянуту парну регресію не можна вважати адекватною.
Довірча зона базисних даних парної квазілінійної регресії
Довірча зона базисних даних для парної квазілінійної регресії знаходиться за тими ж формулами, що і для лінійної, лише замість береться значення . Довірча зона отримується сполученням відповідно верхніх і нижніх меж довірчих інтервалів , .
Прогноз і його надійний інтервал для парної квазілінійної регресії
Якщо встановлено, що із заданою надійною ймовірністю математична модель адекватна спостережуваним даним і соціально-економічні умови на період прогнозування змінюються за закономірностями, що мають місце і в базис¬ному періоді, то точкова оцінка прогнозу знаходиться за формулою , де . Радіус для надійного інтервалу знаходиться за формулою
.
Довірчі інтервали показникової регресії
У тих випадках, коли нелінійна регресія перетворюється в лінійну шляхом логарифмування і заміни величин, довірча зона спочатку знаходиться для лінійної регресії, потім, ви¬користовуючи зворотні перетворення для меж надійних інтервалів лінійної регресії, знаходяться межі надійних інтервалів нелінійної регресії. Для прикладу розглянемо по¬казникову регресію . Для зведення цієї регресії до лінійної вона логарифмується і проводиться заміна ве¬личин. За вище наведеними формулами зна¬ходяться межі надійних інтервалів базисних даних лінійної регресії, а потім шляхом зворотних перетворень (потенціювання) меж довірчих інтервалів лінійної регресії знаходяться межі надійних інтервалів показникової регресії , . Аналогічним чином знаходяться межі довірчого інтервалу для прогнозного значення показника : .
Очевидно, що при такому переході надійні інтервали нелінійних регресій будуть несиметричними відносно лінії регресії.
ПРИКЛАД
На основі статистичних даних показника і фактора (блок А2:В15) знайти оцінки параметрів лінії регресії, якщо припустити, що стохастична залежність між фактором і показником має вигляд: . Використовуючи критерій Фішера з надійністю оцінити адекватність прийнятої моделі статистичним даним. Якщо із заданою надійністю прийнята математична модель адекватна експериментальним даним, то знайти:
– з надійністю довірчу зону базисних даних;
– точкову оцінку прогнозу;
– з надійністю інтервальну оцінку прогнозу;
– коефіцієнти еластичності для базисних значень та прогнозу;
Побудувати графіки: фактичних даних, лінії регресії та її довірчу зону.
РОЗВ’ЯЗАННЯ:
Вводиться гіпотеза, що між фактором і показником існує така стохастична залежність: . Заміною зводимо нелінійну парну регресію до парної лінійної . Оцінки параметрів і для цієї рег¬ресії визначаються за формулами
, , де .
Для оцінки параметра необхідно обчислити: , , , .
Блок вихідних даних формується з перших двох колонок. Для даного прикладу це буде блок (А3:В15). Роз¬рахунковий блок проміжних обчислень розташовується у наступних колонках. Для обчислення наведених сум вводи¬мо в третій рядок формули. Для обчислення у комірці С3 використовуємо вбудовану функцію КОРЕНЬ. (Для виклику вікна Мастер Функций можна використовувати комбінацію клавіш Shift+F3. Для введення координат аргументу функції КОРЕНЬ можна вказати на відповідну клітину (B3) мишою.)
Для визначення сум стовпців використовуємо вбудовану функцію СУММ (її можна вставити за допомогою піктограми Σ). У комірку В19 вводи¬ться формула для обчислення оцінки параметра . У комірці B20 обчислюється оцінка параметра . Середнє значення та обчислюється у комірках D18, D19 за допомогою вбудо¬ваної статистичної функції СРЗНАЧ. Для обчислення значень записуємо формулу у комірку F3 з аб-солютними посиланнями координат параметрів і та з відносним посиланням координат . Після цього копіюємо формулу чорним хрестиком у блок F4:F15. У комірці F17 знаходимо . Оскільки математичне сподівання відхилень фактичних даних від розрахункових дорівнює нулю, то при правильному виконанні розрахунків значення комірок А17 та F17 збігатимуться.
Для оцінки адекватності прийнятої економічної моделі експериментальним даним використовується критерій Фішера. Для визначення розрахункового значення Фішера, оцінки довірчої зони базисних даних, оцінки довірчого інтервалу та оцінки прогнозу складаємо блок проміжних обчислень G2:L16. Значення , , , обчислюються відповідно у блоках G3:G15, Н3:Н15, I3:I15, а їх суми у блоці G17:I17.
Значення обчислюється у комірці D20.
Значення , обчислюються в блоці J3:J15. Значення , обчислюються відповідно у блоках К3:К15, L3:L15.
Для обчислення перерахованих значень набираємо відповідні формули в блоці G3:L3 та копіюємо ці формули у решту відповідних комірок блоку. Використовуючи вбудовану функцію СУММ, знаходимо суму колонки G3:G15 у комірці G17, далі копіюємо цю функцію у комірки H17:I17. Для зручності обчислень та побудови графіка значення прогнозу та його довірчий інтервал обчислюємо у 16 рядку. Значення прогнозу показника заносимо у комірку В16, у комірці С16 обчислюється значення прогнозне, а у комірці F16 – прогнозне.
Оцінку довірчого напівінтервалу для прогнозу обчислюємо у комірці J16. Границі довірчого інтервалу знаходяться відповідно у комірках К16, L16.
Коефіцієнт еластичності для всіх значень обчислюється у колонці М3:М16. Маємо .
Розрахункове значення критерію Фішера обчислюється у комірці F19. Порівнявши це значення із значенням у комірці F20, з надійністю робимо висновок про адекватність моделі.
Для наочного уявлення розрахунків будуємо графіки в електронній таблиці. Будуються графіки статистичних даних, довірчої зони для базисних даних та прогнозу.
