Електротехніка

Електротехніка 03.10.2015 13:42

ВСТУП

 

У розрахункових завданнях з дисципліни «Електротехніка» за розділом «Електричні кола постійного струму» (завдання 1, 2) потрібно за заданими параметрами джерел і елементів кола розрахувати струми і напруги на всіх ділянках кола. Точність розрахунку необхідно перевірити за балансом потужностей. Розглядаються найбільш поширені методи розрахунку кіл постійного струму, а саме: метод згортання кіл (завдання 1), методи рівнянь Кірхгофа, контурних струмів, вузлової напруги, еквівалентного генератора (завдання 2) [1].

У розрахунково-графічних завданнях 3-5 (розділ «Лінійні електричні кола синусоїдального струму») потрібно визначити миттєві значення струмів і напруг на ділянках кола символічним методом [1,7]. Рішення цих завдань аналогічні розрахункам кіл постійного струму, але дещо складніші, що викликано особливостями природи синусоїдальних ЕРС, струмів і напруг, резистивного, індуктивного та ємнісного елементів кіл.

У завданнях 6, 7 розглядаються методи розрахунку трифазних кіл, опори в яких з’єднані «зіркою», або «трикутником». Всі розрахунки виконуються символічним методом. Для трифазних кіл справедливі всі формули, якими користуються для кіл однофазного змінного струму, але необхідно знати співвідношення між лінійними та фазними струмами та напругами при різних способах з’єднання навантаження.

За результатами розрахунків фіксуються миттєві значення параметрів кола, будуються векторні діаграми струмів і напруг, визначаються схеми заміщення складних кіл.

 

Умовні позначки

 

1) Буквені позначення комплексних величин у математиці:

A = ± a ± jb = Ae^jα

a – дійсна частина комплексної величини;

jb – уявна частина комплексної величини;

j = √-1 – уявна одиниця;

A = √a² + b² – модуль комплексної величини;

α = arctg(±b/a) – аргумент комплексної величини (у радіанах, або градусах);

 = Ae^-jα – спряжена комплексна величина.

 

2) Буквені позначення основних фізичних величин:

е = E_msin(ωt+ψ_e), В, і = I_msin(ωt+ψ_i), A, u = U_msin(ωt+ψ_u), В – відповідно, миттєві ЕРС, струм, напруга;

E_m , I_m, U_m  – амплітуди цих же величин;

E = E_m /√2, I = I_m /√2, U = U_m /√2 – діючі значення;

(ωt + ψ) – фаза (миттєва фаза) струмів і напруг (у радіанах, або градусах);

ω = 2πf – кругова частота струмів і напруг(рад/с),

 де f = 1/T – частота (Гц), Т – період (с);

ψ_e, ψ_i, ψ_u – початкові фази, відповідно, ЕРС, струму і напруги (частіше в градусах);

ψ_e/ω, ψ_i/ω, ψ_u/ω – початкові зміщення в часі (у секундах);

φ = ψ_u – ψ_i – зсув за фазою струму відносно напруги (частіше в градусах);

Ė, İ, Ů, або E, I, U – комплекс діючих ЕРС, струму і напруги;

I_a, U_a, I_p, U_p – відповідно, активна і реактивна складові струму і напруги;

E^’’_m, I^’’_m, U^’’_m або E^’’, I^’’, U^’’ – спряжені амплітудні або діючі ЕРС, струм, напруга;

U₁₂, U₂₁ – комплексні діючи напруги взаємоіндукції, відповідно, в першій індуктивності від струму другої індуктивності і навпаки;

A⁽¹⁾, A⁽²⁾ – комплексні величини (струм, опір, напруга, провідність, потужність), що отримують у методі накладання при розрахунках від одного, другого і іншого джерел;

U₀, I₀ – діючі значення струму і напруги при резонансі;

R, X, X_L, X_C, X₁₂, Z, Z – активний (резистивний), реактивний, індуктивний, ємнісний, взаємоіндукції, повний і комплексний опори (Ом);

G, B ,B_L, B_C, Y, Y – активна (резистивна), реактивна, індуктивна, ємнісна, повна і комплексна провідності (См);

P(Вт), Q(вар), S(ВА), S(ВА) – активна, реактивна, повна і комплексна потужності;

Q_д – добротність послідовного кола при резонансі.

 

УМОВНІ ГРАФІЧНІ ПОЗНАЧЕННЯ В ЕЛЕКТРИЧНИХ СХЕМАХ

 

Найменування	Позначення
Обмотка двигуна
Двигун постійного струму
Автотрансформатор однофазний з феромагнітним магнітопроводом

Продовження

Резистор: постійний                 змінний
Індуктивність
Конденсатор: постійної ємності                 змінної ємності

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продовження

Лампочка
Запобіжник
Вимірювальний прилад
Рубильник
Розбірний затискач

 

 

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 1

 

ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА ПОСТІЙНОГО СТРУМУ З ОДНИМ ДЖЕРЕЛОМ ЖИВЛЕННЯ

 

ЗАВДАННЯ

1. Визначити струми і напруги на всіх ділянках кола.

2. Обчислити баланс потужностей.

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

 

Електричні кола постійного струму умовно розділяють:

1. Нерозгалужені – з одним або кількома джерелами живлення, з’єднаними узгоджено або зустрічно в одній гілці, і з послідовно з’єднаними споживачами.

2. Розгалужені – з джерелами в одній гілці і розгалуженим споживачем, що містить в собі змішане з’єднання елементів, у тому числі послідовне та паралельне.

Розрахунок першого типу задач виконують з використанням закону Ома для повного електричного кола або другого закону Кірхгофа. Спади напруг визначають за законом Ома для ділянки кола з пасивним елементом. При розв’язанні задач другого типу розгалужений споживач замінюють еквівалентним опором – загальна напруга на споживачі і потужність розсіювання до і після перетворень залишаються незмінними.

Еквівалентні перетворення виконують за таким правилом:

Явно виражені ділянки розгалуженого споживача з послідовним або паралельним з’єднанням замінюють еквівалентними, поки залишиться один еквівалентний опір. Далі схему розраховують за раніше позначеним методом. 

При послідовному з’єднанні еквівалентний опір дорівнює сумі опорів (рис. 1.1):

 

R_е = R₁ + R₂ + R₃ = ΣR_і                                                                 (1.1)

 

 

Рис. 1.1. Послідовне з’єднання опорів

 

При паралельному з’єднанні доцільно вести розрахунки за допомогою провідностей:

(G_i = 1/R_i).

