Основи теорії ігор.

Тема 6. Основи теорії ігор.

Мета:  Навчитися розв’язувати матричні ігри шляхом зведення до пари двоїстих задач лінійного програмування.

План

1. Пошук змішаних стратегій. Знаходження ціни гри

2. Розв’язування ігрових задач.

 

1.Пошук змішаних стратегій. Знаходження ціни гри

1.1. Розв'язати матричні ігри шляхом зведення до пари двоїстих задач лінійного програмування: знайти оптимальні змішані стратегії та ціну гри матричних ігор з такими платіжними матрицями:

1. Знайти рішення гри, що визначається матрицею .

Розв’язання. Складемо пару двоїстих задач ЛП. Пряма задача: знайти максимальне значення функції F=x₁+x₂+x₃ при умовах

Двоїста задача: знайти мінімум функції F^*=y₁+y₂+y₃ при умовах

Знаходимо оптимальні плани прямої і двоїстої задач

№	Базис	Сб	Р0	1	1	1	0	0	0
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
1	Х2	1	½	½	1	0	½	0	0
2	Х3	1	1	1	0	1	0	1	0
3	Х6	0	½	3/2	0	0	-1/2	0	1
			3/2	1/2	0	0	1/2	1	0

Із останньої симплексної таблиці видно, що вихідна задача має оптимальний план Х^*=(0; 1/2; 1), а двоїста задача оптимальний план У^*=(1/2; 1; 0). Отже, ціна гри  , а оптимальні стратегії гравців U^*=(1/3; 2/3; 0); Z^*=(0; 1/3; 2/3).

 

2. Розв’язування ігрових задач.

Фермерське господарство може відправити продукцію рослинництва на три переробних підприємства. На кожному підприємстві з отриманої сировини можуть виготовляти три види продукції. Залежно від цього, можливий прибуток фермерського господарства задано матрицею (у тис. грн.):

	Вид продукції
	І	ІІ	ІІІ
І завод	1	2	1
ІІ завод	1	2	2
ІІІ завод	2	1	0

Знайти оптимальну лінію поведінки фермерського господарства.

Розв’язання.

Складемо пару двоїстих задач лінійного програмування.

Пряма задача: знайти максимальне значення функції F=x₁+x₂+x₃ за умов

.

Двоїста задача: знайти мінімум функції F^*=y₁+y₂+y₃ за умов

.

З останньої симплексної таблиці розв’язку прямої задачі знайдемо оптимальні плани прямої і двоїстої задач.

№	Базис	Сб	Р0	1	1	1	0	0	0
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
1	Х4	0		0		0	1		0
2	Х3	1		0		1	0
3	Х1	1		1		0	0	0
			3/4	0		0	0

З останньої симплексної таблиці видно, що вихідна задача має оптимальний план Х^*=(1/2; 0; 1/4), а двоїста задача - оптимальний план У^*=(0; 1/2; 1/4). За формулами (5.8)-(5.10) ціна гри  , а оптимальні стратегії гравців U^*=(0; 2/3; 1/3); Z^*=(2/3; 0; 1/3).

Розтлумачимо отриманий розв’язок. Для отримання максимально можливого середнього прибутку у розмірі 4/3 тис. грн. фермерське господарство має 2/3 частини продукції рослинництва відправити на ІІ переробне підприємство і 1/3 частини продукції рослинництва – на ІІІ переробне підприємство. Співпраця з І переробним підприємством економічно невигідна.

З точки зору переробних підприємств у загальній структурі їх готової продукції 2/3 частини має займати продукція І виду і 1/3 – продукція ІІІ виду. Продукцію ІІ виду випускати економічно невигідно.

 

Методичне забезпечення

1. Сергієнко В.А. Математичне програмування. Конспект лекцій для студентів напряму підготовки 6.030601 „Менеджмент” денної та заочної форм навчання / В.А. Сергієнко, Л.П. Перхун, 2010. – 140 С.
2. Лавров Є.А. Математичне програмування: навчальний посібник / Є.А. Лавров, Л.П. Перхун, В.А. Сергієнко / За ред. Є.А. Лаврова. – Суми, 2010. – 224 С.