A B C D E F G H I J K L M N
1
2 Y X X1 Y*X1 X1^2 Yp (Y-Yp)^2 (Y-Yc)^2 (X1-X1c)^2 Dy Ymin Ymax K (Yp-Yc)^2
3 5,0 1 1,00 5,00 1,00 5,30 0,09 10,79 2,33 0,35 4,94 5,65 0,18 8,93
4 6,0 2 1,41 8,49 2,00 6,11 0,01 5,22 1,24 0,28 5,83 6,39 0,23 4,74
5 6,8 3 1,73 11,78 3,00 6,73 0,01 2,20 0,63 0,23 6,50 6,96 0,25 2,42
6 7,3 4 2,00 14,60 4,00 7,25 0,00 0,97 0,28 0,19 7,06 7,45 0,27 1,06
7 8,2 5 2,24 18,34 5,00 7,71 0,24 0,01 0,08 0,17 7,54 7,89 0,28 0,32
8 8,3 6 2,45 20,33 6,00 8,13 0,03 0,00 0,01 0,16 7,97 8,29 0,29 0,02
9 8,5 7 2,65 22,49 7,00 8,52 0,00 0,05 0,01 0,16 8,35 8,68 0,30 0,05
10 9,0 8 2,83 25,46 8,00 8,87 0,02 0,51 0,09 0,17 8,70 9,05 0,31 0,35
11 9,3 9 3,00 27,90 9,00 9,21 0,01 1,03 0,22 0,19 9,02 9,40 0,32 0,86
12 9,5 10 3,16 30,04 10,00 9,53 0,00 1,48 0,40 0,21 9,32 9,73 0,32 1,54
13 9,3 11 3,32 30,84 11,00 9,83 0,28 1,03 0,62 0,23 9,60 10,06 0,33 2,38
14 9,9 12 3,46 34,29 12,00 10,12 0,05 2,61 0,88 0,25 9,87 10,37 0,33 3,36
15 10,6 13 3,61 38,22 13,00 10,39 0,04 5,36 1,16 0,27 10,12 10,67 0,34 4,45
16 14 3,74 10,66 1,47 0,65 10,01 11,31 0,34
17 107,7 91,00 32,85 287,77 91,00 107,70 0,76 31,26 7,97 30,49
18 X1c= 2,53
19 a= 1,956 Yc= 8,28 Fроз= 438,664 tak= 2,201
20 b= 3,341 S= 0,264 Fa,k1,k2= 4,747
A B C D E F G
1
2 Y X X1 Y*X1 X1^2 Yp (Y-Yp)^2
3 5,0 1 =КОРЕНЬ(B3) =A3*C3 =C3^2 =$B$19*C3+$B$20 =(A3-F3)^2
4 6,0 2 =КОРЕНЬ(B4) =A4*C4 =C4^2 =$B$19*C4+$B$20 =(A4-F4)^2
5 6,8 3 =КОРЕНЬ(B5) =A5*C5 =C5^2 =$B$19*C5+$B$20 =(A5-F5)^2
6 7,3 4 =КОРЕНЬ(B6) =A6*C6 =C6^2 =$B$19*C6+$B$20 =(A6-F6)^2
7 8,2 5 =КОРЕНЬ(B7) =A7*C7 =C7^2 =$B$19*C7+$B$20 =(A7-F7)^2
8 8,3 6 =КОРЕНЬ(B8) =A8*C8 =C8^2 =$B$19*C8+$B$20 =(A8-F8)^2
9 8,5 7 =КОРЕНЬ(B9) =A9*C9 =C9^2 =$B$19*C9+$B$20 =(A9-F9)^2
10 9,0 8 =КОРЕНЬ(B10) =A10*C10 =C10^2 =$B$19*C10+$B$20 =(A10-F10)^2
11 9,3 9 =КОРЕНЬ(B11) =A11*C11 =C11^2 =$B$19*C11+$B$20 =(A11-F11)^2
12 9,5 10 =КОРЕНЬ(B12) =A12*C12 =C12^2 =$B$19*C12+$B$20 =(A12-F12)^2
13 9,3 11 =КОРЕНЬ(B13) =A13*C13 =C13^2 =$B$19*C13+$B$20 =(A13-F13)^2
14 9,9 12 =КОРЕНЬ(B14) =A14*C14 =C14^2 =$B$19*C14+$B$20 =(A14-F14)^2
15 10,6 13 =КОРЕНЬ(B15) =A15*C15 =C15^2 =$B$19*C15+$B$20 =(A15-F15)^2
16 14 =КОРЕНЬ(B16) =$B$19*C16+$B$20
17 =СУММ
(A3:A15) =СУММ
(B3:B15) =СУММ
(C3:C15) =СУММ
(D3:D15) =СУММ
(E3:E15) =СУММ(F3:F15) =СУММ
(G3:G15)
18 X1c= =СРЗНАЧ
(C3:C15)
19 a= =(13*D17-A17*C17)/
(13*E17-C17^2) Yc= =СРЗНАЧ
(A3:A15) Fроз= =(13-2)*(N17/G17) tak=
20 b= =D19-B19*D18 S= =КОРЕНЬ
(G17/(13-2)) Fa,k1,k2= =FРАСПОБР
(0,05;1;12)
H I J K L M N
1
2 (Y-Yc)^2 (X1-X1c)^2 Dy Ymin Ymax K (Yp-Yc)^2
3 =(A3-$D$19)^2 =(C3-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I3/$I$17) =F3-J3 =F3+J3 =$B$19*C3/(2*F3) =(F3-$D$19)^2
4 =(A4-$D$19)^2 =(C4-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I4/$I$17) =F4-J4 =F4+J4 =$B$19*C4/(2*F4) =(F4-$D$19)^2
5 =(A5-$D$19)^2 =(C5-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I5/$I$17) =F5-J5 =F5+J5 =$B$19*C5/(2*F5) =(F5-$D$19)^2
6 =(A6-$D$19)^2 =(C6-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I6/$I$17) =F6-J6 =F6+J6 =$B$19*C6/(2*F6) =(F6-$D$19)^2
7 =(A7-$D$19)^2 =(C7-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I7/$I$17) =F7-J7 =F7+J7 =$B$19*C7/(2*F7) =(F7-$D$19)^2
8 =(A8-$D$19)^2 =(C8-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I8/$I$17) =F8-J8 =F8+J8 =$B$19*C8/(2*F8) =(F8-$D$19)^2
9 =(A9-$D$19)^2 =(C9-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I9/$I$17) =F9-J9 =F9+J9 =$B$19*C9/(2*F9) =(F9-$D$19)^2
10 =(A10-$D$19)^2 =(C10-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I10/$I$17) =F10-J10 =F10+J10 =$B$19*C10/(2*F10) =(F10-$D$19)^2
11 =(A11-$D$19)^2 =(C11-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I11/$I$17) =F11-J11 =F11+J11 =$B$19*C11/(2*F11) =(F11-$D$19)^2
12 =(A12-$D$19)^2 =(C12-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I12/$I$17) =F12-J12 =F12+J12 =$B$19*C12/(2*F12) =(F12-$D$19)^2
13 =(A13-$D$19)^2 =(C13-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I13/$I$17) =F13-J13 =F13+J13 =$B$19*C13/(2*F13) =(F13-$D$19)^2
14 =(A14-$D$19)^2 =(C14-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I14/$I$17) =F14-J14 =F14+J14 =$B$19*C14/(2*F14) =(F14-$D$19)^2
15 =(A15-$D$19)^2 =(C15-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ(1/13+I15/$I$17) =F15-J15 =F15+J15 =$B$19*C15/(2*F15) =(F15-$D$19)^2
16 =(C16-$D$18)^2 =$H$19*$D$20*КОРЕНЬ
(1/13+1+I16/$I$17) =F16-J16 =F16+J16 =$B$19*C16/(2*F16)
17 =СУММ
(H3:H15) =СУММ(I3:I15) =СУММ
(N3:N15)
18
19 =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;13-2)
20
Завдання 3. Елементи кореляційного аналізу
Коваріаційна та кореляційна матриці
При визначенні взаємного впливу різних характеристик економічних процесів використовують статистичні підходи, які, як показала практика, достатньо ефективні. Статистич¬ний зв'язок між змінними можна вивчати методом кореля¬ційного аналізу.