Eквівалентна провідність паралельного кола дорівнює сумі провідностей (рис. 1.2):

 

G_е = G₁ + G₂ + G₃ = ΣG_і                                                                                (1.2)

 

 

Рис. 1.2. Паралельне з’єднання опорів

 

Ці співвідношення дають змогу визначити еквівалентний опір кола і тоді схема буде мати вигляд:

 

 

Рис. 1.3. Еквівалентна схема кола

 

Струм джерела живлення визначають згідно з законом Ома: I = E/R_e = ЕG_e

 

а)                                            б)

Рис. 1.4. а) – розподіл напруг при послідовному з’єднанні опорів;

                                 б) – розподіл струмів при паралельному з’єднанні опорів

 

Струми і напруги на окремих ділянках кола знаходять за допомогою співвідношень:

а) при послідовному з’єднанні опорів (рис.1.4,а):

 

U_ab/U_bc = R₁/R₂

 

U_ab = E·R₁/(R₁+R₂)

 

U_bc =E·R₂/(R₁+R₂)

 

б) розподіл струмів у паралельно з’єднаних гілках кола (рис.1.4,б)

 

 

I₁/I₂ = R₂/R₁

 

I₁ = I·R₂/(R₁+R₂)

 

I₂ = I·R₁/(R₁+R₂)

 

Точність розрахунків можна перевірити склавши баланс потужностей, згідно з яким сума потужностей, що розсіюється на опорах, дорівнює потужності, яку розвиває джерело живлення:

 

ΣР_дж= Σ Р_спож, або ΣІЕ = ΣI_i²R_i.

 

Допустиме розходження для технічних розрахунків складає ±1%.

Варіанти схем та чисельні дані для розрахунків наведені в табл.1.1 та 1.2.

 

Таблиця1.1

Варіанти схем  для розрахунків

Номер	Схема
I
II
III
IV
V

 

 

 

 

Таблиця 1.2

Чисельні дані для розрахунків

Номер варіанта	Номер схеми	Е, В	Опір, Ом
			R1	R2	R3	R4	R5
1	I	150	20	6	12	16	5
2	II	100	12	3	6	4	6
3	III	200	4	14	6	8	12
4	IV	70	6	10	5	6	12
5	V	60	4	6	12	5	3
6	I	120	10	12	6	6	5
7	II	180	22	8	8	5	22
8	III	90	12	2,5	15	18	30
9	IV	70	14	6	3	5	14
10	V	75	15	15	15	7	3
11	I	150	10	12	12	4	10
12	II	210	12	20	20	14	12
13	III	90	13	5	10	7	20
14	IV	100	12	20	15	16	6
15	V	80	6	12	12	1	1
16	I	100	30	6	12	26	5
17	II	150	8	14	14	4	8
18	III	120	17	10	10	3	20
19	IV	90	12	5	6	6	12
20	V	200	12	6	12	7	10
21	I	75	10	6	6	7	10
22	II	100	3	12	6	4	6
23	III	80	11	8	3	7	9
24	IV	100	6	5	10	8	3
25	V	180	12	12	6	1	5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 2

 

РОЗРАХУНКИ СКЛАДНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ ПОСТІЙНОГО СТРУМУ З КІЛЬКОМА ДЖЕРЕЛАМИ ЖИВЛЕННЯ

 

ЗАВДАННЯ

 

1. Визначити струми в усіх гілках кола:

а) методом законів Кірхгофа;

б) методом контурних струмів;

в) методом вузлової напруги;

г) методом еквівалентного генератора.

2. Скласти баланс потужності і визначити режим роботи кожної ЕРС.

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

 

Розглянемо різні методи рішення на прикладі кола, яке зображене на         рис. 2.1.

 

Рис. 2.І. Розгалужене коло з кількома джерелами живлення

 

Це коло має три гілки, отже, потрібно обчислити три значення струмів, довільно вибрані напрямки яких показані стрілками.

а) метод законів Кірхгофа

Рис.2.2. Розгалужене коло до розрахунку струмів методом законів Кірхгофа

Для визначення струмів треба скласти три рівняння, користуючись першим і другим законами Кірхгофа.

3а першим законом Кірхгофа складають рівнянь на одиницю менше, ніж кількість вузлів у колі. Решту рівнянь складають за другим законом Кірхгофа.

В нашому випадку схема (рис. 2.2) має 2 вузли, тому за першим законом Кірхгофа складаємо одне рівняння (2-1=1). Наприклад, для вузла А:

 

- I₁ + I₂ – I₃ = 0                                                (2.1)

 

Для складання рівнянь за другим законом Кірхгофа, треба обрати незалежні контури і напрямок їх обходу. Обираємо контури КАZВК і АZВА. Напрямок їх обходу показаний на рис. 2.1. Для контуру КАZВК другий закон Кірхгофа має вигляд:

 

E₁= (R₁+R₂+R₃)I₁ - (R₅+R₆)I₃                              (2.2)

 

Для контуру АZВА

 

-E₂ = -I₂ R₄ – I₃(R₅+R₆)                                       (2.3)

 

Сумісне рішення системи трьох рівнянь (2.1)-(2.3) дає змогу визначити невідомі струми.

 

б) Метод контурних струмів

 

Рис. 2.3. Розгалужене коло для розрахунку методом контурних струмів

 

Цей метод дозволяє в ході аналізу складних кіл з кількома джерелами живлення виключити рівняння, що складені на основі першого закону Кірхгофа. Це стає можливим завдяки використанню суто розрахункових, так званих контурних струмів, що замикаються лише через контури, які обрані для аналізу.

Коло, яке наведене на рис 2.3, має 2 дотичних контури, в кожному з них протікає свій контурний струм І_КІ та І_К2. Напрямок контурних струмів задаємо довільно. При складанні рівнянь згідно з другим законом Кірхгофа треба враховувати вплив сусідніх контурних струмів, які перебігають по гілці (якщо вони є). Таким чином, для обраних контурів КАВК та АZВА другий закон Кірхгофа має вигляд:

 

-E₁ - E₂ = I_K1(R₁ + R₂ + R₃ + R₄) - I_K2R₄                          (2.4)

E₂ = -I_K1R₄ + I_K2(R₄ + R₅ + R₆).