 

Рекомендована література

Базова

1. Бех О.Б. Збірник задач з математичного програмування. Навч. пос. / О.Б. Бех, Т.А. Огородня, А.Ф. Щебрак – К.: Видавництво Ліра-К, 2013. – 212 С.
2. Бех О.Б. Математичне програмування. Пос. / О.Б. Бех, Т.А. Огородня, А.Ф. Щебрак – К.: Видавництво Ліра-К, 2013. – 200 С.
3. Вдовин М. Л. Математичне програмування теорія та практикум. Пос. / М.Л. Вдовин, С.Г. Данилюк – К.: Видавництво Ліра-К, 2014. – 160 С.
4. Глушик М. М. Математичне програмування. Підручник / М. М. Глушик, І.М. Копич, В.М. Сороківський – К.: Видавництво Ліра-К, 2014. – 280 С.
5. Глушик М. Математичне програмування. Підручник / М. Глушик, І.Копич, О.Пенцак, В. Сорківський – К.: Видавництво Ліра-К, 2013. – 216 С.
6. Копич І.М. Математичні моделі в менеджменті та маркетингу. Навч. пос. / І.М. Копич, В.М. Сороківський ,В.І.Стефаняк – К.: Видавництво Ліра-К, 2014. – 376 С.
7. Кучма М.І. Математичне програмування: приклади та задачі. пос. / М.І. Кучма – К.: Видавництво Ліра-К, 2013. – 344 С.
8. Мартиненко М.А. Математичне програмування: підручник / М.А. Мартиненко, О.М. Нещадим, В.М. Сафонов – К.: Видавництво Ліра-К, 2010. – 311 С.

 

Допоміжна

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. / И. Л. Акулич. – М: Высш. шк., 2008. – 450 с.
2. Калетнік Г.М. Теоретичні основи моделювання та фінансово-економічні розрахунки в менеджменті / Г.М. Калетнік, С.В. Козловський, О.Г. Підвальна – К.: Видавництво Ліра-К, 2010. – 400 С.
3. Толбатов Ю.А. Математичне програмування: підруч. для студ. вищ. навч. закл. / Ю.А. Толбатов, Є.Ю. Толбатов. - Т.: Підручники і посібники, 2008. – 432с.
4. Уэйн Л. Винстон Microsoft Office Excel 2007. Анализ данных и бизнес моделирование. –М.: Издательство «Русская Редакция», 2008. – 608 с.
5. Фортуна В.В. Основи економіко-математичного моделювання. пос. / В.В. Фортуна – К.: Видавництво Ліра-К, 2015. – 540 С.
6. Хвищун І.О. Програмування і математичне моделювання: підручник для студ. вищих навч. закл. / І.О. Хвищун. – К.: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2007. – 544c.

 

Інформаційні ресурси

(в т.ч. електронна бібліотека СНАУ)

1. http://web.archive.org/web/20070205063920/http://dims.karelia.ru/~alexmou/tpr/tpr_02_linear_programming.ppt – слайди по лінійному програмуванню
2. Український інститут ІТ в освіті Економіко-математичне моделювання (Демо-версія)  [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://moodle.ipo.kpi.ua/moodle/mod/resource/index.php?id=125
3. Іващук О.Т. Економіко-математичне моделювання [Електронний ресурс] / О.Т. Іващук. – Т.: ТНЕУ «Економічна думка», 2008. – 704 с.
4. Курило А.О. Математичне програмування. Конспект лекцій. - Суми, 2015 рік 136 ст., табл. 51, рис. 36.
5. Курило А.О. Математичне програмування. Частина 1: методичні вказівки щодо виконання практичних та самостійних робіт. – Суми, 2015, ст.76, табл. 20, рис. 11.
6. Курило А.О. Математичне програмування. Частина 2: методичні вказівки щодо виконання практичних та самостійних робіт. – Суми, 2015, ст.84, табл. 16, рис. 13.
7. Сергієнко В.А.  Математичне програмування. Конспект лекцій для студентів напряму підготовки 6.030601 „Менеджмент” денної та заочної форм навчання./ В.А.Сергієнко, Л.П. Перхун. 2009 – 149 с.
8. Сергієнко В.А., Перхун Л.П. Електронний засіб навчального призначення: «Математичне програмування» для студентів денної та заочної форм навчання за напрямом підготовки 6.030601 «Менеджмент», 2010.