Розглянемо суть кореляційного аналізу. Нехай є система випадкових величин. Для випад¬кового вектора із складовими вибірка обся¬гом п дає п рядків значень ознак .
Взаємозв'язок між окремими ознаками описується за до¬помогою коваріаційної або кореляційної матриці. Для т ознак можна скласти т математичних сподівань , ,
т дисперсій ,
коваріацій .
Коваріація разом з дисперсіями утворюють коваріаційну матрицю, яка складається з т рядків і т стовпців:
.
Коваріаційна матриця симетрична відносно головної діагоналі: . На головній діагоналі стоять дисперсії ознак.
Щоб дістати характеристику, яка описує лише залежність між ознаками без розкиду, коваріацію ділять на добуток середніх квадратичних відхилень (коренів з дисперсій), тобто . Безрозмірна величина називається коефіцієнтом кореляції ознак та . Вона характеризує ступінь лінійної залежності цих ознак, причому якщо , то випадкові величини та зв'язані додатною кореляцією (при зростанні однієї випадкової ве¬личини друга також має тенденцію до зростання); якщо , то випадкові величини зв'язані від'ємною коре¬ляцією (при зростанні однієї випадкової величини друга має тенденцію до спадання). Для будь-яких двох факторів та коефіцієнт кореляції має властивість: .
Матриця, складена з парних коефіцієнтів ко¬реляції, називається кореляційною матрицею.
Вибіркова кореляційна матриця має такі властивості: 1) вона симетрична відносно головної діагоналі; 2) елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці .
Поняття мультиколінеарності
При побудові структури регресії, з одного боку, потрібно включити в регресію всі фактори, які мають значний, суттєвий статистичний вплив на показник, а з іншого боку, потрібно, щоб була виконана умова лінійної незалежності між факторами. Якщо існує лінійна залежність хоча б між двома факторами, то говорять, що між цими факторами існує мультиколінеарність. Якщо між факторами Xi і Xj існує лі¬нійна залежність , то говорять, що між цими факто¬рами існує строга мультиколінеарність. Враховуючи, що Xi і Xj – випадкові величини, то, як правило, між ними існує приблизна лінійна залежність , де – відхилення. В таких випадках мультиколінеарність між факторами нестрога. Оскільки одним із основних припущень МНК є відсу¬тність лінійної залежності між факторами, то постає питан¬ня, як позбавитися від мультиколінеарності. Якщо в регресії присутнє явище мультиколінеарності, то не виконується умова , і при строгій мультиколінеарності неможливо отримати оцінки параметрів МНК. Якщо мультиколінеарність нестрога, то отримані оцінки параметрів мало надійні. В цьому випадку незначні зміни вибіркових даних призводять до значних змін оцінки параметрів. Очеви¬дно, що якщо близький до нуля, то в регресії присутнє явище мультиколінеарності. Взагалі при визначенні лінійної структури корисно будувати кореляційну матрицю, в яку включені фактори і показник. У регресію потрі¬бно в першу чергу включати фактори, які корелюють з пока¬зником і не корелюють між собою.
Існує багато методів дослідження мультиколінеарності. Основна частина цих методів полягає в дослідженні кореляційної матриці.
В економетричних задачах для дослідження наявності мультиколінеарності широко застосовується метод Фаррара-Глобера.
Метод Фаррара-Глобера
Для дослідження загальної мультиколінеарності і мультиколінеарності між окремими факторами використовується кореляційна матриця і обернена до неї матриця . Для дослідження загальної мультиколінеарності використовується критерій .
Для цього знаходиться визначник кореляційної матриці і знаходиться розрахункове значення , де – число спостережень, – число факторів.
За заданою довірчою ймовірністю і числом ступенів вільності знаходиться табличне значення . Порівнюються розрахункове і табличне значення. Якщо , то із заданою надійністю можна вважати, що загальна мультиколінеарність відсутня і на цьому закінчується дослідження мультиколінеарності. Якщо , то з прийнятою надійністю можна вважати, що між факторами існує мультиколінеарність. Для з'ясування питання, між якими факторами існує мультиколінеарність використовується або статистика. Для знаходження статистики між двома факторами спочатку знаходиться мат-риця, обернена до кореляційної матриці: . Після чого знаходяться частинні коефіцієнти кореляції , де – елементи матриці . Для цих частинних коефіцієнтів знаходиться статистика .
Для заданої довірчої ймовірності і ступенів вільності знаходиться критичне значення критерію Стьюдента . Якщо то з надійністю можна стверджувати, що між факторами і існує мультиколінеарність. Для усунення мультиколінеарності існує декілька способів. Найбільш простий з них полягає в тому, що якщо між двома факторами і існує мультиколінеарність, то один із факторів виключається з розгляду.
ПРИКЛАД
Економічний показник залежить від трьох факторів (вихідні дані – блок B3:D17), на основі статистичних даних за 15 спостережень побудувати кореляційну матрицю. Використо¬вуючи -критерій, з надійністю оцінити наявність загальної мультиколінеарності. Якщо існує загальна мультиколінеарність, то, використовуючи статистику з надійністю = 0,95 , виявити пари факторів, між якими існує мультиколінеарність. Якщо такі пари існують, то один із факторів цієї пари виключити із розгляду. Перевірити, що між факторами, що залишились, немає мультиколінеарності.
РОЗВ’ЯЗАННЯ:
Вихідні дані факторів розміщуємо в блоці B3:D17. Для знаходження кореляційної матриці нормуємо статистичні дані за формулою , де число спостережень, число факторів, номер фактора, номер спостереження, – середнє значення фактора , середньоквадратичне відхилення фактора : .
При нормалізації статистичних даних використовуємо вбудовані статистичні функції СРЗНАЧ (середнє значення) (блок B20:D21), СТАНДОТКЛОНП (зміщене середньоквадратичне відхилення), блок H27:I29, і вбудовану математичну функцію КОРЕНЬ (корінь квадратний). Нормовані статистичні дані формуємо у блоці F3:H17.
Для розрахунків елементів кореляційної матриці можна використовувати вбудовану статистичну функцію СУММПРОИЗВ. Елемент кореляційної матриці, який знахо¬диться в му рядку і му стовпці, знаходимо таким чином: СУММПРОИЗВ(стовпець нормованих статистичних да¬них го фактора, стовпець нормованих статистичних даних го фактора) .
Кореляційна матриця знаходиться у блоці A23:C25. Ко¬реляційну матрицю можна знайти, не нормалізуючи статис¬тичні дані, а використовуючи команду надбудову Анализ данных. Якщо ця надбудова встановлена в Excel, то слід в головному меню вибрати Данные , Анализ данных, Корреляция (коефіцієнт кореляції між двома однорідними мно-жинами даних).
Для знаходження статистики знаходимо визначник матриці в комірці Е24. Для обчислення визначника кореляційної матриці використовуємо вбудовану математичну функцію МОПРЕД (блок кореляційної матриці). Розрахункове значення розміщуємо в комірці Е25 і знаходимо його за формулою .