 

Розв’язання цієї системи рівнянь дає змогу знайти невідомі контурні струми І_К1 та І_К2. Реальні струми в гілках знаходять як алгебраїчну суму контурних струмів які перебігають по кожній гілці. Для наведеного прикладу маємо:

 

I₁= -I_K1; I₃ = I_K2; I₂ = I_K2- I_К1.

 

в) метод вузлової напруги

 

Рис. 2.4. Розгалужене коло для розрахунку струмів методом вузлової напруги

 

Цей метод являється корисним, коли коло має лише 2 вузли (рис. 2.4). У даному випадку це вузли А і В. Напрямок напруги обирається довільно.

Напруга між вузлами визначається рівнянням:

 

U_AB= ΣE_i G_i/ΣG_i,                                                                   (2.5)

 

де G = 1/R – провідність відповідної гілки.

Для нашого прикладу G₁ = 1 / (R₁+R₂+R₃), G₂ = 1/ R₄,   G₃ = 1/(R₅ + R₆).  

 

U_AB= (-E₁G₁ + E₂G₂ )/(G₁ + G₂ + G₃)                    (2.6)

 

Якщо напруга має напрямок від А до В, то ЕРС, які спрямовані до вузла А мають знак "+", а від вузла А – "-".

Далі, користуючись узагальненим законом Ома, легко знайти значення струмів у кожній гілці:

 

I₁ = (U _АВ + Е₁)/(R ₁+ R ₂ + R₃); I₂ = (E₂ - U_AB )/R₄; I₃ = U_AB /(R₅+R₆)                  (2.7)

 

г) метод еквівалентного генератора

 

Рис. 2.5. Розгалужене коло для розрахунку струмів методом еквівалентного генератора

 

Використання цього методу доцільно, коли треба визначити силу струму в одній з гілок розгалуженого електричного кола. Метод дозволяє відмовитися від розв’язання системи рівнянь з багатьма невідомими. Цінність методу значно зростає у випадку визначення струму при зміні параметрів гілки при умові, що параметри інших гілок залишаються незмінними.

У нашому прикладі потрібно визначити силу струму I₂ у гілці АВ кола, зображеного на рис. 2.5. Вона складається з резистора R₂ і ЕРС Е₂.

Розкладемо коло на дві частини: гілку з струмом I₂ і решту кола, яка перетворюється на активний двополюсник (рис.2.6а,). Необхідна і достатня умова для цієї дії – наявність у складі двополюсника хоча б однієї ЕРС.

Тепер розмикаємо другу гілку, а двополюсник замінюємо еквівалентним джерелом напруги, на затискачах якого діє напруга холостого ходу U_хх         (рис. 2.6,б).

З курсу теоретичних основ електротехніки відомо, що будь-який активний двополюсник можна замінити еквівалентним джерелом живлення (генератором) з ЕРС Е_екв = Е_хх і опором R_екв = R_кз (рис. 2.6,в).

                                     

а)                                   б)                                           в)

Рис. 2.6. Еквівалентні схеми заміщення методом еквівалентного генератора:

а) електрична схема; б) схема активного двополюсника; в) розрахункова схема

 

ЕРС такого джерела чисельно дорівнює напрузі на затискачах розімкненої гілки (тобто напрузі холостого ходу): Е_екв = U_хх. Слід мати на увазі, що напрямок ЕРС поки що обираємо довільно.

Розрахунок кола у режимі холостого ходу (рис. 2.6,а) виконують будь-яким відомим методом:

 

I = Е/(R₁+ R₂ + R₃+R₅ +R₆ ).                               (2.8)

 

Тоді напруга холостого ходу:

 

U_хх = I(R₅ +R₆ ) = Е(R₅ +R₆ )/(R₁ + R₂ + R₃+R₅ +R₆ ) = Е_хх.   (2.9)

 

Примітка: якщо коло має більше паралельних гілок (див. варіанти нашого завдання), величину U_хх краще розраховувати методом вузлової напруги.

Слід пам’ятати: напрямки ЕРС і напруги джерела – протилежні одне одному.

Внутрішній опір еквівалентного джерела R_екв визначаємо як вхідний опір пасивного двополюсника відносно затискачів А і В. Такий двополюсник утворюється з активного, якщо джерело Е₁ замінити короткозамкненою ділянкою (рис. 2.6,б):

 

R_екв = [(R₁+ R₂ + R₃)·(R₅ +R₆ )]/(R₁ + R₂ + R₃+ R₅ + R₆ ) =R_кз,             (2.10)

 

тобто гілки ввімкнені паралельно. Таким чином, остаточно маємо схему еквівалентного генератора, на затискачі якого підключено тепер другу гілку (рис. 2.6 в):

Отже, величина шуканого струму І₂ остаточно дорівнює:

 

І₂ = (Е_ек + Е₂)/(R_екв + R₄)                                        (2.11)

 

2. Баланс потужностей

Точність розрахунків можна перевірити, склавши баланс потужностей, згідно з яким сума потужностей, що розсіюється на опорах, дорівнює алгебраїчній сумі потужностей джерел живлення:

 

Σ(±І_іЕ_і ) = ΣI_i²R_і

 

Правило знаків: зі знаком “+” записують потужність джерел, які працюють в режимі генератора; зі знаком “-” – потужність джерел, які працюють в режимі споживача.

Для визначення режиму роботи джерела потрібно порівняти напрямок  ЕРС і реальний напрямок струму в гілці, де знаходиться ця ЕРС. Якщо ці напрямки співпадають, ЕРС працює у режимі генератора; якщо ці напрямки протилежні, ЕРС – споживає електричну енергію.

Варіанти схем та чисельні дані для розрахунків наведені в табл. 2.1 та 2.2.

 

Таблиця 2.1

Чисельні дані для розрахунків

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 2.2

Варіанти схем для розрахунків

 

Номер	Схема
I
II
III
IV
V

 

 

 

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 3

 

ПОСЛІДОВНЕ КОЛО ЗМІННОГО СТРУМУ

 

ЗАВДАННЯ 3а: Робота з комплексними величинами

 

Для заданої синусоїдної величини ЕРС (табл. 3.1, графа 2) знайдіть:

1. Діюче значення.

2. Частоту f.

3. Період Τ.

4. Миттєве значення при t = 0.

5. Запишіть комплекс діючого значення синусоїдної величини у показовій та алгебраїчній формах.

6. Побудуйте на комплексній площині вектор діючого значення ЕРС.

7. Побудуйте хвильову діаграму.

8. Для заданих значень напруги та струму (табл. 3.1, графи 3, 4) побудуйте векторну діаграму.

9. Визначте повну, активну та реактивну потужності.

10. Визначте параметри кола заміщення і намалюйте це коло.

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

 

 Параметри синусоїдної величини:

 

е = Е_msin(ωt + ψ_e).

 

1) діюче значення: Е = Е_m/√2;

2) частота f = ω/2π;

3) період T = 1/f;

4) миттєве значення при t = 0: е_о = Е_msin ψ_e;

5) комплекс діючого значення у показовій формі:

Ė = E^jψe,

цією формою користуються при множенні та діленні синусоїдних величин;

6) комплекс діючого значення у алгебраїчній формі:

 

Ė = Ecosψ_e + jEsinψ_e = Е_а + jE_p,

 

цю форму використовують для складання та віднімання синусоїдних величин.

7) вектор діючого значення синусоїдної величини будується у обраному масштабі на комплексній площині (рис. 3.1):

 

 

 

 

 

Рис. 3.1. Вектор ЕРС на комплексній площині

 

8) Хвильова діаграма (рис. 3.2) будується за миттєвими значеннями ЕРС (е₁,е₂, е₃ …) які розраховуються для довільно обраних проміжків часу (40 – 50 точок за період).

 

Рис. 3.2. Хвильова діаграма

 

8. Для того, щоб визначити коло заміщення, треба розрахувати опір цього кола (табл. 3.І; графи 3,4).

Якщо задані напруга та струм кола, то опір розраховують згідно з законом Ома.

Комплекс повного опору:

 

Z = Ů/İ = Ue^jψu/Ie^jψi = Ze^{j(ψu – ψi)} = Zcos(ψ_u – ψ_i) ± j Zsin(ψ_u – ψ_i) = R ± jX.

 

Аналізуючи вираз комплексу повного опору, будують схему заміщення. Дійсна складова комплексного числа – це активний опір R, а уявна складова X – реактивний. Якщо X має знак "+", то схема має індуктивність L, якщо X має знак "-", то до схеми входить ємність С.

Комплекс повної потужності:

 

Š = Ů·Ĩ = UIe^{j(ψu – ψi)} = Se^{j(ψu – ψi)} = Se^jφ = Scosφ ± Ssinφ = P ± jQ.

 

Тут Ĩ – спряжений комплекс струму, який відрізняється від комплексу струму İ знаком у показнику ступеня:

 

İ = Ie^jψi; Ĩ = Ie^-jψi.

 

Дійсна складова повної потужності Ρ – це активна потужність, уявна складова Q – реактивна потужність. Якщо Q має знак "+", то це коло з індуктивністю, якщо "-", то коло з ємністю.

Дані для розрахунків наведені в табл. 3. 1.

 

Приклад: Ů = 50 - j86,6; İ = 5е^-j30. 

Модуль напруги: U = √U_a² + U_p² = √ 50² + 86,6² = 100 B,    

sin ψ_u = U_p /U_a = -0,866; ψ_u = -60°.

Комплекс напруги у показовій формі:

Ů = 100е^-j60º.

 

Комплекс повного опору:

Z = 100е^-j60º/5е^-j30 = 20е^-j30 = 20 cos(-30º) - j20sin(-30º) = 17,3 – j10 (Ом).

 

Звідси: Z = 20 Ом, R = 17,3 Ом, X_c = 10 Ом.

Схема заміщення наведена на рис.3.3.

 

 

 

 

Рис. 3.3. Схема заміщення

Потужності:

Š = Ů·Ĩ = 100е^-j60º·5е^j30  = 500е^-j30  = 500 cos(-30º) + j500sin(-30º) = 433 – j250 (ВА).

Š = 500 ВА, Р = 433 Вт, Q = -250 вар.

 

Таблиця 3.1

Чисельні дані для розрахунків завдання 3,а

 

Продовження табл. 3.1

 

 

Завдання 3б

Розрахувати послідовне коло змінного струму (рис. 3.4). Визначити I, U_R, U_L, U_C, cosφ, S, P, Q, Y, f₀, L₀, C₀, I₀. Побудувати векторну діаграму для даних умов та векторну діаграму для випадку резонансу напруг кола. Записати миттєві значення струму і напруг на всіх ділянках кола. Чисельні значення варіантів завдання наведені в табл. 3.2.

 

 

Рис. 3.4. Коло з послідовним з'єднанням R, L, С

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

 

1. Струм в комплексній формі:

 

İ = Ů/Z = Ů/[ R + j(X_L-X_С)] = Ue^jψu /ze^jφ = Ie^jψi.

 

2. Напруга на активному опорі:

 

Ů_R = İ·R = R·Ie^jψi = U_Re^jψі.

 

3. Напруга на індуктивному опорі:

 

Ů_L = jX_L·İ = X_L·Ie^jψi ·e^j90º = U_Lе ^{j(ψi + 90º)}.

 

4. Напруга на ємнісному опорі:

 

Ů_C = -jX_C·İ = X_C·Ie^jψi ·e^-j90º = U_Се ^{j(ψi - 90º)}.

5. Коефіцієнт потужності:

cosφ = R/Z = cos(ψ_u -ψ_i).

 

6.                                              sin φ = √1 - cos² φ.

 

7. Комплекс повної потужності:

 

Š = Ů·Ĩ = U·Ie^{j(ψu – ψi)} = Se^{j(ψu – ψi)} = Se^jφ = Scosφ ± jSsinφ = P ± jQ

 

8. Повна провідність:

 

Y = 1/Z = 1/[ R + j(X_L-X_С)] = (R/Z²) - j[(X_L-X_С)/Z²] = G – jB,

 

де G – активна провідність, B – реактивна провідність.

 

9. Індуктивність:

L = X_L /2π f,

    Ємність:

С = 1/2π f X_C.

 

10. Резонансна частота:

 

f_o= 1 / 2π√LC.

 

11. Величина індуктивностi для одержання резонансу при частоті 50 Гц:

 

L_o= 1/ω ²С =1/ 314²С.