Для знаходження логарифма використовуємо вбудовану математичну функцію LN. Табличне значення для довірчої ймовірності = 0,95 (відповідний рівень значимості ) і числа ступенів свободи знаходимо у комірці Е26. Оскільки розрахункове значення більше критичного, то з надійністю = 0,95 можна вважати, що існує загальна мультиколінеарність. Використовуючи статистику, знайдемо пари факторів, між якими існує мультиколінеарність. Для цього знайдемо обернену матрицю (блок A27:C29) до кореляційної матриці. Для знаходження оберненої матриці використовуємо вбудовану матема¬тичну функцію МОБР (блок кореляційної матриці). Не забуваємо обвести блок, в якому буде розташовано результат (обернену матрицю) перед викликом функції. Після введення аргументу не натискаємо Ok, а натомість закінчуємо введення комбінацією клавіш Ctrl+Shift+Enter. статистику для кожної пари факторів розрахуємо за формулою , де , де – елементи матриці .
Значення та знаходяться в клітинах, відповідно, Е27:Е29 та G27:G29.
Для ступенів вільності та знаходимо критичне значення у комірці G26. Бачимо, що лише для пари факторів і виконується , тобто з надійністю = 0,95 між факторами і існує мультиколінеарність. Виключаємо із розгляду один із факторів, нехай це буде .
У блоці F24:G25 знаходимо кореляційну матрицю фак¬торів , . Робимо це іншим чином, ніж раніше, використовуючи вбудовану функцію Коррел. Обернена матриця знаходиться у блоці H24:I25 .
Аналогічно, здійснивши підрахунки в блоках A31:B33 та D31:E33, робимо висновок, що між факторами і немає мультиколінеарності.
Завдання 4. Множинна лінійна регресія
Бурхливий розвиток та широке застосування обчислю¬вальної техніки з використанням математичних моделей до¬зволяють швидко провести аналіз господарської діяльності та прийняти правильне рішення, яке дозволить оптимально розподіляти матеріальні, трудові та фінансові ресурси в еко-номіці та повніше уявити економічну ситуацію, що склалася на даний час. Зрозуміло, що всі процеси мають розглядатися у взаємозв'язку. Явище, яке залежить від багатьох факторів, можна опи¬сати за допомогою множинної регресії. Дослідивши взає¬мозв'язок процесів у минулому і діставши функціональний зв'язок між ними, можна з деякою вірогідністю планувати майбутнє.
Оцінки параметрів множинної лінійної регресії методом найменших квадратів
В моделі множинної лінійної регресії досліджується залежність між групою факторів і показником .
Це може бути зміна курсу долара до гривні залежно від часу, зміни доларового курсу російського рубля, рівня емісії, процентної ставки НБУ та інших факторів.
Іншим прикладом може бути зміна рівня злочинності в Україні залежно від зміни факторів: рівня безробіття, заробітної плати, рівня алкоголізму і наркоманії тощо.
Спочатку виявляються причинно-наслідкові відношення між показником та факторами. На основі спостережуваних даних дістається регресія. З'ясовується суттєвість впливу визначених факторів на показник. Перевіряється адекватність прийнятої форми залежності спостережуваним даним. Далі робиться аналіз, прогнозування зміни показника та інше.
Нехай в результаті спостережень за об'єктом протягом періодів (декад, місяців, кварталів, років і т.п.), або спостереження за один період над об'єктами, в яких показник у знаходиться в причинно-наслідковій залежності від факторів , , одержані такі дані:
X1 x11 x12 x13 x1n
X2 x21 x22 x23 x2n
...
Xm xm1 xm2 xm3 xmn
Y y1 y2 y3 yn
Множина значень називається - тим спостереженням (вимірюванням).
Множинною лінійною регресією на називається однобічна стохастична лінійна залежність між випадковими величинами показника і факторами , які знаходяться у причинно-наслідкових відношеннях, причому зміна факторів викликає зміну показника.
Якщо припустити, що між показником і факторами є стохастична лінійна залежність, то її можна записати у вигляді двох складових частин: – закономірності розвитку соціально-економічного процесу і – відхилення від закономірності розвитку, тобто .
Відносно відхилень в класичному регресійному аналізі робляться такі припущення:
1) для кожного спостереження – випадкова величина;
2) , , тобто математичне сподівання похибки дорівнює нулю для кожного спостереження;
3) , , тобто похибки мають однакову дисперсію;
4) та некорельовані при , тобто .
Оцінку вектора знайдемо методом найменших квадратів.
Дані з таблиці задовольняють наступним співвідношенням: , .
Сума квадратів відхилень для лінійної множинної регресії має вигляд
МНК полягає у визначенні таких оцінок параметрів регресії , при яких сума квадратів відхилень буде мінімальною. Згідно з необхідною умовою екстремуму функції багатьох змінних в точці екстремуму частинні похідні дорівню¬ють нулю:
,
,
. . .
.
Після перетворень одержимо нормальну систему рівнянь :
Якщо визначник матриці, елементами якої є коефіцієнти при невідомих , відмінний від нуля, то нормальна система рівнянь має єдиний розв'язок.
Нормальна система рівнянь в матричній формі
Позначимо вектор-стовпчик оцінюваних параметрів через ; вектор-стовпчик спостережуваних значень показника - ; – вектор-стовпчик відхилень фактичних даних від розрахункових; ¬– матрицю, складену з коефіцієнтів при , тобто зі спостережуваних значень факторів (можна вважати, що перший стовпчик відповідає значенням нульового, фіктивного фактора).
Тоді рівняння можна записати у матричній формі: .
Система нормальних рівнянь у матричній формі матиме вигляд: .
Якщо визначник матриці при невідомих оцінках параметрів відмінний від нуля, тобто , то, помноживши матричне рівняння зліва на матрицю обернену до матриці , одержимо вектор оцінок параметрів .
Надійні інтервали базисних даних та прогнозу
Після оцінки параметрів множинної лінійної регресії і точкової оцінки прогнозу виникає питання про визначення надійної зони для базисних значень і надійного інтервалу для прогнозу.
Нехай рівняння регресії з оціненими параметрами має вигляд .
Для визначення надійного інтервалу необхідно знайти оцінку дисперсії випадкової величини .
Оцінка дисперсії для лінійної множинної регресії має вигляд , де , .
Тоді з надійністю можна стверджувати, що справжнє значення міститься в інтервалі , де , .
Нехай прогноз потрібно отримати для точки . Розрахункове значення прогнозу позначимо через . У цьому разі .Звідси випливає, що з надійністю можна стверджувати, що справжнє значення прогнозу міститься в інтервалі , де , .