 

12. Величина ємності для одержання резонансу при частоті 50 Гц:

 

C_o = 1/ ω² L= 1/314²L.

 

13. Резонансний струм:

 

I_o= U/R.

14. Ємнісний та індуктивний опори при резонансі:

 

Х_L = Хc = 2π f_o L = 1/ 2πf_oC.

 

15. Діючі значення напруг на індуктивному та ємнісному опорах при резонансі:

 

U_Lo = U_Co = I_o X_Lo = I_oX_Co.

 

16. Векторні діаграми (рис.3.5, 3.6) будують в довільно обраних масштабах струму (m_I) і напруги (m_U):

а) зображуємо вісі комплексної площини: +1; +j;

б) будуємо вектор струму İ = Іе^jψi;

в) будуємо вектори напруг, Ů_R, Ů_L, Ů_c. Всі вектори будують з початку координат.

г) складаємо вектори Ů_R, Ů_L, Ů_c і отримуємо сумарний вектор повної напруги.

Таблиця 3.2

Чисельні дані для розрахунку завдання 3,б

Номер варіанта	Ů, В	Опір, Ом
		R	XL	Xc
1	150	90	160	40
2	80 + j 60	30	80	40
3	120	56	32	74
4	j 220	44	33	66
5	100	12	20	36
6	168 + j126	28	28	49
7	168 + j126	24	30	48
8	168 + j126	24	30	48
9	180 + j135	20	30	15
10	176 + j132	17,6	35,2	22
11	176 - j132	12	20	36
12	192 - j144	12	36	20
13	156 + j117	9	15	27
14	168 + j126	12	21	30
15	180 + j135	9	27	15
16	224	8,4	26	14,8
17	- j221	7,8	30	19,6
18	216	7,2	20	10,4
19	j209	6,6	19	10,2
20	220	6,6	14	5,2
21	126 + j168	6	18	10
22	132 + j176	6	20	12
23	188 + j184	8	12	6
24	288	9,6	20	12,8
25	150 + j200	6	12	20

 

 

Рис.3.5. Векторна діаграма для послідовного з'єднання R,L,C

Рис. 3.6. Векторна діаграма у випадку резонансу напруг

Використаємо розраховані параметри для запису миттєвих значень струму та напруг на всіх ділянках кола:

i = I_msin(ωt ± ψ_i),

u = U_msin(ωt ± ψ_u),

u_R = U_Rmsin(ωt ± ψ_i),

u_L = U_Lmsin(ωt ± ψ_i + 90º),

u_C = U_Cmsin(ωt ± ψ_i - 90º).

 

 

ПРАКТИЧНА РОБОТА №4

 

ПАРАЛЕЛЬНЕ КОЛО ЗМІННОГО СТРУМУ

 

ЗАВДАННЯ

 

1. Для паралельного кола (рис. 4.1) визначити:

а) комплексні опори та комплексні провідності для кожної гілки;

б) комплексні струми у паралельних гілках: İ₁, İ₂, İ₃, İ₄ та струм у  нерозгалуженій частині кола İ;

в) активну, реактивну та повну потужності кола;

г) коефіцієнти потужності: cos φ₁, cos φ₂, cos φз, cos φ₄, cos φ;

д) повну провідність кола Υ.

е) еквівалентний опір кола Z_екв;

ж) побудувати схему заміщення кола.

2. Написати вирази миттєвих значень струму і напруги кола.

3. Побудувати в масштабі векторну діаграму струмів та напруги.

 

Рис. 4.1. Схема паралельного з'єднання елементів

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

 

а) комплексні опори визначають за формулою

 

Z_i = R_i + j(X_Li – X_Ci);

 

б) комплексні струми гілок визначають за законом Ома:

 

İ_і = Ů/Z_і.

 

Отримані комплекси струмів у показовій формі можна записати в алгебраїчній формі:

 

İ_і = I_і e^jψі = I_іcos ψ_і ± jI_іsin ψ_і = I_aі ± jI_pі .

 

Струм у нерозгалуженій частині кола згідно з першим законом Кірхгофа дорівнює сумі комплексних струмів, які перебігають в паралельних гілках:

 

İ = İ₁ + İ₂ + İ ₃ + İ ₄ = (I_a1 + I_a2 + I_a3+ I_a4) + j(I_p1 +I_p2 +I_p3+I_p4) = Ie^±jψi.

 

Модуль струму: I = √ I²_a + I²_p.

 

в) комплекс повної потужності:

 

Š = Ů· Ĩ = UIe^{(ψu - ψi)} = Se^{j(ψu - ψi)} = Se^jφ = Scos φ ± jS sin φ = P±jQ.

 

г) cos φ_і = I_aі / I_і = R_і/Z_і.

д) Якщо гілка має тільки активний елемент, то

 

B = 0; G = 1 /R.

 

Якщо гілка має тільки реактивний елемент, то

 

B = 1/X; G = 0.

 

Якщо гілка має активний та реактивний елементи, тo

 

B_L= X_L /Z²; B_{C =} X_C /Z²; G = R/Z².

 

Повна комплексна провідність Y_i = G_i + j(B_Ci – B_Li).

 

Модуль повної провідності Y_i = √(ΣG_i)² + (ΣB_i)².

Сума активних провідностей ΣG_i – арифметична, а сума реактивних провідностей ΣB_i – алгебраїчна, причому, B_L беруть зі знаком "-", а b_с – зі знаком “+”.

е) Комплекс еквівалентного опору кола Z_екв = Ů/İ = R ± jX = 1/Y_екв.

є) Схема заміщення паралельного кола будується на основі розрахованого комплексного еквівалентного опору кола.

2. Миттєві значення напруги, загального струму і струмів ділянок кола:

 

u = U√2·sinωt,
                  і_і = І_і√2sin(ωt ± ψ_і).

 

3. Векторну діаграму будують в масштабі. Спочатку на комплексній площині будують вектор напруги. Потім відкладають вектори струмів кожної гілки і отримують вектор струму в нерозгалуженій частині кола, як векторну суму струмів паралельних гілок. На рис. 4.2 наведена якісна векторна діаграма для схеми рис.4.1.

.

Рис. 4.2 Векторна діаграма для схеми 4.1

 

Варіанти схем та числові дані для розрахунків наведені в табл. 4.1 та 4.2.

 

Таблиця 4.1

Варіанти схем для розрахунку завдання

Номер	Схема
I
II

 

 

 

 

 

 

Продовження табл. 4.1

III
IV
V

 

 

Таблиця 4.2

Чисельні дані варіантів розрахунку

Номер варіанта	Номер схеми	U, В	Опір, Ом
			R1	R2	XL1	XL2	XC1	XC2
1	I	100	10	-	10	25	20	-
2	II	200	12	16	40	12	16	-
3	III	80	4	12	16	-	10	-
4	IV	150	8	10	5	-	6	-
5	V	100	6	4	8	-	3	10
6	I	120	6	-	8	10	30	-
7	II	80	4	6	8	8	3	-
8	III	75	5	3	4	-	15	-
9	IV	90	6	5	10	-	8	-
10	V	80	12	8	16	-	6	20
11	I	150	8	-	6	15	25	-
12	II	100	6	4	10	3	8	-
13	III	160	10	8	6	-	20	-
14	IV	180	12	30	15	-	16	-
15	V	50	5	3	8,66	-	4	5
16	I	80	3	-	4	8	10	-
17	II	125	8	3	25	4	6	-
18	III	90	15	6	8	-	9	-
19	IV	240	16	15	20	-	12	-
20	V	75	4	8,66	3	-	5	25
21	I	60	4	-	3	10	6	-
22	II	140	16	8	20	6	12	-
23	III	120	6	4	3	-	10	-
24	IV	100	3	20	25	-	4	-
25	V	240	16	6	12	-	8	15

 

 

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 5

 

РОЗРАХУНОК РОЗГАЛУЖЕНОГО КОЛА ОДНОФАЗНОГО СТРУМУ

 

ЗАВДАННЯ

1. В заданому електричному колі знайти діючі та миттєві значення струмів в усіх гілках кола.

2. Скласти баланси активних і реактивних потужностей.

3. Побудувати топографічну векторну діаграму і визначити напругу між                   точками a і b. Цю ж напругу знайти аналітично.

Варіанти схем та чисельні значення наведені в табл. 5.1, 5.2.

 

 

Таблиця 5.1

Чисельні значення для розрахунків

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 5.2

Варіанти схем

Номер	Схема
I
II
III
IV
V

 

 

 

Приклад рішення наведений для схеми 5.1.

 Дано:

L₁ = 0,2 Гн; L₂ = 0,1 Гн; R₁ = 10 Ом; R₂ = 10 Ом; C = 100 мкФ; f = 50 Гц;

u = 120 sin(ωt + 40º), В.

 

Рис. 5.1. Розгалужене коло однофазного змінного струму

 

1. Знаходимо опір індуктивностей та ємності:

 

X_L1 = 2ωL₁ = 2πfL₁ = 62,8 Ом;

 

X_L2 = 2ωL₂ = 2πfL₂ = 31,4 Ом;

 

X_C = 1/ωC = 1/2πfC = 31,8 Ом.

 

2. Визначаємо повний комплексний опір кола методом еквівалентних перетворень.

Паралельні гілки замінюємо однією з еквівалентним опором:

 

Z_bd = [(R₂ + jX_L2) · (-jX_C)]/(R₂ + jX_L2 – jX_C) = [10 + j31,4) · (-j31,8)]/(10 + j31,4 – j31,8) =

      = (33e^j72,3º · 31,8e^-j90º)/10e^-j2,3º = 105e^-j15,2º = (101,3 – j27,9).

 

Після такої заміни коло складається з трьох послідовно з'єднаних опорів. Повний комплексний опір всього кола:

 

Z = j X_L1 + Z_bd +R₁ = 111,3 + j34,9 = 116,8e ^j17,4º.

 

3. За законом Ома İ = Ů/Z:

 

Ů = (120/√2)e^j40º = 85e^j40º;

 

İ =85e^j40º/116,8e ^j17,4º = 0,728e ^j22,6º.

 

Миттєве значення вхідного струму

 

i₁ = 0,728·√2 sin(ωt + 22,6º) = 1,03 sin(ωt + 22,6º).

Для знаходження струмів İ₂ та İ₃ визначаємо напругу на паралельних гілках Ů_bd:

 

Ů_bd = Z_bd · İ₁ = 76,5e^j7,2º.

 

Звідки,     İ₂ = Ů_bd/(R₂ + jX_L2)  = 2,32e^-j65,09º;

 

                 İ₃ = Ů_bd /(-jX_C) = 2,4 e^j97,12º.

 

 

Миттєві значення струмiв

i₂ = 3,28sin(ωt – 65,09º) A,

 

i₃ = 3,4·sin(ωt + 97,12º) A.

 

4. Баланс потужностей в колах синусоїдного струму складається окремо для активних і реактивних потужностей.

При складанні балансу реактивних потужностей слід пам’ятати, що індуктивні та ємнісні потужності мають різні знаки.

Знаходимо активну потужність джерела:

 

Р_дж = U·I₁·cosφ₁ = 85·0,728·cos 17,4º = 59,1 Вт.

 

Активна потужність споживачів:

 

P_сп = I₁²R₁ + I₂²R₂ = 59,1 Вт.

 

Реактивна потужність джерела:

 

Q_дж = U·I₁· sinφ₁ = 18,6 вар.

 

Реактивна потужність споживачів:

 

Q_сп = I₁² X_L1 + I₂²X_L2 – I₃²X_C = 18,9 вар.

 

Таким чином:

∑ Р_дж =∑ P_сп;            ∑ Q_дж = ∑ Q_сп.

 

Допустиме розходження для технічних розрахунків ±1%.

4. Векторна діаграма (рис. 5.2).

Побудову діаграми починають з вектора струму найскладнішої з паралельних гілок. Якщо побудову діаграми виконувати не на комплексній площині, то напрямок струму I₂ можна вибрати довільно. Відкладемо в вибраному масштабі струмів струм I₂ горизонтально. Вибравши додатний напрямок напруг на елементах кола, що збігаються з напрямками струмів, почнемо побудову векторів напруг з точки b. На ділянці bc напруга Ubc випереджає струм I₂ на кут 90°, тому в вибраному масштабі напруг відкладаємо з точки b вектор Ubc. На ділянці cd напруга Ucd збігається з струмом I₂ за напрямком. З'єднавши на діаграмі точки b і d, одержуємо напругу Ubd, що водночас прикладена і до гілки, що містить ємність С. Оскільки на ємності струм випереджає напругу на 90°, то струм I₃ проводимо з початку вектора струму I₂ під кутом 90° до вектора Ubd. Геометрична сума струмів I₂ і I_3, згідно з першим законом Кірхгофа, дасть величину струму I₁.