ПРИКЛАД
Економічний показник залежить від двох факторів та . Дані за 15 спостережень розміщені у блоках B3:C17 та E3:E17. Знайти оцінки параметрів лінійної регресії. Результат перевірити, використо¬вуючи вбудовану статистичну функцію ЛИНЕЙН. Використовуючи статистику з надійністю оцінити значущість параметрів регресії. Перевірити адекватність прийнятої математичної моделі стати¬стичним даним на основі критерію Фішера з надійністю . Якщо математична модель із заданою надійністю адеква¬тна експериментальним даним, то знайти значення прогнозу показника для зада¬них значень факторів (блок B18:С18), його довірчий інтервал із надійністю , частинні коефіцієнти еластичності для точки прогнозу. На основі отриманих роз¬рахунків зробити економічний аналіз.
РОЗВ’ЯЗАННЯ:
Припустимо, що між показником і факторами існує лінійна залежність .
Знайдемо оцінки параметрів за методом найменших квадратів, використовуючи матричні операції.
Для оцінки параметрів вектора отримаємо формулу .
Порядок знаходження оцінок параметрів регресії:
1. Заповнюємо блок A3:A18 значеннями фіктивного фактора (одиницями). В Excel це можна швидко зробити, обвівши цей діапазон, ввівши одиницю з клавіатури та натиснувши комбінацію клавіш Ctrl+Enter.
2.Знаходимо транспоновану матрицю в блоці А31:О33 по відношенню до матриці в блоці А3:С17, використовуючи вбудовану функцію ТРАНСП (категорія «Ссылки и массивы»). Закінчувати введення формули слід, як і для інших функцій масивів, натисканням комбінації клавіш Ctrl+Shift+Enter.
3. Знаходимо добуток матриць в блоці А35:С37, використовуючи вбудовану математичну функцію МУМНОЖ (блок даних першої матриці А31:033, блок даних другої матриці А3:С17).
4. Обернену матрицю знаходимо в блоці D35:F37, використовуючи вбудовану математичну функцію МОБР.
5. Добуток матриць знаходимо в блоці H35:H37, використовуючи вбудовану математичну функцію МУМНОЖ.
6. Вектор оцінок параметрів знаходимо в блоці G39:G41, викорис-товуючи вбудовану математичну функцію МУМНОЖ (блок даних матриці D35:F37; блок даних матриці H35:H37).
Оцінки параметрів регресії можна також знайти, використову¬ючи вбудовану статистичну функцію ЛИНЕЙН.
Опишемо порядок знаходження оцінок параметрів рег¬ресії з використанням функції ЛИНЕЙН:
1. Відмічаємо блок, де мають знаходитись розрахункові дані: ширина блоку дорівнює числу оцінюваних параметрів, а висота дорівнює п'яти рядкам (в нашому прикладі це блок C39:E43).
2. Відкриваємо діалогове вікно Мастер функций, виби¬раємо функцію ЛИНЕЙН у полі категорії СТАТИСТИЧЕСКИЕ .
3. У наступному діалоговому вікні вводимо: в перше поле блок даних показника, вказуючи діапазон комірок Е3:Е17 або ім'я блоку даних; у друге поле – блок даних факторів B3:С17; в третій рядок вводиться слово ИСТИНА, якщо не дорівнює нулю, і сло¬во ЛОЖЬ, якщо дорівнює нулю (ми вводимо ИСТИНА або 1); в четвертий рядок вводи¬ться слово ИСТИНА, якщо необхідно знайти не лише пара¬метри лінії регресії, а й додаткову регресійну статистику. Якщо необхідно знайти лише параметри лінії регресії, то вводимо слово ЛОЖЬ (ми вводимо ИСТИНА або 1).
4. Закінчуємо введення формули натисканням комбінації клавіш Ctrl+Shift+Enter.
Опишемо розрахункові дані:
a2 a1 a0
r2 S
Fp K
У першому рядку знаходяться оцінки параметрів множинної лінійної регресії відповідно .
У другому рядку знаходяться середньоквадратичні відхилення оцінок параметрів .
У третьому рядку в першій комірці знаходиться коефіцієнт детермінації, а в другій комірці – середньоквадратичне відхилення показника.
У четвертому рядку в першій комірці знаходиться розрахункове значення F-статистики, в другій комірці знаходиться K – число ступенів вільності.
У п'ятому рядку в першій комірці знаходиться сума квадратів відхилень розрахункових значень показника від його середнього значення, в другій комірці – залишкова сума квадратів.
Таким чином, таблиця розрахункових значень додаткової регресійної статистики має наступну структуру:
Знайдемо значення .
Для цього у стовпчику J3:J17 підраховуємо значення , у стовпчику K3:K17 підраховуємо . У комірці K19 обчислюється . Значення та знаходимо у комірках F21 та G21 відповідно.
Порівняємо результати, отримані різними методами, а саме, отримані безпосередніми розрахунками за формулами та отримані за допомогою функції ЛИНЕЙН. Якщо розрахунки зроблено коректно, то мають співпадати дані в наступних блоках: C39:E39 та G39:G41 (в зворотному порядку), C40:E40 та B44:B46 (тут обчислено середньоквадратичні відхилення оцінок параметрів ), K19 та D43, а також D41 та G21. У комірці D42 значення знаходиться за формулою . У нас число спостережень , число факторів .
Перевіримо адекватність прийнятої моделі експериментальним даним. Для цього скористаємось критерієм Фішера.
Розрахункове значення критерію міститься в комірці С42, а кри¬тичне для , ( ), , знаходимо в комірці E46. Оскільки , то з надійністю можна вважати, що прийнята математична модель адекватна експериментальним даним.
Розглянемо питання значущості параметрів регресії. Для цього розрахуємо значення статистики кожного із параметрів за формулою , де , де – діагональний елемент матриці . Відповідні розрахунки здійснено у блоці B44:B49. Порівнявши значення та , помічаємо, що та , робимо висновок, що з надійністю можна вважати, що вплив факторів на показник є значним, і їх потрібно враховувати при розрахунках.
Точкову оцінку значення прогнозу для зна¬ходимо у комірці I18. Довірчий інтервал цієї точкової оцінки знаходимо у стовпці Н48:Н49 і обчислюємо за формулою , .
Алгоритм розрахунку довірчого інтервалу прогнозу:
1. Використовуючи вбудовану математичну функцію МУМНОЖ(блок вектора – А18:С18 (оскільки ми вважаємо вектори векторами-стовпчиками, то в цьому рядку міститься саме транспонований вектор), блок матриці –D35:F37), знаходимо добуток (блок Н44:J44).
2. Використовуючи вбудовану функцію ТРАНСП (категорія Ссылки и массивы), у блоці K44:K46 знаходимо вектор-стовчпик .
3. Використовуючи вбудовану математичну функцію МУМНОЖ, знаходимо в комірці H45 значення .
4. Використовуючи вбудовану математичну функцію КОРЕНЬ, знаходимо в комірці Н46 значення , а потім у комірці Н47 – значення (значення знайдено у комірці I47 для параметрів , ).
5. Довірчі межі прогнозу знаходимо в блоці Н48:Н49.
Частинні коефіцієнти еластичності для прогнозу знаходимо за формулами , у комірках B42, B43, відповідно.
A B C D E F G H I J K L M N O
1 X
2 x1 x2 Y Yp L L^2
3 1 3,82 10,11 26,02 27,509 -1,489 2,216
4 1 4,33 12,34 33,1 32,595 0,505 0,255
5 1 4,82 18,45 46,15 45,395 0,755 0,569
6 1 5,23 15,78 41,15 40,584 0,566 0,321
7 1 5,77 20,2 51,46 50,076 1,384 1,916
8 1 5,92 9,56 28,67 29,042 -0,372 0,138
9 1 6,53 22,56 55,76 55,735 0,025 0,001
10 1 6,57 12,36 34,11 35,441 -1,331 1,771
11 1 7,47 17,98 47,37 47,777 -0,407 0,166
12 1 7,56 15,36 42,29 42,664 -0,374 0,140
13 1 7,97 13,45 41 39,368 1,632 2,662
14 1 8,3 18,14 48,06 49,136 -1,076 1,158
15 1 8,54 11,34 35,91 35,874 0,036 0,001
16 1 8,77 10,45 35,27 34,387 0,883 0,780
17 1 8,9 29,26 71,33 72,067 -0,737 0,542
18 1 9 30 73,66771
19 711,3177 -8,7E-13 12,637
20 S^2 S
21 1,053 1,026
22
23
24
25
26
27
28
29
30 XT
31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
32 3,82 4,33 4,82 5,23 5,77 5,92 6,53 6,57 7,47 7,56 7,97 8,3 8,54 8,77 8,9
33 10,11 12,34 18,45 15,78 20,2 9,56 22,56 12,36 17,98 15,36 13,45 18,14 11,34 10,45 29,26
34 (XTX) (XTX)-1 XTY
35 15,00 100,50 237,34 1,490 -0,149 -0,027 637,65
36 100,50 712,49 1622,28 -0,149 0,027 -0,002 4385,30
37 237,34 1622,28 4168,17 -0,027 -0,002 0,003 10952,91
38 ЛИНЕЙН
39 1,995 1,253 2,559 a0= 2,559
40 0,052 0,170 1,252 a1= 1,253
41 0,993 1,026 #Н/Д a2= 1,995
42 Kx1= 0,153 885,043 12,000 #Н/Д
43 Kx2= 0,812 1864,022 12,637 #Н/Д Xp
44 S1= 1,252 XpT(XTX)-1= -0,655 0,033 0,032 1
45 S2= 0,170 XpT(XTX)-1
Xp+1= 1,593 9
46 S3= 0,052 Fкрит= 3,88529 (-//-)^(1/2)= 1,262 t= 30
47 ta0= 2,044 dyp= 2,822 2,179
48 ta1= 7,389 Ypmin= 70,846
49 ta2= 38,210 Ypmax= 76,489
A B C D E F G H I J K
1 X
2 x1 x2 Y Yp L L^2
3 1 3,82 10,11 26,02 =$G$39+$G$40*B3+$G$41*C3 =E3-I3 =J3^2
4 1 4,33 12,34 33,1 =$G$39+$G$40*B4+$G$41*C4 =E4-I4 =J4^2
5 1 4,82 18,45 46,15 =$G$39+$G$40*B5+$G$41*C5 =E5-I5 =J5^2
6 1 5,23 15,78 41,15 =$G$39+$G$40*B6+$G$41*C6 =E6-I6 =J6^2
7 1 5,77 20,2 51,46 =$G$39+$G$40*B7+$G$41*C7 =E7-I7 =J7^2
8 1 5,92 9,56 28,67 =$G$39+$G$40*B8+$G$41*C8 =E8-I8 =J8^2
9 1 6,53 22,56 55,76 =$G$39+$G$40*B9+$G$41*C9 =E9-I9 =J9^2
10 1 6,57 12,36 34,11 =$G$39+$G$40*B10+$G$41*C10 =E10-I10 =J10^2
11 1 7,47 17,98 47,37 =$G$39+$G$40*B11+$G$41*C11 =E11-I11 =J11^2
12 1 7,56 15,36 42,29 =$G$39+$G$40*B12+$G$41*C12 =E12-I12 =J12^2
13 1 7,97 13,45 41 =$G$39+$G$40*B13+$G$41*C13 =E13-I13 =J13^2
14 1 8,3 18,14 48,06 =$G$39+$G$40*B14+$G$41*C14 =E14-I14 =J14^2
15 1 8,54 11,34 35,91 =$G$39+$G$40*B15+$G$41*C15 =E15-I15 =J15^2
16 1 8,77 10,45 35,27 =$G$39+$G$40*B16+$G$41*C16 =E16-I16 =J16^2
17 1 8,9 29,26 71,33 =$G$39+$G$40*B17+$G$41*C17 =E17-I17 =J17^2
18 1 9 30 =$G$39+$G$40*B18+$G$41*C18
19 =СУММ(I3:I18) =СУММ(J3:J17) =СУММ(K3:K17)
20 S^2 S
21 =K19/12 =КОРЕНЬ(F21)
A B C D E F G H I J K
30 XT
31 =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17)
32 =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17)
33 =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17) =ТРАНСП
(A3:C17)
34 (XTX) (XTX)-1 XTY
35 =МУМНОЖ
(A31:O33;
A3:C17) =МУМНОЖ
(A31:O33;
A3:C17) =МУМНОЖ
(A31:O33;
A3:C17) =МОБР
(A35:C37) =МОБР
(A35:C37) =МОБР
(A35:C37) =МУМНОЖ
(A31:O33;
E3:E17)
36 =МУМНОЖ
(A31:O33;
A3:C17) =МУМНОЖ
(A31:O33;
A3:C17) =МУМНОЖ
(A31:O33;
A3:C17) =МОБР
(A35:C37) =МОБР
(A35:C37) =МОБР
(A35:C37) =МУМНОЖ
(A31:O33;
E3:E17)
37 =МУМНОЖ
(A31:O33;
A3:C17) =МУМНОЖ
(A31:O33;
A3:C17) =МУМНОЖ
(A31:O33;A3:C17) =МОБР
(A35:C37) =МОБР
(A35:C37) =МОБР
(A35:C37) =МУМНОЖ
(A31:O33;
E3:E17)
38 ЛИНЕЙН
39 =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:C17;1;1) =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:C17;1;1) =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:C17;1;1) a0= =МУМНОЖ
(D35:F37;
H35:H37)
40 =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:C17;1;1) =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:C17;1;1) =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:C17;1;1) a1= =МУМНОЖ
(D35:F37;
H35:H37)
41 =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:C17;1;1) =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:C17;1;1) =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:C17;1;1) a2= =МУМНОЖ
(D35:F37;
H35:H37)
A B C D E F G H I J K
42 Kx1= =G40*B18/
I18 =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:
C17;1;1) =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:C17;1;1) =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:
C17;1;1)
43 Kx2= =G41*C18/
I18 =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:
C17;1;1) =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:C17;1;1) =ЛИНЕЙН
(E3:E17;B3:
C17;1;1) Xp
44 S1= =КОРЕНЬ
(F21*D35) XpT(XTX)-1= =МУМНОЖ
(A18:C18;
D35:F37) =МУМНОЖ
(A18:C18;
D35:F37) =МУМНОЖ
(A18:C18;
D35:F37) =ТРАНСП
(A18:C18)
45 S2= =КОРЕНЬ
(F21*E36) XpT(XTX)-1
Xp+1= =МУМНОЖ(H44:J44;
K44:K46)+1 =ТРАНСП
(A18:C18)
46 S3= =КОРЕНЬ
(F21*F37) Fкрит= =FРАСП
ОБР
(0,05;2;12) (-//-)^
(1/2)= =КОРЕНЬ
(H45) t= =ТРАНСП
(A18:C18)
47 ta0= =G39/B44 dyp= =I47*
КОРЕНЬ
(F21)*H46 =СТЬЮД
РАСПОБР
(0,05;12)
48 ta1= =G40/B45 Ypmin= =I18-H47
49 ta2= =G41/B46 Ypmax= =I18+H47
Завдання 5. Регресія попиту на товари тривалого користування
ПРИКЛАД
Припустимо, що регресія попиту на товари тривалого користування (автомобілі, телевізори, холодильники та інше) має вигляд , де – попит на товари тривалого користування; – залишок національного прибутку в ум. гр.од. (різниця між національним прибутком і затратами, необ¬хідними для підтримання життєвого рівня); – середня ціна на товар тривалого користування; – кількість товару тривалого користування, який здають у брухт.