На ділянці dn напруга Udn збігається за фазою зі струмом I₁, тому з точки d проводимо вектор Udn  паралельно вектору струму I₁. На індуктивності L₁ напруга Uab випереджає струм I₁ на 90° і направлена від точки a в точку b. Вектор, що з'єднує точки а і n, є вектором прикладеної напруги.

Рис. 5.2. Топографічна векторна діаграма

 

З векторної діаграми шукана напруга між точками a і b визначається за формулою

 

 

 

де    – довжина вектора U_ab: m_u – масштаб напруги.

Для визначення U_ab аналітично можна використати закон Ома для ділянки кола з пасивним елементом:

U_ab = I₁·X_L1

 

Порівняйте значення U_ab, які знайдені графічно і аналітично. Допустима похибка ±5%.

 

 

 

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 6

 

З’ЄДНАННЯ ТРИФАЗНИХ СПОЖИВАЧІВ "ЗІРКОЮ" З НУЛЬОВИМ ПРОВОДОМ

 

ЗАВДАННЯ 6а

1. Розрахувати струми фаз.

2. Знайти струм в нульовому проводі.

3. Визначити активну потужність трифазного кола.

4. Побудувати векторну діаграму.

Варіанти схем та чисельні значення наведені в табл. 6.1, 6.2.

 

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

 

 

Рис. 6.1. "Зірка" з нульовим проводом

 

Будемо вважати, що початкова фаза ЕРС фази А дорівнює 0. Тоді можна записати миттєві значення ЕРС для всіх фаз у вигляді:

 

е_А =  Е_m sin ωt,

e_B = E_m(ωt - 120°),

e_C = E_m(sin(ωt + 120°).

 

Або у комплексній формі для діючих значень:

 

Ė_A = E;

Ė_B = Ee^-j120º = E[cos (-120°) – jsin (-120°)] = E(-(1/2)-j(√3/2));

Ė_B = Ee^j120º = E[cos (120°) – jsin (120°)] = E(-(1/2)+j(√3/2)).

 

Якщо у схемі присутній нейтральний провід, напруги фаз споживача дорівнюють відповідним фазним ЕРС генератора:

 

Ů_a = Ė_A ; Ů_b= Ė_B; Ů_c = Ė_C.

 

Модулі напруг всіх фаз рівні за величиною і менші за лінійну напругу в√3 раз: U_ф=U_л/√3.

 

Повні опори фаз заходимо, користуючись співвідношенням:

 

Z_ф = R_ф + j(X_Lф – X_Cф)= Z_фe^jφф

 

Фазні струми знаходимо за законом Ома і переводимо у комплексну алгебраїчну форму:

İ_a = Ů_a/Z_a = Ie^jψa  = I_aa+ jI_ap;

İ_b = Ů_b/Z_b = Ie^jψb  = I_ba+ jI_bp;

İ_c= Ů_c/Z_c = Ie^jψc =  I_ca+ jI_cp.

Струм в нульовому проводі, згідно з першим законом Кірхгофа:

 

İ_N = İ_a + İ_b + İ_с = (I_aa + I_ab +I_ac) + j(I_pa + I_pb +I_pc) = I_aN + jI_pN = I_Ne^jψ

 

При несиметричному навантаженні знаходимо активну потужність окремо для кожної фази:

 

P_a = U_aI_acosφ_a ;

P_b = U_bI_bcosφ_b;

P_c = U_cI_ccosφ_c.

 

Активну потужність трифазної системи одержимо, як арифметичну суму потужностей всіх фаз:

 

P = P_a+P_b+P_c.

 

Векторна діаграма наведена на рис. 6.2. 

Порядок побудови векторної діаграми:

1. Будуємо вектори фазних напруг E_A = U_a, E_B = U_b, Е_C = U_c, які рівні за величиною і зсунені за фазою на 120°. Ці вектори виходять з однієї нейтральної точки.

2. З'єднуємо початки векторів і отримаємо лінійні напруги U_AB, U_BC, U_CA.

3. З нейтральної точки будуємо вектори фазних струмів İ_a, İ_b, İ_с.

4. Будуємо вектор струму İ_N, як суму фазних струмів.

Варіанти схем та чисельні дані для розрахунків наведені в табл.6.1 і 6.2.

 

 

а)

 

Рис.6.2. а) – електрична схема "зірка з нейтральним проводом";

б) – векторна діаграма для цієї схеми

 

5. Запишемо розраховані фазні струми і струм нейтралі в аналітичній формі:

 

i_а = I_mаsin(ωt ± ψ_iа),

i_b = I_mbsin(ωt ± ψ_ib),

i_с = I_mсsin(ωt ± ψ_iс),

i_N = I_mNsin(ωt ± ψ_iN).

 

 

 

 

 

 

Таблиця 6.1

Чисельні дані варіантів

 

Таблиця 6.2

Варіанти схем

 

 

 

 

ЗАВДАННЯ 6б. З’єднання "зірка" без нульового проводу

 

1. Визначити напругу зсуву нейтралі.

2. Розрахувати фазні напруги споживача.

3. Розрахувати фазні струми.

4. Побудувати векторну діаграму.

Для завдання 6б використати чисельні дані та схеми з табл. 6.1 і 6.2.

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

 

1. Напруга зсуву нейтралі:

 

Ů_N = (∑Ė·Y)/( ∑Y) = (Ė_aY_a+ Ė_bY_b +Ė_cY_c) / (Y_a+ Y_b +Y_c) = U_Ne^jψ

 

де Y_a = 1/Z_a, Y_b = 1/Z_b, Y_c = 1/Z_c  – повні комплексні провідності фаз.

 

2. Фазні напруги навантаження:

 

Ů_a = Ė_a - Ů_N;

Ů_b = Ė_b - Ů_N;

Ů_c = Ė_c - Ů_N;

 

в) фазні струми

 

İ_a = Ů_a/Z_a = Ie^jψa = I_aa + jI_ap;

İ_b = Ů_b/Z_b = Ie^jψb = I_ba + jI_bp;

İ_c = Ů_c/Z_c = Ie^jψc = I_ca + jI_cp.