Знайти оцінки параметрів регресії та перевірити адекватність прийнятої математичної моделі експериментальним даним. Якщо модель адекватна експериментальним даним, то оці¬нити середнє значення прогнозу та його надійний інтервал з надійністю . На основі отриманої економетричної моделі зробити ви¬сновки. Статистичні дані наведені в блоці А4:D13.
РОЗВ’ЯЗАННЯ:
Прийняту стохастичну залежність прологарифмуємо:
.
Після заміни , , , , отримаємо множинну лінійну регресійну зале¬жність .
Вихідні дані розташовано в блоці А4:D13. Відповідні перетворені дані розташовуємо у блоці F4:I13. При цьому використовується вбудована математична функція LN.
Для даних у блоці F4:I13 застосовуємо той самий алгоритм знаходження параметрів, що використовувався у самостійній роботі №5. (Відмінності є тільки у кількості факторів та спостережень). Оцінки шуканих параметрів розташовані у блоці С29:С32.
Так само, як у попередній роботі, перевіряємо правильність розрахунків, використавши вбудовану функцію ЛИНЕЙН (блок A35:D39). Знаючи значення , у комірці D29 обчислюємо , використовуючи функцію EXP.
Для оцінки адекватності прийнятої математичної моделі експериментальним даним використовуємо критерій Фішера. Порівнявши розрахункове значення (комірка A38) та критичне (комірка G39), робимо висновок про адекватність моделі.
У блоці J4:K13 знайдено розрахункові значення та . У блоці A14:C14 розташовані значення факторів, для яких необхідно побудувати прогноз. У блоці F14:H14 розташовані перетворені дані. Прогнозоване значення показника міститься у комірці K14. У блоці F31:I39 розраховано довірчий інтервал для прогнозованого значення показника.
ВИСНОВКИ
1. Оскільки , то з надійністю можна вважати, що прийнята математична модель попиту на това¬ри тривалого користування адекватна статистичним даним і її можна використовувати для економічного аналізу і прогнозування.
2. Параметри є частинними коефіцієнтами елас¬тичності.
3. Між залишком національного прибутку та попитом на товари тривалого користування існує пряма залежність: зміна залишку національного прибутку на 1% при незмінних факторах призводить до зміни попиту на умовні товари тривалого користування в середньому на 0,9%.
4. Між ціною на умовний товар тривалого користування і попитом на цей товар існує обернена залежність: зміна ціни на 1% в одному напрямку на умовний товар тривалого користування при незмінних факторах викликає зміну попиту на цей товар у зворотному напрямку в середньому на 1%.
5. Між кількістю умовного товару тривалого користування, який здають у брухт, і попитом на цей товар існує пряма залежність: зміна кількості товару, який здали у брухт на 1% при незмінних факторах викликає зміну попиту на цей товар у середньому на 0,7%.
6. Для прогнозних значень факторів , , середнє значення попиту буде і з ймовірністю воно буде приймати значення в проміжку (12313; 1644222).
7. Темпи приросту попиту на умовний товар тривалого користування лінійно виражається через темпи приросту факторів .
Зауваження (про темпи приросту у випадку виробничої регресії).
Якщо величини є своєрідними показниками факторів часу, то приріст величин у момент часу можна охарактеризувати за допомогою похідних по часу: , , , , а темпи приросту відповідно дорівнюють :
, , , .
Якщо врахувати, що , то .
Для виробничої регресії маємо: , , . Підставивши останні співвідношення у вираз для та поділивши обидві частини на , отримаємо: .
А отже, .
Таким чином, темп приросту показника виробничої регресії дорівнює зваженій сумі темпів приросту факторів цього показнику, де ваговими параметрами є .
A B C D E F G H I J K
1
2
3 X1 X2 X3 Y Z1 Z2 Z3 Y1 Y1p Yp
4 22000 200 10100 190012 1 9,999 5,298 9,220 12,155 12,155 190008,045
5 22100 250 10211 153801 1 10,003 5,521 9,231 11,943 11,943 153804,592
6 23156 300 11245 143007 1 10,050 5,704 9,328 11,871 11,871 143007,818
7 24153 321 12454 149107 1 10,092 5,771 9,430 11,912 11,912 149105,933
8 24456 342 12654 143116 1 10,105 5,835 9,446 11,871 11,871 143117,295
9 24632 354 12789 140200 1 10,112 5,869 9,456 11,851 11,851 140199,017
10 27563 368 12869 149872 1 10,224 5,908 9,463 11,918 11,918 149876,211
11 28563 378 13569 156357 1 10,260 5,935 9,516 11,960 11,960 156357,078
12 25999 400 12365 127221 1 10,166 5,991 9,423 11,754 11,754 127219,272
13 27562 410 12563 132276 1 10,224 6,016 9,439 11,793 11,793 132273,600
14 31250 430 12700 1 10,350 6,064 9,449 11,866 142286,226
15
16 ZT
17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
18 9,999 10,003 10,050 10,092 10,105 10,112 10,224 10,260 10,166 10,224
19 5,298 5,521 5,704 5,771 5,835 5,869 5,908 5,935 5,991 6,016
20 9,220 9,231 9,328 9,430 9,446 9,456 9,463 9,516 9,423 9,439
21
22 ZTZ (ZTZ)-1
23 10,000 101,235 57,850 93,950 4388,127 -296,786 201,224 -271,164
24 101,235 1024,927 585,802 951,177 -296,786 58,794 -10,743 -25,147
25 57,850 585,802 335,115 543,683 201,224 -10,743 13,206 -17,973
26 93,950 951,177 543,683 882,757 -271,164 -25,147 -17,973 67,027
A B C D E F G H I J K
27
28 ZTY a0 ZpT(ZTZ)-1 Zp
29 119,027 a01= 2,002 7,403 2296,316 23249,186 13290,292 21576,683 1,000
30 1204,930 a1= 0,900 10,350
31 688,387 a2= -1,000 5,274E+05 6,064
32 1118,211 a3= 0,700 S2= 0,0000000004 9,449
33 1,00011
34 ЛИНЕЙН t= 2,44691
35 0,700 -1,000 0,900 2,002 dY1p= 2,44718
36 0,000 0,000 0,000 0,001 Y1pmin= 9,418 Ypmin= 12313,036
37 1,000 0,000 #Н/Д #Н/Д Y1pmax= 14,313 Ypmax= 1644222,457
38 86364622,977 6,000 #Н/Д #Н/Д
39 0,108 0,000 #Н/Д #Н/Д Fкрит= 4,75706
ДЖЕРЕЛА ІНФОРМАЦІЇ
а) основна література:
1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учеб. для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.
2. Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования. Учебное пособие. Изд.2-у, - М., 2006.
3. Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика). - М., 2006.
4. Бережна Л.В., Снитюк О.І. Економіко-математичні методи та моделі в фінансах. - К.: Кондор, 2009.
5. Бураковский І. Міжнародна торгівля та економічний розвиток країн з перехідною економікою. К. 1998.
6. Боровиков В.П., Боровиков И.П. STATISTICA статистический анализ и обработка данных в среде -М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1997. - 608 с.
7. Винн Р., Холден К. Введение в прикладной эконометрический анализ. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 294 с.
8. Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Шарапов О.Д. та ін. Економіко-математичне моделювання . Навч. посібник. К.: КНЕУ, 2008.
9. Голиков А.П. Економіко-математичне моделювання світогосподарських процесів: навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. Х.: ХНУ імені Карабіна, 2006.
10. Грубер Й. Економетрія: Вступ до множинної регресії та економетрії. – в 2-х том. -К.: Нічлава, 1998. - Т.I. (384 с.), 1999. - Т.2 (308с.).
11. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы анализа экономики. М.: ДИС, 1997.
12. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и модели для магистрантов экономики. Учеб. пособие для вузов. - : Питер, 2010.
13. Лук’яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика: Підруч. - К.: Т-во "Знання", КОО, 1998. - 494 с.
14. Толбатов Ю.А. Економетрика: Підруч. для студ. екон. спеціальн. вищ. навч. закл. - К.: Четверта хвиля, 1997. - 320 с.
15. Федосеев В.В. т др. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1999.
16. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ ДАНА, 2000.
б) додаткова література:
1. Большов Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука,1983.
2. Боровиков В. STATISTICA. Искуство анализа данных на компьютере. М. Питер. 2003.
3. Jonson R.R., Siskin B.R. Elementary Statistics for Business. – Boston, 1985.
4. Колеманов В.А., Математическая экономика. Учебникдля вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998.
5. Колеманов В.А., Математические методы и модели исследования операций. Учебникдля вузов. - М.: ЮНИТИ, 2008.
6. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. -К.: ІНФОРМТЕХНІКА, 1995. - 380 с.
7. Лук’янова В.В. Комп’ютерний аналіз даних. - К.: Академія. 2003.
8. Лук’яненко І. Краснікова Л. Економетрика. – К.:Знання. 1998.
9. Пономаренко О.І., Перестюк М.О., Бурим В.М. Основи математичної економіки. - К.:ІНФОРМТЕХНІКА, 1995.
10. Пономаренко О.І., Пономаренко В.О., Системні методи в економіці, менеджменті та бізнесі: Навч. посібник. - К.:Либідь, 1995.
11. Пономаренко О.І., Перестюк М.О., Бурим В.М. Сучасний економічний аналіз. Мікроекономіка. Навч. посібник. - К.:Вища шк.., 2004.
12. Пономаренко О.І., Перестюк М.О., Бурим В.М. Сучасний економічний аналіз. Макроекономіка. Навч. посібник. - К.:Вища шк.., 2004.
13. 8. Джонстон Дж. Эконометрические методы. - М.: Статистика, 1980.
14. 9. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 1997. XIV, 402 с.
15. 10. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. -М.: Финансы и статистика, 1986. - Т.1 - 365 с.; Т.2 - 379 с.
16. 11. Емельянов А.С. Эконометрия и прогнозирование. -М.: Экономика, 1985. - С. 82-89.
17. 12. Єлейко В. Основи економетрії. - Львів.:"Марка Лтд", 1995.-191 с.
18. 13. Иванова В.М. Экономическая теория. Основы бизнеса: Ч.IY: Эконометрика/Ред. совет: А.Д. Смирнов, В.Ф. Максимова и др. -М.:СОМИНТЭК, 1991. -158 с.
19. 14. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ. - М.:Статистика, 1977.254 с.
20. 15. Королев О.А. Економетрія в питаннях та тестах для студентів ІІІ курсу спеціальності “Фінанси і кредит” (спеціалізація “Банківська справа”). - К.:Київ. держ. торг.-екон. ун-т, 1996.- 80 с.
17. Королев О.А. Економетрія: Лекції, питання, тести, задачі, ситуації, проблеми: Навч. посібник. -К.: КДТЕУ, 2000. - 660 с.
18. Королев О.А., Рязанцева В.В. Практикум з економетрії: завдання з практичними рекомендаціями, алгоритмами та прикладом їх наскрізного виконання: Навч. посібник. – К.: ЄУ, 2002. – 297 с.
19. Ланге О. Введение в эконометрию. -М.: Прогресс, 1964. – 7-60 с.
20. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. -К.: ІНФОРМТЕХНІКА, 1995. - 380 с.
21. Магнус Я.Р. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начальный курс. - М.: Дело, 1997. - 248 с.
22. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. - М.: Статистика, 1975. -423 с.
23. Мартышюс С. Методологические проблемы построения и применения эконометрических моделей. - Вильнюс: Макслас, 1979. -170 с.
24. Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія: Навч. посіб. -К.: КНЕУ, 1997. -352 с.
25. Наконечний С.І., Терещенко Т.О. Економетрія: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. Диск. -К.: КНЕУ, 2001. - 192 с.
26. Пономаренко О.І., Перестюк М.О., Бурим В.М. Основи математичної економіки. - К.:ІНФОРМТЕХНІКА, 1995. - 319 с.
27. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. - М.: Статистика, 1965.-361 с.
28. Толбатов Ю.А. Загальна теорія статистики засобами Excel. Навчальний посібник- К.: Четверта хвиля, 1999. - 207 с.
21. 39. Устойчивые статистические методы оценки данных /Под ред. Р.Л. Лонера, Г.Н. Уилкинсона: Пер. с англ. -М.: Машиностроение, 1984. -232 с.
29. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. - М.: Статистика, 1978. - 223 с.
30. Хейс Д. Причинный анализ в статистических исследованиях. -М.: Финансы и статистика, 1981. -225 с.
31. Шаттелис Т. Современные эконометрические методы. -М.: Статистика, 1975. - 161 с.