 

Перевірити, чи виконується рівняння İ_a + İ_b + İ_c = 0.

 

Для схеми рис. 6.3 показана векторна діаграма (рис 6.4).

 

 

Рис. 6.3. З’єднання опорів зіркою без нульового проводу

 

Порядок побудови векторної діаграми (рис. 6.4):

1. Будуємо три вектори ЕРС генератора E_A, E_B, Е_C,, які рівні за величиною і зсунені за фазою на кут 120^º. Вектори будують з нейтральної точки генератора N.

2. Із точки N відкладаємо вектор Ů_N і одержуємо точку n.

3. Із точки n проводимо вектори в точки А, В, С і одержуємо зірку фазних напруг навантаження U_a ,U_b, U_c.

4. Із точки n окремо для кожної фази відкладаємо вектори фазних струмів.

5. Проводимо графічне складання векторів фазних струмів з метою перевірки правильності розрахунків (I_N = 0).

 

 

Рис. 6.4. Приклад векторної діаграми для схеми 6.3

 

Запишемо значення фазних струмів і напруг в функції часу аналогічно тому, як це було показано у завданні 6а, пункт 5.

 

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 7

 

З’ЄДНАННЯ ТРИФАЗНИХ СПОЖИВАЧІВ "ТРИКУТНИКОМ"

 

ЗАВДАННЯ

1. Розрахувати струми фаз.

2. Знайти значення лінійних струмів.

3. Визначити активну потужність трифазного кола.

4. Побудувати векторну діаграму.

Варіанти схем та чисельні значення наведені в табл. 7.1, 7.2.

 

 

 

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

 

 

Рис. 7.1. Загальна електрична схема  для завдання 7

 

1. При з’єднанні навантаження "трикутником" його фазні напруги  дорівнюють лінійним напругам генератора:

 

Ů_AB = Ė_A- Ė_B = Ue^j30º = U[(√3/2) +j (1/2)] = Ů_ab,

Ů_BC = Ė_B- Ė_C = Ue^–j90º = -j U = Ů_bc,

Ů_CA= Ė_C- Ė_A = Ue^j150º = U[(-√3/2) +j (1/2)] = Ů_са,

 

2. Фазні струми визначають за законом Ома:

 

İ_ab= Ů_ab/Z_ab;

İ_bc= Ů_bc/Z_bc;

İ_ca= Ů_ca/Z_ca.

 

Повні комплексні опори фаз знаходять, користуючись співвідношенням:

 

Z_ф = R_ф + j(X_Lф –X_Cф)= Z_фe^jφф

 

Лінійні струми визначають за першим законом Кірхгофа для вузлів а, b, c (рис.7.1):

İ_A = İ_ab – İ_ca;

İ_B = İ_bc – İ_ab;

İ_C = İ_ca – İ_bc;

 

Активні потужності кожної фази:

 

P_ab = U_abI_abcosφ_ab ;

P_bc = U_bcI_bccosφ_bc;

P_ca = U_caI_cacosφ_ca.

 

Активна потужність трифазного опору, який з'єднаний "трикутником":

 

P = P_ab + P_bc + P_ca.

 

Векторна діаграма для схеми рис. 7.2 показана на рис.7.3. Порядок її побудови:

І. Будуємо вектори ЕРС генератора Е_A, Е_B, E_C, які рівні за величиною і зсунені за фазою на кут 120°.

2. З’єднуємо кінці векторів і одержуємо вектори лінійних напруг U_AВ, U_BC, U_CA.

3. Відкладаємо вектори фазних струмів від початків векторів відповідних фазних напруг.

4. Будуємо вектори лінійних струмів І_А, І_В, І_С, віднімаючи графічно відповідні фазні струми.

 

 

 

Рис. 7.2. Приклад схеми з'єднання «трикутником»

 

 

 Рис. 7.3 Векторна діаграма для схеми 7.2

 

 

 

 

 

 

                                                                  Таблиця 7.1

Чисельні дані варіантів

Номер варіанта	Номер схеми	Uл, В	Опір, Ом
			Rab	Rbc	Rca	Xab	Xbc	Xca
1	I	380	8	-	10	6	20	-
2	II	220	16	22	-	12	-	10
3	III	127	-	-	6	12,7	10	8
4	IV	220	-	-	8,66	22	5	5
5	V	127	10	-	-	-	10	10
6	I	220	12	-	15	16	10	-
7	II	380	8,66	38	-	5	-	19
8	III	220	-	-	16	20	10	12
9	IV	380	-	-	3	38	19	4
10	V	20	20	-	-	-	10	20
11	I	27	3	-	12,7	4	5	-
12	II	60	8	33	-	6	-	22
13	III	20	-	-	4	10	5	3
14	IV	80	-	-	12	19	38	16
15	V	20	5	-	-	-	20	10
16	I	80	6	-	10	8	20	-
17	II	27	4	10	-	3	-	5
18	III	20	-	-	8,66	11	22	5
19	IV	27	-	-	4	5	10	3
20	V	80	38	-	-	-	19	20
21	I	60	16	-	22	12	33	-
22	II	20	5	10	-	8,66	-	22
23	III	27	-	-	16	10	10	12
24	IV	80	-	-	6	19	38	8
25	V	20	22	-	-	-	5	22

Таблиця 7.2

Варіанти електричних схем

 

                                                                                   

Запишемо значення струмів і напруг в функції часу аналогічно тому, як це було показано у завданні 6а, пункт 5.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

 

1. В.І. Черненко, Ю.Е. Удовенко. Електротехніка та промислова електроніка. – Київ: ІЗМН, 1996. – 503 с.

2. Электротехника / Под ред. В.Г. Герасимова. – М.: Высш. шк., 1985. – 479 с.

3. Электротехника / Под ред. B.C. Пантюшина. – М.: Высш. шк., 1976. –316 с.

4. Борисов Ю.М., Липатов Д.Н., Зорин Ю.Н. Электротехника. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 378 с.

5. Сборник задач по общей электротехнике / Под ред. B.C. Пантюшина. –М.: Высш. шк., 1979. – 213 с.

6. Державний стандарт України. Електротехніка. Літерні позначення основних величин, 1998.

7. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Изд. Наука, 1964.